Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
-
Upload
douglasoliveiradelima -
Category
Documents
-
view
234 -
download
0
Transcript of Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
1/16
GABARITO IME
Matemática
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
2/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
2
www.sistemaeliterio.com.br
GABARITO COMENTADO
Questão 01
Os inteiros a1, a2, a3, ..., a 25 estão em PA com razão não nula. Os termos a1, a2 e a10 estãoem PG, assim como a6, a j e a25. Determine j .
Solução:
21 2 10 2 1 10
26 25 6 25
2 21 1 1 1
a , , estão em
, , estão em
( ) ( 9 )
j j
a a PG a a a
a a a PG a a a
a r a a r a 2 21 12a r r a
1
2
9a r
r 17a r
1
6 1 1 1 2 21 1
25 1 1 1
1 1 1
, 0
7
5 7 3636 169 6 13
24 7 169
( –1) 7 78
1 7 – 7 787 84
12
j j
r
r a
a a a aa a a a
a a a a
a j a a
j j
j
Questão 02
Sejam funções f n, para n 0,1,2,3... , tais que: 0
11
f x x
e 0 1 ,n nf x f f x para n ≥ 1.
Calcule f 2016(2016)
Solução:
1
2
3 0
1 1
11111
1
11
x f x
x x
f x x
x
f x f x x
Analogamente, 0 3 6 9 2016...f x f x f x f x f x uma vez que 2016 é múltiplo de
20161
3 20161 2016
12015
f
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
3/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
3
www.sistemaeliterio.com.br
Questão 03
Seja Z um número complexo tal que2Z
Zi possui argumento igual a
34
e
3log (2 2 1) 2.Z Z Determine o número complexo Z .
Solução:
Seja Z = r cis 3log (2 2 1) 2 2 cisθ+2 cis(–θ) +1= 9Z Z r r
4 cosθ = 8r
2
2cosθ
r
cosθ>02
(cosθ+ senθ) = 2+2 tgθcosθZ i i
2 2 cisθ2cis (2 – )
2cis(–θ) cis2
3 5 52 – 2k + k tg = tg
2 4 8 8
Z r
Zi r
OBS:
5 13,
8 8, mas como cos > 0 temos
138
tg tg13
8 = – tg38
22
3 2tgtg2 –1 –1 tg – 2 a – 1 = 0
8 1–tg
2 8 tg 2 1
2 tg = (– 2 – 1)
2 – 2 ( 2 1)
aa a a tg
a
a
Z i
Questão 04
Define-se A como a matriz 2016 × 2016, cujos elementos satisfazem à igualdade:
,
– 2, para , {1,2,...,2016}.
–1i j i j
a i j j
Calcule o determinante de A.
Solução:
Define-se A como a matriz 2016 × 2016, cujos elementos satisfazem à igualdade:
2, j ,para , 1,2,...,2016 .
1
i j ai i j
j
Calcule o determinante de A.
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
4/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
4
www.sistemaeliterio.com.br
2016
1 2 3 20151 ...
1 2 3 2015
2 3 4 20161 ...
1 2 3 2015
3 4 5 2017
1 ...1 2 3 2015det 4 5 6 2018
1 ...1 2 3 2015
... ... ... ... ... ...
201
A
15 2016 2017 4029...
1 2 3 2015
2016 2017 2018 40301 ...
1 2 3 2015
Jacobi: substituindo cada linha por ela menos a anterior temos:
2016
1 2 3 20151 ...
1 2 3 2015
1 2 3 20150 ...
0 1 2 2014
2 3 4 20160 ...
0 1 2 2014det 3 4 5 2017
0 ...0 1 2 2014
... ... ... ... ... ...200
A
14 2015 2016 4028...
0 1 2 2014
2015 2016 2017 4030 10 ...
0 1 2 2015 1
Laplace na 1ª coluna:
2015
1 2 3 2015...
0 1 2 2014
2 3 4 2016...
0 1 2 20143 4 5 2017
...det 0 1 2 2014
... ... ... ... ...
2014 2015 2016 4028...
0 1 2 2014
2
A
015 2016 2017 4030 1...
0 1 2 2015 1
Aplicando novamente Jacobi (substituindo cada linha por ela menos a anterior):
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
5/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
5
www.sistemaeliterio.com.br
2015
2 3 20151 ...
1 2 2014
2 3 20150 ...
0 1 2013
3 4 2016
0 ...det 0 1 2013... ... ... ... ...
2014 2015 40270 ...
0 1 2013
2015 2016 4030 20 ...
0 1
A
2015 2
Aplicando novamente Laplace na 1ª coluna:
2014
2 3 2015...
0 1 2013
3 4 2016...
0 1 2013
det ... ... ... ...
2014 2015 4027...
0 1 2013
2015 2016 4030 2...
0 1 2015 2
A
Continuando este processo teremos:
1
4030 2015 2015det det det 12015 2015 0 A A A
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
6/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
6
www.sistemaeliterio.com.br
Questão 05
Determine o conjunto solução da equação:
x
x x x (sen )(1 tg tg ) 4 cotg2
Solução:
Condições de existência:
tg :2
tg : 2 12
cot g :
x x k
x x k
x x k
x x x
x x gx x gx x x
x x x x x senxsensenx x x x
x x x x
x
x
sensen 2sen 1 tg tg 4 cot sen 1 4 cot2 cos cos
2
coscos cos 22 2 4 cot g sen 4 cot gcos cos cos cos
2 2
cos
2sen x x cos cos
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
x k x k k z
x k x k
2 2
4 cot g tg 4 cot g tg cot g 4
sen cos sen cos 1 1 14 4 2 2 sen2
cos sen cos sen 2sen cos sen2 2
2 26 12 ( )5 5
2 26 12
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
7/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
7
www.sistemaeliterio.com.br
Questão 06
Seja a equação n2 – 7m2 = (5m – 2n)2 + 49. Determine todos os pares inteiros (m, n) quesatisfazem a esta equação.
Solução:
22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
7 5 2 49 7 25 20 4 49
32 20 3 49 0 32 20 3 49
4 3 8 49 4 8 3 49
4 49 371 :
8 3 1 99
4 1 132 :
8 3 49 51
4 493 :
8 3
n m m n n m m mn n
m mn n m mn n
n m n m n m m n
n m mCaso
m n n
n m mCaso
m n n
n mCaso
m n
371 99
4 1 134 :
8 3 49 51
4 7 75 :
8 3 7 21
4 7 76 :
8 3 7 21
mn
n m mCaso
m n n
n m mCaso
m n n
n m mCaso
m n n
Questão 07
Três jogadores sentam ao redor de uma mesa e jogam, alternadamente, um dado não viciadode seis faces. O primeiro jogador lança o dado, seguido pelo que está sentado à sua esquerda,continuando neste sentido até o jogo acabar. Aquele que jogar o dado e o resultado for 6,ganha e o jogo acaba. Se um jogador obtiver o resultado 1, o jogador seguinte perderá a vez,isto é, a vez passará ao jogador sentado à direita de quem obteve 1. O jogo seguirá até queum jogador ganhe ao tirar um 6. Qual é a probabilidade de vitória do primeiro jogador a jogar?
Solução:
Seja x a probabilidade do lançador ganharSeja y a probabilidade do seguinte ganharSeja z a probabilidade do mais afastado do lançador ganhar
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
8/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
8
www.sistemaeliterio.com.br
Vamos recalcular P(A), P(B) e P(C) analisando o que acontece após o 1° lançamento
Questão 08
A circunferência C tem equação x 2 + y 2 = 16. Seja C’ uma circunferência de raio 1 que sedesloca tangenciando internamente a circunferência C , sem escorregamento entre os pontosde contato, ou seja, C’ rola internamente sobre C .
Figura a Figura b
y x z y x y x y x
z y x z = x y x = y + x
y =
x x z x z =×
x x x x
x =
2 16 4 z3 6 6 (6 4 ) 4
2 1 6 4y36 – 24 43 6
25x32
25 226 4
32 3225 22
1 79 3232 32
32
79
C
P
C’
C
P
α
C’
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
9/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
9
www.sistemaeliterio.com.br
Define-se o ponto P sobre C’ de forma que no início do movimento de C’ o ponto P coincidecom o ponto de tangência (4,0), conforme figura a. Após certo deslocamento, o ângulo deentre o eixo x e a reta que une o centro das circunferências é , conforme figura b.
Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C’ em função do ângulo . Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto P
quando varia no intervalo [0, 2).
Solução:
a. Há dois modos de medir o caminho realizado por P, pela circunferência maior ou pelamenor, igualando as duas obtemos:
r1 1=r22 → 4=1·θ
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
10/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
10
www.sistemaeliterio.com.br
3
3
3 3
3cos sen(3 90)3cos cos3
4cos
3sen cos(3 90)
3sen sen34sen
(4cos ,4sen )
x x
x
y
y y
P
b.
3 3
2 2
2 2
3 3
cos sen4 4
cos 1
14 4
x y e
sen
x y
Questão 09
Uma corda intercepta o diâmetro de um círculo de centro O no ponto C’ segundo um ângulode 45°. Sejam A e B os pontos extremos desta corda, e a distância AC ’ igual a 3 1 cm. Oraio do círculo mede 2 cm, e C é a extremidade do diâmetro mais distante de C ’. Oprolongamento do segmento AO intercepta BC em A’. Calcule a razão em que A’ divide BC .
Solução:
1a Solução:
Lei dos Senos no ' AOC :
' 3 1 2 2 3 1 6 2sen sen 75
sen sen45 sen 2 2 422
AC AO
ou 105 Razão
de Áreas:
'.'
'
OA OBS A OB x x S A OC y y
sen60º2
'.OA OC
3sen60º 2sen105ºsen105º
2
x x y y 6 2
4
2 3 6 2 18 6 3 2 62 26 2 6 2
x x x y y y
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
11/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
11
www.sistemaeliterio.com.br
2a Solução:
Sendo AÔC’ = e aplicando lei dos senos em AOC’ temos:
2 3 1 2 ( 3 1)sen ·
sen45 sen 2 2
6 2sen
4
Daí = 75° ou = 105°Onde = 75° não serve pois o triângulo AOB deveria ser equilátero o que não é possível,logo, = 105° e daí OAC’ = 30°.
Traçando AC temos AÔC = 75° e ''
'¨
' AA C
AA B
S A C S A B
Fazendo OÂC = e aplicando lei dos senos em AOC , temos:
' '
'
'B
2 2 sen 75sen = I
sen sen75
· AA' · sen · ' · sen302 2
· AA'
AA C AA B
AA C
AA
AC
AC
AC AB AAS S
S AC S
·sen
2 2
·· ' AB AA
· sen30
· senII
· sen30
AC
AB
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
12/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
12
www.sistemaeliterio.com.br
Fazendo I em II
AC · 2 sen75°
AC
6 22
4 6 21· sen30 · 22
AB AB
1
2 AB
¨
Por potência de ponto ' 3 1BC e 2 3. AB Logo,
' 2 3 6 2 3 2 6' 26 2 6 2
A B A C
Questão 10
Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do cone é o círculo inscritona base ABCD. O vértice do cone é o centro da face oposta do cubo. A projeção do vértice H na base ABCD coincide com o vértice D. Determine a área da seção do cone pelo plano ABH
em função de a, a medida da aresta do cubo.1a Solução:
Excentricidade =
coscos
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
13/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
13
www.sistemaeliterio.com.br
Eixo maior da elipse= MM’
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
14/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
14
www.sistemaeliterio.com.br
' / 2'
' 2
2 22
2 3
2Semi-eixo maior da elipse3
cos cos45 2 / 2 10cos 4 / 5 / 2 2 / 5
10 2 24 3
E
M N a x M N
MM a
x a x a x
a a
c e
a a a
ac
512a
2 2 22 2 2 2 2
2
6
5 2 3 336 9 36 6
2 3 63 6 18
E E E E E
E E
a a a ab c a b b b
a a a Área a b
2a Solução:
Após encontrarmos 2
3ea
a , usaremos que o foco é o ponto de contato entre o plano de
corte e a esfera que tangencia as geratrizes do cone e o plano de corte (teorema de Dandelin)
M ’ F = semi-perimetro – OM
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
15/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
15
www.sistemaeliterio.com.br
52
2' 2
3
1 5 5'
3 2 61 2 2 4 5 5
'2 3 6 2
2 53 6
2 53 6
2
e e
aOM
MM a
a aOM
a a aM F
a a
a aa c
a3
2
e
ac
3
2 2 22 2
2
5 56 6
5 2 3 336 9 36 6
2 3 63 6 18
e
e e e
a ac
a a a ab b b
a a aárea
-
8/18/2019 Gabarito Ime Elite Comentado 2ª Fase Matemática 2015 Final
16/16
Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015
16
www.sistemaeliterio.com.br
Comentário:
Apesar de não ser uma novidade encontrar uma prova do IME de Matemática muito difícil,vale ressaltar que a deste ano foi particularmente ainda mais difícil que as dos anosanteriores. A prova tinha apenas duas questões fáceis (as duas primeiras) e outras duas
médias (a questão 3, de Números Complexos, e a 8, de Geometria Analítica). Excetuando-se essas questões, a prova não tinha nada de tão tranquilo. A questão 5, de Trigonometria,era factível, porém era necessário escolher o caminho correto para não se perder em grandescontas. Os outros cinco problemas restantes foram considerados difíceis. É possível que,devido ao alto nível da prova, haja poucos aprovados para o restante do processo seletivo.
ProfessoresAndré FelipeBruno PedraJean PierreMarcelo Xavier
Ricardo SeccoRodrigo MenezesTuane Viana