Geometria Analítica - Curvas em Coordenadas Polares

Geometria AnalticaGeometria Analtica

Tipos de simetria de curvas em relao ao sistema polarA simetria de curvas polares

E muito mais...

CURVAS EM COORDENADAS POLARES

FICH

A T

CN

ICA FUMEC VIRTUAL - SETOR DE

EDUCAO A DISTNCIA

Gesto PedaggicaCoordenaoGabrielle Nunes P. ArajoTransposio PedaggicaTmara Santos Soares

Produo de Design MultimdiaCoordenaoRodrigo Tito M. ValadaresDesign MultimdiaMarcela ScarpelliPaulo Roberto Rosa JuniorRaphael Gonalves Porto Nascimento

Infra-Estrututura e SuporteCoordenaoAnderson Peixoto da Silva

AUTORIA

Prof. Fernando Henrique

APRESENTAO

Caro aluno(a) voc sabe o que simetria? Bom, segundo o dicionrio Soares Amora 19 edio, 2009 o termo simetria significa: Disposio harmnica de coisas iguais ou semelhantes; regularidade proporo. Neste mdulo voc aprender o que a simetria, de acordo com conceitos da geometria analtica e ver como traar o grfico de algumas curvas notveis em coordenadas polares

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo final deste mdulo voc ser capaz de:

Reconhecer os tipos de simetria de curvas em relao ao sistema polar;

Verificar a simetria de curvas polares;

Traar o grfico de algumas curvas em coordenadas polares;

Identificar o grfico de algumas curvas notveis em coordenadas polares.

BELO HORIZONTE - 2014

CURVAS EM COORDENADAS POLARES

Simetrias

Ento aluno(a), para comear nosso estudo neste mdulo, fao a seguinte pergunta: Voc sabia que o nosso corpo humano possui simetria em relao a um eixo vertical? isto mesmo, observe a figura 01, a simetria sempre ocorre em relao a um determinado elemento que pode ser um ponto ou um eixo (reta).

Figura 01

Dois pontos P e P so simtricos em relao a um conjunto K, se a distncia entre K e os pontos P e P so iguais. Dentre as simetrias existentes, destacamos as simetrias central e axial, onde os conjuntos K so um ponto e uma reta, respectivamente.

OBSERVAO

Neste texto trabalharemos com pontos do sistema polar do tipo P(r, ).

233Curvas em Coordenadas Polares

SIMETRIA EM RELAO AO EIXO POLAR

P(r,)

P(r,)

r

r

AO

Figura 02

Analisando a figura 02, veja que dado um ponto P(r, ), o seu simtrico em relao ao eixo polar o ponto P'(r', ) se, e somente se:

. 0 2 , .r r e k k Z > + =

Ou,

( ). 0 ' 2 1 , .r r e k k Z < + = +

Geralmente, podemos nos limitar a trabalhar com: (r, ) simtrico a (r, ) ou a ( r, ).

SIMETRIA EM RELAO AO EIXO A 2

a rad

P(r,)P(r,)

rr

O

Figura 03

J na figura 03, dado um ponto P(r, ), o seu simtrico em relao ao eixo 2

rad o ponto P'(r', ')se, e somente se:

( ). 0 2 1 , ,r r e k k Z > + = +

Ou,

. 0 ' 2 , .r r e k k z < + =

Geralmente, podemos nos limitar a trabalhar (r, ) com simtrico a (r, ) ou a (r, )

234 Curvas em Coordenadas Polares

SIMETRIA EM RELAO AO POLO

P(r,)

P(r,)

r

r

O

Figura 04

Dado um ponto P(r, ), o seu simtrico em relao ao polo o ponto P'(r', ') se, e somente se:

( ). 0 2 1 , ,r r e k k Z > = + Ou,

. 0 2 , .r r e k k z < =

Geralmente, podemos nos limitar a trabalhar com (r, ) simtrico a (r, + ) ou a (r, ).

Muito bem, agora vamos ver alguns exemplos! Fique atento s

orientaes a seguir e tente resolver o desafio antes de verificar a

soluo. Para comear, determine as coordenadas polares dos pontos

P simtricos de 2,3

P

em relao ao eixo polar, ao eixo a 90 e ao

polo, respectivamente.

SOLUO

Simetria em relao:

a) Eixo polar ( ) : ' 2, ;3

P

b) Ao eixo a ( )90 : ' 2, ;3

r r e P

c) Ao polo ( ) : ' 2, .3

r r P

E a aluno(a), alguma dvida? Caso haja, releia o contedo apresentado at o momento e tente resolver o exemplo apresentado acima. Mas, caso esteja tudo entendido, vamos continuar!


Curvas Simtricas em Relao a um Eixo ou a um Ponto

DEFINIO

Uma curva C simtrica a outra C em relao ao eixo a, ou em relao ao ponto O, se para todo ponto P C, existe um ponto P C simtrico em relao ao eixo a, ou em relao ao ponto O. Claramente, C simtrica a C.

A partir desta definio, podemos estabelecer a equao polar de uma curva C simtrica C, em relao a um eixo a, ou em relao ao ponto O.

Sejam P(r, ) um ponto da curva C de equao polar f(r, )=0, e P'(r', ') o ponto de C simtrico de P em relao ao eixo a, ou em relao ao ponto O. Podemos, ento, estabelecer as relaes de transformaes entre coordenadas de P e P.

Utilizando-se estas igualdades obtemos: ( ) ( )( )' , ' 0f g r h = , que uma equao polar que relaciona as coordenadas de P. Logo, uma equao da curva C. Vejamos o exemplo a seguir!

( )( )

''

r g rh

= =

Determine a equao da curva simtrica de C : r = 3sen(2), em relao:

a) ao eixo polar;

b) ao eixo 90;

c) ao polo.

SOLUO

Para resolver, faa da seguinte forma:

a) r = r' e = '

Logo, ( )( ) ( )' : 3sen 2 ' : ' 3sen 2 'C r C r = = b) r = r' e = '

Logo ( )( ) ( ) ( )' : 3 2 ' ' : ' 3sen 2 ' : ' 3sen 2 'C r sen C r C r = = =c) r = r' e = '

Logo ( ) ( )' : 3sen 2 ' ' : ' 3sen 2 'C r C r = =

Quando a curva C, simtrica de C em relao ao eixo a, ou ao ponto O, coincide com ela prpria (a curva simtrica de C C), dizemos que a curva C simtrica em relao a a, ou em relao a O.


No exemplo anterior, podemos concluir que C simtrica em relao ao eixo a 90. No entanto, mesmo sendo as equaes dos itens (a) e (c) diferentes da equao de C, temos que averiguar se estas equaes so equivalentes equao de C. Por isso, vamos deter-minar um conjunto abrangente de C.

k = 2n k = 2n+1

(1)k . r r rsen( 2 ( + k )) sen( 2 ) sen( 2 )

CONCLUSO

Podemos, portanto, concluir que a curva C tambm simtrica em relao ao eixo polar e ao polo.

( ) ( ) ( ){ } 3 2 , 3 2E C r sen r sen = = =


Traado de Curvas em Coordenadas Polares

O processo de construo de curvas em coordenadas polares segue as seguintes etapas:

1. Determinar as intersees com o eixo polar e o eixo de 90 No eixo polar fazemos = n , n Z

No eixo a 90 fazemos 2

n = , n Z e impar;

No polo fazemos r = 0 na equao da curva, para obter

2. Determinar a simetria do lugar geomtrico

Uma curva simtrica em relao ao eixo polar se obtemos uma equa-o equivalente curva dada, por pelo menos uma das seguintes substituies:

por ou, ainda, por e r por r

Uma curva simtrica em relao ao eixo a 90 se obtemos uma equao equivalente curva dada, por pelo menos uma das seguintes substituies;

por ou, ainda, por e r por r

Uma curva simtrica em relao ao polo se obtemos uma equao equi-valente curva dada, por pelo menos uma das seguintes substituies:

por + ou, ainda, r por r

3. A extenso do lugar geomtrico: estudamos aqui o intervalo de variao de r na equao dada.

4. O clculo das coordenadas de um nmero suficiente de pontos, a fim de se obter um grfico adequado.

5. O desenho do lugar geomtrico.

6. Transformar a equao apresentada de sua forma polar para sua forma cartesiana.

Vejamos como estas etapas so realizadas na prtica. Acompanhe o exemplo a seguir! Nele voc ver como traar o grfico da curva C : r = 1 + 2 cos().

Muita ateno, vamos l!


SOLUO

1. Intersees com o eixo polar e o eixo a 90No eixo polar fazemos = n , n Z : r = 1 + 2 cos(n) assim:

n = n r (r, )0 0 1 + 2 cos(0) = 3 (3, 0)1 1 + 2 cos() = 1 (1, )

2 2 1 + 2 cos(2) = 3 (3, 2)

No eixo a 90 fazemos , 2

n n Z = e mpar:

n2

n = r (r, )

12

1 = 1 1,2

3 32

1 = 1 1,32

5 52

1 = 1 1,52

ATENO

Perceba que o processo de substituio finito, uma vez que os pares (3,0) e (3, 2), no

primeiro caso representam, no sistema de coordenadas polares, o mesmo ponto, e os pares

1, 1,52 2

e

, no segundo caso, representam o mesmo ponto.

No polo fazemos r = 0 na equao da curva para obter , desta forma:

( ) ( ) 1 20 1 2cos cos2 3

= + = =

2. Determinar a simetria do lugar geomtrico:

Simetria em relao ao eixo polar substitumos por

( ) ( )1 2cos 1 2cos .r r = + = +

Como a equao obtida equivalente da curva C, a curva simtrica em relao ao eixo polar.

Simetria em relao ao eixo 90 substitumos por e r por r


( ) ( )1 2cos 1 2cos .r r = + =

Como a equao obtida no equivalente da curva C, a curva no simtrica em rela-o ao eixo 90.

Simetria em relao ao polo substitumos r por r

( ) ( )1 2cos 1 2cos .r r = + =

Como a equao obtida no equivalente da curva C, a curva no simtrica em rela-o ao polo.

3. A extenso do lugar geomtrico:

( ) ( ) ( )1 cos 1 2 2cos 2 1 1 2cos 3 1 3r +

IMPORTANTE

De acordo com o passo 3, veja que a curva C possui extenso limitada.

4. O clculo das coordenadas de um nmero suficiente de pontos, a fim de se obter um grfico adequado:

r

6 31 2 1 3

2+ = +

4 21 2 1 2

2+ = +

3 11 2 2

2+ =

56 6

= 31 2 1 32

=

34 4

= 21 2 1 22

=

23 3

=11 2 02

=


5. Marcao dos pontos no sistema de coordenadas polares:

270

90

180

150135

120

210225 315

300

330

3045

60

240270

90

180

150135

120

210225 315

300

330

3045

60

240

Figura 05

6. Transformar a equao dada em sua forma polar em sua forma retangular:

( )

( )22 2 2 21 2cos

2

r

x y x x y

= +

+ = +

241

Curvas Notveis em Coordenadas Polares

Vamos conversar um pouco sobre as curvas notveis em coordenadas polares. Podemos facilmente traar e identificar, em coordenadas polares, o grfico das limaons, das rosceas, das lemniscatas e das Espirais de Arquimedes, que chamaremos de curvas notveis. Este tratamento feito pelo reconhecimento de uma equao polar caractersticas ou pelo grfico da curva no plano polar. Veremos alguns exemplos destas curvas notveis a ttulo de ilustrao!

LIMAONS

Cardiide

1

0,5

0

-0,5

-1

0

-0,5

-1

-1,5

-2

2

-1,5

1

0,5

0

1

0,5

0

-0,5

-1

0 0,5 1 1,5 20 0,5 1 1,5 2

-1 -0,5 0 0,5 1-2 -1,5 -1 -0,5 0

= 1 cos = 1 + cos

= 1 cos = 1 + cos

Figura 06


Limaon sem lao

r = 1,5 + cos r = 1 + cos r = 0,5 + cos

Figura 07

Limaon com lao

r = 2 3 sen

P = (r,)

(2,0)

eixo polar

Figura 08

ROSCEAS

4

2

x 0

-2

-4

-4 -2 0y

2 4

Figura 09


LEMNISCATAS

-0,25

0,25

-0,5 -0,5 11 0 x

y

-0,125

0,125

Figura 10

ESPIRAL DE ARQUIMEDES

2

34

54

32

74

4

0

12 =

12

321

2

Figura 11


Interseo de Curvas em Coordenadas Polares

Muitos problemas em Matemtica, que apresentam uma soluo, recaem em um sistema de n equaes com n incgnitas. Esta soluo significa geometricamente o ponto de interseo das n curvas que cada equao do sistema representa. Em coordenadas cartesianas, a soluo de um sistema facilmente encontrada, principalmente quando as equaes que o constituam eram relativamente simples. Em coordenadas polares, devemos ter um pouco mais de cuidado! Um ponto do plano possui um nmero infinito de pares que o localiza.

Sendo assim, pode acontecer que um ponto de interseo entre duas curvas, satisfaa uma equao com um par de coordenadas, e a outra com outro par de coordenadas. Consequentemente, nenhum desses pares ser uma soluo para o sistema formado pelas equaes das curvas envolvidas, ou seja, as coordenadas do ponto de interseo das curvas devem satisfazer a todas as equaes do sistema.

ATENO

O problema relatado facilmente contornado se utilizarmos as equaes dos conjuntos abrangentes das curvas, para formar todos os outros possveis sistemas atravs de uma combinao destas equaes. As solues encontradas constituem as coordenadas polares de todos os pontos de interseo das curvas, exceto, possivelmente, o polo. Devemos ainda verificar se cada uma dessas curvas passa pelo polo, determinando-se, por fim, o conjunto de pontos de interseo.

O fato de conhecermos as curvas e suas propriedades poder nos fornecer dados que, na maioria das vezes, reduzem a necessidade da resoluo de todos os sistemas que podem ser formados com as equaes dos conjuntos abrangentes das curvas envolvidas.

RESUMO

Dada as curvas ( ) ( )1 2: , 0 : , 0,C f r e C g r = = podemos obter os pontos de interseo se:

1. Determinamos o conjunto abrangente de uma das curvas;

2. Resolvemos todos os sistemas formados por uma das equaes fixadas e cada uma das equaes do conjunto abrangente;

3. Verificamos se o polo est na interseo.

Vejamos os exemplos a seguir. Nele voc ir determinar o conjunto dos pontos de inter-seo das curvas dadas a seguir:

a) ( )1 2: 4cos 2 : 2;C r eC r= =b) ( )3 4: 4 6sin 2 : .6C e C

=


SOLUO:

a) Consideremos os conjuntos ( ) ( ) ( ){ }1 2cos 2 , 4cos 2E C r r = = = ( ) { }2 2, 2e E C r r= = = abrangentes de C1 e C2, respectivamente. Os possveis

sistemas de equaes e suas solues so:

( )1

4cos 2:

2r

Sr

=

=

Por substituio, ( )4cos 2 2 = , ou seja, ( ) 1cos 22

= . Segue que, 2 , 3 3

ou = =

ou seja 6 6

ou = = . Logo, temos os pontos 1 22, 2,6 6P e P

.

( ) ( ) ( )2 3 4

4cos 2 4cos 2 4cos 2: : :

2 2 2r r r

S S Sr r r

= = =

= = =

De modo anlogo, obtemos as solues 3 4 5 62 22, 2, , 2, 2,

3 3 3 3P e P P e P

7 8 2, 2,6 6e P e P

dos sistemas , respectivamente.

O polo no pertence ao conjunto soluo do sistema S, visto que a curva C, ou seja, r = 2, no passa pelo polo. Assim, o conjunto soluo do sistema :

1 2 3 4 5 6 7 82 22, , 2, , 2, , 2, , 2, , 2, , 2, , 2, .

6 6 3 3 3 3 6 6P P P P P P P P

TOME NOTA

Poderamos obter o conjunto soluo resolvendo apenas um dos sistemas acima e utilizando--se o nosso conhecimento sobre as curvas envolvidas. De fato, a curva C

1 uma roscea de

quatro ptalas, cujo espaamento entre as ptalas dado por 2 e com umas das extremida-

des no ponto Q1(4,0). A curva C

2 um crculo de centro no polo e raio 2. Se, por exemplo,

considerssemos os pontos obtidos no sistema S1, os outros pontos seriam facilmente deter-

minados utilizando-se as simetrias da roscea e do Crculo.

b) Consideremos os conjuntos abrangentes

( ) ( ) ( ){ }3 4 6sin , 4 6sinE C R R = = = e ( ) ( )4

1 6;

6n

E C n Z

+ = =

, respectivamente.


ATENO

Muito bem aluno(a), aqui precisamos de um pouco mais de cuidado, pois, E(C4 ) um conjunto com infinitos elementos.

O procedimento usual o de formar sistemas pela combinao de apenas uma equao do conjunto abrangente com infinitos elementos, com as equaes do conjunto abrangen-te com finitos elementos, esboando-se, tambm, as curvas envolvidas. Temos, ento, os seguintes sistemas:

( ) ( )1 2

4 6sin 4 6sin: :

6 6

r rS S

= =

= =

Por substituio em, 1 : 4 6sin 76S =

. Logo, temos 1 7, 6

P

.

De modo anlogo, resolvemos o sistema 1 : 4 6sin 76S =

. Dai, 2 1, 6

P

.

Para r = 0, verificamos que as equaes em C3 , C4 esto satisfeitas. O conjunto de

pontos de interseo , portanto, 1 27, , 1,6 6P P

.

Ento aluno(a), vimos mais algumas aplicaes deste fantstico sistema de referncia que o Sistema de Coordenadas Polares. O sistema polar nos d a oportunidade de estudar curvas muito interessantes, o que seria muito complicado utilizando outro sistema de referncia. Foi muito bom estar com voc nesta etapa de construo de seu conhecimento. At a prxima oportunidade!

ATIVIDADE

Acesse a(s) Atividade(s) de Fixao no material didtico online da disciplina.


Sntese

Neste mdulo voc aprendeu a trabalhar com a simetria das curvas em coordenadas polares, e viu como traar grficos em coordenadas polares. Conheceu tambm exemplos das curvas notveis em coordenadas polares. Agora, realize as atividades propostas e caso haja alguma dvida retorne ao estudo deste mdulo ou entre em contato com o(a) professor(a).

Referncias

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CONDE, Antnio. (2004) - Geometria analtica. Atlas. So Paulo.

EVES, Howard. (1997) - Introduo histria da matemtica 2 ed. Campinas, SP. Editora da Unicamp.

FRANA, J.L.; VASCONCELLOS, A.C., (2004) - Manual para normalizao de publica-es tcnico-cientficas. UFMG. 7 Edio. Belo Horizonte.

MASON, Jayme. (1977) - Pontes em concreto armado e protendido. Livros Tcnicos e Cientficos. Rio de Janeiro.

SATO, J. (2005) - As Cnicas e suas Aplicaes. Universidade Federal de Uberlndia. Uberlndia.

STEINBRUCH, Alfredo. (1987) - Geometria analtica 2 ed. Mc Graw-Hill. So Paulo.

VASCONCELOS, Augusto Carlos de. (1993) - Pontes brasileiras viadutos e passarelas notveis. Pini. So Paulo.

WINTERLE, Paulo. (2000) - Vetores e geometria analtica. Makron Books. So Paulo.

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