Gabarito - Ambiente Virtual de Aprendizagem · Sendo A o conjunto dos países da América do Sul e...

Gabarito

Sistemas numéricos1. Números naturais.

2. N

3. Infinito.

4. Infinito.

5. Não. Contraexemplo: número 7.

6. Não, pois sempre é possível encontrar um número maior, bastando somar mais uma unidade.

7. 0

8. 1

9. 9

10. Não existe.

11. Sim.

12. Conjunto dos números naturais.

13. 0

14. 12, 0, –1, 1, 49 e –4

15. Sim, pois os divisores dos números primos são Dp = {1, –1, p, –p}.

16. Sim.

17. 14

18. 1

19. Para responder esta questão é importante que saibamos quais são as regras de divisibilidade:

Métodos Quantitativos Matemáticos

158

Todos os números inteiros são divisíveis por 1.

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par.

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3.

São divisíveis por 4 todos os números cujo os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

São múltiplos de 6 todos os números pares divisíveis por 3.

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos forma um número divisível por 7.

São divisíveis por 8 todos os números cujo antepenúltimo algarismo seja par e os dois últimos formem um múltiplo de 8. Também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja divisível por 8.

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Conhecendo as regras de divisibilidade é possível encontrar um número de três algarismos que seja divisível ao mesmo tempo por todos os números pedidos.

Resposta: 180

20. Para responder esta questão o aluno deve saber quais são os números primos. Utilizando os números primos temos as seguintes divisões:

Número primo 2: 2102

= 105


= 70


= 42

Gabarito

159


= 30


= 19,09

Após realizar as divisões percebemos que o menor número primo que não divide o número 210 é 11, pois o resultado não é exato.

21. Não.

22. 1 2 4; ;

14 9 22

23. Não.

24. 2,5125

25. 0,9825

26. 1,53

27. 24

99 ou

8

33

28. 2 121

999 ou

412 .

333

29. 525

9 000 ou

7120

30. I = R – Q

31. R = Q ∪ I

32. ð1 11 15; ; ; 1; ;

4 14 16e π

33. 3 1 3 6

–e; –2; – ; –1; – ; 0; ; 1; e;2 4 4 2

34. p precisa ser positivo.

35. 2; 3 e 5

36. π + 5, 5e

37. 7e 7 5

738. Sim.


160

39. Não.

40. Sim.

41. Não.

42. Sim.

43. Sim.

44. Sim.

45. Sim.

46. Sim.

Operações com números reais

1.

49

29

1 14

13

49

92

4 14

13

361834

13

234

13

2 43

13

83

1

−+ ⇒

−+ ⇒ + ⇒ +

+ ⇒ +

: .

.33

93

3⇒ =

49

29

1 14

13

49

92

4 14

13

361834

13

234

13

2 43

13

83

1

−+ ⇒

−+ ⇒ + ⇒ +

+ ⇒ +

: .

.33

93

3⇒ =

49

29

1 14

13

49

92

4 14

13

361834

13

234

13

2 43

13

83

1

−+ ⇒

−+ ⇒ + ⇒ +

+ ⇒ +

: .

.33

93

3⇒ =

2. 4

ou 0,85

3. 38

4. 45

5. 10

6. 399

7. 1

8. 39

9. 2ab

10. 880

11. 8 16

a) b)9 5

8 16

a) b)9 5

Gabarito

161

12. 21

a) b) 84

21

a) b) 84

13. 7 113

a) b)5 9

7 113

a) b)5 9

14. 11 4

a) b)20 15

11 4

a) b)20 15

15. 1 7

a) b)4 5

1 7

a) b)4 5

16. -1

a) b) 15

-1

a) b) 15

17. 1 11

a) b)4 6

1 11

a) b)4 6

18. 7

a) 1 b)5

b) 27

2519. R$280.000,00

20. R$320.000,00; R$480.000,00 e R$600.000,00.

21. 4 2 3 22

8 62

22

1. .− ⇒ − ⇒ =

22. 1 213 32a) 20 b) 10 c) 2

23. − −−

⇒ −−

⇒ −−

=4 32 2

71 2

71

70( )

24. = =3 42 33 4a) 10 100 b) 5 c) 2 8

25. a) 8 b) –1 c) 2

26. a) 2 b) 5 c) –2

27. − − + −−

+ ⇒ + −

( )2 1

16

1

12

1

8

2 1

16

114

14

2 43

4

+ ⇒ + −

+ ⇒ + − + ⇒ + − + = −1

82 1

21 4

11

40962 1

24 1

1632 8 64 1

162

43 3. 33

16

− − + −−

+ ⇒ + −

( )2 1

16

1

12

1

8

2 1

16

114

14

2 43

4

+ ⇒ + −

+ ⇒ + − + ⇒ + − + = −1

82 1

21 4

11

40962 1

24 1

1632 8 64 1

162

43 3. 33

16


162

28. 1

29. 2 2 2 2 2 29184

9184 9

18

4 918

4 412

12( ) ( ) ⇒

⇒

. . .

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

4 42

42 2 22 2 2 2 16. . 4 . 4

2 2 2 2 2 2918

4918

4 918

4 918

4 412

12( ) ( ) ⇒

⇒

. . .

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

4 42

42 2 22 2 2 2 16. . 4 . 4

30. 4 5

31. (–4)2 –3(–4) + 1 16 + 12 + 1 29

32. – 3

33. −

− −

⇒−

−

⇒

110

1100

110

1100

1000

1100

110

2

. 1

−− −

⇒ − ⇒ − = −

1 100001

10

11000

101

110000

11100

1 1

. 1

−

− −

⇒−

−

⇒

110

1100

110

1100

1000

1100

110

2

. 1

−− −

⇒ − ⇒ − = −

1 100001

10

11000

101

110000

11100

1 1

. 1

34. 2 32

12

32

4 94

42

16 9442

25442

254

24

5016

25 216

22

+

+⇒

+⇒

+

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = . . 55 24

2 32

12

32

4 94

42

16 9442

25442

254

24

5016

25 216

22

+

+⇒

+⇒

+

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = . . 55 24

35. a b c a b c a a b c b a b b c+ + + + −

+ + −

+ + −

2 2 2 2

. . .

5 4 32

5 4 32

5 5 4 32

4 5 4 32

3+ + + + −

+ + −

+ + −

. . .

122

122

5 122

4 122

3 6 12 102

12 8 . . . . −

−

−

⇒ −

−22

12 62

−

.

6 22

42

62

2888

36 . . .

⇒ =

36. –2x + 7

Gabarito

163

37. 3 . (a2 + a + 1) + 2 . (a2 + 2a – 2)–(a2 + 3a – 3)

3a2 + 3a + 3 + 2a2 + 4a – 4 – a2 – 3a + 3 5a2 – a2 + 7a – 3a + 6 – 4

4a2 + 4a + 2

38. x . (x2 – xy + y2) + y . (x2 – xy + y2)

x3 – x2y + y3 + x2y – xy2 + y3

x3 + y3

39. a . (a + b – c) + b . (b + c – a) + c . (a – b + c)

a2 + ab – ac + b2 + bc – ab + ac – bc + c2

a2 + b2 + c2

40. 2 1

2 1

2 1

2

12

1

12 2

1 1

2 3 1 2− −

− −

− − −+ −( )+ −( )

+ −( )

⇒

+−( ))

−

−

−

22

1

12

1

12

1

2

14

1

1 22

114

1

2

1 4412

+

−

−

⇒

+

−

−

⇒−

1

1 442

5412

11

342

−

54

2 134

12

104

138

1 . .

−( )

−

⇒

−

⇒ 004

83

8012

−

⇒ .

Dividindose 80 e 12 por 4, temos 203

41. a) 2(4x + 3y + z) b) (x + 3)(x – 2)

42. a) (2x + 3)(4x + 1) b) (x + 3)(x – 3)

43. a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) b) (x – 1)(x2 + x + 1)


164

44. a) (x2 + 7x + 10) b) 9 – a2

45. a) x2 – 4 b) x3m + 6x2my3+12xmy6 + 8y9

46. a) x6 + 6x3 + 9 b) 6 3 5 4 3 3 61 3x y – x 6x y – 8x y

8 2− +

47. –15a2 – 15a – 35

48. x = a + b

49. æ ö÷ç + = + +÷ç ÷çè ø

2 22 4 24

2 43 3 9b b

a a a b

50. 2ac

51. 2 3 3 2 3 3 4 9 6 3 6 3 9 3 9 12 9 3−( ) +( )⇒ ( )+ ( ) − ( ) − ( )⇒ ( ) − ⇒ − =. 4 .

2 3 3 2 3 3 4 9 6 3 6 3 9 3 9 12 9 3−( ) +( )⇒ ( )+ ( ) − ( ) − ( )⇒ ( ) − ⇒ − =. 4 .

52. 18

53. 9 6 6 4 3 2 3 2

9 6 6 4 9 6 6 4

( ) − ( )+ ( ) − ( )+ −( ) −( )( ) − ( )+ ( ) − ( )+ ( ) − ( ) − ( )+ ( )

.

33 3 2 6

6 2 6

+ −

−

54. ( )2

2

2 . x 1

x 1

+

-

55. 2 . (x2 + y2)

56. zero

57. ab

58. +2 2

2

y x yx

59. x y x y x y

x y x y x y

x xy xy y x y

x xy

−( ) −( ) − −

+( ) +( ) − −⇒

− − + − −

+ +

.

.

2 2

2 2

2 2 2 2

2 xxy y x y

xy xy

xy xy

xy

xy

+ − −− −

+⇒

−= −

2 2 2

2

21

Gabarito

165

60. a ab b ab ba ab b a b

aab

a aab

ab

2 2 2

2 2 2 2

22 22 2 2 2

+ + − −+ + − −

⇒ ⇒ =.

61. –1

62. {0, 1}

63. 12

12

, −{ }64. R – {0, 1}

65. {2}

66. {– 1}

67. {6}

68. ì üï ïï ïí ýï ïï ïî þ

73

69. (k – 3)3 + (2k – 5) . 4 + 4k = 0 3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0

15k – 29 = 0

15k = 29

O valor de k quando x = 3 é: k = 2915

Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas

1. Definimos os conjuntos A como o conjunto dos países da América do Sul e R como o conjunto das regiões brasileiras. Definimos os seguintes elementos de A, b representa o Brasil e v representa a Venezuela, então concluímos que:

a) b ∈ A

b) a ∉ A

c) v ∉ R

d) n ∈ R

2. Sendo A o conjunto dos países da América do Sul e R o conjuntos das


166

regiões brasileiras, então:

a) Equador ∈ A (Verdadeiro)

b) Sudeste ∉ R (Falso)

c) França ∈ R (Falso)

d) CentroOeste ∈ R (Verdadeiro)

3. I = {x|x é um número ímpar}

I = {3, 5, 7, ... }

4. M = {x|x é um número inteiro maior ou igual a 3}

5. A = B

6. Verdadeira, pois A está contido em B, mas não está contido em C (os valores 5 e 6 do conjunto A estão presentes no conjunto B, mas não estão presentes no conjunto C).

7. Unitário, vazio, unitário.

8. Falsa. O conjunto B “está contido” no conjunto A.

9. A = {C, O, N, J, U, T} 26 64 subconjuntos

10. Falsa.

11. Falso, pois a ordem dos fatores não altera o produto. A x B = B x A.

12. 36 pares ordenados.

13. Numericamente sim.

14. 236.

15. {(b1,p1)}, {(b1,p2)}, {(b1,p3)}, {(b1,p4)}, {(b1,p5)}, {(b1,p6)},

{(b1,p1)}, {(b2,p1)}, {(b3,p1)}, {(b4,p1)}, {(b5,p1)}, {(b6,p1)}

16. Todas as funções consistirão de dois pares ordenados. Não haverá distintos pares ordenados de uma função que têm a mesma primeira ordenada. Cada ai aparecerá como primeiro elemento uma vez e cada ai+1 aparecerá como primeiro elemento uma vez em cada função.

17. Correto. As funções são casos especiais de relações.

Gabarito

167

18. O domínio da relação é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados da relação.

19. Sim.

20. O produto cartesiano formado por dois conjuntos unitários.

21. Ic = {x|x ∈ [0,60) }

22. U

IIc

23. (A ∩ B) = {5, 7}

24.

A B

9 57

68

U

25. (O ∩ V) = O

26. U

V

O

27. Verdadeiro.

28. A ∪ B = {5, 6, 7, 8, 9}

29. O ∪ V = V

30. 5 partições.

{1,2,3}, ø


168

{1}, {2,3}

{1,2}, {3}

{1,3}, {2}

{1}, {2}, {3}

31. n(A) = 5 e n(B) = 4

32. n(A ∩ B) = 0

33. n(A ∪ B) = 9

34. n(A ∩ B) = 2

35. n(A ∪ B) = 6

36. U = 1 000

A C

40 50

100

30

145335

300M = 420

H = 580

Intervalos1. Verdadeiro.

2. Falso.

3. Falso.

4. Falso.

5. Falso.

6. Ac = (–∞,2) ∪ (5,∞)

7. Bc = (–∞,3] ∪ (6,∞)

8. A ∪ B = [2,6]

9. A ∩ B = (3,5]

Gabarito

169

10. A ∪ B = (–∞,2) ∪ [6,∞)

11. (A ∩ B)c = (–∞,3] ∪ (5,∞)

12. x ≤ 14/3

13. x < –1/7

14. x < 15/2

15. x ≤ 1

Estudo de funções1. Não.

2. Não.

3. Sim.

4. Sim.

5. Domínio = {–3, –2, –1, 0}. Contradomínio = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Imagem = {0, 1, 4, 9}.

6. a) Sim.

b) Não.

7. a) Sim.

b) Sim.

8. a) Sim.

b) Não.

a) Sim.

b) Não.

9. Somente b e d representam uma função de x em y. Ver explicação completa na página 104.

10. D(f ) = (–∞, 3]. Porque qualquer número maior do que 3 faria com que a equação resultasse na raiz de um número negativo. Im (f ) = (–∞, 0].

11. y = 3x – 10


170

–10 –5 5 10

10

5

0

–5

–10

–15

–20

–25

–30

y

x0

12. 1.º: Usamos a fórmula do coeficiente angular e calculamos o valor de a:

a

y y

x xa a a=

−( )+( )

⇒ =−( )−( )

⇒ = ⇒ =2 1

2 1

7 4

3 231

3

2.º: Com o valor de a, calculamos o valor de b, escolhendo valores de y e x (que foram dados):

y = ax + b 4 = 3 . 2 + b 4 = 6 + b b = 4 – 6 b = – 2

3.º: Substituindo a e b na equação da reta, teremos: y = 3x – 2

13. Sim. A função y = 3 – 2x2 é uma função quadrática. y

x

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–3 –2 –1 1 2 30

14. Falso.

15. Verdadeiro.

Gabarito

171

Limites1. lim

xx

→+( )

33 1

(3 . 3 + 1) (9 + 1) 10

2. 0

3. limx

x→

−( )2

2 1

(22 – 1) (4 – 1) 3

4. limx

x→

−( )2

32

(– 2 . 23) (– 2 . 8) –16

5. 1

6.

x f(x)0 21 52 83 74 6

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

x

y

0

x 2lim 8

-→=

x 2lim 8

+→=

7. -®=

x 5lim 4

+®=

x 5lim 6 não existe


172

x y x y3 2 5 64 3 6 75 4 7 8

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y

1 2 3 4 5 6 7 8

x0

8. x 5 000 x 5 000

lim 17 500 lim 36 500 não existe- +® ®= =

9. limx→3

1

(1) 1

10. limx→0

23

23

23

⇒

11. limx

x→−4

2

(–42) 16

12. limx

x→−1

2

2

−( )⇒

1

212

2

13. 15

14. limx

x x→

−( ) +( )2

22 3 2 5

Gabarito

173

(2 . 22 – 3) (2 . 2 + 5) (2 . 4 – 3) (2 . 2 + 5) (8 – 3) (4 + 5)

(5) (9) 45

15. limx

x

x→ −( )2

2

3 1

2

2 1

48 1

47

2

3 −( )⇒

−( )⇒

16. limx

x x

x→−

+ −( )−( )1

2 3 4

2 3

− + − −( )− −( )

⇒− −( )− −( )

⇒−( )−( )

⇒1 3 1 4

2 1 3

1 3 4

2 3

6

565

2 x

x

17. limx

x

x→

+( )−( )

+( )−( )

⇒+( )−( )

⇒( )( )

⇒ ⇒

2

2

2

5

1

2 5

2 1

4 5

2 1

9

19 3

18. limx

xx→ +( )

+( )⇒ ⇒

1 3

11 3

14

12

19. 17

20. ∞

21. ∞

22. –∞

23. lim

det min

x

xx

in er ado

→∞ −∞∞

⇒

1


174

24. lim

lim

x

x

x x

x

x x

xx

→∞

→∞

− +( )−( )

−( ) −( )−( )

⇒ −( )⇒ ∞

2 5 6

3

3 2

32

25. limx x→

+

+

⇒ ∞

01 1

1 10

26. lim

lim

x

x

x

x

x x

xx

→∞

→∞

−( )−( )

−( ) +( )−( )

⇒ +( )⇒ ∞

2 1

1

1 1

11

.

27. Para que uma função seja contínua, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

1. f(a) é definida, isto é, o domínio de f inclui x = a

2. lim ( )x a→

f x existe lim ( )x→−

= − + = −10

10 3 7f x lim ( )x→−

= + =10

10 3 13f x

3. limx a→

( ) = ( )f x f a (quando x tende a a pela esquerda e pela direita)

Resposta: Contínua.

28. Não contínua, para x = 4 → ( )®

= ® =x 4

4x 4 lim x

0f

29. Contínua.

30. Não contínua.

Derivada de função1. f‘(x) = 2x

2. f‘(x) = 3(x + 1)2

3. f‘(x) = 0

4. ( )( )2

1x , x 1

x 1= − ≠

−f'

Gabarito

175

5. ( )3

2x , x 0

3 xf' = ¹

6. f(x) = x2 – 1; x0 = 3 f‘(x) = 2x f´(3) = 2 . 3 f´(3) = 6

7. f f fxx

x x x x( ) = = ⇒ ( ) = ⇒ ′( ) = −− −2 5 23 0

3 4; 3 . 2x

f´(x) = –6x–4 f´(x) = −64x

f´(5) = −654

f´(5) = − 6625

8. f´(x) = 2 . 12x + 1 f´(x) = 24x + 1

f´(–2) = 24 . (–2) + 1 f´(–2) = –48 + 1 f´(–2) = – 47

9. f(x) = (x – 3) . (x – 3) f(x) = x2 – 6x + 9 f´(x) = 2x – 6

f´(3) = 2 . 3 – 6 f´(3) = 6 – 6 f´(3) = 0

10. f não é diferenciável no ponto x0 = 1.

11. a) f‘(x) = 0

b) f‘(x) = ( ) 33

2x 2x , x 0

x−= − = − ≠f'

c) f‘(x) = ( )451

x x , x 05

f'-

= ¹

d) f‘(x) = ( )3

1x , x 0

2 xf' =- ¹

12. a) f´(x) = a bx

x− ≠2

0,

b) f´(x) = 2 12

12

012

32ax bx cx x+ − ≠

− −,

13. a) f‘(3) = 28

b) f´(2) =3

13 4

14. a) f‘(x) = 2x ln2

b) f‘(x) = 4

30x

-

15. f‘(x) = πx lnπ

16. f‘(x) =2

cos4 2

æ ö÷ç =÷ç ÷çè øπ


176

17. a) Para que a função seja diferenciável no ponto x = 0 é necessário que as derivadas laterais existam e sejam iguais:

f+(x) = 2 f´+(x) = 0 f´+(0) = 0

f–(x) = x2 + 2 f´–(x) = 2x f´–(0) = 2 . 0 = 0

f´+(0) = 0 = f´+ (0) = 0

Portanto, f é diferenciável em 1.

b) f´(x) = 0 f´(0) = 0

18. a) Sim, pois uma função é contínua quando: limx a→

f(x) = f(a)

limx

x→

= =1

2 21 1

f(x)=x2, pois x = 1 f(1) = 12 = 1

limx

x→

= =1

2 21 11 = f(1)

b) Para que a função seja diferenciável no ponto x = 1 é necessário que as derivadas laterais existam e sejam iguais:

f+(x) = 1 f´+(x) = 0 f´+(1) = 0

f–(x) = x2 f–´(x) = 2x f´+(1) = 2 . 1 = 2

f´+(1) = 0 f ´+(1) = 2

Portanto, f não é diferenciável em 1.

19. f´(x) = 3 . 5x2 + 2x f´(x) = 15x2 + 2x

f´(1) = 15 . (1)2 + 2 . (1) f´(1) = 15 + 2 = 17

20. f(x) = – cos(x) f´(x) = + sen(x)

g(x) = sen(x) g’(x) = cos(x)

(f´(x) + g’(x))2 = 1 – 2f(x) . g(x)

(sen(x) + cos(x))2 = sen2(x) + cos2(x) + 2sen(x)cos(x)

lembrando que: sen2(x) + cos2(x) = 1

(sen(x) + cos(x))2 = 1 + 2sen(x)cos(x)

Gabarito

177

*g(x) = sen(x) e – f(x) = cos(x)

1 – f(x)g(x)

21. f´(x) = 3x2 – (2) . 2x 3x2 – 4x

g´(x) = 2x

(f + g)‘(x) = 3x2 – 4x + 2x (f + g)´(x) = 3x2 – 2x

22. f´(x) = sec2 x

g´(x) = sec x . tg x

(f + g)‘(x) = sec2 x + sec x . tg x (f+ g)´ (x) = sec x . (sec x + tg x)

23. f´(x) = (2) . 5x + 4 f´(x) = 10x + 4

g´(x) = (2) . 3x – 10 g´(x) = 6x – 10

(f – g)‘(x) = (10x +4) – (6x – 10) (f – g)´(x) = 10x + 4 – 6x + 10

(f – g)´(x) =4x + 14

24. f(x) = x f´(x) = 1

g(x) = ln x g´(x) = 1x

Regra do produto:

(f . g)´(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

(f . g)´ (x) = 1 . ln x + x . 1x

(f . g)´ (x) = 1 . ln x + x . x1

(f . g)´(x) = (ln x) + 1

25. f´(x) = (3) . 7x2 f´(x) = 21x2

g´(x) = 2

Regra do produto:

(f . g)‘(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

(f . g)´(x) = 21x2 . (2x – 1) + (7x3 + 3) . 2 (f . g)´(x) = 42x3 – 21x2 + 14x3 + 6

(f . )´(x) = 56x3 – 21x2 + 6

26. f(x) = 5 – 7x f´(x) = –7

g(x) = (1 – x) . (1 + x) g(x) = 1 + x – x – x2 g(x) = 1 + x – x – x2


178

g(x) = 1 – x2 g´(x) = –2x

Regra do produto:

(f . g)´(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

(f . g)´(x) = –7 (1 – x2) + (5 – 7x) . (–2x) (f . g)´(x) = –7 + 7x2 – 10x + 14x2

(f . g)´(x) = 21x2 – 10x – 7

27. f(x) = x–3 f´(x) = –3x–4

g(x) = x2 + 4 g´(x) = 2x

Regra do produto:

(f . g)´(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

(f . g)´(x) = (–3x–4) . (x2 + 4) + (x–3) . (2x)

(f . g)´(x) = –3x–2 –12x–4 + 2x–2 (f . g)´(x) = –x–2 – 12x–4

28. f(x) = x3 + 3 f´(x) = 3x2

g(x) = x g´(x) = 1

Regra da divisão:

fg

f g g

g2

′( ) =

′( ) ( ) − ( ) ′( )( )

xx x f x x

x

. .

fg

fg

′( ) =

− +( )⇒

′( ) = − =x

xx x x

x

3x . x 2 33 3

2

3 1 3 3.

x2

fg

′( ) = +x x2 33

x2

29. f(x) = x + 5 f´(x) = 1

g(x) = x – 7 g´(x) = 1

Regra da divisão:

fg

f g f g

g

′( ) =

′( ) ( ) − ( ) ′( )( )

xx x x x

x

. .2

Gabarito

179

fg

′( ) =

−( ) − +( )−( )

xx x

x

1 7 5 1

7 2

. .

fg

′( ) = / − − / −

−( )x

x x

x

7 5

7 2

x – 7 – x – 5(x – 7)2

fg

′( ) = / − − / −

−( )x

x x

x

7 5

7 2

x – 7 – x – 5(x – 7)2

fg

′( ) = −

−( )x

x

12

7 2

30. fg

′( ) = −

−( )x

x

12

7 2( ) 2

bx , x 0

xfg

¢æ ö÷ç ÷ =- ¹ç ÷ç ÷çè ø

31. f´(x) = 2(–sen 2x + cos x)

32. f´(x) =( ) 2 21 x xx sec cosec

2 2 2f

æ ö÷ç¢ = + ÷ç ÷çè ø

33. f´(x) =( )( )

= ¹+

2

3

3xx , x 0

2 1 xf '

34. f‘(x) =( )2 2 2

2 2

2(senx . senx . cos x x .sen x .cos x )x

sen x−=′f , sen x ≠ 0

35. f‘(x) = –3x2 cos e x3 cotg x3

36. f‘(x) = 2(sec2 x tg x – cosec2 x cotg x)

37. f‘(x) = 6x

38. f‘(x) =( ) 3x log2, x 0

x¢ = ¹f

39. f‘(x) =( ) 2

2x

1 4x¢ =

+f

40. f‘(x) =( )( )2 2

16x , x 4

16 x 16 x¢ = <

- -f

41. dy = (–2x + 5)dx


180

42. æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷÷çè ø3

13x x

dy dx

43. Δy = 1,14

dy = 1,10

Δy – dy = 0,04

44. Δy = 0,1104

dy = 0,11

Δy – dy = 0,0004

45. Δy = 0,011004

dy = 0,011

Δy – dy = 0,000004

46. Δy = (8x –5) Δx + 4Δx2

dy = (8x – 5)dx ou dy = (8x – 5) Δx

Δy – dy = 4Δx2

47. f (4)(x) = senx

48. f (n)(x) = ex

49. f (3)(x) =( )( )33

2x

x=-f

50. f (2)(x) = 18

51. f (2)(x) = ( ) ( )4

23

4 2

2 2xx

(1 x )

− −=−

f

52. f (5)(x) = 0

53. f (3)(x) = 3x (ln 3)3

54. y = x7

y’ = 7x6

y’ = 7 . 6x5

y’ = 7 . 6 . 5x4

Gabarito

181

y’ = 7 . 6 . 5 . 4x3

y’ = 7 . 6 . 5 . 4 . 3x2

y’ = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2x

y’ = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1! c.q.d. (como queríamos demonstrar)

55. f (2)(x) = –2sen2x

56. f (4)(x) = 16sen2x

57. CMe = f(2,5) = 1,75 representa um mínimo relativo, que é o mínimo absoluto.

58. Máximo x 2= − ; Mínimo x 2= ; Inflexão x = 0

59. Máximo x = 1; Mínimo x = 3; Inflexão x = 2

Atividades de revisão

Sistemas numéricos1. É exemplo de número primo:

a) 44

b) 17

c) 0

d) 1

2. A geratriz da dízima periódica 0,44444444... é:

a) 4499

b) 49

c) 44

100

d) 0,45

Operações com números reais1. A expressão 1

2 + 2

3 + 3

5 + 5

8 é igual a:

a) 287120

b) 28712

c) 280120

d) 287100


184

2. O resultado da equação 4

3x + 10 =

34x – 1

é:

a) 14

b) – 103

c) 1

d) 347

3. Determine o valor da expressão x2 + y 2

y+ 2x

para x = 2 e y = 12

.

a) 0

b) 0,25

c) 0,5

d) 0,75


1. Sejam A, B conjuntos tais que n (A) = 15, n (B) = 25 e n (A B) = 5. Qual o número de elementos da união entre os conjuntos A e B?

a) 45

b) 15

c) 40

d) 35

2. Seja o conjunto A o conjunto formado pelas letras da palavra “MATEMÁTICA”, quantos subconjuntos podem ser formados?

a) 10

b) 6

c) 1024

d) 64


185

Intervalos1. Para que valores é verdadeira a desigualdade 2x – 1 > 3 ?

a) x > 2.

b) x = 2.

c) x < 2.

d) x ≥ 2.

2. Do estudo de sinal da função ƒ (x) = x2 – 4– x + 1

, podese concluir que:

a) ƒ(x) < 0 para todo x.

b) ƒ(x) > 0 para –2 ≤ x ≤ 1 e x ≥ 2.

c) ƒ(x) < 0 para –2 ≤ x < 1 e x ≥ 2.

d) ƒ(x) < 0 para x ≥ – 2.

Estudo de funções1. Determine a equação da reta que passa pelos pontos (0,2) e (2, –2).

a) y = – 2x – 2.

b) y = 2x + 2.

c) y = – 2x + 2.

d) y = – 2x.

2. Calcule os zeros da função ƒ (x) = 2x2 + 5x – 3.

a) – 12

e 3

b) 0 e 12

c) 12

e – 3

d) 12

e 3


186

3. Descreva o domínio da função ƒ (x) = x+1x + 3

.

a) { x | x = –1 e x ≠ – 3 }.

b) { x | x < –1 e x ≠ – 3 }.

c) { x | x ≥ –1 e x ≠ – 3 }.

d) { x | x ≥ –1 e x = – 3 }.

Limites1. Calcule lim

x 3x2 – 9x – 3

.

a) 3

b) 0

c) 6

d) 2

2. Calcule limx ∞

x3x – 8

.

a) 13

b) 0

c) ∞

d) – ∞

3. Calcule limx 0

sen(2x)sen (4x)

.

a) 0

b) 1

c) 2

d) 12


187

Derivada de função1. Determine a derivada de ƒ (x) = 2x + 1, para x = 0.

a) 0

b) 1

c) 2

d) 4

2. Determine a derivada da função ƒ (x) = x + 1x – 1

.

a) 1

b) x + 1x – 1

c) – 2(x – 1)2

d) 2x(x – 1)2

3. Determine os máximos e mínimos relativos da função ƒ (x) = x3 – 3x2 + 100.

a) 0 e 2

b) 100 e 96

c) 100 e 96

d) ∞ e – ∞


188

Gabarito

Sistemas numéricos1. B

Resolução:

No conjunto dos Naturais, definese como número primo aquele com módulo maior que 1 e que possui apenas 2 divisores: 1 e ele mesmo.

Dessa definição, concluímos:

a) 44 não é primo, pois é divisível por 1, 2, 4, 11, 22 e 44.

b) 17 é primo, pois é divisível apenas por 1 e 17.

c) 0 não é primo, pois seu módulo é menor que 1.

d) 1 não é primo, pois seu módulo não é maior que 1.

2. B

Resolução:

Tomemos: x = 0,4444...

Multiplicando ambos os membros por 10: 10x = 4,4444...

Subtraindo as duas equações: 10x – x = 4,4444... – 0,4444... 9x = 4

x = 49

Operações com números reais

1. A

Resolução:

O mínimo múltiplo comum dos denominadores é dado por:

mmc (2,3,5,8) = 120


189

Assim: 12

+ 23

+ 35

+ 58

= 12

. 120120

+ 23

. 120120

+ 35

. 120120

+ 58

. 120120

= 60120

+ 2 . 40120

+ 3 . 24120

+ 5 . 15120

= 60 + 80 + 72 + 75120

= 287120

2. D

Resolução:

Temos: 43x + 10

= 34x – 1

3x + 104

= 4x – 13

(x ≠ – 103

e x ≠ 14

)

Assim: 3 . (3x +10) = 4 . (4x –1) 9x + 30 = 16 x – 4 16x – 9x = 30 + 4 7x = 34

Daí: x = 347

3. D

Resolução:

Substituindo: (2)2 + 1

2

+ 2 . 22 12

= 4 + 1

2

4 + 4 =

4 . 2 + 128

=

8 + 116

= 9

16 = 34

= 0,75


1. D

Resolução:

Temos: n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

Assim: n (A B) = 15 + 25 – 5 = 35


190

2. D

Resolução:

O conjunto A é dado por: A = {M , A , T , E , I , C}

Sabemos que para um conjunto B de p elementos, o número de subconjuntos n(SB ) é dado por: n (SB ) = 2p

Como A possui 6 elementos: n (SA ) = 26 = 64

Intervalos1. A

Resolução:

Temos que: 2x – 1 > 3 2x > 4 x > 2

2. C

Resolução:

Temos que: x2 – 4– x + 1

= (x – 2)(x + 2)– x + 1

Estudando os sinais de cada uma das partes:

(x + 2) – 2

Ou seja: (x + 2) < 0 para x < –2 (x + 2) > 0 para x > –2 (x + 2) = 0 para x = –2

(x – 2) 2

Ou seja: (x – 2) < 0 para x < 2 (x – 2) > 0 para x > 2 (x – 2) = 0 para x = 2

(– x + 1) 1

Ou seja: (– x + 1) < 0 para x > 1 (– x + 1) > 0 para x < 1

Note que ƒ (x) não está definida em 1, sendo aberta nesse ponto.


191

Efetuando o produto intervalo a intervalo, resulta:

ƒ (x) – 2 1 2

Assim: ƒ (x) < 0 para – 2 ≤ x < 1 e x ≥ 2 ƒ (x) > 0 para x ≤ – 2 e 1 < x ≤ 2

Estudo de funções1. C

Resolução:

A equação de toda reta é dada por: y = ax + b.

Substituindo: 2 = a . 0 + b – 2 = a . 2 + b

0a + b = 2 2a + b = – 2

Da primeira linha do sistema, concluise: b = 2.

Substituindo esse resultado na segunda linha: 2a + 2 = – 2 2a = – 4 a = –2.

Assim a equação da reta pedida é: y = – 2x + 2.

2. C

Resolução:

Fórmula de Bhaskara: x = – b ± ∆2a

, onde: ∆ = b2 – 4ac

Cálculo de Δ: Δ = 52 – 4 . 2 (–3) = 25 + 24 = 49

Assim: x = – 5 ± 492 . 2

= – 5 ± 74

= 12

– 3

3. C

Resolução:

Tomemos ƒ(x) = g(x)

h(x) onde g(x) = x + 1

h(x) = x + 3

O domínio de ƒ(x) é o intervalo em que as funções g(x) e h(x) estão definidas simultaneamente (i.e. a interseção dos domínios de g(x) e h(x) ou ainda D(ƒ) = D(g) D(h).


192

O domínio de g(x) é tal que x + 1 ≥ 0 x ≥ – 1.

O domínio de h(x) é tal que x + 3 ≠ 0 x ≠ – 3.

O domínio de ƒ(x) será então: D(ƒ) = { x | x ≥ –1 e x ≠ – 3 }.

Limites1. C

Resolução:

Como: x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)

Temos: limx 3

x2 – 9x – 3

. = limx 3

(x – 3)(x + 3)x – 3

. = limx 3

(x + 3)

Assim: limx 3

x2 – 9x – 3

= limx 3

x + limx 3

3 = 3 + 3 = 6

2. A

Resolução:

Como: x3x – 8

= 13 – 8/x

e limx ∞

8x

= 0

Temos: limx ∞

x3x – 8

= limx ∞

13 – 8/x

= lim 1x ∞

lim 3 x ∞

limx ∞

8 x –

Assim: limx ∞

x3x – 8

= 13 – 0

= 13

3. D

Resolução:

Como: limx 0senx

x = 1

Temos:

limx 0sen(2x)sen(4x)

= limx 0sen(2x)sen(4x)

. 4x2x

. 2x4x

= sen(2x)2x

. 4xsen(4x)

. 24

=

limx 0

. 24

sen(2x)2x

sen(4x)4x


193

Assim: limx 0sen(2x)sen(4x)

=

limx 0

limx 0

. limx 0

24

sen(2x)2x

sen(4x)4x

= 11

. 24

= 12

Derivada de função1. C

Resolução:

Pela regra da cadeia: dydx

= dydu

. dudx

Tomando u = x +1 , temos: dydu

= ddu

( u ) = ddu

(u12) = 1

2 u

12

1– = 1

2 u

32

E como: dudx

= ddx

(2x + 1) = 2

Substituindo: dydx

= dydu

. dudx

= 12

u32. 2 = 2 u

32

Assim: ƒ’(x) = dydx

= 2 . 32(x +1)

Para x = 0: ƒ’(0) = dydx

(0) = 2 . 32(0 +1) = 2

2. C

Resolução:

Temos que se ƒ(x) = g(x)h(x)

então ƒ’(x) = g’(x) . h(x) – g(x) . h’(x)[h(x)]2

.

Substituindo: ƒ’(x) = (x+1)’ . (x – 1) – (x + 1) . (x – 1)’(x – 1)2

. = 1 . (x – 1) – (x+1) . 1(x – 1)2

= x – 1 – x –1(x – 1)2

= – 2(x – 1)2

3. B

Resolução:

Sabese que os pontos máximos de uma função ocorrem nos pontos tais que ƒ’(x) = 0 .


194

Como: ƒ’(x) = 3x2 – 6x

Temos: ƒ’(x) = 0 3x2 – 6x = 0 x (3x6) = 0

Assim: x = 0 ou 3x – 6 = 0

Daí x = 0x = 2

são os pontos de máximo e de mínimo.

Substituindo na função:

ƒ (0) = 03 –3 . 02 + 100 = 100ƒ (2) = 23 –3 . 22 + 100 = 100 = 8 – 3 . 4 + 100 = 96

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