G R U P O S - II
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PROPRIEDADE ASSOCIATIVA GENERALIZADA
Sejam x1, x2, ... , xn elementos do grupo (G, *).
define-se o resultado de x1*x2*x3*... *xn, por
x1*x2*x3 = (x1*x2)*x3
x1*x2*x3*x4 = (x1*x2*x3)*x4 = ((x1*x2)*x3)*x4
...x1*x2*x3* ...*xn = (x1*x2*x3*...*xn-1)*xn = ((x1*x2)*x3)*...*xn-1)*xn
A propriedade associativa, também válida em um semi-grupo, independe da forma com que são associados os elementos.Isto é: (x1...xr)(xr+1... xn) = (x1...xs)(xs+1...xn), (r, s), 1 < r < s < n.
EXEMPLO:
Seja * definida por a * b = a + b + ab. Calcular (2 * 3 * 5)
2 * 3 * 5 = (2 * 3) * 5 = (2 + 3 + 2.3) * 5 = 11 * 5 = 11 + 5 + 11.5 = 71
Ou: 2 * (3 * 5) = 2 * (3 + 5) = 2 * (3 + 5 + 3.5) = 2 * 23 = 2 + 23 + 2.23 = 71.
POTÊNCIAS EM UM GRUPO Definição 1:
Seja (G, *) um grupo.
Define-se, para n N, a potência de x, por xn = x*x*... *x (onde x figura n vezes).
No grupo multiplicativo: xn = x.x.x...
No grupo aditivo xn = x + x + x...
Exemplo: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcular 25.
25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = (2 * 2) * 2 * (2 * 2) A operação é associativa.
2 * 2 = 2 + 2 + 2.2 = 8
(2 * 2) * 2 * (2 * 2) = 8 * 2 * 8 = (8 + 2 + 8.2) * 8 = 26 * 8 = 26 + 8 + 26.8 = 242
Em um grupo, n, m N, tem-se:
(1) xaxb = xa+b (2) (xa)b = xab (3) Xa = xb (ab)
(4) x0 = n (n é o elemento neutro da operação).
(5) x-a = (x-1)a (x-1 é o inverso de x).
Definição 2: seja a um elemento de um grupo. Se ax = a, então o elemento a é dito elemento idempotente.
Em um grupo infinito, o único elemento idempotente é o elemento neutro.
EXERCÍCIO: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab.Calcule:
(a) O elemento neutro de *.
(b) 3-1 (c) 4-1 (d) x-1
(e) 5-3
EXERCÍCIOS
(1) Considere definidas no conjunto G = (a, b, c, d) as operações apresentadas nas tabelas:
Informe, justificando, se alguma (ou ambas) das operações estabeleceno conjunto G uma estrutura de grupo.(2) Sejam a, b, c e x elementos de um grupo G com a operações definidas na tabela. Resolva cada uma das equações em relação a x.
(a)x b = c. (b) x2 a = b x c-1. (c) x2 = a2 (d) x5 = n, onde n é o elemento neutro de G para a operação Å.(e) (x a x)3 = b x (f) x2 a = (x a)-1. (g) x2 b = x a-1 c.
CONJUGADO
Seja G um grupo
Conjugado de x por y, que se denota por [x]y, é o elemento de G tal que[x]y = y-1xy.
COMUTADOR
Comutador de x e y, que se denota-se por [x, y], ao elemento de G, tal que[x, y] = xyx-1y-1.
Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab.Calcule:
EXERCÍCIOS:
(a) o conjugado de 3 por 5.
(b) O comutador de 3 e 5.