Geometria Espacial

Relação de Euler e

Soma dos ângulos das Faces

Professora: Vanessa França da Silva Evaristo

EXEMPLO 1

Um poliedro convexo possui 4 faces triangulares, 1 face quadrangular e 4 faces pentagonais. Calcular o número de arestas e vértices.

Para que uma face exista, precisamos de arestas duas a duas, daí surge a “fórmula”:

2A = xFn+ yFm + ...

Onde x, y (os valores que estão antes de F) representam a QUANTIDADE de faces de cada tipo e n, m (os valores que estão depois de F) representam o número de LADOS de cada face.

Ou seja, 4 faces triangulares = 4F3

Então:

2A = 4F3 + 1F4 + 4F5

Agora vamos multiplicar os valores antes e depois de F:

2A = 4.3 +1.4 + 4.5

2A = 12 + 4 + 20

2A = 36

A = 36/2

A = 18

Já encontramos o valor das arestas.

Agora vamos descobrir o valor das faces.

Temos 4 faces triangulares, 1 face quadrangular e 4 faces pentagonais, então temos

F = 4 + 1 + 4

F = 9

Temos que F = 9 e A = 18, então para descobrirmos o valor de V, utilizaremos a

Relação de Euler:

V + F = A + 2

V + 9 = 18 + 2

V + 9 = 20

V = 20 – 9

V = 11

EXEMPLO 2

A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720o. Determine o valor de arestas e vértices, sabendo que as possui 4 faces e são todas triangulares.

A soma dos ângulos das faces de um poliedro é dada pela fórmula:

S = (V – 2).360o

Onde V é o número de vértices e S é a soma dos ângulos das faces.

Temos que S = 720o

Então:

S = (V – 2).360

720 = (V – 2).360

720/360 = V – 2

2 = V – 2

V = 2 + 2

V = 4

Sabemos que 2A = xFn+ yFm + ...

Então temos que:

2A = 4F3

2A = 4.3

2A = 12

A = 12/2

A = 6

Espero que tenham compreendido, quaisquer dúvidas me procurem!!!

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