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GABARITO ITA
MATEMÁTICA
PROVA 2016/2017
3
GABARITO ITA – MATEMÁTICA
NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária i2 = –1det M: determinante da matriz MM–1: inversa da matriz MMN: produto das matrizes M e NAB: segmento de reta- de extremidades nos pontos A e B[a, b] = { : }x a x b∈ ≤ ≤
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Questão 1
Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X ⊂ Y e X ≠ Y. Considere as seguintes afirmações:
I. Existe uma bijeção f: X → Y.II. Existe uma função injetora g: Y → X.III. O número de funções injetoras f: X → Y é igual ao número de funções sobrejetoras g: Y → X.
É (são) verdadeira( s)
A ( ) nenhuma delas.B ( ) apenas I.C ( ) apenas III.D ( ) apenas I e II.E ( ) todas.
Gabarito: Letra A.Os conjuntos x = {1} e y = {1, 2} satisfazem as condições do problema, nessas condições:I. Falsa, pois não existe bijeção f: X → Y.II. Falsa, pois não existe função injetora g: Y → XIII. Falsa, pois há duas funções injetoras f: X → Y e uma função sobrejetora g: Y → X.
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GABARITO ITA – 15/12/2016
Questão 2
O número de soluções da equação (1 + secθ)(1 + cossecθ) = O, com θ E [–π,·π], é
A ( ) 0.B ( ) 1.C ( ) 2.D ( ) 3.E ( ) 4.
Gabarito: Letra A.
(1 + secθ)(1 + cossecθ) = O
Condição de existência:
cosθ ≠ 0 e senθ ≠0
θ ≠ 2π
+ kπ e θ ≠ kπ, k ∈
cosθ = –1 e senθ = –1
θ = π e θ = – 2π
Como θ é diferente de kπ e 2π
+kπ, não possui solução.
Questão 3
Sejam a, b, c, d ∈ . Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d – 140 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d – b é
A ( ) –140.B ( ) –120.C ( ) 0.D ( ) 120.E ( ) 140.
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GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Gabarito: Letra D.PG: a, b, c, dPA: a, b/2, c/4, d – 140 da PG: da PA:b a q
c a q
d a q
ba
c
b ac
a q a aq
q q q
=
=
=
= +
= +
= +
− + = → =
·
·
·
·
· ·
2
3
2
2
22 4
4
4
4 4 0
e i)
22
24 2
140
2 2140
2 2140
42
2
23
ii) ·
· ··
··
c bd
c bd
a q a qa q
aa
a
= + −
= + −
= + −
= + ·· 8 140
204080160
120
−
====
− =
abcd
d b
Questão 4
O maior valor de tg x, com x x=
∈
12
35
02
arcsen e é, ,π
A ( ) 1/4.B ( ) 1/3.C ( ) 1/2.D ( ) 2.E ( ) 3.
6
GABARITO ITA – 15/12/2016
Gabarito: Letra B.
n
x
xx
x x
x
=
=
+= ⇒ = +
12
35
235
21
35
10 3 3
3
2
2
2
arc sen
sen
TgTg
Tg Tg
Tg −− + =
= =
∈ ⇒ =
10 3 0
13
3
04
13
1 2
1
Tg
Tg e Tg
Como x Tg
x
x x
x
.
[ , ]π
Questão 5
Considere a reta r: y = 2x. Seja A = (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é
A ( ) 95
.
B ( ) 125
.
C ( ) 185
.
D ( ) 215
.
E ( ) 245
.
7
GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Gabarito: Letra C.
(3, 3)=A
: 2 2 0= ⇔ − =r y x x y
22�
�
Num quadrado as diagonais são iguais, perpendiculares e concorrem no ponto médio, além disso a medida da diagonal é 2 .
Assim,
22
2 3 3
2 1
6
10
1852 2
2=−
+⇔ = ⇒ = =
·S
Questão 6
Considere o sistema de equações
S
x y z
x y z
x y z
1 27 83
4 81 4010
2 54 247
2 3
2 3
2 3
+ + =
+ + =
+ + =
.
Se (x, y, z) é uma solução real de S, então |x| + |y| + |z| é igual a
A ( ) 0.B ( ) 3.C ( ) 6.D ( ) 9.E ( ) 12.
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GABARITO ITA – 15/12/2016
Gabarito: Letra C.
1 27 83
4 81 4010
2 54 247
1 27 8
2 3
2 3
2 3
2
x y z
x y z
x y z
xay
b cz
+ + =
+ + =
+ + =
= = =, e 33
Substituindo:
(I) a + b + c=3
(II) 4 a + 3 b + 5 c = 10
(III) 2 a + 2 b + 3 c = 7
Fazendo: (III) - 2(I), temos:
3 - 2 = 1 c c c
a b a b
a b
⇒ =
+ = ⇒ = −+ =
−
1
2 2
4 3 5
8 4
. Substituindo temos :
bb b
b
a
xx
yy y
zz
x y z
+ =
=
= −
= − ⇒ = −
= ⇒ = ⇒ = ±
= ⇒ =
+ + = −
3 5
3
1
11 1
273 9 3
81 2
1
22
3 .
++ + =3 2 6
9
GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Questão 7
O número de soluções inteiras da inequação 0 3 8 22 2≤ − + ≤x x x é
A ( ) 1.B ( ) 2.C ( ) 3.D ( ) 4.E ( ) 5.
Gabarito: Letra C.
3 8
3 8
9 48 64
2 2
2
x x x x
x x x x x
x x
+ ≤
+ ≤ ≠
+ +
,
· · ,
= 0 é solução
para 0
≤≤
+ + ≤
− ≤ ≤ −
x
x x
x
2
2 6 8 0
4 2
, com soluções:
Para valores inteiros de x:
I. x = −⇒
≤ − − ≤≤ ≤
4
0é solução
0 16 | 48 32| 2
0 2 (V)
II. x = 3 9 |27 24| 2
0 6 2 (F) − ⇒
≤ − − ≤≤ ≤
0
III. x = −⇒
≤ − − ≤≤ ≤
2
é solução
4 |12 16| 20 0 2 (V)
0
A inequação possui 3 soluções inteiras.
10
GABARITO ITA – 15/12/2016
Questão 8
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {-1,-2,-3,-4,-5}. Se C = {xy : x ∈ A e y ∈ B}, então o número de elementos de C é
A ( ) 10.B ( ) 11.C ( ) 12.D ( ) 12.E ( ) 14.
Gabarito: Letra E.
A\B –1 –2 –3 –4 –5
Logo, A · B possui 14 elementos distintos.
1 –1 –2 –3 –4 –5
2 –2 –4 –6 –8 –10
3 –3 –6 –9 –12 –15
4 –4 –8 –12 –16 –20
5 –5 –10 –15 –20 –25
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GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Questão 9
Sejam 2 2 2 21 2 = {( ) : 1} {( , ) : ( 1) 25}S x, y y x e S x y x y∈ ≤ − = ∈ + + ≤ A área da região
S S é1 2∩
A ( ) 254
2π− .
B ( ) 254
1π− .
C ( ) 254π.
D ( ) 754
1π− .
E ( ) 754
2π− .
Gabarito: Letra A.Analisando os gráficos temos em sequência
y y = |x|
x
y y = |x| – 1
x1
–1
yy = ||x| – 1|
1
1
–1
yS1y = ||x| – 1|
1
1
–1
y ≥||x| – 1|
–1
–6
4
S2
x
y
–1x
y
2
x
A área será igual a 1/4 da área do círculo menos a área de um quandrado de lado 2 , assim
( )2 25 25
2 24 4
Sπ π⋅
= − = −
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GABARITO ITA – 15/12/2016
Questão 10
Sejam a, b, e, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:
l. a bb a(log ) (log )c c= .
II. ab
bc
ca
d d dc a b
log log log
III. log ( ) logab abc c=
é (são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I.B ( ) apenas II.C ( ) apenas I e II.D ( ) apenas II e III.E ( ) todas.
Gabarito: Letra C.
I.
a kcb
cb
ba
bk
cb
ba
bk
ca
bk
log
loglog log
log log log
log log
( )
( )=
=
⋅ =
=
kk b ca
= log
Verdadeiro
II. ab
bc
ca
k
a
dc
da
db
dc
db
⋅
⋅
=
⋅−( )
log log log
log logbb c kd
adc
db
da
dc
db
da
db
log log log log
log log lolog log
−( ) −( )−( )
⋅ =
+gg log log log
log log
log log log l
da
dc
db
da
dc
dk
da
dc
db
−( ) −( )+ =
⋅ −( ) + oog log log log log log logdb
da
dc
dc
db
da
dk⋅ −( ) + ⋅ −( ) =
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GABARITO ITA – MATEMÁTICA
O
k ddk=
= =
log0 1
verdadeiro
III. log log
log
loglog
log log log
log
( )abbc
ac
abc
aab a
c
abc
ac
aab
ab
=
=
= ⋅
+ llog log log
log log log log log
log l
ac
ac
ab
ab
ac
ac
ac
ab
ab
= ⋅ +( )+ = + ⋅
=
1
oog logac
ab b⋅ ≠( )1
logac a c= ⇔ =1 (apenas neste caso a igualdade é válida, logo concluímos que o item III é falso.)
Falso.
Questão 11
Sejam D P=
100
020
003
e =
702
010
205
.
Considere A = P–1 DP. O valor de det (A2 + A) é
A ( ) 144.B ( ) 180.C ( ) 240.D ( ) 324.E ( ) 360.
Gabarito: Letra A .
A = P– 1 · D · P
A2 = P–1 · D · P · –1P · D · P
A2 = P–1 · D2 · P
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GABARITO ITA – 15/12/2016
Logo,
A2 + A = P–1 · D2 · P + P–1 · D2 · PA2 + A = P–1 · (D2 + D) · P
Det (A2 + A) = –1( )Det P · Det (D2 +D) · ( )Det P
Det (A2 + A) = Det (D2 + D)
2
2 0 0
+ = 0 6 0
0 0 12
D D
Det (A2 + A) = 2 · 6 · 12 = 144
Questão 12
Considere dois círculos no primeiro quadrante:
• C1 com com centro (x1, y1), raio r1 e área π
.16
• C2 com centro (x2, y2), raio r2 e área 144π.
Sabendo que (x1, y1, r1) e (x2, y2, r2) são duas progressões geométricas com somas dos termos
iguais a 7
4 e 21, respectivamente, então a distância entre os centros de C1 e C2 é igual a
A ( ) 123.
2
B ( ) 129.
2
C ( ) 131.
2
D ( ) 135.
2
E ( ) 137.
2
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GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Gabarito: Letra E.
Queremos a distância entre C1 e C2 que fica DC1 – C2 = x x y y1 2
2
1 2
2−( ) + −( )
Encontrando os raios
Área da circunferência C1
ππ
r
r C
1
2
1 1
1614
=
= ( )está no primeiro quadrante
Área da circunferência C2
π πrr C
2
2
2 2
14412=
= ( )está no primeiro quadrante
Como e estão em P.G.
Temos que e
x y r x y r
x r y x r1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2
, , , ,( ) ( )⋅ = ⋅ == y2
Como x y r
x y
yx
1 1 1
1 1
1
74
32
2
+ + =
+ =
=
e
.
x y rx y
y x
2 2 2
2 2
2 2
219
2 3
+ + =+ =
=e
.
Como x y
xx
x x
x y
1 1
1
1
1 1
1 1
32
232
2 3
112
+ =
+ =
+ =
= =e
x y
x xx y
2 2
2 2
2 2
9
2 3 93 6
+ =
+ == =e .
16
GABARITO ITA – 15/12/2016
D x x y y
D
d
= −( ) + −( )
= −( ) + −
=
1 2
2
1 2
2
22
1 312
6
1372
.
Questão 13
Das afirmações:
I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma 2k – 1(2m – 1), em que k e m são inteiros positivos.
II. Existe um número [0, / 2]x ∈ π de tal modo que os números a1 = sen x, a2 = sen (x + π/4), a3 = sen (x + π/2) e a4 = sen (x + 3 π/4) estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.
III. Existe um número inteiro primo p tal que p é um número racional.
é (são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I.B ( ) apenas II.C ( ) apenas III.D ( ) apenas I e II.E ( ) todas.
Gabarito: Letra A.
I. Verdadeira, pois se o número for ímpar ele é o produto de um por ele próprio, ou seja, 21–1 · (2m – 1), e se o número for par ele é o produto de um ímpar por uma potência de 2, ou seja, 2n – 1 (2m – 1).
II. Falsa, pois
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GABARITO ITA – MATEMÁTICA
( )
2 21 3 2
2
· a = a sen · sen ( + /2) = sen ( + /4)
2 sen · cos = sen + cos sen cos
2
1 (1 + 2 sen cos ) 2 sen cos = 1 + 2 sen cos2 0 = 1 F
a x x x
x x x x x x
x x x x x x
⇒ π π
⇒ ⇔
= ⇔
⇒ ⇔
Assim 2
1 3 2 · a a a≠
III. Falsa, pois 2
2 2
2 (a,b , b 0 e MDC (a,b) = 1) p = a = pb
a ap
b b= ∈ ≠ ⇒ ⇔
porém
um quadrado perfeito não pode ser igual a um não quadrado perfeito, assim p não pode ser racional.
Questão 14
Com os elementos 1, 2, ... , 10 são formadas todas as sequencias (a1, a2, ... , a7 ).Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é
A ( )
7
7!.
10 · 3!
B ( )
7
10!.
10 · 3!
C ( )
7
3!10 · 7!
D ( ) 3
10!.
10 · 7!
E ( ) 3
10!.
10
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GABARITO ITA – 15/12/2016
Gabarito: Letra B.
Casos favoráveis =
10 · 7!
7
Casos possíveis = 7 · · · · · · = 1010 10 10 10 10 10 10
7 7
7
10 10! · 7!7 7! · 3!P = · 7! =
10 10
10!P =
10 · 3!
Questão 15
Considere a equação
5012 2 250
2 ( )( – ) = .
( + b ) + 1a bi
a bia
+
O número de pares ordenados 2( , ) a b ∈ que satisfazem a equação é
A ( ) 500.B ( ) 501.C ( ) 502.D ( ) 503.E ( ) 504.
Gabarito: Letra D.
I. z a bi
z a bi
z a b
= −= +
= +2 2 2
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GABARITO ITA – MATEMÁTICA
II. zz
zz
z
zz
z
z
501
500
501
500
500
2
10
0
2
1
2
=+
=
≠
=+
=
é sol
Para temos:
.
,
| |
zz
t tt
t tt
t
Lo
serve
serve
500
500
2
1
21
2 02
1
+
⇒ =+
+ − == −
=
Seja|z| =
(~ )
( )
ggo z,| |= 1
III. zz
zz
zz
zz
z z
501
500501
1 002502
500502
1 002 500
2
1
2
1
=+
=+
⇒ =+
( )·
· · (.. 11
2
)
Como zz1 002
500 1
2. ·
( )+ = 1 vem:
Z502 = 1 ⇒ temos 502 soluções.
Total: 503 soluções
20
GABARITO ITA – 15/12/2016
Questão 16
Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e N é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em cm2, é
A ( ) 3,36.B ( ) 3,60.C ( ) 4,20.D ( ) 4,48.E ( ) 6,72.
Gabarito: Letra A.Sabendo que 6, 8, 10 é um triângulo pitagórico, então:10 6 8
4810245
6 5
3657625
2
2 2 2
· ·h
h
h
BAM
h x
=
=
=
= + −( )
= +
Pitágoras no ∆
55 10
1 4
21 4
245
12
3 36
2− +
=
⋅= ⋅ ⋅ =
x x
x
AMN
x h
,
, ,
Área do ∆
5 – x 5
86
10
B M x N C
A
h
21
GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Questão 17
Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo. entre O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede, em cm,
A ( ) 18 + 3π.B ( ) 30 + 10π.C ( ) 18 + 6π.D ( ) 60 + 10π.E ( ) 36 + 6π.
Gabarito: Letra D.
5
560°
5
B CA
O perímetro da correia será igual a medida de seis segmentos BC, e seis arcos AB.
2 6 5 516
2 5 60 10p = +( ) + ⋅
= +( )π π cm.
22
GABARITO ITA – 15/12/2016
Questão 18
O lugar geométrico dos pontos (a, b) ∈ 2 tais que a equação, em z ∈ ,
z2 + z + 2 – ( a + ib) = O
possua uma raiz puramente imaginária é
A ( ) uma circunferência.B ( ) uma parábola.C ( ) uma hipérbole.D ( ) uma reta.E ( ) duas retas paralelas.
Gabarito: Letra B.
z2 + z + 2 = a + ib
z = ki: substituindo na expressão temos:
–k2 + ki + 2 = a + bi
a = 2 – k2
b = k ⇒ a = 2 – b2.
b2 = 2 – a.
(b – 0)2 = a – 2–1
Parábola de vértice (2,0) e P = – 12
.
Questão 19
Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30 m de distância; o segundo, a 40 m; o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2/3, então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é
A ( ) 120160
.
B ( ) 119154
.
23
GABARITO ITA – MATEMÁTICA
C ( ) 110144
.
D ( ) 105135
.
E ( ) 119144
.
Gabarito: Letra E.
P P P k
Pk k
k
Pk
P
12
22
32
1
2 2
30 40 60
900 90023
600
1 60038
⋅ = ⋅ = ⋅ =
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =.
PPk
P3 33 60016
= ⇒ =.
Logo, a probabilidade de errar cada lançamento é:
PP P
P P
P P
1 1
2 2
3 3
113
158
156
= − =
= − =
= − =
A probabilidade de errar os três lançamentos é:
P P P PE = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =1 2 3
13
58
56
25144
Logo, a probabilidade de acertar ao menos um lançamento é:
P PE= − = − =1 125
144119144
24
GABARITO ITA – 15/12/2016
Questão 20
Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectiva mente, 10 cm, 15 cm e 20 cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que CD é bissetriz do ângulo
ACB e seja E um ponto do prolongamento de CD, na direção de D, tal que DBE DCB = . A medida, em cm, de CE é
A ( ) 11 6
3.
B ( ) 13 6
3.
C ( ) 17 6
3.
D ( ) 20 6
3.
E ( ) 25 6
3.
Gabarito: Letra E.
15
12
108
B C
D
EA
θθθ
Usando o Teorema das bissetrizes no triângulo ABCVamos encontrar:
AD BD= =8 12e
Usando Teo. de Stewart no triângulo ABC152 · 8 + 102 · 12 = 20 ( DC2 + 12 · 8)
DC2 = 54
DC = 3 6
O quadrilátero ACBE é inscritível logo
25
GABARITO ITA – MATEMÁTICA
AD · BD = ED · DC
8 12 3 6
16 63
16 63
3 6
25 63
⋅ = ⋅
=
= +
= +
=
ED
DE
EC ED DC
EC
Questão 21
Considere as retas de equações
r y x a s y bx c: : ,= + = +2 e
em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, com r passando por (0,1) e s, por 2 4, ,( ) determine a área do triângulo formados pelas retas r, s e o eixo x.
Gabarito:
Se r⊥s, então b b2 12
2= − ⇔ =
−
0 1 1
2 4 5
2 12
25
22
0
,
,
: , : , ,
( )∈ ⇒ =
( )∈ ⇒ =
= + = − + −
r a
s c
r y x s y xAssim ∈
( )∈ =
r
s
,
, .5 2 0 2e tgθ
�
xθ
22
−
2�
5 2
2 5 22
21216
22
121 212
22
2
2
2
( ) + = +
⇔ =
= =Portanto S
26
GABARITO ITA – 15/12/2016
Questão 22
Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação 43x–1> 34x.
Gabarito:
4 3x –1 > 3 4x
log 43x–1 > log 34x
(3x – 1)log4 > 4x · log33x · log4 – log4 > 4x · log3x (3 log4 – 4 log3) > log4x (6 log2 – 4 log3) > 2 log2x (4 log3 – 6 log2) < – 2 log2
x x<−
−⇒ <
−2 2
4 3 6 22 2
6 2 4 3log
log loglog
log log
Questão 23
Considere o· polinômio
p x x x x(x) ( ) ( ) ( ) .= − + + + − + +4 3 21 2 3 3 2 3 1 4 3 2
a) Determine os números reais a e b tais que p(x) = (x2 + ax +1)(x2 + bx+ 2).b) Determine as raízes de p(x).
Gabarito: a)
P(x) = (x2 + ax + 1) · (x2 + bx + 2)
Coef de x3:
ax3 + bx3 = (a + b)x3 ⇒ + = − −a b 1 2 3
Coef de x:
2ax + bx = (2a + b)x ⇒ + = − −2 1 4 3a b
27
GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Logo:
a b
a b
ab
+ = − −
+ = − −
= −= −
1 2 3
2 1 4 3
2 31
b)P x
x x x x
x x
x
x
( )
( ) · ( )
(II)
(II)
=
− + − + =
− + =
=±
= ±
0
2 3 1 2 0
2 3 1 0
2 3 82
3 2
2 2
2
2 −− + =
=± −
=±
x
xi
2 0
1 72
1 72
Questão 24
Sejam A e B dois conjuntos com 3 e 5 elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetivas f : B → A existem?
Gabarito: No funções: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 = 243No funções sobrejetivas: TOTAL – (~ serve) = 243 – n(A, ∪A2, ∪A3)A1: funções tq a1 ∉ Im fA2: funções tq a2 ∉ Im fA3: funções tq a3 ∉ Im f
n(A1) = n(A2) = n(A3) = 25 = 32n(A1 ∩ A2) = n(A1 ∩ A3) = n(A2 ∩ A3) = 1n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = 3 × 32 – 3 × 1 + 0 = 96 – 3 = 93
No funções sobrejetoras = 243 – 93 = 150
b1
b2
b3
b4
b5
a1
a2
a3
B A
28
GABARITO ITA – 15/12/2016
Questão 25
Sejam A= {1, 2, ... , 29, 30} o conjunto dos números inteiros de 1 a 30 e (a1, a2, a3) uma progressão geométrica crescente com elementos de A e razão q > 1.
a) Determine todas as progressões geométricas (a1, a2, a3) de razão q = 32
.
b) Escreva q = mn
, com m, n ∈ e mdc(m, n) = 1. Determine o maior valor possível para n.
Gabarito:
a) (a1, a2, a3) = (23
a2, a2, 32
a2), assim
(a2 é míltiplo de 6 e 32
a2 < 30 ⇔ a2 < 20) a2 ∈ {6, 12, 18}
b) (a1, a2, a3) = (nm
a2, a2, mn
a2), assim
a2 é múltiplo de mn e menor que mn
q = mn
> 1 ⇔ m>n
Se n ≥ 5, a2 ≥ mn ≥ 30 (descartada, já que a2 < 30), já se n = 4, m pode ser 5, gerando a solução (16, 20, 25).
Assim o maior n é 4.
Questão 26
Esboce o gráfico da função ƒ: → dada por
f ( ) .x x= −−212
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GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Gabarito:
yx
=
12
1
yx
=
12
1
yx
=
−
12
12
12
12
yx
=
−
12
12
12
30
GABARITO ITA – 15/12/2016
Questão 27
Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impos sível:
x ay zx y z
x az
+ + =− − + = −
+ =
22 3 1
3 5.
Gabarito: Pela regra de Cramer, sabemos que:
α iiAA
=DetDet
( )( )
Para o sistema ser impossível (SI) temos:
(I) Det(A) = 0
1 11 2 3
3 07 6 7 6 0
1 6
2 2
a
aa a a a
a a
− − = + + ⇒ + + =
= − = −ou
(II) Det(Ai) ≠0
Det( )Aa
aa a a ax
2 11 2 3
5 011 10 11 10 02 2− − = + + ⇒ + + =
a ≠ –1 e a ≠ –10
Logo, a = –6
31
GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Questão 28
Um triângulo retângulo com hipotenusa c = +2 1 6( ) está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determine a área total da superfície do cone obtido ao girar o triângulo em tornodo seu maior cateto.
b a
c
1
Gabarito:
Seja b o maior cateto c = +2 1 6( )
Área:
S=ab2
= prab2
a + b + c(I)
ab - c = a + b (ab - c) (a + b)
a b - 2 a
2
2 2
⇒ = ⇔
⇒ = ⇒
( )·
21
2
bbc +c =a + 2 ab +b
Pitágoras
a b - 2 abc - 2 ab= c
ab - 2 c - 2 ab = 2 (c
2 2 2
2 2
⇒
⇔⇔
++1) (II)
Substituindo (II) em (I):
ab = a +b+c +b+c⇒ + = ⇔2 1
2
( ) ac
cc + 2 = a + b + c a + b = c + 2(III)⇒
32
GABARITO ITA – 15/12/2016
Montando a equação do 2o grau temos:
x (c+2) x+ 2 (c+1) =
c 4 · 2 · (c+1) c +4 c+4 8 c 8
2
2
−∆ = + − ⇒ ∆ = − −
⇔
c
( )2 2
∆∆ = − − ⇒ ∆ = + − + −
⇔ ∆ = + − − − ⇔ ∆ =
c 4c 4 ·
x= 6 o
2 [ ( ] ( )
( )
2 1 6 4 2 1 6 4
4 7 2 6 8 8 6 4 16
2
uu x= 4 + 6 a = 6 ou b = 4 + 6
A área total do cone é dada por:
S = S + S S =t B lat t
⇒
⇒ π rr + r g
S = a + ac
S = 6 + · 6 2+2 6
S = 6 +2 6 + 12 S = 2 9
2
t2
t2
t t
π
π π
π π
π π π π
⇒
⇒
( ) ( ) ⇔
⇔ ++ 6( )
Questão 29
Determine o conjunto das soluções reais da equação 32
12 2cossec tgx
x
− = .
Gabarito:
3
2
11
31
2
1
6 1
6
2
2 22
2
2
sentg sec
cos
cos cos
cos cos
co
xx x
x
x x
x x
= + = =
−=
= −
ss cos
coscos arc cos
co
2 1 0
1 24 25
1 512
13
13
2
x x
xx x k
+ − == + =
=− ±
= ↔ = ± +
∆
π
ss x x k=−
↔ = ± +1
223
2π
π
33
GABARITO ITA – MATEMÁTICA
Questão 30
Considere o cubo ABCDEFGH de aresta 2 tal que: ABCD é o quadrado da base inferior; EFGH, o quadrado da base superior e AE BF CG DH, , e são as arestas verticais. Sejam L, M e N os pontos médios das arestas AB CG GH, ,e respectivamente. Determine a área do triângulo LMN.
Gabarito:
N
z
LMM
A
Dx
y
Coordenadas dos pontos L, M e N.
L = (0, 1, 0)M = (2, 2, 1)N = (2, 1, 2)LM
=
=
( , , )
LN ( , , )
2 1 1
2 0 2
S LM LNi j k
S i j k u a
LMN
LMN
= × =
= − − =
12
12
2 1 12 0 2
12
2 2 2 3
|| ||
.
..
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GABARITO ITA – 15/12/2016
Comentário de matemática
A prova abrangeu grande parte do programa de matemática e teve questões com uma ótima gradação de dificuldades. As questões mais difíceis foram a 05 de geometria analítica, a 08 de análise combinatória e a 17 de geometria plana e as questões mais difíceis foram a 15 de números complexos, a 20 de geometria plana e a 28 de geometria espacial. Mais uma vez a banca atingiu seus objetivos selecionando os melhores candidatos.
Professores:André FelipeAnderson IzidoroÁlvaroCarlos Eduardo (Cadu)Jean PierreSeccoThiago Esquian
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GABARITO ITA – MATEMÁTICA
QUANDO20 de dezembro de 20169:00h – 12:00ONDEA Prova será realizada em 14 unidades doElite no Rio de Janeiro.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:PORTUGUÊS
- Interpretação de texto- Frase, oração e período- Sintaxe- Orações: coordenadas, substantivas e adjetivas- Concordância nominal e verbal- Regência nominal e verbal- Morfossintaxe do que, se e como
MATEMÁTICA- Conjuntos e Funções- Produtos Notáveis e Fatoração- Sequências: PA e PG- Sistemas lineares- Análise combinatória- Trigonometria- Números complexos- Polinômios e Equações- Geometria plana
FÍSICA- Leis de Newton- Trabalho e Energia- Impulso e Quantidade de Movimento- Termologia e Dilatação-- Calorimetria e Termodinâmica- Hidrostática- Reflexão e Refração- Ondas
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GABARITO ITA – 15/12/2016