GEOMETRIA ESPACIAL
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GEOMETRIA ESPACIAL
Rubens Junior Schwalemberg – CRTE - Cascavel
Matemática
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RELAÇÃO DE EULER
• História de Euler;• Poliedros;• Poliedros Convexos e Regulares;• Relação de Euler;• Relação de Euler nos poliedros
regulares;• Atividades;• Links sobre poliedros.
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HISTÓRIA DE LEONHARD EULER
• Nasceu em 15 de abril de 1707 na Basiléia Suiça;
• Em 1723 recebeu o grau de mestre em Filosofia;
• Ficou conhecido como pai da arquitetura naval por resolver o problema de encontrar a melhor maneira de colocar os mastros no navio;
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• Produziu trabalhos fundamentais em Teoria de Números, Séries, Calculo de Variações, Mecânica entre outros;
• O asteróide 2002 foi chamado Euler em sua homenagem;
• Euler foi um dos inspiradores do jogo Sodoku;
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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Leonhard_Euler.jpeg
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POLIEDROS
• POLIEDROS palavra grega que significa:
• POLI = vários
• EDROS = faces
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POLIEDROS CONVEXOS
• Dados dois pontos quaisquer de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.
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POLIEDROS REGULARES
• É um poliedro que possui todas as suas faces regiões poligonais regulares (todos os lados de mesmo tamanho). Isto é, em cada vértice se encontra o mesmo número de arestas.
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RELAÇÃO DE EULER
Dado um poliedro convexo vale a relação:
V + F = A + 2
V = vérticeF = faceA = aresta
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TETRAEDRO
F = 4, V = 4 e A = 6
Então, temos que:
4 + 4 = 6 + 2
V + F = A + 2
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HEXAEDRO
F = 6, V = 8 e A = 12
Então, temos que:
6 + 8 = 12 + 2
V + F = A + 2
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OCTAEDRO
F = 8, V = 6 e A = 12
Então, temos que:
8 + 6 = 12 + 2
V + F = A + 2
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DODECAEDRO
F = 12, V = 20 e A = 30
Então, temos que:
12 + 20 = 30 + 2
V + F = A + 2
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ICOSAEDRO
F = 20, V = 12 e A = 30
Então, temos que:
20 + 12 = 30 + 2
V + F = A + 2
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ATIVIDADES 1) Um poliedro convexo é constituído por seis
arestas e o seu número de vértices é igual ao número de faces. Quantos vértices possui o poliedro?
2) Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais. Quantos vértices possui esse poliedro?
3) Um poliedro convexo é constituído por doze vértices. E de cada vértice partem cinco arestas. Quantas faces possui esse poliedro?
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RESOLUÇÃO1) A = 6 e V = F assim, temos V – 6 + V = 2 então V = 4
2) A = F = 12
V + F = A + 2 V + 12 = 30 + 2então V = 20
3) A = V = 12, A = 30
V + F = A + 2 12 + F = 30 + 2 então F = 20
3025.12
3025.12
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LINKS SOBRE POLIEDROS• www.somatematica.com.br/emedio/
espacial/espacial7.php• www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/
gd_19t.php • http://www.profcardy.com/geodina/
espacial_platao.php• http://br.youtube.com/watch?v=AR-
aF0JB6ik