geometria analítica e álgebra linear: uma visão geométrica · Para cada aula ou conjunto de...
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AulA 1
geometria analítica e álgebra linear:uma visão geométrica
tomo ii
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Universidade Federal de Minas Gerais
reitor: Clélio Campolina diniz
vice-reitora: rocksane de Carvalho norton
Pró-reitoria de Graduação
Pró-reitora: antônia vitória soares aranha
Pró-reitor adjunto: andré luiz dos santos Cabral
diretor do Caed: Fernando Fidalgo
Coordenador da UaB-UFMG: Wagner José Corradi Barbosa
Coordenador adjunto UaG-UFMG: Hormindo Pereira de souza Júnior
editora UFMG
diretor: Wander Melo Miranda
vice-diretor: roberto alexandre do Carmo said
Conselho editorial
Wander Melo Miranda (presidente)
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Márcio Gomes soares
Maria das Graças santa Bárbara
Maria Helena damasceno e silva Megale
Paulo sérgio lacerda Beirão
roberto alexandre do Carmo said
AulA 1
Dan avritzer
geometria analítica e álgebra linear:uma visão geométrica
tomo ii
Belo Horizonte eDitora UFMG
2009
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COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO DE TEXTOS DE MATEMÁTICA: Dan Avritzer
ASSISTÊNCIA EDITORIAL: Euclídia Macedo
EDITORAÇÃO DE TEXTOS: Maria do Carmo Leite Ribeiro
REVISÃO DE PROVAS: Beatriz trindade, Cláudia Campos, Maria do Rosário Alves Pereira,
Renata Passos e Renilde Silveira
PROJETO GRÁFICO: Eduardo Ferreira
FORMATAÇÃO E CAPA: Sérgio Luz
PRODUÇÃO GRÁFICA: Warren Marilac
Editora UFMGAv. Antônio Carlos, 6627 - Ala direita da Biblioteca Central - Térreo
Campus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4650 - Fax: + 55 31 3409-4768
www.editora.ufmg.br - [email protected]
© 2009, Dan Avritzer © 2009, Editora UFMGEste livro ou parte dele não pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorização escrita do Editor.
Avritzer, DanGeometria analítica e álgebra linear: uma visão geométrica / Dan Avritzer.
– Belo Horizonte : Editora UFMG, 2009. t. 2 : il. – (Educação a distância)
Inclui bibliografia. ISBN: 978-85-7041-754-1
1. Geometria analítica. 2. Álgebra linear. I.Título. II. Série.
CDD: 371.39 CDU: 37.018.43
A963g
Elaborada pela Central de Controle de Qualidade da Catalogação da Biblioteca Universitária da UFMG
PrÓ-rEitoria dE GradUaÇÃoAv. Antônio Carlos, 6627 - Reitoria - 6º andarCampus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4054 - Fax: + 55 31 3409-4060 www.ufmg.br - [email protected] - [email protected]
Este livro recebeu o apoio financeiro da Secretaria de Educação a Distância do MEC.
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Os Cursos de Graduação da UFMG, modalidade a distância, foram concebidos tendo em vista dois princípios fundamentais. O primeiro deles se refere à democratização do acesso à educação superior; o segundo consiste na formação de profissionais de alto nível, compro-metidos com o desenvolvimento do país.
A coletânea da qual este volume faz parte visa dar suporte aos estu-dantes desses cursos. Cada volume está relacionado com um tema, eleito como estruturante na matriz curricular. Ele apresenta os conhecimentos mínimos que são considerados essenciais no estudo do tema. Isto não significa que o estudante deva se limitar somente ao estudo do volume. Ao contrário, ele é o ponto de partida na busca de um conhecimento mais amplo e aprofundado sobre o assunto. Nessa direção, cada volume apresenta uma bibliografia, com indicação de obras impressas e obras virtuais que deverão ser consultadas à medida que se fizer necessário.
Cada volume da coletânea está dividido em aulas, que consistem em unidades de estudo do tema tratado. Os objetivos, apresentados em cada início de aula, indicam as competências e habilidades que o estudante deve adquirir ao término de seu estudo. As aulas podem se constituir em apresentação, reflexões e indagações teóricas, em expe-rimentos ou em orientações para atividades a serem realizadas pelos estudantes.
Para cada aula ou conjunto de aulas, foi elaborada uma lista de exer-cícios com o objetivo de levar o estudante a avaliar o seu progresso e a desenvolver estratégias de metacognição ao se conscientizar dos diversos aspectos envolvidos em seus processos cognitivos. Essa lista auxiliará o estudante a tornar-se mais autônomo, responsável, crítico, capaz de desenvolver sua independência intelectual. Caso ela mostre que as competências e habilidades indicadas nos objetivos não foram alcançadas, ele deverá estudar com mais afinco e atenção o tema pro-posto, reorientar seus estudos ou buscar ajuda dos tutores, profes-sores especialistas e colegas.
Agradecemos a todas as instituições que colaboraram na produção desta coletânea. Em particular, agradecemos às pessoas (autores, coor-denador da produção gráfica, coordenadores de redação, desenhistas, diagramadores, revisores) que dedicaram seu tempo, e esforço na prepa ração desta obra que, temos certeza, em muito contribuirá para a educação brasileira.
Maria do Carmo VilaCoordenadora do Centro de Apoio à Educação a Distância
UFMG
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sumário
apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
aula 1 - equação cartesiana do plano no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 A equação do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Produto vetorial de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Vetores linearmente dependentes e independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Interseção de dois planos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
aula 2 - equações paramétricas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1 Equações paramétricas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Retas dadas por dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Resolvendo a geometria pela álgebra: o caso de sistemas lineares . . . . . . . . . . . 252.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
aula 3 - Posições relativas de retas e planos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1 Reta e reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Plano e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
aula - 4 Perpendicularismo e ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1 Retas e planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Retas ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
aula 5 - transformações lineares do plano no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1 Bases do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Geometria das transformações lineares do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Aplicações à computação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
aula 6 - transformações lineares mais gerais, aplicações à identificação de cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1 Transformações lineares do espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Autovetores e autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3 Diagonalização de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.4 Aplicações à identificação de cônicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
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aula 7 - estudo das superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.1 Como esboçar superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Superfícies cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3 As superfícies quádricas padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.4 As superfícies quádricas mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
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apresentação
Este livro foi escrito para ser utilizado nos cursos de Educação a distância oferecidos pela UFMG para a licenciatura em Matemática. Ele está dividido em dois tomos. No primeiro, tratamos de vetores no plano e no espaço, aplicações ao estudo das cônicas, matrizes e determinantes e sistemas de equações lineares. No segundo, trataremos da equação cartesiana de um plano no espaço, de equações paramétricas da reta no espaço, de posições relativas de retas e planos no espaço e de transformações lineares.
Estes livros estão assentados na experiência de mais de 30 anos do autor em ministrar não só a disciplina de Geometria Analítica, mas outras disciplinas de Cálculo, História da Matemática, Álgebra Abstrata e Geometria Algébrica no Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais, além da experiência de escrever um primero livro de Geometria Analítica e Álgebra Linear para a licenciatura a distância em Química ([2]).
Tal experiência talvez possa ser resumida em dois princípios bási-cos que orientaram a elaboração da obra. O primeiro é que se deve, no ensino da Matemática, respeitar a evolução histórica dos con-ceitos, explicitando para o aluno como eles evoluíram. A ideia aqui é que as dificuldades que o aluno enfrenta em seu aprendizado são, muitas vezes, semelhantes àquelas que a ciência enfrentou em sua evolução.
O segundo é que a Matemática se articula sempre em torno de exemplos, da mesma maneira que a Química e outras ciências experimentais se baseiam na experiência. Essa observação é válida, tanto nos estudos mais elementares de Matemática como na pesquisa mais sofisticada. Assim, procuramos desenvolver o texto enfatizando sempre o exemplo. Por outro lado, como este livro está voltado para alunos de Matemática, procuramos dar um tratamento mais formal demonstrando alguns resultados, principalmente no estágio final do livro.
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GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
Tivemos sempre em mente que este trabalho se destina a cursos a distância. Dessa forma, o texto possui várias características especí-ficas para ser assim utilizado. Dentre elas chamamos atenção para as seguintes:
1. Cada aula é aberta com objetivos gerais. Recomendamos que o aluno leia-os inicialmente e volte a eles no final certificando-se de que eles foram atingidos, e, se não o forem, que tente sanar a deficiência.
2. No decorrer do texto, existem exercícios. Eles foram incluídos com o objetivo de testar o entendimento do assunto tratado anterior-mente. É importante que o aluno faça esses exercícios, pois eles são necessários para o seu amadurecimento.
3. Ao final de cada aula, incluímos numerosos exercícios, ordenados por nível de dificuldade. É um pouco pessoal a escolha de quantos exercícios fazer, mas o aluno deve fazer um número suficiente para se sentir seguro do conteúdo a que eles se referem.
Finalmente, ao concluir esta apresentação, gostaríamos de agradecer ao Ministério de Educação e Cultura e a Universidade Aberta do Brasil pela oportunidade de escrever estas notas e à Profa. Maria do Carmo Vila, coordenadora do programa de ensino a distância da UFMG, pela sua eficiente coordenação do programa. Gostaria de agradecer tam-bém aos colegas Hamilton Prado Bueno, Seme Gebara Neto e Maria Cristina Ferreira pelas discussões frutíferas que tivemos sobre o texto, bem como por algumas sugestões e correções, e a Joana David Avritzer, que revisou parte do texto.
Esperamos que este livro possa ser útil a esse importante programa de formação de professores tão necessário ao desenvolvimento de nosso país.
P = (x0, y0, z0) N =(a, b, c). αN P. X = (x, y, z)
X−−→PX N. α
−−→PX · −→N = 0, (X − P ) · N = 0
((x, y, z)− (x0, y0, z0)) · (a, b, c) = 0
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AULA 1
equação cartesiana do plano no espaço
objetivosAo terminar esta aula, você deverá ser capaz de:
Deduzir a equação cartesiana de um plano no espaço, ortogonal a um 1. vetor dado e passando por um ponto.Resolver vários problemas sobre planos no espaço como, por exemplo, 2. encontrar a equação de um plano passando por três pontos.Conhecer o produto vetorial de dois vetores e suas propriedades.3. Saber o que é um conjunto de dois ou três vetores linearmente dependen-4. tes ou linearmente independentes no plano ou no espaço.
1 .1 - a equação do Plano
P = (x0, y0, z0) N =(a, b, c). αN P. X = (x, y, z)
X−−→PX N. α
−−→PX · −→N = 0, (X − P ) · N = 0
((x, y, z)− (x0, y0, z0)) · (a, b, c) = 0
P = (x0, y0, z0) N =(a, b, c). αN P. X = (x, y, z)
X−−→PX N. α
−−→PX · −→N = 0, (X − P ) · N = 0
((x, y, z)− (x0, y0, z0)) · (a, b, c) = 0
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GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
N = (a, b, c)
X= (x, y, z)
X0= (x0 , y0 , z0 )
������
������
−→N = (a, b, c)
��
(x − x0, y − y0, z − z0).(a, b, c) = 0.ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0. ax0 + by0 + cz0
d(x0, y0, z0) N = (a, b, c) :
ax + by + cz = d, d = ax0 + by0 + cz0
P = (3,−1, 7) N = (4, 2,−5).
−−→PX = X − P = (x − 3, y + 1, z − 7).
N, (x− 3, y + 1, z− 7) ·(4, 2,−5) = 0, 4x + 2y − 5z = −25.
A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) C = (3,−1, 2).ax + by + cz = d
N = (a, b, c).
(x, y, z)A,B,C
a + 2b− c = d
2a + 3b− c = d
3a− b + 2c = d
a = 32 t, b = −3
2 t, c = −52 t, d = t.
t = 2 3x− 3y− 5z = 2.
t
−→i ,−→j ,−→k
x, y, z−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0),
−→k = (0, 0, 1).
−→v = (v1, v2, v3) −→w = (w1, w2, w3)−→v −→w , −→v ×−→w ,
−→v ×−→w =
−→i
−→j
−→k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
=
= (v2w3 − w2v3)−→i − (v1w3 − w1v3)
−→j + (v1w2 − w1v2)
−→k =
= (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).
−→v ×−→w = −→w ×−→v .
−→i
−→j ,−→
i = (1, 0, 0)−→j = (0, 1, 0).
−→i ×−→j =
−→i
−→j
−→k
1 0 00 1 0
= (0
−→i + 0
−→j + 1
−→k ) =
−→k = (0, 0, 1).
Figura 1.1: A equação cartesiana de um plano no espaço
������
������
−→N = (a, b, c)
��
(x − x0, y − y0, z − z0).(a, b, c) = 0.ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0. ax0 + by0 + cz0
d(x0, y0, z0) N = (a, b, c) :
ax + by + cz = d, d = ax0 + by0 + cz0
P = (3,−1, 7) N = (4, 2,−5).
−−→PX = X − P = (x − 3, y + 1, z − 7).
N, (x− 3, y + 1, z− 7) ·(4, 2,−5) = 0, 4x + 2y − 5z = −25.
A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) C = (3,−1, 2).ax + by + cz = d
N = (a, b, c).
(x, y, z)A,B,C
a + 2b− c = d
2a + 3b− c = d
3a− b + 2c = d
a = 32 t, b = −3
2 t, c = −52 t, d = t.
t = 2 3x− 3y− 5z = 2.
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������
������
−→N = (a, b, c)
��
(x − x0, y − y0, z − z0).(a, b, c) = 0.ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0. ax0 + by0 + cz0
d(x0, y0, z0) N = (a, b, c) :
ax + by + cz = d, d = ax0 + by0 + cz0
P = (3,−1, 7) N = (4, 2,−5).
−−→PX = X − P = (x − 3, y + 1, z − 7).
N, (x− 3, y + 1, z− 7) ·(4, 2,−5) = 0, 4x + 2y − 5z = −25.
A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) C = (3,−1, 2).ax + by + cz = d
N = (a, b, c).
(x, y, z)A,B,C
a + 2b− c = d
2a + 3b− c = d
3a− b + 2c = d
a = 32 t, b = −3
2 t, c = −52 t, d = t.
t = 2 3x− 3y− 5z = 2.
t
−→i ,−→j ,−→k
x, y, z−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0),
−→k = (0, 0, 1).
−→v = (v1, v2, v3) −→w = (w1, w2, w3)−→v −→w , −→v ×−→w ,
−→v ×−→w =
−→i
−→j
−→k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
=
= (v2w3 − w2v3)−→i − (v1w3 − w1v3)
−→j + (v1w2 − w1v2)
−→k =
= (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).
−→v ×−→w = −→w ×−→v .
−→i
−→j ,−→
i = (1, 0, 0)−→j = (0, 1, 0).
−→i ×−→j =
−→i
−→j
−→k
1 0 00 1 0
= (0
−→i + 0
−→j + 1
−→k ) =
−→k = (0, 0, 1).
1 .2 - Produto vetorial de dois vetores
������
������
−→N = (a, b, c)
��
(x − x0, y − y0, z − z0).(a, b, c) = 0.ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0. ax0 + by0 + cz0
d(x0, y0, z0) N = (a, b, c) :
ax + by + cz = d, d = ax0 + by0 + cz0
P = (3,−1, 7) N = (4, 2,−5).
−−→PX = X − P = (x − 3, y + 1, z − 7).
N, (x− 3, y + 1, z− 7) ·(4, 2,−5) = 0, 4x + 2y − 5z = −25.
A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) C = (3,−1, 2).ax + by + cz = d
N = (a, b, c).
(x, y, z)A,B,C
a + 2b− c = d
2a + 3b− c = d
3a− b + 2c = d
a = 32 t, b = −3
2 t, c = −52 t, d = t.
t = 2 3x− 3y− 5z = 2.
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GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
−→j ×−→i .
−→j ×−→i =
−→i
−→j
−→k
0 1 01 0 0
= (0
−→i + 0
−→j − 1
−→k ) = −
−→k = (0, 0,−1).
−→j ×
−→k
−→k ×−→j−→i ×
−→k
−→k ×−→i(1,−2, 3)× (2, 5, 7)
(2, 5, 7)× (1,−2, 3)
−→v = (v1, v2, v3) −→w = (w1, w2, w3)c = 0 −→w = c−→v .
−→x = −→v × −→w−→y = −→w × −→v −→x
−→v −→w −→y = −−→x .
−→x = −→v ×−→w =
−→i
−→j
−→k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
=
= (v2w3 − w2v3)−→i − (v1w3 − w1v3)
−→j + (v1w2 − w1v2)
−→k =
= (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w3 − w1v3) =
−→x .−→v −→x .−→w .A B
A.B = 0.
−→x .−→v = (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(v1, v2, v3) =
= v1v2w3 − v1w2v3 − v2v1w3 + v2w1v3 + v3v1w2 − v3w1v2 = 0.
−→x .−→w = (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(w1, w2, w3) =
= w1v2w3 − w1w2v3 − w2v1w3 + w2w1v3 + w3v1w2 − w3w1v2 = 0.−→x −→v −→w .
a
−→y = −→w ×−→v =
−→i
−→j
−→k
w1 w2 w3
v1 v2 v3
=
= (w2v3 − v2w3)−→i − (w1v3 − v1w3)
−→j + (w1v2 − v1w2)
−→k =
= (w2v3 − v2w3,−(w1v3 − v1w3), w1v2 − v1w2) = −−→xx = 0 y = 0
v = cw c = 0.
A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) (3,−1, 2).−→v = B − A =
(1, 1, 0) −→w = C − A = (2,−3, 3). N = −→v × −→w
N = −→v ×−→w =
−→i
−→j
−→k
1 1 02 −3 3
= (3,−3,−3,−2) = (3,−3,−5).
N B
(3,−3,−5).(x− 2, y − 3, z + 1) = 0, ouseja, 3x− 3y − 5z = 2.
(1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 0, 1).(1, 1, 0), (0, 1,−2) (3, 0, 1).(1, 1, 1), (−2, 1, 3) (0, 2, 7).
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15
AulA 1
−→j ×−→i .
−→j ×−→i =
−→i
−→j
−→k
0 1 01 0 0
= (0
−→i + 0
−→j − 1
−→k ) = −
−→k = (0, 0,−1).
−→j ×
−→k
−→k ×−→j−→i ×
−→k
−→k ×−→i(1,−2, 3)× (2, 5, 7)
(2, 5, 7)× (1,−2, 3)
−→v = (v1, v2, v3) −→w = (w1, w2, w3)c = 0 −→w = c−→v .
−→x = −→v × −→w−→y = −→w × −→v −→x
−→v −→w −→y = −−→x .
−→x = −→v ×−→w =
−→i
−→j
−→k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
=
= (v2w3 − w2v3)−→i − (v1w3 − w1v3)
−→j + (v1w2 − w1v2)
−→k =
= (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w3 − w1v3) =
−→x .−→v −→x .−→w .A B
A.B = 0.
−→x .−→v = (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(v1, v2, v3) =
= v1v2w3 − v1w2v3 − v2v1w3 + v2w1v3 + v3v1w2 − v3w1v2 = 0.
−→x .−→w = (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(w1, w2, w3) =
= w1v2w3 − w1w2v3 − w2v1w3 + w2w1v3 + w3v1w2 − w3w1v2 = 0.−→x −→v −→w .
a
−→y = −→w ×−→v =
−→i
−→j
−→k
w1 w2 w3
v1 v2 v3
=
= (w2v3 − v2w3)−→i − (w1v3 − v1w3)
−→j + (w1v2 − v1w2)
−→k =
= (w2v3 − v2w3,−(w1v3 − v1w3), w1v2 − v1w2) = −−→xx = 0 y = 0
v = cw c = 0.
A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) (3,−1, 2).−→v = B − A =
(1, 1, 0) −→w = C − A = (2,−3, 3). N = −→v × −→w
N = −→v ×−→w =
−→i
−→j
−→k
1 1 02 −3 3
= (3,−3,−3,−2) = (3,−3,−5).
N B
(3,−3,−5).(x− 2, y − 3, z + 1) = 0, ouseja, 3x− 3y − 5z = 2.
(1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 0, 1).(1, 1, 0), (0, 1,−2) (3, 0, 1).(1, 1, 1), (−2, 1, 3) (0, 2, 7).
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16
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
v
u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv. u v
u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.
(1, 1) (−1,−1)y = x.
(1, 1) = −1(−1,−1). (1, 1)(−1, 1)
xy.
v, w
k = 0 w = kvw = kv k = 0.
u = (1, 0) v = (5, 0).
u = (1, 0) v = (0, 2).
u = (1, 0) v = (−1, 0).
u = (1, 1) v = (1,−1).
u = (1, 2, 1) v = (2, 1, 7).
u = (0, 0, 1) v = (0, 1, 0).
u = (−1, 2, 3) v = (1,−2,−3).
1 .3 - vetores linearmente dePendentes e indePendentes
xy
{−→i ,−→j ,−→k }
ax + by + cz = 0
−→i , a = 0.
−→j ,
b = 0,−→k , c = 0.
{−→i ,−→j , (1, 1, 0)}
z = 0.
n v1, . . . , vn,(n = 2 n = 3)
aivi = 0
a1 = a2 = · · · = an = 0.{v1, v2, . . . , vn}
a1, a2 a1v1+a2v2 = 0,v1, v2 a1, a2 v2 = −a1
a2v1
a1, a2, a3 a1v1+a2v2+a3v3 = 0, v1, v2, v3 a1, a2, a3
a3
v3 = −a1a3
v1 − a2a3
v2, v1, v2, v3
v1 = (v11, v12, v13), v2 = (v21, v22, v23), v3 =
(v31, v32, v33) A =
v11 v12 v13
v21 v22 v23
v31 v32 v33
.
Det(A) = 0 Det(A) = 0
No que segue, pensaremos sempre em um vetor v com o ponto inicial na origem. Como, de acordo com a Observação 2.9 (Aula 2, Tomo I), isso é sempre possível, não perderemos generalidade assim procedendo.
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17
AulA 1
v
u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv. u v
u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.
(1, 1) (−1,−1)y = x.
(1, 1) = −1(−1,−1). (1, 1)(−1, 1)
xy.
v, w
k = 0 w = kvw = kv k = 0.
u = (1, 0) v = (5, 0).
u = (1, 0) v = (0, 2).
u = (1, 0) v = (−1, 0).
u = (1, 1) v = (1,−1).
u = (1, 2, 1) v = (2, 1, 7).
u = (0, 0, 1) v = (0, 1, 0).
u = (−1, 2, 3) v = (1,−2,−3).
xy
{−→i ,−→j ,−→k }
ax + by + cz = 0
−→i , a = 0.
−→j ,
b = 0,−→k , c = 0.
{−→i ,−→j , (1, 1, 0)}
z = 0.
n v1, . . . , vn,(n = 2 n = 3)
aivi = 0
a1 = a2 = · · · = an = 0.{v1, v2, . . . , vn}
a1, a2 a1v1+a2v2 = 0,v1, v2 a1, a2 v2 = −a1
a2v1
a1, a2, a3 a1v1+a2v2+a3v3 = 0, v1, v2, v3 a1, a2, a3
a3
v3 = −a1a3
v1 − a2a3
v2, v1, v2, v3
v1 = (v11, v12, v13), v2 = (v21, v22, v23), v3 =
(v31, v32, v33) A =
v11 v12 v13
v21 v22 v23
v31 v32 v33
.
Det(A) = 0 Det(A) = 0
xy
{−→i ,−→j ,−→k }
ax + by + cz = 0
−→i , a = 0.
−→j ,
b = 0,−→k , c = 0.
{−→i ,−→j , (1, 1, 0)}
z = 0.
n v1, . . . , vn,(n = 2 n = 3)
aivi = 0
a1 = a2 = · · · = an = 0.{v1, v2, . . . , vn}
a1, a2 a1v1+a2v2 = 0,v1, v2 a1, a2 v2 = −a1
a2v1
a1, a2, a3 a1v1+a2v2+a3v3 = 0, v1, v2, v3 a1, a2, a3
a3
v3 = −a1a3
v1 − a2a3
v2, v1, v2, v3
v1 = (v11, v12, v13), v2 = (v21, v22, v23), v3 =
(v31, v32, v33) A =
v11 v12 v13
v21 v22 v23
v31 v32 v33
.
Det(A) = 0 Det(A) = 0
No que segue, pensaremos sempre em um vetor v com o ponto inicial na origem. Como, de acordo com a Observação 2.9 (Aula 2, Tomo I), isso é sempre possível, não perderemos generalidade assim procedendo.
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18
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
v1, v2, v3 v3 = a1v1 + a2v2.
Det(A) =
v1
v2
v3
=
v1
v2
a1v1 + a2v2
= 0,
v1, v2, v3
�x1 x2 x3
v1
v2
v3
=
0 x1 = x2 = x3 = 0. Det(A) =0
α ax + by + cz = dN = (a, b, c).
N α.
α ax+ by +cz = d N = (a, b, c)β ax + by + cz = d N = (a, b, c).N N α β
N N
k = 0 N = kN, (a, b, c) =k(a, b, c). α β
α := ax + by + cz = d β := kax + kby + kcz = d
α β (x0, y0, z0)ax0 + by0 + cz0 = d kax0 + kby0 + kcz0 = d kd = d.k = 0 α = β. kax0 + kby0 + kcz0 = d,
(x0, y0, z0) α. kd = d,kd− d = 0. α β
ax + by + cz = d
kax + kby + kcz = d
a k
ax + by + cz = d
0 = kd− d
kd − d = 0α β
3x + 2y + 5z = 8 6x + 4y + 10z = 6
2x + 3y + 10z = 0 2x + 3y + 10z = 1
x + y + z = 9 9x + 9y + 9z = 81
αax + by + cz = d N = (a, b, c)β ax + by + cz = d N = (a, b, c).
N N
N = kN k.
α β
ax + by + cz = d
ax + by + cz = d
a a, a a
aax + aby + acz = ad
aax + bay + caz = ad
aax + aby + acz = ad
(ab− ba)y + (ac− ca)z = ad− ad
N N
(ab − ba) (ac − ca)N = aN.
ab−ba = 0. (ac−ca) = 0z
1 .4 - interseção de dois Planos no esPaço
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19
AulA 1
v1, v2, v3 v3 = a1v1 + a2v2.
Det(A) =
v1
v2
v3
=
v1
v2
a1v1 + a2v2
= 0,
v1, v2, v3
�x1 x2 x3
v1
v2
v3
=
0 x1 = x2 = x3 = 0. Det(A) =0
α ax + by + cz = dN = (a, b, c).
N α.
α ax+ by +cz = d N = (a, b, c)β ax + by + cz = d N = (a, b, c).N N α β
N N
k = 0 N = kN, (a, b, c) =k(a, b, c). α β
α := ax + by + cz = d β := kax + kby + kcz = d
α β (x0, y0, z0)ax0 + by0 + cz0 = d kax0 + kby0 + kcz0 = d kd = d.k = 0 α = β. kax0 + kby0 + kcz0 = d,
(x0, y0, z0) α. kd = d,kd− d = 0. α β
ax + by + cz = d
kax + kby + kcz = d
a k
ax + by + cz = d
0 = kd− d
kd − d = 0α β
3x + 2y + 5z = 8 6x + 4y + 10z = 6
2x + 3y + 10z = 0 2x + 3y + 10z = 1
x + y + z = 9 9x + 9y + 9z = 81
αax + by + cz = d N = (a, b, c)β ax + by + cz = d N = (a, b, c).
N N
N = kN k.
α β
ax + by + cz = d
ax + by + cz = d
a a, a a
aax + aby + acz = ad
aax + bay + caz = ad
aax + aby + acz = ad
(ab− ba)y + (ac− ca)z = ad− ad
N N
(ab − ba) (ac − ca)N = aN.
ab−ba = 0. (ac−ca) = 0z
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GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
P0 = (x0, y0, z0)−→vd = (a, b, c). (x, y, z)
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)
. −→vd = (a, b, c)
r(1, 2,−3) (4, 5,−7).
r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)
x = 1 + 4t y = 2 + 5t z = −3− 7t
1 .5 - exercícios
P−→n :
P = (2,−1, 1) n = (−1, 1, 2).
P = (−1, 3, 2) n = (0, 4,−1).
P = (2,−1, 5) n = (−1,−1,−1).
P = (π − 1, 3,−1) n = (π,−3, 7).
P,Q, R
P = (1,−2, 1) Q = (1, 0, 2) R = (−1, 2, 4).
P = (−2, 1, 3) Q = (1, 0,−2) R = (1, 1, 4).
u× v2 = u2v2 − (u.v)2.
u× v = uvsen(θ),
θ u v.
R3
(4,−1, 2), (−4, 10, 2).
(−3, 0, 4), (5,−1, 2), (1, 1, 3).
(8,−1, 3), (−4, 12 ,−32).
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AULA 2
equações paramétricas da reta
objetivosAo terminar esta aula, você deverá ser capaz de:
Saber o que são equações paramétricas.1. Representar uma reta no espaço por equações paramétricas.2. Resolver problemas sobre retas no espaço tais como encontrar as equações 3. paramétricas da reta que passa por dois pontos ou determinar a interseção de uma reta, dada por equações paramétricas, com um plano, dado por uma equação cartesiana.
2 .1 - equações Paramétricas da reta
P0 = (x0, y0, z0)−→vd = (a, b, c). (x, y, z)
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)
. −→vd = (a, b, c)
r(1, 2,−3) (4, 5,−7).
r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)
x = 1 + 4t y = 2 + 5t z = −3− 7t
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22
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
�����
z
y
x
tt
(x, y, z)t (x, y, z)
t 0 1 2 −1(x, y, z) (1, 2,−3) (5, 7,−10) (9, 12,−17) (−3,−3, 4)
P1 = (5, 7,−10). s P1
r
s := (x, y, z) = (5, 7,−10) + t(4, 5,−7)
r s P1.t = −1 (1, 2,−3) r.
r = s!u P0 = (1, 2,−3)
r r2(4, 5,−7) = (8, 10,−14)
u := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(8, 10,−14)
t = 12 Q u, Q = (5, 7,−10) ∈ r.
r = u.r P0 vd.
vd vd = kvd, k = 0.
r
r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)
α −x + 2y + z = 2.r x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = −3 − 7t.
−1− 4t + 2(2 + 5t) + (−3− 7t) = 2,
t = −2. X0
r α, X0 = (−7,−8, 11).
r
r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−6)
α −x + 2y + z = 2. rx = 1+4t, y = 2+5t, z = −3−6t.
−1− 4t + 2(2 + 5t) + (−3− 6t) = 2,
0t = 2. t
r
r := (x, y, z) = (−3, 1,−3) + t(4, 5,−6)
α −x + 2y + z = 2. rx = −3 + 4t, y = 1 + 5t, z = −3 − 6t.
3− 4t + 2(1 + 5t) + (−3− 6t) = 2,
2 = 2. t
z
y
x
Figura 2.1: Equação paramétrica da reta
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AulA 2
�����
z
y
x
tt
(x, y, z)t (x, y, z)
t 0 1 2 −1(x, y, z) (1, 2,−3) (5, 7,−10) (9, 12,−17) (−3,−3, 4)
P1 = (5, 7,−10). s P1
r
s := (x, y, z) = (5, 7,−10) + t(4, 5,−7)
r s P1.t = −1 (1, 2,−3) r.
r = s!u P0 = (1, 2,−3)
r r2(4, 5,−7) = (8, 10,−14)
u := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(8, 10,−14)
t = 12 Q u, Q = (5, 7,−10) ∈ r.
r = u.r P0 vd.
vd vd = kvd, k = 0.
r
r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)
α −x + 2y + z = 2.r x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = −3 − 7t.
−1− 4t + 2(2 + 5t) + (−3− 7t) = 2,
t = −2. X0
r α, X0 = (−7,−8, 11).
r
r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−6)
α −x + 2y + z = 2. rx = 1+4t, y = 2+5t, z = −3−6t.
−1− 4t + 2(2 + 5t) + (−3− 6t) = 2,
0t = 2. t
r
r := (x, y, z) = (−3, 1,−3) + t(4, 5,−6)
α −x + 2y + z = 2. rx = −3 + 4t, y = 1 + 5t, z = −3 − 6t.
3− 4t + 2(1 + 5t) + (−3− 6t) = 2,
2 = 2. t
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24
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
2x + 3y + 5z = 02x + 3y + 5z = 6
2x + 3y + 5z = 04x + 6y − 7z = 6
2x + 3y + 5z = 14x + 6y + 10z = 2
2x + y − 2z = 103x + 2y + 2z = 15x + 4y + 3z = 4
x = 1, y = 2, z = −3.
2x + y − 2z = 103x + 2y + 2z = 1
5x + 3y = 11
2 1 −2 103 2 2 15 3 0 11
.
α :=−x + 2y + z = 0 β := 2x + 3y − z = 6
−x + 2y + z = 02x + 3y − z = 6
a 2 a
−x + 2y + z = 00 + 7y + z = 6
a −1
1 −2 −1 00 7 1 6
.
a 7 a
(2, 2) 1 −2 −1 00 1 1
767
.
(1, 2)
1 0 −5
7127
0 1 17
67
,
z z = t
y =67− 1
7t x =
127
+57t
α β
(x, y, z) = (127
,67, 0) + t(−1
7,57, 1),
(127 , 6
7 , 0)(−1
7 ,57 , 1).
2 .2 - retas dadas Por dois Planos
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AulA 2
2x + 3y + 5z = 02x + 3y + 5z = 6
2x + 3y + 5z = 04x + 6y − 7z = 6
2x + 3y + 5z = 14x + 6y + 10z = 2
2x + y − 2z = 103x + 2y + 2z = 15x + 4y + 3z = 4
x = 1, y = 2, z = −3.
2x + y − 2z = 103x + 2y + 2z = 1
5x + 3y = 11
2 1 −2 103 2 2 15 3 0 11
.
α :=−x + 2y + z = 0 β := 2x + 3y − z = 6
−x + 2y + z = 02x + 3y − z = 6
a 2 a
−x + 2y + z = 00 + 7y + z = 6
a −1
1 −2 −1 00 7 1 6
.
a 7 a
(2, 2) 1 −2 −1 00 1 1
767
.
(1, 2)
1 0 −5
7127
0 1 17
67
,
z z = t
y =67− 1
7t x =
127
+57t
α β
(x, y, z) = (127
,67, 0) + t(−1
7,57, 1),
(127 , 6
7 , 0)(−1
7 ,57 , 1).
2 .3 - resolvendo a geometria Pela álgebra: o caso de sistemas lineares
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GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
a −32 −5
2
2 1 −2 103 2 2 15 3 0 11
2 1 −2 100 1 10 −280 1 10 −28
a
2 1 −2 100 1 10 −280 0 0 0
x + y − z = 0x + y − z = 6x + y − z = 2
2x + 3y + 5z = 04x + 6y − 7z = 66x + 9y − 2z = 6
10x + 15y − 9z = 12
2x + 3y + 5z = 14x + 6y + 10z = 2
20x + 30y + 50z = 10
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27
AulA 2
a −32 −5
2
2 1 −2 103 2 2 15 3 0 11
2 1 −2 100 1 10 −280 1 10 −28
a
2 1 −2 100 1 10 −280 0 0 0
x + y − z = 0x + y − z = 6x + y − z = 2
2x + 3y + 5z = 04x + 6y − 7z = 66x + 9y − 2z = 6
10x + 15y − 9z = 12
2x + 3y + 5z = 14x + 6y + 10z = 2
20x + 30y + 50z = 10
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28
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
r :=−→X = P1 + λ
−→A1 s :=
−→X = P2 + λ
−→A2
−→X = (x, y, z) r s
P1 P2−→A1−→
A2
A BA B.
B −A.
A = (2,−1, 1) B = (−1, 1, 2).
A = (−1, 3, 2) B = (0, 4,−1).
A = (2,−1, 5) B = (−1, 1, 1).
A = (π, 3,−1) B = (2π,−3, 7).
(1,−2, 1)(x, y, z) = (1, 0, 2) + t(−1, 2, 4).
(1,−2, 3) x + y + z = 1.
(1,−2, 3) (1, 2, 2).
r := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(−1, 2, 1) s := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, 2, 3).
r := (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(−2, 2, 1) s := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1,−1, 3).
(−1,−1, 2).
x + y + z = 1 x− y − 2z = 0 (−1, 2, 3).
x + y + z = 1(−1,−2, 3).
x + y + z = 1(1, 1,−1) (2, 2,−3)
(−1, 2, 3).
2 .4 - exercícios
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AULA 3
Posições relativas de retas e planos no espaço
objetivosAo terminar esta aula, você deverá ser capaz de:
Determinar a posição relativa de duas retas a partir do estudo de seus ve-1. tores diretores. Saber quando dois ou mais planos são ou não paralelos a partir do estudo 2. de seus vetores normais. Determinar a posição relativa de um plano e uma reta no espaço.3.
3 .1 - reta e reta
r :=−→X = P1 + λ
−→A1 s :=
−→X = P2 + λ
−→A2
−→X = (x, y, z) r s
P1 P2−→A1−→
A2
A BA B.
B −A.
A = (2,−1, 1) B = (−1, 1, 2).
A = (−1, 3, 2) B = (0, 4,−1).
A = (2,−1, 5) B = (−1, 1, 1).
A = (π, 3,−1) B = (2π,−3, 7).
(1,−2, 1)(x, y, z) = (1, 0, 2) + t(−1, 2, 4).
(1,−2, 3) x + y + z = 1.
(1,−2, 3) (1, 2, 2).
r := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(−1, 2, 1) s := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, 2, 3).
r := (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(−2, 2, 1) s := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1,−1, 3).
(−1,−1, 2).
x + y + z = 1 x− y − 2z = 0 (−1, 2, 3).
x + y + z = 1(−1,−2, 3).
x + y + z = 1(1, 1,−1) (2, 2,−3)
(−1, 2, 3).
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30
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
−→A1
−→A2.
P1 P2 r s−−−→P1P2.−−−→
P1P2,−→A1,
−→A2.
r s
r s
r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=
−→X = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 1)
A1 =(0, 1, 3) A2 = (1, 1, 1). k = 0 A2 = kA1.A1, A2 P1 = (1, 2, 3) ∈ r P2 =(0, 1, 0) ∈ s
−−−→P1P2 = P2−P1 = (0, 1, 0)− (1, 2, 3) =
(−1,−1,−3). {−→A1,
−→A2,
−−−→P1P2}
A =
−→A1−→A2−−−→
P1P2
. Det(A) = 0
0 1 31 1 1−1 −1 −3
= −1(−3 + 1) + 3(−1 + 1) = 2 = 0
r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=
−→X = (1, 3, 6) + µ(0, 2, 6)
A1 =(0, 1, 3) A2 = (0, 2, 6). k = 0 A2 = kA1,
k = 2. A1, A2
P1 = (1, 2, 3) ∈ r.P1 ∈ s (1, 2, 3) = (1, 3, 6)+µ(0, 2, 6)
1 = 1, 2 = 3 + 2µ 3 = 6 + 6µ.µ = −1
2 . r = s
r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=
−→X = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)
A1 =(0, 1, 3) A2 = (0,−1, 1). k = 0 A2 = kA1.
A1, A2 P1 = (1, 2, 3) ∈ r P2 =(1, 5, 0) ∈ s
−−−→P1P2 = P2−P1 = (1, 5, 0)− (1, 2, 3) =
(0, 3,−3). {−→A1,−→A2,
−−−→P1P2}
0 1 30 −1 10 3 −3
= 0, .
P1A1
P2
A2
Figura 3.1: Retas em um mesmo plano
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31
AulA 3
−→A1
−→A2.
P1 P2 r s−−−→P1P2.−−−→
P1P2,−→A1,
−→A2.
r s
r s
r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=
−→X = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 1)
A1 =(0, 1, 3) A2 = (1, 1, 1). k = 0 A2 = kA1.A1, A2 P1 = (1, 2, 3) ∈ r P2 =(0, 1, 0) ∈ s
−−−→P1P2 = P2−P1 = (0, 1, 0)− (1, 2, 3) =
(−1,−1,−3). {−→A1,
−→A2,
−−−→P1P2}
A =
−→A1−→A2−−−→
P1P2
. Det(A) = 0
0 1 31 1 1−1 −1 −3
= −1(−3 + 1) + 3(−1 + 1) = 2 = 0
r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=
−→X = (1, 3, 6) + µ(0, 2, 6)
A1 =(0, 1, 3) A2 = (0, 2, 6). k = 0 A2 = kA1,
k = 2. A1, A2
P1 = (1, 2, 3) ∈ r.P1 ∈ s (1, 2, 3) = (1, 3, 6)+µ(0, 2, 6)
1 = 1, 2 = 3 + 2µ 3 = 6 + 6µ.µ = −1
2 . r = s
r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=
−→X = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)
A1 =(0, 1, 3) A2 = (0,−1, 1). k = 0 A2 = kA1.
A1, A2 P1 = (1, 2, 3) ∈ r P2 =(1, 5, 0) ∈ s
−−−→P1P2 = P2−P1 = (1, 5, 0)− (1, 2, 3) =
(0, 3,−3). {−→A1,−→A2,
−−−→P1P2}
0 1 30 −1 10 3 −3
= 0, .
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32
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
P
(1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)
(0,−3, 3) + (0, λ, 3λ)− (0,−µ, µ) = 0
0 = 0 − 3 + λ + µ = 0 3 + 3λ− µ = 0
λ = 0 µ = 3. λ r µ sP P = (1, 2, 3).
λ µ
2x + 2y − 2z = 0x + y − z = 6
5x + 5y − 5z = 2
x, y, z
3 .2 - Plano e Plano
math2.indd 32 20/5/2009 08:24:14
33
P
(1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)
(0,−3, 3) + (0, λ, 3λ)− (0,−µ, µ) = 0
0 = 0 − 3 + λ + µ = 0 3 + 3λ− µ = 0
λ = 0 µ = 3. λ r µ sP P = (1, 2, 3).
λ µ
2x + 2y − 2z = 0x + y − z = 6
5x + 5y − 5z = 2
x, y, z
A B
A = (2,−1, 1) B = (−1, 1, 2).
A = (−1, 3, 2) B = (0, 4,−1).
A = (2,−1, 5) B = (−1, 1, 1).
x+ 2y + 2z = 1 x+ 2y + 2z = 2 x+ 2y + 2z = 5.
r := (x, y, z) = (1,−1, 2) + t(1, 2, 5) α := 2x+ 4y + 4z = 5.
r := (x, y, z) = (1,−1, 2) + t(−2,−2, 4) α := 2x+ 2y + z = 5.
r := (x, y, z) = (1, 1, 2) + t(1, 4, 5) α := −2x− 4y + 4z = 5.
mr x−my + 1 = 0 z − y + 1 = 0s (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1,m, 1)
3 .3 - exercícios
AulA 3
math2.indd 33 20/5/2009 08:24:15
r αr α.
α x−2y+3z = 0P = (−1, 2, 1) r P
α. α N = (1,−2, 3).
r
r :=
x = −1 + λy = 2− 2λz = 1 + 3λ
math2.indd 34 20/5/2009 08:24:15
AULA 4
Perpendicularismo e ortogonalidade
objetivosAo terminar esta aula, você deverá ser capaz de:
Saber quando uma reta é perpendicular a um plano. 1. Saber quando duas retas são ortogonais. 2. Determinar a equação de uma reta perpendicular simultaneamente a duas 3. retas dadas.
4 .1 - retas e Planos PerPendiculares
r αr α.
α x−2y+3z = 0P = (−1, 2, 1) r P
α. α N = (1,−2, 3).
r
r :=
x = −1 + λy = 2− 2λz = 1 + 3λ
math2.indd 35 20/5/2009 08:24:16
36
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
2x − 3y + z = 14x− 6y + 2z = 4.
N1 = (2,−3, 1) N2 =(4,−6, 2). r
r :=
x = −1 + 4λy = 2− 6λz = 1 + 2λ
α := x+2z = 14r 2x− y− z = 0 2x+ y− z = 0
N1 = (2,−1,−1) N2 =(2, 1,−1). N1 ×N2 vd
r
vd =−→N1 ×
−→N2 =
−→i
−→j
−→k
2 −1 −12 1 −1
= (2, 0, 4).
α (2, 0, 4). rα.
rP = (−1, 3, 1) s
x = 1 + 2λ, y = 1 + 3λ, z = λ
s Q = (1 + 2λ, 1 + 3λ, λ)vd = (2, 3, 1).
PQ = Q−P = (1+2λ+1, 1+3λ− 3, λ− 1) = (2λ+2, 3λ− 2, λ− 1)
PQ.vd = 0,4λ + 4 + 9λ − 6 + λ − 1 = 0, λ = 3
14 .r PQ = (34
14 ,−1914 ,−
1114).
r
x = −1 + 34t, y = 3− 19t, z = 1− 11t
t
r :=
x = 2 + λy = λz = −1 + λ
s :=
x = µy = 2− µz = 0
r :=−→X = (2 + λ, λ,−1 + λ)
s :=−→X = (µ, 2− µ, 0).
P r Q s.−−→PQ
PQ = Q− P = (µ− 2− λ, 2− µ− λ, 1− λ).
−−→PQ
r s,
−−→PQ.(1, 1, 1) = 0 µ− 2− λ + 2− µ− λ + 1− λ = 0
−−→PQ.(1,−1, 0) = 0 µ− 2− λ− 2 + µ + λ = 0.
λ = 13 µ = 2.
λ r,P r t,
P = (2, 0,−1) +13(1, 1, 1) = (
73,13,−2
3).
Q = (2, 0, 0). t
t :=−→X = (2, 0, 0) + ν(
13,13,−2
3).
4 .2 - retas ortogonais
2x − 3y + z = 14x− 6y + 2z = 4.
N1 = (2,−3, 1) N2 =(4,−6, 2). r
r :=
x = −1 + 4λy = 2− 6λz = 1 + 2λ
α := x+2z = 14r 2x− y− z = 0 2x+ y− z = 0
N1 = (2,−1,−1) N2 =(2, 1,−1). N1 ×N2 vd
r
vd =−→N1 ×
−→N2 =
−→i
−→j
−→k
2 −1 −12 1 −1
= (2, 0, 4).
α (2, 0, 4). rα.
rP = (−1, 3, 1) s
x = 1 + 2λ, y = 1 + 3λ, z = λ
s Q = (1 + 2λ, 1 + 3λ, λ)vd = (2, 3, 1).
PQ = Q−P = (1+2λ+1, 1+3λ− 3, λ− 1) = (2λ+2, 3λ− 2, λ− 1)
PQ.vd = 0,4λ + 4 + 9λ − 6 + λ − 1 = 0, λ = 3
14 .r PQ = (34
14 ,−1914 ,−
1114).
r
x = −1 + 34t, y = 3− 19t, z = 1− 11t
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37
AulA 4
2x − 3y + z = 14x− 6y + 2z = 4.
N1 = (2,−3, 1) N2 =(4,−6, 2). r
r :=
x = −1 + 4λy = 2− 6λz = 1 + 2λ
α := x+2z = 14r 2x− y− z = 0 2x+ y− z = 0
N1 = (2,−1,−1) N2 =(2, 1,−1). N1 ×N2 vd
r
vd =−→N1 ×
−→N2 =
−→i
−→j
−→k
2 −1 −12 1 −1
= (2, 0, 4).
α (2, 0, 4). rα.
rP = (−1, 3, 1) s
x = 1 + 2λ, y = 1 + 3λ, z = λ
s Q = (1 + 2λ, 1 + 3λ, λ)vd = (2, 3, 1).
PQ = Q−P = (1+2λ+1, 1+3λ− 3, λ− 1) = (2λ+2, 3λ− 2, λ− 1)
PQ.vd = 0,4λ + 4 + 9λ − 6 + λ − 1 = 0, λ = 3
14 .r PQ = (34
14 ,−1914 ,−
1114).
r
x = −1 + 34t, y = 3− 19t, z = 1− 11t
t
r :=
x = 2 + λy = λz = −1 + λ
s :=
x = µy = 2− µz = 0
r :=−→X = (2 + λ, λ,−1 + λ)
s :=−→X = (µ, 2− µ, 0).
P r Q s.−−→PQ
PQ = Q− P = (µ− 2− λ, 2− µ− λ, 1− λ).
−−→PQ
r s,
−−→PQ.(1, 1, 1) = 0 µ− 2− λ + 2− µ− λ + 1− λ = 0
−−→PQ.(1,−1, 0) = 0 µ− 2− λ− 2 + µ + λ = 0.
λ = 13 µ = 2.
λ r,P r t,
P = (2, 0,−1) +13(1, 1, 1) = (
73,13,−2
3).
Q = (2, 0, 0). t
t :=−→X = (2, 0, 0) + ν(
13,13,−2
3).
2x − 3y + z = 14x− 6y + 2z = 4.
N1 = (2,−3, 1) N2 =(4,−6, 2). r
r :=
x = −1 + 4λy = 2− 6λz = 1 + 2λ
α := x+2z = 14r 2x− y− z = 0 2x+ y− z = 0
N1 = (2,−1,−1) N2 =(2, 1,−1). N1 ×N2 vd
r
vd =−→N1 ×
−→N2 =
−→i
−→j
−→k
2 −1 −12 1 −1
= (2, 0, 4).
α (2, 0, 4). rα.
rP = (−1, 3, 1) s
x = 1 + 2λ, y = 1 + 3λ, z = λ
s Q = (1 + 2λ, 1 + 3λ, λ)vd = (2, 3, 1).
PQ = Q−P = (1+2λ+1, 1+3λ− 3, λ− 1) = (2λ+2, 3λ− 2, λ− 1)
PQ.vd = 0,4λ + 4 + 9λ − 6 + λ − 1 = 0, λ = 3
14 .r PQ = (34
14 ,−1914 ,−
1114).
r
x = −1 + 34t, y = 3− 19t, z = 1− 11t
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38
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.
u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.
r s
r :=
x = 1 + λy = 2 + 2λz = 3 + λ
s :=
x = 2− λy = 4 + λz = 4− λ
P = (−1, 2, 1)x− 2y + 3z = 0.
r α.r α.
2x− 3y+ z = 1 4x− 6y+2z = 4.
r s
r :=
x = 1 + λy = λz = −1 + λ
s x+ y = 2 z = 0.
4 .3 - exercícios
math2.indd 38 20/5/2009 08:24:20
AULA 5
transformações lineares do plano no plano
objetivos Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:
Compreender o que é uma base do plano.1. Compreender o que é uma transformação linear do plano no plano.2. Operar com transformações lineares do plano no plano e reconhecer vá-3. rios tipos de tais transformações.
5 .1 - bases do Plano
u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.
u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.
r s
r :=
x = 1 + λy = 2 + 2λz = 3 + λ
s :=
x = 2− λy = 4 + λz = 4− λ
P = (−1, 2, 1)x− 2y + 3z = 0.
r α.r α.
2x− 3y+ z = 1 4x− 6y+2z = 4.
r s
r :=
x = 1 + λy = λz = −1 + λ
s x+ y = 2 z = 0.
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40
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
u = (1, 1) v = (−1, 1),w = (0, 1) w = au + bv,
a, b, a = 12 b = 1
2 ,12(1, 1) + 1
2(−1, 1) = (0, 1) = w.
w = (w1, w2)
(w1, w2) = a(1, 1) + b(−1, 1).
w1 = a− b w2 = a + b
a = w1+w22 b = w2−w1
2 .−→u −→v
−→w −→v (a−→v )−→u (b−→u ).
A B, f : A −→ BA, B.
A f B
y = 2x + 3f : R −→ R x ∈ R
f(x) = 2x + 3. x2 + y2 = 4x
y.
R2.2× 2.
y
x
�����
T : R2 −→ R2
(x1, x2) → (w1, w2)
w1 = a11x1 + a12x2 w2 = a21x1 + a22x2
a11, a12, a21, a22 w1, w2, x1, x2
TR2 w = (w1, w2) x = (x1, x2). T
w = Ax, A =
a11 a12
a21 a22
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2)ys. T (x) = (−x1, x2). w1 = −x1 + 0x2 w2 = 0x1 + x2.
w1
w2
=
−1 00 1
x1
x2
.
T (1, 1) (−1, 1),(1, 0) (−1, 0) (0, 1) (0, 1).
5 .2 - geometria das transformações lineares do Plano
y
x
�����
T : R2 −→ R2
(x1, x2) → (w1, w2)
w1 = a11x1 + a12x2 w2 = a21x1 + a22x2
a11, a12, a21, a22 w1, w2, x1, x2
TR2 w = (w1, w2) x = (x1, x2). T
w = Ax, A =
a11 a12
a21 a22
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2)ys. T (x) = (−x1, x2). w1 = −x1 + 0x2 w2 = 0x1 + x2.
w1
w2
=
−1 00 1
x1
x2
.
T (1, 1) (−1, 1),(1, 0) (−1, 0) (0, 1) (0, 1).
math2.indd 40 20/5/2009 08:24:23
41
AulA 5
u = (1, 1) v = (−1, 1),w = (0, 1) w = au + bv,
a, b, a = 12 b = 1
2 ,12(1, 1) + 1
2(−1, 1) = (0, 1) = w.
w = (w1, w2)
(w1, w2) = a(1, 1) + b(−1, 1).
w1 = a− b w2 = a + b
a = w1+w22 b = w2−w1
2 .−→u −→v
−→w −→v (a−→v )−→u (b−→u ).
A B, f : A −→ BA, B.
A f B
y = 2x + 3f : R −→ R x ∈ R
f(x) = 2x + 3. x2 + y2 = 4x
y.
R2.2× 2.
y
x
�����
T : R2 −→ R2
(x1, x2) → (w1, w2)
w1 = a11x1 + a12x2 w2 = a21x1 + a22x2
a11, a12, a21, a22 w1, w2, x1, x2
TR2 w = (w1, w2) x = (x1, x2). T
w = Ax, A =
a11 a12
a21 a22
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2)ys. T (x) = (−x1, x2). w1 = −x1 + 0x2 w2 = 0x1 + x2.
w1
w2
=
−1 00 1
x1
x2
.
T (1, 1) (−1, 1),(1, 0) (−1, 0) (0, 1) (0, 1).
y
(-1, 1) (1, 1)
x
Figura 5.1: A transformação que associa a cada ponto sua imagem simétrica em relação ao eixo dos y's
y
x
�����
T : R2 −→ R2
(x1, x2) → (w1, w2)
w1 = a11x1 + a12x2 w2 = a21x1 + a22x2
a11, a12, a21, a22 w1, w2, x1, x2
TR2 w = (w1, w2) x = (x1, x2). T
w = Ax, A =
a11 a12
a21 a22
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2)ys. T (x) = (−x1, x2). w1 = −x1 + 0x2 w2 = 0x1 + x2.
w1
w2
=
−1 00 1
x1
x2
.
T (1, 1) (−1, 1),(1, 0) (−1, 0) (0, 1) (0, 1).
math2.indd 41 20/5/2009 08:24:24
42
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
(x1, x2) (1, 1) (1, 0) (0, 1)(w1, w2) (−1, 1) (−1, 0) (0, 1)
(x1, x2)(w1, w2).
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2) T (x) = (x1, x2).w1 = x1 + 0x2 w2 = 0x1 + x2.
w1
w2
=
1 00 1
x1
x2
.
2× 2 TI2
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2) y = x.T w1 = x2 w2 = x1. w1 = 0x1 + x2 w2 =1x1 + 0x2.
w1
w2
=
0 11 0
x1
x2
.
T (1, 0) (0, 1),(1, 1) (x, x)
T : R2 −→ R2 x = (x1, x2)xs. T w1 = x1 w2 = −x2. w1 = x1 w2 =
−x2. w1
w2
=
1 00 −1
x1
x2
.
T(1, 0), (1, 1) (0, 1).
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2) π2 . T w1 = −x2 w2 =
x1. w1 = 0x1 − x2 w2 = 1x1 + 0x2.
w1
w2
=
0 −11 0
x1
x2
.
y
x
y = x
T (1, 0) (0, 1),(1, 1) (−1, 1).
R2 φ
T :R2 −→ R2 x = (x1, x2) φ. T
w1
w2
=
cos(φ) −sen(φ)sen(φ) cos(φ)
x1
x2
.
T (1, 0) (cos(φ), sen(φ)),(1, 1) (cos(φ)−sen(φ), cos(φ)+sen(φ)).
(x, y)
(x, y)
math2.indd 42 20/5/2009 08:24:26
43
AulA 5
(x1, x2) (1, 1) (1, 0) (0, 1)(w1, w2) (−1, 1) (−1, 0) (0, 1)
(x1, x2)(w1, w2).
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2) T (x) = (x1, x2).w1 = x1 + 0x2 w2 = 0x1 + x2.
w1
w2
=
1 00 1
x1
x2
.
2× 2 TI2
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2) y = x.T w1 = x2 w2 = x1. w1 = 0x1 + x2 w2 =1x1 + 0x2.
w1
w2
=
0 11 0
x1
x2
.
T (1, 0) (0, 1),(1, 1) (x, x)
T : R2 −→ R2 x = (x1, x2)xs. T w1 = x1 w2 = −x2. w1 = x1 w2 =
−x2. w1
w2
=
1 00 −1
x1
x2
.
T(1, 0), (1, 1) (0, 1).
T : R2 −→ R2
x = (x1, x2) π2 . T w1 = −x2 w2 =
x1. w1 = 0x1 − x2 w2 = 1x1 + 0x2.
w1
w2
=
0 −11 0
x1
x2
.
y
x
y = x
T (1, 0) (0, 1),(1, 1) (−1, 1).
R2 φ
T :R2 −→ R2 x = (x1, x2) φ. T
w1
w2
=
cos(φ) −sen(φ)sen(φ) cos(φ)
x1
x2
.
T (1, 0) (cos(φ), sen(φ)),(1, 1) (cos(φ)−sen(φ), cos(φ)+sen(φ)).
(x, y)
(x, y)
y
y = x(x2, x1)
(x1, x2)
x
Figura 5.2: A transformação que associa a cada ponto sua imagemsimétrica em relação a reta y=x
5 .3 - aPlicações à comPutação gráfica
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44
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
cos(φ1 + φ2) = cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2,
sen(φ1 + φ2) = senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1,
φ1 + φ2
cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2 −senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1
senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1 cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2
=
=
cos(φ1) −sen(φ1)sen(φ1) cos(φ1)
cos(φ2) −sen(φ2)sen(φ2) cos(φ2)
.
(φ1+φ2)φ1
φ2.
Sπ2 .o. S
o.
φ1, φ2π4 .
A A2,φ1 + φ2 = π
2 . B π2
A = B.
φ1
f1 φ2
f2 φ1 +φ2 f2of1.
A B
S
S π2 .
π2 .
w1
w2
=
0 −11 0
x1
x2
.
Sx = (x1, x2)
S π2 .
φ1 φ2,φ1 + φ2
w1
w2
=
cos(φ) −sen(φ)sen(φ) cos(φ)
x1
x2
φ φ1 + φ2.
w1
w2
=
cos(φ1 + φ2) −sen(φ1 + φ2)sen(φ1 + φ2) cos(φ1 + φ2)
x1
x2
.
y
TX
X=(x1, x2)
x
Figura 5.3: A transformação que associa a cada ponto sua imagemobtida a partir de uma rotação de Ø
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45
AulA 5
cos(φ1 + φ2) = cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2,
sen(φ1 + φ2) = senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1,
φ1 + φ2
cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2 −senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1
senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1 cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2
=
=
cos(φ1) −sen(φ1)sen(φ1) cos(φ1)
cos(φ2) −sen(φ2)sen(φ2) cos(φ2)
.
(φ1+φ2)φ1
φ2.
Sπ2 .o. S
o.
φ1, φ2π4 .
A A2,φ1 + φ2 = π
2 . B π2
A = B.
φ1
f1 φ2
f2 φ1 +φ2 f2of1.
A B
S
S π2 .
π2 .
w1
w2
=
0 −11 0
x1
x2
.
Sx = (x1, x2)
S π2 .
φ1 φ2,φ1 + φ2
w1
w2
=
cos(φ) −sen(φ)sen(φ) cos(φ)
x1
x2
φ φ1 + φ2.
w1
w2
=
cos(φ1 + φ2) −sen(φ1 + φ2)sen(φ1 + φ2) cos(φ1 + φ2)
x1
x2
.
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46
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
2×2.
3× 3.
T : R3 −→ R3
(x1, x2, x3) → (w1, w2, w3)
w1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 w2 = a21x1 + a22x2 + a32x3
w3 = a31x1 + a32x2 + a33x3
T : R2 −→ R2 x = (x1, x2)T (x) = (−x1,−x2).
T
w1
w2
=−1 00 −1
x1
x2
(1, 1)(1, 0)(−1,−1)
Q (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).Q T. Q T (Q).
T : R2 −→ R2
w1
w2
=
0 −1−1 0
x1
x2
(1, 1)(1, 0)(−1,−1)(x, y)
Q (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).Q T. Q T (Q).
(x, y)
o
o
o
φ1π4 .
A A2, A3 A4. Bπ A4 = B.
5 .4 - exercícios
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AULA 6
transformações lineares mais gerais, aplicações à identificação de cônicas
objetivosAo terminar esta aula, você deverá ser capaz de:
Compreender o que é uma transformação linear do espaço no espaço. 1. Operar com transformações lineares do espaço no espaço e reconhecer 2. vários tipos de tais transformações.Calcular autovetores e autovalores de transformações lineares e diagona-3. lizar tais operadores quando possível.Aplicar os conceitos acima à identificação de cônicas.4.
6 .1 - transformações lineares do esPaço
2×2.
3× 3.
T : R3 −→ R3
(x1, x2, x3) → (w1, w2, w3)
w1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 w2 = a21x1 + a22x2 + a32x3
w3 = a31x1 + a32x2 + a33x3
math2.indd 47 20/5/2009 08:24:33
48
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
T3 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).
T3 (x, y, z)y = x.
A 2× 2 3× 3x
A Ax x,
Ax = λx
λ. λ A xA λ.
Ax x
u =
12
A =
3 08 −1
3 08 −1
12
=
36
= 3u
Au u y = 2x.
TR3 w = (w1, w2, w3) x = (x1, x2, x3).
T w = Ax, A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
T1 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T1(x) = (−x2, x1, x3). w1 =0x1 − x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.
w1
w2
w3
=
0 −1 01 0 00 0 1
x1
x2
x3
.
T1 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (−1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).
T2 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T2(x) = (x1, x2,−x3). w1 =x1 + 0x2 + 0x3, w2 = 0x1 + x2 + 0x3, w3 = 0x1 + 0x2 − x3.
w1
w2
w3
=
1 0 00 1 00 0 −1
x1
x2
x3
.
T2
(1, 0, 0) (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 1, 0)(0, 0, 1) = (0, 0,−1). T
xy.
(x1, x2, x3) (−1, 0, 0) (1,−1, 0) (0, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 0, 3) (1, 0, 0)(w1, w2, w3)
(w1, w2, w3)(x1, x2, x3) T1 T2.
T1
zsz = 0 π
2 .
T3 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T3(x) = (x2, x1, x3). w1 =0x1 + x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.
w1
w2
w3
=
0 1 01 0 00 0 1
x1
x2
x3
.
TR3 w = (w1, w2, w3) x = (x1, x2, x3).
T w = Ax, A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
T1 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T1(x) = (−x2, x1, x3). w1 =0x1 − x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.
w1
w2
w3
=
0 −1 01 0 00 0 1
x1
x2
x3
.
T1 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (−1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).
T2 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T2(x) = (x1, x2,−x3). w1 =x1 + 0x2 + 0x3, w2 = 0x1 + x2 + 0x3, w3 = 0x1 + 0x2 − x3.
w1
w2
w3
=
1 0 00 1 00 0 −1
x1
x2
x3
.
T2
(1, 0, 0) (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 1, 0)(0, 0, 1) = (0, 0,−1). T
xy.
(x1, x2, x3) (−1, 0, 0) (1,−1, 0) (0, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 0, 3) (1, 0, 0)(w1, w2, w3)
(w1, w2, w3)(x1, x2, x3) T1 T2.
T1
zsz = 0 π
2 .
T3 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T3(x) = (x2, x1, x3). w1 =0x1 + x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.
w1
w2
w3
=
0 1 01 0 00 0 1
x1
x2
x3
.
math2.indd 48 20/5/2009 08:24:35
49
AulA 6
T3 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).
T3 (x, y, z)y = x.
A 2× 2 3× 3x
A Ax x,
Ax = λx
λ. λ A xA λ.
Ax x
u =
12
A =
3 08 −1
3 08 −1
12
=
36
= 3u
Au u y = 2x.
TR3 w = (w1, w2, w3) x = (x1, x2, x3).
T w = Ax, A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
T1 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T1(x) = (−x2, x1, x3). w1 =0x1 − x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.
w1
w2
w3
=
0 −1 01 0 00 0 1
x1
x2
x3
.
T1 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (−1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).
T2 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T2(x) = (x1, x2,−x3). w1 =x1 + 0x2 + 0x3, w2 = 0x1 + x2 + 0x3, w3 = 0x1 + 0x2 − x3.
w1
w2
w3
=
1 0 00 1 00 0 −1
x1
x2
x3
.
T2
(1, 0, 0) (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 1, 0)(0, 0, 1) = (0, 0,−1). T
xy.
(x1, x2, x3) (−1, 0, 0) (1,−1, 0) (0, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 0, 3) (1, 0, 0)(w1, w2, w3)
(w1, w2, w3)(x1, x2, x3) T1 T2.
T1
zsz = 0 π
2 .
T3 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T3(x) = (x2, x1, x3). w1 =0x1 + x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.
w1
w2
w3
=
0 1 01 0 00 0 1
x1
x2
x3
.
6 .2 - autovetores e autovalores
z
y
x
(x, y, z)
plano y = x
(x, y, z)
Figura 6.1: A transformação T3
TR3 w = (w1, w2, w3) x = (x1, x2, x3).
T w = Ax, A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
T1 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T1(x) = (−x2, x1, x3). w1 =0x1 − x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.
w1
w2
w3
=
0 −1 01 0 00 0 1
x1
x2
x3
.
T1 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (−1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).
T2 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T2(x) = (x1, x2,−x3). w1 =x1 + 0x2 + 0x3, w2 = 0x1 + x2 + 0x3, w3 = 0x1 + 0x2 − x3.
w1
w2
w3
=
1 0 00 1 00 0 −1
x1
x2
x3
.
T2
(1, 0, 0) (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 1, 0)(0, 0, 1) = (0, 0,−1). T
xy.
(x1, x2, x3) (−1, 0, 0) (1,−1, 0) (0, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 0, 3) (1, 0, 0)(w1, w2, w3)
(w1, w2, w3)(x1, x2, x3) T1 T2.
T1
zsz = 0 π
2 .
T3 : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3), T3(x) = (x2, x1, x3). w1 =0x1 + x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.
w1
w2
w3
=
0 1 01 0 00 0 1
x1
x2
x3
.
math2.indd 49 20/5/2009 08:24:38
50
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
A, 2 × 2,3 × 3 Ax = λx
Ax − λIx = 0 I(A − λI)x = 0.
x = (x1, x2) x = (x1, x2, x3)A − λI.
Det(A − λI) = 0.λ,
A,
A =
1 42 3
.
ADet(A−λI) = 0.
A− λI =
1 42 3
−
λ 00 λ
=
1− λ 4
2 3− λ
.
Det(A−λI) = 0 (1−λ)(3−λ)−8 = 0λ2 − 4λ − 5 = (λ − 5)(λ + 1) = 0.
λ = 5 λ = −1.
λ = 5λ = 5 (A− λI)x = 0
1− 5 4
2 3− 5
x1
x2
=
00
−4x1 + 4x2 = 0 2x1 − 2x2 = 0. x1 = x2
(1, 1).
λ = −1λ = −1 (A− λI)x = 0
1 + 1 4
2 3 + 1
x1
x2
=
00
2x1 + 4x2 = 0 2x1 + 4x2 = 0.x1 = −2x2
(−2, 1), (2,−1).
(a, a), y = x5.
x = (a, a)Ax = 5x u = −2v u, v
x ∈ R Ax = −1x.
A
A =
0 1 00 0 14 −17 8
.
Det(A−λI) = 0.
A−λI =
0 1 00 0 14 −17 8
−
λ 0 00 λ 00 0 λ
=
−λ 1 00 −λ 14 −17 8− λ
.
Det(A− λI) = 0
λ3 − 8λ2 + 17λ− 4 = 0
±1,±2,±4. 4λ − 4 λ2 − 4λ + 1, 2 ±
√3.
A
λ1 = 4, λ2 = 2 +√
3, λ3 = 2−√
3
math2.indd 50 20/5/2009 08:24:40
51
AulA 6
A, 2 × 2,3 × 3 Ax = λx
Ax − λIx = 0 I(A − λI)x = 0.
x = (x1, x2) x = (x1, x2, x3)A − λI.
Det(A − λI) = 0.λ,
A,
A =
1 42 3
.
ADet(A−λI) = 0.
A− λI =
1 42 3
−
λ 00 λ
=
1− λ 4
2 3− λ
.
Det(A−λI) = 0 (1−λ)(3−λ)−8 = 0λ2 − 4λ − 5 = (λ − 5)(λ + 1) = 0.
λ = 5 λ = −1.
λ = 5λ = 5 (A− λI)x = 0
1− 5 4
2 3− 5
x1
x2
=
00
−4x1 + 4x2 = 0 2x1 − 2x2 = 0. x1 = x2
(1, 1).
λ = −1λ = −1 (A− λI)x = 0
1 + 1 4
2 3 + 1
x1
x2
=
00
2x1 + 4x2 = 0 2x1 + 4x2 = 0.x1 = −2x2
(−2, 1), (2,−1).
(a, a), y = x5.
x = (a, a)Ax = 5x u = −2v u, v
x ∈ R Ax = −1x.
A
A =
0 1 00 0 14 −17 8
.
Det(A−λI) = 0.
A−λI =
0 1 00 0 14 −17 8
−
λ 0 00 λ 00 0 λ
=
−λ 1 00 −λ 14 −17 8− λ
.
Det(A− λI) = 0
λ3 − 8λ2 + 17λ− 4 = 0
±1,±2,±4. 4λ − 4 λ2 − 4λ + 1, 2 ±
√3.
A
λ1 = 4, λ2 = 2 +√
3, λ3 = 2−√
3
math2.indd 51 20/5/2009 08:24:41
52
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
A
λ1 = 4λ1 = 4 (A− λI)x = 0
−4 1 00 −4 14 −17 4
x1
x2
x3
=
00
.
1.
R2 R3
T A.A
A,A A.
A, n×n,P P−1AP P−1
P P A.
2× 2
2 × 2
A 2 × 2
A
A
A, 2 × 2,
A, 2 × 2.
A, x1
x2.
P, 2× 2, x1, x2
P−1APλ1, λ2 λi xi.
A =
1 42 3
.
A : λ = 5 λ = −1(1, 1) (2,−1). P
P =
1 21 −1
.
P.
P−1 =
13
23
13 −1
3
.
P−1AP
13
23
13 −1
3
1 42 3
1 21 −1
=
5 00 −1
A, 2 × 2.
A =
1 10 1
.
A
Det(A− λI) = 0.
A− λI =
1− λ 10 1− λ
.
Det(A− λI) = 0 (1− λ)2 = 0λ = 1, (A − λI)x = 0λ = 1
1− 1 1
0 1− 1
x1
x2
=
00
.
x2 = 0.1 (x1, 0) y = 0
A
6 .3 - diagonalização de matrizes
A
λ1 = 4λ1 = 4 (A− λI)x = 0
−4 1 00 −4 14 −17 4
x1
x2
x3
=
00
.
1.
R2 R3
T A.A
A,A A.
A, n×n,P P−1AP P−1
P P A.
2× 2
2 × 2
A 2 × 2
A
A
A, 2 × 2,
A, 2 × 2.
A, x1
x2.
6.3.1 - Matrizes 2 X 2
math2.indd 52 20/5/2009 08:24:44
53
AulA 6
A
λ1 = 4λ1 = 4 (A− λI)x = 0
−4 1 00 −4 14 −17 4
x1
x2
x3
=
00
.
1.
R2 R3
T A.A
A,A A.
A, n×n,P P−1AP P−1
P P A.
2× 2
2 × 2
A 2 × 2
A
A
A, 2 × 2,
A, 2 × 2.
A, x1
x2.
P, 2× 2, x1, x2
P−1APλ1, λ2 λi xi.
A =
1 42 3
.
A : λ = 5 λ = −1(1, 1) (2,−1). P
P =
1 21 −1
.
P.
P−1 =
13
23
13 −1
3
.
P−1AP
13
23
13 −1
3
1 42 3
1 21 −1
=
5 00 −1
A, 2 × 2.
A =
1 10 1
.
A
Det(A− λI) = 0.
A− λI =
1− λ 10 1− λ
.
Det(A− λI) = 0 (1− λ)2 = 0λ = 1, (A − λI)x = 0λ = 1
1− 1 1
0 1− 1
x1
x2
=
00
.
x2 = 0.1 (x1, 0) y = 0
A
A
λ1 = 4λ1 = 4 (A− λI)x = 0
−4 1 00 −4 14 −17 4
x1
x2
x3
=
00
.
1.
R2 R3
T A.A
A,A A.
A, n×n,P P−1AP P−1
P P A.
2× 2
2 × 2
A 2 × 2
A
A
A, 2 × 2,
A, 2 × 2.
A, x1
x2.
math2.indd 53 20/5/2009 08:24:46
54
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
n×n
A, n× n At = A.
P, n × n AtA = In.P P−1 = P t.
R3
A, 3 × 3, Rn
A?
A, 3×3, PP−1AP = P tAP
A
A 3× 3.
A
A 3
A
A, 3×3
R3.
A
A
A
u1, v1, w1 P A
P =�
u1 v1 w1
P
A =
4 2 22 4 22 2 4
.
A.Det(A− λI) = 0.
A−λI =
4 2 22 4 22 2 4
−
λ 0 00 λ 00 0 λ
=
4− λ 2 22 4− λ 22 2 4− λ
.
Det(A−λI) = 0 (λ− 2)2(λ− 8) = 0.λ1 = 2 λ2 = 8.
R3
A. 0 λ2 = 8,
(A− λ2I)x =
−4 2 22 −4 22 2 −4
xyz
= 0.
−4x + 2y + 2z = 02x− 4y + 2z = 02x + 2y − 4z = 0
y = z x = z,R3
(t, t, t), u = (1, 1, 1).u1 = ( 1√
3, 1√
3, 1√
3).
0 λ1 = 2,
(A− λ1I)X =
2 2 22 2 22 2 2
xyz
= 0.
6.3.2 - Matrizes simétricas
math2.indd 54 20/5/2009 08:24:48
55
AulA 6
n×n
A, n× n At = A.
P, n × n AtA = In.P P−1 = P t.
R3
A, 3 × 3, Rn
A?
A, 3×3, PP−1AP = P tAP
A
A 3× 3.
A
A 3
A
A, 3×3
R3.
A
A
A
u1, v1, w1 P A
P =�
u1 v1 w1
P
A =
4 2 22 4 22 2 4
.
A.Det(A− λI) = 0.
A−λI =
4 2 22 4 22 2 4
−
λ 0 00 λ 00 0 λ
=
4− λ 2 22 4− λ 22 2 4− λ
.
Det(A−λI) = 0 (λ− 2)2(λ− 8) = 0.λ1 = 2 λ2 = 8.
R3
A. 0 λ2 = 8,
(A− λ2I)x =
−4 2 22 −4 22 2 −4
xyz
= 0.
−4x + 2y + 2z = 02x− 4y + 2z = 02x + 2y − 4z = 0
y = z x = z,R3
(t, t, t), u = (1, 1, 1).u1 = ( 1√
3, 1√
3, 1√
3).
0 λ1 = 2,
(A− λ1I)X =
2 2 22 2 22 2 2
xyz
= 0.
math2.indd 55 20/5/2009 08:24:50
56
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
2x + 2y +2z = 0,
αλ1 = 2.
v = (−1, 1, 0) w = (−1, 0, 1). v w u,α
u
v w v1 w1
α 1v
w v. c1 = 1v.vv.w = 1
2P = c1v = (−1
2 , 12 , 0). w − P =
(−12 , −1
2 , 1) vv1 v, 1 w1 w
1.
v1 = (− 1√2,
1√2, 0) w1 = (− 1√
6,− 1√
6,
2√6) u1 = (
1√3,
1√3,
1√3)
PA
P =
−1√2
−1√6
1√3
1√2
−1√6
1√3
0 2√6
1√3
,
AA
x2 + y2, ax2 + bxy + y2, x3 + y3 x + y
x y
x2 + x, x3 + xy + y3 x + y + y2
ax2 + 2bxy + cy2
a, b c
�x y
a bb c
xy
.
x1, x2, . . . , xn
nn
n
�x1 x2 . . . xn
A
x1
x2
xn
A n× n.
x =
x1
x2
xn
, n
xtAx.
6 .4 - aPlicações à identificação de cônicas Planas
6.4.1 - Formas quadráticas
math2.indd 56 20/5/2009 08:24:52
57
AulA 6
2x + 2y +2z = 0,
αλ1 = 2.
v = (−1, 1, 0) w = (−1, 0, 1). v w u,α
u
v w v1 w1
α 1v
w v. c1 = 1v.vv.w = 1
2P = c1v = (−1
2 , 12 , 0). w − P =
(−12 , −1
2 , 1) vv1 v, 1 w1 w
1.
v1 = (− 1√2,
1√2, 0) w1 = (− 1√
6,− 1√
6,
2√6) u1 = (
1√3,
1√3,
1√3)
PA
P =
−1√2
−1√6
1√3
1√2
−1√6
1√3
0 2√6
1√3
,
AA
x2 + y2, ax2 + bxy + y2, x3 + y3 x + y
x y
x2 + x, x3 + xy + y3 x + y + y2
ax2 + 2bxy + cy2
a, b c
�x y
a bb c
xy
.
x1, x2, . . . , xn
nn
n
�x1 x2 . . . xn
A
x1
x2
xn
A n× n.
x =
x1
x2
xn
, n
xtAx.
math2.indd 57 20/5/2009 08:24:53
58
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
xtAx n x1,x2, . . . , xn A
P A, x = Py, y =
y1
y2
yn
xtAx =
ytDy = λ1y21 + · · ·+ λny
2n λ1, . . . , λn A
D = P tAP =
λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0
0 0 · · · λn
.
x21 − x2
3 − 4x1x2 + 4x2x3
�x1 x2 x3
1 −2 0−2 0 20 2 −1
x1
x2
x3
.
λ− 1 2 0
2 λ −20 −2 λ + 1
= λ3 − 9λ = λ(λ + 3)(λ− 3).
λ = 0, λ = −3, λ = 3.
λ = 0 :
231323
;λ = −3 :
−1
3−2
323
;λ = 3 :
−2
32313
;
x = Py
x1
x2
x3
=
23 −1
3 −23
13 −2
323
23
23
13
y1
y2
y3
,
x1 =23y1 −
13y2 −
23y3
x2 =13y1 −
23y2 +
23y3
x3 =23y1 +
23y2 +
13y3
�y1 y2 y3
0 0 00 −3 00 0 3
y1
y2
y3
,
−3y22 + 3y2
3.
xy.
xy
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
x2
a2+
y2
b2= 1
x2
a2− y2
b2= 1 y2 = 4cx
x2 = 4cy
b
x2 − y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.
x− y = 0 x + y = 0.x = y x = −y.
math2.indd 58 20/5/2009 08:24:54
59
AulA 6
xtAx n x1,x2, . . . , xn A
P A, x = Py, y =
y1
y2
yn
xtAx =
ytDy = λ1y21 + · · ·+ λny
2n λ1, . . . , λn A
D = P tAP =
λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0
0 0 · · · λn
.
x21 − x2
3 − 4x1x2 + 4x2x3
�x1 x2 x3
1 −2 0−2 0 20 2 −1
x1
x2
x3
.
λ− 1 2 0
2 λ −20 −2 λ + 1
= λ3 − 9λ = λ(λ + 3)(λ− 3).
λ = 0, λ = −3, λ = 3.
λ = 0 :
231323
;λ = −3 :
−1
3−2
323
;λ = 3 :
−2
32313
;
x = Py
x1
x2
x3
=
23 −1
3 −23
13 −2
323
23
23
13
y1
y2
y3
,
x1 =23y1 −
13y2 −
23y3
x2 =13y1 −
23y2 +
23y3
x3 =23y1 +
23y2 +
13y3
�y1 y2 y3
0 0 00 −3 00 0 3
y1
y2
y3
,
−3y22 + 3y2
3.
xy.
xy
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
x2
a2+
y2
b2= 1
x2
a2− y2
b2= 1 y2 = 4cx
x2 = 4cy
b
x2 − y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.
x− y = 0 x + y = 0.x = y x = −y.
6.4.2 - Retomando o estudo das cônicas
math2.indd 59 20/5/2009 08:24:56
60
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
x2
x = 0,
x2 + y2 = 0(0, 0).
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0,
5x2− 4xy + 8y2− 36 = 0.
5x2 − 4xy +8y2,
�x y
5 −2−2 8
xy
.
A =
5 −2−2 8
,
λ = 4 λ = 9.
λ = 4 : V1 =
2√5
1√5
; λ = 9 : V2 =
− 1√
52√5
.
A
xy
=
2√5− 1√
51√5
2√5
x
y
.
x y x2
9 + y2
4 = 1,
5x2 − 4xy + 8y2 +20√
5x− 80√
5y + 4 = 0.
5x2− 4xy +8y2.
X =
xy
:
XtAX + KX + 4 = 0,
A =
5 −2−2 8
, K =
20√5− 80√
5
.
−4xy
xy
=
2√5− 1√
51√5
2√5
x
y
,
A.
4x2 + 9y2 − 8x − 36y + 4 = 0
math2.indd 60 20/5/2009 08:24:58
61
AulA 6
x2
x = 0,
x2 + y2 = 0(0, 0).
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0,
5x2− 4xy + 8y2− 36 = 0.
5x2 − 4xy +8y2,
�x y
5 −2−2 8
xy
.
A =
5 −2−2 8
,
λ = 4 λ = 9.
λ = 4 : V1 =
2√5
1√5
; λ = 9 : V2 =
− 1√
52√5
.
A
xy
=
2√5− 1√
51√5
2√5
x
y
.
x y x2
9 + y2
4 = 1,
5x2 − 4xy + 8y2 +20√
5x− 80√
5y + 4 = 0.
5x2− 4xy +8y2.
X =
xy
:
XtAX + KX + 4 = 0,
A =
5 −2−2 8
, K =
20√
5− 80√
5
.
−4xy
xy
=
2√5− 1√
51√5
2√5
x
y
,
A.
4x2 + 9y2 − 8x − 36y + 4 = 0
y
v2 v1
x
y’
(3, 0)
(0, 2) (0, 2)
x’
Figura 6.1: Encontrando uma cônica padrão por rotação de eixos
math2.indd 61 20/5/2009 08:25:00
62
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
4(x2−2x)+9(y2−4y)+4 = 4(x2−2x+1)+9(y2−4y+4)+4−4−36 = 0
4(x−1)2+9(y−2)2 = 36 x = x−1 y = y−2
x2
9+
y2
4= 1,
ax2 + 2bxy + cy2 + dy2 + ey + f = 0
A
λ1x2 + λ2y
2 + dx + ey + f = 0
x2 + y2 + 1 = 0.
math2.indd 62 20/5/2009 08:25:01
63
AP, P−1AP
A =
2 21 3
A =
4 23 3
A =
5 −11 3
A
A =
1 −3 33 −5 36 −6 4
A =
−3 1 −1−7 5 −1−6 6 2
2x2 + 2y2 − 2xy
2xy
−3x2 + 5y2 + 2xy
2x2 + 5y2 = 20
9x2 + 4y2 − 36x− 24y + 36 = 0
x2 + y2 + 5 = 0
2x2 − 4xy − y2 + 8 = 0
x2 + 2xy
2x2 − 4xy − y2 − 4x− 8y = −14
x2 − 2xy + y2 = 0
6 .5 - exercícios
AulA 6
4(x2−2x)+9(y2−4y)+4 = 4(x2−2x+1)+9(y2−4y+4)+4−4−36 = 0
4(x−1)2+9(y−2)2 = 36 x = x−1 y = y−2
x2
9+
y2
4= 1,
ax2 + 2bxy + cy2 + dy2 + ey + f = 0
A
λ1x2 + λ2y
2 + dx + ey + f = 0
x2 + y2 + 1 = 0.
math2.indd 63 20/5/2009 08:25:02
z = x2 + y2
x = 0 z = y2, zy.
y = 0 z = x2, zx.
z = 0 x2 + y2 = 0x = y = z = 0.
math2.indd 64 20/5/2009 08:25:03
AULA 7
estudos das superfícies
objetivos Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:
Fazer o esboço de superfícies simples considerando as curvas de interseção 1. delas com os planos coordenados. Conhecer as superfícies cilíndricas obtidas a partir de uma curva diretriz 2. plana.Reconhecer as quádricas padrão. 3. Identificar uma quádrica dada a sua equação.4.
7 .1 - como esboçar suPerfícies
z = x2 + y2
x = 0 z = y2, zy.
y = 0 z = x2, zx.
z = 0 x2 + y2 = 0x = y = z = 0.
math2.indd 65 20/5/2009 08:25:03
66
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
�����
z
y
x
z = x2 + y2
z = c,
x2 + y2 = (√
c)2.
z = x2 y = 0zs.
z2 = x2 + y2
x = 0 z2 = y2, z = ±yzy.
y = 0 z2 = x2,zx.
z = 0 x2 +y2 = 0x = y = z = 0.
z =c,x2 + y2 = c2.
z = x y = 0, zs.
�����
z
y
x
z2 = x2 + y2
x2 + y2 = 1
xy
z. z = 0z = 1,z = 1. z,
CC xy.
z
y
x
x2+y2=1
z=1
circunferência
Figura 7.1: O paraboloide dado por z = x2 + y2
Exemplo 7.2 Situação diversa acontece quando consideramos a equação
math2.indd 66 20/5/2009 08:25:05
67
AulA 7
�����
z
y
x
z = x2 + y2
z = c,
x2 + y2 = (√
c)2.
z = x2 y = 0zs.
z2 = x2 + y2
x = 0 z2 = y2, z = ±yzy.
y = 0 z2 = x2,zx.
z = 0 x2 +y2 = 0x = y = z = 0.
z =c,x2 + y2 = c2.
z = x y = 0, zs.
�����
z
y
x
z2 = x2 + y2
x2 + y2 = 1
xy
z. z = 0z = 1,z = 1. z,
CC xy.
7 .2 - suPerfícies cilíndricas
z
y
x
Figura 7.2: O cone dado por z2 = x2 + y2
math2.indd 67 20/5/2009 08:25:07
68
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
�����
z
y
x
x2 + y2 = 1
xyz.
z =x2
l2+
y2
m2
z =x2
9+
y2
4
z = 0 xy :
x2
9+
y2
4= 0
�����
z
y
x
z = x2
9 + y2
4
xyz = 1,
x2
9+
y2
4= 1
3 2.
y = 0 xzz = x2
9 .
x = 0 yz
z = y2
4 .
xy
z = x2
16 + y2
9
x2
l2+
y2
m2+
z2
n2= 1
7 .3 - as suPerfícies quádricas Padrão
7.3.1 - O paraboloide elíptico
z
y
x
Figura 7.3: O cilindro dado por x2 + y2 = 1
:
math2.indd 68 20/5/2009 08:25:08
69
AulA 7
�����
z
y
x
x2 + y2 = 1
xyz.
z =x2
l2+
y2
m2
z =x2
9+
y2
4
z = 0 xy :
x2
9+
y2
4= 0
�����
z
y
x
z = x2
9 + y2
4
xyz = 1,
x2
9+
y2
4= 1
3 2.
y = 0 xzz = x2
9 .
x = 0 yz
z = y2
4 .
xy
z = x2
16 + y2
9
x2
l2+
y2
m2+
z2
n2= 1
7.3.2 - O elipsoide
z
y
x
9 4
z=1
Elipse
Figura 7.4: O paraboloide dado por z = x2 y2 9 4
+
math2.indd 69 20/5/2009 08:25:10
70
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
�����
z
y
x
x2
9 + y2
4 + z2
1 = 1
x2
9+
y2
4+
z2
1= 1.
z = 0 xy :
x2
9+
y2
4= 1,
3 2.
y = 0 xz3 1.
x = 0 yz2 1
xy
zx zy y > 2x > 3
x2
16 + y2
9 + z2
4 = 1
z2 =x2
l2+
y2
m2.
z2 = 4x2 + 9y2
x = 0 z2 = 9y2, z = ±3yzy.
y = 0 z2 = 4x2,zx.
z = 0 4x2 + 9y2 = 0x = y = z = 0.
z =c, 4x2 +9y2 =c2,
x2
( c2)2
+y2
( c3)2
= 1,
|c|
z2 = 16x2 + 25y2
x2
l2+
y2
m2− z2
n2= 1
z
y
x
Elipses
Figura 7.5: O elipsoide dado por x2 y2 z2
9 4 1+ – =1
:
math2.indd 70 20/5/2009 08:25:12
71
AulA 7
�����
z
y
x
x2
9 + y2
4 + z2
1 = 1
x2
9+
y2
4+
z2
1= 1.
z = 0 xy :
x2
9+
y2
4= 1,
3 2.
y = 0 xz3 1.
x = 0 yz2 1
xy
zx zy y > 2x > 3
x2
16 + y2
9 + z2
4 = 1
z2 =x2
l2+
y2
m2.
z2 = 4x2 + 9y2
x = 0 z2 = 9y2, z = ±3yzy.
y = 0 z2 = 4x2,zx.
z = 0 4x2 + 9y2 = 0x = y = z = 0.
z =c, 4x2 +9y2 =c2,
x2
( c2)2
+y2
( c3)2
= 1,
|c|
z2 = 16x2 + 25y2
x2
l2+
y2
m2− z2
n2= 1
7.3.3 - O cone elíptico
7.3.4 - O hiperboloide de uma folha
math2.indd 71 20/5/2009 08:25:14
72
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
�����
z
y
x
z2 = 4x2 + 9y2
x2
9+
y2
4− z2
1= 1
z = 0 xy :
x2
9+
y2
4= 1,
3 2.
y = 0 xz
x2
9− z2
1= 1,
3 1.
x = 0 yz
y2
4− z2
1= 1,
2 1.
xy, z = c,|c|.
�����
z
y
x
x2
9 + y2
4 −z2
1 = 1
x2
16 + y2
9 −z2
4 = 1
x2
l2− y2
m2− z2
n2= 1
x2
9− y2
4− z2
1= 1
z = 0 xy
x2
9− y2
4= 1,
3 2.
y = 0 xz
x2
9− z2
1= 1,
3 1.
z
y
x
Figura 7.6: O cone elíptico dado por z2=4x2+9y2
:
math2.indd 72 20/5/2009 08:25:15
73
AulA 7
�����
z
y
x
z2 = 4x2 + 9y2
x2
9+
y2
4− z2
1= 1
z = 0 xy :
x2
9+
y2
4= 1,
3 2.
y = 0 xz
x2
9− z2
1= 1,
3 1.
x = 0 yz
y2
4− z2
1= 1,
2 1.
xy, z = c,|c|.
�����
z
y
x
x2
9 + y2
4 −z2
1 = 1
x2
16 + y2
9 −z2
4 = 1
x2
l2− y2
m2− z2
n2= 1
x2
9− y2
4− z2
1= 1
z = 0 xy
x2
9− y2
4= 1,
3 2.
y = 0 xz
x2
9− z2
1= 1,
3 1.
z
y
x
Figura 7.7: O hiperboloide de uma folha dado porx2 y2 z2
9 4 1+ – =1
7.3.5 - O hiperboloide de duas folhas
:
math2.indd 73 20/5/2009 08:25:16
74
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
�����
z
y
x
x2
9 −y2
4 −z2
1 = 1
x = 0 yz
−y2
4− z2
1= 1
x = c, |c| > 3,
c2
9− y2
4− z2
1= 1,
y2
4+
z2
1= −1 +
c2
9|c| > 3,
x = c|c|
x2
16 −y2
9 −z2
4 = 1
z =x2
l2− y2
m2
�����
z
y
x
z = y2 − x2
z = x2 − y2
z = 0 xy :
x2 = y2,
x = ±y.
y = 0 xz
z = x2,
x = 0 yz
z = −y2,
xy, z = c,ys c xs
c
z = xy
z
y
x
Figura 7.8: O hiperboloide de duas folha dado porx2 y2 z2
9 4 1+ – =1
7.3.6 - O paraboloide hiperbólico
math2.indd 74 20/5/2009 08:25:18
75
AulA 7
�����
z
y
x
x2
9 −y2
4 −z2
1 = 1
x = 0 yz
−y2
4− z2
1= 1
x = c, |c| > 3,
c2
9− y2
4− z2
1= 1,
y2
4+
z2
1= −1 +
c2
9|c| > 3,
x = c|c|
x2
16 −y2
9 −z2
4 = 1
z =x2
l2− y2
m2
�����
z
y
x
z = y2 − x2
z = x2 − y2
z = 0 xy :
x2 = y2,
x = ±y.
y = 0 xz
z = x2,
x = 0 yz
z = −y2,
xy, z = c,ys c xs
c
z = xy
z
y
x
Figura 7.9: O paraboloide hiperbólico dado por z = y2 – x2
:
:
math2.indd 75 20/5/2009 08:25:19
76
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
xyz
ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + iz + j = 0
z = xy, i = 1, b = −1
z2 − y2 − x2 − 2xy − 2z + 1 = 0
z2−zx+zx−zy+zy−z−z−x2−xy−xy−x+x−y2−y+y+1 = 0,
(z + x + y − 1)(z − x− y − 1) = 0
z+x+y−1 = 0z − x − y − 1 = 0
x2−y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.
x− y = 0 x + y = 0.x = y
x = −y.
�����
z
y
x
z2−y2−x2−2xy−2z+1 = 0
x2
x = 0,
x2 + y2 + z2 = 0(0, 0, 0).
x2 + y2 = 0x = 0 y = 0.
x = 0 y = 0, zs.
b, c, e
ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + iz + j = 0
ax2 + bxy + cxz +dy2 + eyz + fz2
7 .4 - as suPerfícies quádricas mais gerais
7.4.1 - Quádricas degeneradas
math2.indd 76 20/5/2009 08:25:21
77
AulA 7
xyz
ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + iz + j = 0
z = xy, i = 1, b = −1
z2 − y2 − x2 − 2xy − 2z + 1 = 0
z2−zx+zx−zy+zy−z−z−x2−xy−xy−x+x−y2−y+y+1 = 0,
(z + x + y − 1)(z − x− y − 1) = 0
z+x+y−1 = 0z − x − y − 1 = 0
x2−y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.
x− y = 0 x + y = 0.x = y
x = −y.
�����
z
y
x
z2−y2−x2−2xy−2z+1 = 0
x2
x = 0,
x2 + y2 + z2 = 0(0, 0, 0).
x2 + y2 = 0x = 0 y = 0.
x = 0 y = 0, zs.
b, c, e
ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + iz + j = 0
ax2 + bxy + cxz +dy2 + eyz + fz2
z
z–x–y=1
z+x+y=1(0, -1, 0)
(1, 0, 0)
(-1, 0, 0)
(0, 0, 1)
(0, 1, 0)y
x
Figura 7.10: O par de planos dado por z2 – y2 – x2 – 2xy –2z + 1 = 0
math2.indd 77 20/5/2009 08:25:23
78
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.
4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,
�x y z
4 2 22 4 22 2 4
xyz
.
A =
4 2 22 4 22 2 4
.
λ1 = 2 λ2 = 8.
P A
P =
−1√2
−1√6
1√3
1√2
−1√6
1√3
0 2√6
1√3
,
λ1 = 2λ2 = 8.
XtAX − 8 = 0.
X = PX
(PX )tA(PX)− 8 = X t(P tAP )X − 8 = X tDX − 8 = 0,
D
D =
2 0 00 2 00 0 8
.
x, y z x2
22 + y2
22 +z2
12 = 1,
4x2 + y2 − 9z2 − 16x− 6y = 875
4(x2 − 4x + 4) + (y2 − 6y + 9)− 9z2 = 16 + 9 + 875 = 900
(x− 2)2
152+
(y − 3)2
302− z2
102= 1.
x = x− 2 y = y − 3 z = z
(x)2
152+
y2
302− z2
102= 1,
ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + iz + j = 0
A
λ1x2 + λ2y
2 + λ3z2 + dx + ey + f z + g = 0
4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.
4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,
�x y z
4 2 22 4 22 2 4
xyz
.
A =
4 2 22 4 22 2 4
.
λ1 = 2 λ2 = 8.
P A
P =
−1√2
−1√6
1√3
1√2
−1√6
1√3
0 2√6
1√3
,
λ1 = 2λ2 = 8.
XtAX − 8 = 0.
X = PX
(PX )tA(PX)− 8 = X t(P tAP )X − 8 = X tDX − 8 = 0,
D
D =
2 0 00 2 00 0 8
.
x, y z x2
22 + y2
22 +z2
12 = 1,
4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.
4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,
�x y z
4 2 22 4 22 2 4
xyz
.
A =
4 2 22 4 22 2 4
.
λ1 = 2 λ2 = 8.
P A
P =
−1√2
−1√6
1√3
1√2
−1√6
1√3
0 2√6
1√3
,
λ1 = 2λ2 = 8.
XtAX − 8 = 0.
X = PX
(PX )tA(PX)− 8 = X t(P tAP )X − 8 = X tDX − 8 = 0,
D
D =
2 0 00 2 00 0 8
.
x, y z x2
22 + y2
22 +z2
12 = 1,
4x2 + y2 − 9z2 − 16x− 6y = 875
4(x2 − 4x + 4) + (y2 − 6y + 9)− 9z2 = 16 + 9 + 875 = 900
(x− 2)2
152+
(y − 3)2
302− z2
102= 1.
x = x− 2 y = y − 3 z = z
(x)2
152+
y2
302− z2
102= 1,
ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + iz + j = 0
A
λ1x2 + λ2y
2 + λ3z2 + dx + ey + f z + g = 0
math2.indd 78 20/5/2009 08:25:27
79
AulA 7
4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.
4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,
�x y z
4 2 22 4 22 2 4
xyz
.
A =
4 2 22 4 22 2 4
.
λ1 = 2 λ2 = 8.
P A
P =
−1√2
−1√6
1√3
1√2
−1√6
1√3
0 2√6
1√3
,
λ1 = 2λ2 = 8.
XtAX − 8 = 0.
X = PX
(PX )tA(PX)− 8 = X t(P tAP )X − 8 = X tDX − 8 = 0,
D
D =
2 0 00 2 00 0 8
.
x, y z x2
22 + y2
22 +z2
12 = 1,
4x2 + y2 − 9z2 − 16x− 6y = 875
4(x2 − 4x + 4) + (y2 − 6y + 9)− 9z2 = 16 + 9 + 875 = 900
(x− 2)2
152+
(y − 3)2
302− z2
102= 1.
x = x− 2 y = y − 3 z = z
(x)2
152+
y2
302− z2
102= 1,
ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + iz + j = 0
A
λ1x2 + λ2y
2 + λ3z2 + dx + ey + f z + g = 0
4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.
4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,
�x y z
4 2 22 4 22 2 4
xyz
.
A =
4 2 22 4 22 2 4
.
λ1 = 2 λ2 = 8.
P A
P =
−1√2
−1√6
1√3
1√2
−1√6
1√3
0 2√6
1√3
,
λ1 = 2λ2 = 8.
XtAX − 8 = 0.
X = PX
(PX )tA(PX)− 8 = X t(P tAP )X − 8 = X tDX − 8 = 0,
D
D =
2 0 00 2 00 0 8
.
x, y z x2
22 + y2
22 +z2
12 = 1,
4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.
4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,
�x y z
4 2 22 4 22 2 4
xyz
.
A =
4 2 22 4 22 2 4
.
λ1 = 2 λ2 = 8.
P A
P =
−1√2
−1√6
1√3
1√2
−1√6
1√3
0 2√6
1√3
,
λ1 = 2λ2 = 8.
XtAX − 8 = 0.
X = PX
(PX )tA(PX)− 8 = X t(P tAP )X − 8 = X tDX − 8 = 0,
D
D =
2 0 00 2 00 0 8
.
x, y z x2
22 + y2
22 +z2
12 = 1,
4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.
4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,
�x y z
4 2 22 4 22 2 4
xyz
.
A =
4 2 22 4 22 2 4
.
λ1 = 2 λ2 = 8.
P A
P =
−1√2
−1√6
1√3
1√2
−1√6
1√3
0 2√6
1√3
,
λ1 = 2λ2 = 8.
XtAX − 8 = 0.
X = PX
(PX )tA(PX)− 8 = X t(P tAP )X − 8 = X tDX − 8 = 0,
D
D =
2 0 00 2 00 0 8
.
x, y z x2
22 + y2
22 +z2
12 = 1,
-
4x2 + y2 − 9z2 − 16x− 6y = 875
4(x2 − 4x + 4) + (y2 − 6y + 9)− 9z2 = 16 + 9 + 875 = 900
(x− 2)2
152+
(y − 3)2
302− z2
102= 1.
x = x− 2 y = y − 3 z = z
(x)2
152+
y2
302− z2
102= 1,
ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + iz + j = 0
A
λ1x2 + λ2y
2 + λ3z2 + dx + ey + f z + g = 0
math2.indd 79 20/5/2009 08:25:31
80
GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr
7 .5 - exercícios
x2
1 + y2
4 + z2
9 = 1.
z2 = x2
1 + y2
4 .
x2
4 −y2
9 + z2
1 = 1.
z2
9 −x2
16 −y2
4 = 1.
xyz
2x2 + 5y2 + 4z2 = 20
9x2 + 4y2 − 36x− 24y + z2 + 36 = 0
x2 + y2 + z2 + 5 = 0
2x2 + z2 − y2 + 8 = 0
x2 + 2xy = 0
2x2 − y2 − 4x− 8y + z2 = 0
x2 − 2xy + y2 = 0
xtAx+Kx+j = 0, A 3× 3 K 1× 3 :
x2 + 2y2 − 3z2 + 4xy + 6xz − 2yz + x− y + z = 3
4x2 − 2y2 + 6z2 − 4xy − 6xz + 4yz + 2x− 3y + 2z = 6
6x2 − y2 + 8z2 + 4xy + 6xz − 8yz + x + y − z = 5
x = Px
2x2 + 3y2 + 23z2 + 72xz + 150 = 0.
2xy − 6x + 10y + z − 31 = 0
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referências bibliográficas
[1] ANTON, Howard; RORRES, Chris. Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1994.
[2] AVRITZER, Dan. Elementos de geometria analítica: uma visão geométrica. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2006.
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[5] SANTOS, Reginaldo J. Um curso de geometria analítica e álgebra linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2003.
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A presente edição foi composta pela Editora UFMG, em caracteres Chaparral Pro e Optma Std, e impressa pela Didatica Editora do Brasil, em sistema offset 90g e cartão supremo 250g, em maio 2009.