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15/08/2012
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Geometria Analítica
Prof. Luiz Antonio do Nascimento
www.lnascimento.com.br
• A Geometria é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades do espaço.
• Palavra vem do grego: geo- "terra", -metria "medida".
Geometria Analítica Geometria
• É importante compreender a geometria, para dar resposta a questões como:
– Que forma tem?
– De que tamanho é?
– Caberá?
• Principais estudiosos:
Geometria Analítica Geometria
Arquimedes 𝜋
Pitágoras Teorema de Pitágoras
Euclides Os elementos
René Descartes Geometria Analítica
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• A matemática e a geometria surgiram de necessidades econômicas de contabilizar diversos tipos de objetos e de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais.
Geometria Analítica Geometria
• A geometria surgiu em várias culturas antigas como um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume.
• Em relação à dimensão (2D ou 3D) – Plana
• Figuras planas (quadrado, circulo e triangulo, ...) , cálculo perímetros e áreas
– Espacial • Figuras sólidas (cubo, esfera e pirâmide, ...), cálculo de volume
• Em relação a abrangência – Euclidiana
• Geometria clássica. Duas retas paralelas são retas que se estendidas nunca se cruzam no infinito e não estão sobrepostas
– Não Euclidiana • Retas que se estendidas podem se cruzar no infinito ou espaço em que não
existem retas paralelas (geometria hiperbólica, elíptica e fractal).
• Em relação a abordagem – Descritiva
• Representação de figuras espaciais (3D) no plano (2D).
– Analítica • Cálculos geométricos utilizando a álgebra (ramo da matemática com cálculo
de expressões que utilizam letras para representar incógnitas. A outra abordagem é a aritmética que é o estudo das regras de cálculo apenas com números)
Geometria Analítica Tipos de Geometria
Problema 1
Geometria Analítica Solução de problemas com a Geometria Analítica
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• Problema da Quadratura de um Circulo:
– Dado um círculo, construir um quadrado de mesma área.
• Da para resolver apenas com Desenho Geométrico (régua e compasso)?
Geometria Analítica Solução de problemas com a Geometria Analítica
• Problema da Quadratura de um Circulo:
– Dado um círculo, construir um quadrado de mesma área.
• Da para resolver apenas com Desenho Geométrico (régua e compasso)? Não. Resolve-se facilmente com operações algébricas.
Geometria Analítica Solução de problemas com a Geometria Analítica
A área de um circulo é π.r 2. A área de um quadrado de lado x é x2.
Assim, tem-se que, x² = π. R², logo x=r π
Problema 2
Geometria Analítica Solução de problemas com a Geometria Analítica
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• Problema da duplicação de um cubo ou problema de Delliano:
– Em 439 a.C um oráculo de Apollo em Atenas profetizou que a peste da população na época só poderia ser eliminada se duplicassem o altar de Apollo que tinha 1m3.
• Os atenienses dobraram as medidas das arestas do cubo.
• A peste aumentou.
• A solução estava correta?
Geometria Analítica Solução de problemas com a Geometria Analítica
• Problema da duplicação de um cubo ou problema de Delliano:
• A solução estava correta? Não, pois:
𝑎3 = 2 × 13
𝑎 = 23
≅ 1,26
Geometria Analítica Solução de problemas com a Geometria Analítica
m3
m3
A volume de um cubo com aresta a é a³. Assim, tem-se que, duplicar o volume de lado
x é a³=2.x³, logo a=𝐱 𝟐𝟑
• Em torno de 306 a.C Euclides de Alexandria reuniu na obra “Elementos” todos os conhecimentos de geometria (texto matemático de maior sucesso de todos os tempos).
• Euclidiana (geometria clássica)
• Em Os Elementos Ponto, Reta e Plano são noções primitivas (descrições sem definições) .
• Os objetos geométricos são relacionados por meio definições e axiomas (verdades que não se precisa demonstrar).
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• Algumas descrições geométricas de Os Elementos:
Ponto “o que não tem partes”. Linha “comprimento sem
espessura”.
• Euclidiana (geometria clássica)
Reta “linha que descansa por igual em todos os seus pontos”.
Retas paralelas “complanas (mesmo plano) e que não se intersectam”.
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Problema 3
Geometria Analítica Solução de problemas com a Geometria Não
Euclidiana
• Exemplo de Geometria Não Euclidiana
• Deslocamento de um urso.
• Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10 Km para Sul, 10 Km para Leste e 10 Km para Norte, voltando assim ao ponto de partida. Aí encontrou um Urso.
• Qual a Cor do Urso?
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• Exemplo de Geometria Não Euclidiana
• Resolução do deslocamento de um urso.
– À primeira vista, podemos pensar que o problema não tem solução e, portanto, o caçador não voltaria ao ponto de partida, como mostra o seguinte esquema:
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• Exemplo de Geometria Não Euclidiana
• Resolução do deslocamento de um urso.
– No entanto, não nos podemos esquecer de que a Terra não é uma superfície plana, mas curva.
Geometria Analítica Tipos de Geometria
• Exemplo de Geometria Não Euclidiana
• Resolução do deslocamento de um urso.
– Assim a solução está à vista: Andando 10 Km segundo aquelas 3 direções perpendiculares, o caçador só voltará ao ponto de partida se iniciar a sua caminhada no Polo Norte.
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• Exemplo de Geometria Não Euclidiana • Resolução do deslocamento de um urso.
– No Polo Norte, só pode ser um Urso Polar Branco.
– A dificuldade em solucionar este problema passa pelo fato de pensarmos na Geometria sobre um plano (Geometria Euclidiana).
– Desde o século passado, com o aparecimento da Geometria Não Euclidiana, surge uma nova solução para este problema pois a Terra possui círculos concêntricos com dois polos (sul e norte).
– Não existem ursos no Polo Sul.
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Elementos que não precisam de definição para serem aceitos (ponto, reta e plano).
• Ponto
– Localização de algo no espaço.
– O ponto não tem dimensão.
– Toda figura geométrica é formada por um conjunto de pontos.
– O ponto geométrico é representado pela interseção de duas pequenas linhas ou um ponto.
– Indicado por letra maiúscula latina.
Geometria Analítica Elementos Primitivos da Geometria
A
B C
• Reta
– A reta é formada por um conjunto de pontos que se sucedem uns aos outros em sequência infinita.
– A reta não tem inicio e nem fim.
– As setas nas extremidades da representação da reta indicam que a reta continua indefinidamente nos dois sentidos.
– Indicado por letra minúscula latina.
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• Reta
– Podem ser:
Geometria Analítica Elementos Primitivos da Geometria
• Reta
– Elementos derivados de uma reta:
• Semi-reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e é ilimitada em apenas um sentido.
• Segmento de reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e um de fim que são as suas extremidades. Representada por seus pontos.
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• Reta
– Posições de duas ou mais retas:
• Retas Paralelas: duas ou mais retas que mantêm entre si uma distância constante.
• Retas Perpendiculares: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo de 900.
• Retas Oblíquas: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo inferior a 900.
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• Reta - Posições de
duas ou mais retas:
Retas Coplanares - As retas a, b e c pertencem ao mesmo plano (face do paralelepípedo).
Retas Concorrentes - As retas a e b têm um ponto comum A.
Retas Enviesadas - As retas d e c não se encontram e têm direções diferentes.
• Reta
– Posições de dois ou mais segmentos:
• Segmentos Consecutivos: dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro.
• Segmentos Colineares: dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
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• Reta
– Posições de dois ou mais segmentos:
• Segmentos Congruentes: segmentos que têm as mesmas medidas. "~" é o símbolo de congruência.
• Segmentos Adjacentes: dois segmentos (consecutivos e colineares) são adjacentes, se possuem em comum uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
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• Reta
– Posições de pontos em uma reta:
• Pontos Colineares: pontos que pertencem a uma mesma reta.
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• Plano
– Qualquer superfície plana.
– Plano é a superfície sobre a qual um objeto pode ser completamente representado.
– Pode ser identificado por letras gregas do alfabeto como por exemplo α (alfa), β (beta) e γ (gama).
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DEFINIÇÃO
• Agrupamento de números com características semelhantes.
• Números Naturais (ℕ) – É o conjunto dos números usados para contar ℕ = {0,1,2,3,...}.
• Subconjunto dos Números Naturais Não Nulos ℕ* = {1,2,3,...}.
• Números Inteiros (ℤ) – É o conjunto dos Números Naturais mais os seus representantes
negativos ℤ = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. • Subconjunto dos Números Inteiros Não Nulos ℤ* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}.
• Subconjuntos dos Números Inteiros Não Negativos ℤ+ = {0,1,2,3,...}.
• Subconjuntos dos Números Inteiros Não Positivos ℤ- = {...,-3,-2,-1,0}.
• Subconjuntos dos Números Inteiros Não nulos Não Negativos ℤ*+ = {1,2,...}.
• Subconjuntos dos Números Inteiros Não Nulos Não Positivos ℤ*- = {...,-2,-1}.
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• Números Racionais (ℚ)
– O conjunto dos números fracionários, que têm o numerador e denominador pertencente aos Números Inteiros Não Nulos.
– Exemplos de ℚ = -2, −1
2, 2,
2
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• Um número racional pode ter sua representação decimal
como por exemplo 1
2=0,5 e -
5
4= −1,25
• Um número racional pode ter sua representação decimal como dizima infinita periódica como por exemplo 1
3=0,333... e -
6
7= 0,857142857142 …
– Toda dízima exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.
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• Números Irracionais (𝕀)
– Os números irracionais são dízimas infinitas não periódicas (números que não podem ser escrito na forma de fração).
– Exemplos de 𝕀 = 2 = 1,41421 … e 𝜋 = 3,14159 …
• Números Reais (ℝ)
– É o conjunto dos Números Racionais mais os Números Irracionais.
– Exemplos de ℝ = −1
2, 2 e 𝜋.
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• Resolva a equação do 2º grau:
x² -4x + 5 = 0
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• Resolva a equação do 2º grau:
x² -4x + 5 = 0 Usar Bhaskara ⟹ 𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = 5
𝑥 = −𝑏± ∆
2𝑎
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= −4 2 − 4.1.5 Δ = 16 - 20 = -4 ∴ 𝑁𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑖𝑠.
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• Números Imaginários (𝑖) – Conjunto de todas as raízes de números negativos.
– Uma unidade imaginária representa a raiz quadrada de um número negativo. −1 = 𝑖 assim 𝑖2 = −1 .
– Assim tornou possível representar qualquer raiz quadrada de um número negativo.
• Exemplo: −81 = 81. (−1) = 81. −1 = 9𝑖
• Números Complexos (ℂ) – É o conjunto dos Números Reais mais os Números
Imaginários. • Assim tornou possível somar um Número Real com um Número
Imaginário.
• Exemplo de ℂ = 2 + 3𝑖.
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I Imaginário
ℂ Complexos
• Resolva a equação do 2º grau:
x² -4x + 5 = 0
𝑥 = −𝑏± ∆
2𝑎
∆= −4 2 − 4.1.5 = −4
∴ 𝑁𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑖𝑠.
-4 é 4.-1, e -1 = 𝑖 , logo, ∆ = 4. 𝑖 = 2i
𝑥 = −𝑏± ∆
2𝑎 = =
−(−4)±2𝑖
2.1=
4±2𝑖
2
x = 4+2𝑖
2=
4
2+
2i
2= 2 + 𝑖
x = 4−2𝑖
2=
4
2−
2i
2= 2 − 𝑖
V = {2+ 𝑖 ; 2- 𝑖 }
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Geometria Analítica Exercícios
1) Assinale com um X os conjuntos que os números pertencem:
Número Natural Inteiro Racional Irracional Real Imaginário Complexo
33,5
725
5
81
−4
4𝑖
4𝑖− 2
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Geometria Analítica Exercícios
1) Assinale com um X os conjuntos que os números pertencem:
Número Natural Inteiro Racional Irracional Real Imaginário Complexo
33,5 x x X
725 x x x x x
5 x x x
81 x x x x x
−4 x x
4𝑖 x X
4𝑖 − 2 X
Geometria Analítica Exercícios
2) Resolva as equações utilizando números complexos:
a) 𝑥2 + 𝑥 + 10 = 0
b) −𝑥2 + 4𝑥 − 29 = 0