MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICACOLÉGIO PEDRO II - CPIIPró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e CulturaAvaliação 2 - Aritmética - MA14 - 2016Prof.a Luciana S. da Silva Martino

Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]

Sobre o que estudamos à respeito dos Números Primos, leia com atenção os seguintes itens e faça o que é pedido:

a) Seja p > 1 um número natural com a seguinte propriedade:

Se p divide o produto de dois números naturais quaisquer, então p divide um dos fatores

Mostre que p é necessariamente primo

Suponha que p tenha a propriedade mencionada, mas que não seja primo.

Assim p = a.b, com 1 < a < p e 1 < b < p.

Por hipótese, p | a ou p | b. Logo 1 < p < a e 1 < p < b, o que é uma contradição.

b) Enuncie o Lema de Euclides, a recíproca do resultado exposto no item a

Lema de Euclides: Sejam a, b, p ∈ Z, com p primo. Se p | ab, então p | a ou p | b.

c) Ache o resto da divisão de 12p−1 por p quando p é primo

. Quando (12, p) = 1, isto é, quando p - 12, ou seja, quando p 6= 2 e p 6= 3, temos pelo Pequeno Teorema de Fermatque o resto da divisão de 12p−1 por p é 1.

. Quando p = 2 ou p = 3 o resto é zero.

Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 0,50 pt]

Após os pitagóricos, o próximo matemático a fazer parte da história dos números perfeitos foi Euclides(aproximadamente 300 a. C.). Seu IX livro dos Elementos contém, além da de�nição de números perfeitos, umaproposição muito particular a respeito desses números:

�Se tantos números quantos se queira começando a partir da unidade forem dispostos continuamente numa proporção

duplicada até que a soma de todos resulte em um número primo, e se a soma multiplicada pelo último origina algum

número, então o produto será um número perfeito�

a) Traduza essa proposição para a linguagem matemática atual. Em seguida, enuncie o Teorema de Euclides-Euler,visto em sala de aula quando estudamos os Números Especiais

Considere a sequência de n números inteiros, 1, 2, 22, 23, ..., 2n−1.

Considere a soma desses n números 1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 2n−1 = p, sendo p primo.

Ou ainda, Sn = 1.(2n−1)1 = 2n − 1 = p.

Se (2n − 1).2n−1 = m, sendo m um inteiro, então m é um número perfeito

Teorema de Euclides-Euler: Um número natural n é um número perfeito par se, e somente se, n = 2p−1(2p − 1),onde 2p − 1 é um primo de Mersenne.

b) De�na número perfeito

Um número natural n é chamado de número perfeito se S(n) = 2n, sendo S(n) a soma de todos os divisores naturais donúmero n

c) Mostre que os únicos dois números primos cujo produto é perfeito são 2 e 3

Sejam p e q dois primos distintos. Sem perda de generalidade, suponhamos p < q.

Se pq é perfeito devemos ter 1 + p+ q + pq = S(pq) = 2pq, ou ainda 1 + p+ q = pq.

Por outro lado, como p < q então pq = 1 + p+ q < 3q. Logo p < 3, ou seja, p = 2.

Assim 1 + p+ q + pq = 2pq ⇒ 1 + 2 + q + 2q = 4q. E então q = 3.

Questão 3 [2,00 pts]

Prove, utilizando o conceito de congruências, que o quinto número de Fermat F5 = 225

+ 1 não é primo

. Uma solução: Note que, da igualdade 641 = 5.27 + 1, temos que 5.27 ≡ −1 mod 641.

Portanto, 54.228 = (5.27)4 ≡ (−1)4 ≡ 1 mod 641 (*)

Por outo lado, 641 = 54 + 24 e assim 228.(54 + 24) = 228.54 + 232 ≡ 0 mod 641 (**)

De (*) e (**) temos que

54.228 + 232 ≡ 0 mod 641− 54.228 ≡ 1 mod 641

232 ≡ −1 mod 641

Ou ainda, 1 + 225 ≡ 0 mod 641, o que implica que 641 | F5.

. Outra solução: Temos que os possíveis divisores primos de F5 são os números primos da forma 26k + 1.Fazendo k variar de 1 a 10 obtemos os candidatos: 65, 129, 193, 257, 321, 385, 449, 513, 577 e 641, dos quais apenas193, 257, 449, 577 e 641 são primos. Vamos testar esses valores:

. p = 193:

28 = 256 ≡ 63 mod 193 ⇒ 232 ≡ 634 ≡ 108 mod 193 ⇒ 232 + 1 ≡ 109 6≡ 0 mod 193

. p = 257:

28 = 256 ≡ −1 mod 257 ⇒ 232 ≡ (−1)4 ≡ 1 mod 257 ⇒ 232 + 1 ≡ 2 6≡ 0 mod 257

. p = 449:

28 = 256 ≡ −193 mod 449 ⇒ 232 ≡ (−193)4 ≡ 324 mod 449 ⇒ 232 + 1 ≡ 325 6≡ 0 mod 449

. p = 577:

216 ≡ 335 mod 577 ⇒ (216)2= 232 ≡ 287 mod 577 ⇒ 232 + 1 ≡ 288 6≡ 0 mod 577

. p = 641:

216 ≡ 154 mod 641 ⇒ 232 ≡ 1542 ≡ 640 mod 641 ⇒ 232 + 1 ≡ 641 ≡ 0 mod 641 ⇒ 641 | F5.

Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 0,50 pt; (d) = 0,50]

a) De�na um sistema reduzido de resíduos módulo m

Um sistema reduzido de resíduos módulo m é um conjunto de números inteiros r1, ..., rs tais que:

i) (ri,m) = 1, para todo i = 1, ..., s

ii) ri 6≡ rj mod m, se i 6= j

iii) Para cada n ∈ Z tal que (n,m) = 1, existe i tal que n ≡ ri mod m

b) De�na a função ϕ : N→ N, que em sala chamamos de função � de Euler

A função ϕ : N→ N, chamada função � de Euler é tal que:

i) ϕ(1) = 1

ii) ϕ(m) representa o número de elementos de um sistema reduzido de resíduos módulo m > 1, que corresponde àquantidade de números naturais entre 0 e m− 1 que são primos com m.

c) O Pequeno Teorema de Fermat pode ser generalizado como segue:

Se p é um número primo, então para todo a ∈ Z e todo k ∈ N, tem-se que ak(p−1)+1 ≡ a mod p

Demonstre esse resultado

Se p | a então a = qp e a congruência é imediata já que qpk(p−1)+1 ≡ qp mod p.

Se p - a, temos pelo Pequeno Teorema de Fermat que ap−1 ≡ 1 mod p. Assim ak(p−1) ≡ 1 mod p e entãoak(p−1)+1 ≡ a mod p

2

d) No entanto, não é verdade em geral que para todo a ∈ Z e todo k ∈ N se tenha akϕ(m)+1 ≡ a mod m. Justi�que essaa�rmação.

A congruência akϕ(m)+1 ≡ a mod m só é válida se (a,m) = 1, pois é consequência do Teorema de Euler que diz que sem, a ∈ Z, com m > 1 e (a,m) = 1 então aϕ(m) ≡ 1 mod m.Se (a,m) 6= 1 ela pode ser falsa. De fato, se m = 4 e a = 2 temos aϕ(m)+1 = 22+1 = 8 6≡ 2 mod 4.

Questão 5 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]

a) De�na resíduo quadrático módulo p, para a um número inteiro

Seja a ∈ Z. Quando a congruência X2 ≡ a mod p possui alguma solução, diz-se que a é resíduo quadrático módulo p.

b) Determine os valores de a para os quais a é resíduo quadrático módulo 125

Temos que X2 ≡ a mod 125 tem solução se, e somente se, X2 ≡ a mod 5 tem solução, sendo (a, 5) = 1.

Valores possíveis: a = 0, 1, 2, 3 e 4

. a = 0 ⇒ X2 ≡ 0 mod 5 ⇒ X = ±5

. a = 1 ⇒ X2 ≡ 1 mod 5 ⇒ X = ±4

. a = 2 ⇒ X2 ≡ 2 mod 5 não tem solução

x = 5q ⇒ (5q)2= 25q2 ≡ 0 mod 5

x = 5q + 1 ⇒ (5q + 1)2= 25q2 + 10q + 1 ≡ 1 mod 5

x = 5q + 2 ⇒ (5q + 2)2= 25q2 + 20q + 4 ≡ −1 mod 5

x = 5q + 3 ⇒ (5q + 3)2= 25q2 + 30q + 9 ≡ 4 mod 5

x = 5q + 4 ⇒ (5q + 4)2= 25q2 + 40q + 16 ≡ 1 mod 5

. a = 3 ⇒ X2 ≡ 3 mod 5 não tem solução

. a = 4 ⇒ X2 ≡ 4 mod 5 ⇒ X = ±3

A congruência dada tem solução se, e somente se, a ≡ 0, 1, 4 mod 5.

3