7/26/2019 Gabarito - Folha 02

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BANCO DE EXERCCIOS - 24 HORAS

5 ANO ESPECIALIZADO/CURSO MILITAR/APLICAO/PEDRO II

1 Como queremos encontrar os restos 9 e 15 vamos seguir os passos abaixo, veja:1 Retiramos os restos dos nmeros citados assim: 549 9 = 540 465 15 = 4502 O nmero que precisamos encontrar tem que ser comum e o maior possvel , logo ser o m.d.c. entre 540 e 450: m.d.c.(540, 450 = 903 Ao dividirmos os nmeros iniciais por 90 teremos: 549 : 90 = 6 e resto = 9 465 : 90 = 5 e resto = 15

2 Considerando n um nmero mltiplo de 3, temos: Nmero menor = n Segundo nmero = n + 3 Nmero maior = n + 6

Como o triplo do menor igual a dobro do maior, temos:3 n = 2 .(n + 63 n = 2 n + 123 n 2 n = 12n = 12 (menorn + 6 = 18 (maior18 divisor de 54.

3 Os nmeros procurados so mltiplo do m.m.c. entre 28, 42 e 63 maiores que 300 e menores que 1 000. O m.m.c(28, 42, 63 = 504. O nico mltiplo de 504 maiores que 300 e menores que 1 000 o prprio 504, portanto temosapenas 1 que possui em comum, como divisores, os nmeros 28, 42 e 63.

4 Marque a alternativa

a O nico nmero primo que par o nmero 2. (verdadeirob Um nmero natural divisvel por 9 quando a soma de seus algarismos resulta em um nmero que seja mltiplo

de 9. (verdadeiroc Um nmero natural mltiplo de 6 quando for mltiplo de 2 e 3, ao mesmo tempo. (verdadeirod Um nmero natural divisvel por 4 quando a soma dos seus algarismos for um mltiplo de 4. (errado

Um nmero natural divisvel por 4 quando termina em 00 ou quando o nmero formado pelos seus dois ltimosalgarismos direita divisvel por 4.e Todo nmero primo divisvel somente por 1 e ele prprio. (verdadeiro

5 Seja N = 3 6 9 12 15 20 25 27. Ento, o nmero de divisores de N : Decomponha em fatores primos todos os fatores de N, assim: N = 3 6 9 12 15 20 25 27. N= 3 2 3 3 2 2 2 3 5 2 2 5 52 3 3= 2 5 3 9 5 4

Pela regra dos expoentes temos (5 + 1 . (9 + 1 . (4 + 1 = 6 x 10 x 5 = 300 divisores.N possui 300 divisores e 300 um mltiplo de 12.

6 A quantidade de mltiplos comuns a 7, 15 e 45 que so maiores que 0 e menores que 1000 :m.m.c.(7,15,45 = 315315 .2 = 630315 .3 = 945So 3 mltiplos comuns de 7,15 e 45 maiores que 0 e menores que 1000.

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.2.

7 Os trs eventos voltaro a se manisfestar, simultaneamente, num tempo que ser o menor mltiplo comum de 3,5 e 6 segundos.m.m.c.(3,5,7 = 105

8 m.m.c.(25,125 = 125q = 125m.d.c.(25, 125 = 25r = 25

d = 102D = d . q + rD = 102 . 125 + 25 = 12 775

9 Lembrando que A x B = MMC (A,B x MDC (A,B , temos:2 160 = 180 x MDC (A,BMDC (A,B = 2160 : 180 = 12Temos, ento que:AxB = 2 160 = 24 x 3 3x 5MDC (A,B = 12 = 22x 3

MMC (A,B = 180 = 22

x 32

x 5 No sabemos quais so os nmeros A e B, mas sabemos que tanto o MMC como o MDC deles tm o fator 2 2. OMMC tem fatores comuns e no comuns elevados ao maior expoente, e o MDC tem fatores comuns elevados aomenor expoente. Em relao aos expoentes do fator 2, isto s possvel se tanto A quanto B tiverem o mesmofator 22. Temos agora que descobrir com quais expoentes aparecero os fatores 3 e 5 em A e B. O problema falaque: o maior mltiplo de 5 e no de 9. Consideramos, ento que A o maior deles. Ento A tem que ter o fator5, e B no tem o fator 5. Falta agora analisar o fator 3. Se o maior deles no mltiplo de 9, ento A deve aparecercom o fator 31, ficando:A = 22x 3 x 5 = 60B = 24x 3 2 = 36O menor desses dois nmeros 36.

10 Lembramos que o produto entre dois nmeros sempre igual ao produto do seu m.m.c. e seu m.d.c. Temos ento:A x B = m.m.c. (A,B x m.d.c. (A,B = 221Fatorando 221 temos:221 = 13 x 17

Como ambos os nmeros so maiores que 1, a nica forma do seu produto ser 13 x 17 um sendo 13 e o outrosendo 17. O problema pede a diferena entre esses nmeros, que vale 4.

11 Todos os alimentos das bandejas foram consumidos sem sobras.Cada bandeja de arroz serve 3 pessoas. o nmero de pessoas mltiplo de 3.

Cada bandeja de maionese serve 4 pessoas. o nmero de pessoas mltiplo de 4.Cada bandeja de carne serve 5 pessoas. o nmero de pessoas mltiplo de 5.Cada bandeja de massa serve 6 pessoas.o nmero de pessoas mltiplo de 6.

O nmero de pessoas mltiplo de 3, 4, 5 e 6. Ento o nmero de pessoas deve ser igual ao m.m.c entre 3, 4 ,5e 6, ou ento um mltiplo deste valor.m.m.c. (3,4,5,6 = 60.O nico mltiplo de 60 entre as opes 120.

12 Os nmeros podem ir de 102 a 987.I O nmero 102, mltiplo de 6. (V

II O nmero 984, divisvel por 3. (VIII O nmero 968, divisvel por 11. (VPara encontrar o nmero 968, partimos do ltimo mltiplo de 11 inferior a 1 000, que 990, e subtramos 11 sucessivas

vezes at encontrar um com trs algarismos diferentes, que seria no caso, 968.

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13 Este tipo de problema pode ser resolvido com m.m.c. entre os nmeros, somado com o resto, mas isso s funcionaquando o resto o mesmo para todos os nmeros. Neste problema, os restos so 1, 3 e 7. Quando isso ocorre, asoluo em geral no o m.m.c. somado com o resto, e sim, o m.m.c. subtrado de um valor, caso seja o mesmopara todos os nmeros. Veja o que ocorre:Dividido por 5 deixa resto 1Faltam 4 para ser mltiplo de 5.Dividido por 7 deixa resto 3Faltam 4 para ser mltiplo de 7.Dividido por 11 deixa resto 7Faltam 4 para ser mltiplo de 11.Ento este nmero um mltiplo de 5, 7, 11 menos 4.m.m.c.( 5,7,11 = 385

O problema diz que o nmero no superior a 400, ento este o mltiplo procurado. O nmero 385 4 = 381. pedido o resto da diviso deste nmero por 8, que 5.

14 O nmero procurado um mltiplo do m.m.c. entre 3, 5, 9 e 10, que 90. Um mltiplo de 90 entre 5 000 e 6 000pode ser ento 5040, 5130, 5220, 5310, 5400, 5490, 5580, 5670, 5760,5850 ou 5940. Como o algarismo das cente-nas tem que ser maior que o algarismo das dezenas, os nicos que atendem so 5310, 5400, 5760, 5850 ou 5940.O menor deles 5310, seu resto da diviso 11 8.

15 Inicialmente encontramos os divisores de 108: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54 e 108. Cada divisor determina quantos alunos cada grupo ter. O nmero de alunos por grupo tem que estar entre 5 e

20 exclusive, ento s pode ser 18, 12, 9 e 6, so portanto 4 formas.

16 Como queremos o menor nmero de 4 algarismos vamos considerar o algarismo 1 ocupando a ordem das unidadesde milhar, temos assim:N = 1 ____ 2 4

Para que N seja divisvel por 3 a soma de seus algarismos tem que ser divisvel por 3, ento o algarismo das cen-tenas deve ser 2. Logo N = 1 224.N + 2 = 1 224 + 2 = 1 2261 226 no mltiplo de 10.N = 1 224 = 23x 3 2x 17N possui 3 divisores primos (2, 3 e 17Pela regra dos expoentes temos (3+1 x ( 2 + 1 x ( 1 + 1 = 4 x 3 x 2 = 24 divisores.N + 1 = 1 224 + 1 = 1 2251 225 mltiplo de 7.

17 Para que o nmero 581 seja divisvel, ao mesmo tempo por 2 e 3 tem que ser igual a .Para que o nmero 65 dividido por 11 deixe resto 8, tem que ser igual a .Para que o nmero dividido por 4 deixe resto 2, o menor valor de .

188 15 2 8 15 16 15 15 14

15 149 3 (3 3 3 3 3(3 3 3 33 3 3 3

19 A B = 336 o maior e o menor dos nmeros.

Sabemos que quando um nmero mltiplo do outro o m.m.c. o maior deles.Como o m.m.c.(A,B = 378 , ento A = e B = 378 336 =A soma desses dois nmeros ento 378 + 42 =

20 Para que os divisores sejam os menores possveis o quociente tem ser o maior possvel. Como os quocientesobtidos precisam ser iguais e o maior possvel, ser obtido atravs do clculo do m.d.c. entre 391 e 527 que 17.Sendo assim temos:

391 : a = 17 = 391 : 17 = 23527 : b = 17 = 527 : 17 = 31Como a e b so os dois menores divisores de 391 e 527 para que o quociente entre eles seja 17, entob a = 31 23 =