GEOMETRIAANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEARLISTA DE EXERCÍCIOS DAS AULAS 1–4Samuel Rocha de Oliveira & Adolfo Maia Jr.

Vídeo-Aula 1EXERCÍCIO 1Considere uma salada frutas com Banana, Laranja, Maçã e Mamão quetêm respectivamente:

• o preço de R$ 4,00/Kg; R$ 3,20/Kg; R$ 6,00/Kg e R$ 6,00/Kg;• a quantidade de calorias por 25 g da fruta de 16 Kcal, 11 Kcal, 16Kcal e 17 Kcal;

• e a quantidade de Vitamina C por 25g de 2,0 mg; 13,0 mg; 3,0 mg e12,0 mg.

Se a salada de frutas contem 13 porções de 25g de Banana, 11 de Laranja,7 de Maçã e 5 de Mamão, qual foi o preço total, a quantidade total dascalorias e da vitamina C?

EXERCÍCIO 2O sistema de equações da Vídeo-Aula 1

x + y + 2z = 4

−x − 2y + 3z = −1

2x − 7y + z = −5

foi resolvido primeiramente eliminando y em termos de x e z e subs-tituindo o resultado nas duas primeiras equações. Depois eliminou-se

Geometria Analítica e Álgebra Linear / Exercícios das aulas 1–4 2

z em termos de x e substituído o resultado na primeira equação. Aíresolve-se a equação pra x , depois pra z e finalmente pra y . Desenvolvapassos semelhantes, mas começando pela eliminação de x em termosde y e z, depois y em termos de z e finalmente a soluções pra z, y ex , nessa ordem. Os resultados finais foram diferentes? As contas forammais fáceis, mais difíceis ou similares em termos de dificuldade?

EXERCÍCIO 3Considere o sistema de equações lineares em forma matricial1 2

3 α

xy

=σ

0

em que α e σ são parâmetros a serem determinados. Ao resolver o sis-tema de equações lineares para x e y por simples substituição, encontre,se for possível valores de α e σ para que o sistema(a) tenha uma única solução,(b) tenha infinitas soluções,(c) não tenha solução.

EXERCÍCIO 4 (portfólio)Considere uma salada frutas com Banana, Laranja e Mamão que têmrespectivamente:

• o preço de R$ 4,00/Kg; R$ 3,20/Kg e R$ 6,00/Kg;• a quantidade de calorias por 25 g da fruta de 16 Kcal, 11 Kcal e 17Kcal;

• e a quantidade de Vitamina C por 25 g da fruta de 2,0 mg; 13,0 mg e12,0 mg.

Essa salada de frutas tem o custo total de R$ 3,21. Em termos calóricos,o total é 466 Kcal. E de Vitamina C, 189 mg. Encontre as quantidades (emporções de 25g) de Banana, Laranja e Mamão nessa salada.

Vídeo-Aula 2EXERCÍCIO 1

Geometria Analítica e Álgebra Linear / Exercícios das aulas 1–4 3

Considere as matrizes 2× 2 identidade I eA=

0 α

1α 0

em que α é um número real não nulo. Obtenha(a) X = I + A.(b) 2 X , isto é, o dobro da matrix X .(c) X 2, isto é, o produto da matriz X por ela mesma.Mostre que X 2 = 2X para qualquer valor de α.

EXERCÍCIO 2Considere a matriz simétrica

A=

5 3

3 2

.Encontre as possíveis matrizes simétricas

B =

x z

z y

que comutam com A, isto é, tais que AB = BA.

EXERCÍCIO 3 (portfólio)Considere a matriz

M =

1 1p

0 1q

em que p e q são números maiores do que 1. Calcule M2 e M3. Vejaque padrão essas matrizes têm. Se necessário, calcule também M4 egeneralize M n para n natural qualquer. Calcule o limite

limn→∞M n

Dica: Use a soma de uma progressão geométrica.

EXERCÍCIO 4Sejam duas matrizes A e B que comutam, isto é, AB = BA. Podemosafirmar que para qualquer número natural n teremos (AB)n = AnBn ? Sesim, prove. Se não, apresente um contra-exemplo.

Geometria Analítica e Álgebra Linear / Exercícios das aulas 1–4 4

Vídeo-Aula 3EXERCÍCIO 1Use o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema de equações li-neares representado pela seguinte matriz aumentada:16 9 4 24

4 3 2 8

1 1 1 3

EXERCÍCIO 2Considere a equação em forma matricial

3 α− 1 2α+ 1 6

2 α− 4 3α− 1 1

1 1 α 3

1 2 1 4

X =

6

1

3

4

em que o número real α é um parâmetro livre e X é a matriz coluna comas incógnitas. Use o método de Gauss-Jordan para a matriz aumentadacorrespondente para resolver o sistema de equação, isto é, encontrar X

para qualquer valor de α. Dica: α2 − 6α+ 5= (α− 1)(α− 5).

EXERCÍCIO 3 (portfólio)Considere a seguinte equação implícita pelo produto de matrizes:2 5 3

1 5 1

1 1 2

9 x −10

−1 y 1

−4 z 5

=1 0 0

0 1 0

0 0 1

Se a equação fizer sentido, encontre os possíveis valores de x , y e z pelométodo de Gauss-Jordan. Se a equação não fizer sentido, explique por-que.

EXERCÍCIO 4Um comerciante recebeu um pacote de moedas do cofrinho de uma cri-ança que tinha 53 moedas no total, sendo que as moedas eram de R$

Geometria Analítica e Álgebra Linear / Exercícios das aulas 1–4 5

0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00. O comerciante trocou as moedas por notas depapel no total de R$ 27,00 e devolveu uma moeda de R$ 0,25. Quan-tas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00 o cofrinho poderia ter? Use ométodo de Gauss-Jordan, demande que as quantidades sejam númerosnaturais. O comerciante ficou contente pois precisava de muitas moedasde menor valor e nesse cofrinho a quantidade de moedas de R$ 1,00 foia menor possível.

Vídeo-Aula 4EXERCÍCIO 1Resolva, pelo método de Gauss-Jordan, o seguinte sistema de equaçõeshomogêneo: 1 −1 2 1

2 2 0 −1

3 1 2 1

x1

x2

x3

x4

=

0

0

0

0

EXERCÍCIO 2 (portfólio)Considere a reação química de moléculas de propano (C3H8) e oxigênio(O2) que se transformam em moléculas de gás carbônico (CO2) e água(H2O):

x1(C3H8) + x2(O2)→ x3(CO2) + x4(H2O)

em que x1, x2, x3, x4 são números naturais. As equações de balanço deCarbono, Hidrogênio e Oxigênio fornecem um sistema homogêneo detrês equações lineares para as quatro incógnitas. Escreva as equações eresolva o sistema de equações lineares homogêneo.

EXERCÍCIO 3Para que valores de λ o seguinte sistema de equações infinitas soluções?Use o método de Gauss-Jordan até perceber a possibilidade de infinitas

Geometria Analítica e Álgebra Linear / Exercícios das aulas 1–4 6

soluções.x − 3y −2z = 0

2x + y −5z = 0

x +λy −16z = 0

EXERCÍCIO 4Considere o seguinte sistema de equações, escrito na forma de matrizaumentada: 2 −4 −1 a

3 −1 1 b

4 2 3 c

Encontre as possíveis soluções para os valores de a, b e c.

GABARITOVídeo-Aula 1EXERCÍCIO 1O total do preço, das calorias e da vitamina C foram R$ 3,98; 526 Kcal e250 mg, respectivamente.

EXERCÍCIO 2O resultado é o mesmo e a quantidade de operações aritméticas sãosimilares à da ordem desenvolvida na vídeo aula.

EXERCÍCIO 3

(a) Se α ̸= 6, ∀σ temos uma única solução:y =

3σ6−α , x = − ασ

6−α(b) Se α = 6, σ = 0 temos a reta x = −2y como solução. Isto é, infinitas

soluções.(c) Se α= 6, σ ̸= 0 não há solução.

EXERCÍCIO 4 (portfólio)Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.

Vídeo-Aula 2EXERCÍCIO 1

(a)X =

1 α

1α 1

.

(b)2 X =

2 2α2α 2

(c)

X 2 =

2 2α2α 2

De fato, X 2 = 2X para qualquer valor de α.

EXERCÍCIO 2Todas as matrizes da seguinte forma

B =

y + z z

z y

∀y, z ∈ R comutam com a matriz A dada.

EXERCÍCIO 3 (portfólio)Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.

EXERCÍCIO 4Sim. Se duas matrizes A e B comutam então ∀n ∈ N, (AB)n = AnBn

Vídeo-Aula 3EXERCÍCIO 1 (portfólio)Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.

EXERCÍCIO 2Se α ̸= 1 e α ̸= 5 o sistema tem a seguinte solução única:

[x , y, z] = [4a− 11

a− 5,

45−α , 1/(5−α)]

Se α= 1 o sistema solução é dado pelo conjunto de pontos[x , y, z] = [2− z, 1, z], ∀z

E se α= 5 o sistema não tem solução.

EXERCÍCIO 3 (portfólio)Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.

EXERCÍCIO 4O cofrinho tinha 2 moedas de um real, 1 moeda de 25 centavos e 50moedas de 50 centavos.

Vídeo-Aula 4EXERCÍCIO 1

[x1, x2, x3, x4] = [−λ,λ,λ, 0], ∀λ ∈ R

EXERCÍCIO 2 (portfólio)Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.

EXERCÍCIO 3Quando λ= 95 há infinitas soluções da forma

[x , y, z] =�

177σ,−1

7σ,σ�

, ∀σ ∈ RSe λ ̸= 95 só existe a solução trivial [0,0,0].