Geometria Espacial – Cone e Pirâmide

Professor Alexandre Assis

1. O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura.

A aresta VA é perpendicular ao plano da base e tem a mesma medida do segmento AD. O seguimento AB mede 6 cm. Determine o volume da pirâmide VACD. 2. Calcule a altura H e o seno do ângulo diedro formado por duas faces quaisquer de um tetraedro regular cujas arestas medem "a" cm.

3. O setor circular sombreado, com 6 cm de raio, transforma-se na superfície lateral de um cone, após "colagem" de seus bordos pontilhados, como ilustrado nas figuras a seguir: a) Qual a medida do raio da "base" desse cone? b) Qual o volume do cone tendo essa base e a superfície lateral descrita anteriormente? 4. Dois cones circulares retos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do outro.

Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior e x=r/s, determine x. 5. Um cálice tem a forma de um cone reto de revolução, de altura igual a 100 mm e volume V•. Esse cálice contém um líquido que ocupa um volume V‚ atingindo a altura de 25 mm, conforme mostra a figura adiante. Calcule o valor do quociente V•/V‚.

6. A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H.

Sabendo-se que H=4cm, AB=6cm, BC=3cm e a altura h=AE=6cm, determine: a) o volume da pirâmide EA'B'C'D'; b) o volume do tronco de pirâmide.

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7. Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 8. Na figura a seguir I e J são os centros das faces BCGF e EFGH do cubo ABCDEFGH de aresta a. Os comprimentos dos segmentos AI e IJ são respectivamente:

a) a√6/2, a√2

b) a√6/2, a√2/2

c) a√6, a√2/2

d) a√6, a√2 e) 2a, a/2 9. A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos eqüiláteros de lado l e que E é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo VÊC é 60°, então o volume da pirâmide é:

a) (√3 l3)/4

b) (√3 l3)/8

c) (√3 l3)/12

d) (√3 l3)/16

e) (√3 l3)/18 10. A figura a seguir mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura EF e ‘ a medida do

ângulo AGB, então cos vale

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 11. O volume do sólido da figura a seguir é:

a) (√3)/12.

b) (√3)/18.

c) (√3)/20.

d) (√3)/24.

e) (√3)/36. 12. Na figura a seguir, PMN é a secção do prisma reto, triangular e regular, com um plano ‘ que faz 60° com sua base. Se M e N são pontos médios e se

o volume do sólido assinalado é √3, então k mede: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Um octaedro regular é um poliedro constituído por 8 faces triangulares congruentes entre si e ângulos poliédricos congruentes entre si, conforme mostra a figura a seguir.

Se o volume desse poliedro é 72√2 cm3, a medida de sua aresta, em centímetros, é

a) √2 b) 3

c) 3√2 d) 6

e) 6√2

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14. A figura abaixo representa o brinquedo Piramix.

Ele tem a forma de um tetraedro regular, com cada face dividida em 9 triângulos eqüiláteros congruentes. Se, a partir de cada vértice, for retirada uma pirâmide regular cuja aresta é 1/3 da aresta do brinquedo, restará um novo sólido. A razão entre as superfícies totais desse sólido e do Piramix equivale a: a) 4/9 b) 5/9 c) 7/9 d) 8/9 15. Os pontos A, B, C, D, E, F, G, H dividem, respectivamente, cada uma das arestas da base de um cubo em três partes iguais, conforme as figuras a seguir. Um ponto está sobre uma aresta do cubo e a uma distância da base igual a 2/3 da aresta. A razão entre o volume do cubo e o volume da pirâmide de vértice V e base ADFH é a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 16. Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro na forma de pirâmide quadrangular, para verificar o índice pluviométrico de uma certa região. A água, depois de recolhida, é colocada num cubo de 10 cm de aresta. Se, na pirâmide, a água atinge uma altura de 8 cm e forma uma pequena pirâmide de 10 cm de apótema lateral, então a altura atingida pela água no cubo é de

a) 2,24 cm b) 2,84 cm c) 3,84 cm d) 4,24 cm e) 6,72 cm 17. As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que o tetraedro MBQR tenha volume igual a 1/3 do volume do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter BM igual a: a) 3/4 BA b) 2/3 BA c) 3/5 BA d) 1/3 BA e) 1/6 BA 18. A figura abaixo representa o paralelogramo MNPQ.

O volume do sólido obtido pela rotação do paralelogramo em torno da reta suporte do lado MQ é dado por:

a) h2 (l + h) / 2

b) h2 l / 2

c) h2 (l + h)

d) h2 (l + h)2

e) h2 l 19. No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico será de:

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a) 2 h b) 1 h e 30 min c) 1 h d) 50 min e) 30 min 20. Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da haste indicada obtém-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita.

A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 21. Um chapéu de papel em forma de cone tem 10 centímetros de diâmetro e 10 centímetros de profundidade. Seu vértice é empurrado para baixo e para dentro conforme a figura a seguir. Que distância sua ponta penetra no espaço interno do chapéu se o novo volume do chapéu é 4/5 do volume original?

a) x = ∛200

b) x = ∛80

c) x = ∛100

d) x = ∛300

e) x = ∛150

22. Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser: a) 8/3 cm b) 6 cm c) 4 cm

d) 4√3 cm

e) 4∛4 cm 23. Observe a figura.

Nessa figura, a base da pirâmide VBCEF é um quadrado inscrito no círculo da base do cone de vértice V. A razão entre o volume do cone e o volume da pirâmide, nesta ordem, é

a) /4 b) /2 c) d) 2 e) 2 /3 24. Dois sólidos de formatos cilíndricos têm bases de mesmo raio R. De um deles, foi extraída uma parte cônica, que foi colada no outro, conforme mostra a figura abaixo. Aos dois sólidos resultantes, de mesma altura H, chamaremos de S• e S‚. Se V(S•) e V(S‚) denotam, respectivamente, os volumes de S� e S‚, pode-se afirmar que: a) V(S•) > V(S‚)

b) V(S•) + V(S‚) = 2 R3 H c) V(S•) < V(S‚)

d) V(S•) + V(S‚) = 7/3 R3 H

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GGGAAABBBAAARRRIIITTTOOO

1. Volume = 72√3 cm2

2. H = a√6/3

sen = 2√2/3 3. a) 5 cm

b) 25..( √11)/3 cm2

4. x = (-1 + √5)/2 5. 64 6. a) 4/3 cm2 b) 104/3 cm2 7. [D] 8. [B] 9. [D] 10. [B] 11. [E] 12. [D] 13. [D] 14. [C] 15. [A] 16. [C] 17. [A] 18. [E] 19. [D] 20. [D] 21. [C] 22. [E] 23. [B] 24. [A]