GEOMETRIA

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COLÉGIO GERAÇÃO 2001 – DA ED. INFANTIL AO VESTIBULAR.

Geometria Espacial – Sólidos Inscritos e Circunscritos

Prof. Wagner - Matemática 3º ano EM - 2010

LISTA DE EXERCÍCIOS

1. (Unicamp 92) Dado um cubo de aresta l , qual é ovolume do octaedro cujos vértices são os centros das

faces do cubo?

2. (Uerj 2001) O modelo astronômico heliocêntrico de

Kepler, de natureza geométrica, foi construído a partir dos

cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas

concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo:

A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do

diâmetro da esfera a ele circunscrita, é:a) Ë3

b) (Ë3)/2

c) (Ë3)/3

d) (Ë3)/4

3. (Unicamp 94) Em uma pirâmide de base quadrada, as

faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito

arestas são iguais a 1.

a) Calcule a altura e o volume da pirâmide.

b) Mostre que a esfera centrada no centro da base dapirâmide, e que tangencia as arestas da base, também

tangencia as arestas laterais.

c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada

face lateral da pirâmide.

4. (Fuvest 95) Na figura a seguir, X e Y são,

respectivamente, os pontos médios das arestas AB e CDdo cubo. A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e

o do cubo é:

a) 3/8.

b) 1/2.

c) 2/3.

d) 3/4.

e) 5/6.

5. (Ita 95) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da

base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, emcm:

a) 10/3

b) 7/4

c) 12/5

d) 3

e) 2

6. (Unicamp 95) Uma pirâmide regular, de base quadrada,

tem altura igual a 20cm. Sobre a base dessa pirâmide

constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base docubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a

5cm. Faça uma figura representativa dessa situação e

calcule o volume do cubo.






7. (Ita 96) Numa pirâmide triangular regular, a área da

base é igual ao quadrado da altura H. Seja R o raio daesfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão H/R é

igual a:

a) 13

b) 13

c) 1331

d) 1331

e) 13

8. (Ufmg 94) Observe a figura.

Nessa figura, um cone reto e um cilindro de bases comuns

estão inscritos em uma esfera. O volume do cilindro é igual

ao volume do cone.

A distância do centro da esfera à base comum, em função

da altura H do cone, é

a) H/2

b) H/3

c) H/4

d) H/5

e) H/6

9. (Ufmg 95) Dois cones circulares retos de mesma base

estão inscritos numa mesma esfera de volume 36™. A

razão entre os volumes desses cones é 2.

A medida do raio da base comum dos cones é

a) 1

b) 2

c) 3

d) 2

e) 22

10. (Mackenzie 96) Num cone reto de altura 12 inscreve-seum cilindro de área lateral máxima. Então a altura do

cilindro é:

a) 3.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 10.

11. (Ufba 96) O apótema da base de um prisma reto

hexagonal regular P mede cm36 , e a altura de P mede

cm38 . Nesse prisma inscreve-se um cone reto, e a

esse mesmo prisma circunscreve-se um cilindro reto; o

cone e o cilindro têm a mesma altura de P. A área total do

cilindro é2

3238 cm x , a área lateral do cone é2

90 cm y , e o volume do prisma é3

648 cm z .

Determine a medida do volume de um paralelepípedo

retângulo cujas dimensões são, em cm, x, y e z, indicando,

de modo completo, toda a resolução do problema.

12. (Udesc 96) Um cubo de lado h é inscrito num cilindro

de mesma altura. A área lateral desse cilindro é:

a)

4 / .2

h

b) 4 / 2.2

h

c) 2 / 2.2

h

d) 2.2h

e)2

.2 h

13. (Fuvest 97) Um cubo de aresta m está inscrito em uma

semi-esfera de raio R de tal modo que os vértices de umadas faces pertencem ao plano equatorial da semi-esfera e

os demais vértices pertencem à superfície da semi-esfera.

Então, m é igual a

a) R 3 / 2

b) R 2 / 2

c) R 3 / 3

d) R

e) R 2 / 3






14. (Mackenzie 96) Seja 36™ o volume de uma esfera

circunscrita a um cubo. Então a razão entre o volume daesfera e o volume do cubo é:

a) 2 / 3

b) 3 / 8

c) 3 / 2

d) 4 / 3

e) 3

15. (Mackenzie 96) A razão entre os volumes dos cilindros

inscrito e circunscrito num prisma triangular regular é:

a) 1/2b) 1/4

c) 1/8

d) 1/3

e) 2/3

16. (Puccamp 97) Uma pirâmide reta, cuja base é um

quadrado de lado Ø e cuja altura é h, está inscrita num

cilindro reto com raio da base r e altura H. Nessas

condições, é verdade que

a) r l

b) r l 2

c) r l 2

d) 2H = h

e) H = 2h

17. (Fuvest 98) Numa caixa em forma de paralelepípedo

reto-retângulo, de dimensões 26cm, 17cm e 8cm, que

deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela

couber. O maior número de esferas iguais a essa que

cabem juntas na caixa é

a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

18. (Mackenzie 97) A área da superfície lateral de um cone

eqüilátero inscrito numa esfera de raio R é:

a) 2 / 3.2

r

b) 3 / 3.

2r

c) 4 / .3

2r

d) 2 / .32r

e)2

.3 r

19. (Ufrrj 99) Determine o volume da região compreendida

por uma esfera de raio 3

4 / 3 e por um cubocircunscrito à esfera.

20. (Ufsm 2000) Bolas de tênis são vendidas,

normalmente, em embalagens cilíndricas contendo 3

unidades.

Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e

tangenciam as paredes internas da embalagem, o espaço

interno dessa embalagem que NÃO é ocupado pelas bolas

é, em cm¤

a)3

2 a

b) 3 / 43

a

c) 3 / 3a

d)3

a

e) 3 / 23a

21. (Ufsc 2000) O volume, em3

cm , de um cubo

circunscrito a uma esfera de2

16 cm de superfície é:






22. (Ufrs 2001) A figura abaixo representa um cilindro

circunscrito a uma esfera.

Se V• é o volume da esfera e V‚ é o volume do cilindro,

então a razão V• / V‚ - V• é

a) 1/3.

b) 1/2.

c) 1.

d) 2.

e) 3.

23. (Ufrs 2001) Um octaedro tem seus vértices localizadosnos centros das faces de um cubo de aresta 2.

O volume do octaedro é

a) 2/3.

b) 4/3.

c) 2.

d) 8/3.

e) 10/3.)

24. (Ufrj 2002) Considere uma esfera E• , inscrita, e outra

esfera E‚ circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm.

Calcule a razão entre o volume de E‚ e o volume de E • .

25. (Uerj 2001) Observe a figura abaixo, que representa

um cilindro circular reto inscrito em uma semi-esfera, cujoraio OA forma um ângulo š com a base do cilindro.

Se š varia no intervalo 2 / ,0 e o raio da semi-esfera

mede r, calcule a área lateral máxima deste cilindro.

26. (Ufpe 2003) Um cubo está inscrito em um cone circular

reto, como ilustrado a seguir (uma base do cubo está

contida na base do cone e os vértices da base oposta

estão na superfície do cone). Se o cone tem raio da base

medindo 4 e altura 8, assinale o inteiro mais próximo da

medida do volume do cubo.






27. (Fatec 2003) A intersecção de um plano ‘ com uma

esfera de raio R é a base comum de dois cones circularesretos, como mostra a região sombreada da figura abaixo.

Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do

outro, a distância do plano ‘ ao centro O é igual a

a) R/5

b) R/4

c) R/3

d) 2R/5

e) 2R/3

28. (Uel 2003) Seja g a geratriz de um cone circular reto

inscrito num cilindro circular reto de mesma area lateral,

base e altura. O volume V desse cone é:

a) 24 / 3gV

b) 8 / 3gV

c) 12 / 3gV

d) 3 / 23

gV

e) 2 / 33

gV

29. (Ufrn 2004) Um artista esculpiu a metade de uma

esfera de pedra-sabão, transformando-a num cone,ilustrado na figura abaixo.

Supondo que a esfera tem raio R e a altura do cone

esculpido também é R, calcule:

a) o volume do cone esculpido;

b) o volume do material retirado da metade da esfera para

formar o cone.

30. (Ufg 2005) Considere um cone circular reto de altura xh

e raio r, h > r, inscrito em uma esfera de raio R. Determinea altura do cone quando r = 3/5 R.

31. (Ufrrj 2005) Em uma caixa d'água cúbica vazia de lado

2m, é colocada, cheia de água, uma esfera inscrita, com

espessura da parede desprezível. Estoura-se a esfera e

retiram-se seus resíduos. Qual a altura de água que

permanecerá dentro da caixa?






32. (Unifesp 2005) A figura representa um lápis novo e sua

parte apontada, sendo que D, o diâmetro do lápis, mede10 mm; d, o diâmetro da grafite, mede 2 mm e h, a altura

do cilindro reto que representa a parte apontada, mede 15

mm. A altura do cone reto, representando a parte da grafite

que foi apontada, mede s mm.

a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) retirado

do lápis.

b) Calcule o volume da grafite retirada.

33. (Pucpr 2005) A área total de um octaedro regular

inscrito numa esfera de àrea 36™ cm£ é:

a)2

318 cm

b)2

324 cm

c)2

336 cm

d)2

348 cm

e)2

354 cm

34. (Fuvest 2006) Um cone circular reto está inscrito emum paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como

mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do

paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é .

Então, o comprimento g da geratriz do cone é

a) 5

b) 6

c) 7

d) 10

e) 11

35. (Uel 2006) Um joalheiro resolveu presentear uma

amiga com uma jóia exclusiva. Para isto, imaginou um

pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo

uma pérola inscrita, com o formato de uma esfera de raio r,

conforme representado na figura a seguir.

Se a aresta do octaedro regular tem 2cm de comprimento,

o volume da pérola, em cm¤, e:

a) 3 / 2

b) 3 / 8

c) 9 / 28

d) 9 / 24

e) 27 / 68






GABARITO

1. V = 6 / 3l

2. [C]

3. a) h = 2 / 2 , v = 6 / 2

b) Sendo r o raio da esfera de centro O, que tangencia as

arestas da base e r' o raio da esfera de centro O, que

tangencia as arestas laterais da pirâmide, tem-se:

1Ž) r é o apótema de um quadrado de lado 1.

Assim: 2r = 1 ë r = 1/2 (I)

2Ž) r' é a altura relativa à hipotenusa do triângulo

retângulo, cujos catetos são a altura da pirâmide e metade

da diagonal da base e a hipotenusa e a aresta lateral da

pirâmide. Assim:

hip. OH = cat . cat

1 . r' = 2 / 2 . 2 / 2 r' = 1/2 (II)

De (I) e (II) conclui-se que a esfera centrada em O, que

tangencia as arestas da base da pirâmide, também

tangencia as arestas laterais dessa pirâmide.

c) 6 / 3

4. [D]

5. [A]

6. O volume do cubo é de 10003

cm

7. [C]

8. [E]

9. [E]

10. [C]

11. 1923

cm

12. [D]

13. [A]

14. [A]

15. [B]

16. [B]

17. [D]

18. [D]

19. V = 6 - ™

20. [A]

21. 64

22. [D]

23. [B]

24. 33

25.2

r

26. 36

27. [C]

28. [B]

29. a) 3 / 3

R

b) 3 / 3

R

30. h = (9/5) R.

31. h = 3 / m

32. a)3

250 mm

b) 32 mm 2™ mm¤

33. [C]






34. [D]

35. [E]

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