Geometria analitica equacao da reta
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PLANOPLANO CARTESIANOCARTESIANO
Podemos escrever assimÁrea do triângulo:
EQUAÇÃO GERAL DA RETA r:
A x + B y + C = 0A x + B y + C = 0
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta r
se am + bn + c ≠≠≠≠ 0, P não é um ponto da reta r
EXEMPLO: X - 3Y + 5 = 0
Onde o ponto P (1,2) ∈∈∈∈ r
Já o ponto P (2, -5) ∉∉∉∉ r
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
y = mx + bonde,
m = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta (ponto de
intersecção com o eixo Oy.
O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.
m = tgα ( abertura ou inclinação da reta )
���� Coeficiente angular = 1
���� Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas -eixo de y ) é zero b = 0.
���� Coeficiente angular = 3
���� Coeficiente angular =2
ÂNGULO: 71.56º
ÂNGULO: 63.43º
ÂNGULO: 45º
PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima
0 1 1
2 5 1
X Y 1
1.x + 0.5 + 2.y – 0.y – 2.1 – 5x = 0
–4x +2y –2 = 0 � 2y = 4x +2
Encontrar os coeficientes angular e linear da
reta r que passa por A(0, 1) e B(2, 5).
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
Ou y = 2x +1
RESOLUÇÃO:
COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR =1
Veja o gráfico a seguir.
EXEMPLO:
No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.
1
5
COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR =1
Observe que o coeficiente angularé o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).
O coeficiente linearé o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) �este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...
Exercícios Resolvidos 01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na figura.
Consideremos dois pontos A e B tais que não seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y.
Traçando por A e B paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC.
02. Calcule a área da região hachurada:
Sendo A (1, 2) B (3, 4) C (5, 3) e D (4, 1), osvértices tomados no sentido horário ou anti-
horário, temos:A= A1 + A2
A1 = ½ | 1.4.1 + 1.3.3 +2. 5.1 – 5.4.1 -3.1.1 – 1.3. | = 3
A1 = ½ | 1.4.1 + 1.3.3 +2. 5.1 – 5.4.1 -3.1.1 – 1.3. | = 3
A2 = ½ | 4.3.1 + 1.1.1 +1. 5.2 –1.3.1 –2.1.4 – 1.5.1 |= 3,5
A = 6,5 u.aOBS: as duas | | (barras), indica que o valor está em módulo e sempre será positivo
EXERCÍCIO 3
Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?
Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)
2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
EXERCÍCIO 04: Vamos determinar a distância entreos pontos A(1, -1) e B(4, -5):
SOLUSOLUÇÇÃOÃO DADA QUESTÃOQUESTÃO
EXERCÍCIO 05: Calcule o ponto médio entre ospontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).
EXERCÍCIO 05: – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO
EXERCÍCIO 6
As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são:
a) ( 3 , 1 )b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 )d) ( 0 , –3 )e) ( 3 , 3 )
EXERCÍCIO 7
Os pontos A (1, -7) e B ( – 4, 3) pertencem à reta r. A equação dessa reta é
a) y = 3x – 1 b) y + 2x – 5 = 0c) y = 5 – 4x d) 2x + y + 5 = 0e) y = 5x + 24
X Y 1
1 -7 1
-4 3 1
-7x + 3 -4y –y -28 -3x = 0
– 10x – 5y – 25 = 0
Dividindo toda a equação por (-5):
2x + y + 5 = 0
= 0
Questão 07 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(1,3) e C(4,1)?
XA YA 11/2 XB YB 1
XC YC 1
-2 -1 1
½ 1 3 1
4 1 1
A = |1/2 [ -6 + 1 – 4 + 1 – 12 + 2 ] |
A = |1/2 [ – 18 ] |
A = | – 9 | A = 9 u.a. (unidade de área)
observe que a área ésempre positiva e que as duas barrinhas | |significam módulo
SOLUSOLUÇÇÃO ÃO ��������
Determinar no eixo das ordenadas o ponto P, cuja distância até o ponto A (4; 1) seja igual a 5 unidades.
QUESTÃO 08QUESTÃO 08
SOLUSOLUÇÇÃO ÃO ��������
Determinar o ponto P do eixo das abcissas, eqüidistantes dos pontos A (6,5) e B (-2,3).
QUESTÃO 08QUESTÃO 08
Y = 4
x = 6
y = 2x – 3
y = – 3x + 6
OBS: as equações são exemplos de cada situação rep resentada nos gráficos