Geometria Espacial
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Geometria Espacial
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Projeção Ortogonal e Distância
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a
ele, conduzida pelo ponto P:
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano
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A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :
Projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre um plano
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Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
Se a reta r é perpendicular ao plano , com r intersecção em sua projeção ortogonal sobre ele é o ponto A.
Se a reta r não é perpendicular ao plano , então a projeção ortogonal de r sobre é a reta s determinada pela projeção de dois pontos distintos de r sobre .
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Exemplo:
• a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano (ABE) é o ponto A;
• a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano (ACE) é o próprio C;
• a projeção ortogonal do segmento CD sobre o plano (ABE) é o segmento AB;
• a projeção ortogonal do segmento AD sobre o plano (ABE) é o segmento AB;
• a projeção ortogonal do segmento AC sobre o plano (ABE) é o ponto A.
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A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P’, que é a intersecção de r com a reta
perpendicular a r e que passa por P.
Caso P pertença à r, sua projeção ortogonal sobre r é o próprio P.
Projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta
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Distâncias
Distância entre dois pontos
Sempre que consideramos dois pontos do espaço, A e B, é possível associar a eles um número real não-negativo. Esse número é denominado distância de A a B (ou B a A) e é indicado por AB (ou BA).
Exemplo: Na reta numérica, se o ponto A representa -2 e o B 1, então a distância AB é 3, que é o valor absoluto da diferença dos números -2 e 1.
Simbolicamente, temos: AB = |(-2) – (1)| = | -3 | = 3
Distância entre um ponto e uma reta
A distância entre um ponto P e uma reta r é a distância entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre r. Indicamos a distância de P a r por: dP’r = PP’
Exemplo: A distância do ponto C, de um cubo de aresta 3 cm, à reta AB é 3cm. A distância HB, do ponto H à reta AB, é 3 √2 cm, pois o BHD é retângulo e ,portanto, pelo teorema de Pitágoras, temos(HB)² = (DH)² + (DB)² HB = 3 √2 cm
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Distância entre uma reta e um plano paralelos
Dados um plano e uma reta r paralelos, a distância entre r e o plano é a distância entre qualquer ponto A de r ao plano .
Indicamos a distância de r a por: dr,= AA’, sendo A’ a projeção ortogonal de A sobre .
Distância entre um ponto e um plano
A distancia entre um ponto A e um plano a é a distância entre o ponto A e a sua projeção ortogonal A’ sobre a.
Indicamos a distância de A a a por: dA,a = AA’
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Distância entre dois planos paralelos
Dados dois planos e , a distância entre eles é a distância entre qualquer ponto de e o plano , ou vice-versa.
Distância entre duas retas reversas
Dadas duas retas reversas r e s, a distância entre elas é a distância entre qualquer ponte de r e o plano que contém s e é paralelo a r, ou vice-versa.
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No cubo temos que:
• a distância entre as retas paralelas EF e CD é igual à distância entre um ponto de uma delas e outra, por exemplo, entre C e EF, que é 2 cm
• a distância entre os planos (CDG) e (ABE) é 2 cm.
Exemplo
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Ângulos e diedros
Ângulos entre duas retas concorrentes
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice.
Ângulos entre retas paralelas
O ângulo ( ) formado entre retas paralelas é de 0º, já que têm mesma direção.
Ângulo entre duas retas reversas
O ângulo ( ) entre duas retas reversas r e s é o ângulo formado entre r e s’, sendo s’ uma reta paralela a s e concorrente com r.
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Ângulo entre uma reta e um plano
Se uma reta r não é perpendicular a um plano , o ângulo ( ) entre r e é o ângulo formado entre r e r’, sendo r’ a projeção ortogonal de r sobre .
No caso em que r é perpendicular ao plano , o ângulo ( ) entre r e é de 90º.
Note:
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Ângulos entre dois planos
•Se dois planos e são paralelos, então o ângulo formando entre eles é nulo (mede 0º).
•Se dois planos e são concorrentes, r é reta de intersecção entre eles, Y é um plano perpendicular à reta r, e as retas s e t são as intersecções de e com Y, respectivamente, então o ângulo entre os planos e é o ângulo formado entre as retas s e t.
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Diedro
Sejam E1 e E2 dois semiplanos de mesma origem t não contidos num mesmo plano. Chama-se diedro ou ângulo diedro à figura formada pela reunião dos semiplanos E1 e E2
Dado um diedro e um plano perpendicular à aresta do diedro, chama-se ângulo diedro à intersecção do plano com o diedro
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Exercícios
1 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).
a) a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta .
b) duas retas que tem projeções ortogonais paralelas são sempre retas paralelas.
c) a projeção ortogonal de um ângulo obtuso sobre um plano pode ser uma reta.
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Resposta
1 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).a) a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta .
Falsa
Resposta certa : a projeção ortogonal de um ponto sobre um plano sempre é um ponto
b) duas retas que tem projeções ortogonais paralelas são sempre retas paralelas.
Falsa
Resposta certa : duas retas que tem projeções ortogonais paralelas não são sempre retas paralelas
c) a projeção ortogonal de um ângulo obtuso sobre um plano pode ser uma reta.
Verdadeira
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2 - Nomeie todos os diedros da figura. Existem mais de três diedros.
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Resposta
2 - Nomeie todos os diedros da figura. Existem mais de três diedros.
Resposta:
T1 U M2
M2 U R3
R3 U K4
T1 U K4
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3 - Como pode ser a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano?
Resposta:
Pode ser uma reta ou um plano. Exemplos:
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4 - A projeção ortogonal de _________sobre um plano sempre é ________.
a)um ponto ; uma reta
c)uma reta ; uma reta
b)uma reta ; um ponto
d)um ponto ; um ponto
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Resposta:
4 - A projeção ortogonal de _________sobre um plano sempre é ________.
a)um ponto ; uma reta
c)uma reta ; uma reta
b)uma reta ; um ponto
d)um ponto ; um ponto
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