GEOMETRIA ESPACIAL - Parte 4

8/7/2019 GEOMETRIA ESPACIAL - Parte 4

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ISERJ 2012


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Consideramos um ponto O e um segmento de

medida R. Chama-se esfera de centro O e raio Roconjunto dos pontos P do espao , tais que a

distncia OP seja menor ou igual a R.

P

P

OR P


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A esfera tambm pode ser descrita como sendo o

slido de revoluo gerado pela rotao completa de

um semicrculo em torno de um eixo que contm umdimetro.


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Superfcie esfrica de centro O e raio R o conjunto

dos pontos P do espao que distam Rdo ponto O.

RO

A superfcie gerada pela rotaode uma semicircunferncia em

torno de um eixo que contm

um dimetro uma superfcie

esfrica.


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Considerando a superfcie de uma esfera de eixo e e centro O,

temos:

a) Plos so as intersees da superfcie com o eixo;

b) Equador a seo (circunferncia) perpendicular ao eixo,

pelo centro da superfcie; e

P

P

Equador

Plo

Plo

Meridiano

Paralelo

O

c) Meridiano a seo (circunferncia) que passa pelo eixo e

contm os polos;

d) Paralelo qualquer seo (circunferncia) perpendicular aoeixo;


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OR

R' O

Qualquer plano a que seciona uma esfera de raio R determina

como seo plana um crculo de raio R

a

Se a seo passa pelo

centro da esfera,

temos como seo umcrculo mximo da

esfera ( R= R ).


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O

OO a distncia ddo plano a ao centro da esfera.

a

R

R'R'

R

O

d


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2R 2R

2R 2R

Considere o cilindro equiltero dimetro da base igual altura

de raio da base R.

Considere agora uma esfera de raio R e um cone equiltero de

raio da base R e, consequentemente, altura 2R.


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Sabemos que, nessas condies, o volume do cone ser igual a

um tero do volume do cilindro.Vamos derramar o cone dentro do cilindro:


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Vemos que o volume do cone

ocupou um tero da capacidade

do cilindro.


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Vamos repetir o procedimento, vertendo o contedo da esfera no

cilindro que j est com um tero de sua capacidade ocupada.

Constatamos assim que o

volume da esfera igual a dois

teros do volume do cilindrocorrespondente.


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Dessa forma podemos deduzir a frmula que calcula o volume de

uma esfera de raio R:


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Imagine uma esfera de raio .

Imagine agora outra esfera, concntrica, de raio + .

+

O volume da regio entre as duasesferas como se fosse a cascade um melo.

Esse volume a diferena entreos volumes das duas esferas.

Quanto mais os raios das duasesferas se aproximam, mais finatorna-se esta casca, ou seja, a

diferena entre os raios das esferasse aproxima de zero.


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A razo entre estes dois valores aproxima-se da rea da superfcieesfrica, quando diminumos a diferena entre os raios das esferas.

Superfcie Esfrica

A razo entre os valoresDiferena entre os volumes das duas esferas

Diferena entre os raios das duas esferas

se aproxima da rea da Superfcie Esfrica quando a diferenaentre os raios das duas esferas diminui.


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rea da Superfcie Esfrica +

+ , quando 0

Volume da esfera de raio + :

+ =4

3. . +

=4

3. .

+ 3 .

2. + 3. .

2+

Volume da esfera de raio :

=4

3. .

+ =4

3. .

+ 3.

2. + 3. .

2+

+ =4

3. . . 3

2+ 3. +

2

Diferena entre os volumes:


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rea da Superfcie Esfrica +

+ , quando 0

rea da Superfcie Esfrica 4

3. . . 3

2+ 3. +

2

, quando 0

rea da Superfcie Esfrica 43

.. 32

+ 3. + 2 , quando 0

0 0

rea da Superfcie Esfrica =4

3..3

2

= 4. . 2


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1) Qual o volume de uma esfera de 30 cm de raio?

Soluo: O volume da esfera dado pela

frmula:

Logo o volume ser:

3336000)27000(

3

4)30(

3

4cmV


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2) Uma esfera est inscrita num cubo cuja aresta mede 20

cm. Calcule a rea da superfcie esfrica.

Soluo: Repare que o raio da

esfera inscrita a metade da

aresta do cubo, logo R= 10cm.

A rea da esfera calculada

com a frmula:

Ento a rea dessa esfera :

221256)14,3(400400)100(4)10(4 cmA


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3) Calcule o volume de uma esfera de 100 cm2 de rea.

Soluo: Igualando a frmula da rea ao valor indicado, temos:

10042 RA

4

1002 R 252 R cmR 5

Calculando o volume vem:

33)5(

3

4

3

4 RV

3

500

3

)125(4 V

333,523 cmV


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4) Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de

raio, fundem-se e formam outra esfera. Calcule o raio dessa

nova esfera.

Soluo: V3 = V1 + V2 , onde:

333

11 36)3(3

4

3

4cmRV

333

22 288)6(3

4

3

4cmRV

324)28836(3

4 333 RV

4

)324)(3(33 R

2433

3 R

33

3 93243 R

cmR 24,63


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5) Determine a rea de uma esfera, sendo 2304 cm3 o seu

volume.

Soluo: Igualando a frmula do volume ao valor indicado,temos:

23043

4 3 RV4

)2304)(3(3 R cmR 1217283

Calculando a rea vem:

22)12(44 RA

)14,3(576576)144(4

264,1808 cmA


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6) Qual a rea total e o volume do recipiente da figura abaixo?

3 m

3 m

Soluo: Considerando o recipiente aberto, no calculamos a

rea da tampa. Basta calcularmos a metade da rea e dovolume da esfera.

2

22

52,56182

)3(4

2

4

2cm

RA

333

52,56186

)3(4

3

4

2

1

2cm

RV

i)

ii)


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7) O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que seciona

essa esfera determina nela um crculo de raio 45 cm.

Determinar a distncia do plano ao centro da esfera.

Soluo: A distncia entre o crculo

e o centro o cateto do tringulo

retngulo formado pelo raio da

esfera e o do crculo.

Logo aplicando a relao de Pitgoras,

temos:

202528094553 2222 dd

cmdd 287847842


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Questes resolvidas:

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