Fusco - Estruturas de Concreto

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ESTRUTURAS DE CONCRETO

Solicitações Normais Estados Limites Últimos

Teoria e Aplicações

PÉRICLES BRASILIENSE FUSCO Professor Adjunto da Escola Politécnica

da Universidade de São Paulo

CUANABARA DOIS

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Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copynght " by EDITORA GUANABARA DOIS S.A. Rio de Janeiro - RJ

Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes do mesmo, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, ou outros), sem permissão expressa da Editora.

Fotocomposição da Editora Guanabara Koogan S.A.

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- O presente volume cuida do dimensionamento das peças de concreto armado

submetidas a solicitações normais, tendo-se em vista a segurança contra os possíveis estados limites últimos.

Entendem-se por solicitações normais os esforços solicitantes que produzem tensões normais no plano das seções transversais das peças da estrutura. As solicita- ções normais englobam, portanto, os momentos fletores e as forças normais.

As peças de concreto protendido submetidas a solicitações normais serão estu- dadas em volume a parte.

O desenvolvimento dos temas aqui considerados foi orientado pela experiência didática acumulada nas disciplinas de graduação e de pós-graduação do Departa- mento de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, e pela experiência profissional associada a elaboração e a aplicação da NB- 1/78.

O volume foi dividido em três partes. Na primeira parte é considerado o estado limite último de ruptura ou de alonga-

mento plástico excessivo, na flexão simples ou composta, normal ou oblíqua. A experiência já acumulada neste campo mostrou que sempre devem ser empregados ábacos e tabelas organizados exclusivamente em função dos valores de cálculo, evitando-se qualquer tipo de dimensionamento feito diretamente em função dos valores característicos.

A segunda parte trata do estado limite último de instabilidade naflexão composta, normal ou obl(qua.

Na terceira parte é considerado o dimensionamento dos pilares, das paredes e das estruturas de contraventamento, procurando-se esclarecer e comentar as prescrições da NB-1/78 pertinentes a estes temas.

Nestes comentários são feitas algumas sugestões para eventuais modificações a serem introduzidas em futuras versões da NB-I, tendo-se em vista a necessidade de calibragem do novo modelo de segurança incluído na NB-1/78. Esta calibragem é parte essencial dos trabalhos de implantação de um novo modelo de segurança.

Em anexo é apresentado um conjunto de tabelas e de gráficos de dimensiona- mento.

Tendo em vista a atual legislação metrológica brasileira, nos exemplos e tabelas foi empregado o Sistema Internacional de Unidades, tomando-se o cuidado de facili- tar, em cada caso particular, a imediata transformação dos valores para unidades técnicas ainda transitoriamente em uso.

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PARTE I ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA OU DE ALONGAMENTO PLÁSTICO EXCESSIVO

1 FLEXAO SIhlPLES E FLEX.iO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 1.1 DEFINIÇOES

1 .I .1 Solicitações normais, 2 1.1.2 Estados últimos, 2 1.1.3 Estado limite último, 3

7 HIP~TESES BÁSICAS 1.2.1 Manutençáo da seçáo plana, 4 1.2.2 Solidariedade dos materiais, 5 1.2.3 Encurtamentos últimos do concreto, 5 1.2.4 Alongamentos últimos das armaduras, 5 1.2.5 Diagrama de tensões parábola-retângulo, 5 1.2.6 Diagrama retangular de tensões, 6

1.3 CASOS DE SOLICITAÇAO 1.3.1 Domínios de deformação, 6 1.3.2 Domínio 1, 7 1.3.3 Domínio 2, 8 1.3.4 Domínio 3, 9 1.3.5 Domínio 4, 10 1.3.6 Domínio 4a, 10 1.3.7 Dominio 5, 10

1.4 DIAGRAMAS DE CALCULO DOS AÇOS 1.4.1 Propriedades gerais, 10 1.4.2 Aços Classe A, 11 1.4.3 Aços Classe B, 11

1.5 VALORES DE CÁLCULO 1.5.1 Aços Classe A, 13 1.5.2 Aços Classe B, 14 1.5.3 Valores limites, 15

1.6 EXERCÍCIOS

2 SEÇÕES RETANGULARES 2.1 TRAÇAO SIMPLES E TRAÇAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DO.

M ~ N I O i) 2.1.1 Condições de equilíbrio, 17

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2.1.2 Cálculo de verificação. Exemplo, 19 2.1.3 Cálculo de dimensionamento. Exemplo, 20

2.2 FLEXÃO SIMPLES. CÁLCULO PRÁTICO 2.2.1 Variáveis adimensionais. Armadura simples, 22 2.2.2 Tabelas adimensionais, 24 2.2.3 Variáveis adimensionais. Armadura dupla, 24 2.2.4 Exemplos, 26 2.2.5 Variáveis dimensionais. Tabelas tipo k, 28 2.2.6 Organização das tabelas dimensionais. Formulário, 31 2.2.7 Exemplos de dimensionamento, 36 2.2.8 Exemplos de verificação, 39 2.2.9 Seção submetida a momentos de sentidos contrários. Exemplo, 42

2.3 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICI- DADE (DOMNIOS 2-3-4-4a) 2.3.1 Condições de equilíbrio, 45 2.3.2 Propriedades básicas das seções retangulares, 46 2.3.3 Equações adimensionais de equilíbrio, 49 2.3.4 Equações adimensionais de compatibilidade, 51 2.3.5 Resolução dos problemas de flexão simples e de flexão composta, 53

2.4 FLEXAO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE. CÁLCULO ~ ~ Á n c o 2.4.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 55 2.4.2 Exemplos, 57 2.4.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k, 60 2.4.4 Exemplos, 62 2.4.5 Diagrama retangular de tensões, 63

2.5 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DoM~NIO 5) 2.5.1 Condições de equilíbrio, 64 2.5.2 Condições de compatibilidade de deformações, 65 ,

2.5.3 Propriedades básicas das seções retangulares, 66 2.5.4 Equações adimensionais de equilíbrio, 67 2.5.5 Resolução geral dos problemas de flexo-compressão com pequena ex-

centricidade, 68 2.6 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE. CÁLCULO

~ ~ Á n c o 2.6.1 Momento limite de separação entre os dois casos básicos, 69 2.6.2 Armadura unilateral, 70 2.6.3 Armadura unilateral. Exemplos, 72 2.6.4 Compressão uniforme, 75 2.6.5 Compressão uniforme. Exemplos, 77 2.6.6 Diagrama retangular de tensões, 79

2.7 EXERC~CIOS

3 SEÇÓES T 3.1 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÁO COMPOSTA

3.1.1 As vigas de seção T das estnituras de concreto, 82 3.1.2 A largura da mesa de compressão de acordo com a NB-1,85 3.1.3 O processo de dimensionamento das seções T, 86

3.2 CALCULO PRÁTICO DAS SEÇÓES T 3.2.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 89 3.2.2 Exemplos, 90 3.2.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k , 95 3.2.4 Exemplos, 96

3.3 EXERCICIOS, 100

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4 FLEXÁO OBLÍQUA 4.1 MÉTODOS GERAIS DE CÁLCUW

4.1.1 Cálculo exato, 101 4.1.2 Superfícies de interação e diagramas de interação, 104 4.1.3 Exemplo, 108 4.1.4 Cálculo por tentativas, 110 4.1.5 Excentricidades acidentais, 11 1

4.2 MÉTODOS SIMPLIFICADOSDE CÁLCULO 4.2.1 Linearização dos diagramas de interação, 112 4.2.2 Exemplo, 114 4.2.3 Um processo empirico tradicional, 116

4.3 MÉTODO DA TRANSFORMAÇAO AFIM DAS SEÇÓES 4.3.1 Transformação afim das seções retangulares, 117 4.3.2 Fundamentos do método de cálculo, 121 4.3.3 Roteiro de cálculo, 126 4.3.4 Flexão diagonal da seção quadrada. Grande excentricidade, 129 4.3.5 Exemplo, 131 4.3.6 Flexão diagonal da seção quadrada. Pequena excentricidade, 136 4.3.7 Exemplo e advertência, 140 4.3.8 Outras formas de seção transversal, 146 4.3.9 Exemplo, 146

4.4 EXERCÍCIOS, 152

PARTE 11 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE INSTABILIDADE 5 INSTABILIDADE

5.1 FUNDAME&TOS 5.1.1 Instabilidade na compressão axial. Flambagem, 154 5.1.2 Estabilidade da configuração fletida de equilíbrio, 158 5.1.3 Flexáo c9mposta de barras esbeltas no regime elástico, 161 5.1.4 Instabilidade na flexão composta, 163

5.2 DEFORMAÇÕES NA FLEXO-COMPRESSÁO 5.2.1 Diagrama momento fletor - curvatura (M, 1/r), 167 5.2.2 Cálculo de flechas com não-linearidade física, 168 5.2.3 Diagrama momento fletor-força normal- curvatura (M, N, l/r), 170 5.2.4 Cargas de longa duração, 172

5.3 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO GERAL 5.3.1 Fundamentos do método geral, 177 5.3.2 Processo do carregamento progressivo proporcional, 178 5.3.3 Processo das excentricidades progressivas, 179 5.3.4 Pilar padrão, 181 5.3.5 Processo do pilar padrão (com o método geral), 182 5.3.6 Exemplos, 188

5.4 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO DO EQUILIBRIO 5.4.1 O método do equilíbrio, 189 5.4.2 Método do equilíbrio. Processo do deslocamento de referéncia, 190 5.4.3 Método do equilíbrio. Processo do pilar padrão, 192 5.4.4 Processo simplificado do equilíbrio, 195 5.4.5 Processo simplificado da NB-1, 197 5.4.6 Exemplo, 198

5.5 EXERCICIOS

6 INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 6.1 DEFORMAÇOES NA FLEXÃO COMPOSTA OBLIQUA

6.1.1 Deformações do eixo da barra, 200 6.1.2 Curvaturas, 202 6.1.3 Cálculo das curvaturas, 204

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6.2 CÁLCULO DA CARGA CR~TICA PELO MÉTODO GERAL 6.2.1 Processos exatos de cálculo, 207 6.2.2 Pilar padrão, 210

6.3 CALCULO DA CARGA CR~TICA POR PROCESSOS SIMPLIFICADOS 6.3.1 Linearização dos diagramas de interação, 215 6.3.2 Processo simplificado do equilíbrio. Diagrama linearizado, 216 6.3.3 Redução da flexão oblíqua a duas flexões normais, 218

6.4 EXERCÍCIOS

PARTE n I PILARES, PAREDES E ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 7 PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF~cIOS

7.1 VERIFICAÇAO DA SEGURANÇA DAS PEÇAS ESTRUTURAIS 7.1.1 Condiçoes gerais, 222 7.1.2 Tração simples. Tirantes, 222 7.1.3 Flexão simples. Vigas, 223 7.1.4 Peças comprimidas, 223 7.1.5 Flexão composta, 224

7.2 COMPRESSAO SIMPLES DE PILARES 7.2.1 Pilares não-cintados, 225 7.2.2 índice de esbeltez, 228 7.2.3 Pilares cintados, 230

7.3 PILARES DE EDIF~CIOS 7.3.1 Ação do vento, 233 7.3.2 Contraventamento das estruturas, 235 7.3.3 Situações básicas de projeto, 236 7.3.4 Solicitações iniciais dos pilares intermediários, 238 7.3.5 Solicitações iniciais dos pilares de extremidade, 239 7.3.6 Solicitações iniciais dos pilares de canto, 240

7.4 PILARES CURTOS ~7.4.1 Situações de projeto e situações de cálculo, 241 7.4.2 Caso particular de simplificação das situações de cálculo, 242 7.4.3 Exemplos, 244 7.4.4 Processos simplificados de cálculo de flexão composta oblíqua, 245 7.4.5 Caso particular de simplificação, 248 7.4.6 Exemplo, 250

7.5 PILARES ESBELTOS 7.5.1 Consideração dos efeitos de 2.= ordem, 251 7.5.2 Consideração da fluência, 252 7.5.3 Situações de projeto e situações de cálculo, 253 7.5.4 Superposição dos momentos fletores de I.= e de 2.a ordem, 256

7.6 PROCESSOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO 7.6.1 Critério básico de simplificação, 258 7.6.2 Pilares curtos sob carga centrada, 259 7.6.3 Exemplos, 260 7.6.4 Pilares medianamente esbeltos sob carga centrada, 261 7.6.5 Processo aproximado de pré-dimensionamento e de dimensionamento

expedito, 262 7.7 PAREDES ESTRUTURAIS

7.7.1 Conceitos básicos, 263 7.7.2 Excentricidade do carregamento, 264 7.7.3 Momentos fletores de 2.a ordem, 265

7.8 DISPOSIÇ~ES CONSTRUTIVAS 7.8.1 Resistência ao fogo, 266 7.8.2 Dimensões externas mínimas, 267 7.8.3 Cobrimentos mínimos, 268 7.8.4 Armaduras longitudinais, 268

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7.8.5 Espaçamento das barras longitudinais, 269 7.8.6 Armaduras transversais, 269

7.9 EXERC~CIOS, 271

8 PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 8.1 DADOS BÁSICOS DE PROJETO

8.1.1 Cargas de projeto, 272 8.1.2 Arranjo geral e carregamento das lajes, 273 8.1.3 Cálculo das vigas, 275 8.1.4 Carregamento dos pilares, 278

8.2 PILARES INTERNOS 8.2.1 Pilar curto, 279 8.2.2 Pilar medianamente esbelto, 281 8.2.3 Pilar esbelto sem consideração da fluência, 283 8.2.4 Pilar esbelto. Solução alternativa por meio de diagramas de interação,

286 8.2.5 Pilaresbelto. Solução alternativapor meiodediagramas(M, N, 110,288 8.2.6 Pilar esbelto. Consideração da fluência, 290 8.2.7 Pilar cintado, 292

8.3 PILARES DE EXTREMIDADE 8.3.1 Pilar curto, 297 8.3.2 Pilar medianamente esbelto. 1 . O Exemplo, 304 8.3.3 Pilar medianamente esbelto. 2." Exemplo, 311 8.3.4 O estudo dos pilares esbeltos, 313

8.4 PILARES DE CANTO 8.4.1 Pilar curto. Dimensionamento rigoroso, 313 8.4.2 Pilar curto. Dimensionamento simplificado, 319 8.4.3 Pilar medianamente esbelto, 321 8.4.4 O estudo dos pilares esbeltos, 327

9 PROBLEMAS ESPECIAiS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRÍTICA 9.1 CARGAS DE LONGA DURAÇÃO

9.1.1 Consideração da fluência, 328 9.1.2 Carga parcialmente de longa duração, 329 9.1.3 Método de função equivalente de fluência, 330 9.1.4 Método da excentricidade equivalente, 331 9.1.5 Justificativa do método da excentricidade equivalente, 332

9.2 PILAR PADRÃO MELHORADO 9.2.1 Modos de emprego do pilar padrão. 336 9.2.2 Fundamentos do processo do pilar padrão melhorado, 338 9.2.3 Processo do pilar padrão melhorado, 339 9.2.4 Coeficientes de correção. Casos particulares, 343 9.2.5 Exemplo, 344

9.3 ESTUDO GERAL DOS PILARES ESBELTOS 9.3.1 Pilares esbeltos de seção constante, 347 9.3.2 Pilares muito esbeltos de seção constante, 348 9.3.3 Pilares com seção transversal variável ou força normal variável, 348 9.3.4 Exemplo preliminar, 349 9.3.5 A rigidez do concreto a ser considerada, 352 9.3.6 Exemplo definitivo, 353

9.4 ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 9.4.1 A estabilidade global das estruturas, 354 9.4.2 Rigidez mínima das estruturas de contraventamento, 356 9.4.3 Exemplo. Paredes isoladas de contraventamento, 358 9.4.4 Solicitaçóes devidas ao efeito de contraventamento, 360

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9.4.5 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo rigoroso, 362 9.4.6 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo simplificado, 363 9.4.7 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 364

9.5 ESTRUTURAS ESBELTAS NAO-CONTRAVENTADAS 9.5.1 A esbeltez das estruturas deslocáveis, 365 9.5.2 Exemplo. Esbeltez de um pórtico deslocável, 367 9.5.3 Pórticos hiperestáticos. Cálculo rigoroso, 369 9.5.4 Pórticos hiperestáticos. Cálculo simplificado, 371 9.5.5 Influência da deformabilidade da fundação, 372 9.5.6 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 374

Apêndice 1 Tabelas e diagramas de dimensionamento, 377 Apêndice 2 Diagramas, 417 Referências bibliográficas, 462 índice alfabético, 463

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PARTE i

ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA OU DE

ALONGAMENTO PLÁSTICO EXCESSIVO

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Flexão Simples e Flexão Composta. Fundamentos

1.1.1 SOLICITAÇOES Designam-se por solicitaçóes normais os esforços solicitantes que produzem NORMAIS tensões normais nas seções transversais das peças estmturais. As solicitaçóes no

mais englobam o momento fletor e a força normal. De acordo com os princípios da Resistência dos Materiais, os esforços solicita

tes são entes mecânicos referidos ao centro de gravidade da seção transversal. Nas peças de concreto estrutural, armado ou protendido, os esforços solicitantes atuantes são calculados tomando-se, como pólo de redução dos esforços, o centro de gravidade da seçiío geométrica da peça, sem consideração da armadura.'

1.1.2 ESTADOS ÚLTIMOS De modo tradicional, a ruptura das peças de concreto estmtural é caracterizada pela ruptura do concreto, quer tenha havido ou não o escoamento prévio de suas armaduras. Com a ruptura do concreto, atinge-se um estado último de ruptura.

Até alguns anos atrás, no cálculo das seções transversais em regime de ruptura, tomava-se a defiiiição de ruptura acima indicada, não se cogitando de qualquer limitação do alongamento das armaduras. Isso era feito, por exemplo, pela NB-1/60 para o cálculo no estádio III.%

Constatou-se posteriormente que havia a necessidade de limitação do alonga- mento da armadura tracionada das peças submetidas a solicitações normais. O alon- gamento excessivo da armadura tracionada acarreta uma fissuração exagerada, atingindo-se um estado último, sem que necessariamente tenha ocorrido a mpturado concreto do banzo comprimido da peça.

Por essa razão, presentemente, a verificação da segurança é feita admitindo-se que o esgotamento da capacidade resistente tanto possa ocorrer pela ruptura do concreto comprimido, quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. Consideram-se, portanto, estados últimos de ruptura do concreto do banzo cornpri- mido ou de alongamento plástico excessivo da armadura tracionada das peças subme- tidas a solicitações normais.

No entanto, como o início do fenômeno físico de ruptura do concreto é de difícil identificação experimental, convencionou-se aceitar que o concreto atinge a mptura quando o seu encurtamento alcança determinados valores experimentalmente justifi- cados.

Deste modo, os estados últimos de mpturado concreto passam a ser substituídos por estados de encurtamento último do concreto.

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FLEXÃO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 3

1.1.3 ESTADO LIMITE Tendo em vista as dificuldades de caracterização do esgotamento da capacidade ÚLTIMO resistente das peças submetidas a solicitações normais, considera-se um estado limite

último convencional, designado por estado limite último de ruptura ou de deformação plástica excessiva.

Este estado limite último é alcançado 'quando na fibra mais comprimida de concreto o encurtamento é igual a um valor último convencional E ~ ~ . , O U quando na armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o alongamento igual ao valor último convencional E.. = ]O%,,.

Observe-se que para ser alcançado o estado limite último, necessariamente deverá estar satisfeita pelo menos uma das duas condições últimas

- E., m o s . - Esu = 10%'

Deste modo, todos os diagramas de deformação das Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3 correspondem ao estado limite último considerado. Observe-se que nesses diagramas já está incluída a hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado limite último.

Na Fig. 1.1.3-1, a ruína ocorre por ruptura do concreto comprimido. Este ca- so corresponde a existência na peça de um banzo tracionado e outro comprirni- do, ocorrendo a ruptura convencional do concreto com uma deformação última cons-

L = c.. = V A R I A V E I

Fig. 1.1.3-1 Ruptura d o concreto

Fig. 1.1.3-2 Ruptura do concreta.

E, = E,,' loO/, L I Fig. 1.1.3-3 Alongamento excessivo da armadura. Fig. 1.1.3-4 Náo há ruina

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tante e igual a 3,5%0, qualquer que seja o alongamento E, da armadura, admitindo-se E,, ,,,, s E, = 1Wo.

Na Fig. 1.1.3-2, a mína também ocorre por mptura do concreto comprimido. Entretanto, neste outro caso, em que se admite a peça totalmente comprimida, o encurtamento convencional último do concreto é variável. Admite-se que seja

estando agora a situação últimacaracterizada pela passagem do diagrama de deforma- ções pelo ponto C, de abscissa 2%, e ordenada 3 h/7, Fig. 1.1.3-2.

O caso de mina caracterizada pelo alongamento plástico excessivo da armadura está indicado na Fig. 1.1.3-3. Qualquer que seja a deformação da fibra extrema da borda comprimida da seção transversal, mesmo que seja E,,, ,,, S E,,, = 3,5%0, o estado limite último é caracterizado pela ocorrência de deformaçáo E, = 10%0.

O valor E, = I a o foi arbitrado com a consideração de que, desprezando-se o alongamento do concreto tracionado, essa deformaçáo corresponde a uma fissuração de 10%0, ou seja, corresponde a uma físsura de 1 mm de abertura para cada 10 cm de comprimento da peça. Com essa fissuração, é dada por esgotada a capacidade resis- tente da peça.

Conforme está mostrado na Fig. 1.1.3-4. não ocorrerá a mína, ou seja, não será atingido o estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo quando forem simultaneamente E, < E,, e E , , ,,, < E ,,,. Deste modo, para que um diagrama de deformações corresponda a uma situação última, ele deverá necessaria- mentepassarporumdostrêspontos,A,B ouC,indicadosnas Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3.

Com isso, as possíveis configurações últimas do diagrama de deformações espe- cificas ao longo da seção transversal da peçadefinem os seisdomínios apresentados na Fig. 1.1.3-5. Os domínios 1 e 2 são fixados pelo ponto A , os domínios 3 , 4 e 4a pelo ponto B e o domínio 5 pelo ponto C. Os diagramas de deformaçóes referentes aos diferentes domínios variam desde a reta a , correspondente a tração uniforme, até a reta 6 , correspondente a compressão uniforme.

Fig. 1.1.3-5 Domínios de deformação.

1.2 HIPÓTESES No estado limite último, o estudo da capacidade resistente das peças submetidas BÁSICAS a solicitaçóes normais é feito com as seguintes hipóteses básicas:

1.2.1 MANUTENÇÃO DA Nas peças de concreto estrutural submetidas a solicitações normais, é admitida a SEÇÃO PLANA validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado

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FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

limite último, desde que se tenha uma relação

1.2.2 SOLIDARIEDADE DOS MATERIAIS

1.2.3 ENCURTAMENTOS ÚLTIMOS DO CONCRETO

1.2.4 ALONGAMENTOS ÚLTIMOS DAS ARMADURAS

1.2.5 DIAGRAMA DE TENSOES

PARÁBOLA-RETÂNGULO

sendo to a distância entre as seções de momento fletor nulo, e d a altura útil da seção transversal.

Com esta hipótese, as deformações normais específicas são, em cada ponto, proporcionais a sua distância a linha neutra da seção, inclusive quando a peça alcança o estado limite último.

Admite-se a solidariedade perfeita entre as barras da armadura e o concreto que as envolve.

Com esta hipótese, a deformação específica de uma barra da armadura é igual a deformação específica do concreto que lhe é adjacente.

Qualquer que seja a sua resistência, no estado limite último o encurtamento específico de ruptura do concreto vale:

3,5 x 10-3 na flexão pura 2,O x 10-3 na compressão axial

variando na compressão excêntrica conforme indicado na Fig. 1.1.3-2

Nas peças de concreto armado, o alongamento específico último da armadura tracionada é tomado com o valor convencional de 10%0.

Nas peças de concreto protendido, o alongamento específico máximo é limitado ao valor de Imo, contados a partir do estado de neutralização da seção transversal. O estado de neutralização é obtido anulando-se, em todaa seção transversal, as tensões no concreto decorrentes da aplicação isolada dos esforços de protensão.

Admite-se que, no estado limite último, as tensões de compressão na seção transversal das peças submetidas a solicitações normais tenham uma distribuição de acordo com o diagrama parábola-retângulo indicado na figura seguinte:

Fig. 1.2.5-1 Diagrama parábola-reténgulo.

' GRAU

O diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2." grau, com vértice na fibra correspondente a deformação de compressão de 2%0, prolongada por um segmento reto limitado na fibra correspondente a deformação de compressão de

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ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

3,5%0. A ordenada máxima do diagrama corresponde a uma tensão igual a

1.2.6 DIAGRAMA De modo geral é possível admitir-se para as tensões de compressão a distribuição RETANGULAR DE retangular simplificada indicada na Fig. 1.2.6-1. É importante saber-se que os resuita-

T E N S ~ E S dos obtidos com este diagrama simplificado são praticamente iguais aos resultados obtidos com o diagrama parábola-retãngulo, As possíveis divergências de resultados ocorrem apenas no domínio 5.

DEFORMA ÓES

I 1 LARGURA DECRESCENTE O U CRESCENTE PARA PARA A BORDA CDMPRIMIDA A BORDA COMPRIMIDA

Fig. 1.2.6-1 Diagrama retangular.

No trecho de altura 0,2x, a partir da linha neutra, são desprezadas as tensões de compressão. No trecho restante de altura 0 . 8 ~ . admite-se distribuição uniforme de tensões.

Nas zonas comprimidas de largura constante, ou crescente no sentido das fibras mais comprimidas, admite-se uma tensão constante e igual a 0,85 f,,.

Nas zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais com- primidas, admite-se uma tensão constante igual a 0.80 f,,. Este caso ocorre, por exemplo, nas.seções circulares, nas seções triangulares ou trapezoidais com vértice do lado mais comprimido e nas seçóes retangulares submetidas a flexão oblíqua.

1.3 CASOS DE SOLICITAÇÃO

1.3.1 DOM~NIOS O estado limite último de ruptura ou deformação plástica excessiva é caracteri- DE DEFORMAÇAO zado convencionalmente na situação de cálculo pelas deformações específicas de

cálculo e E~, , respectivamente, do concreto e da armadura tracionada. Para a determinação da resistência de cálculo de uma dada seção transversal, é

necessário considerar em qual dos domínios definidos pela Fig. I. 1.3-5 está situado o diagrama de deformações específicas de cálculo da seção analisada.

Na Fig. 1.3.1-1 estão novamente representados os domínios de deformação, explicitando-se aposição da linha neutra paracada um dos domínios considerados. A posição da linha neutra é definida pela sua distância x a fibra extrema mais compri- mida. A posição da linha neutra também pode ser fixada, de forma adimensional, pelo coeficiente

Na Fig. 1.3.1-2 estão mostrados os casos de solicitação possíveis para cada um dos domínios de deformação. variando-se a posição da linha neutra de -ma +m, ou

Page 17: Fusco - Estruturas de Concreto

FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 7

seja, variando-se as solicitações desde a tração uniforme até a compressão uniforme. A análise das Figs. 1.3.1-1 e 1.3.1-2 permite as seguintes observações:

1.3.2 D O M ~ N I O 1 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,, = 10%0. A linha neutra é externa a seção transversal, a qual está inteiramente tracionada.

Neste domínio estão incluídos os casos de traçãoaxial e de tração excêntricacom pequena excentricidade.

A seção resistente é composta pelas duas armaduras de aço, não havendo partici- pação resistente do concreto, o qual é admitido como inteiramente fissurado.

Page 18: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

1 =-"

Fig. 1.3.1-2 Casos de solicitação - Domínios de deformação. Diagramas de deformacão corresponden- tes aos extremos dos domínios.

1.3.3 D O M ~ N I O 2 O estado limite último é caracterizadopeladeformaçáoe,, = IO%o. A linha neutra corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo compri- mido.

Neste domínio estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excen-

Page 19: Fusco - Estruturas de Concreto

FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 9

tricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. Na peça existe um banzo tracionado. mas o concreto da zona comprimida não

atinge a ruptura, pois esta somente poderá ocorrer na posição limite do fim do domínio 2, quando então E ~ , , = 3,5%0.

Observe-se que da Fig. 1.3.1-1 resulta a relação

3,5%0 - - 1 Wo X,, iim d - X2, iim

ou seja

donde

Na Fig. 1.3.1-1, o domínio 2 está subdividido em dois outros, indicados, respecti- vamente, por 2a e por 2b. A separação entre estes dois subdominios é dada pela condição E,,, = 2%0, à qual corresponde a condição

obtendo-se para a posição limite da linha neutra o valor

A subdivisão do domínio 2 é aqui considerada tão-somente com afinalidade de ser determinado um valor limite da profundidade da linha neutra, a partir da qual as armaduras de compressáo podem ser realmente eficientes. Deste modo, somente no subdomínio 2b deverão ser levadas em conta as eventuais armaduras de compressão. No subdominio 2a, tais armaduras, mesmo quando existentes, deverão ser ignoradas, pois a deformação última das mesmas é muito pequena e incerta.

1.3.4 DOMINIO 3 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado.

Na situação última, a deformação da armadura tracionada é pelo menos igual a deformação de inicio de escoamento. Assim, a ruptura do concreto ocorre simulta- neamente com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto, pois os dois materiais são aproveitados inteiramente e, além disso, não há risco de ruínanão-avisada. As peças quechegamaoestado último nodomínio 3 sãoditas peças srtbarmadas (na verdade deveriam ser chamadas de peças normalmente armadas).

Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntncacom grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentnci- dade.

O domínio 3 é limitado pela condição

Page 20: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

resultando na posição limite da linha neutra

que é variável com o tipo de aço empregado

1.3.5 DOMÍNIO 4 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado.

No estado último, adeformação da armadura é inferior a deformação de início de escoamento. A ruptura da peça ocorre, portanto, de formafrágil, não-avisada, pois o concreto se rompe sem que a armadura tracionada possa provocar umafissuração que sirva de advertência. As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são ditas superarmadas, devendo ser evitadas tanto quanto possível.

No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com grande excentricidade. Existe predominância do efeito de compressão, embora a excentricidade não possa ser chamada de pequena, pois a peça ainda apresenta um banzo tracionado.

O domínio 4 é limitado pela condição

sendo nula a deformação da chamada armadurade tração, a qual na situação limite não é solicitada.

1.3.6 DOMíNIO 4a O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha neutra ainda corta a seçáo transversal, mas na região de cobrimento da armadura menos comprimida.

No domínio 4a, ambas as armaduras estão comprimidas, embora sejam usual- mente desprezíveis as tensões na armadura menos comprimida.

O domínio 4.2 é um simples domínio de transição conceitual, estando limitado por uma posiçáo da linha neutra tangente a fibra extrema da seção, sendo'pois

1.3.7 D O M ~ N I O 5 No domínio 5 estão incluídos os casos deflexo-compressão com pequena excen- tricidade e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção transversal, a qual está inteiramente comprimida.

Admite-se que neste domínio seja variável a deformação última do concreto, sendo igual a 2%0 na compressão uniforme e 3,5%0 na flexo-compressão com a linha neutra tangente à seção.

Os diagramas de deformação dos dois casos limites citados cruzam-se no ponto C, afastado de 3 h/7 da borda mais comprimida da seção, como decorrência da hipótese de que o estado limite último seja caracterizado peladeformação ced = 2%0 na fibra que passa ppr esse ponto C , estando E,, compreendido entre os limites de 2%0 e 3,5%0.

1.4 DIAGRAMAS DE CÁLCULO DOS AÇOS

1.4.1 PROPRIEDADES O diagrama tensáo-deformação de cálculo dos aços é obtido do diagrama caracte- GERAIS rístico, dividindo-se por y, as ordenadas oblíquas, paralelas a reta de Hooke.

Para os aços das armaduras passivas, tanto da ClasseA quanto da Classe E , a NB-1 adota o modulo de deformação i

Page 21: Fusco - Estruturas de Concreto

FLEXÁO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 11

E, = 210 000 MPa (1 MPa = 10 kgf/cmz)

Para esses aços, mesmo para os da ClasseB, nos quais o efeito Bauschinger pode não ser desprezível, admite-se um comportamento na compressão simétrico ao cornpor- tamento na traçáo. Além disso, em virtude de o concreto solidário as armaduras sofrer ruptura com encurtamentos não superiores a3,5%a, do lado das tensóes de compressão o diagrama tensão-deformaçáo dos aços já é truncado em função desse encurtamento de ruptura do concreto.

Para estes mesmos aços, o CEB3 adota o valor E, = 200 GPa.

1.4.2 AÇOS CLASSE A Para os aços da Classe A , caracterizados pelalinearidade do diagrama até o limite de escoamento e pela presença do patamar de escoamento, adota-se o diagrama indicado na Fig. 1.4.2-1.

Fig. f.4.2-1 A ~ o s classe A. Diagrama tensão-deformafio.

1.4.3 AÇOS CLASSE B Para os aços Classe B, obtidos por encruamento a frio, adota-se o diagrama apresentado na Fig. 1.4.3-1 quando se dispõe de dados experimentais que permitam o traçado do diagrama característico tensão-deformação.

Quando não existe informação experimental suficiente, permite a NB-1 a adoção do diagrama simplificado apresentado na Fig. 1.4.3-2.

I N = 0 , 1 k g f I MPa = I MN/m' = I0 kgflcm' I k N = l W k g f = O . l t f 1 kNlm = IW kgflrn = O,I tflm I kN.m = IW k8f.m = 0.1 I f m I kNim* = 1W kgflmz = 0.1 f i m 2 I k N c m = !W kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N l m a = 100 kgflm3 = 0.1 fim3

I MPa = 0.1 kNicm' = 100 N/crn2

Page 22: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Fig. 1.4.3-1 Aços classe B. Diagrama tensáo-defomaçáo

( '0, - o,7 )2

ycd

Fig. 1.4.3-2 Aços classe B. Diagrama simplificado tensão-deformação. ~ Na figura da Tabela 10 estão desenhados em escala os trechos curvos dos

diagramas correspondentes aos aços CA-40B, CA-SOB e CA-6OB. É oportuno salientar que o trecho curvo do diagrama simplificado adotado pela

NB-I é uma parábola do 2.O grau, enquanto que, para essa simplificaçáo, o CEB , admite uma parábola do 5.O grau. Na Fig. 1.4.3-3 estão apresentados resultados experimentais obtidos com aços

produzidos pela indústna brasileira.*

'Resultados obtidos em diversos laboratonos

Page 23: Fusco - Estruturas de Concreto

FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMEhTOS

Note-se que a parábola do 5 . O grau adotada pelo CEB adapta-se com maior segurança aos resultados da fase de encruamento que aos valores anteriores ao escoamento. A parábola adotada pela NB-I, além de ser numericamente mais sim- ples, pode garantir com maior segurança a região anterior ao escoamento, pois a NB-1 não considera a fase de encruamento.

. , . .

,

.

1.5 VALORES DE (y, = 1,15, E, = 210.000 MPa) CÁLCULO

1.5.1 AÇOS CLASSE A f"* = k Ys

< : . . ... . . . . . . . . . ..

. . . . . .. . . . .I .

I N = O , I k g f I MPa = I MN/m2 = IOkgflcm' I k N = I W k g f = O , l t f I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t t m I k N / m 2 = 100kgilmz=O,I rf/m' 1 k N . c m = 100 kgi.cm = 0.1 t f c m I k N / m S = IWkgf/rna =O,I tf/m3

o

I MPa = 0.1 kN/cmz = 1 W Nlcm'

- 0.001 0002 0003

.:.. . . .. ' .

.

.: ' :

5 bs € o b s - -

Fig. 1.4.3-3 Aços classe B - Resultados experinicntais. E s

, , . ,

Page 24: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Fig. 1.5.1-1 Diagrama de cálculo.

1.5.2 AÇOS CLASSE B fud = 3%

Y.

cyd = 2%0 + Azyd Ng. 1.5.2-1 Diagrama de cálculo

CA-40B 400 348 1,66 3,66 CA-SOB 500 435 2 8 7 4.07 CA-60B 600 522 2.48 4,48

I N - 0 , l k g f I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/cmZ I k N = I W k g f = 0 , l d I kN/m = 100 kgflm = 0,I tflm I kN.m = 100 kg fm s 0.1 tf.m 1 kNim2= 1W kgfim2 s 0.1 tfIm2 I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kN/mg= 103 kgflm" 0.1 U/m'

I MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm2

Page 25: Fusco - Estruturas de Concreto

FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

1.5.3 VALORES LIMITES

Para os aços Classe B c a b e a inda considerar o limite d e proporcionalidade fad e a cor respondente deformação específica E,,, dados por

fod = 0,7 f,d

CA-40B 400 348 243 1,16 C A-SOB 500 435 304 1,45 CA-6OB 600 522 365 1,74

Como é fisicamente definido o esgotamento da capacidade resistente das seções de concreto armado submetidas a solicitaçóes normais? Quais os estados últimos corres- pondentes? Como é definido o estado limite último da ruptura ou de deformação plástica excessiva? O que significa a circunstância desse estado ser considerado como um estado limite? Qual a diferençaentre o estado limite último de ruptura ou deformação plásticaexcessiva e o conceito de estádio III? Por que o estado limite de ruptura é caracterizado por um encurtamento último do concreto? Quanto vale esse encurtamento? Se o encurlamentomáximo~~, doconcreto éinferiorao valor Último, pode aindaassim ter sido atingido o estado limite último? Que interpretação física deve ser dada ao limite adotado para a deformação última da armadura? Quais as hipóteses básicas da teoria de flexão no estado limite último? Como são definidos os diagramas parábola-retângulo e retangular de tensões de com- pressão nas seçóes transversais? Desenhar os diagramas de deformações da seção transversal no estado limite último de ruptura ou deformação plástica excessiva de peças submetidas à flexo-tração. à flexão

I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlm' = 10 k$/crnz I kN = IW kgf = 0.1 tf I k N i m = IW k d i m = 0.1 t f i m I k N . m = 1W kgf.rn = 0.1 1f.m I kNlm' = I W kgf!m2 = 0.1 tfirn' I kN.crn = 100 kgf.cm = 0.1 r f c m I kNim,; = I W kgfim3 = 0.1 tfirn"

I MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 N/crn2

Page 26: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÓES NORMAIS

simples e à flexo-compressão com pequena excentricidade. Justificar. Nas mesmas três situaçóes da questão anterior, desenhar diagramas de deformações correspondentes a estados que ainda não sejam estados últimos. Justificar. Que estado Último caracteriza os domínios 1 e 2 de deformaçóes? Que estado último caracteriza os demais domínios de defonnaçóes? Na determinação da ruptura do concreto, que diferenças existem entre os domínios 3.4, 4a e S? Que relaçóes obrigatórias existem entre a posição da linha neutra e o tipo de solicitação normal que age na seção considerada? Em que domínios de deformação podem estar situados os casos de flexão simples? O que se entende por peças subarmadas e por peças superarmadas? Em que domínios elas ocorrem? Calcular a posição relativa da linha neutra no fim dos domínios 2 e 3 . Por que um destes valores é constante e o outro variável? Em que parte do domínio 2 não se pode usar armadura de compressão? Justificar. Por que no domínio 5 o ponto fixo dos diagramas de deformação está a distância de 3 h17 da borda mais comprimida? Caracterizar os diagramas tensão-deformação dos aços ClasseA e dos aços ClasseB. Definir o limite de escoamento para ambas as classes de aço. Como se determina o diagrama de cálculo tensãodeformação, a partir do diagrama característico dos aços? Que forma simplificada do diagrama tensão-deformação dos aços Classe B é permitida pela NB-I? Quanto vale o módulo de deformação E, dos aços Classe A e dos aços Classe B? Calcular a deformação de início de escoamento dos aços CA-SOA e CA-SOB.

Page 27: Fusco - Estruturas de Concreto

2

Seções Retangulares

2.1 TRAÇÁO SIMPLES E TRAÇAO COM

PEQUENA EXCENTRICIDADE.

2.1.1 CONDICOES DE As peças de concreto armado submetidas à tração simples ou à tração com pequena EQUILÍBRIO excentricidade devem ser admitidas com suas seções transversais inteiramente fissu-

radas. No domínio 1, a seção resistente é formada apenas pelas duas seções metálicas A , e k s , Fig.2.1.1-1.

Neste caso, o estado limite último é caracterizado pelo fato de a deformação específica da armadura mais tracionada, de área A,, ter atingido o valor E* = 10%0.

Embora se saiba que a outra armadura, de área A',, também está tracionada, não

w Kg. 2.1.1-1 Flexo-tração no domínio I

Page 28: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

se conhece a priori a tensão rid que age na mesma, pois não se conhece a posição da linha neutra, podendo ser E,, < E;,.

Em princípio, as forças R: e R, que agem nas armaduras podem ser estudadas em função da ação última F, e da geometria do sistema, impondo-se as condições de equilíbrio de esforços e de compatibilidade de deformações.

No entanto, torna-se mais simples proceder a uma duplaverificação, como é feito a seguir, Fig. 2.1.1-2.

Fig. 2.l.l-2 tquilibi-io de forças.

a. Condições de equilíbrio Das condições de equilíbrio, têm-se:

sendo

RSd = A:

b. Cálculo de verificaçáo (incógnita: F,) O valor de cálculo Fd da ação é dado pelo menor dos dois valores

d - d' F,, =S A', - fvd (2.1.1-5)

e,

com

Page 29: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇÕES RETANGULARES 19

Observe-se que será F,, = F., quando a distância 1 x 1 da linha neutra for suficientemente grande paraque E; 2 eyd, logo quando aLd = fUd.

c. Cálculo de dimensionamento (incógnitas: A,, A;) Impõe-se nas equações (2.1.1-1) a (2.1.1-4) a condição

obtendo-se então as áreas A, e A;

2.1.2 CÁLCULO DE VERIFICAÇAO.

EXEMPLO*

Fig. 2.1.21 Exemplo

Para a seção da Fig. 2.1.2-1, determinar o valor de serviço da força de tração que pode ser aplicada com uma excentricidade e = 10 cm. São dados:

h = 50 cm d' = 4 cm A, = 4 4 25 (20 cm2) A: = 2 4 25 (10 cm2)

Aço CA-SOA (f,, = 435 MPa) e = MIN = 10 cm

Admitindo Md = M* = e = 10 Cm Nd Nk

têm-se

Das condições de equilíbrio, resultam

Page 30: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

ou seja

F. = 3,82 Ri,

F. = 1,35 R,,

Considerando a condição limite o;, = uad = fvd, para a qual

sendo Rid 5 Riu e R,, s R,, obtêm-se

resultando finalmente

Fd = 1 175 kN

Em condições de serviço, adotando y, = 1,4, tem-se

2.1.3 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO.

EXEMPLO

Fig. 2.1.3-1 Condições de serviço.

Determinar as áreas A, e A8 das seções das armaduras do tirante indicado na Fig. 2.1.3-1.

Sendo dados M, e N,, a peça pode ser tratada como se estivesse submetida a uma

- -

I N = 0 , 1 w I MPa = I MNlmS= IOkgíIcm' I k N = I W k g f = O , I t í 1 kNlm = IW kd/m = 0.1 tflm I kN.m = IWkgfm = O,] t tm I kNlmZ= IWkgí lm~=O, l d/mS 1 kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 tf.cm I kNlm" lCü kgflm' = 0.1 tílm"

1 MPa = 0.1 kNIcm' = ICü N/cm'

Page 31: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES

força de tração excêntrica Fk = N,, com excentricidade

Para o dimensionamento das armaduras será considerada então, Fig. 2.1.3-2, a solicitação dada por

Fig. 2.1.3-2 Condi~óes de $álculo.

Da geometria do sistema, têm-se

e das condições de equilíbrio, obtêm-se

Admitindo-se o emprego de Aço CA-50A, com f,, = 435 MPa, resultam para as armaduras os valores:

I N = O , l k g f I MPa = I MNlrn2 = IOkgitcrn* I k N = 103 kgf = 0,1 tf I kN/m = 103 kgflm = 0.1 tflm I k N m = IW W . m = 0.1 1f.m I k N / m L lWkgflrna = 0,l tfirn* 1 kN.cm = IW kgf.crn = 0.1 tf.crn I kNlms = 1W kgflrn' = 0,I tfirn'

Page 32: Fusco - Estruturas de Concreto

2.2 FLEXAO SIMPLES. As expressões aqui deduzidas têm por finalidade apresentar o estudo do caso básico CÁLCULO PRÁTICO que permite as primeiras aplicações da teoria de flexão.

No estudo com variáveis adimensionais é empregado o diagrama parábola- retângulo, enquanto que, no estudo com variáveis dimensionais, é usado o diagrama retangular de tensóes.

2.2.1 VARIÁVEIS ADIMENSIONAIS.

ARMADURA SIMPLES

& b A

Fig. 2.2.1-1 Caso básico - FlexXo simples - Armadura simples.

Considerando-se o caso básico da flexão simples de seções retangulares com armadura simples, as equaçóes de equilíbrio podem ser deduzidas diretamente a partir da Fig. (2.2.1-1). De fato, sendo

,.\ R, = a bx.0,85 fcd

e

R, = A, c,

definindo-se os valores

(taxa mecânica de armadura)

(momento fletor reduzido)

as equações de equilíbrio

R, = R,

R, z = M,

Page 33: Fusco - Estruturas de Concreto

podem ser escritas

donde

Nestas expressões, o coeficiente a mede a relação entre a tensão média de compressão e o valor extremo 0,85 f,,; o coeficiente 5' fixa a posição da resultante das tensões de compressão no concreto e, portanto, define o braço de alavanca dos esforços internos.

Conforme será visto em 5 2.3.4, as condiçóes de compatibilidade de deformações fornecem as seguintes funções da variável f :

a = a(f) (permite a determinação da tensão média de compressão em função da posição da linha neutra)

f' = C(5) (permite a determinação do braço de alavancados esforços internos em função da posição da linha neutra)

uSd = usd(f) (tensão na armadura de tração em função da posição da linha neutra)

Desse modo, a expressão (2.2.1-2) pode ser posta sob a forma de uma equação a uma incógnita:

I p, = função (01

a qual, uma vez resolvida, fornece a função inversa

Uma vez conhecida a posição da linha neutra em função do momento fletor, a equação (2.2.1-1) permite a determinação da taxa mecânica da armadura de tração, obtendo-se

w = 0 3 5 a - (2.2.14)

Nos casos de dimensionamento, usualmente faz-se o., = fy,, resultando então

Em lugar da expressão anterior, a armadura também pode ser determinada pela expressão

onde

z = d - 5 ' x = d ( l - 5 > 6 )

Page 34: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Nos casos usuais de dimensionamento, adora-se uSd = f,,, resultando

2.2.2 TABELAS Tendo em vista as aplicações práticas, foram tabelados os valores das variáveis que ADIMENSIONAIS intervêm no estudo das seções retangulares, estando os resultados apresentados na

Tabela 1 do Anexo desta publicação. Observe-se que as tabelas são apresentadas sempre em função dos valores de

cálculo. Desse modo, para o seu emprego deverá sempre ser utilizado o valor do momento fletor majorado

Como será visto posteriormente, a tabela correspondente ao caso básico de flexão simples de seções com armadura unilateral poderá ser empregada para todos os casos de flexão, simples ou composta, de seçóes com armadura simples ou armadura dupla. Como essas tabelas são válidas para qualquer tipo de aço e para qualquer resistência do concreto, elas são chamadas de tabelas universais.

2.2.3 VARIÁVEIS ADIMENSIONAIS.

A R M A D U R A DUPLA'

-1 )Md = v,- + I-- (d-d')

A s . A s I As2 , I L---- 1

Fig. 2.2.51 Redugão ao caso básico

A armadura de compressão será usada quando a armadura simples conduzir a 5 > f n m , isto é, quando a armadura unilateral corresponder ao domínio 4. Com esta precaução são evitadas as peças frágeis. Todavia, com os aços ClasseB, para os quais a deformação E,, é convencional, admite-se que hajaumazona utilizável do domínio4, co&espondente a deformações E,, maiores do que a deformação de início de escoa-

Page 35: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES 25

mento do aço da mesma categoria, mas da Classe A. Para a consideração da armadura dupla, o momento fletor é decomposto em duas

partes

das quais M,, . é a parcela resistida pela seção com armadura simples e AM, é a parcela resistida por uma seção metálica.

Dessa maneira, conforme é ilustrado pela Fig. 2.2.3-1, têm-se:

armadura de tração

armadura de compressão

/;7

De modo geral, faz-se

correspondente a 8 = [ l i , . Nesse caso, obtêm-se

armadura de tração

1 M, ,I7"+=) A, = - (. Ud Z d - d '

armadura de compressão

\

É importante salientar-se que a decomposição considerada é válida porque foi admitido o mesmo diagrama de deformações tanto para a seção simplesmente armada, com armadura de área A,,, quanto para a seção metálica formada pelas armaduras de áreas A: e A,, Fig. 2.2.3-1.

Note-se que os valores correspondem a 5 = 5irrn Em também com os aços Classe B

adotado pela NB-I. os valores

vezes é tolerada a solução com armadura simples paravalores def algo maiores do que 511rn, desde que não se chegue a peças de ruptura francamente frágil.

Admite-se, em geral, como ainda utilizável a parte do domínio 4 onde

Page 36: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS

2.2.4 EXEMPLOS a. Armadura simples

Fig. 2.2.41 Exemplo.

Calcular a armadura da viga indicada na Fig. 2.3.4-1. Solicitação:

q, = 20 kN/m

Me = Yr Mx, mus. = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm

f,, = 18 MPa = 1,X kN,!cm2

h = 50 cm b = 25 cm

d' = 4 cm (valor estimado)

d = h - d ' = 5 0 - 4 = 4 6 c m

Pela Tabela 1 (para @, = pgd = 0,186)

5 = 0,31 < c,im (domínio 3, pode ser usada armadura simples)

5 = 0,867 logo z = b = 0,867 x 46 = 39,9 cm

E, = 7,49%0 (a,d = f,,)

Sendo Aço CA-SOA, têm-se

f,, = 500 MPa = 50 kN/cmZ

1 N = 0.1 kgf I MPa = I MN/m2 = 10 kgf/cmS I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNIm = 1W kgflm = 0.1 dlm I kN.m = 1W M m = 0.1 t f m I kNlm2 = 1M kgflrn2 = 0.1 dlmz I kN.crn = 1M kgi.cm = 0.1 1f.m I kNlmL 100 kgf/ma = 0.1 tf/d

Page 37: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES

logo

ou seja

A, = 7,26 cmZ - 4 6 16

sendo A, > A,, ,i, . pois para o Aço CA-50

p,,,, = A,, ,,,/bd 3 0,15%, logo

A , ,,,. = 0,15 x 25 x 461100 = 1,73 cm2

b. Armadura dupla

Determinar a armadura da viga do caso anterior, reduzindo-se a largura para 12 cm.

Neste caso, obtém-se

Adotando pd = pd, lim = 0,319, têm-se

5 = (rim = 0.6283

5 = 0,739 logo z = < d = 0,739 x 46 = 34,O cm

Ecl = 3,5%0

d' donde, sendo 8' = - = 4 0,09, d 46

5 - '' - - = 3,00%0 > tem-se E'* = eCl - - 3,5 5 0,628

ou seja a', = f',, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ

Desse modo, sendo

Md, ii, = pd, fim.bdZ fcd = 0,319 X 12 x 462 x 1,28 = 10 368 kN.cm

1 N = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP= 10l;gficmz I k = 100 kgf = 0.1 f f I kNlm = 100 W i m = 0.1 tflm 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I kNlm2 = 100 kgfim" = 0.1 (fim' I k N . c m = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kN/mS= la)kgf /m3=0.1 tflms

I MPa =O,! kNlcmz = 100 Nicm'

Page 38: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

resultam, com d - d' = 46 - 4 = 42 cm,

logo

2.2.5 VARIÁVEIS Tradicionalmente entre nós o cálculo rotineiro das peças de concreto armado DIMENSIONAIS. TABELAS submetidas à flexão normal era feito com o auxílio de tabelas que genericamente

TIPO k podem ser chamadas de tabelas tipo k . Essas tabelas tiveram o seu formato estabelecido originariamente por Loeser4

para o cálculo no estádio 11. Quando se introduziu entre nós o cálculo no estádio 111, como conseqüência dos

trabalhos de Langendonck2, já eram utilizadas tanto tabelas com variáveis adimensio- nais quanto tabelas com variáveis dimensionais.

A apresentação de tabelas tipo k para o cálculo no estádio 111, com o formato e a notação originalmente empregados para o cálculo no estádio 11, foi feita por Burkes e. posteriormente, por Burke e Gertsenchtein.Tomo essas tabelas* foram empregadas durante muitos anos, tanto na formação dos nossos engenheiros quanto no trabalho profissional em nosso meio técnico, tabelas do tipo k são novamente aqui apresenta- das, mantendo-se de modo aproximado o formato tradicional, empregando-se porém os valores de calculo dos momentos fletores.**

Tendo em vista a notação internacional estabelecida pelo CEB e adotada pela NB-1, as tabelas tipo k aqui apresentadas tiveram a sua notação adaptada, definindo- se os seguintes coeficientes:*

*As tabelas citadarr eram empregadas com os momentos caracte"sticos M,. '.Obseivpse que todos os momentos fletores sáo tomados sempre com seus valores de cálculo

1 N = O . ! @ i MPa = 1 MNlm' = I0 kgf/cmz I k N = I W k g f = O , l t f i kNlm = 100 kgfim = 0,I tilm I kN.m = 1 0 0 W m = 0.1 tf.m I kNlmS= 100kgflm2=0,1 tiimz I kN.cm = 100 kgfem = 0.1 tf.crn I kN/mZ= i00 kgflm" 0.1 tflm3

Page 39: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES

Com armadura simples:

Com armadura dupla, sendo A, = A,, + A,,,

AMd A', = k:- d - d'

onde

O momento Md. e é a parcela resistida pela seção com armadura simples de área A,,, e o momento A M d é a parcela resistida pelas seções metálicas de áreas A,, tracionada e A: comprimida.

Usualmente é adotado o valor

Md, C = Md, lim (2.2.5-8)

correspondente a 5 = eiim. Em todas as expressóes, Mdi Md, Md, lim e A M d são valores de cálculo. Das expressóes anteriores pode ser mostrada a equivalência entre os coeficientes

k e os coeficientes empregados no cálculo com variáveis adimensionais. Assim, por suas próprias definições, têm-se

O coeficiente k, faz o papel do momento fletor reduzido P,, pois

logo

1 k, = - p d fed

Considerando seçóes com armadura simples, tem-se

Page 40: Fusco - Estruturas de Concreto

onde

De modo análogo, para as seções com armadura dupla, sendo

I AM, A,$ = - - vid d - d '

podem ser escritas as expressões

resultando

-- A Md AMd = kn- u8d d - d' d - d'

e

1 AMd =kgl- -- AM, uid d - d ' d - d '

logo

I k,, = - (2.2.5-1 1) 08,

As tabelas apresentadas no Anexo desta publicação, para os aços CA-25, CA-32, CA-40A, CA-40B, CA-SOA, CA-SOB e CA-6OB e para concretos de resistência fck iguais a 9; 13,5; 15; 18; 21; 25 e 30 MPa, fornecem os valoresdos coefícientesk,, k,, k,, e k: em função da posição da linha neutra dada por .$ = x/d.

Além disso, para o cálculo de verificação, que é ilustrado pelos Exemplos 4 e 5 do § 2.2.7, as tabelas fornecem os valores dos coeficientes

100 A,, 100p, = - bd

(2.2.5-13)

Page 41: Fusco - Estruturas de Concreto

2.2.6 ORGANIZAÇAO DAS TABELAS DIMENSIONAIS.

FORMULÁRIO

estando os valores de k, dados em função de a, e os valores de ki em função de 6. As tabelas foram constmídas com os coeficientes básicos de ponderação adota-

dos pela NB-1, isto é,

Quando forem adotados coeficientes y, f 1,4, as mesmas tabelas poderão ser empregadas, entrando-se com o valor corrigido h, em lugar do valor real h, sendo

FLEXÃO SIMPLES - A R M A D U R A SIMPLES

Fig. 2.2.6-1 Caso básico - Diagrama retangular de tensóes.

i. VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇÃO DO MOMENTO ATUANTE

Sendo

pode ser calculado o momento

Md = 0,85 fcd.0,8 x.b (d - 0,4 x)

logo

Md = 0,68 fcd.bdz 5 (1 - 0,4 4)

obtendo-se então a relação

Sendo por definição

Page 42: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

resulta

1 . k, = - 1 Depende da resistência do concreto e da posição

f,d 0,68 5- (1 - 0,4 f ) da linha neutra, mas não depende do tipo de aço.

Para um dado concreto, a cada valor de 5 corresponde um único valor de k,. Reciprocamente, a cada k, corresponde um único 5. Quando 6 s f,,,, a seçáo de concreto é satisfatóna, não havendo necessidade de armadura de compressão.

2 . VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇAO DA ARMADURA EXISTENTE

Considerando-se apenas o caso deflexáo simples, tem-se Nd = O (flexão simples)

Admitindo-se que haja armadura simples, tem-se

A', = O A, = A,, (armadura simples)

logo

Do equilíbrio de forças, resulta

A, u,d = 0 3 5 f,d . b 0,8 x

logo

A, - - f C d - 0,68 f - bd u s d

donde

Para 8 &im. tem-se u.d = fud. Para f > &,,, no domínio 4, tem-se

logo, em qualquer caso, a cada valor de f corresponde um único valor de p,. Recipro- camente, dado p, tem-se f e, em função deste, obtém-se k,; ou seja, tem-se o máximo valor de Md compatível com a armadura A,,.

3 . CÁLCULO DA ARMADURA SIMPLES

Para um dado

tem-se

z = d - 0 , 4 x = [ d

Page 43: Fusco - Estruturas de Concreto

logo

A seção transversal da armadura é dada então por

ou seja

Nos domínios 2 e 3:

logo

Fazendo

pode-se escrever

k, = 1

( 1 - 0,4f)fVd

No domínio 4

Depende do tipo de aço e da posiçáo da linha neutra, mas não depende da resistência do concreto.

logo

As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são, em princípio, peças superarmadas e portanto devem, no caso de flexão simples, ser evitadas por conduzi- rem a rupturas frágeis. Por essa razão, para osaços Classe A , os valores de k, são fornecidos até o valor de c,,,.

Para os aços Classe B , cujas deformações e,, são muito maiores que para os correspondentes aços Classe A da mesma categoria, admite-se que ainda seja utilizá- vel a faixa de deformações

k, = 1

( I - 0 4 ) u d

conforme é mostrado na Fig. 2.2.6-2

Depende do tipo de aço e da posição da linha neutra, mas náo depende da resistência do concreto.

Page 44: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

L

Fig. 2.2.6-2 Diagramas tensão-deformação dos aços.

Em função de c, foram tabelados os valores de k,. Para os aços ClasseA, o último valor apresentado corresponde a 5,,,. Para os aços Classe E , o último valor apresen- tado corresponde ao Ça, do aço da mesma categoria, mas da Classe A . Para os aços Classe B, os valores de k., correspondentes a zona utilizável do domínio 4, estão abaixo do traço indicado na tabela.

Para o cálculo da tensão crsd dos aços Classe B, no domínio 4, tem-se

Ec,, =35°/w 3,5%0 - Esd md-x x d - x

logo

d 1 - t eed = 0,0075 - 5

obtendo-se a tensão usd a partir da expressão adotada pela NB-1 E d

esd = (Tad + (5 - 0,7)2 Fig. 2.2.6-3 Armadura simples - E, 45 fvd

Deformações I B . ARMADURA DUPLA

I . SEÇÃO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE TRAÇAO

Fig. 2.2.64 Flexão simples - Armadura dupla.

Page 45: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGZTLARES

Dado o momento

tem-se

Sendo

1 AM, A,, = - - a,, d - d'

resulta

Quando se admite 5 C f,,, (domínios 2 e 3), resulta uad = fyd, logo

I k, = - a,

Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do concreto.

Quando se considera 5 > f r r m (domínio 41, tem-se

1 k, = - = k,, I,,

f vd

podendo ser feito

Válido para f C [I,,, não dependendo da posição da linha neutra. Para cada tipo de aço, este é o único valor apre- sentado nas tabelas resumidas.

2 . SEÇAO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE COMPRESSAO

ud a=- fud

sendo

Medida da eficiência da armadura de tração. Depende do tipo de aço e da posição da linha neutra.

I AM, A:=, - U*d d - d'

Page 46: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

resulta

De modo geral, tem-se

1 k, = - r, ,

Ecld = ~ i d = &ad

x x - d ' d - x

Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do concreto. .~

Domínio 3 ( E ~ , ~ = 3,5%0)

'eid

d'= ~ ' d z suT &id = 0,0035 - 5 - 8 ' f

Domínio 2 (ead = 10%0)

u Para f = tem-se

Fig. 2.2.6-5 Armadura dupla - Defor- mações. &id = 0,0035 fllm - "

t i i m

resultando

c',, = função (8')

logo

No caso geral, pode-se escrever

1 ki, li, =

(r'sd) f =&im

I -

1 - 1 f"d = f;d k i = - - - UM fld crid p

Válido para 5 = c,,,. Para cada tipo de aço são estes os valores apresentados nas tabelas resumidas em função de 6'.

2.2.7 EXEMPLOS DE a. Exemplo I . Armadura simples DIMENSIONAMENTO

Recalcular o exemplo do 8 2.2.4-a, empregando as tabelas tipo k.

o:,

= f:, Medida da eficiência da armadura de compressao. Depende do tipo de aço, da posição da linha neutra e da profundidade relativa da

armadura de compressão.

Page 47: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇÕES RETANGULARES

Dados conhecidos:

Md = yfMr = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm

h = 50 cm Aço CA-50A

b = 25 cm fCk = 18 MPa

d ' = 4 c m

d = 46 cm

Calcula-se

De acordo com a Tabela6 do Anexo, para o Aço CA-SOA, k, = 4,2 > k,, ,,,, logo o diagrama de deformações está no domínio 3, donde a peça poderá ter armadura simples, sendo

A, = k,% = 0,026 . - 12'* - - 7 ,12cm2(40 16) d 46

b. Exemplo 2

Recalcular o exemplo do § 2.2.4-b, empregando as tabelas tipo k.

Dados conhecidos:

Md = 12 600 kN.cm

d = 46 cm Aço 50-CA

b = 12cm f,, = 18 MPa

Calculando

bd2 - 12 x 462 k , = - - = 2,0 < k,, li, M, 12600

(Tabela 6)

conclui-se que, com armadura simples, a peça seria superarmada, pois o diagrama de deformações estaria no domínio 4.

Desse modo, sendo

tem-se

I N -0 .1kgf I MPa = I MN/m2 = I0 kgflcm' I kN - IM) kgf = 0,l tf I kNlm = I W k8«m = 0,I tflm I kN.m = IW kgf.m 5 0.1 1f.m I kN/rn2 = IW kgf/rnP = O,! tf/rn2 I kN.crn= 1Wkgf.cm = 0.1 t f c m I kN/m'= IWkgf/mim'=O,I n/mz

Page 48: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

resultando, com d - d' = 42 cm,

10 580 2 020 A. = 0,031- + 0,023- = 7,13 + 1,11 = 8,24cmZ (3020)

46 42

c. Exemplo 3

Recalcular o exemplo anterior, item b, empregando o Aço CA-SOB. De acordo com os dados do problema, têm-se

Md = 12 600 kN.cm fcx = 18 MPa

d = 46 cm Aço CA-50B

b = 12cm

Sendo

(Tabela 7)

k , = - - bd2 - l2 46z = 2 8 < kc. ,o,, "til,,, ,e1 Md 12600

é necessário empregar armadura dupla. Adotando-se

k, = k , ,,, = 3,O correspondente a 6 = c,,, = 0,4623

resultam, sendo

a = 1,00 logo k, = - - - 0,023 a

donde

- -

1 N = 0 , 1 k g f I MPa = i MN/m2 = IOkBflcm2 I k N = I W k g f = O , l t f i kNIm = 1W k8fim = 0.1 tflm I kN.m = I W kgf.m = 0,l 1f.m I k N / m Z = tWkgf /m'= O,! tf/m' I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm 1 kNlma= I W kgflm' = 0.1 tflmx

Page 49: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES

Sendo

isto é

obtêm-se

2.2.8 EXEMPLOS DE a. Exemplo 4. Problema de venfícaçáo* VERIFICAÇAO

Determinar o máximo momento Md que pode ser aplicado à seçáo dimensionada no Exemplo 2 (caso b dos exemplos de dimensionamento).

Dados:

d = 46 cm Aço CA-50A

b = 12 cm f,, = 18 MPa (Tabela 6)

Tentativa. Admite-se o escoamento das duas armaduras. Sendo

a hipótese de que as duas armaduras estejam em escoamento corresponde a

k; = k,,

logo

AP2 = A i = 1,60 cmZ

-0 cáicula de veririca$áo é feito aqui por tentativas, evitandrrre o emprego de diagamas de inteniqão

I N =O,lkgf I MPa = I MN/m3 = 10 kgf/cmz I k N = I W k ~ = O , I l f i kNlm = 100 kgf/m = 0.1 tflm I kN.m = 100 kd .m = 0.1 1f.m I kNlm' = 100 kgi/m2 = 0.1 tf/mZ I kN.cm = I00 kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N / m L I00 kgí/ma = 0,I tflm*

I MPa = 0.1 kNIcm" - I W N/cm9

Page 50: Fusco - Estruturas de Concreto

donde

A,, = A, - A,, = 9,45 - 1,60 = 7,85 cm2

Desse modo, pode ser calculada a porcentagem de armadura

resultando

2.a Tentativa. Como no entorno de 100 p, = 1,26 o valor procurado de k, é pouco sensível a variações e a = 1,00, adota-se k, = 2,4 resultando

tem-se para Md o valor máximo admissível de

resultando o valor

b. Exemplo S . Determinar o momento máximo M, que pode ser aplicado a seção do Exemplo3

(caso c dos exemplos de dimensionamento), usando-se Aço CA-SOB. Dados:

d = 46 cm Aço CA-SOB

b = 12 cm f,, = 18 MPa

A, = 3 4 20 = 9.45 cm2

A: = 2 c$ 12,5 = 2,50 cm2

(Tabela 7).

1.O Tentativa. Analisando a tabela referente ao Aço CA-SOB, verifica-se que nas proximidades de .&, têm-se

a - 1,O logo kS2 - 0,023

Page 51: Fusco - Estruturas de Concreto

e, para S ' = df /d = 4/46 = 0,09 - 0,10,

p - 0,W logo k; - - - - 0,026 0 3

Desse modo, sendo

da condição

As* AMd = - (d - d') = -c (d - d') ks2 ks

obtém-se

logo

A 82 = k,, A; = !!8?2,50 = 2,21 cmZ k', 0,026

resultando - As, = As - A,, = 9,45 - 2,21 = 7,24 cm2

O valor 100 p, = 1,31% corresponde a

0,56 < f< 0,60

para o qual a 0.90, concluindo-se que há a necessidade de uma segunda tentativa, pois nesta primeira tentativa foi adotado o valor a I 1 ,O.

2 .O Tentativa. Admitindo-se a - ,B = 0,9, tem-se

A,, = A6 = 2,50 cm2

donde

A,, = A, - AQ = 9,45 - 2,50 = 6,90 cm2

Page 52: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOÍ?S NORMAIS

correspondente a

k, = 2,6

a = 0,90

Nessas condições, têm-se

logo

Observação Seria espontâneo que a condição A,, = A, tivesse sido adotada logo na I .a Tentativa. Essa hipótese foi intencionalmente evitada apenas-para se mostrar que o problema é sempre resolvido no máximo com duas tenta- tivas.

2.2.9 SECAOSUBMETIDA A Dadaa seçãoda Fig. 2.2.9-1, calcular os momentos limites que podem ser aplicados, MOMENTOS DE SENTIDOS considerando-se sucessivamente cada uma das armaduras como sendo a de tração.

CONTRÁRIOS. EXEMPLO

Fíg. 2.2.9-1 Exemplo.

Caso A . Armadura A , tracionada

Sendo

A: = 9,45 cmZ

A, = 18,90 cmZ

1 N = O , l k g f 1 MPa = I MNlm9= IOkgfIcm' 1 kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = 0, l tflm l k N m = 100 kgtm = 0.1 tf.m I kN/mn = 100 kgflm' = 0.1 tflm' I kN.cm = IW kgf.em = 0.1 tf.cm I kN/mS = 100 kBf/mS =0.1 Um'

Page 53: Fusco - Estruturas de Concreto

procede-se da seguinte forma:

Tentativa. Admitindo o escoamento de ambas as armaduras, têm-se

A, = A,, + AgZ = 18,90 cmZ

resultando

Calculando o valor de

pela Tabela 6 (CA-SOA), para f,, = 13,5 MPa e 8' = 0,10, obtêm-se

ficando confirmada a validade da hipótese de que ambas as armaduras estejam em escoamento.

Desse modo, resulta

bd2 r (d - d') Md = Md. c + AMd = - + As k, k,'

ou seja

Caso B . Armadura A,, tracionada

Neste caso, têm-se

I N =O,Ikgf I MPa = I MN/m2= I0 kgflcm' I k N = 100 kgf = 0.1 tf I kNlm = 100 W l m = 0.1 d/m I kN.m = I W kgf.m = 0.1 1f.m I kN/rn9= 1WWlm' = 0,I d/m' I kN.cm = I W kgfcm = 0.1 tfcm I kNIm3 = I W kgflm" 0.1 ffim"

i MPa = 0.1 kNlcm2 = I W N/crn2

Page 54: Fusco - Estruturas de Concreto

Sendo A: > A,, é evidente que deverá ser P < 1 ,O, pois este coeficiente mede a relação ~ : ~ / f , ~ .

Neste exemplo particular, sendo A: = 2A,, necessariamente deverá ser P < 0,5. Consultando a Tabela 6, verifica-se que, para 6' = 0,10, o valor de P cai rapida-

mente, para valores de 5 no entorno de 5 = 0,16.

Tentativa. Admite-se o valor P = 0,34 correspondente a

resultando então

As, = A, - A,, = 9,45 - 3,24 = 6,21

A solução será verdadeira se for satisfeita a condição

Com os valores admitidos. têm-se

estando portanto satisfeita a condição de validade do valor P escolhido. Desse modo, de

bd2 Md = Md, c + AMe = - + A: (d - d')

k c k:

obtém-se, com k', = 0,23/0,34,

logo 'ri

M, = 5 841 + 1 1 315 = 1 1 156 kN.cm

I N =0,1kgf I MPa = 1 MNlm" 10 kgflcm' I k N = I W k g f = O , I t f 1 kN/m = 1W kgflm = 0,1 tflm 1 kN.m = IW kptm = 0.1 t fm I kNlm3= IWl<gflm*=0,l tflm2 I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlrn' = 1W kgflm" 0,1 tflrn'

I MPa = 0.1 kN/cmz c 100 Nlcm"

Page 55: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇÓES RETANGULARES 45

2.3 FLEXÃO SIMPLES Flexáo simples é a flexão não acompanhada de força normal. 3 FLEXÃO COMPOSTA Flexáo composta com grande excentricidade é a flexão acompanhada de força nor-

COM GRANDE mal, havendo na peça um banzo comprimido e outro tracionado. EXCENTRICIDADE (DOMINIOS 2-3-4-4a)

2.3.1 CONDIÇÕES DE Redução a um caso básico único. (M e N em valores absolutos.) EQUILIBRIO

d l 1% ll R'

F, = R, - R, - R;

F, e, = R,(d - c x ) + R:(d - d')

e 6 -- F u ( tração)

FLEXO-TRAÇAO

FLEXAO SIMPLES

F, = R, - R, - R; = O

N, e, = M, = R,(d - c x ) + R:(d - d')

rrTl FLEXO-COMPRESSÁO =,

d F . = R, + R; - R,

M

F, e, = R,(d - Cx) + R;(d - d') A $

R* FLEXO-WMPRESSAO

Fig. 2.3.1-1 Condiçóes de equilibrio

Page 56: Fusco - Estruturas de Concreto

46 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Comparando-se as equações de equilíbrio daflexo-tração, da flexão simples e da flexo-compressão, verifica-se que elas podem tomar-se idênticas desde que na flexo- tração seja feita F c: O.

Desse modo, os três problemas ficam reduzidos a um único, tomando-se o caso da flexo-compressão como caso básico.

As equações de equilíbrio, tanto na flexo-compressão quanto na flexão simples e na flexo-tração, podem pois ser escritas sob a forma

F, e, = R,(d - ['x) + R: (d - d') (2.3.1-2)

com F, > O de compressão e F, < O de tração, sendo

Nu = F, (2.3.1-3)

No caso de flexão simples, tem-se Nu = 0, sendo

Observe-se que a equação de equilíbrio de momentos será sempre referida ao centro de gravidade da "armadura de traçáo" (armadura mais tracionada ou menos comprimida).

2.3.2 PROPRIEDADES Consideram-se a seguir as propriedades básicas das seções retangulares, tendo em BÁSICAS DAS SEÇOES vista a forma do diagrama de tensões de compressão e a posição da linha neutra, nos

RETANGULARES domínios 2, 3 , 4 e 4a. Os elementos básicos de notação estão indicados na Fig. 2.3.2-1.

Ag. 2.3.2-1 Seçóes relangulares - Notação usual

a. Domínio 2

Conforme já foi visto anteriormente, o domínio 2 pode ser dividido em dois subdomínios, indicados respectivamente por 2a e 2b. A diferença essencial entre esses subdomínios reside no fato de que, embora em ambos não se possa falar em ruptura do concreto, no subdominio 2b já háuma franca pseudoplastificação por microfissuração do concreto comprimido, enquanto em 2a esse fenômeno praticamente ainda não se iniciou.

Conforme é mostrado na Fig. 2.3.2-2, no domínio 2a existe um encurtamento máximo do concreto eCld < 2%0, chegando-se, portanto, ao estado limite último com c,,, i a,, = 0 3 5 fedi OU seja, chega-se ao estado limite último com a hipótese de que o concreto ainda não se tenha rompido. Observe-se que no domínio 2a não existe possibilidade de emprego eficiente de armaduras de compressão, pois E: - 0.

No domínio 2b, o encurtamento máximo E,,, do concreto já supera o valor de 2%0, que é o limite para o qual se admite o início dapseuGoplastificação do concreto. Desse modo, no trecho em que 2%0< eCld s 3,5%0, a tensão no concreto é constante e igual a

Conforme foi visto em 5 1.3, têm-se I

Page 57: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES 47

Fig. 2.3.2-2 Segão retangular - Domínio 2.

De modo geral, a resultante das tensões de compressão no concreto pode ser escrita

ou então

R, = 0,85 a bx fcd

onde o coeficiente de bloco a dá o valor da tensão média de compressão r:,, definida - por

ou seja

o:, = 0,85 a fcd (2.3.2-4)

Page 58: Fusco - Estruturas de Concreto

conforme está mostrado na Fig. 2.3.2-3 para o domíni- 2 e na Fig. 2.3.2-4 para os domínios 3, 4 e 4a. -2

A Fig. 2.3.2-3 mostra os valores dos coeficientes a e 5' em função da posição da linha neutra dada por 5, sendo

b. Domínios 3-44a

Nos domínios 3 , 4 e 4a, embora a profundidade x da linha neutra possa ser uma fraçáo variável da altura útil d, as proporções do diagrama de tensões de compressão são sempre as mesmas, conforme se vê na Fig. 2.3.2-4.

CEB - Boletim 82

I rCm 4 var iável

Fig. 2.3.2-3 Domínio 2 - Resultante de compressão.

Page 59: Fusco - Estruturas de Concreto

SECOES RETANGULARES

PARABOLA

D O ~ " R A U

Fig. 2.3.2-5 Posi~ão do centro de gra. vidade.

2.3.3 EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS DE

EQUII IBRIO

1 @c- i DOM~NIOS 3 - 4 - 4 0

Fig. 2.3.2-4 Domínios 3-4-4a - Resultante de compressão

De fato, embora x possa ter qualquer valor para o qual

C a 52, um = 0,2593

a resultante das tensões de compressão pode ser escrita

3 2 4 R, = 0,85 fcd . b - x + - . 0,85 fcd . b- x 7 3 7

logo

3 2 4 R, = 0,85 f ( + - . -) bx C d 7 3 7

Desse modo, para os domínios 3, 4 e 4a, obtém-se o valor constante

De maneira análoga, conhecendo-se a posição do centro de gravidade de um segmento de parábola do 2.O grau, Fig. 2.3.2-5, tem-se

donde resulta, com R, = 0,8095.0,85 fCdbx, o valor constante

De acordo com o que foi visto 8 2.3.1, todos os casos de flexão com grande excentnci- dade podem ser tratados globalmente, tomando-se as expressóes (2.3.1-1) e (2.3.1-2) como equações gerais de equilíbrio, as quais, segundo a Fig. 2.3.1-1, podem ser escritas

F, e, = RJd - c x ) + R:(d - d') (2.3.3-2)

Page 60: Fusco - Estruturas de Concreto

I 50 ESTRUTWAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

com F. > O na compressão e F, C O na tração, sendo

N, = F"

No caso de flexão simples, tem-se N. = 0, sendo

F, e, = M, (2.3.3-3)

FLEXO- COMPRESSÃO Para o estabelecimento das equações adimensionais de equilíbrio definem-se os

símbolos

Fig. 2.3.3-1 Flexo-compressão. x (2.3.3-4)

FLEXÁO SIMPLES t - A', f:d o -- - (2.3.3-7)

bd fCd Fig. 2.3.3-2 Flexão simples. N, vu = -

bd fCd

Msu - Nu e, psu=---- (2.3.3-9) bd2 f,d bd2 f,d

Considerando sempre o momento M, em relação ao centro de gravidade da armadura de tração e lembrando que

R, = 0,85 a bx fCd (2.3.3-10)

FLEXO-TRAÇ~O F~ O as equações de equilíbrio podem ser escritas sob a forma adimensional

Fig. 2.3.3-3 Flexo-tração.

Nd e, - 035 a bx fcd(d - c'x) + A', aid(d - d') ,Ld=- -

bd2 f,d bd2 fCd bd2 f,d

logo

onde todos os termos são tomados em valor absoluto, exceto o valor de v < O quando Nd é de tração.

Page 61: Fusco - Estruturas de Concreto

SECOES RETANGULARES 51

2.3.4 EQUAÇÕES Considerando os domínios 2, 3 e 4, nos quais há uma armadura comprimida e outra ADIMENSIONAIS DE tracionada, Fig. 2.3.4-1, têm-se as seguintes condições de compatibilidade de defor- COMPATIBILIDADE mações, já escritas na sua forma adimensional:

- Fig. 2.3.4-1 Domínios 2-3-4.

No dominio 4a, sendo x > d, ambas as armaduras estão comprimidas (Fig. 2.3.4-2), e as condições de compatibilidade podem ser escritas

Fig. 2.3.4-2 Domínio 4a.

Como a deformação na armadura menos comprimida é de sentido oposto ao que ocorre nos domínios 2, 3 e 4, fazendo-se

E $ = - , E * , < O

para indicar esse fato e lembrando que

resultam para o domínio 4a as mesmas condições de compatibilidade que nos domínios

Page 62: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

2, 3 e 4, ou seja, para todos os domínios 2, 3, 4 e 4a têm-se

com eg < O quando A, for comprimida. Verifica-se então que, uma vez fixado o valor de 5, ficará conhecido o domínio

correspondente e já estarão determinados os valores das outras variáveis que compa- recem nas condições de compatibilidade expressas por (2.3.4-3), bem como as tensões que agem no concreto e nas armaduras. Esses resultados estão apresentados deforma sintética na tabela seguinte.

Domínio

2

(f S 0,2593)

3

(0,2593 G f S e,)

4

(6<, I S I ,O)

h

( I x 0 2)

Variáveis impostas pelo

domínio

E õ = 10%0

a s d 2 fva

ECI = 3,5%0

v c l d = 0.85 fcd

E<, = 3 3 0

U C I ~ = 0,85 fcd

= 334"

aCls = 0,85 fcd

Variáveis calculadas a partir do valor de (

f Ecl = - E8 = 0 , 0 1 0 1

1 - 5 1 - I

w, .$' Tabela da Fig. 2.3.2-3

I - 8' 6' E: = - E s = 0 , 0 1 0 L

1 - f 1 - C

w = 0,8095

.$' = 0,416

E a = -- 1 - I ' - E,, = 0,0035 --

I I

I - % E: = -- 5 - 8'

E=, = 0,0035 -- 5 f

a = 0,8095

.$' = 0,416

S - 1 - 5 1 - 6

E - - eC, = 0,0035 - I 5

E; = - f - 8' " srl = 0,0035 - 5 e

a = 0,8095

C = 0,416

ss = - - E", = 0.0035 1 < O f f

f - 8' 6 - S' E: = - E", = 0.0035 -

I f

Variáveis determinadas a partir

das anteriores

o c i d

-

4 6

-

-

msd 2 f".,

-

-

V 9 d < fVd

d d

-

-

vOd < 0 (compressão)

4 J

Page 63: Fusco - Estruturas de Concreto

2.3.5 RESOLUÇAO DOS Conforme já foi visto, para a resolução dos problemas de flexão simples e de flexão PROBLEMAS DE FLEXÃO composta nos domínios 2, 3, 4 e 4a, dispõe-se das duas equações de equilíbrio

SIMPLES E DE FLEXAO (2.3.3-11) e (2.3.3-12) COMPOSTA

v, = 0,85 (1 6 + o' <TSd - w (iSd fhd f Y d

nas 10 variáveis

das quaisa, E>, us, e u:, são funções unívocas de 5, sendo o valor de 6' estabelecido em função do arranjo das armaduras.

Nos problemas de dimensionamento, nos quais são conhecidos os valores dep,, e v,, consideram-se as duas equações de equilíbrio em função apenas das cinco variá- veis independentes

Desse modo, para os problemas de dimensionamento, conhecidos os valores de psd e v,, arbitra-se o valor de 5 e calculam-se w e w'.

Observe-se que a solução dos problemas de dimensionamento por meio das duas equações de equilíbrio, quando são conhecidas apenas duas das cinco variáveis independentes, exige que seja arbitrado o valor de uma terceira variável para que restem apenas duas incógnitas. Assim, na flexão composta, conhecidos u, e p,,, arbitra-se o valor de 5 e calculam-se o e o'.

É importante observar que a variável 6 , que fixa a posição da linha neutra, pode efetivamente ser arbitrada. De fato, quando se adota o valor de 5, o que se está fazendo é fixar o tipo de estado limite último a ser atingido em primeiro lugar e, nesse estado limite último, determinar o valor da deformação extrema do material que não condicionou o estado limite.

Assim, por exemplo, quando se faz 5 = 0,27, escolheu-se odominio 3, pois 0,2593 = f2 , < 5 < C3, I (m, sendo atingido em primeiro lugar o estado limite último de ruptura do concreto. Nesse domínio sempre vale ced = 3,5%0, logo a escolha de 5 =

0,27 corresponde à fixação de um certo valor para E,,, que no caso é de E,, = 9,45%0. Nos problemas de verificação, -.S.- o melhor caminho ;ser seguido é o do emprego de

/,_ ~ .... diagrãmãs de interação, Fig. 2.3.5-p-- - . .. . ---- .- ~ ~ à f e c 3 i ~ a ~ e ~ s e s diagramas são apresentados com diferentes particula- r idade~, ' .~ as quais deverão ser devidamente consideradas para a sua correta aplica- ção.

Nos problemas de verificação, nos quais são conhecidos os valores de w e o', não se pode arbitrar o valor de 6 , pois existem infinitos pares de valores psd e v, que satisfazem as equações de equilíbrio, correspondendo um par para cada valor dife- rente de 5.

Para o emprego dos diagramas de interação procede-se como é indicado na Fig. 2.3.5-2.

Conhecidas as solicitações de serviço M, e N, e escolhida a direção da verifica- ção da segurança, determina-se o ponto correspondente a situação de cálculo M, e N,, a qual deve estar situada na região de segurança delimitada pelo diagrama de interação das condições últimas M, e N,.

*Nos problemasde vetifica~ãode segóesretangulares submetidasàflexão simples, a processode tentativasilustradopeloi exemplos dos itens 2.2.8 e 2.2.9 é recomendável.

~- ~ ~

Page 64: Fusco - Estruturas de Concreto
Page 65: Fusco - Estruturas de Concreto

1 , diagrama de interoção

'>u, +ração simples Ju,compressáo simples

Fig. 2.3.5.2 Ventícação da segurança

COMPOSTA COM GRANDE

EXCENTRICIDADE. CÁLCULO PRÁTICO

2.4.1 VARIÁVEIS -A-c.~sideracão. nos problemas de flexão composta, do momento M, referi&= ADIMENSIONAIS. centro de gravidade da armadura de tração em lugar do momento M, referido ao

EMPREGO DE TABELAS centro de gravidade da seção transversal da peça tem avantagem principal de permitir UNIVERSAIS a r e s o l u ç á o _ d ~ ~ e ~ g b l q p a s como"-se fossem vrobLemas de fl_ã_mplzs,

empregando-se as mesmaa&las iá anteriormente analisada^. A Fig. 2.4.1-1 ilustra a redução dos problemas de flexão composta a problemas

tratados como se fossem de ilexão simples. A demonstração formal da validade dos raciocínios ilustrados pela Fig. 2.4.1-1

pode ser feita a partir das equaçóes de equilíbrio (2.3.1-1) e (2.3.1-2) do § 2.3.1 ou a partir das equaçóes adimensionais de equilíbrio (2.3.3-1 1) e (2.3.3-12) do § 2.3.3.

Qualquer que seja o caminho escolhido, quando se admite armadura simples, a equação de equilíbrio de momentos, a qual determina a posição da linha neutra, é exatamente a mesma, quer se trate de flexáo simples quer de flexão composta. Esse fato decorre de se admitir o momento Mgd e não O momento M,.

Ainda considerando armadura unilateral, a armadura de tração A, é determinada 1 1 pela equação de equilíbrio de forças, a qual exige que a resultante-R. das tens.Õg-na srnvadui'a de tr:iyGo equilibre ir resultante K,. da, irn\Oes de comprrss,;iu .. . - na . - ;on<rt.io, . . . . . . . . . . . devendo R, scr .icre*ciJ:~ Jd forl;,i normal N. qiinndo ile i r ~ i l i o , ou siihB«_da.dafùrça

. . . . normal N , quando de compressao.

Desse modo, da equaçáo de momentos resulta aposição dalinha neutra e, quando 1 5,s 5iim. pode ser empregada a armadura simples, sendo

Page 66: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

ARMADURA SIMPLES

Flex6o simples Nd =O R, = R,

I I I

Flexo - compressáo Nd> O R < = R ~ - nd 1 = R s , ~ - Nd 1 I I

Flexo- tracáo

ARMADURA W P L A

A', = o

Fig. 2.4.1-1 Flexáo composta com grande excentncidade

onde, tanto para a tração quanto para a compressãa, é feito N > 0. Por outro lado, quando a armadura simples levar a peças superarmadas, o

problema é novamente resolvido pela adoção de armadura dupla. Fazendo-se novamente, como no caso da flexão simples,

Msd = Msd, e + AMsd (2.4.1-3)

onde M , , .é a parcela resistida por uma seção com armadura simples e AM,aparcela resistida por uma seção metálica, tem-se ,

Page 67: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇÓES RETANGULARES 57

onde o sinal (+) vale para N de tração e o sinal (-) para N de compressão, e

Nos casos usuais, a decomposição do momento é feita tomando 6 = tlim e determinando-se o valor

resultando então

tomando-se o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e

Observe-se que tanto o valor de M,, ,,, quanto os valores de z, os, e o:d correspondem a condição imposta de 6 = &,.

2.4.2 Exemplos

Considere-se o dimensionamento da peça indicada na Fig. 2.4.2-1, sendo admiti- dos os seguintes dados:

e = 80 cm yr = 1,4 Yc = 1,4 f,, = 25 MPa

a. Exemplo I

Fig. 2.4.2-1 Exemplo Aço CA-SOA

b =25cm h = 7 0 c m

I N =O,Ikgf I MPa = 1 MNlrnz = 10 kgflcrn' I k N = I M k g f = O , I t f I kNlm = IW kgfim = 0.1 tflm I kN.m = 1W kgfm = 0.1 t tm I kNlmP = 100 kgflrnP = 0.1 tflrn' I kN.crn = IW kgf.cm = 0.1 d.cm I kN/mS = IW kgflmJ = 0.1 tfimJ

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 1W Nlcm'

Page 68: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE COFWETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Sendo

Fd = yf Fk = 1,4 x 500 = 700 kN (compressão)

e, = 110 cm

M, = Fd e, = 700 x 110 = 77 x 103 kN.cm

fcd = fck = 2 = 17,8 MPa = 1,78 kN/cm2 Y C 14

obtém-se

Empregando o Aço CA-SOA, tem-se

p.., = 0,410 > psd, lim = 0,315

havendo, portanto, necessidade de armadura dupla, a fim de ser evitada a peça superarmada.

Adotando-se então

Psd = Psd, hm = 0,315

têm-se

5 = t i l m " 0,615 fVd)

x = 5d = 0,615 x 65 = 40,0 cm

= 0,744

z = cd = 0,744 x 65 = 48,4 cm

= 3,5%0

E$ = 2,8%0

uSd = fvd = - - - 435 MPa = 4 3 3 kN/cmZ 1,15

I N =O,Ikgf I MPa = I MNlm' = I0 kgficmz I k N = l W k g f = O , l t f i kN/m = IW kgfim = 0.1 fim i kN.m = IW kgf.m = 0,I tf.m I kN/m8 = 100 kgf/m2 = 0.1 fim' I kN.cm= IW kgfcm = 0.1 tf.cm I kNlm3= IWkgfim3= 0.1 d/m8

I MPa = 0.1 kNicmP = IW N/cmz

Page 69: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES

resultando

1 AMSd= A ; = - - - I -- l7 ''O - 6 3 2 cm2 (4 0 16) ukd d - d' 43,5 65 - 5

b. Exemplo 2

Resolver o mesmo problema anterior, empregando o Aço CA-50B. De acordo com os resultados obtidos no exercício 1 , tem-se

Para o Aço CA-SOB, psd, = 0,255, logo para psd = pSd, = 0,255

obtêm-se

5 = 5,,,,, = 0,457

x = <d = 0,457 x 65 = 29,7 cm

6 = 0,809

z = cd = 0,809 x 65 = 52,6 cm

EC1 = 3,5%o

eg = 4,14%0

- 435 MPa = 4 3 3 kN/cm2 a,,, = f,,,, = - - 1,15

x - d ' e; = eel - = 0,0035 29'7 - = 0,00291 < e,, = 4,07%0 x 29,7

I N =O. lkg i I MPa = I MNlm' = 10 k8ficm' I k N = I W k g f = O , l f f I kNim = 100 kgilm = 0,l Ulm I kN.m = 100 kgfm = 0.1 t f m I kN/mP = 1W kgilm' = 0,l tflrn' I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 U.cm I kN/rn8 = 1W kgflrns = 0.1 Ulm'

1 MPa = 0.1 kNlcrn2 = 100 Nlcrn'

Page 70: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Msd, um = PS~ , um bd2 fcd = 0,255 X 25 X 65' X 1,78 = 47 940 kN.cm

AM,, = 77 000 - 47 940 = 29 060 kN.cm

resultando

2.4.3 VARIÁVEIS De acordo com o que já foi visto anteriormente, qualquer problema de flexão com- DIMENSIONAIS. posta pode ser tratado como se fosse um problema de flexão simples, Fig. 2.4.3-1.

EMPREGO DE TABELPS TIPO k

As

( As = AS? AS; ARMADURA DUPLA

ARMADURA SIMPLES

Fig. 2.4.51 Reduçáo ao caso básico de flexáo simples

Page 71: Fusco - Estruturas de Concreto

Lembrando as definições dos coeficientes k, dadas em § 2.2.5, a posição da linha neutra é definida pelo coeficiente k,, sendo

Nos casos de armadura simples, válidos para k , 2 k,,ll,, sendo

1 k,, =- U8d

tem-se

MSd A, = k, -- + k,, Na (2.4.3-1) d

com o sinal (+) para N de tração e o sinal (-) para N de compressão. I I

No caso de armadura dupla, adota-se k , = k,, ,,,, determinando-se o valor de I

I

bd2 Mad, lim = --

kc, li",

sendo

têm-se

com o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e I

M,d A', = k', . - d - d'

Desse modo, as tabelas tipo k apresentadas no Anexo desta publicação podem ~ ser usadas para o cálculo das seções retangulares submetidas a flexão composta. Essas tabelas empregam as unidades kN e cm e foram calculadas para y, = 1,4 e y, = 1,15. Para valores de y, # 1,4, deve-se empregar a largura fictícia

I N = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP = 10 kgflcmP I k N = 1 0 0 k g f = O , I l f I kNlm = 1W kgflm = 0, l Ulm I kN.m = IW kgfm = 0.1 t tm I kNlm2= 1WW/m2 =O,I U/ml I kN.cm = IW kgf cm = 0.1 U.cm I kNlma = 1W kgflm3 = 0.1 Ulm3

Page 72: Fusco - Estruturas de Concreto

62 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

2.4.4 EXEMPLOS Resolver os problemas apresentados em 5 2.4.2, empregando as tabelas tipo k, sendo

Y C = 1 9 y, = 1,15

f, = 25 MPa

a. Exemplo 1. Aço CA-SOA (Tabela 6)

Sendo d = h - d' = 70 - 5 = 65 cm

têm-se

d - d ' 65 - 5 % = e + - = 8 0 + = 2 2 l l o c m

resultando

Sendo k, i k,, ,,, = 1 3 , é adotado k, = k,, ,,,, obtendo-se

Msd, iim = bd2 = 25 = 58 680 kN.cm kc, ,i, 1 3

logo

Nessas condições, têm-se

onde o sinal (-) diante de Nd decorre do fato de N, ser de compressão, logo

58 680 18 320 A, = 0,031 - + 0,023 (- - 700) = 28,O - 9.1 = 18,9 cm2(4025) 65 65 - 5

1 N =O,lkgf I MPa = I MN/mZ = I0 kgflcm' I k N = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = I W W l m = 0,l tflm i kN.m = 1W kgf.m = 0,l t fm 1 kNlm2= 1Wkgf/mZ= 0,l tflm' I kN.cm = 100 k&cm = 0.1 tfsm 1 kN/ms= 100 kgfim' = 0.1 ü/m3

Page 73: Fusco - Estruturas de Concreto

2.4.5 DIAGRAMA RETANGULAR DE

TENSOES

SEÇÓES RETANGULARES

e com

dr/d = 5/65 = 0,08 - 0,l

b. Exemplo 2. Aço CA-50B (Tabela 7)

Neste caso, sendo k,, ,i, = 2,2, têm-se

AMsd = Msd - MJd, = 77 000 - 48 000 = 29 000 kN.cm

donde

I .?,.I.,. .

Fig. 2.4.5-1 Diagrama retangular de tensões. I I

Conforme já foi visto, as equações adimensionais do equilíbrio para os casos de flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade são

1 N = O , I k d I MPa = I MNlm2 = I0 kdlcm' 1 k N = L W k g í = O , I t f I kN/m = IW kgfim = 0.1 lfim I kN.m = 100 kgfm = 0.1 t f m I kNlm' = 1W kdlm' = 0.1 tf/m2 I kN.cm = IW kgf.cm = 0.1 t fcm I kN/mS = IM kgfim' = 0.1 tf/mJ

I MPa = 0.1 kNlcmX = IW N/cm2

Page 74: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORNIAIS

Quando se emprega o diagrama retangular de tensões, Fig. 2.4.5-1, têm-se

resultando as expressões simplificadas

A experiência mostra que nos domínios 2, 3, 4 e 4a são obtidos resultados praticamente iguais, quer se use o diagrama parábola retângulo, quer se use o dia- grama retangular de tensões. Por isso, as tabelas tipo k do Anexo foram calculadas com o diagrama retangular de tensões.

2.5 FLEXO- COMPRESSAO COM

PEQUENA EXCENTRICIDADE

(DOMINIO 5)

2.5.1 CONDIÇOES DE EQUIL~BRIO

No domínio 5, a seção transversal está inteiramente comprimida, sendo então mais conveniente considerar-se como p610 de redução dos momentos o centro de gravidade da armadura mais comprimida.

i t -

Fig. 2.5.1-1 Pequena excentricidade

Considerando a notação indicada na Fig. 2.5.1-1 e tratando todos os elementos em valor absoluto, obtêm-se

Page 75: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES 65

h g o as equações de equilíbrio podem ser escritas

Nd = R, + R; + Rs e

Nd e; = R, (a - d') + R, (d - d')

2.5.2 CONDIÇOES DE A Fig. 2.5.2-1 indica as condições de deformação no domínio 5, para o qual são COMPATIBILIDADE DE definidos os seguintes coeficientes:

DEFORMAÇOES X

51= - h

(2.5.2-1)

Fig. 2.5.2-1 Deformações no domínio 5

Da condição de manutenção da forma plana da seçáo transversal, têm-se

E c l = EQ - E: - -- x x - h x - d x - d ' (2.5.2-4)

Page 76: Fusco - Estruturas de Concreto

e, da definição de domínio 5: resulta

obtendo-se as seguintes equações adimensionais de compatibilidade:

2.5.3 PROPRIEDADES Como foi mostrado na Fig. 2.5.2-1, no domínio 5, para qualquer posição da linha BÁSICAS DAS SEÇÓES neutra, a deformação do concreto ao longo da espessura 3 h17 a partir da borda mais

RETANGULARES comprimida supera o valor 2%0. Portanto, nessa parte da seção, a tensão é igual a

No restante da seção transversal, as tensões ficam univocamente determinadas desde que se estabeleça o valor de 5,.

Desse modo, definindo-se os coeficientes a, e 5; através das expressões

onde R, é a resultante das tensões de compressão no concreto e a é a distância dessa resultante à borda mais comprimida da seção, Fig. 2.5.3-1, como R, e a são funções unívocas de C,, também são univocamente determinadas as funções

I conforme está mostrado na tabela seguinte (CEB - Boletim 82)

I Fig. 2.5.3.1 Resultante de compressáo - Domínio 5 .

Page 77: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES 67

Domínio 5 - CEB (Boletim 82)

Observe-se que, no domínio 5 , tanto o coeficiente de bloco do diagrama de tensões

quanto o coeficiente 6; que determina a posição da resultante R, são definidos em função da altura h da seção e não mais, como no caso de flexão com grande excentrici- dade, em função da profundidade da linha neutra. Fara assinalar esse fato, todos os coeficientes adimensionais definidos em função da altura total h são assinalados com o índice 1.

2.5.4 EQUAÇÕES Conforme foi visto em 5 2.5.1, tomando-se como pólo de redução dos momentos o ADIMENSIONAIS DE centro degravidade daarmaduramais comprimida, asequações (2.5.1-3) e (2.5.1-4) de

E Q U I L ~ B R I O equilíbrio podem ser escritas

Nd = R, + R; + R,

N, e:. = R, (a - d') + R, (d - d')

onde todos os termos são tomados em valor absoluto. Por outro lado, sendo

Page 78: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

têm-se

Nd = 0,85 ai bh fCd + & r i d + As uSd

Nd e; = 0,85 a , bhz fcd (5; - 8;) + A, uXd (d - dr)

Definindo-se os esforços solicitantes relativos adimensionais

e as taxas mecânicas de armadura

obtêm-se as equações adimensionais de equilíbrio

2.5.5 RESOLUÇAO GERAL Os problemas deflexo-compressão com pequena excentricidade devem ser resolvidos DOS PROBLEMAS DE por meio de duas equações adimensionais de equilíbrio, nas quais comparecem as 11

FLEXO-COMPRESSÃO variáveis: COM PEQUENA

EXCENTRICIDADE V d r tii w ' , W , a,, C:, a J d , usdr 81, 8;

Analogamente ao que acontece com os problemas de flexão composta com grande excentricidade, correspondentes aos domínios 2 , 3 e4, também nos problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade, correspondentes ao domínio 5, o cálculo de verificação tem como solução ideal o emprego dos diagramas de interaçáo.

De maneira análoga, também nos casos de flexo-compressão o cálculo prático de dimensionamento é feito através da fixação da posição da linha neutra.

De fato, estabelecendo-se o arranjo geral da armadura dentro da seção transver- sal da peça, ficam fixados os valores de 8 , e S ' , e, arbitrando-se o valor de (,, ficam determinados os valores de a,, t i , vid e ea, restando portanto no problema apenas

Page 79: Fusco - Estruturas de Concreto

as cinco variáveis independentes:

Desse modo, arbitrando-se o valor de C,, as incógnitas w e w' podem ser calcula- das em função dos esforços vd e &.

Nos casos de flexão composta com grande excentricidade, todos os problemas eram reduzidos ao problema básico da flexão simples de uma seção com armadura simples, isto é, com armadura unilateral. De forma análoga, nos casos de flexo- compressão com pequena excentficidade, todos os problemas serão reduzidos a um dos problemas básicos seguintes: armadura unilateral (A, = 0) ou compressão uni- forme ((, = m).

2.6 F L E X O - C O M P R E S S Ã O C O M

P E Q U E N A

2.6.1 MOMENTO LIMITE Para os problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade, as duas equa- DE SEPARAÇAO ENTRE OS çóes gerais de equilíbrio são as seguintes:

DOIS CASOS BÁSICOS U.d vd = 0,85 a, + o' * + w - (2.6.1-1)

fid f V d

Conforme se observa pela segunda dessas equações, a presença da armadura menos comprimida, de taxa mecânica w , contribui de fato para o equilíbrio do mo- mento &.

Desse modo, a condição o = 0, correspondente a armadura unilateral, somente poderá ser aceita enquanto pid não ultrapassar o máximo valor possível de ser atingido pela parcela 035 a,((; - 8;).

De acordo com a Fig. 2.6.1:1, o máximo valor de 0,85 a, (5; - 8;) ocorre na compressão uniforme, pois, nesse caso particular, a, e 5; tomam simultaneamente seus valores máximos:

- a:,, = 1 0 a,, m o i .

- 035 fcd

- a . - 1 5;. mas. - -- - - h 2 +-r i=k

A s

Eig. 2.6.1-1 Compressão unlfome

Page 80: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Observe-se que o valor de p d cresce a medida que aforça Fd se aproxima do eixo da peça, pois MQd cresce com a excentricidade e;. Quando o valor de& supera o valor pid, limr a diferença pkd - pLd, somente poderá ser equilibrada se existir a força R,, uma vez que R, já deu a máxima contribuição possível. No caso da compressão uniforme existem duas armaduras, de taxas o e o', diferentes entre si, com as quais podem ser equilibrados os momentos fletores Md atuantes na seção transversal.

Verifica-se portanto que a armadura unilateral, para a qual o = 0, somente pode ser empregada para valores de pkd inferiores a

Esse valor limite também pode ser escrito

ou seja, sendo

logo

h - 2 d 1 = d - d '

donde

tem-se

Dessa maneira, todos os problemas de flexo-compressão com pequena excentri- cidade podem ser reduzidos a um dos seguintes casos básicos:

a. Armadura unilateral - quando pkò pQd, lini

b. Compressão uniforme - quando pCgd > p'gd,~,m.

2.6.2 ARMADURA UNILATERAL ( /L;, G /I:,, I,,)

Fig. 2.6.2-1 Armadura unilateral

Page 81: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES 71

Neste caso básico, A, = 0, logo as equações de equilíbrio podem ser escritas, Fig. 2.6.2-1,

Nd = R c + R:

Nd e,; = MBd = R, (a - d')

e sendo

R: = As crid = Al, fid fld

logo

Nd =0,85 a , + ASfha u J d

fCd bh f i d bb fbd

têm-se

As expressões (2.6.2-1) e (2.6.2-2), que foram deduzidas diretamente, também poderiam ser obtidas a partir das equações gerais (2.5.4-5) e (2.5.4-6), fazendo-se simplesmente w = 0.

( DOMI'NIO 5 I

C' = 0,002 sd

$ 1 - 7 \ I

Fig. 2.6.2-2 Deforma~Ão da armadura mais comprimida

Page 82: Fusco - Estruturas de Concreto

72 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Parao cálculo deo ' , pelaexpressão (2.6.2-I), é preciso que se conheça0 valor de a&. Para isso, emprega-se a equação de equilíbrio de momentos, de onde resultou a expressão (2.6.2-2). pela qual fica da linha neutra, pois a, e 5; dependem apenas de e,. Uma linha neutra, fica determi-

A partir dessa defor-

tabelados os

Desse modo, dados os valores de v, e p;,, em função de p;, é determinado o valor de C,, logo podem ser calculados os valores de a, e cri* Com isso, sendo

têm-se

2.6.3 ARMADURA UNILATERAL. EXEMPLOS

Fig. 2.6.3-1 Exemplo.

I Exemplo I 1

Dirnensionar a peça apresentada na Fig. 2.6.3-1, sendo dados:

Fk = 2 000 kN yf = 1,4

I N = 0.1 l<gf I MPa = 1 MNim' = I0 kgf/cm2 I k N = IW kgf = 0.1 t f I kNim = I W kgflm = O, I tfim I kN.m = IW kgfm = 0.1 t t m I kN/m2= I W kgf/m2 = 0.1 tflm' I kN.cm = I W kgfcm = 0.1 tf.cm I kNim3= I W kgfims = 0.1 tflm3

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmZ

Page 83: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES 13

Aço CA-SOA y, = 1,15 fvd = --- - - 435 MPa = 43,s kN/cm2 1,15

fcK = 25 MPa y, = 1,4 fed = -- 25 - - 17,8 MPa = 1,78 kN/cmZ 1,4

Sendo

N, = yf Nk = 1,4 X 2 000 = 2 800 kN

têm-se

Por outro lado, sendo

ou seja

comprova-se então a possibilidade de armar a seção com armadura unilateral, pois

Nessas condições, sendo

de acordo com a Tabela 9 do Anexo, tem-se a seção no domínio 5, com

5, - 1,12 e 035 a, - 0,74

I N = O , I k g f I MPa = I MNlm' = I O k ~ / c m 2 I k N = 100 kgi = 0.1 tf I kNlm = IW kgilm = 0.1 S im I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/mP = 100 $gf/m' = 0.1 tf/m' I k N c m = 100 kgfcm = 0.1 d . c m I k N l m L I00 kgflm* = 0.1 tf/rng

I MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmS

Page 84: Fusco - Estruturas de Concreto

logo

e sendo

E;< = 3,04%0 1 E : ~ (Aço CA-50A) = 2,07%c

resulta

u;, = fia = 435 MPa

donde

o = 0

Desse modo, sendo I

,, = A: f;, bh fCd

têm-se

Exemplo 2 I Dimensionar a seção do exemplo anterior, adotando-se o aço CA-SOB. Como a qualidade do açs empregado somente afeta a tensão r;,,, tem-se, neste

caso, ~ De acordo com a NB-I, sendo 1

Page 85: Fusco - Estruturas de Concreto

SECOES RETANGULARES 75

obtém-se (com E, = 210 000 MPa)

6

logo

= 402 MPa

Esse valor também pode ser determinado pela Tabela 10 do Anexo, resultando

ou seja

Com o Aço CA-SOB, resultam

A, = O

2.6.4 COMPRESSÃO Quando a força de compressão está aplicada em posição próxima do centro de UNIFORME gravidade da seção transversal da peça, torna-se conveniente o dimensionamento com

a hipótese de compressão uniforme. De acordo com o que já foi visto, a condição de compressão uniforme pode ser

imposta desde, que seja

Nesse caso, admite-se toda a seção com a mesma deformação de 2%0, ou seja,

&cld = EC2d = = Bsd = 2%0

donde

v I N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlmt = I 0 kgficm' I k N = 100 kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgflm = 0.1 tfim I kN.m = I00 kgf.m = 0.1 t t m 1 kNimS= 100kgf/m2=0,1 tf/rn2 1 kN.cm= IWkgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNirnS= 100kgf/m'=OO,I fim3

1 MPa = 0.1 kNicmZ = 100 N/cm2 i

Page 86: Fusco - Estruturas de Concreto

Considerando-se as condições gerais de equilíbrio na flexo-compressão com pequena excentricidade, expressas pelas equações (2.5.4-5) e (2.5.4-6),

têm-se no caso da compressão uniforme, admitindo f,, = fh,,

Por outro lado, conforme jáfoi visto na dedução do momento limite, dado pela expressão (2.6.1-I), tem-se

e sendo

obtêm-se as equações

e em virtude das relações

resultam finalmente

onde uSd corresponde a deformação E, = 2%,. Para os aços Classe A , as expressões dadas podem ser simplificadas, pois para

esses aços pode-se admitir E , E,, logo

Page 87: Fusco - Estruturas de Concreto

porquanto até para o Aço CA-SOA, para o qual = 2,07%0, pode ser aceita a condição

Desse modo, resultam:

AÇO CLASSE A

AÇO CLASSE B

2.6.5 COMPRESSAO Dimensionar a seçáo apresentada na Fig. 2.6.5-1, sendo dados: UNIFORME. EXEMPLOS

F 1 , = 3 0 0 0 k N yf= 1,4

e = 10cm b = 25 cm h = 7 0 c m d ' = 5 c m

f,, = 25 MPa y, = 1,4

Fig. 2.6.5-1 Compressão uniforme - Exemplo.

Exemplo I . Aço CA-SOA (fVd = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ)

I N = 0 , 1 k g f I MPa = t MN/m2 = Iokgflcm' I kN = 100 kgf = 0,l tf I kNim = 1W kgflm = 0.1 Iilm I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 t t m I kN/m2= IWkgfIrn'=O,i d/ms I kN.cm- 100 kg t cm - 0.1 t f c m I kN/ma = I W k@1m3 = 0,1 Sim3

Page 88: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

fcd=fCL=-- 25 - 17,8 MPa = 1,78 kN/cmZ r, 1,4

Sendo ,L;, > pbd, I,mr é impossível armar-se unilateralmente a seção, sendo conve- niente adotar a hipótese de compressão uniforme. Nesse caso, tratando-se de aço Classe A , têm-se

Exemplo 2. Aço CA-SOB (f,, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ)

(cUd = 4,07%a)

Neste caso, tem-se

u s d = r*, 2s1= 356 MPa = 35,6 kN/cm2

logo

o = (v, - 43 5 - 0,425) f"d = 0,024 = 0,029

d - d' Usd 35,6

*(Vide comentátio no final do 5 2.6.4, referente ao valor de f,,)

1 N =O,IkBf I MPa = I MNlm2= 10kBf!cmz I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN!rn = I W kgf!rn = 0.1 tflm 1 kN.m = IW k&.m = 0.1 1f.m I kN!mP = IWkgfim*=O,I tf!m2 I kN.cm = IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNlm" I W k8flms = 0.1 d!ma

I MPa = 0.1 kNicm2 = 100 NlcmP

Page 89: Fusco - Estruturas de Concreto

2.6.6 DIAGRAMA RETANGULAR D E

TENSOES

Fig. 2.6.6-1 Diagrama retangular de tensóes.

As equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena excentricidade são, Fig. 2.6.6-1,

MJd = Fd e, = R, (a - d') + R, (d - d')

onde

Nd = Fd

Sob a forma adimensional, essas equações são escritas:

M:d P J ~ = -- = 0.85 a, (5; - 8;) + w 2 (8, - O;) bh2 fcd fud

onde, conforme foi visto.

Page 90: Fusco - Estruturas de Concreto

logo

R, = 0,85 a, bh fcd (2.6.6-1)

Quando é adotado o diagrama retangular de tensões para a condição

x S 1,25 h (2.6.6-2)

tem-se

0,8 x s h

havendo compressão apenas em uma parte da seção transversal Nesse caso, sendo

R, = 0,85 fCd .b.0,8 x

onde

x = 5, h

tem-se

R, = 035 X 0,8 5, bh fcd

com

a = 5; h = 0,4 x

logo

Comparando as expressões (2.6.6-1) e (2.6.6-3), conclui-se que neste caso

Desse modo, as equações de equilíbrio podem ser postas sob a forma seguinte:

Os resultados numéricos mostram que não há diferenças significativas quando são empregados os diagramas parábola-retângulo ou retangular de tensões, desde que a linha neutra não se afaste muito da borda menos comprimida da seção transversal.

Todavia, quando x > 1,25 h, as diferenças podem ser significativas. De fato, empregando-se o diagrama retangular de tensões, quando x > 1,25,

haverá compressão uniforme da seção transversal, com

Page 91: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES RETANGULARES 81

valores sensivelmente diferentes dos obtidos com o diagrama parábola-retângulo, conforme se pode ve r por comparação com os dados d a Tabela incluída e m 5 2.5.3.

2.7 EXERCICIOS 2.1 Por que os casos deflexo-tração com pequenaexcentricidadecorrespondem ao domipio 1 de deformações?

2.2 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular submetida 2 flexo-tração com pequena excentricidade.

2.3 O que caracteriza uma flexão composta com grande excentricidade? Quais os casos de solicitação correspondentes?

2.4 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular para todos os casos deflexão com grande excentricidade.

2.5 Sendo R, = 0.85 a bx f,, e 5' = alx, determinar as expressões de a e de 5' em função de ( para os domínios 2, 3 , 4 e 4a, quando é adotado o diagrama retangiilar de tensões.

2.6 Para uma seção retangular com armadura simples, escrever a expressão de p,, em função de 5. quando é adotado o diagrama retangular de tensões.

2.7 Escrever as condiçóes de compatibilidade de deformações de uma seção transversal retangular. Quais as variáveis conhecidas e quais as variáveis incógnitas, respectiva- mente, nos domínios 2, 3, 4 e 4a?

2.8 Escrever as equações adimensionaisde equilíbrio de seções transversais retangulares para os casos de flexão composta com grande excentricidade.

2.9 Considerando a questão anterior, explicitar o número de variáveis do problema. Em principio, como são resolvidos os problemas de dimensionamento e os de verificação?

2.10 Quando deve ser empregada armadura dupla numa seção retangular submetida à flexão simples? Como é ela calculada?

2.11 Justificar a validade da decomposição do momentofletor em duas partes paraocálculo das seções duplamente armadas.

simples. 2.13 Como são calculadas as seçóes transversais duplamente armadas submetidas à flexão

composta com grande excentricidade? Justificar o processo adotado. 2.14 Definir os coeficientes empregados nas tabelas tipo k. 2.15 Qual a relação entre k, e p,,? 2.16 Qual o significado de k, e de k:? Definir os coeficientesa e p apresentados nas Tabelas 5 a

8. 2.17 Como devem ser empregadas as tabelas tipo k para coeficientes y, e y,diferentes de 1,4? 2.18 No domínio 4, o que se entende por zona utilizável dos aços ClasseB? Nas Tabelas 7 e 8,

quais os valores de k, correspondentes a essas zonas? 2.19 Como se emprega o coeficiente 100 p , apresentado nas Tabelas 5 a 8? 2.20 Do ponto de vista prático, como sejustificao cálculo de verificação de seçóes duplamente

armadas por meio de tentativas? Como são feitas essas tentativas? 2.21 Escrever as equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena

excentricidade de seçóes retangulares. 2.22 Estabelecer as condições de compatibilidade de deformações no domínio 5. 2.23 Que condição deve ser satisfeita para que uma seção retangular submetida à flexo-

compressão com pequena excentricidade possa ter armadura unilateral? Justificar. 2.24 Nas mesmas condiçóes anteriores, quando é recomendável considerar a seçáo uniforme-

mente comprimida? Justificar. 2.25 Determinar o valor p:,, ,,, que separa os casos básicos daflexo-compressáo com pequena

excentricidade de seções retangulares.

Page 92: Fusco - Estruturas de Concreto

3.1 FLEXAO SIMPLES Nas estruturas de concreto, as vigas de seção T são de uso corrente, pois, de E FLEXÁO COMPOSTA modo geral, as nervuras dasvigas estãoligadasaslajes, asquaisfornecem a necessária

mesa de compressão, Fig. 3.1.1-1. De acordo com os princípios de notação, as 3 . 1 . 1 AS "IGAS DE SECÃo dimensõesda mesasáo indicada~porb~e hf(flange), e alarguradaalmaporb,(web).

T DAS ESTRUTURAS DE A Fig. 3.1.1-2 mostra seções transversais com diferentes arranjos, cujo cálculo CONCRETO recai na consideração de uma seçáo T.

Fig. 3.1.1-1 Notação usual.

É preciso salientar-se que uma viga de concreto composta por uma nervura e por abas salientes apenas será considerada como de seçáo T quando a mesa estiver compri- mida. Caso contrário, quando as abas estiverem tracionadas, a viga será considerada como de seção retangular.

A Fig. 3.1.1-3 mostra o caso usual das vigas contínuas de edifícios.

Page 93: Fusco - Estruturas de Concreto

L A J E S N E R V U R A D A S

VIGAS DE SEÇÃO CELULAR

Fig. 3.1.1-2 Diferentes seções transversais.

t e 60 reta ulor seçóo retangulo 4

loja comprimido l a j e tracionodo

sação T seçáo retanqulor

Fig. 3.1.1-3 Vigas continuas de edifícios

Page 94: Fusco - Estruturas de Concreto

Nos trechos de momentos negativos junto aos apoios tem-se uma viga de seçáo retangular, pois as abas estão tracionadas. Observe-se que no balanço da direita, junto ao apoio C , a viga também deve ser considerada de seção retangular, em virtude da descontinuidade aí existente na posição da laje.

Fig. 3.1.1-4 Largura colaborante.

Fig. 3.1.1-5 Efeitos das cargas con- centradas. --------

Fig. 3.1.1-6 .Carga na extremidade. -

Page 95: Fusco - Estruturas de Concreto

Nas vigas em que a mesa de compressão temlargura real sensivelmente maior que a largura b, da alma, as tensões de compressão não têm distribuição uniforme, Fig. 3.1.1-4. Por esse motivo, em lugar da largura real, admite-se que a mesa tenha uma certa largura b,, usualmente menor que a largura verdadeira. Pretende-se que dessa forma fiquem corrigidos os efeitos da variação das tensões na mesa de compressão.

A determinação dalargura bf apresenta dificuldades de ordem prática. Assim, em princípio, o valor bf será diferente conforme se considere a estrutura em regime elástico ou em um estado último. De maneira análoga, bf terá valores diferentes conforme se considere o problema de resistência ou o problema de rigidez da peça. Além disso, a largura bf varia com as condições de apoio da viga e com o tipo de carregamento.

Na Fig. 3.1.1-5 está ilustrado ofatode que, em regime elástico, a largura bftende a diminuir na região de aplicação de cargas concentradas. A Fig. 3.1.1-6 mostra o crescimento de bf a partir das extremidades onde se aplicam cargas concentradas.

Em virtude das múltiplas dificuldades existentes na determinação de b , adotam- se soluções simplistas a favor da segurança, como a que se indica no item seguinte.

3.1.2 A LARGURA DA Para as ações diretas, a largura bf é determinada de acordo com a NB-I da MESA DE COMPRESSÃO seguinte maneira, Fig. 3.1.2-1:

DE ACORDO COM A NB-1

VIGA DE EXTREMIDADE VIGA INTERNA VIGA ISOLADA

Fig. 3.1.2-1 Largura colabarante conforme a NB-I.

sendo

b, = largura real da nervura b. = largura da nervura fictícia

(b, = b, + soma dos menores catetos dos triângulos das mísulas correspondentes)

b, = distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas

tanto para o cálculo de resistência quanto para o cálculo de deformações, adotam-se os valores

0,10 a 0,10 a b,. ( 8 hf

0,s b2 6 h,

Page 96: Fusco - Estruturas de Concreto

onde:

viga simplesmente apoiada a = (

tramo com momento em uma só extremidade 3 a = - e 4

I tramo com momentos na. duas extremidades 3 a = - e

5

I viga em balanço a = 2 !

3.1.3 O PROCESSO DE O dimensionamento das seções T é feito de acordo com os mesmos critérios DIMENSIONAMENTO DAS gerais adotados paraas seções retangulares, considerando-se aqui apenas os casos de SEÇÕES T flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade.

FLEXO - FLEXÁO COMPRESSÃO SIMPLES

FLEXO -

Fd

Fig. 3.1.3-1 Casos de dimensionamento

Embora os problemas de flexo-compressão com pequenaexcentricidade também pudessem ser tratados pelos mesmos critérios, isso não será feito, pois nessas peças usualmente existem armaduras distribuídas ao longo de todaa seção, e não apenas um par de armaduras concentradas junto as bordas da mesma.

Dada a seção transversal, Fig. 3.1.3-1, no caso da flexão composta determinam- se os esforços solicitantes

e no caso de flexão simples calcula-se

O processo usual de dirnensionamento considera a transformação da seção T numa seção retangular equivalente, conforme é indicado a seguir.

1. A linha neutra corta a mesa de compressão (x < h,)

i Conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-2, quando a linha neutra corta a mesa de

Page 97: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 3.1.3-2 Linha neutra cortando a mesa.

compressão, não importa a formado restante da seção transversal, podendo a seção T ser tratada como uma seção retangular de dimensões bf.d.

2 . A linha neutra corta a alma da seção ( x > h,)

Considerando-se o diagrama parábola-retãngulo de tensóes, a determinação da resultante das tensões de compressão na mesa da seção apresenta dificuldades numé- ricas. Nesse caso, o dimensionamento da seção exige a construção de tabelas ou de ábacos especiais, como o que é apresentado pelo CEB (Boletim 82, Tabela 26 - página 90).

O problema pode, porém, ser resolvido de maneira bastante fácil, quando se admite o diagrama retangular de tensões. Neste caso, consideram-se as seguintes situações básicas:

a. A zona comprimida estd contida na mesa (x < 1,25 h,)

Admitindo-se o diagrama retangular de tensóes, Fig. 3.1.3-3, enquanto x < 1,25 h,, aprofundidade da zonacomprimida efetiva, de 0,8 x, aindaestará restrita a mesa da seção. Desse modo, a seção T ainda poderá ser tratada como uma seção retangular de dimensões bf.d.

Fig. 3.1.3-3 Linha neutra cortando a nervura próximo à mesa.

Page 98: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

b. A zona comprimida atinge a alma da seção (x 3 1,25 h,)

Admite-se a decomposição da seção, conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-4parao caso de armadura simples e pela Fig. 3.1.3-5 para o de armadura dupla.

A seção formada pelas abas salientes, de largura b, - b,, e pela armadura &,tem braço de alavanca interno igual a d - hJ2. Essa seção resiste à parcela de momento indicada por M,,, ,.

A seção formada pelo concreto comprimido da nervura e pela armadura A,, absorve a parcela de momento M,, ,. Se esta seção puder resistir ao momento Msd, >L.

com C S &,, a peça poderá ter armadura simples. Quando a armadura simples levar a um valor E > desdobra-se o momento

M,,, ,em duas outras parcelas, como no caso da seção retangular. A parcela M,,, .é o valor resistido pela seção retangular com armadura simples A,,, e a diferença AM,,, é resistida por uma seção metálica composta pelas armaduras de áreas A,, e A',. Usualmente, M,,,, . será feito igual a M,,,, ,i, correspondente a c = cii,. No caso dos aços Classe B , admite-se que a zona utilizável de deformações seja aceitável para a decomposição do momento Msdw.

É oportuno observar-se que, em geral, não é recomendável o emprego de seções T com armadura dupla. A necessidade de ser empregada uma armadura de compres- são frequentemente indica uma deficiência de altura da viga, a qual pode acarretar problemas de flechas excessivas.

ARMADURA SIMPLES

Fig. 3.1.3-4 Linha neutra cortando a nervura

ARMADURA DUPLA

Fig. 3.1.3-5 Linha neutra cortando a nervura

Page 99: Fusco - Estruturas de Concreto

3.2 CÁLCULO Verifica-se inicialmente se a seção pode ser tratada como retangular de dimen- IIÁTICO DAS SEÇOES sões bl.d. Calcula-se

rp I ADIMENSIONAIS. I

EMPREGO DE TABELAS com o qual é determinado o valor de 5 por meio das tabelas universais. UNIVERSAIS Usando-se tabelas constmídas com o diagrama parábola-retângulo, quando se

tiver

o problema será resolvido como o de uma seção retangular. Quando resultar

a manutenção da hipótese do diagrama parábola-retângulo exigirá tabelas especiais. Nesse caso, é preferível admitir-se o diagrama retangular de tensões.

Desse modo, para 5 3 1,25 Sf, fa2ase

onde o momento MPd, I resistido pelas abas é dado por

h Msd, = (ht - b,) h,.0,85 fCd (d - 2)

2 (3.2.1-3)

Observe-se que o momento Msd, também poderia ser calculado pela expressão seguinte

Para o emprego dessa expressão seria necessário dispor-se de uma tabela universal constmída com o diagrama retangular de tensões.

Esse caminho não será aqui\ seguido, preferindo-se o emprego da expressão (3.2.1-3); a fim de evitar a duplicidade de tabelas universais. Um caminho dessa naturezaé seguido no cálculo com variáveis dimensionais, pois as tabelas tipo k foram construídas com o diagrama retangular de tensões.

O momento resistido pela nervura M,, é então calculado por

Considerando agora a seção retangular de dimensões b;d, calcula-se o valor de

e a partir dele, por meio das tabelas universais, são determinados os valores de 5, a, e de v',caso seja empregada a armadura dupla.

Note-se que, por coerência teórica, aqui também deveria ser empregada uma tabela constmída com o diagrama retangular de tensões. No entanto, como as diferen- ças de resultados são desprezíveis, emprega-se a Tabela 1 constmida com o diagrama I parábola-retângulo.

Page 100: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Desse modo, são determinadas as armaduras nos seguintes casos:

a. Armadura simples (A, = A# + A,,)

com sinal (+) para tração e (-) para compressão.

b. Armadura dupla (A, = A, + A,, + A,; A',)

1 [ Ma,. f + & A,=- - + -- AMSdiu t N, r s d d - hf - z d - d ' I -

com sinal (+) para tração e (-) para compressão

1 . AMsau A:=- - r, d - d '

sendo

onde usualmente é feito

3.2.2 EXEMPLOS a. Exemplo I. Dimensionar a armadura de uma viga simplesmente apoiada de edifí- cio, indicada na Fig. 3.2.2-1. São dados:

fck = 15 MPa Y C = 1,4 h 4 i T

Aço CA-50B

b, = 12 cm

h f = 7 c m

h = 45 cm

M, = 60 kN.m Y f = 1,4 Fig. 3.2.2-1 Exemplo

De acordo com as expressóes (3.1.3-11, a largura disponível de mesa vale

bf = b, + 2 b,

I N =O. lkg f I MPa = I MNlmZ = 10 kgficm* I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm I k N m = 100 kgfm = 0.1 t t m I kN/mP = 100 kgi/m8 = 0.1 tfimS I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 t t c m 1 kN/m3 = 100 kgf/m3 = 0.1 tfim3

Page 101: Fusco - Estruturas de Concreto

onde

0,10 a = 0,10 x 500 = 50 cm b , h [ 8 h l = S x 7 = 5 6 c m

0,5 h, = (admite-se que não seja condicionante)

logo

15 fCd = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 1,4

500 - 435 MPa = 43,5 kN/cm2 fUd = - - 1,15

Verificação inicial: seção retangular b,.d

Da Tabela 1, para wSd = 0,044, têm-se

5 - 0.11 x = 0,11 x 40 = 4,4 cm < h, = 7 cm

Esd = 10%0, logo (Tsd = f#d

resultando, para o Aço CA-50B,

h. Exemplo 2. Dimensionar a armadura de uma viga continua de ponte, indicada na Fig. 3.2.2-2. São dados:

f,, = 18 MPa Y C = 1,4

Aço CA-50A y, = 1,15

e = 20 m (tramo de extremidade)

1 N = O , l k g f I MPa = I MNlm' = 10 kgf/cm2 I kN = IW kgf = 0.1 d I kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 !í.m I kNlmX = 100 kgf/mP = 0.1 If/mP I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlmJ = I00 kgf/mJ = 0.1 tfim'

I MPa = 0.1 kNlcmZ = 100 Nlcm'

Page 102: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 3.2.2-2 Exemplo

De acordo com a NB-1 (vide Fig. 3.1.2-1)

bf = b, + h, + b, = h, + 2 x 20 + b, + h, (viga de borda)

I 3 3 0 , 1 0 a = 0 , 1 0 x - Ç = l 5 O c m ( a = - e ) 4 4

h, C 8 h, = 8 x 12 = 96 cm 0,5 h, = (admite-se que náo seja condicionante)

Verificação inicial: seção retangular h,. d

18 fcd = - = 12,8 MPa = 1,28 kN/cmZ

1,4

De acordo com a Tabela 1 , constmída com o diagrama parábola-retângulo, para pSd = 0,093, têm-se

5 =0,17 logo x = 0,17 x 155 = 26,4 cm > h,

O problema deve então ser tratado como seção T e não como seção retangular, pois a zona comprimida atinge a alma da seção.

Fazendo-se

onde

M ~ , , = (b, - b,) hf . 0 3 5 fcd . id - -I* 2

'Vide comentário em $3.21 I N = O , l k g f I MPa = 1 MNlmZ = 10 kgf/cmP I k N = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm =O,] tfim I kN.m = I00 kgfm = 0.1 t f m I kN/m8 = I00 kgf/mZ = 0.1 tf/mz I k ~ c m = 100 kgfcm = 0.1 t fcm I kN/mS= IW kgfimJ = 0.1 tf/ma

I MPa = 0.1 kN/cmZ = IW N/cmX

Page 103: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES T

tem-se

M , , = (238 - 30) 12 x 0,85 x 1,28 (155 - 6) = 404 600 kN.cm

logo

M , , = M d - Md, , = 680 000 - 404 600 = 275 400 kN.cm

Considerando agora a seçáo retangular b;d, têm-se

z - 0,76d- 118cm

sendo possível empregar armadura simples, resultando:

ou seja

c. Exemplo 3. Armar a mesma vigado Exemplo 2, empregando-se o Aço CA-50B.

Neste caso, os resultados seguintes são os mesmos para qualquer dos dois aços considerados:

No entanto, para o Aço CA-SOB, de acordo com a Tabela 1,

Fazendo-se

com

M d , , c = Mdw, t ~ r n

resultam

Mdw, lim = pd, ,<, b, d2 fcd = 0,257 x 30 x 155% x 1,28 P 237 000 kN.cm

I N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlm* = 10 kgflcmz I kN = 100 kgf = 0.1 lf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 k ~ . m = 100 kgf.m = 0.1 I k ~ i m * = IW kgf(mz = 0.1 tfimP I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 t fcm I kN/mJ = 100 kgflm" 0.1 !fim3

1 MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmZ

Page 104: Fusco - Estruturas de Concreto

e

= Mdw - Mdw, lim = 275 400 - 237 000 = 38 400 kN.cm

Por outro lado, sendo

com

logo, de acordo com a Tabela 2,

dSd= 405,2 MPa = 40,52 kN/cm2

obtêm-se:

logo

A, = 62,4 + 43,6 + 6,O = 112 cm" (23 0 25)

e

I N = O , I k g f I MPa = 1 MNlm' = 10 kgflcms I kN = IW k g f = 0.1 tf 1 kNlm = IW kpfim = 0,I tflm I k N m = 100 kgfm = 0,I tf.m I kNlm' = 100 kgflm2 = 0,I tflm' I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlms= 100 kgf/m3 = 0.1 tf/m3

Page 105: Fusco - Estruturas de Concreto

3.2.3 VARIÁVEIS De acordo com o que jáfoivistoanteriormente, em primeiro lugar deve ser feita a DIMENSIONAIS. tentativa de consideração de uma seçáo retangular de dimensóes bfd.

EMPREGO DE TABELAS Dados os esforços

TIPO k Nd = FK.Y~ (3.2.3-1)

calcula-se o valor de

e a partir dele, pelas Tabelas 3 a 8, fica conhecido o valor de

sendo válida a hipótese desde que

resultando

com o sinal (+) para tração e (-) para a compressão. Quando resultar c > 1,25 h , deve ser feita a decomposição

onde

(b, - b,)d2 Msd, I. =

kc , = 1,25 w

devendo o momento

Msd. w = Msd - Msa. I

ser resistido pela seçáo retangular de dimensóes b, x d Calculando-se o valor

quando

ke , to kc, ~ i m (3.2.3-9)

pode ser empregada a armadura simples, e, no caso contrário, quando

kc, w > kc, iim (3.2.3-10)

Page 106: Fusco - Estruturas de Concreto

95 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

é preciso fazer-se a decomposição

MadW = Msdw, c + AMsd

sendo aparcela M,,, ,resistida pela nervuracom aarmadura simples A,, e adiferença AM,,, resistida pela seçáo metálica composta pelas armaduras A, e A',.

Observando-se que a real posição da linha neutra é condicionada pelo momento M,,,, do qual decorrem os coeficientes k,,, k,, k,, e k',,resultam as armaduras seguintes:

a. Armadura simples (A, = A* + A,,)

com k, e k, determinados em função de k,, ,, sendo o sinal (+) para N, de tração e (-) para Nd de compressão.

I b. Armadura dupla (A, = A, + A,, + A,,; A(,)

com k,, k', e k,, determinados em função de k,, ,, sendo o sinal (+) para N, de tração e (-) para N, de compressão.

3.2.4 EXEMPLOS a. Exemplo 4. Resolver o Exemplo 1 (53.2.2), empregando as tabelas tipo k.

Dados:

f,, = 15 MPa Y C = 1,4

Aço CA-SOB

Calculando-se

I N = O , l k g f 1 MPa = I MNlm* = 10 kgficm' I k N = IW kgf = 0.1 if I kNim = 100 kgfim = 0.1 [fim I k N . m = IW kgf.m = O,? t f m I kN/m2 = 100 kgfimZ = 0.1 ff/m2 I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ff.cm I kNlmJ = I00 kgfim3 = 0,1 fVm3

Page 107: Fusco - Estruturas de Concreto

SEÇOES T

da Tabela 7 resultam, a favor da segurança,

6 - 0,07, logo x = 0,07 x 40 = 2,8 cm < h,

e

8 400 k, = 0,024, logo A, = 0,024 - = 5,M cm2 40

(4 0 1 2 3

b. Exemplo 5. Resolver o Exemplo 2 ( 5 3.2.2), empregando as tabelas tipo k.

Dados:

M, = 6 800 kN.m = 680 000 kN.cm ? r = 1,4

f,, = 18 MPa YC = 1,4

Aço CA-SOA (Tabela 6)

b, = 30 cm

d = 155 cm

h, = 12 cm

b, = 238 cm

Verificação inicial

Calculando-se

da Tabela 6 resulta 6 - 0,15, logo

não sendo possível tratar a seçáo como retangular. Determinando-se o momento

sendo

logo

5 = 1,25 6, = 1,25 x 0,077 = 0,097

I N = O , l k g f I MPa = I MNlm2 = 10 kgficm2 I k N = 1W kgf = 0.1 tf I kNim = IW kgflm = O. I !fim i k N . m = 100 kgtm = 0.1 r fm I kNim' = 1W kgflm' = 0.1 rfima I k N c m = IW kgfcm = 0.1 t f c m I k N 1 d = 100 kgfim" 0.1 tf/m3

Page 108: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

resulta da Tabela 6

k,, ,- 11,9

donde

Md, = Md - Md, = 680 000 - 419 930 = 260 070 kN.cm

Nessas condições, sendo

têm-se

5 = 0,52 logo x = 0,52 x 155 = 80,6 cm

resultando de

Mdf MdW A, = k,, - + k, - h d - 2 d 2

o valor

C. Exemplo 6. Resolver o problema anterior usando Aço CA-50B (Tabela 7)

Neste caso, valem os seguintes resultados:

M, = 419 930 kN.cm

M,, = 260 070 kN.cm

com

k,, = 2,s i k,, ,,, = 3,0, embora o valor de k, = 2,8

ainda esteja dentro da chamada zona utilizável. Todavia, a fim de comparar os

I N =0 ,1kg f I MPa = I MNlmz = 10 kgf/cmS I'kN = l W k g f = O , I d I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm I kN.m = 1W kgfm = 0.1 d.m I kN1m2 = IW kgflm* = 0.1 dlm2 I kN.cm = 100 kgtcm = 0.1 ü.cm 1 kN/m3 = I00 kgf/m3 = 0.1 tf/m3

I MPa = 0,I kN/cm2 = 100 Nicm'

Page 109: Fusco - Estruturas de Concreto

resultados deste problema com os resultados do problema 3, será adotada armadura dupla.

Fazendo

com k,, li, = 3,0, tem-se

logo

AMdw = Mdw - Mdw, = 260 070 - 240 250 = 19 820 kN.cm

As armaduras são determinadas pelas expressões

onde, para 5 = tiim = 0,4623 e 8' = 71155 = 0,05, têm-se

k, = 0,029

a = 1 ,O0 logo k, = 0,023

0 023 p = 0,93 logo k: = L = 0,025 0,93

resultando

isto é

A, = 64,U + 3,l + 44,9 = 112,U cmZ (23 0 25)

e

, ~ ~ ~ - . ~~~~,

1 k N = I W k g f = O , I t f I kNim = 100 k d m = 0.1 ifim 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t f m I kNimS = 100 kgfim' = 0.1 tfim' I k N c m = IM) kgf.cm = 0.1 t f cm I kN/m3 = IW kgfim3 = 0.1 tf/mJ

Page 110: Fusco - Estruturas de Concreto

3.1 Nas vigas de edifício, quais as que devem ser consideradas de seçáo retangulare quais as de segáo T? Exemplificar, considerando lajes naface superior da viga e lajes rebaixadasde um e dos dois lados da nervura.

3.2 Que variáveis devem ser considei-adas nadeterminaçáo da largura bf da mesa de compres- sâo?

3.3 Quando a seção T pode ser tratada como uma seção retangular? 3.4 Admitindo-se o diagrama retangular de tensões, qual aposição limite dalinha neutra para

que a seçáo T seja tratada como retangular? Justificar. 3.5 Justificar a decomposição do momento M, nas parcelas M,[, e M,: ,.. para as seções T

com armadura simples. 3.6 Por que a parcela Md, , náo depende da real posição da linha neutra? Discutir. 3.7 Por que a posição da linha neutra só depende da parcela M,, ,? 3.8 Qual a relação existente entre os momentos M,, e M,, i> 3.9 Por que o cálculo de M,, ,com o diagrama parábola-retângulo apresenta maiores diticul-

dades do que com o diagrama retangular de tensões? Justificar. 3.10 Comparar os exercícios I e 4. Comentar os resultados. 3.1 1 Comparar os exercícios 2 e 5. Comentar os resultados. 3.12 Comparar os exercícios 3 e 6. Comentar os resultados.

Page 111: Fusco - Estruturas de Concreto

4 F1exã.o Oblíqua

4.1 MÉTODOS GERAIS DE CÁLCULO

4.1.1 CÁLCULO EXATO Considerando o caso geral daflexáo oblíquacomposta, Fig. 4.1.1-1, têm-se os seguin- tes elementos para a solução exata do problema.

Fig. 4.1.1-1 Flexão composta oblíqua. i

Page 112: Fusco - Estruturas de Concreto

102 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

a. Condições de equilíbrio

M ~ , = F, e, = J J ued x . d ~ d ~ + A, c ~ d d X, A.. i = l

M = F e = ucd Y . ~ X ~ Y + i A, uw Y* A,, i = l

h. Condições de compatibilidade

As condições de compatibilidade são decorrentes da manutenção da forma plana da seção transversal.

Dada a posição da linha neutra e imposta a deformação específica de um ponto particular da seção transversal, ficam determinadas as deformações específicas de todos os outros pontos da seção e, conseqüentemente, as respectivas tensões.

Assim, por exemplo, Fig. 4.1.1-1, uma vez fvtada a posição da linha neutra e imposta a deformação eeld = 3,S%o no ponto mais comprimido, ficam determinados o diagrama de tensões no concreto bem como as tensões que agem em cada uma das barras da armadura.

c. Solução do problema

Para umadada seçáo transversal, escolhidas inclinação <r dalinha neutrae fixada a profundidade x da zona comprimida., impondo-se o valor de E,, = 10% no domínio 2, o valor de E,,, = 3,5%0 nos domínios 3, 4 e 4a e o valor de E,,, = 2%0 no domínio 5, podem ser calculadas todas as tensões.

As equações de equilíbrio (4.1.1-1) fornecem então os valores dos esforços solicitantes correspondentes Ndr Msd e M,,.

d. A p s e n t a ç ã o dos resultados

-\ Variando a profundidade x da zona comprimida e, para cada x, variando a inclinação a dalinha neutra, obtêm-se todos os possíveis ternos de valores Nd, Mrde M,, que conduzem uma dada seção ao estado limite último de ruptura ou de alònga- mento plástico excessivo.

Confoiine se mostra em § 4.1.3, esses ternos de valores podem ser representados por meio de superfícies ou de diagramas de interação.

I Cabe, no entanto, salientar que o traçado sistemático dos diagramas de interação somente pode ser feito, do ponto de vista prático, da maneira indicada a seguir.

e. Traçado dos diagramas de interação

Para o traçado sistemático dos diagramas de interação, ao invés do sistema de coordenadas indicado na Fig. 4.1.1-1, adota-se o sistema indicado na Fig. 4.1.1-2.

Com o sistema de coordenadas mostrado nessa figura, as equações de equilíbrio podem ser escritas da seguinte forma, onde as integrais seguem um sentido de circuitação preestabelecido:

Page 113: Fusco - Estruturas de Concreto

O traçado sistemático dos diagramas de interação é feito para valores constantes de N,.

Nessas condições, adotado um valor de N,, ou seja, admitido um valor de

fixa-se uma inclinação a para a linha neutra e calculam-se os valores de Nd para valores crescentes da profundidade x,, da zona comprimida.

Quando se obtém o valor preestabelecido para N,, nessa posição são calculados os momentos M, e MWd e, a partir deles, os momentos Mzd e M,,, obtendo-se então valores de

com os quais fica determinado um ponto do diagrama de interação, Fig. 4.1.1-3. Observe-se que, na Fig. 4.1.1-2, M, é o momento que age no plano que contém o eixo

M, atua no plano que contém Gy. dotam-se a seguir novas inclinações a para a linha neutra e repete-se para cada elas o processo descrito anteriormente, obtendo-se desse modo, por pontos, o

aiagrama de interação (/L=, pyd, vd = const.)

Page 114: Fusco - Estruturas de Concreto

104 ESTRU-rURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇóES NOHXAIS

P y d

( J d = valor prefixado )

J'(yd, cai ----- I r I i%d N x d , ca lculado

Fig. 4.1.1-3 Traçado ,do diagrama de intelacão

4.1.2 SUPERFICIES DE Conforme jáfoi visto, dando-se a forma da seçáo transversal, definindo a armadura e INTERAÇAO E especificando as resistências de cálculo dos materiais, podem ser determinados os

DIAGRAMAS DE ternos de valores N,, M,, e M,,que levam a seção transversal ao estado limite último INTERAÇAO de ruptura ou alongamento plástico excessivo.

A Fig. 4.1.2-1 mostra de forma genérica a superfície de interaçáo dos valores últimos Nu, M,, e M,,.

1 u , compressão

" " , " ( E L E M E N T O F U N D A M E N T A L p/

A S A P L I C A Ç ~ E S )

__C M~ u

Page 115: Fusco - Estruturas de Concreto

o 5'0

OP'O

OE'O

02'0

01'0

00'0

O 01'0 -I

3 C3 Z

02'0 <a + hrl lx

0£'0 1 -x -I O

o*"' 3 CC

'$ Oi'O

u 5 a

OC'O E w a

Oi,O,

. . O ""t a O

01'0 Z O O

00 'o

01'0,

* 02'0 '1

0 - O

O£'O ; 4

OC'O,

OS'O

Page 116: Fusco - Estruturas de Concreto

OS'O

OE'O

I a

OE'O -I m .a

o * , ,u a

O S ' O a

OE'O .. C W

02'0 5 Z

0 1 ' 0 O

m

OE'O a

O

2i o

: 219 I.. a O 2i

I rp

Page 117: Fusco - Estruturas de Concreto

Ob'O

OE'O

- - OE'O a-

Page 118: Fusco - Estruturas de Concreto

108 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

A propriedade mais importante dessas superfícies de interação (Nu, MA, M,,)éa sua convexidade, conforme está mostrado nos cortes correspondentes a N, = 0, M,, = O, M,,, = O e Nu = constante # 0, respectivamente, Fig. 4.1.2-1.

Essa propriedade de convexidade permite, como será visto posteriormente. o I estabelecimento de processos aproximados de cálculo, a favor da segurança. Na I verdade, a convexidade dos diagramas de interação (M,,,, M,,) para N, = constan- te # Oparece não ser rigorosamente perfeita. Todavia, Eomo é aparente nos diagramas aqui apresentados, para todos os efeitos práticos pode ser admitida a convexidade perfeita da superfície de interaçáo.

A apresentação das superfícies de interação é feita por meio de ábacos. por vezes chamados de ábacos em roseta, correspondentes a cortes da superfície de interação, definidos por diferentes valores de v,.

Para as seçóes com dupla simetria. os diagramas de interação são frequentemente apresentados em octantes.', V a r a o emprego rotineiro, esse tipo de representrição não é o mais cômodo.

Nas figuras seguintes," Figs. 4.1.2-2 a4.1.2-4, estão apresentados ábacos calcu- , lados de acordo com as especificações da NB-1/78.

Em qualquer caso, para as aplicaçóes é importante observar quais as coordenadas adotadas para os diagramas de interaçáo, pois alguns são apresentados em função das excentricidades relativas e,lh, e e,/h, e outros em função dos momentos relativos w, = ve,/h, e w~ = vedh".

De forma análoga. deve-se prestar atenção nas definições adotadas para as grandezas adimensionais. pois pode haver pequenas diferenças de uma apresentação para outra.

4.1.3 EXEMPLO Para exemplitlcar a utilizaçao dos diagramas de interação, considere-se a seção transversal mostrada na Fig. 4.1.3-1.

Sao dados os seguintes valores: I

'Marcos Antonio Marino, Sesó- ~ r a n ~ ~ e r ~ a i ~ de c < I ~ c ~ P ~ < > armado sujeitos a solicitacoes normais. Dissertaçáo de Mestrado elaborada sob a otientaqáo do Autor. Escola Politécnica USP, Sáo Paulo, 1978.

I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlrnZ = 10kgficm2 I kN = 100 kgf = 0.1 t i I kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 t f m I kN/m2 = 100 kgf/mz = 0.1 tf/m2 i k N c m = 100 kgf.cm = 0.1 I fcm I kN/mS = 100 kgf/ma = 0.1 tf/rn3

Page 119: Fusco - Estruturas de Concreto

fck = 15 MPa = 1,s kN/cm2 ?c = 1,4 f,., = - - - 1.07 k ~ / c m ~ 1,4

Aço CA-SOB y, = 1,15 fyd = 43.5 kN/cinY

Ábucos du Fiz. 4.1.2-2

Para a utilização destes ábacos, calculam-se os valores:

De acordo com a Fig. 4.1 .?-2, tem-se

e para

Interpelando linearmente, para u = 0.62, obtém-se

resultando

ou seja, pode ser adotada a soluçáo

8 1 = u , l k g f I MPa = I M N l m 2 = 10ksficmZ I k N = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm I kN.m = 100 kgf.m = 0.1 r t m 1 kN/m2 = 100 k8fim2 = 0.1 tflm* ' I kN.cm = 100 k b i c m = 0.1 S.cm I kN/rnS = 100 kgf/ms = 0.1 tf/m3

Page 120: Fusco - Estruturas de Concreto

110 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS I

4.1.4 CÁLCULO POR Quando não existem os diagramas de interação paraa seção transversal consideradae TENTATIVAS nem são aplicáveis outros processos de cálculo, o dimensionamento da seçãopode ser

feito por tentativas, conforme é indicado na Fig. 4.1.4-1.

Dada a seção transversal e a posição da força Fd, escolhe-se o arranjo da armadura de traçáo de forma tão concentrada quanto possível, a fim de facilitar a solução do problema.

P A posição da linha neutra deverá ser determinada por tentativas, sabendo-se que a força Fd aplicada, a resultante R, das tensões na armadura de tração e a resultante R,, das tensões de compressão no concreto deverão estar contidas num mesmo plano.

Page 121: Fusco - Estruturas de Concreto

FLEXAO OBL~QUA 111

Desse modo, conhecendo-se as posições de Fd e de R,,, Fig. 4.1.4-1, e sabendo- se que

sendo

Nd = Fd (4.1.4-2)

determina-se, por tentativas, a posição da linha neutra que satisfaz as condições (4.1.4-1) a (4.1.4-3).

Uma vez determinada a posição da linha neutra, calcula-se a armadura de tração pela condição

com o sinal (+) para N, de traçáo e o sinal (-)para compressão, controlando-se as deformações para verificar se realmente é satisfeita a condição

4.1.5 EXCENTRICIDADES De modo tradicional, na presença de força normal de compressão, os casos de ACIDENTAIS solicitações normais são classificados em: compressüo centradu,flexüo normal com-

posta eflexüo oblíqua composta. Todavia, de acordo com os novos princípios de verificação da segurança, no caso de força normal de compressão, passou-se a considerar explicitamente a incerteza na localização do ponto de aplicação da resul- tante dos esforços normais. Foi assim criado o conceito de excentricidade adicional, que na nova NB-1 é designada por excentricidade acidental.

A excentricidade acidental foi fixada convencionalmente com o maior dos dois valores seguintes:

onde h é a maior dimensão da seção na direção considerada. Desse modo, em princípio, todos os problemas de compressão passaram a ser

problemas de flexão oblíqua composta. Evidentemente, por razões de ordem prática, nem todos os problemas serão

tratados com o mesmo grau de rigor. Assim, na Fig. 7.3.1-1 do B 7.3.1 estão indicadas as excentricidades a serem admitidas no cálculo, em função das situações teóricas de projeto, deacordo com a NB-I. Quando a situação suposta no projeto for de compres- são centrada ou de flexo-compressão normal, a obliquidade decorrente das excentri- cidades adicionais será tratada de forma simplista. Pelo contrário, quando a situação teórica de projeto já for de flexão oblíqua composta, o problema será tratado com maior rigor, conforme será discutido posteriormente no Cap. 7.

Observe-se que no caso de peças esbeltas, além das excentricidadesjá considera- das, ainda deverão ser levados em conta os efeitos de segunda ordem, decorrentes da deformação das peças.

Page 122: Fusco - Estruturas de Concreto

4.2 MÉTODOS SIMPLIFICADOS DE

CÁLCULO

4.2.1 LINEARIZAÇÃO DOS Este critério conduz a soluçóes necessariamente a favor da segurança, em virtude da DIAGRAMAS DE convexidade da superfície de interação, Fig. 4.2.1-1.

INTERACAO Emprega-se um diagrama linearizado de interação para o dimensiona-

R e s u l t a d o s s i s t e m a t i c a m e n t e

0 f o v o r do segurança

D I A G R A M A R E A L

DIAGRAMA LINEARIZADO

I

xd, cal

Fig. 4.2.1-1 Mérodos simplificados de cálculo.

Page 123: Fusco - Estruturas de Concreto

mento de seçóes submetidas à flexáo oblíqua composta, obtendo-se a expressão

I M v d + M z d = 1 - -

Muo, u Ma, u

válida para Nu, ,, = Nd. A critica a ser feita a esse processo simplificado é a de conduzir, por vezes, a

soluções sensivelmente antieconômicas. A sua defesa é a de conduzir sempre a soluções a favor da segurança e de permitir o dimensionamento da armadura por tentativas, e não a simples verificação da carga que pode ser aplicada numa dada posição de uma seçáo conhecida.

Observe-se que a linearidade dos diagramas de interaçáo pode ser interpretada tanto nas coordenadas M,, e M,, quanto em e,, e e,,, bem como em e,,/h,e e,,/h,. conforme mostra a Fig. 4.2.1-2 e de acordo com o que já havia sido mostrado nas figuras do § 4.1.2.

Para o emprego do método, dado o pontoA (psd , pyd , vd) , escolhe-se uma reta que passe por esse ponto, cortando os eixos coordenados nos pontos B GyO, d , vd) e C ( w ~ , , ~ , vd) . Fig. 4.2.1-1.

Dimensiona-se a seção sob a ação de uma das flexões normais definidas pelos pontos A e B e verifica-se, a seguir, para a outra flexáo normal.

Caso esta última verificação dê resultado satisfatório, a seçáo terá segurança superabundante para a flexão oblíqua original.

Fig. 4.2.1-2 Linea"zaç80 dos diagramas de interacão

Page 124: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS

No caso de seções retangulares com armaduras iguais nas quatro faces, os diagramas de interação linearizados terão uma inclinação de 45O com os eixos coorde- nados, bastando então um único cálculo de dimensionamento numa das direções principais.

4.2.2 EXEMPLO Considere-se o dimensionamento aproximado doexemplo resolvido de modo rigoroso em § 4.1.3.

São dados os seguintes valores:

N, = 1000 kN y, = 1,4 Nd = 1,4 x 1000 = 1400 kN

f,, = 15 MPa = 1,s kN/cm2 y, = 1,4 f,, = 1,07 kN/cm2

Aço CA-SOB y, = 1,15 f,d = 43,5 kN/cm2

h, = b = 30 cm e, = 6 cm - - - - - - 0,20 b 30

Y Plano de My IJ

ey : 28

e~ r 3, -

Plano de M, h Y

Fig. 4.2.2-1 Exemplo.

1 N =O, lkg f I MPa = I MNlm* = 10kgf/cm* I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN/m = I W kgfim = 0,I tflm 1 kN.m = 100 kg fm = 0.1 1f.m 1 kN/m2 = I W kgfim2 = 0.1 tflrn2 I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm 1 kN/rn3 = 1 0 0 k g f / ~ = = 0.1

I MPa = 0.1 kN/crnn = 100

Page 125: Fusco - Estruturas de Concreto

Admitindo-se diagramas de interação linearizados e mantendo-se o mesmo ar- ranjo da armadura, isto é, colocando-se armadura igual nos quatro cantos, o dimen- sionamento mais econômico deflexáonormal compostacorresponde ao que se mostra na Fig. 4.2.2-1.

Quando se empregam diagramas de interaçáo nas coordenadas e,/h, e e,/h,, como é o caso apresentado na Fig. 4.2.1-1, o dimensionamento mais econômico corresponde a

Quando se empregam diagramas de interação nas coordenadas pZd e pVdi como aqueles apresentados nas Figs. 4.1.2-2 a 4.1.2-4, a condição econômica é obtida com

Ambas as condições decorrem do fato de a armadura estar igualmente concen- trada nos quatro cantos, pois, nesse caso, o diagrama linearizado mais econômico corresponde a uma reta igualmente inclinada em relação aos eixos coordenados. De fato, com esse arranjo de armadura, para um mesmo valor de v,, deve ser obtida a mesma taxa de armadura quer se considere uma flexáo normal composta segundo o eixo Gx, quer segundo o eixo Gy.

Nessas condições, empregando, por exemplo, os ábacos de flexão normalcom- posta de Montoya,* para

obtêm-se:

d' para 6' = - = 0,10 o = 0,86 h

d' para 6' = - = 0,05 o = 0,76 h

Interpolando-se para 8' = 0,07, tem-se

resultando

logo

A,, ,,C, L= 4 x 10,3 cm2

Page 126: Fusco - Estruturas de Concreto

Sabendo que este resultado é sempre a favor da segurança, seria aceitável a mesma solução obtida anteriormente

A,, ,,,,L = 4 X 3 c$ 20 = 4 x 9,45 cmZ

Note-se que a aproximação do cálculo simplificado foi muito boa neste caso particular em que os diagramas reais de interação são praticamente lineares, Figs. 4.1.2-2 a 4.1.2-4.

Observe-se novamente que, pelo fato de a armadura estar igualmente concen- trada nos cantos, bastou o cálculo de flexão normal composta em uma só direção.

4.2.3 UM PROCESSO Em face das dificuldades existentes no cálculo das seções submetidas a flexáo com- EMPIRICO TRADICIONAL posta oblíqua, muitos processos empíricos foram sugeridos pelaliteratura técnica. Na

Fig. 4.2.3-1 está ilustrado o chamado processo da Norma Russa, que teve larga aceitação durante muito tempo.

I Fig. 4.2.3-1 Um método antiga de cálculo.

Page 127: Fusco - Estruturas de Concreto

Por esse processo, sendo

N,,, = força normal última na compressão centrada

N,, = força normal última na flexão normal composta com o momento último M,,

N,, = força normal última na flexão normal composta com o momento último M,,

admite-se que, na flexão oblíqua composta, a força normal última Nu, acompanhada dos momentos M,, e M,,, seja dada por

1 - -

1 I I - + - - - Nu N,, N, No,

Alguns autores tentaram justificar teoricamente essa expressão, mas conforme se ilustra na Fig. 4.2.3-1, ela deve ser entendida como uma expressâo empirica.

De acordo com estudos realizados por Moran," a chamada fórmula da Norma Russa pode conduzir a erros contra a segurança de importância bastante significativa, não existindo estimativa do máximo erro possível. Os resultados indicados na Fig. 4.2.3-1 são válidos apenas para a seção particular aí indicada. Por esse motivo, a chamada fórmula d a Norma Russa deve ser definitivamente abandonada.

4.3 MÉTODO DA TRANSFORMAÇAO

AFIM DAS SEÇOES*

4.3.1 TRANSFORMAÇAO O método d a transformação das seções é baseado na possibilidade de realizar uma AFIM DAS SEÇOES transformação d a seção, mantendo constantes os valores dos parimetros adimensio-

RETANGULARES nais que intervêm no dimensionamento d a mesma sob a ação de solicitações nor- mais,Iu Fig. 4.3.1-1.

Fig. 4.3.1-1 Sesões ntins

'Telèmaco van Langendonck, Fierio comportu ubiíouo no con<iciu ormodo. A.B.C.P. . São Paulo. 1977

Page 128: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAB

Considerem-se duas seções retangulares de lados paralelos aos eixos coordena- dos Ox e Oy, armadas em cada uma dessas duas direções com duas camadas de barras de aço. Admita-se que as duas seções estejam submetidas àflexão composta oblíqua.

Os parâmetros de cada uma das seções estão indicados, respectivamente, pelos índices 1 e 2.

Para a manutençáo dos parâmetros adimensionais são possíveis dois caminhos diferentes: num deles altera-se a intensidade da forçalongitudinal F na mesmapropor- ção que a razão A de afinidade e mantêm-se as resistências dos materiais; no outro, alteram-se as resistências dos materiais na proporção l i1 e mantém-se a intensidade da força F.

Considerando então as duas seçóes, a original e a transformada, a cada uma delas correspondem as seguintes grandezas:

a. Dimensóes: h,,, h,,, A,,, A,,, A ,$,,, A,,,

b. Materiais: fcdlr fydl = fidl

c. Taxas mecânicas de armadura:

os, = As,, fvdl wu, = as#^ fudl

hz1 hu, fCdl h,, h,, fCd,

= A'8Zl f ~ d l o;l = K8U1 f U d l

h91 fcdl hzl hyl fcdl

d. Esforços: Ndl = Fd

MZdi = Fd.e,, (atuante no plano que contém o eixo Ox)

M,,,, = F,.e,, (atuante no plano que contém o eixo Oy)

e. Esforços relativos:

Fd . e,, Pzdl = h,, hZ,, fCd1

b. Materiais: f ,,,, fvd2 = fid2

c. Taxas mecânicas de armaduras:

Page 129: Fusco - Estruturas de Concreto

r - AS,, f'vdz W,z2 - ,y, - ASa flud2

h52 hy2 fcd2 fcd2

d. Esforços:

N d z = F d (por hipótese)

M,, = Fd . e,, (atuante no plano que contém o eixo Ox)

MVd2 = Fd . eVz (atuante no plano que contém o eixo Oy)

e. Esforços relativos:

Admita-se que aSeção 2 sejaobtidaapartir daSeção 1 por meio de umaafinidade paralela ao eixo Oy, de razão h igual a

Como a afinidade é paralela ao eixo Oy. são alteradas apenas as dimensões paralelas a essa direção, mantendo-se as dimensões paralelas ao eixo Ox.

Desse modo, resultam as relações seguintes:

h,* = h h,,

e,, = h e,,

h,* = h,,

er2 = e,,

1 ." Alternutiva

Admita-se ainda que existam as seguintes relações entre as resistências dos materiais das duas seções consideradas:

Page 130: Fusco - Estruturas de Concreto

f',dl f,,, = - A

Com todas as hipóteses formuladas anteriormente, obtêm-se então

Vp = - Fd - F d = V, h,, h,, fcd, h,, Ah,, f,,,

Conforme já foi assinalado, há uma outra forma alternativa de transformar a seção, mantendo-se também os valores dos parâmetros adimensionais.

De fato, basta manter os valores das tensoes e alterar a intensidade da força longitudinal, fazendo-se

Neste caso, têm-se

Page 131: Fusco - Estruturas de Concreto

F P ~ ey2 = AF,d . Ae,, - Py~d = - Puid h,, h;z fCd h,, A2 h:, fCd

A,,, fvd = AA,,, . fvd - o 5 2 = - os,

h,, h,, f,, h,, . h,, fCd

0 1 2 = A,,, fuL = h A3,1 . fv, = o:, hzz h,, fcd h,, . A hyl fcd

4.3.2 FUNDAMENTOS DO MÉTODO DE CÁLCULO

Considere-se uma seção transversal retangular de lados h, = b e h, submetida à flexão composta oblíqua em virtude daaplicação da forçalongitudinal Fdr que age com as excentricidades e, e e,, Fig. 4.3.2-1. 1

Fig. 4.3.2-1 Transforrna~io afim

Admitindo-se a transformação da seção por uma afinidade paralela ao lado maior h,, com razão

Page 132: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS

obtém-se uma seção quadrada de lados

hxQ = h,, = b (4.3.2-2)

Com essa afinidade tamhém ficam alteradas as áreas das seções transversais das armaduras, sendo

(4.3.2-3) A,,u = A As,

Aszu = h

De forma análoga, admite-se que a afinidade também afete as excentricidades da força F,, resultando

ezy = e , (4.3.2-4)

e

Admitindo ainda a hipótese suplementar de que também seja alterada a intensi- dade da força axial, sendo

sabe-se, de acordo com o que foi visto no item anterior, que permanecem invariantes os valores das seguintes grandezas adimensionais:

Page 133: Fusco - Estruturas de Concreto

Observe-se que, em virtude dà alteração da força axial, conforme (4.3.2-6), n6o 1 haverá alteração das resistências dos materiais empregados.

b. Condições de dimensionamento

De acordo com o que foi visto em § 4.1.1, as condições gerais de equilíbrio da5 seções retangulares, Fig. 4.3.2-2, podem ser escritas:

N.=,=// % d X d Y + i Astu.. A,, 1

Fig. 4.3.2-2 Flexão composta oblíqua. I

Introduzindo as condições de compatibilidade de deformações nas expressões de equilíbrio, elas podem ser reduzidas as suas formas adimensionais, resultando num sistema de equações nas variáveis seguintes:

Page 134: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

11. Armaduras:

111. Cobrimentos:

d!, d',, ss = - . , 8' 3, = - hz hu

IV. Posição da linha neutra:

X 5 = - ; a, (Fig. 4.3.2-2) h,,,é,ccia

V. Resultante das tensões no concreto:

a = R" ; tt, ; E ' ~ A," 'J"ld

([L e 5: coordenadas adimensionais da posição de R,,)

VI. Tensões nas armaduras:

VII. Deformaçáo de referência: (juntamente com 5 e a, definem o (no ponto mais comprimido da seçáo) domínio de deformações da seçáo)

Tendo em vista que a transformação afim de razão h juntamente com a trarisfor- mação da força longitudinal para FQd = A F, não alteram as variáveis V,, pzd, pyd, ws.

I a',, w,, o:, s:, s:, e que as demais variáveis a , C,, t:, usa/f,,~, 'Jss/fvd? 'Jsc/fUd3 uSD/fi,, são funções unívocas de 5, o, e E , . , ~ , conclui-se que o dimensionamento pode ser feito com a seçáo transformada em lugar de ser realizado com a seção original.

De fato, impondo-se os mesmos valores de 5, a, e E,,, para as duas seções, a original e a transformada, são iguais os correspondentes valores de todas as demais variáveis adimensionais que regem o equilíbrio e a compatibilidade do sistema.

Desse modo, dimensionando-se a seção transformada, é obtido o dimensiona- mento da seção original.

Para a realização desse dimensionamento, um dos caminhos possíveis é o do traçado dos diagramas de interaçáo V,. psd. pyd.

Com essa finalidade, dada a seção transversal e admitidos os valores de w,, w',,

w, e o',, para cada terno de valores E ~ , ~ , 5 e a,, resultam nos valores dos esforços vd, psd e pUdr que podem ser aplicados.

Pelo exposto conclui-se que, se existissem os diagramas de interação da seção transformada, o dimensionamento poderia ser efetivamente realizado, de forma rigo- rosa, com a própria seção transformada.

O dimensionamento aproximado, considerado a seguir, tem por finalidade elimi- nar a necessidade do emprego dos diagramas de interação da seção transformada.

c. Dimensionamento aproximado

O dimensionamento aproximado das seções submetidas a flexão composta obli- qua pode ser feito, em princípio, pela decomposição dos esforços solicitantes.

Várias soluções dessa natureza são encontradas na literatura referente ao as- sunto.

Page 135: Fusco - Estruturas de Concreto

Em todas elas, em lugar de uma flexão composta oblíqua, são consideradas duas flexões normais. Algumas soluçóes consideram duas flexões normais compostas, enquanto outras consideram uma flexão normal composta e uma flexáo normal sim- ples.

Para seçóes retangulares, a decomposição tem sido tradicionalmente feita considerando-se duas flexóes atuantes em planos paralelos aos lados da seção, Fig. 4.3.2-3.

Em cada uma dessas flexões esgota-se uma parceladaresistênciaf,, do concreto. As armaduras calculadas em cada caso são somadas para a obtenção da solu~ão completa. Todavia, a distribuição das armaduras calculadas não é a que melhor se adapta a resistência aos esforços decorrentes de uma flexão oblíqua.

Fig. 4.3.2-3 Decomposição tradicional de esforços

O dimensionamento aproximado a seguir considerado,* que requer a transforma- ção preliminar da seção retangular em uma seção quadrada, decompõe os esforços aplicados em duas flexões normais compostas, agindo uma delas num plano paralelo a um dos ladosdaseção e a outra segundouma das diagonais do quadrado, Fig. 4.3.2-4.

Fig. 4.3.2-4 Decornposiçào dos esforços na seção transformada

Também neste caso, a resistência do concreto é esgotada parcialmente em cada uma das solicitações.

Na solicitação que age segundo o plano que contém o eixo Oy, admite-se uma

'Telêmaco van Langendonck. Flexriu composro oblíqua no concreto ormudu. A.B.C.P.. Sáo Paulo, 1977

Page 136: Fusco - Estruturas de Concreto

resistência 0,85 feda e, na solicitação segundo o plano que contém a diagonal Z, considera-se a resistência 0,85 f,,, sendo

As armaduras calculadas para cada uma das flexões consideradas são somadas para a obtenção da solução final.

Note-se que, com a decomposição agora adotada, é obtida uma distribuição de armaduras mais adequadapara aresistênciaaflexão oblíqua. Essa melhor distribuição pode ser obtida em virtude de se considerar uma das flexóes no plano diagonal. Para isso é necessário transformar a seção retangular original numa seção quadrada, pois só então o plano diagonal passa a ser um plano principal da seção.

4.3.3 ROTEIRO DE Dada uma seção retangular submetida a flexão composta oblíqua, transforma-se a CÁLCULO seção num quadrado, por meio de uma afinidade paralela ao lado naior, alterando-se

também na mesma proporção A a força aplicada, sendo A a razão de afinidade, Fig. 4.3.3-1. A seguir, desdobra-se a flexão composta oblíqua em duas flexões compostas normais, conforme está mostrado na Fig. 4.3.3-2.

Fig. 4.3.3-1 Transformacão da seçáo.

A força longitudinal FQ é decomposta em duas outras, F,, e F,,, que lhe são estaticamente equivalentes. A força F,, age no pontoA sobre o eixo Oy paralelo ao lado, e a força F,, atua no ponto B sobre a diagonal Oz, sendo

Como as duas forças F,, e F,, estão sobre a mesma paralela ao eixo Ox, não se altera o momento fletor M,,, pois

M,Q = FQ eu, = (FUQ + FN) eu, (4.3.3-2)

Para que não se altere o momento M,,, Fig. 4.3.3-2, deve ser

Page 137: Fusco - Estruturas de Concreto

~ i g . 4.3.3-2 Seção transformada. I e, como a seção é quadrada, tem-se

I I

KB = ÓA = e,, I

logo

ou ainda

FXg = FQ. tg a

pois

-- e= - tg a ~ V Q

com (tg a s 1 ,O), resultando também

FVQ = F, (1 - tg a)

Uma vez decomposta a força longitudinal

Fg = A F d

Page 138: Fusco - Estruturas de Concreto

nas componentes

F,y = FQ ( I - tg a) = h Fd ( I - tg a)

de excentricidade

de excentricidade

e . ~ = fl ~ V Q

é feito o dimensionamento das armaduras para cada uma das solicitações separada- mente, Fig. 4.3.3-3. Admite-se que a re~istênciaf ,~ sejadecomposta nas duas parcelas seguintes:

flexão paralela ao lado

fcdY = fcd (1 - tg a)

flexáo diagonal

sendo, portanto, respeitada a condição

fcdv + fcdx = fcd

Y F y Q = X F d ( i - t 9 o < )

e = Xe YQ Y

-f c d y = fcd ( 1 - t9 a) d5YQ .:' w b

FLEXÁO PARALELA FLEXÃO DIACONAL AO LADO

Fig. 4.3.3-3 Esforços atuantes

Uma vez calculadas as armaduras da seçáo quadrada, obtêm-se as armaduras da seçáo original pelas expressões

Page 139: Fusco - Estruturas de Concreto

~ E X A O OBL~QUA

1 AS, = - A',,, A

Com as armaduras assim calculadas, os parâmetros adimensionais da seção original e da seçâo quadrada obtida pela transformação afim de razão A são iguais.

4.3.4 FLEXAO DIAGONAL Analogamenteao que se fez na seçáo retangular, tambémno estudo daflexâodiagonal DA SEÇÃO QUADRADA. da seção quadrada, o momento fletor será sempre tomado em relação ao centro de

GRANDE gravidade da armadura de traçáo, Fig. 4.3.4-1.

EXCENTRICIDADE AR A SIMpLE

Fig. 4.3.4-1 Flexiio diagonal da seção quadrada

Pelas mesmas razões já discutidas no estudo da seção retangular, como situação básica de estudo será considerada a seçâo com armadura simples.

Neste caso, têm-se:

Flexáo simples Nxd = O RE = R, R, = R,, M

Flexo-compressão NZd > O R* = R< - Nzd Rs = RI. M - Nzd

Flexo-tração Nzd > O R, = R, + N.d R, = R,, M + Nid

Desse modo, a seção pode sempre ser dimensionada com o emprego de tabelas universais preparadas para o caso básico daflexão simples, obtendo-se a armadura de tração pelas expressões

Page 140: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Como no caso da seção retangular, a armadura simples poderá ser empregada desde que o momento MS2, aplicado seja compatível com uma posição da linha neutra tal que 5 < tlim, isto é, sempre que isso não resultar numa seção superarmada.

Quando a tentativa de empregar armadura simples conduzir a 5 > deverá ser empregada armadura dupla.

I Para o cálculo da seção com armadura dupla, a seção resistente é desdobrada em

duas partes, Fig. 4.3.4-2. I I

ARMADURA DUPLA 1

Fig. 4.3.4-2 Flexão diagonal da se+ quadrada.

A seção com a armadura simples, de área A,,,,, resiste ã força normal NZd e a parcela M,,,, , do momento fletor. Para esta parcela admite-se a situação 5 = &,.

A parcela restante AM,, = M,,,, - M,,,, . do momento fletor é resistida por uma seção metálica.

Desse modo, têm-se

Analogamente ao que foi visto para a seção retangular e de acordo com o que se mostra na Fig. 4.3.4-3, o problema de dimensionamento fica inteiramente resolvido quando se impóe a posição da linha neutra. Na Fig. 4.3.4-3 está mostrada a notação empregada para a organizaçáo das tabelas de cálculo.

De fato, seiido

onde

Page 141: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 4.3.4-3 Flexjo diagonal com grande excentricidade

e

z , = d - a = d - ( ' x

dado o valor de

ficam univocamente determinados os valores de

Na Tabela 1 I do Anexo estão apresentados os elementos necessários ao dimen- sionamento. Essa tabelafoi organizada empregando-se odiagrama parábola-retângulo de tensões no concreto, nos termos da NB-1178.

A I .a Parte da Tabela 1 1 corresponde a valores de 5 -S 0,50, para os quais não há influência do valor de 6' = d'ld. Na?.a Parte, correspondente a ( > 0,50, a influência de 6' é explicitada.

4.3.5 EXEMPLO Considere-se o dimensionamento da seção retangular já estudada em § 4.1.3. As diferentes fases do cálculoestão ilustradas pelos desenhos das Figs. 4.3.5-1 a

4.3.5-4.

a. SEÇÃO ORIGINAL (Fig. 4.3.5-1)

1 N =0 , lkgf I MPa = I MNim' = I 0 kgficmz I kN = 1W kgf = 0.1 t i I kNlm = 100 kgfim = 0.1 tflm I kN.m = 100 kgfm = 0.1 1i.m I kN/m2 = 100 kgflrn* = 0.1 àimP I k N c m = 100 kgfcrn = 0.1 rtcm I kN/rn3 = 1W kgfim3 = 0.1 tilrn3

Page 142: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

f,, = 15 MPa = 1,s kN/cm2 y, = 1,4 1 5 f,, = 1 = 1 ,07 kN/cmZ 1,4

Aço CA-50B y, = 1,15 fyd = 435 MPa = 43,s kN/cmZ I

I

b. SEÇAO TRANSFORMADA (Fig. 4.3.5-2) I

e,, = e, = 6 cm

3 e,, = Ae, = - x 28 = 12 cm 7

e,, = fle, , = f l x 12 = 16,97 cm

6 tga =e, = - = 0,s ~ V Q 12

F,, = F, (1 - tg a) = 600 ( I - 05) = 300 kN

F,, = F, tg a = 600 x 0,5 = 300 kN

fcdu =fcd (1 -tg a) = 1,07 (1 - 0,5) = 0,535 kN/cm2

f,,, = f,,.tg a = 1,07 x 0,5 = 0,535 kN/cmZ

c. FLEXAO PARALELA AO LADO (Fig. 4.3.5-3)

F,, = 300 kN

e,, = 12 cm

fcdu = 0,535 kN/cm2

hyp = 30 cm

Page 143: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 4.3.5-1 Seção original. Fig. 4.3.5-2 Seção transformada.

F = F ( I - t g u ) = 3 0 0 k N YQ Q

2 fcdy = f c d ( I - t q a1 = 0,535 kN/cm

rig. 4.3.5-3 Flexáa paralela ao lado. Fig.

Page 144: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS I r d,, = h,, - d' = 30 - 2 = 28 cm i

Fue . esu = Psud =

300 25 = 0,596

b,, dZ,u fcdu 30 x 28% x 0,535

Admitindo-se o emprego do Aço CA-50B, de acordo com a Tabela I correspon- dente a flexão com grande excentricidade, têm-se

logo I

Para a seção real, obtêm-se os valores

A,, = 0 I 7 ,T,,o = - x 3,8 = 8,9 cm2 + 3 + 2 0 = 9,45 cm2 A:, = - A

A 3

d. FLEXAO DIAGONAL DO QUADRADO (Fig. 4.3.5-4)

FZa = 300 kN

e,, = 16,97 cm

f,.di = 0,535 kN/cm2

1 N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlm* = IOkgf/cm2 I k N = I W kgf = 0.1 r f I kNim = 1W kgflm = 0.1 tflm I kN.m = 100 k g t m = 0.1 t f m I kN/mZ= 100 kgfimn = 0.1 tflmx I k N c m = 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNim3 = 100 kgfim" 0 , l tflmx

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmS

Page 145: Fusco - Estruturas de Concreto

h e,, = e , ~ + (1 - dtZ) = I6,97 + (21,21 - 4) = 34,18 cm

2

M,,, = F,,.e, = 300 x 34,18 = 10254 kN.cm

Empregando-se Aço CA-SOB, de acordo com a I .a Parte da Tabela 1 I , têm-se

paz,, = 0,090

5 = 0,738

z, = 0,738 x 38,43 = 28,36 cm

M,,,,, =pai,, limd3i fcdr = 0,090 X 38,433 x 0,535

donde

Msrd, c = 2732 kN.cm

AM,,, = M,,, - M,,,, c = 10254 - 2732 = 7522 kN.cm

1 2732 7522 A,,, = -- -- + -- - 300 = 43,s [ 28.93 34.43 1

Para a seção real, obtêm-se os valores

A,, = O

1 7 A;, = - A',,, = - x 5,02 = 11,72 cm2+ 4 $ 20 (12,60 cm2) h 3

A Fig. 4.3.5-5 mostra a solução final do problema

w Fig. 4.3.5-5 Arranja da armadura.

I N = O . l k g f I M = I MNim" = 10k&cm2 I k~ = 1W kgf = 0.1 rf 1 kNim = 100 kgfim = 0.1 iflm I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/m2 = IiKl kgfim' = 0.1 [fimz I k N c m = 100 kgfcm = 0.1 t f c m I kN/m3 = I00 kgf/m3 = 0.1 tfimJ

Page 146: Fusco - Estruturas de Concreto

4.3.6 FLEXAO DIAGONAL O dimensionamento da seção quadrada sob flexo-compressão com pequena excentri- DA SEÇAO QUADRADA. cidade será feito de modo semelhante ao que foi considerado no estudo geral da seção

PEQUENA retangular.

EXCENTRICIDADE Em virtude de a excentricidade ser pequena, a seção estará inteiramente compri- mida. O diagrama de deformações está no domínio 5, caracterizado pela deformação

= 2%0 na fibra situada ã distância 3 h17 da borda mais comprimida. O diagrama de tensões no concreto terá a forma da parábola-retângulo admitida na teoria geral.

Também para este tipo de seção, serão considerados dois casos básicos: seção com armadura unilateral e compressão uniforme.

a. Armadura unilateral

Neste caso, a seção possui armadura apenas do lado mais comprimido, Fig. 4.3.6-1. Os momentosfletores M',,, são sempre considerados em relação ao centro de gravidade da seção desta armadura de compressão, de área A',,,.

Fig. 4.3.6-1 Fiexáo diagonal com pequena excentriiidade.

Estando a seção totalmente comprimida, a resultante das tensões de compressão vale

onde a, é função exclusiva de

O momento em relação ao centro de gravidade da armadura de compressão vale

MVSpd = Fid. e;, (4.3.6-3)

sendo igual a

onde (; também é função exclusiva de x. Na Tabela 12, em função da posição dalinha neutra, dada por(, = xlh > 1 ,O, para

Page 147: Fusco - Estruturas de Concreto

diferentes cobrimentos relativos

são apresentados os valores de 0,85 a,, que permitem a determinação de R,, e os valores do momento fletor relativo

determinado pela expressão

ou seja, por meio da equação

Desse modo, dado o valor de w',,,, obtêm-se de forma unívoca os valores de c,, 5'1 e a,.

A solução do problema de flexo-compressão por meio do emprego de armadura unilateral somente será possível enquanto for válida a equação (4.3.6-4) de equilíbrio de momentos.

O máximo valor que pode ser tomado pelo segundo membro de(4.3.6-4) corres- ponde a um diagrama uniforme de tensóes de compressão, obtendo-se assim

logo

Quando se tiver a situação

IL:.~ > K r d , [im

em princípio será obrigatório o emprego de armadura do lado menos comprimido, pois somente assim poderá ser satisfeita a condição (4.3.6-4) de equilíbrio. Nesse caso, será preferível o emprego da solução seguinte, de compressão centrada.

No caso presente, a armadura de compressão é obtida a partir da condição de equilíbrio de forças.

Sendo

com

Page 148: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

tem-se

I Fzd = 035 ai A, fcdl + Asa, uQd

logo

1 A,,, = -- (Fzd - 0,85 01 . Ac fcdJ (4.3.6-9)

d d

onde

A expressão de equilíbrio de forças também pode ser escrita

Fad - 0,85 a, + ASI~ ' d d -- Ac fcdz Ac fcdz

e fazendo

- &.a f l d = KgZe fid 6JLQ -

A, fCd, 1 - hZ fC& 2

resulta

donde

Na Tabela 12, em função de 5: = xih e de 8: = d'ih, estão indicados os valores de i gd. Para os aços definidos pela EB-3, a Tabela 10 permite a determinação do correspondente valor de uld, de acordo com os diagramas tensão-deformação admiti- dos pela NB-I.

b. Compressão uniforme

Quando o momento pLZd ultrapassar o valor limite

~ : , d , . ~ i ~ = (i - 8;) 2

o equilíbrio somente poderá ser mantido com o emprego de duas armaduras, Fig. 4.3.6-2.

Para que acondição de compressão uniforme possa ser mantida, é necessário que \ as armaduras KS, e A,, sejam diferentes, a fim de que os momentos possam ser

Page 149: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 4.3.6-2 Compressáo uniforme

equilibrados. Neste caso, sendo as deformações de todas as fibras da seção iguais, tem-se

Sendo u:, a tensão nas duas armaduras e 0,85 f,, a tensão no concreto ao longo de toda a seção, têm-se

F,, = R, + R', + R, (4.3.6-14)

onde

RQ = A',,, ujd

R, = Ama c&

Da condição de equilíbrio de forças, obtém-se

resultando

onde

Page 150: Fusco - Estruturas de Concreto

A condição de equilíbrio de forças também pode ser escrita

resultando

ou ainda

Da condição de equilíbrio de momentos (4.3.6-15) em relação ao centro de gravidade da armadura indicada por A:,, Fig. 4.3.6-2 tem-se

resultando

onde

A condição de equilíbrio de momentos também pode ser escrita

ou seja

uzd '- = 0,425 (1 - 26') + w,, (1 - 2Srl) (4.3.6-19) h fvd

donde

4.3.7 EXEMPLO E ADVERTÊNCIA

A. Exemplo

Como exemplo de aplicação considere-se a seção indicadana Fig. 4.3.7-1, sendo

Page 151: Fusco - Estruturas de Concreto

fed = = ??- = 1,42 MPa = 1,42 kN/cmZ Y c 124

500 = 435 MPa = 433 kN/cm2 (Aço CA-SOA) fUd = - 1,15

B. Seção Transformada (Fig. 4.3.7-2)

h, - 40 2 h = - - - = - h, 60 3

e,, = e, = 3 cm

C . Flexúo Paralela ao lado (Fig. 4.3.7-3)

FyQ = FQ (I - tg a) = 2667 (1 - 0,75) = 667 kN

fCdY = fcd (1 - tg a) = 1,42 (1 - 0,75) = 0,36 kN/cm2

40 - d~ - evQ = - - 4 - 4 = 12 cm e',, = -- 2 2

De acordo com a Tabela 9, pam 6; = 0,10, resulta

não sendo possível o emprego de armadura unilateral. Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se

1 N =O,Ikgf I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm' I kN = I W kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgfim = 0,I tf im 1 kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m 1 kNimZ= 1W kgfim* = 0.1 fim' I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 d c m 1 kNimg = IW kgfim5 = 0.1 tflm3

I MPa = O,1 kNicm' = IW Nicrn"

Page 152: Fusco - Estruturas de Concreto

FQ = Fd = 2.667 k N

e x Q = ex = 3 cm

eyO= Xey = 4 cm

t g a = ex, / e = 0,75 Y Q

Fig. 4.3.7-1 Seção original.

Fig. 4.3.7-3 Flexão paralela ao lado. Fig. 4.3.7-4 Flexão diagonal

Page 153: Fusco - Estruturas de Concreto

Com vid = 42 kN/cm2 correspondente a = 2%0 obtêm-se 1

D. Flexão Diagonal (Fig. 4.3.7-4)

F,, = F,.tg a = 2667 x 0,75 = 2000 kN

f,,, = fcd.tg a = 1,40 x 0,75 = 1,06 kN/cm2

h 56,6 e ' , , = ? - d > - e , , = - - 6 - 5 , 7 = 1 6 , 6 c m 2 2

De acordo com a Tabela 12 Parte), para 6' = 6 0,11, resulta, por 56,6

interpolaçáo,

não sendo possível o emprego de armadura unilateral. Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se

donde, sendo uQld = 42 kN/cm2 (Aço CA-50A), resultam

e

1 A',,, = - (2 000 - 0,85 x 1 600 x 1,06) - 0,56 = 12,74 cm2 42

I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlmz = 10 kgflcm' 1 k N = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = 0,) Ulm I kN.m = IW kgfm = 0.1 t fm I kN/m2= IW kgflm' = 0.1 tf/m2 I kN.cm = 10 kgtcm = 0.1 tfcm 1 kNlms = 100 kgf/ma = 0.1 U/m3

I MPa = 0,I kN/cmP = IW N/cms

Page 154: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

E. Solução Final (Fig. 4.3.7-5)

Admitindo-se o arranjo mostrado na Fig. 4.3.7-5, de acordo com os resultados anteriores, a armadura da seçáo transformada é composta por

resultando para a seçáo verdadeira, Fig. 4.3.7-5,

1 3 A, = - A,, = - x 0,69 = 1,04 cm2 h 2

= O,! I cmz = 0,45 % A to1

A =%I9 cm2 =89,04 % A 3

A = 1,58 cm' ' 6,3 4 % 4 A to1

Alo+= 2492cm'

Fig. 4.3.7-5 Arranjo da amadura.

F. Advertência

O emprego de seções transversais com armaduras muito assimétricas pode con- duzir a superfícies de interaçáo h,, pyd, ud) do tipo indicado na Fig. 4.3.7-6.

Page 155: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 4.3.7-6 Caso particular da superfície de interaçáo.

Note-se que, para forças normais relativas v, muito altas, o diagramade interação (pzd, pua) é uma curva fechada que não envolve a origem do sistema, Fig. 4.3.7-7.

Essa circunstância decorre da grande assimetria das armaduras e do fato de ter sido admitidaa hipótese de compressão uniforme. Com isso, o eixo mecânico da peça é excêntrico em relação ao seu eixo geométrico, e a seção transversal não tem

AÇO CA- S O A

3, = 1,20

A 3 = 8 0 % . A,,,

A 4 = 1 0 % . A,,,

Fig. 4.3.7-7 Advenència

Page 156: Fusco - Estruturas de Concreto

146 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

condições de resistir a força longitudinal Fd dada, quando esta se aplica na posição do eixo geométrico.

Em situações dessa natureza é necessário cautela para que se considerem ade- quadamente as excentricidades acidentais de projeto, levando-se em conta as reais posições mais desfavoráveis da força longitudinal.

4.3.8 OUTRAS FORMAS DE Em principio, o método da transformação das seções pode ser aplicado a seçóes com SEÇAO TRANSVERSAL outras formas que não a retangular.

Para que a aplicação seja possível, é preciso que a seção transformada seja simétrica em relação à diagonal do quadrado circunscrito, além de o ser também em

I relação aos eixos paralelos aos lados do mesmo. Fig. 4.3.8-1.

(a, =b,) (a, =b, )

Fig. 4.3.8-1 Transformasão de outras seçóes transversais.

Observe-se que nos casos de seçóes cruciformes e de seções retangulares vaza- das, mostradas na Fig. 4.3 2-1, as dimensões a, e b, devem estar na mesma proporção que os lados h,, e h,,. Desse modo, ao transformar-se a seção por uma afinidade paralela ao lado maior, obtém-se uma figura simétrica em relação a diagonal do quadrado circunscrito.

Para o cálculo destas seçóes transversais emprega-se o diagrama retangular de tensões, com tensão máxima igual a 0,80 f,,, atuando na profundidade 0,s x.

4.3.9 EXEMPLO

a. Dados

Considere-se o dimensionamento da seção retangul; xr vazada mostrada na Fig

Page 157: Fusco - Estruturas de Concreto

FLEXAO OBLÍQUA 147

4.3.9-1, sendo

Fd = yf Fk = 3300 kN

15 fcd = & = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

Y C 1,4

0 3 0 fcd = 0,80 X 1,07 - 0,86 kN/cmZ

500 fyd = - = 435 MPa = 4 3 3 kN/cmZ '(Aço CA-SOA)

1,15

b. Seçáo transformada

Sendo

h,, - 80 - 2 A = - - - - - h,, 120 3

têm-se

2 F, = AFd = - X 3 300 = 2 200 kN 3

e,, = e, = 30 cm

2 e,, = Ae, = - X 75 = 50 cm 3

C. Flexão paralela ao lado

F,, = (1 - tg a) FQ = (1 - 0,6) x 2200 = 880 kN

e,, = 50 cm

eSv. = e.. + (d. - %) = 50 + (72 - 40) = 82 cm

M,,, = F,,.e,,, = 880 x 82 = 72160 kN.cm

0,80 f,,, = 0 3 0 (1 - tg a) fcd = 0,80 x 0,4 x 1,07 =0,34 kN/cm2

De acordo com a Fig. 4.3.9-2, têm-se

Aço CA-50A

&.,I = 2,07%0 (uud = fud = 4 3 3 kN/cmZ)

I N = 0 , 1 k g f I MPa = I MNlm' = I0 kgf/cmZ I k N = IW kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgi/rn = 0,1 tfirn I k N m = 100 kgfm = 0.1 1f.m I kN/mZ= 1Wkgf!m2 = 0.1 tf/m2 I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm I kNim3 = 100 k g f i m b 0.1 fim'

Page 158: Fusco - Estruturas de Concreto

14s ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Fig. 4.3.9-1 Exemplo.

;,,=(I- t g a ) F Q

Fig. 4.3.9-2 Flexão paralela ao lado.

Page 159: Fusco - Estruturas de Concreto

A resultante das tensões no concreto comprimido vale

R, = R,, + ReZ = (2 x 16 x 36,2+ 48 x 16)cmZ x 0,34 kN/cmZ = 393,9+ 261,1= 655,O kN

logo, a seçáo com armadura simples pode resistir até o momento

havendo portanto necessidade de armadura dupla. Sendo

1 ( Mld, c + "M*- - .-) ASUQ = - - f f ~ d d, - d',

onde

= fld = 43,5 kN/cm2

d - d ' = 7 2 - 8 = 6 4 c m

resultam

I N =O, ikgf I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgficm2 I k N = IW kgf = 0.1 t i I kNlm = 1W kgfim = 0.1 tflm I kN.m = IM) kg tm = O,l tf.m 1 kN/m2= I W kgfim2 = 0.1 tflm' 1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNima = I W kgfima = 0.1 tfim'

Page 160: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlClTAÇÓES NORMAIS

Voltando a seção retangular original, obtêm-se

1 3 A , , = - A s u Q = - x 7,l = 10,7cmZ h 2

1 3 A',, = - A',,, = - x 12,3 = 18,s cmZ h 2

d. Flexão diagonal

F,, = tg a.FQ = 0,6 x 2200 = 1320 kN

e,, = g e , , = fl x 50 = 70,7 cm

h r,,, = e, + (d, - 2) = 70,7 + (101,~ 2 ,

M,,, = F,,.e,,, = 1320 x 116 = 153120 kN.cm

0,80 fcd, = 0 3 0 tg a . f c d = 0,80 X 0,6 X 1,07 = 0,51 kN/cm2

De acordo com a Fig. 4.3.9-3. tem-se

I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlrn2 = 10kgficm* I k N = I W k g f = O , l t f 1 kNim = 100 kgfim = 0.1 fflm 1 k N m = 1W kg tm = 0.1 t t m I k ~ i m 2 = I W kgfim* = O,I tfimn I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 t t c m I k ~ / m = = I W kgflrn3 = 0.1

Page 161: Fusco - Estruturas de Concreto

A resultante das tensões no concreto comprimido vale

102,4 X 51,2 R . = ( - 57,2 2836) cm2 x 0,51 k ~ / c r n ~ =

2

= 1337 - 417 = 920 kN

O momento limite resistido pela seção com armadura simples é

51 2 28 6 + L 3 ) - 417 (50,6 + L)= 3

No caso, sendo c,, = <r& = f,, = 43,s kN/cm2, as armaduras são dadas pelas expressões

valendo, respectivamente,

Voltando a seção retangular original, resultam

1 3 A',, = AQZQ = - x 22,3 = 33,s cm2

A 2

1 N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlmZ = 10 kdlcm' I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = O,! tflm I kN.m = IW kgfm = 0.1 1f.m I kN/mP = 1W kgflm' = 0.1 tf/mZ I k N c m = 1W kgf.cm = 0.1 1f.cm I kN/m8= 100 kgflmg = 0.1 lf/rn3

I MPa = 0.1 kNlcm* = IW N/cm2

Page 162: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

A título d e controle dos valores calculados, determina-se a seguir a resultante das forças internas na seção retangular original:

ZR, = [(As, + &d - (A,, + Asz)l fu, =

= [(18,5 + 33,s) - (10,7 + 19,7)] X 43,5 = 940 kN

1 3 ZR,= - (R,, + R,,) = - (655 + 920) = 2363 kN A 2

Desse modo, resulta

4.4 EXERCICIOS 4.1 Como são usualmente apresentados os diagramas de interação para o.cálculo da flexão oblíqua composta?

4.2 Qual a diferença que existe na representação correspondente às seções com simetria simples e com simetria dupla?

4.3 O que se entende por superfície de interação naflexão oblíqua composta? Qual aprincipal propriedade dessas superfícies?

4.4 Como se faz o cálculo por tentativas? Justificar. 4.5 O que são excentricidades acidentais? Quanto valem? 4.6 O que se entende por linearizaçáo dos diagramas de interação? Justificar o seu emprego. 4.7 Como são determinados os esforços para a transformação da flexão oblíqua em duas

flexóes normais? 4.8 Que simplificação de cálculo das seções retangulares acarreta o emprego de armaduras

iguais nas quatro faces? Justificar. 4.9 Quais os fundamentos do método de transformação afim das seções transversais?

4.10 Qual a vantagem em transformar a seção retangular numa seção quadrada, conforme o método da transformaçáo afim das seçóes?

I N =O,Ikgf I MPa = I MNlma = 10 kdlcm* l kN = 100 kgf = 0.1 lf i kN/m = 1W kgfim =O,] tf/m 1 kN.m = 100 kgtm = 0,l 1f.m 1 kNlm' = IW kgflm' = 0.1 lf/m2 1 k N . c m = 1M)kgf.cm = 0.1 tfcm 1 kNima= lWl<gfIm*=O,l tflms

I MPa = 0.1 k N I c m k I00 N/cmz

Page 163: Fusco - Estruturas de Concreto

PARTE 2

ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE INSTABILIDADE

Page 164: Fusco - Estruturas de Concreto

5 Instabilidade

5.1. FUNDAMENTOS

5.1.1 INSTABILIDADE NA Considerando as barras retas axialmente comprimidas, verifica-se experimental- COMPRESSAO AXIAL. mente que sob aaçáo de carregamentos crescentes pode ser atingido um estado limite,

FLAMBAGEM a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse estado limite é dita carga crítica Feri,, ou carga de flambagem. No regime elástico,* para cargas F > F,,,, a forma estável de equilíbrio passa a ser a configuração fletida, Fig. 5.1.1-1.

Nesse caso, diz-se que a mudança da forma de equilíbrio corresponde a um comportamento simétrico estável. O comportamento é simétrico porque não importa para que lado ocorrem os deslocamentos da barra, e é dito estável porque a configura- ção secundária de equilíbrio é estável.

'FORMA RETA I N S T ~ V E I

'PONTO DE, BIFURCASÁO DO E Q U I L I B R I O

Fig. 5.1.1-1 in\iiibilidadr n a cornprçbsio aniai.

O fenômeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas pode ser caracterizado pela presença do ponto de bifurcação do equilíbrio, no diagrama que relaciona a carga F aplicada com o máximo deslocamento transversal a da barra.

IDefine~se o regime el6rliro como sendo aquele em que existe o <umporramrnto elasrico lineor dos mater

Page 165: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 155

Mantendo-se o regime elástico, no entorno desse ponto são possíveis duas diferentes configuraçóes estáveis de equilíbrio. Fig. 5.1.1-1.

Para os materiais estruturais, como o concreto e o aço, o estado limite de flambagem é um estado limite último. De fato, conforme se mostra na Fig. 5.1.1-1, para cargas pouco superiores à carga crítica, a flecha máxima já é igual a uma fração apreciável do comprimento da barra, a qual se rompe entáo por flexao composta.

Em certos materiais, principalmente nas chamadas mutériasplásricas, como, por exemplo, o celulóide e o acrílico, a barra pode resistir a cargas sensivelmente superio- res a carga de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um estado limite último.

Em princípio, a determinação das flechas da barra para cargas superiores à carga crítica exige que se empregue a expressão exata da equação diferencial da linha elástica, ou seja,

1 onde - é a curvatura da barra, E1 o produto de inércia correspondente ao plano de r

flexão e

o momento fletor. Se, em lugar da equação exata (5.1.1-I), for empregada a equaçáo aproximada

ainda assim podem ser determinados os valores da carga critica, embora fiquem indeterminadas as flechas da configuraçáo fletida, Fig. 5.1.1-2.

Fig. 5.1.1-2 Emprego da equafáo aproximada da curvatura

Desse modo, para a simples determinação da carga critica, basta empregar a equação aproximada (5.1.1-2), obtendo-se, de acordo com a Fig. 5.1.1-3:

Page 166: Fusco - Estruturas de Concreto

y = C , sen k x + C, cos k x

com

y = O para x = O, logo C, = O

e

dy - - O para x = e, logo

dx I

X C, k k e = o

Fig. 5.1.1-3 Integraçáo d a equação aproximada da curvatura. resultando para a configuração fletida, com C , # O, o valor cos k = 0, logo

Para diferentes condições de contorno, obtém-se a expressão geral da fórmula de Euler

onde o comprimento de flambagem e,* é dado pela Fig. 5.1.1-4 para os casos mais usuais.

Fig. 5.1.1-4 Comprimentos de flambagem

As expressões anteriormente consideradas admitem implicitamente a existência de um comportamento elástico linear do material da barra. Isso será verdade enquanto a tensão critica de compressão uc,, for inferior ao limite de proporcionalidade f, do material, ou seja, enquanto for

*Esta é a atual n o t ~ ã o adotada pelo CEB. A NB-i reteve a notagáo anterior e,

Page 167: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 1 15' I

onde

i = = raio de giraçiio

t e A = - = índice de esbeltez 1

Quando ucfir = f,,, tem-se

A = A,,, = gE Conforme se mostra na Fig. 5.1.1-5, afórmula de Euler é válida para h 3 h,,,, pois

nesse caso a flambagem se dá dentro do regime elástico. Quando h < h,,,, a barra é menos esbelta, e ucnl > fo. hova-se que nesse caso a

expressão (5.1.1-4) ainda pode ser empregada desde que se substitua o módulo de elasticidade E pelo módulo tangente

GCdl i- TANGENTE

f c

GCdl

~ 6 0 ~ ~ 0 TANGENTE

f c .

)i :- I

Xl ,m

Fig. 5.1.1-5 Curva de flambagem

O que se quer salientar é que o fenômeno de instabilidade das barras retas P comprimidas axialmente pode ocorrer tanto com tensões menores quanto com tensões maiores do que o limite de proporcionalidade, sem que se altere a natureza do fenômeno, que é o da mudança da forma de equilíbrio.

Todavia, quando não mais existe a elasticidade linear do material, é possível provar-se que a mudança da forma de equilíbrio pode corresponder a um comporta- mento simétrico instável,l3 Fig. 5.1.1-6.

o = flecha de r e f e r ê n c l o

1

Fig. 5.1.1- 6 Flambage m além do limite F, dé proporcionalidade. I

Page 168: Fusco - Estruturas de Concreto

158 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Neste caso, para F > F,,, a forma reta de equilíbrio é instável e a forma fletidaé impossível.

Quando se pretende aplicar uma carga F > F,,,,, por menor que seja o acréscimo em relação a F,,,, será efetivamente atingido um estado limite último, pois a barra passará à forma curva de equilíbrio impossível.

5.1.2 ESTABILIDADE DA A fim de ser ilustrada a possibilidade de a existência de uma configuração de equilí- CONFIGURAÇAO brio, fletida e estável, para as barras originalmente retas e que foram comprimidas

FLETIDA DE EQUIL~BRIO axialmente, admita-se que após a flambagem exista uma linha elástica senoidal, Fig. 5.1.2-1.

Ix Com a hipótese adotada, têm-se:

/ F a. linha elástica

Fig. 5.1.2-1 Linha elástica senoidal. C. curvatura exata I i

71 y = a s e n - x (5.1.2-1) e

3 -a (+I2 sen 71 x 1 - - - dx2 - - (5.1.2-5)

r [1+(:)1"' [1+az(+)'cos2-x e

P

~ donde

b. curvatura aproximada

y = a . s e n C x 1 = d2y = rr t a ($1 sen-x (5.1.2-2)

r dx2 A

logo

1 E d2y = - (5) )1 (5.1.2-3) r dx2

Observe-se que o emprego da equação aproximada da curvatura permite estabe- lecer, para cada seção, a relação

Considere-se agora o carregamento progressivo da barra, após a ocorrência do fenômeno de flambagem.

A um aumento da força F corresponde um aumento das deformações da barra, aumentando conseqüentemente os momentos fletores atuantes, dados por ,,----+.

Y 1 y = k -

r (5.1.2-4)

Page 169: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE

cujo valor máximo vale

Os momentos fletores atuantes F.y são consideradosmomentos externos, porque são determinados pelas ações externas F e pelos correspondentes braços de alavanca, que no caso presente são definidos pelos deslocamentos y da barra.

A cada configuração da linha elástica corresponde uma certa distribuição de momentos fletores da barra. Em cada seção atua o momento

Neste caso o valor máximo age na seção a meio comprimento, sendo dado, com a hipótese de elasticidade l i n s p e l a expressão . - ,-- - -".

I Estes momentos - . E1 são considerados momento., internos, porque são de- !'

I

1 terminados pela rigidez E1 da barra e pela curvatura - da seção considerada. r

Em princípio, o equilíbrio da barra será estável se a um aumento do momento externo corresponder um aumento do momento interno, de tal forma que fique satisfeita a condição de equilíbrio

~ - - ~ -\

L-.__d Nas figuras seguintes está ilustrada a possibilidade de existência da configuraçáo

fletida estável. Para que o equilíbrio possa realmente ocorrer, as funções M,,, e Me,, devem

necessariamente se cruzar, sem que com isso sobrevenha a ruptura do material. a. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO SIMPLI- FICADA

A necessidade de cruzamentodas funções M,,,e M,,,mostraaimpossibilidadede se justificar a estabilidade da forma fletida de equilíbrio quando se usa a equação diferencial sim~lificada da linha elástica, Fir. 5.1.2-2. -

Pela equação (5.1.2-3), tem-se

/-,

'\ r

M,,, = F.y

da condição de equilíbrio

Me,, = M,,,

Page 170: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlCITAÇOES NORMAIS

obtendo-se assim o valor da carga crítica

embora fiquem indeterminadas as flechas para cargas maiores que a carga de flamba- gem, conforme se mostra na Fig. 5.1.2-2. b. COMPRESSÃO CENTRADA -REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO EXATA

Quando se usa a expressão exata da curvatura, têm-se as expressões:

a) COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ELÁSTI C0 - E quaçáo simplificada

Fig. 5.1.2-2 Estabilidade das formas de equilibrio

/

RUPTURA DO MATERIAL

Fig. 5.1.2-3 Estabilidade das formas de equilíbrio

Page 171: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 161

C) COMPRESSÃO CENTRADA - ( GCrl+>fo) - EOUAÇÃO COMPLETA

L;;- F U N T K ~ O - L ; N É A R PARA I I I ( rm,z f.

E s T i v I L M e x t = t,tint

f o = limite de proporcimali A"*

Fig. 5.1.2-4 Estabilidade das formas de equilibrio. I

'.-"-.! i 1 onde y pode, em princípio, ser calculado a partir da curvatura - dada pela expres-

r são (5.1.2-6).

Conforme se mostra na Fig. 5.1.2-3, enquanto subsiste o regime elástico as funções Me,, e Min, cruzam-se obrigatoriamente num ponto, o qual corresponde a configufação estável de equilíbrio. A estabilidade do equilíbrio é garantida pelo andamento retilíneo da função Mi,,, a qual sempre interceptará a curva de M,,, para

<I valores de F > FCtit

Note-se porém que o equilíbrio somente poderá existir de fato se não ocorrer a ruptura física do material. c. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ANELÁSTICO I

I No regime anelástico a função M., deixa de ter um andamento retilíneo, Fig. i

5.1.2-4. Desse modo, se a curva de M,,, tiver um andamento convergente com a curva de

Me,, correspondente a um certo valor F > F,,,, então será possível o equilíbrio estável da configuração fletida de equilíbrio, desde que antes não ocorra a niptura material. Neste caso a mudança de equilíbrio corresponde a um comportamento simétrico estável.

Pelo contrário, se as curvas de M,,, e Me,, tiverem um andamento divergente, elas não se cruzarão, não existindo equilíbrio estável para F > F,,,. Neste caso, tem-se um comportamento simétrico instável.

5.1.3 FLEXAO COMPOSTA Considerando-se a flexo-compressão de barras esbeltas em regime elástico, Fig DE BARRAS ESBELTAS NO 5.1.3-1, as suas flechas podem ser determinadas pela equação diferencial

REGIME ELÁSTICO ." . .

Page 172: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

e,: O

FC,,I, EULER

1.0

Fig. 5.1.3-1 Flexáo composta de barras esbeltas no regime elástico.

onde

que pode ser escrita

sendo

A equação diferencial (5.1.3-3), por ter segundo membro, permite o cálculo das flechas mesmo com o emprego da expressão aproximada da curvatura. No entanto, conforme mostra a Fig. 5. 1.3-1, a equação simplificada da curvatura leva à falsa idéia de que a carga crítica de Euler, correspondente a compressão axial, tenha algum significado físico na flexáo composta.

O resultado obtido com a curvatura aproximada -! = dZy r dx2'

lim a = m

F - F,,,

não tem significado físico real, como se comprova pelo emprego da expressão c u r v a t u r a 3 g J J,3=l, / C!nclui-se, desse modá que enquanto o m>al permanecerno reg^ e l á s t i c a

I nao existe problema de instabilidade na flexáo composta. Chegaremos novamente a essa mesma conclusão no item seguinte ao analisar a estabilidade da configuração / fletida das barras submetidas a flexão composta. /

--

Page 173: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 163

5.1.4 INSTABILIDADE NA Considere-se agora o problema da estabilidade da configuração deformada das barras FLEXÃO COMPOSTA submetidas ã flexo-compressão.

Para isso, admita-se inicialmente que a barra tenha uma linha elástica senoidal, Fig. 5.1.4-1.

Fig. 5.1.4-1 Barra de eixo senoidal,

A hipótese de que a linha elástica seja senoidal é admitida, de inicio, como mera simplifícação.

Esta simplificação, mais o emprego da expressão aproximada da curvatura levam a uma expressão linear do momento externo Me,, em função da curvatura llr.

Com a hipótese adotada, têm-se:

, ,-

y = a sen- x

i b. curvatura aproximada

Para a justificação do aparecimento do fenômeno de instabilidade na flexão composta, pode-se admitir a expressão aproximada da curvatura. Na continuação deste item esta restrição será eliminada, juntamente com a hipótese de ser senoidal a linha elástica.

Admitindo-se então a expressão aproximada

resulta

Page 174: Fusco - Estruturas de Concreto

ou seja, em valor absoluto,

Enquanto perdurar a validade da equação diferencial aproximada (as rotações dy/dx deverão ser desprezíveis em face da unidade), o momento externo Me,, será uma função linear da curvatura da seção.

De fato, sendo e, a excentricidade inicial de I.a ordem, tem-se

= F (e, + y) = F.e, + F - - (3 : 1 obtém-se para Me,, a função acima, que é linear da curvatura- , conforme se mostra

na Fig. 5.1.4-2. r

RUPTURA DO MATERIAL

r E o u a C Ã o aPROxiMAOA o a C U R V A T U R A 1 ~ a u ~ ~ í s ~ i o E S T Á V E L

E L A S T I C A NAO-SENOIOAL

FLEXO- WMPRESSÁO NO REGINIE ELÁSTQ NXO HÁ PROBLEMA DE ESTABILIDAPT

RUPTURA DO M4TERIAL

EQUIL~BRIO I N S T ~ V E L

E O ~ ~ L ~ B R I O ESTÁVEL

FLE x o -CDMPRESS;O

com r m o x . 7 f e

INSTABILIWDE NA FLEXO- W M P R E S ~ Q

Fig. 5.1.4-2 Instabilidade na f l e x o - c o m p r e s s ã o ,

Page 175: Fusco - Estruturas de Concreto

Para ser verificada a estabilidade das formas de equilíbrio, considere-se a possibi- lidade de ser mantido o equilíbrio, dado pela condição

quando é dado um acréscimo a M,,. Enquanto a barra permanecer no regime elástico, sempre haverá uma configura-

ção de equilíbrio estável, pois M,,, também será uma função linear das curvaturas. Nesse caso, uma situação de mína somente poderá ser alcançada por ruptura do material, Fig. 5.1.4-2. Pelo coneário, se for ultrapassado o regime de proporcionali-I \ dade, o diagrama de M,,, passará a ser curvo, surgindo então um novo fenômeno de \ instabilidade.

Na Fig. 5.1.4-2, esse fenômeno de instabilidade na flexão composta é caracteri- zado pela existência de uma carga F,,, para a qual a reta Me,, é tangente a curva M,,,. Para F < F,,,épossível o equilíbrio estável, e para F > F,,,, o equilíbrio é impossível.

~ -

Observe-se agora que o emprego da expressão exata dacurvatura ou a considera- ção de uma lei não-senoidal para a linha elástica não altera os resultados anteriores. De fato, abandonando-se as hipóteses simplificadoras a expressáp Me, deixa de ser

1 linear em funcão de - . Esse fato não altera a circunstância de sempre existir o r 1

equilíbrio estável enquanto M,,, for uma função linear de - . Somente a não-linearidade da função M,, permitirá o aparecimento do ponto de

tangência entre as funções Me, e M,,,, seja Me,, uma funçáo linear ou não, como se pode observar na Fig. 5.1.4-2.

Na Fig. 5.1.4-3 estão reunidas todas as conclusóes tiradas sobre os diferentes fenômenos que podem ocorrer com as barras comprimidas.

a COMPRESSÁO CENTRADA - REGIME E L / ~ S T I C O - EOUAJO SIMPLIFICADA

@ COMPRESS~O CENTRADA - REGIME ELASTICO - EOUAGLO COMPLETA

FLEXO- COMPRESSÁO - REGIME E L Á S T I C O - E Q U A Ç ~ O SIMPLIFICADA

F L E X O - ~ M P R E S S ~ D - REGIME E L A S T I C O - EQUACÁO COMPLETA

COMPRESSAO CENTRAOA - REGIME ANELÁSTICO

@ FLEXO-COMPRESSÁO - REGIME ANELÁSTICO

Fig. 5.1.4.3 Estabilidade das formas de equillbno

Page 176: Fusco - Estruturas de Concreto

Observe-se, Fig. 5.1.4-3, que no caso de flexo-compressão o equilíbrio é impossí- vel para F > F,,. O ponto B não corresponde a uma mudança da configuração de equilíbrio estável, mas sim a uma reversão do andamento das deformações. Antes de c

se atingir o ponto B, isto é, para F < F,,,, a um aumento de F corresponde um aumento da flecha a. Pelo contrário, após ser atingido o ponto B, não somente é impossível aumentar a carga, como a própria manutenção do equilíbrio somente será possível com um sistema de deformaçáo controlada, pois o aumento das flechas corresponde a uma diminuição das cargas.

Conforme se mostra na Fig. 5.1.4-2, o fenômeno de instabilidade na flexáo composta é caracterizado pelo fato de que, para uma dada excentricidade inicial de l.a ordem e, , existe um valor máximo daforçaaxial além doqual o equilíbrio é impossível.

Conseqüentemente, para uma dada força axial F = F, = constante, existe uma excentricidade máxima de l.a ordem, além da qual o equilíbrio é impossível. Essa é a excentricidade e,, .dt indicada na Fig. 5.1.4-4: com F = F,, para e, > e,, .,, não há equilíbrio, e para e, < e,, ,,, o equilíbrio é estável.

-1 ext

E q u l l i b r l o eat8ve1

I y = k r

Fig. 5.1.4-4 Valor crítico da excentricidade de I . a ordem.

Na Fig. 5.1.4-5 está ilustrado o aparecimento do fenômeno de instabilidade em '

função do momento fletor de I .a ordem M, = F e,.

M, 'MOMENTO FLETOR DE

I I g ORDEM

RU~NA POR RUPTURA

DESLOCAMENTOS + ESTADO LIMITE Ú L T I M O D E

R U P T U R A

M , =MOMENTO FLETOR DE

I I! ORDEM

/ RU~NA POR INSTABILIDADE

ESTADO L I M I T E ULTIMO DE I N S T A B I L I D A D E .

Rig. 5.1.45 Estados Ilmltes últlmos na flexo-compressão

Page 177: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 167

A presença do ponto de máximo relativo no diagrama da Fig. 5.1.4-5 indica que o equilíbrio é impossível para o momento de l .a ordem M, > M,, ..,, e que o aumento das flechas além do valor correspondente a M,, ,,, somente seria possível em condições de deformações controladas, para as quais haveria redução automática do valor de M,.

Para uma dada força normal F = F,, a segurança contra o estado limite último de instabilidade na flexão composta é garantida impondo-se a condição de que, na situação de cálculo,

M,, d Mi, .,t a De forma prática, conforme serávisto adiante, isso é feito levando-se em conta os

momentos de 2.a ordem no dimensionamento das seções transversais das peças submetidas a flexo-compressão.

5.2 DEFORMAÇ ÕES Nota: A presente seção apresentaapenas os conceitos essenciais referentes ao cálculo

NA das deformações das peças fletidas que são necessários ao entendimento dos métodos

FLEXO-COMPRESSÁO de cálculo da carga crítica relativa a instabilidade na flexão composta. O estudo geral da deformabilidade das peças de concreto estmtural será feito

posteriormente, ao se estudar a segurança contra os estados limites de utilização.

5.2.1 DIAGRAMA Considere-se a deformação de uma barra submetidaàflexão simples. Da Fig. 5.2.1-1, MOMENTO FLETOR- com as convenções de sinais nela indicadas, têm-se:

Por outro lado, considerando o alongamento da fibra T D , tem-se:

resultando então

logo

Aplicando a expressão acima as fibras extremas, têm-se:

pois c , < O e y, < 0, bem como E, > O e y, > O. Desse modo, resulta

No caso de uma viga de concreto armado, com deformações extremas E , no concreto comprimido e E, na armadura de tração, resulta a (5.2.1-3)

onde e E, sáo considerados em valor absoluto.

Page 178: Fusco - Estruturas de Concreto

7

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES ~ORMAIS

6 O ALONGAMENTO FLEXÁO SIMPLES

Fig. 5.2.1-1 Curvatura na flexão simples

Admitindo a linearidade física do material, têm-se I

que é a equação diferencial da linha elástica das barras fletidas. Dentro do regime de elasticidade linear o cálculo das flechas pode ser feito, seja

por integração direta da linha elástica, seja pela aplicação da analogia de Mohr.

5.2.2 CÁLCULO DE A Fig. 5.2.2-1 mostra o diagrama tensáo-deformação de um material que apresenta FLECHAS COM escoamento bem definido e o diagrama momento fletor-curvatura correspondente a

NÁO-LINEARIDADE um dada seçáo transversal retangular. Para tensóes acima do limite de proporcionali-

FíSICA dade, o diagrama é determinado por pontos, impondo-se o diagrama de

deformações na seçáo transversal e calculando-se o correspondente valor do mo- mento fletor.

O momento fletor Mo correspondente ao inicio do escoamento vale

e a respectiva curvatura é dada por I

Page 179: Fusco - Estruturas de Concreto

O momento fletor último vale

ou seja

sendo I

1 O RUPTURA

E I I

I I

I I I

I I I - I r

I L : 2 - I

r. r" r.

Fig. 5.2.2-1 Diagrama momento-curvatura. I I

L/ Para o cálculo das flechas de uma dada viga, Fig. 5.2.2-2, a partir do diagrama r de momentos M, conhecendo-se o diagrama correspondente a seção consi-

derada, determina-se o diagrama de curvaturas

.. p

r obtém-se a flecha por meio da analogia de Mohr.

/' /"

Page 180: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 5.2.2-2 Determinação do eixo deformado no regime anelástico.

5.2.3 DIAGRAMA Conforme se mostrana Fig. 5.2.3-1, naflexo-compressãoacurvaturadabarranãovai MOMENTO FLETOR - depender da deformação total E de suas fibras, mas tão somente da diferença E - 80

FORCA NORMAL - entre a deformação total e a deformação da fibra situada no nível do centro de , CURVATURA ou seja, tem-se

Fig. 5.2.3-1 Curvatura na flexo-campressáo. i I

Desse modo, resultam as seguintes condições de compatibilidade de deforma- ções em função da curvatura: i no concreto

1 - 8 - E - - eu logo r YC

na armadura

1 - &ai - E0 - - - logo r Ysi

Page 181: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 171

e uma vez conhecidos os diagramas tensão-deformação, tanto do concreto quanto do aço, ficam determinadas as tensões

Por outro lado, das condições de equilíbrio na flexo-compressão, têm-se:

N = 1 o, d A, + 2 o, A,,

Desse modo, os esforços solicitantes M e N podem ser escritos ~~~.

~~ - ~~~ ~~~ ~ ~~~ \

\. _-------A- __--/ / _ ,' . _ /

As expressóes acima permitem a determinação de M e de N em função de -, P . 2 i -~ - , - ~-

tomando-se E~ C mo parâmetro a ser determinado por condições limitès; .~ .. O parâmetró E, é determinado a partir das condições

_ _ _ .

T~.-~-~- - Yc1 i Ec, m a r . = 80, m o s . + - s E c d . tim = (3,5%0 S EC,~ S 2%0) L -~./~-.: r . . . J

-~ ~~~

OU -. -~

Ysi 2 < &si, mas. = &O, mo*. + - - E*& li", = '7 10%o

, r

~. . . . -- 1'

onde y , , e y,, , , são as ordenadas extremas referentes, respectivamente, ao concreto mais com~rimido e a armadura mais tracionada.

Com as expressóes acima podem ser determinados os diagramas

para uma seção transversal conhecida, pelo processo iterativo seguinte:

4 (1)

1 Adota-se um valor de,

i (2) Adota-se um valor de E,,

i (3) 1 Calculam-se M e N (para o valor T- escolhido)

h

(e, , = e,,, ,,..I r - - - - - - - - - - - - - - - - -

(5) I Adota-se um novo valor de f - - - - - - - - - - - -

1 (4) Adota-se um novo c,>(até se chegar a e ,,,,,)

( E , , < E,>. ma.

Page 182: Fusco - Estruturas de Concreto

C E B B o l e t i m 103 ( v i d e a notacão n o ) FIG 5 . 2 . 3 - 3

TAáLE 2:::-1 I;Ci:'.::T-:3tiil':i.,:i:SsE FGR 4 = O and 4 r 2 , RECTANGULAR

SECTION,COXNER REINFORCEMENT c 6 = 0.2 % d'/h = 0.1 )

" . . . . . . . . . . . O . . . e . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . , . . ,"&%C.N " m o o * "-.-4..- .-.-_IA,". . , l " -Ci - C ? - . - . * *" . - r ' . C . , r i " C - ~ r i e o - - o r n e . R - - * - *-.,=C - c < - * . L - , % - - a - : o < w . .- - --r" .. N ?v -.--,N . - - w . . --h?, .. N?..., - . . . . . S . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . C - O * C r i O.,*IDn ir*<.,,-, . , r * < - o . c . . . > ? . r . ' - ir.-.,?...

. - * - O U 0 m - O o v , o .,=r,un < - * N u r . n o n - n a o r o u n r . L n m*,v,u.. - - 7 - . - - A , - - - A , -.--,., -A,-." .. .. - N - m .. - a. e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . e . . . . . . . . . O C O a n .,e.--o n a & " - h.Od".* D . " . > N C L I 0 C . T . c-.-.... h C F . C I I

N " - L < O - . . - N " c 3 - " C . - - E r n ' L . * " o " . - F . " - C - > ) - N E - - r C * - " - - O - - - N -.--,v .-L-- C N N C I - -h - - C - 5 v . m ..-.,,-. . . . S . . . . . . a , . . . e . . . . . . . . . . . . S . . . . . . . . . . . . *"-"L., . , . ,C"* U I \ . C N N -C+.,- * " V N Y 0 m . r ) r . U .-..C.*" ","".-.,,

,.?.-,O *e..,-o e . -,,.o.., .-N?"- c*..-.-- "C,,. ... 4-.".n - .--N - - N N . -ZN,? C-- . - ._ -L-,.,- ---.C. C-...".

. . . . . . . . . a . . . . . a , . . . . . . . . . . . . . a , . . . I C . O L " Y . " *-..r.- <.,r-- * - - - a C L C O W . * e . . - r - n . 0 C I I U l . P C . . - . - -

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r -,..,"a O"*.,,. 4 0 0 4 . - " - N O . C Q m O - ,.-.,,,r " O r o - ---.,o - - c-.-," - - * N " --.v.."

O - 0 a ~ a 4 a o - - - n N O - * - n c n - o m r - m o m a n - o - .--.wm -*nn : : ............... . . e . .

. e . . . . i . * . 0'. r( .. n e

Fig. 5.2.3-2 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura

Page 183: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 173

Fig. 5.2.3-3 Diagrama momento fletor-for$= normal-curvatura.

Page 184: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 5.2.3-4 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura

Fig. 5.2.3-5 Diagrama momento fletor-força normal-curva!

Page 185: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 175

IA1 Na Fig. 5.2.3-2 estão reproduzidos os dados correspondentes aos diagramas .\

(M - N - - de seções retangulares com armaduras iguais concentradas nos qua- l) r

tro cantos da secão. Algumas das funções tabeladas na figura anterior sáo apresentadas na Fig.

5.2.3-3. Observe-se que, de início, para valores baixos da força normal, para uma dada

curvatura, a um acréscimo de N corresponde um aumento de M. Todavia, para valores de v > 0,5, esta tendência se inverte. A um aumento da força normal

corresponde um abaixamento do diagrama , diminuindo também a rotação

última que pode ser atingida pela seçáo transversal.

As Figs. 5.2.3-4 e 5.2.3-5 mostram os diagramas correspondentes

a seções retangulares com armadura simétrica, nos casos, respectivamente, de aços CA-50A e CA-SOB, para uma taxa mecânica o = 0,2.*

5.2.4 CARGAS DE LONGA Na presença de cargas de longa duração o concreto sofre aumento de deformações ao DURAÇAO longo do tempo. Com isso, são aumentados os momentos fletores de 2.a ordem e,

conseqüentemente, fica diminuído o valor critico dos momentos de I . a ordem, Fig. 5.2.4-1.

e, = EXCENTRICIDADE DE I ORDEM.

er = EXCENTRICIDADE DE 29 ORDEM. IOEFORMAFXO INSTANT~NEA i e = EXCENTRIC IDADE DE 29 ORDEM (FLUÊNCIA)

\

CARGA OE LONGA

..

e,+% * a + et+ e*,,

Fig. 5.2.41 Cargas de longa duração.

No caso da Fig. 5.2.4-1, a parcela F, da carga age em caráter permanente, reduzindo a parcela F, da carga variável que posteriormente poderá ser aplicada. Para a determinação da influência da deformaçáo lenta admite-se a teoria da deformaçáo

'Diagramas elaborados pelo Eng. Roberto Buchain nodesenvolvimentode sua Disserta~áode Mestrado na EPUSP. soba 0"e"tagào do Autor 'O

Page 186: Fusco - Estruturas de Concreto

JBTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

lenta linear, onde

E,, = 'P E,

sendo <p o coeficiente de deformação lenta. Para a determinação da carga critica pelo método geral, pode-se proceder da - mesma maneira que no caso de deformações instantâneas, admitindo porém o dia-

grama tensão-deformação do concreto, conforme se indica na Fig. 5.2.4-2. Esse diagrama é obtido a partir do diagrama parábola-retângulo por meio de uma afini- nidade paralela ao eixo das deformaçõesLNa_Fig. 5.2.3-2 já foi apresentada uma

tabela (M - N - .!) comespondente a p = \

\ Fig. 5.1.4-1 Diagramas tensão-defurma$ão. c ri r lp 3 SQ

a Observe-se que, embora seja adotada a teoria linear da fluência, essa linearidade é apenas referente a deformabilidade do material. Não existe a linearidade física do sistema e, além disso, não é válido o princípio da superposição dos efeitos, pois não existe a linearidade geométrica, a qual não pode existir quando são considerados efeitos de 2.a ordem. Por esse motivo, sendo e, a excentricidade instantânea de 2.a ordem, essa deformação ao longo do tempo não será obtida multiplicando-se o valor e2

Page 187: Fusco - Estruturas de Concreto

por (1 + v), pois a fluência afeta apenas uma das parcelas das deformações que definem a curvatura, sendo genericamente

Tendo em vista a simplificação do cálculo, o CEB* apresenta dois métodos aproximados para a consideração da fluência. Num deles transforma-se o efeito da fluência numa excentricidade suplementar equivalente. No outro admite-se a expres- são acima, tomando-se porém em lugar de (1 + (P)E< O valor-(i + apV)&,; onde a é a fração da força normal que produz fluência e é a fração do momento fletor que também produz fluência.**

5.3 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA

PELO MÉTODO GERAL

5 3.1 FUNDAMENTOS DO A determinação da carga crítica pelo método geral é feita através do cálculo de METODO GERAL deformações da estrutura, considerando-se tanto a não-linearidade física do material

quanto a não-linearidade geométrica do sistema. O método geral é aplicável a qualquer tipo de estrutura, podendo portanto ser

empregado para a determinação da carga crítica de barras de seção variável com qualquer tipo de carregamento, Fig. 5.3.1-1.

Observe-se todavia que o trabalho material necessário a aplicação do método geral é muito grande. Por esse motivo, no caso de pilares de seção variável, é recomendavel o emprego do método doguilíbrio_pm o processo do deslocamento de referência, conforme está m"oSfi"d~ no item 5.5.1.

Fig. 5.3.1-1 Casos de aplicação do método geral I -cro - c6digo Modelo. * *A aplicação sistemática desses m é t d o r aproximados será feita na 3.a pane deste volume. ao se tratar do dimensiona- mento de pilares não-contraventados e de estruturas de contraventarnento.

Page 188: Fusco - Estruturas de Concreto

Em princípio deve ser determinado o diagrama carga-deslocamento, adotando-se para isso um parâmetro a que represente o carregamento aplicado e escolhendo um deslocamento y que sirva de referência para aaferição daestabilidade daconfiguração de equilíbrio, Fig. 5.3 .1-2 . Este é o fundamento do processo de carregamento progres- sivo adiante considerado.

Fig. 5.3.1-2 Processo de carregamento progressivo.

A presença de um ponto de máximo relativo nesse diagramacaracteriza ainstabi- lidade do sistema, podendo assim ser determinada a carga crítica correspondente.

a determinaçáo da carga crítica pelo método geral, em alguns casos é conveniente do carregamentoprogressivo proporcional, adiante descrito, Fig. 5.3.2-1.

exato e deve ser empregado em peças de grande esbeltez ou que variável ao longo do seu comprimento. O processo é

a. O carregamento da estrutura é aplicado por incrementos progressivos AF,, par- tindo de zero e aumentando-se todas as açóes proporcionalmente ao mesmo coeficiente a , tomando como carregamento de referência, por exemplo, as cargas F de serviço. 4

b. Para cada etapa de carregamento a F , calcula-se o deslocamento y,,de uma seção de referência. Para o cálculo da flecha y,, correspondente ao carregamento a,.F = AF, + AF, + . . . .AF,, além dos efeitos de I .a ordem devidos a cargaa,.F são considerados os momentos de 2.a ordem decorrentes das deformaçóes devidas ao carregamento a,-,.F da etapa anterior.

amento crítico é obtido através do valor a,,,.F para o qual tend diagrama carga-deslocamento.

do método exato, basta ter-se a disposição meios para o cálculo

.$ do deslocamento y de referência.

é suficiente o conhecimento da analogia

apenas da grandeza dos incrementos .i

de carga aplicados. Quanto menor o valor desses incrementos, maior será a precisão conseguida.

Nas estruturas hiperestáticas, em cada etapa de carregamento deve sei resolvida a estrutura, considerando-se simultaneamente a não-linearidade geométrica do sis- tema e a náo-linearidade física do material.

Page 189: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 179 1

I? ETAPA

Fl

F, . e ,

no ETAPA

AF, +.. AFn

CARREGAMENTO APLICADQ

~ i g . 5.3.2.1 Processo das excentricidades progressivas

No processo de carregamento progressivo proporcional, as excentricidades das car- gas são mantidas constantes, com seus valores verdadeiros, variando-se apenas o

PROGRESSIVAS módulo das forças aplicadas. Em princípio o carregamento critico também pode ser determinado mantendo as

cargas constantes, com seus valores de cálculo, variando-se progressivamente as excentricidades de ordem, até serem atingidos os seus valores cnticos e,, ,,,

Page 190: Fusco - Estruturas de Concreto

Esta outra formulação do método geral é aqui apresentada com a finalidade de se ilustrar a determinação do carregamento critico quando se faz constante o valor da força normal, variando-se apenas a excentricidade de ordem.

A Fig. 5.3.3-1 mostra um exemplo de aplicação. Como no processo anterior, o cálculo é feito por etapas. Na primeira etapa

aplica-se a excentricidade e,, , = Ae, e calcula-se a flecha y,, de uma seção de referência, desprezando os efeitos de 2.a ordem. Nas etapas seguintes, considera-se a

CARREGAMENTO APLICADO no ETAPA

LF K-- F~" . , Ee, ,"

CARREGAMENTO APLICADO

DESLOCAMENTO CALCULADO

~ig.5.3.3-1 Etapas do processo do carregamento progressivo.

Page 191: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 1%

deformação da estrutura provocada pela excentricidade da etapa anterior. O valor crítico da excentricidade é obtido como o valor assintótico e,, ,,, do

diagrama (e,, ., Y,). É importante assinalar que, uma vez conhecido o diagrama (e,, y), também pode

ser construido o diagrama (M, y), Fig. 5.3.3-2, onde

pois

Mi = F.y

Rg. 5.3.3-2 Determinaçáo do valor cntlco do momento de 1 " ordem

Reciprocamente, se puder ser traçado o diagrama (M, y), pela subtração do momento de 2.a ordem M, = F.y, pode ser obtido ovalor crítico M,, ,,,. Esse caminho

.,.., será seguido no processo do pilar padrão, examinado a seguir.

a

Obseri h,,. -:I

da seç

Conforme foi visto anteriormente, a aplicação do método geral de cálculo com o i processo exato de carregamento progressivo proporcional exige, em cada etapa de

carregamento, o cálculo das deformações da barra por meio da integração do diagrama de curvaturas. O trabalho material resultante é em geral excessivo para o cálculo manual.

Tendo em vista uma simplificação do método geral, criou-se o conceito depilar padrão, aplicável a barras de seção transversal constante, inclusive a armadura, ao longo de todo o seu comprimento.

,*r a_~e&ítZ":

Pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que

P provoque na sua extremidade livre, Fig. 5.3.4-1, uma flecha a dada por p . 2 ,- ' -"

2 ez e: I. . -a = 0.4 (T) = - (-) (5.3.4-1)

base 10 r .se .% ---~.~~ ,

~ação: i v u piar padrão admite-se que a flecha máximaa seja uma função linear da curvatura

Fig. 5.3.4-1 Pilar pidráo. ão da base.

Page 192: Fusco - Estruturas de Concreto

182 ESTRUTURAS DE CONÇRFTO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

b. Fundamento do conceito: Frequentemente a linha elástica na flexão composta pode ser substituída de forma satisfatória por uma função senoidal, Fig. 5.3.4-2. Desse modo, sendo

têm-se:

?T '7r y' = -a - cos - x e e

y" = a - sen - x (3 * I e fazendo

obtém-se a curvatura da seção média

Nessas condições, a flecha máxima a pode ser escrita sob a forma

\'xz-l- 1 -----..- _L

Considerando-se agora a viga em balanço, sendo

resulta ,+ ,- / . +fl-

.h-+' eZ a = L ($1 10 nose

.O\>.

" i ~ o n A i - s e , pÓrtanto, que o pilar padrão é um pilar em balanço, com uma linha

elástica senoidal. A flecha máxima, que depende apenas do seu comprimento e da curvatura da seção de engastamento, é uma função linear dessa curvatura na seção da base do pilar.

5.3.5 PROCESSO DO PILAR O processo do pilar padrão segue o caminho delineado anteriormente com o processo PADRÃO (COM O MÉTODO das excentricidades progressivas. A possibilidade de ser seguido esse caminho de-

GERAL) corre da propriedade básica do pilar padrão, a saber:

- Yestremidade l iure = (5.3.5-1) / .*' - , .~ *,-

. /" Desse modo, pode se; construido o diagrama da Fig. 5.3.5-1, diretamente a

partir do diagrama da seção transversal da base do pilar padrão, sem

a necessidade de integração das curvaturas ao longo do comprimento do pil,

Page 193: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 183

Fig. 5.3.5-1 Método geral com o processo do pilar padrio.

Para uma dada seção transversal, sendo conhecido o diagrama

mitindo-se um certo valor d a força normal N, pode ser traçada a curva do mo- mento interno resistente

Mj,, = função -

O momento externo solicitante vale

Mmt = M I + MZ

onde

M, = momento de I .a ordem

M, = momento de 2.a ordem

Na seção da base, tem-se

i/ L,' lembrando que se admite que a força normal N = F não fique alterada por efeitos de 2.a ordem.

Admitindo-que se tenha um pilar padrão, será

logo . . ~. .. C- ^ .- ~:,

%-. e: ?+? M2, .a* = N - (+) :.

" n s r . . C_<%j.. ..

1 o . . Desse modo, Fig. 5.3.5-1, na seção da base, do momento interno disponível Mjnt,

Page 194: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS

restará para as solicitaçóes de 1 .a ordem a parcela

M1. bme = M i l - Mz, base - cujo valor máximo M,, C,, corresponde ao estado limite último de instabilidade. Com esse cálculo foi obtido 1 ponto do diagrama de interação (N, M,),,,,, para um certo valor de e,, Fig. 513.5-2.

Fig. 5.3.5-2 Diagramas de interaçao.

Repetindo o cálculo para diferentes valores de N, tem-se o diagrama de interação da seção considerada, parateconhecido, Fig. 5.3.5-2. Nocaso de seçóes transversais que difiram apenas pela taxa de armadura o, podem ser traçados diagramas adimen- sionais de interaçã-o (P,, vcrit)r + e m p ~ e w : p ? ~ ~ - ~ _ d a d o 0 ~ ~ ! ~ ~ , ~ ~ o m p ~ e n t o .. . ~. de f l a e a g e m . %---- daj-eça, -~. Fig__3.5,2,-. .-

. Para a apresentação dos resultados, em lugar dos diagramas de interação sugeri- dos pela Fig. 5.3 5 2 , podem ser adotadas tabelas de interaçáo, como a que é mostrada na Fig. 5.3.5-3, a qual foi realmente calculada com o processo do pilar padrão."j~17

As Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5 mostram diagramas de interaçáo calculados apartir dos diagramas (momento fletor-força normal curvatura) calculados para os aços nacio-

1i nais, conforme indicado em B 5.2.3.18

3 Note-se, finalmente, que o processo do pilar padrão com o método geral condu- zirá ao resultado exato se a linha elástica for realmente senoidal. Isso acontecerá quando a barra for de seçáo transversal constante e náo houver cargas transversais. No caso de existirem cargas transversais, o processo pode ser melhorado, chegando- se ao chamado "processo do pilar padráo corrigidoM.*

'CEB - Manual de Flarnbagern.'" ''

Page 195: Fusco - Estruturas de Concreto

O m ." * - o O .i 4

S . .

C. Q N

C. C W O - o - l V S . .

0 fl: n o--N o c n c r - * * .... 1 0 n m - * " > N O 4: O-.",

d .... *I , - l

H * ? - D Q O . O-. i ."r , - . . . e .

O * O O O o

" ." O .- o "

m - N .i N '. O I, " O O O . . . . 1> 0 r I ',I ,V -VI 0 - . . O 0 . .

r-0.8" O IZ w m in n C o o - o o

e . . . . n o m ONVI VI a" a> o .- -."o

- 0 - 4 ... ... YICNN m c n i" - "> N NC O 0 0 - N 00- .... S . .

22:: C O J V I O r r . N

O U, C1 O o--.- .... ....

-.,as- o o n ? N D m - m ?.,rn* I 1 - U N 0 0 - r ..... . . e .

~ . ~ N Y o . a a ~ n - . , - m i l - O * O Q N O d - N n o o i i - N ..... , .....

. . e . . . - L . ~ . ..

Page 196: Fusco - Estruturas de Concreto
Page 197: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 5.3.5-5 Diagramas de interação (M,,, N,) para pilares esbeltos.

- ,.. ..

Page 198: Fusco - Estruturas de Concreto

188 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

5.3.6 EXEMPLOS Apresentam-se a seguir exemplos de cálculo, nos quais são empregadas as tabelas da Fig. 5.3.5-3, que foram preparadas empregando-se o processo do pilar padrão com o método geral.

, -' I /EXEMPLO NQI.

Fig. 5.3.6-1 Exemplos.

fck = I5 MPa = 1,5 kN/cm2 y, = 1,4 f,, = 1,07 kN/cm2 ,

0,85 fcd = 0,91 kN/cm2

I ACO CA-SOA (fUd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2) 1

Considerando a excentricidade adicional e,, sendo 1

J tem-se: e, = e, + e, = 13 + 2 = 15 cm.

Calculando-se os valores reduzidos:

I N = 0 , 1 k d 1 MPa = I MNlm" IOkgflcm' I k N = I W k g f = O , l t f I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm I kN.m = 100kgf.m = 0.1 tf.m I kNlmZ= 100Wlm" =0.1 tflm2 I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N l m h 11M kgflm5 = 0.1 tflm'

I MPa = 0.1 kN1cm2 = 100 Nlcm'

I

Page 199: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE

Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolaçáo entre os valores apresentados, obtêm-se:

8,lh = 600160 = 10

v. = 035 (entre v, = 0,80 e v, = 0,901 o, - 0,29 /

A,, ,O,,, = 2134 cm2 = 4 x 5,46 cmZ = 4 x 3 + 16 (4 x 6,0 cm2) v - /

b. Exemplo n." 2 . e, = e,, = 5 cm -

A excentricidade de I .a ordem vale:

;Y g , 6 6 ~ = - = e , = e i + e , = 5 + 2 = 7 c m /

6 2 logo

( - v , = 035 v'

J A,, ,,,, , = 2 A, = 2 x 14.69 = 29,37 cmZ

Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolação entre os valores apresentados, obtêm-se:

A,, ,O,,, = 29.37 cm2 = 4 x 7,34 cm2 = 4 x 3 4 20 (4 x 9,45 cmz)

8,lh, = 600130 = 20

v. = 035

p o = 0,198

5.4 CÁLCULO DA CARGA CRITICA

PELO MÉTODO DO EQUILIBRIO

o, = 0.39 /

5.4.1 O MÉTODO DO Conforme foi visto no item anterior, adeterminaçáodacarga crítica pelo métodogeral EQUILIBRIO exige sempre o traçado completo de um diagrama esforço-deslocamento.

"- fato. com o processo exato do carregamento progressivo deve ser traçado o

Page 200: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

diagrama completo (F, y). Com o processo exato das excentricidades progressivas deve ser traçado o diagrama completo (M,, y). Com o processo do pilar padrão, que é suficientemente preciso apenas quando a barra é de seção transversal constante, inclusive a armadura, e não existem cargas transversais aplicadas, também deve ser *' traçado o diagrama completo . A vantagem do processo do pilar padrão

reside no fato de que a obtenção do diagrama M,, - é muito menos trabalhosa ( :) que a do diagrama (M, y) ou do diagrama (F, y).

A idéia central do método do equilíbrio é proceder à verificação da segurança contra o estado limite de instabilidade sem o traçado de um diagrama completo esforço-deslocamento. O método do equilíbrio faz a verificação, calculando apenas 1 ponto desse diagrama.

1 5.4.2 MÉTODO DO Conforme já se sabe, a carga crítica pode ser calculada pelo método geral, !, EQUILIBRIO. PROCESSO empregando-se o processo do carregamento progressivo ou o processo das excentri- ',.DO DESLOCAMENTO DE cidades progressivas, conforme se ilustra na Fig. 5.4.2-1, a qual resume as idéias já

REFERÊNCIA discutidas anteriormente. ,~

'*. Com ambos os processos a carga crítica é determinada quando a flecha y , da

seção de referência tende a uma assíntota paralela ao eixo das abscissas. O método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência consiste

em se garantir a segurança contra o estado limite de instabilidade através da verifica- ção de que, sob a ação do carregamento de cálculo F,, ou da excentricidade de cálculo e,,, a flecha y,,, , da seção de referência corresponde a uma configuração estável de equilíbrio.

Fig. 5.4.2-1 Processa do deslocamento de referência

Page 201: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 191

Com isso, calcula-se apenas um ponto do diagrama esforço-deslocamento, con- forme mostra a Fig. 5.4.2-2.

Para a constataçáo da estabilidade da configuraçáo de equilíbrio, procede-se por etapas como indicado na Fig. 5.4.2-3.

Fig. 5.4.2-2 Modos de aplicação da processo

desconhecida

f F d YFd YFd colculo de y , cálculo d e y

2 cálculo d e y

n

I* E T A P A Z " E T A P A n 9 E T A P A

rig. 5.4.2-3 Etapas do processo do deslocamento de referência.

Page 202: Fusco - Estruturas de Concreto

Na primeira etapa calcula-se o deslocamento y, considerando apenas os efeitos de l .a ordem. Qualquer que seja o tipo de carregamento ou de variação de seçüo

transversal, dispondo-se dos diagramas M N, - podem ser calculadas as fle- ( , i) chas y,.

Na segunda etapa já se considera a configuração da barra com as deformações calculadas na etapa anterior e assim sucessivamente.

As flechas calculadas y,, y,, ... , y ,_,, y, constituem-se numa sequência que, quando convergente, comprova a estabilidade da configuração de equilíbrio.

Observe-se que pelo fato de. a sequência ser construída a partir da flecha y, decorrente apenas dos efeitos de l.a ordem, quando ela for convergente o equilíbrio será estável, pois ele corresponderá necessariamente ao ramo ascendente da curva (F, yve,).

A convergência da sequência pode ser constatada numericamente. Quando ela ocorre, sabe-se que o ponto Fd estáabaixo do ponto F,,,. Nesse caso fica provado que a estrutura tem segurança superabundante, embora náo se saiba quanto de exagero

,~- - :..- está sendo cometido. 1,'

5.4.3 MÉTODO DO métododo equilíbrio, com o processo do pilarpadrão, a verificaçáo dasegurança i EQUIL~BRIO. PROCESSO arbitrando-se deformações 8, e E, tais que nüo ocorra o estado limite último de 1, DO PILAR PADRÃO ou de alongamento plástico excessivo na seçáo mais solicitada da peça. Com

.. 1 -. /essas deformações são calculados os valores de: -, N,., e M,,,. I r

A peça será considerada segura contra o estado limite último de instabilidade na flexão composta se forem simultaneamente satisfeitas as condições, Fig. 5.4.3-1:

onde

(5.4.3-4) 10 arbitrado

Fig. 5.4.3-1 Método d o equ~librio com o processo do pilar padrão.

1

C " A L 0 , ARBITRADO

'int ÚNICO PONTO CALCULADO

/#L--

//

M,"+ = c,

orbllrodo I - , r

/ /'

/' /

I (TI repão mais witcitodo

mo..

0'

/ /0

/ I 0 ,0 -

e : 2 P 2 I-) I 2 10 r

Page 203: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 193

O método do equilíbrio com o processo do pilar padrão é baseado nas seguintes considerações: 1. Arbitrando-se as deformações específicas E , e E , das fibras extremas de uma seção

transversal, ficam conhecidos os valores de:

1 - E* + E, a. curvatura - - - r d

b. força normal resistente .Nint = R,, + R; - R,

c. momentojletor resistente M,, = S (dos momentos de R,,, Ri e R,)

As deformações arbitradas náo devem superar os valores correspondentes ao estado de ruptura ou de deformações plásticas excessivas.

Em lugar de E, e E, poderiam ter sido arbitrados diretamente os valores de E,,

1 deformação da fibra no nível do centro de gravidade, e de -, curvatura na seção r

considerada. Observe-se, na Fig. 5.4.3-2, que à medida que aumenta a força normal resis-

tente N,,,, diminui o valor da excentricidade interna e,., correspondente à mesma 1 curvatura -. Isso pode ser constatado, por exemplo, pelos resultados mostrados r

anteriormente na Fig. 5.2.3-3, sendo, em geral, verdade pelo menos para v a 0,s.

, i Y&LOR FIXADO

/--- .R .--r-

AUMENTbNOO-SE O VALOR

Kg. 5.4.3-2 Influência da intensidade da forca normal

2. Admitindo-se que a flecha máxima a seja uma função conhecida da curvatura da seção mais solicitada, os momentos de 2." ordem podem ser calculados em função das deformações específicas arbitradas para essa seção. Adotando o conceito de pilar padrão, tem-se

3. A peça será considerada segura contra o estado limite de instabilidade se forem satisfeitas simultaneamente as condiçóes seguintes, Fig. 5.4.3-3:

Observe-se que a condição ei,,, a e, + a não pode ser substituída pela condição Mi,,, a M, + N,a, pelo fato de ser N,,, a N,. Essa substituição somente seria lícita se fosse Ni,,, = N,. De fato, da condição

Page 204: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS i

JIL~BRIO ESTÍVEL SE FOSSE N,", : Na.,

e2=a

F M ~ O ((ti Nint 5 VALOR

I

Fig. 5.4.3-3 Verificação da estabilidade com N,,, = Nd,

sendo N,,, 2 N, e M,/N, = e,, obtém-se I

I

ou seja, dessa condição resulta 1 e,,, (um número desconhecido menor do que e, + a) I

concluindo-se que ela não se constitui numa condição de segurança. Desse modo, a condição de segurança relativa aos momentos fletores obrigato- ,

riamente deve ser feita em função das excentricidades, pois N,,, 3 Nd. Com essa 1 verificação, a partir do valor arbitrado de -, obtém-se o valor limite de e,, Fig. r

5.4.3-4.

Fig. 5.4.3-4 Verificaçáo da estabilidade com N,, > N,.

Page 205: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 195

4. Com o método do equilíbrio, a verificação de segurança contra o estado limite de instabilidade é feita através da constatação da existência de um estado possível de equilíbrio com N,,, 2 N,. O método garante a segurança mas não dá a solução ótima, pois não fica determinado o grau de superdimensionamento existente.

5.4.4 PROCESSO O processo simplificado do equilíbrio corresponde à aplicação do método do equilí- SIMPLIFICADO DO brio com a restrição suplementar de que a curvatura da seção mais solicitada é

EQUIL~BRIO arbitrada com um valor convencional.

$ O processo simplificado do equilíbrio decorre da observação de que, para _ * 1

muitas formas de seção transversal, a curva de h.Z,, em função de -, para um da- r

do valor de N,,,, tem andamento próximo de um diagrama bilinear, Fig. 5.4.4-1

I I

(r),, convencioml

Fig. 5.4.4-1 Processo simplificado do equilibrio.

Esse fato pode ser constatado de modo muito claro nos diagramas das Figs. 5.2.3-3 a 5.2.3-5.

Nessas condições, para barras não excessivamente esbeltas, o ponto de tangên- cia correspondente à situação crítica está muito próximo do ponto correspondente à capacidade última relativa a barras de esbeltez nula.

Surgiu assim o processo simplificado do equilíbrio, que engloba a verificação da segurança contra a instabilidade na flexão composta dentro do próprio processo de dirnensionamento da seção transversal.

Para isso, a capacidade última da peça é calculada, como se a esbeltez fosse nula, com os esforços

onde Mjd engloba todos os efeitos de 1 ."ordem, inclusive os decorrentes da excentri- cidade adicional e,, sendo

Page 206: Fusco - Estruturas de Concreto

Observe-se que neste caso a segurançapode ser medidaem função dos momentos M,, não sendo necessário recorrer-se as excentricidades, pois no dimensionamento é imposta a condição Ninr = N,.

O valor adotado para a curvatura última - é um valor convencional, ajus. (:),, tado em face de verificações feitas para diferentes seções transversais.

Para cálculos rápidos o Código Modelo do CEB recomenda o valor -L

/ 5 ( ) = x (5.4.4-4)

P .- .. I j ^

Anteriormente a este valor único, o CEB* recomendava os valores

0,0035 + -d para v, .s 0,5 (5.4.4-5)

I I

0,0035 + !& para v, > 0,5

com - I

B Os valores adotados pela NB-I são:

0,0035 + h E, ($1: (vd + 0,5) h

a\ %"" .-.,* ,.... . -

com

v, + 0,s 3 1 (5.4.4-9)

onde

Fd I

v,, = - (5.4.4-10) & fcd

Observe-se que as expressões (5.4.4-4) a (5.4.4-10) tendem a fornecer para a curvatura última convencional um valor maior do que o da curvatura última efetiva para o estado limite último de ruptura, desde que a força normal tenha valores significativos.

As conseqüências de uma condiçáo dessa natureza estáo mostrada! 5.5.4-2. )

T E B - Boletim 103.

Page 207: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 197

I PARA Nint = Nd

Fig. 5.4.4-2 Emprego de uma curvatura úlrirna convencional

5.4.5 PROCESSO NO caso de barras ~ o u c o esbeltas, Lom x 80, a , h ~ - l adotou o processo simplificado SIMPLIFICADO DA NB-I do equilíbrio. L-'

A secão transversal mais solicitada deve ser dimensionada como se a esbeltez fosse nula, adotando-se os esforços

onde M,, engloba os efeitos iniciais e os efeitos da excentricidade adicional (aciden- tal), ou seja

u (e, = comprimento de flambagem)

Page 208: Fusco - Estruturas de Concreto

I

\ isto é, quando v < 0,s toma-se v + 0,5 = 1, sendo I (5.4.5-6)

equivalem as do CEB, ten- do havido um ajuste em função do emprego da força normal reduzida v e não de

v v0 = -.

0,85 Observe-se finalmente que não é feita distinção entre os aços Classe A e os

aços Classe B. Conforme se mostra nos diagramas das Figs. 5.2.3-4 e

I 5.2.3-5, essa diferença não seria significativa. I

5.4.6 EXEMPLO Considere-se novamente o mesmo exemplo n.O 2 apresentado no item 5.3.6 pelo método geral. Para efeito de comparação, a armadura será dimensionada pela tabela de interação d a Fig. 5.3.5-3, ressaltando-se que poderia ter sido empregada qualquer outra tabela ou ábaco de dimensionamento de seçóes submetidas à flexáo composta.

\ Dados:

e, = e,, + e, = 5\-f= 7 cm V' U, = 0.198

De acordo com a expressa0 (5.4.4-6), tem-se:

I O momento de 2.a ordem vale, conforme (5.4.4-3),

I ou seja,

I N = 0 , 1 k g i 1 MPa = 1 MNlrn' = I0 kgficmZ I k N = 100 k8f = 0.1 tf I kNlm = IW kgflm 5 0.1 tflm 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 r f m I kN/rn3 = 100 kgflm* = 0,I rf/m2 I kN.cm = IW kgi.cm = 0.1 t f c m I k N / m L I 0 0 kgf/ml r 0.1 tilm'

1 I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 Nlirn'

Page 209: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE 199

Somando os efeitos de e de 2.a ordem, obtém-se

po = / L , < + p p d = 0,198 + 0 , l l = 0 , 3 1

e d a tabela d a Fig. 5.3.5-3, resulta

o, - 0,39

valor este idêntico a o obtido pelo método geral, daí resultando a mesma armadura

A,, r,t., = 4 x 7,34 cmZ = 4 x 3 4 20

5.5 EXERC~CIOS 5.1 Qual é o fenômeno de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas comprimidas axialmente? Como pode ser caracterizado esse caso de instabilidade?

5.2 Que resultados podem ser obtidos quando se emprega a expressão aproximada da cur- 1 vatura - = d2y/dx2? r

Que novos resultados podem serobtidos com o empregodaexpressão exatadacurvatura? 5.3 Por que a segurança das peças comprimidas de concreto estmtural não é mais verificada

em relação ao estado limite de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas compri- midas axialmente?

5.4 Por que não existe problema de instabilidade na flexáo composta dentro do regime elástico? Por que tal fenômeno somente existe quando é ultrapassado o limite de proporcionali- dade?

5.5 Como é determinado o diagrama

5.6 Qual a infiuência da deformação lenta sobre a estabilidade na flexo-compressão? Justifi- car.

5.7 Definir pilar padrão. Como se emprega esse conceito com o método geral? 5.8 Descrever o método do equilíbrio para o cálculo das solicitaçóes criticas. 5.9 Justificar o processo simplificado do equilíbrio. 5.10 Descrever o processo simplificado de verificação da segurança contra a instabilidade na

flexão oblíqua composta.

Page 210: Fusco - Estruturas de Concreto

, Instabilidade na Flexáo Composta Oblíqua

6.1 DEFORMAÇOES NA FLEXÁO

COMPOSTA OBLÍQUA

6.1.1 DEFORMAÇÕES DO Considere-se uma barra submetida a um carregamento que produza flexão composta EIXO DE BARRA oblíqua em suas seçóes transversais, Fig. 6.1.1-1.

e x c e n t r i c i d a d e d e 1 % o r d e m

Fig. 6.1.1-1 Excentricidade do carregamento.

e x c e n t r i c i d a d e

t o t a l

Sob a ação do carregamento aplicado, o eixo da barra sofre deformaçóes. P de barras esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidade segunda ordem, as quais não podem ser ignoradas no estudo do equilíbrio da

Page 211: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 201 I

/ PLANO DE FLEXÁO D A S E C A 0 DA BASE

Fig. 6.1.1-2 Configuração deformada.

Fig. 6.1.1-3 Esforços solicitantes na seção da base.

!W LINHA NEUTRA DA BASE

Page 212: Fusco - Estruturas de Concreto

Na Fig. 6.1.1-2 ilustra-se a cod~guração deformada de um pilar submetido à flexão composta oblíqua. Admitem-se como desprezíveis as deformações devidas a uma eventual torção da peça.

Note-se que o eixo deformado do pilar é umacurvareversa e que o plano deflexão é variável, de seÇão para seção, em virtude da própria deformação da barra.

Na Fig. 6.1.1-3 estãomostrados os esforços solicitantes na seção dabase do pilar, onde:

Observe-se que o plano de deslocamento do eixo do pilar, no topo, em princípio não é perpendicular a linha neutra da seção da base.

Esse perpendicularismo somente poderia existir se o eixo deformado da barra fosse uma curva plana. Isto exigiria que a linha neutra de todas as seções tivesse sempre a mesma direção, fato este que não pode acontecer quando o plano de flexão varia de seção para seção, conforme se mostra na Fig. 6.1.1-2.

6.1.2 CURVATURAS Na Fig. 6.1.2-1 estão mostradas as curvaturas de um pilar submetido à flexão composta oblíqua.

Numa barra de seção transversal retangular, sendo E,, E,, E, e ED as deformações específicas dos vértices, a curvatura no plano perpendicular à linha neutra vale

I onde h, é a maior dimensão da seção, medida perpendicularmente a própria linha , neutra.

Tendo em vista que se admite a hipótese de manutenção de forma plana de seção 1 transversal, a variação de deformação específica ao longo de qualquer fibra paralela ao eixo Gx é sempre a mesma, daí resultando

I

Fato análogo ocorre com as fibras paralelas ao eixo Gy, sendo

1 - EA - EB ED - E c - - -- r, h, b

Desse modo, sendo

das condiçóes anteriores, resulta:

Por outro lado, sendo

h, = h, cos ol + h, sen a

Page 213: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 203

Q. 6.1.2-1 Curvaturas,

Page 214: Fusco - Estruturas de Concreto

tem-se

h, h, h, cos a + h, sen a - + - - r, r, r,

Para que esta condição seja satisfeita para quaisquer valores de h, e de h,, devem ser simultaneamente

1 - 1 - - - cos a (6.1.2-1) r, r,

1 - 1 -- - sen a r, r,

6.1.3 CÁLCULO DAS Em princípio, também na flexão composta oblíqua podem ser determinados CURVATURAS diagramas (momento fletor-força normal-curvatura), análogos aos que são determina-

dos para a flexão composta normal. Entretanto, como se trata de flexão composta oblíqua, devem ser considerados

dois momentos fletores, M, e M,, bem como deve ser definida a direção da linha neutra.

Teoricamente esses diagramas podem ser determinados conforme se mostra na Fig. 6.1.3-1.

Na verdade, o trabalho material para essa determinação tende a ser proibitivo. O raciocínio teórico é aqui apresentado principalmente para o esclarecimento dos con- ceitos básicos referentes a instabilidade na flexão composta oblíqua.

Para um valor constante da inclinação a da linha neutra, pode ser estabelecido o seguinte algoritmo de cálculo.

1 /%2d - sCldl adota-se um novo valor de -=

r, h, I adota-se um valor de EO I

Nesta fase está inteiramente fixado o diagrama de deformações, logo são conhe- cidas as tensões na seção transversal.

Calculam-se então os valores da resultante de compressão R, e da resultante

Page 215: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA 205

de tração R,, donde se obtêm Nd, M,, e Mvd. Obtêm-se assim 1 ponto do diagrama

(A, p., v) e 1 ponto do diagrama

1 Observe-se que não basta fixar a curvatura- = E ~ Z d - Ecid para a determina- r, h,

ção dos esforços. Para essa determinação também deve ser fixado o valor de E,,

pois só assim fica definido univocamente o diagrama de deformações.

Note-se que a representação dos diagramas indicada na Fig. 6.1.3-1 não seria das mais adequadas para as aplicações.

Para emprego prático, a representação indicada na Fig. 6.1.3-2 seria a mais conveniente.

4., Adota-se um novo valor de E,, voltando à etapa 3, até ser alcançado um dos valores limites E ~ I ~ , lim OU ES%d, tlm = 10%

1 I E ~ I ~ I < I ~ a d , ~tml e (E.2d E82d. 14,")

- 11

Ai

l ~ c l d l = l ~ e l d , lim/

OU

(Eg2d = E a d , ltm)

1 adota-se um novo valor de T,

Page 216: Fusco - Estruturas de Concreto

I Fig. 6.1.3-1 D i a s @r - fiy - Y - (I - I/T.)

Page 217: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA

Fig. 6.1.3-2 Alternativa dos diagramas - f iy - Y - u - l/ro),

Paraum valor e, 1 e, = tg 0 = constante, entrando-se com as intensidades de p, e de forçanormal v, podem ser obtidos os valores dacurvaturae dainclinaçãoa dalinha neutra.

6.2 CÁLCULO DA CARGA CRITICA

PEI ;o MÉTODO GERAL

.1 PROCESSOS EXATOS Em princípio, a determinação exata da carga crítica na flexão composta oblíqua pode DE CÁLCULO ser feita pelos mesmos métodos empregados na flexão composta normal, com as

devidas adaptações para a consideração tanto da existênciade dois momentos fletores quando da variação da posição da linha neutra.

/

'i /

DEFINE O PLANO DE F L E X ~ O

Fig. 6.2.1-1 Cálculo eiato da carga crítica. I

Page 218: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Na Fig. 6.2.1-1 estáilustrado como senafeitaadeterminaçáo dacargacríticapelo método geral com o processo do carregamento progressivo proporcional. Neste processo todas as ações crescem proporcionalmente ao mesmo coeficiente K .

Na Fig. 6.2.1-2 está mostradaa 1 .a etapa de cálculo. Nesta primeira etapa devem ser considerados apenas os momentos fletores de 1 .a ordem. Com essa hipótese serão determinados os deslocamentos do eixo da barra.

Na Fig. 6.2.1-3 estão ilustradas as etapas subsequentes docálculo. Em cadaetapa

VALORES A D M I T I D O S V A L O R E S C A L C U L A D O S

OS MOMENTOS DE

I

i / r O(

ADMITINDO-SE PILAR DE SECAO MNSTANTE

W Y l , J X

W & 'TOPO DA BARRA

BASE

sen Q

lg ETAPA DE CARREGAMENTO ( F = Fl )

Fig. 6.2.1-2 Método geral - Processo do carregamento progressivo proporcional

Page 219: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBL~QUA 209

ADMITE-SE A OEMIETRIA DETERUINAD* NA ETAPA

I ANTERIOR MU A CARGA I

/ no ETAPA DE CARREGAMENTO ( F= F, )

Fig. 6.2.1-3 Carregamento progressivo proporcional

deverão ser considerados os momentos de 2.a ordem decorrentes dos deslocamentos calculados na etapa anterior.

Conforme se mostra na Fig. 6.2.1-1, em função do parâmetro K , definido por

onde F , é um carregamento adotado como referência, podem ser traçados os diagra- mas de flechas w, e w, de uma seçáo de referência.

A cargacrítica serádeterminada pelo diagramade flechas w,, ou w,, que primeiro tender a uma assíntota paralela ao eixo dos deslocamentos.

As figuras anteriores mostram que o trabalho material necessário à aplicação de um processo rigoroso de cálculo é bastante volumoso.

O delineamento de cálculo que foi apresentado teve por objetivo principal o esclarecimento dos conceitos pertinentes ao problema, a fim de que possam ser claramente entendidos os processos simplificados de cálculo.

Page 220: Fusco - Estruturas de Concreto

210 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

C A R G A F = F,

I ADMITEM-SE AS P O S I ~ E S

.-- 1 L PLANO DE FLEX~O CALCULADO NA ETAW

CAL DA

.CULAOAS SOB CARGA Fn- l

VALORES CALCULADOS A

ANTERIOR SOB DE Fn-,

Fig. 6.2.1-4 Carregamento progressivo proporcional

6.2.2 PILAR PADRAO De acordo com o que já foi visto anteriormente, opi lar padráo é um pilar em balanço com linha elástica senoidal, Fig. 6.2.2-1, ou seja,

?7 w = -a sen -7. e,

A propriedade fundamental do pilar padrão é dada pela relação

ou seja,

Page 221: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA

Fig. 6.2.2-1 Pilar padrão

Com essa propriedade, pode ser calculado o momento fletor de 2.= ordem na seção da base do pilar, obtendo-se

Com o emprego do pilar padrão o momento fletor de 2.a ordem é calculado como função exclusiva da curvatura da seção da base, não havendo a necessidade de se proceder à integração da equação diferencial do eixo deformado da barra ao longo de todo o seu comprimento.

Todavia, conforme se mostra na Fig. 6.2.2-2, o emprego do conceito de pilar padrão corresponde a se admitir que o eixo da barra sejaumacurva plana contida num plano perpendicular à linha neutra da seção da base do pilar.

u INHA NEUTRA DA SFÃO Fig. 6.2.2-2 Pilar padrão - Deformaçáes admitidas. k m BASE

Page 222: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 6.2.2-3 Determinação da valor critico de M,.

M

-CALCULA-SE A

M ln+= f u n ~ a o de [ ~ / r ) base

para N = valor dado

I - ra

Ng. 6.2.24 Determinaç!~ do mameniv inrerno M,, da segão da base em funçáo de F, e a, para um dado valor de 111..

Page 223: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 213

Uma vez fixada a geometria da seção transversal, paraumadada força nonnal N e para uma dada inclinação O , = arctg (e,Je,J do plano de flexáo da seçáo da base do pilar, deve ser traçada acurva do momento interno M,a,, Fig. 6.2.2-3. O máximo valor disponível para M, = M,,, - M, fornece o valor M,, ,,,.

Na Fig. 6.2.2-4 está esquematizado o cálculo do diagrama

mnr = função ($) Em princípio, pode ser empregado o seguinte algoritmo de cálculo:

7

t Admite-se uma inclinação a da linha neutra

I

I Admite-se um valor para a curvatura ( ~ s 2 a O) I

I ! I

Adota-se um valor para E,, respeitadas as condições 1 E,, ( s E , , , ,i, e E82 5 10%0

t _I

i

Calcula-se o valor de Nd e compara-se com o valor fixado para F, I

Calculam-se os valores de M,, ,,,, e M,, ,,, obtendo-se o valor dovetor momento interno

-f + M,nt = Mo,,

Page 224: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

I + ee2 1 M2, base = Fd. -. -

10 r, -f

sendo o vetor M,, paralelo à linha neutra +

%

I Calcula-se o valor disponível para o momento de oidem M,, ,,,, (

t Calcula-se o momento de 2.a ordem

sendo -+ -3 + M1, b ~ 8 e = MIN - M2, be8e

I

t Verifica-se se o plano de ação do momento M,, ,, tem a inclinação

I 13 = O, sendo O, = arctg e'i e,, I

I

Obtém-se assim 1 ponto do diagrama M1, = função (llra)

A 7 t Uma vez traçado o diagrama M,., = função (llra), obtém-se o valor M,, ,,.,

conforme indicado na Fig. 6.2.2-3. Este valor corresponde aos parâmetros v e O, adotados.

Variando-se a seguir o valor de O,, podem ser traçados diagramas de interação como os que se mostram na Fig. 6.2.2-5.

Observe-se finalmente que, mesmo se fossem determinados inicialmente os diagramas ( M , N, llra) conforme o delineamento teórico do item 6.1.3, ainda assim seria necessário o cálculo por tentativas, a fim de garantir que o momento disponível de 1." ordem, dado por

-+ -f -+ MI, orne = Mint - Mz. base

tivesse o plano de ação predeterminado inicialmente.

Page 225: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABUDADE NA n ~ x à o COMPOSTA OBL~QUA 215

X

420

0,IO

o 0,iO 0,20 Jlx= J--

h , Fig. 6.2.2-5 Diagrama de interação (adaptado da Fig. 212-4 do Boletim 103 do CEB).

6.3 CÁLCULO DA CARGA CRITICA POR

PROCESSOS SIMPLIFICADOS

6.3.1 LINEARIZAÇAO DOS O andamento dos diagramas de interação, como os que são mostrados na Fig. 6.2.2-5, DIAGRAMAS DE indica que, analogamente ao que acontece em relação ao estado limite último de

INTERAÇAO ruptura ou de alongamento plástico excessivo, também no caso de instabilidade a superfície de interação (M,, M,, N),,, pode ser admitida como convexa.

Desse modo, a verificação da segurança pode ser feita como se indica na Fig. 6.3.1-1. A simplificação adotadaéportanto análoga à que foi proposta par a o estudo da flexão oblíqua composta com esbeltez nula. Os resultados obtidos são usualmente a favor da segurança, não havendoem geral restrição ao emprego deste processo, o qual pode ser qlicado para peças com qualquer índice de esbeltez. No item seguinte será apresentada a condição de validade da simplificação.

Observe-se que os pontos A e B, correspondentes à instabilidade, respectiva- mente, nos planos Gx e Gy, podem ser determinados por qualquer dos processos de cálculo anteriormente estudados.

issim, no caso de peças muito esbeltas, em princípio devem ser empregados :ssos rigorosos de cálculo. \To caso de peças mcdianarnente esbeltas, os pontos A e B podem ser determina- or meio de processos simplificados de cálculo. Esse é o caminho seguido no item

seguinte.

I

proce 1

dos p

Page 226: Fusco - Estruturas de Concreto

d: VALOR

J = VALOR

M " ' F ~ . e, M : F ~ . e

Y Y

A. "

DADO

D A D O

Fig. 6.3.1-1 Linearimção do diagrama de interação.

6.3.2 PROCESSO No caso de peças medianamente esbeltas a linearização do diagrama de interação SIMPLIFICADO DO pode ser feita como se indica na Fig. 6.3.2-1.

EQUILIBRIO. DIAGRAMA A validade da simplificação adotada decorre da hipótese de convexidade da LINEARIZADO superfície de interação (Y , +SI, , +I,, Estudos de investigação n~rnénca '~

mostraram que essa convexidade pode deixar de existir quando os índices de esbeltez A, e A, forem muito diferentes entre si, podendo provar-se15 que a lineanzação do diagrama é válida sob a condição

Para a determinação dos pontos A e B que definem a região de segurança é adotado o conceito de pilar padrão, calculando-se:

Nessas condições, sendo

Page 227: Fusco - Estruturas de Concreto

INSTABILIDADE NA FLEXAO COMPOSTA OBL~QUA 217

PLANO D E A ~ Ã O M

I T

I

( SOLU c80 E X A T A )

0 " V A L O R DADO

$ :VALOR DADO

M,=F e d x M ~ = F d e Y

JA x

fi 2, poro tex / h x )

Fig. 6.3.2-1 Processo simplificado do equilibrio.

com

A, = área da seção transversal geométrica,

onde as curvaturas no plano onde atua M, e no plano onde atua M. po-

dem, no caso de barras medianamente esbeltas, ser admitidas com os valores con- vencionais

Page 228: Fusco - Estruturas de Concreto

(L) = (L) = ($1 r, , r, , =i C O ~ O ~ ~ I ~ ~ I

Admitindo as curvaturas recomendadas pela NB-I, têm-se:

L,,,

com

Observe-se que o emprego do método do equilíbrio simplificado, em função diretamente dos momentos críticos de I .a ordem, exige que seja imposta a condição N,,, = Nd. Caso contrário a verificação da segurança deveria ser feita em função das excentricidades.

6.3.3 REDUÇAO DA Em muitos casos práticos é possível simplificar-se averificação da segurança contraa FLEXAO O B L ~ Q U A A instabilidade através da redução daflexáo composta oblíquaaduasflexões compostas

DUAS FLEXÕES NORMAIS normais. Essa simplificação será aceitável nos seguintes casos básicos,* ilustrados pelas

Figs. 6.3.3-1 e 6.3.3.-2.

a. São diferentes as zonas mais solicitadas em cada uma dasjiexóes normais a que foi reduzida a jiexão oblíqua.

Como cntério prático admite-se que esta condição seja satisfeita quando os terços centrais dos eixos deformados correspondentes a cada uma das flexões normais não ficam superpostos. Não há restrições quanto a forma da seção transversal.

Assim, na Fig. 6.3.3-1, ao pilar P1 pode ser aplicada a simplificação porquanto não existe superposição dos terços centrais das linhas elásticas das duas flexões. Note-se que, para a flexão no plano (xz), a seção mais solicitada é a do engastarnento na base. Para a flexão no plano (yz), a seção mais solicitada está situada ameia altura do pilar.

O pilar P2, mostrado nessa mesma figura, não pode ser calculado com a simpli- cação considerada. Em particular, neste caso, a seção da base é a mais solicitada para ambas' as flexões.

Observe-se finalmente que não há restrições de aplicação desta simplificação em função da forma da seção transversal do pilar, uma vez que o cntério de aplicação decorre apenas da separação das zonas mais solicitadas em cada uma das flexões consideradas.

b. Pilares de seçáo retangular quando for satisfeita uma das seguintes condiçóes, Fig. 6.3.3-2:

onde e, e e,, são excentricidades iniciais de I .a ordem, não incluídas as excentric des acidentais e, ou e.,.

ida-

.CRB - C U g o Modelo.

Page 229: Fusco - Estruturas de Concreto
Page 230: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

h ,

Fig. 6.3.3-2 Seçáo retangular - Redução a 2 flexoes normais.

Conforme se vê na Fig. 6.3.3-2, admite-se a possibilidade de substituição da flexáo oblíqua por duas flexões normais quando a obliquidade é pequena.

Neste caso, para cada uma das direções principais, a seção mais solicitada deve ser verificada separadamente para as excentricidades.

e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-3)

e

e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-4)

c. Pilares de seção retangular submetidos a solicitações iniciais daj7exão normal composta.

Neste caso, no plano de flexão iniciai faz-se a verificação com a excentricidade total

e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-5)

e no plano transversal com a excentricidade

e, = e,, + e,,

Em lugar da expressão (6.3.3-6) a NB-1/78 adota uma expressão alternativa equivalente, a qual será considerada posteriormente no estudo do dimensionamento dos pilares.

6.4 EXERCICIOS 6.1 Mostrar que, emgeral, naflexáocompostaobliquadepilaresesbeltosoeixodeformadonáo pode ser uma curva plana.

6.2 Como se processaalinearizaçãodos diagramas de interaçáo para o cálculo dacargacntica, havendo esbeltezes diferentes segundo os dois eixos principais da seçáo transversal?

6.3 Qual a limitação imposta à linearização dos diagramas de interação? 6.4 Quando se pode reduzir a flexão composta oblíqua a duas flexões normais? JustU ficar

Page 231: Fusco - Estruturas de Concreto

PARTE 3

PILARES, PAREDES E ESTRUTURAS DE

CONTRAVENTAMENTO

Page 232: Fusco - Estruturas de Concreto

7 Pilares e Paredes Usuais dos Edifícios

7.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DAS

PEÇAS ESTRUTURAIS

7.1.1 CONDIÇÕES GERAIS Em princípio, a verificação da segurança contra os possíveis estados limites últimos das estruturas é feita através da condição geral

onde Face representa a intensidade das ações atuantes e F,,, a intensidade das ações resistentes.

As ações atuantes são aquelas que agem sobre a estrutura. As ações atuantes, quando ultrapassam determinados valores, levam a estrutura a estados limites.

Entendem-se como ações resistentes aquelas ações que, se aplicadas a estrutura, esgotam a sua capacidade resistente. As ações resistentes são portanto os limites das ações atuantes correspondentes ao aparecimento de determinados estados limites.

Para verificação da segurança, ambas as ações F,,, e F,,,, são tomadas com seus valores de cálculo, isto é, com seus valores determinantes.

Na maior parte das vezes, em lugar de a condição de segurança ser expressa diretamente em função das ações F,,, e F,,,, empregam-se condições do tipo

Neste caso, a segurança é verificada em função de determinados efeitos S das ações. Na verificação da segurança contra estados limites últimos, usualmente os efeitos considerados são os esforços solicitantes.

Frequentemente os esforços solicitantes atuantes são indicados por Ss, e os esforços solicitantes resistentes por SR.

7 . 1 . 2 TRAÇ AO SIMPLES. Nas peças submetidas à tração simples, a segurançaestágarantidaquandoé satisfei- TIRANTES a condição

Page 233: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍcIos 223

onde

N, é o valor de cálculo da força normal atuante

NRd é o valor de cálculo da força normal resistente

Nessas peças, o concreto tem o papel de simples elemento de proteção das armaduras. A segurança depende apenas da armadura, e a mína da peça tem caracte- rísticas essencialmente dúcteis, com grande capacidade de acomodação plástica. Por essa razão, mesmo sabendo que é pequena a probabilidade de uma peça estar efetiva- mente submetida à tração axial, pode-se desprezar a influência das excentricidades inevitáveis que ocorrem no carregamento real das estruturas. Essa mesma hipótese não pode, porém, ser admitida no caso de compressão simples.

7.1.3 FLEXÃO SIMPLES. No caso de peças submetidas a flexão simples, a segurança está garantida desde VIGAS que em todas as seçóes transversais seja verificada a condição

onde

Msdé o valor de cálculo do momento fletor atuante

MRdé o valor de cálculo do momento fletor resistente

7.1.4 PEÇAS A verificação da segurança das seçóes submetidas a compressão simples é feita, em COMPRIMIDAS princípio, pela condição

onde

N, é o valor de cálculo da força normal de compressão atuante

NRd é o valor de cálculo da força normal de compressão resistente

Todavia, mesmo nas peças teoricamente submetidas à compressão centrada, admite-se que haja uma certaincerteza quanto à real localizaçãodo pontode aplicação das forças externas. Por isso, as solicitações de cálculo são determinadas introduzindo-se, sucessivamente segundo cada uma das direções principais da seção transversal, uma excentricidade mínima dada por, Fig. 7.1.4-1:

A aplicação prática destes critérios tem mostrado que, em estruturas de edifícios correntes com pilares de 20 cm de largura, o valor absoluto e,,. = 2 cm frequente- mente conduz a dimensóes significativamente maiores que as que vinham sendo empregadas até agora. Por esta razão, tendo-se essidade de calibrar o modelo de segurança adotado pela NB-1/78 usualmente obtidos anteriormente, parecepossível que luto, respeitando-se apenas o valor

Page 234: Fusco - Estruturas de Concreto

SITUAÇÃO OE PROJETO s i~unçõ~s DE CALCULO

I ' / i i / I Fig. 7.1.4-1 Excentricidades mínimas inevitáveis.

Para peças comprimidas de esbeltez não muito grande, em geral é permitido substituir-se o cálculo exato de flexo-compressão por cálculos aproximados de com- pressão simples, majorando-se convenientemente o valor da força normal atuante.

I 1 Nas peças comprimidas, além das excentricidades inevitáveis acima vistas, tam- bém devem ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem, Fig. 7.1 .4-2 .

Os momentos F.e, de l . a ordem são acrescentados aos momentos F.e, de 2.a ordem, verificando-se a segurança em função da flexo-compressão assim determi- nada. Em peças de esbeltez reduzida, usualmente adotam-se simplificações de cál-

Fig. 7.1.4-2 Efeitos de 2.* ordem. C U ~ O .

7 . 1 . 5 FLEXAO COMPOSTA O caso geral de verificaçáo da segurançadas seções transversais submetidas a flexáo composta possui um caráter vetorial, Fig. 7 . 1 . 5 - 1 .

I

O caso geral de verificaçáo da segurançadas seções transversais submetidas a flexáo composta possui um caráter vetorial, Fig. 7 . 1 . 5 - 1 .

M

diqromo de intaoç&

ZONA DE S O U

i l r o g

( N ~ d , t r a ~ simples)

Fig. 7.1.5-1 Veriiicaçáo da segurança

Na Fig. 7.1 .5-1 , o ponto A, representa as condições características de solicitação e o ponto A, as condições de cálculo. A direção de verificaçáo da segurançs pelo vetor A,Ad, é definida pelos coeficientes de ponderação empregados na 1

nação das solicitaçóes de cálculo. - ra qualquer combinação de solicitações M,, e N.,, a segurança fica garariuud

i, fixada determi-

Page 235: Fusco - Estruturas de Concreto

quando o respectivo ponto representativo A, está situado dentro da zona de segurança delineada pelo diagrama de interação (M,,, NRd).

Observando o andamento geral dos diagramas de interação nas proximidades do ponto correspondente a tração simples, verifica-se que geralmente a presença de um eventual momento fletor parasitário não afeta significativamente o valor da força normal resistente N,,.

O mesmo fato não ocorre, porém, nas proximidades do ponto correspondente a compressáo simples. Neste caso, a presença de um momento fletor parasita usual- mente acarreta uma perda significativa no valor da força normal resistente NRò.

Em princípio, as peças submetidas à flexão composta com força normal de compressão serão verificadas com a seguinte combinação de solicitações atuantes:

onde

Nd = força normal devida às ações consideradas no projeto Mid = momento fletor devido às ações inicialmente consideradas no projeto F,.e, = momento fletor devido a excentricidade adicional e, F,.e, = momento fletor de 2.a ordem

Nas peças submetidas a flexo-compressáo, é admitida uma certa incerteza quanto ao ponto de aplicação da resultante das forças externas. Consideram-se por isso as excentricidades adicionais e,, cujos valores são os mesmos admitidos para as excentricidades mínimas das peças teoricamente submetidas a compressão sim- ples, ou seja,

onde h é a maior dimensão da seção transversal da peça, na direçáo em que se considera a excentricidade.

As expressões acima indicadas serão posteriormente reconsideradas, tendo-se em vista o dimensionamento prático das seções transversais dos pilares.

7.2 COMPRESSAO SIMPLES DE PILARES

7.2.1 PILARES O dimensionamento de seções submetidas a compressão simples é feito da forma a NÃO-CINTADOS seguir analisada.

Admitindo que sejam conhecidos os valores de i I

N, = valor de cálculo da força normal atuante 1 f,, = valor de cálculo da resistência do concreto I f,, = valor decálculoda resistênciadoaço comprimido (obedecidaarestrição Es, e 2>0 %o)

e sendo, Fig. 7.2.1-1: I

Page 236: Fusco - Estruturas de Concreto

d ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS *-

A, = área da seção geométrica da peça

A,, = área da seçáo de concreto comprimido

A, = área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida,

Fig. 7.2.1-1 Pilares não-cintados.

tem-se a condição de segurança

fld 0 3 5 fcd . Acc + fsd

A,, = A, - A, i (7.2.1-3)

pois na compressáo centrada admite-se que o encurtamento da ruptura do concreto seja de 2%0.

Da condição de segurança acima indicada, tem-se a condição de dimensiona- mento

que também pode ser escrita

Nd = 0,85 fCd A, + w

Definindo a taxa geométrica de armadura longitudinal pela expressão

onde A, é a área da seção geométrica da peça (área da seção de concreti desconto da parte ocupada pela armadura longitudinal), de (7.2.1-4) obtém-

J sem o se

resultando

Page 237: Fusco - Estruturas de Concreto

>

-'w' < PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS

Para o dimensionamento prático das seções comprimidas, é conveniente definir- se a tensão ideal de compressão u, pela expressáo

Na verdade, conforme será visto adiante, quando se faz o cálculo a compressão simples, aforça normal de cálculo Nd deve ser majorada afim de ser levada em contaa influência das excentricidades acidentais e das excentricidades de 2.a ordem, tomando-se o valor

resultando

Substituindo as expressões acima em (7.2.1-6), tem-se finalmente

~ i d = 0.8' fd + PS ( f r - 0%) (7.2.1-10)

Por vezes a expressão acimaé escntada forma simplificada seguinte, que ignoraa devida à presença da armadura longitudinal:

(7.2.1-11)

s (1.2.1-9) a (7.2.1-11) permitem o dimensionamento das seções transversais comprimidas.

Para os aços classe A, a resiçtência de cálculo à compressão é dada pelo menor dos dois valores seguintes:

Para os aços classe B, a resistência de cálculo à compressão, de acordo com a NB-I, pode ser obtida a partir da expressão

esd = 2 + - <r86 - 0,7 e- fazendo-se

e8d = 2%0

e

E, = 210 000 MPa* I

Na tabela seguinte apresenta-se o resumo dos valores f,, para os aços especifica- dos pela EB-3.

*I MPa = 10 kgficmz

Page 238: Fusco - Estruturas de Concreto

a*

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS ,,,* *-

f,, (compressão simples (MPa)*

*I MPa = 10 kgflcm*

Na Tabela 13 do Anexo apresentam-se valores de fa - 0,85 fcd para diferentes valores de f,,.

7.2.2 INDICE DEESBELTEZ O índice de esbeltez dos pilares não-cintados é definido pela relação

onde

= comprimento de flambagem i = raio de giração da seção geométrica da peça (seçáo transversal de concreto,

não se considerando a presença da armadura).

Nas estmturas de nós indeslocáveis, a NB-I permite considerar-se como com- primento de flambagem(,de um pilar a distância entre os eixos das vigas entre as quais ele se situa.

Essa hipótese corresponde a se admitir os pilares como barras com nós articula- dos fixos.

A existência de vigas, cuja rigidez inibe parcialmente arotação que existiria se as extremidades dos pilares fossem perfeitamente articuladas, diminui o comprimento de flambagem. A NB-1 não considera essadiminuiçáo, embora o CEB* permitadescon- tos de até 15% na determinaçáo do valor de e,.

No caso de estruturas de nós deslocáveis, o comprimento de flambagem pode ser significativamente maior do que a distância entre os andares sucessivos da estrutura. Nesse caso, o comprimentot, somente pode ser estimado de forma adequada através da consideração da flambagem do conjunto da estrutura.

No caso particular de estruturas com nós deslocáveis mas com vigas de rigidez muito grande, capazes de tornar desprezível a rotação dos nós da estrutura, o compri- mento de flambagem e, também é igual a distância entre os eixos das vigas que delimitam o pilar considerado. Cada pilar é entáo considerado como se tivesse nas suas extremidades apoios de simples escorregamento, Fig. (7.2.2-1).

Na determinaçáo da distância entre os eixos das vigas que delimitam os pilares, é preciso considerar-se a eventual ixistência de vigas invertidas e de lajes rebaixadas em cada um dos pisos considerados.

Conforme é ilustrado pelas Figs. 7.2.2-2 e 7.2.2-3, apresença de vigas invertidas ou de lajes rebaixadas pode alterar o comprimento de flambagem em relaç; direito usual da constmçáo.

Page 239: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 7.2.2-1 Pilares deslocáveis com vigas de grande t.igider

Fig. 7.2.22 Arranjo estrutural do nó

Page 240: Fusco - Estruturas de Concreto

230 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

1 Fig. 7.2.2-3 Vigas invertidas e lajes rebaixadas

7.2.3 PILARES CINTADOS a. Condições de emprego De acordo com a NB-1 é permitido o emprego de pilares cintados por armadura

de projeção circular desde que se tenha esbeltez A < 40, referida ao núcleo, Fig. 7.2.3-1, admitindo-seque apresença do cintamentqseja equivalente aumaumentoda resistência característica do concreto de f,, para o valor

t onde - e = excentricidade do carregamento, já incluída a excentricidade acidental, de-

vendo ser

A, = volume de armadura transversal por unidade de comprimento do pilar

rd , . A,, (7.2.3-71

A,, = área da seção transversal da barra de cintamento de diâmetro 6,

A - r + t 2 11 - -

4 (7.2.3-4) k s , = espaçamento entre as espiras da armadura de cintamento

A,, = área da seção do núcleo, definido pelo eixo da barra de cintamento

Page 241: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 7.2.3-1 Pilares cintados

Com as considerações acima, o pilar é calculado como se não fosse cintado, não se considerando o concreto exterior ao núcleo. A resistência total de cálculo dapeça cintada não poderá, porém, ser considerada com valor superior a 1,7 vezes a resistên- cia do pilar calculado como se não houvesse cintamento. O efeito do cintamento sobre aresistência do concretojáfoi analisado deformageral em outro volume deste curso.*

b. Compressão centrada No caso de ser admitida uma situação de compressão centrada, sendo h < 40,

pode-se fazer:

logo

*Fundamentos do Projeto Estmturd "

-

Page 242: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS

Sendo A,,a área da seção da armadura longitudinal e n o coeficiente de majoração correspondente à influência das excentricidades acidentais, resulta a condição de segurança

A f,, + 2 - f,, a N d 0,85 (A,, - + fsd As, (7.2.3-8)

Yc

que também pode ser escrita

Ignorando, por simplicidade, a redução da seção efetiva de concreto devida a presença da armadura longitudinal, tem-se a condição simplificada:

A f,, + 2 L f,, aN, < 0.85 A,; + f., A,, (7.2.3-10)

da qual resulta

devendo ser

c. Prescriçóes construtivas As prescnçóes construtivas, impostas pela NB-I, sáo as seguintes:

1 . esbeltez da peça

as extremidades das barras de cintamento, sejam elas formadas por uma arma- dura helicoidal ou por estribos isolados, deverão estar bem ancoradas no núcleo de concreto

3. , ~ t o l y inimu da barra de cintamento Y"\

Page 243: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS

/-

S . valores limites da armadura de cintamenro

L-- ./ /' 6 . armadura ion~irudinal

. (inclusive na seçáo de emenda por traspasse)

7.3 PILARES DE EDI FICIOS

7.3 .1 AÇAO DO VENTO De modo geral, exige-se a consideração da açáo do vento nas estruturas em que esta ação possa produzir efeitos estáticos ou dinâmicos importantes.

Essa possibilidade existe de modo significativo nas estmturas aporticadas com nós deslocáveis.

Definem-se como sendo de nós deslocáveis as estruturas cujos nós mudam de posiçáo em virtude da flexáo de suas barras. No estudo da deslocabilidade das

STRUTURA DESLOCÁVEL ESTRUTURA INDESLOC~VEL

r.* ,...i-1 Deslocabilidade das estmturas.

Page 244: Fusco - Estruturas de Concreto

234 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

estruturas são desprezadas as eventuais variações de comprimento das barras. Na Fig. 7.3.1-1 são mostrados exemplos de estrutura deslocável e de estrutura indeslocá- vel.

De acordo com a NB-1 (item 3.1.1-3) a ação do vento deve ser considerada "obrigatoriamente no caso de estrutums com nós deslocáveis, nas yuais a altura sqju maior que quatro vezes a largura menor, ou em que. numa drida direção, o número de filas de pilares seja inferior a 4".

Na Fig. 7.3.1-2 é mostrada a aplicação dessa exigência da NB-1. Admitindo que as estmturas mostradas nessa figura tenham nós deslocáveis, pelo

critérios o vento deverá ser considerado apenas na direçãox, pois nesta direção Hlb > 4, enquanto que na direção y tem-se Hlb < 4. Pelo critério b, o vento deverá ser considerado em ambas as direçõesx ey, pois em ambas existem menos de quatro filas de pilares.*

4 critério d e altura relativa 4 critério do número de filas de pilares

Fig. 7.3.1-2 Consideração obrigatória da açáo do vento.

'O símbolo H foi empregado intencionalmente para chamar a aten$áo sobre o ieru us a s iratar da altura c o n ~ f m ~ ã o

total da

Page 245: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfCIOS 235

CONTRAVENTAMENTO Nos edifícios correntes não é recomendável que todos os pilares participem do DAS ESTRUTURAS sistema estrutural que se admite como responsável pela estabilidade global da estru-

tura e pela resistência às açóes horizontais atuantes. Caso isso fosse admitido, o projeto seria em geral excessivamente trabalhoso, com resultados reais de precisáo duvidosa, em virtude da complexidade das estruturas assim consideradas.

Usualmente os pilares dos edifícios são divididos em duas categorias, Fig. 7.3.2-1: pilares contraventados e pilares (elementos) de contraventamento.

Os elementos de contraventamento sáo constituídos por pilares de grandes di- mensões, por paredes estruturais, por treliças ou pórticos de grande rigidez.

De modo geral procura-* fazer com que a estrutura de contraventamento, composta por dois ou mais elementos de contraventamento e pelas lajes do edifício, tenha rigidez suficiente para que os demais pilares possam ser considerados como participantes de uma estrutura com 116s indeslocáveis, Fig. 7.3.2-2. Os elementos de contraventamento devem assegurar a va'lidade desta hipótese.

Além disto, o sistema de contraventamento deve garantir a estabilidade da estrutura no seu conjunto, bem como deve resistir a açao do vento sobre toda a construção.

Os elementos de contraventamento podem, em princípio, ser classificados em flexíveis e rígidos, Fig. 7.3.2-2.

Consideram-se como elementos flexíveis de contraventamento os que devem ser calculados com a consideraçáo de efeitos de 2.a ordem. Este tipo de elemento de contraventamento, sempre que possível, deve ser evitado, pois em geral acarreta grandes dificuldades de cálculo.

Consideram-se como elementos rígidos de contraventarnento os que podem ser calculados sem a consideração de efeitos de 2.a ordem. Para isso eles devem ter rigidez superior a certos mínimos preestabelecidos. De acordo com os critérios de rigidezdo CEB, para pilares essa rigidez mínima corresponde ao índice de esbeltez A = 25.

Fig. 7.3.2-1 Pilares contraventados I

Page 246: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

I

CONTRAVENTADOS ELEMENTOS DE CONTRAVENTAMENTO

7.3.3 SITUAÇÓES BÁSICAS De acordo com a NB-I os pilares de edifícios podem ser calculados de forma simplifi- DE PROJETO cada, desde que respeitados certos requisitos complementares adiante considerados.

O cálculo simplificado permitido pela NB-1 pode ser aplicado as "estruturas de edij%ios em que stj afuem carxas previstas na NB-5 e em que não seja necessário considerar a açáo d o vento".

Nocaso de estruturas submetidasaaçáo do vento, o cálculo simplificado podeser aplicado aqueles pilares que ,260 participem dos sistemas estruturais resistentes aaçáo do vento.

Para efeito de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados nos seguintes tipos: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto, Figs. 7.3.3-1 e 7.3.3-2, desde que sejam pilares adequadamente contraventados.

A cada um desses tipos básicos de pilares corresponde uma situação de projeto diversa.

Os pilares intermediários estão basicamente sujeitos a cargas axiais de compres- são. Como as vigas e lajes que se ap6iam nesses pilares não sofrem interrupção total sobre os mesmos, admitern-se como desprezíveis os momentos fletores transmitidos para os pilares. A situação básica de prqjeto dos pilares intermediários é, portanto, a de compressáo centrada.

Os pilares de extremidade, em principiu, estão submetidos a flexão normal composta. A flexáo decorre da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à borda considerada, Fig. 7.3.3-2.

No caso dos pilares de canto, em virtude da intermpção das vigas situadas nas duas bordas, existe basicamente uma situação de projeto de flexão oblíquacomposta.

Em todos os casos considerados é importante notar que as situações de projeto levam em conta apenas os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de l.a ordem, decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estmtura.

Para o dimensionamento dos pilares, devem ainda ser consideradas as excentri- cidades acidentais, que também são excentricidades de I .a ordem, bem como; no caso

:s esbeltos, as excentricidades de 2.= ordem.

Page 247: Fusco - Estruturas de Concreto

PILAR INTERMEDIARIO

EXTREMIDADE

Fig. 7.3.3-1 Pilares de edifícios

Page 248: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 7.3.3-2 Arranjos estmturais dos pilares de edifícios.

7.3.4 SOLICITAÇÕES As solicitações iniciais dos pilares intermediáriospodem ser calculadas sem cocside- INICIAIS DOS PILARES ,ração de momentosfletores.

INTERMEDIÁRIOS As solicitações iniciais resumem-se, neste caso, a força normal devida ao carre- gamento aplicado.

A situaçáo de projeto dos pilares intermediários é portanto a de compressão centrada, podendo ser aplicados os processos simplificados de cálculo adiante descri- tos.

Para o cálculo das cargas que atuam sobre os pilares dos edifícios, de acordo com o item 3.2.2.3 da NB-1, as vigas podem ser calculadas como continuas, sem ligações rígidas com os apoios, respeitadas certas restrições impostas pela própria NB-1.

No caso de vigas contínuas em que os tramos tenham aproximadamente amesma

Page 249: Fusco - Estruturas de Concreto

rigidez, desde que o menor índice de rigidez I l tnão seja inferior a 80% do maior, a NB-1 permite que as reações das vigas sobre os pilares sejam calculadas considerando-se cada tramo independente dos demais e livremente apoiado. Todavia, se houver balanço de extremidade, o efeito de suas cargas será calculado, considerando-se a continuidade existente.

De modo geral não se recomenda o emprego dessa permissao da NB- I para vigas com número reduzido de tramos, nem para a ava!iaçao das cargas dos pilares que suportam os tramos de extremidade das vigas.

Nos exemplos de projeto apresentados no Cap. 8, essa permissão da NB- I não foi empregada.

7.3.5 SOL~CITAÇOES Os pilares de extremidade sã riamente calculados a flexáo composta, Fig. INICIAIS DOS PILARES DE 7.3.5-1.

EXTREMIDADE Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por um momento fletor atuante no plano perpendicular a borda em que se situa o pilar.

A situação de projeto dos pilares de extremidade é, portanto, a deflexão normul composta.

De acordo com a NB-1, os momentos fletores dos nós dos pilares extremos poderão ser calculados pelas expressões seguintes:

1

Ma, = Me,, r,, (7.3.5-2) + r,, + r,,,

onde

Me,, = momento de engastamento perfeito I . . r = - (indice de rigidez) e

Fig. 7.3.5-1 Pilares de extremidade. Fig. 7.3.5-2 Efeito da superposiçáo de pilares.

Page 250: Fusco - Estruturas de Concreto

Observe-se que o tramo extremo da viga estará solicitado por momentos negati- vos, cujo valor máximo é dado por

Conforme se mostra na Fig. 7.3.5-1, paraas extremidades opostas, tanto do pilar inferior quanto do pilar superior, propagam-se momentos que, em geral, podem ser admitidos com metade do valor do momento propagado.

Nos edifícios de vários andares, os momentos que aparecem nos pilares são provenientes da superposição dos efeitos das vigas dos diferentes níveis, Fig. 7.3.5-2.

Assim, por exemplo, no pilar situado entre os níveis (i) e (i + 1) são:

ondeMi, ,,e Mi+ ,,i, são os momentos calculados isoladamente pelas expressóes (7.3.5-1) a (7.3.5-4).

Observe-se que para o cálculo dos momentos fletores é indispensável o conheci- mento da seção transversal do pilar. O dimensionamento final será obtido então por

m e i o de aproximações sucessivas. No caso de pilares usuais de edifícios, para efeito de pré-dimensionamento da

seção de concreto, pode-se admitir, de início, uma excentricidade relativa ei/h entre 0,05 e 0,10, onde e, = MIN e h é a dimensáo do pilar no plano de flexão.

7.3.6 SOLICITAÇÕES Nos pilares de canto, em princípio existe uma situaçáo de projeto deflexao oblíqua INICIAIS DOS PILARES DE composta.

CANTO Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por dois

I momentos fletores, os quais atuam nos planos verticais que contêm os eixos das vigas que formam o canto considerado.

Para a determinação desses esforços repetem-se, para cada um dos planos de I flexáo considerados, os raciocínios feitos para o caso do pilar de extremidade, Fig. I 7.3.6-1.

I Rg. 7.3.6-1 Pilares de canto

Page 251: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 241

7.4 PILARES CURTOS

7.4.1 SITUAÇÓES DE Entendem-se porpilares curtos aqueles que podem ser calculados sem a consideração PROJETO E SITUAÇOES DE de suas deformações.

CÁLCWLO De modo geral admitem-se como curtos os pilares que tenham índice de esbeltez não maior que A = 40, desde que sejam devidamente contraventados.

No dimensionamento dos pilares curtos, além dos esforços iniciais decorrentes da situação de projeto em consideração, também devem ser admitidos outros esfor- ços, que se adicionam aos anteriores, e que têm por finalidade cobrir certos riscos

ei =EXCENTRICIDADE I N I C I A L N~ = F M ~ = F e d d . e, = EXCENTRICIOAOE AOICIONAL

( N 8 - I ACIDENTAL) M x d = F d e ~

Fig. 7.4.1-1 Pilares curtos.

-

Page 252: Fusco - Estruturas de Concreto

devidos à incerteza quanto a real posição do ponto de aplicação da força de compres- são.

A NB-1 considera essa incerteza acrescentando à excentricidade inicial ei outras excentricidades e,, ditas excentricidades acidentais, conforme se mostra na Fig. 7.4.1-1. Observe-se que todas essas excentricidades são excentricidades de I .a ordem. No caso de pilares esbeltos, deverão ainda ser consideradas as excentricidades de 2.a ordem.

Em virtude da consideração das excentricidades acidentais e,, a maioria dos casos em que agem forças normais de compressão deveria ser tratada, em princípio, como se fossem problemas de flexão composta oblíqua.

Todavia, como o cálculo rigoroso de seções submetidas a flexão composta oblíqua somente é exequível em termos práticos quando se dispõe de auxilio de um computador ou, o que é equivalente, quando já existem os diagramas de interação (v,, pZdr pUd) da seção considerada, diferentes simplificações são admitidas no projeto de pilares. No item 7.5.6 é feita uma sugestão visando a simplificaçáo das situações de cálculo atualmente admitidas pela NB-I .

7.4.2 CASO PARTICULAR Conforme foi mostrado na Fig. 7.4.1-1, quando se tem uma situação de projeto de DE SIMPLIFICAÇAO DAS flexão normal composta, uma das situações de cálculo a ser teoricamente considerada SITUACOES DE CÁLCULO é a de flexao composta oblíqua.

No entanto, como a obliquidade dessa flexão decorre apenas da excentricidade acidental e,,, medida na direção do eixo Gy que não contém a excentricidade inicial e,,, a NB-1 permite uma simplificaçáo. Em lugar da flexão composta oblíqua, considera-se uma outra flexão composta normal, majorando-se o valor da excentrici- dade e, de acordo com os critérios indicados na Fig. 7.4.2-1.

Em princípio, majoram-se as excentricidades na proporção

onde e é aexcentricidade daflexãooblíqua. Comisso, como se indicana Fig. 7.4.2-2, é considerada agora a flexão composta segundo o eixo Gy, com excentricidade

e e = Z VeiZ2 + e,," ! e,,

uma vez qlte na direção Gx já foi considerada a flexão composta com excentricidade

e, = e,, + e,, (7.4.2-2)

Admite-se que, neste plano, esta última verificação já seja suficiente para a garantia da segurança da peça.

Para a verificação da seção na direção Gy, em lugar da expressão (7.4.2-1) adotam-se os valores indicados na Fig. 7.4.2-1, os quais decorrem das aproximações indicadas na Fig. 7.4.2-2.

Page 253: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 243

Fig. 7.4.2-1 SituaçUes simplificadas de cálculo. 1 1

Fig. 7.4.22 C i t é i o de sirnplificaçáo. 1

Page 254: Fusco - Estruturas de Concreto

244 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

7.4.3 EXEMPLOS Considere-se a situação de projeto de flexão normal composta, Fig. 7.4.3-1, com os seguintes dados:

Fig. 7.4.3-1 Exemplo.

Para esta seçáo transversal, as excentricidades acidentais valem:

ear a e,, = 3 cm

eou e,, = 2 cm

1.' Exemplo: e,, = 10 cm Neste caso, sendo e,, > 3 e,,, tem-se e, = e,,, logo:

I I . a situação de cálculol

e, = e,, + e,, = 10 + 3 = 13 cm (---- e, - l3 - 0,144) h, 90

12.a situaçáo de cálculo (e,, > 3 e,,)l

e, = e,, = 2 cm

2." Exemplo: e,, = 5 cm Neste caso, sendo e,, < e,, < 3 e,,, tem-se

logo:

Page 255: Fusco - Estruturas de Concreto

e, - 8 e, = e,, + e,, = 5 + 3 = 8 cm ( - - = 0.089)

h, 90

/ 2.a situaçáo de cálculo I

3 . O Exemplo: ei, = 1,5 cm Neste caso, sendo e,, < e,,, tem-se

logo: ,

] situaçáo de, cálculol

e, = e,, + e,, = 1,5 + 3 = 4,5 cm

1 2.a situaçáo de cálculo/

7.4.4 PROCESSOS Em muitos casos da prática é possível adotar-se um tratamento simplificado quando SIMPLIFICADOS DE existe uma situação de cálculo de flexão composta obliqua. As possíveis simplifica-

CÁLCULO DE FLEXAO ções de cálculo sáode três tipos, conforme adiante indicado. Noitem 7.5.6é mostrada COMPOSTA O B L ~ Q U A uma possível simplificação geral do problema.

a. Transformaçáo afim da seçáo transversal Para aquelas seções que, por uma transformaçáo afim paralela a uma direçio,

possam ser reduzidas a uma figurainscrita num quadrado, com simetria emrelação aos eixos paralelos aos lados e também em relação a uma diagonal, pode ser aplicado o método de cálculo tratado na Seçáo 4.3.

Ainda assim, o trabalho material requerido para essa aplicação náo é de todo desprezível, pelo que também são de interesse prático os métodos de transformação daflexáo composta oblíqua em umaflexáo normal composta equivalente, atuante num plano paralelo a um dos lados da seçáo.

h. Transforma~áo daJlexáo oblíqua em uma flexáo normal equivalente Quando se conhece o andamento das curvas (pgd, pyd) dos diagramas de interação

(pldr pud, vd), é possivel transformar-se a flexáo composta obliqua em uma flexáo normal composta equivalente, Fig. (7.4.4-1). Essa transformação tem por objetivo reduzir o trabalho de cálculo nos casos rotineiros.

Conforme se observa na Fig. 7.4.4-1, para uma dada força normal relativa

Fd Yd = - A, fCd

deve ser empregada a mesma taxa mecânica w de armadura para ambas as combina-

Page 256: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 7.4.4-1 Transformaçao da flexão oblíqua em flexão normal.

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

1 X

= F~ .e,

M ~ = F e d ' Y

Ii "d = Jd -

h,

Il x d e Y

pyd = 'd -

h Y

çóes de momentos a seguir consideradas:

Flexão oblíqua real

h d , eq -

Flexão normal equivalente

P s d , emtualente = F s d + P P y d

P v d = 0

A condição de equivalência

P z d , eQ = CL,d + P P v d

Fd 3 - - - A, f c d

também pode ser escrita

logo

Page 257: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 247

daí resultando a excentricidade equivalente

aqual age no plano onde é maior a excentricidade relativa, istoé,adireção x é definida pela condição

A expressão (7.4.4-2) é a adotadapela NB-I para a simplificação por ela conside- rada no seu 5 4.1.1.3(A).

Os valores do coeficiente /3 podem ser determinados a partir dos diagramas de interação (V,, pxdr p,,,). A tabela incluída na NB- I corresponde a seções retangulares com armaduras iguais nas quatro faces. Para outros arranjos de armadura o raciocínio pode ser repetido, determinando-se o coeficiente /3 a partir dos diagramas de interação I da seção.

c. Linearizaçáo do diagrama de interaçao Quando não se dispoe do conhecimento prévio do andamento das curvas (pd,

pyd) dos diagramas de interação (v,, p,,, p,,), pode-se recorrer a linearização do diagrama de interasão, Fig. 7.4.4-2.

Fig. 7.4.42 Linearizaçáo do diagrama de interaçáo

Ao invés da flexão composta oblíqua de esforços (ud, prd, pyd), sáo consideradas duas flexóes normais compostas, respectivamente, de esforços (vdr pxd) e (V,, pvOd); !

Page 258: Fusco - Estruturas de Concreto

24s ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

onde

As expressões anteriores são válidas para seções transversais de forma qualquer Elas permitem que sejam escritas as relações

Observe-se que com esse método a solução obtida pode ser muito antieconômica. A força Fd é considerada sucessivamente no ponto A, sobre o eixoGy, e no

ponto B, sobre o eixo Gx. A essas posiçóes correspondem, respectivamente, os momentos relativos pyo,a e l . ~ ~ , , , ~ . O erro cometido, contra a economia, decorre do fato de o diagrama de interação ser curvo e não reto.

Note-se que, quando se dimensiona a seção sob a ação dos esforços (vd; fiuo, a ) e (v,; pzn, d ) , impõe-se que o diagrama real (p,,, pua) para v = vd passe efetiva- mente pelos pontos P, e P,, Fig. 7.4.4-2.

Todavia, se o dimensionamento fosse feito separadamente para cada uma das flexões normais, somando-se as armaduras assim calculadas, o erro cometido sena muito maior, pois entao o diagrama real @L=,, pyd) passaria pelos pontos P', e P',. Este último tipo de dimensionamento t eve portanto ser evitado.

Observe-se que este tipo de erro não é cometido pelo método da traiisformação afim de seção, pois nesse método a força F, é decomposta em duas partes, sendo cada uma delas levada em cònta apenas em uma das flexões consideradas. O que não se deve fazer é considerar duas flexões normais com a totalidade da força normal Nd em ambas as flexões e,aseguir, somaras armaduras obtidas em cadaumadessasflexóes.

O método da linearização do diagrama de interação somente deverá ser usado quando nao se dispuser de outra alternativa válida de cálculo.

7.4.5 CASO PARTICULAZ De acordo com a NB-1, no caso particular de seções retangulares comarmaduraigual DE SIMPLIFICAÇAO nos quatro lados, a situação de flexão composta oblíqua pode ser tratada da forma

simplificada discutida no item 7.4.4(b), considerando-se uma flexão normal composta equivalente, Fig. 7.4.5-1.

Page 259: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfClOS

Fig. 7.4.5-1 ~ilar'corn armadura igual nas 4 faces

Admite-se a excentricidade equivalente de valor

com

sendo o valor de p, de acordo com a NB-I, dado pela tabela seguinte

Valores de 100 p o = A, f,d/A, f,,i

Page 260: Fusco - Estruturas de Concreto

7.4.6 EXEMPLO Considere-se como exemplo a seção indicada na Fig. 7.4.6-1, sendo:

Fig. 7.4.61 Exemplo.

Os esforços solicitantes reais valem, neste caso:

vd = 0,7

10 2 Sendo de fato 5 > 5, pois - > -, a excentricidade equivalente é defini- hz h, 50 20

da por

Admitindo o valor aproximado w = 0,5, da Tabela incluída na NB-1, tem-se:

donde

50 e,, .. = 10 + 0,63 - . 2 = 13,2 cm 20

logo, a seção pode ser dimensionada a nexo-compressão no. esforços:

rmal, sob a ação dos

Page 261: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS

7.5 PILARES ESBELTOS

7.5.1 CONSIDERAÇAO DOS Nas peças esbeltas, além dos esforços de l . a ordem, os quais abrangem os esforços EFEITOS DE 2.a ORDEM iniciais dexidos as cargas aplicadas a estrutura e os esforços devidos as excentricida-

des acidentais, também devem ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem, que aparecem em virtude das deformações da própria estrutura.

Na Fig. 7.5.1-1 é mostrado um exemplo no qual são indicados os esforços de I.= ordem iniciais e os esforços de 2.a ordem. Nesse exemplo, não estão indicados os momentos fletores devidos as excentricidades acidentais.

FORÇA NORMAL MOMENTOS FLETORES MOMENTOS FLETORES I NICIAIS DE 2e ORDEM

Fig. 7.5.1-1 Solicitações dos pilares esbeltos.

Em geral admite-se que nas peças muito robustas sejam desprezíveis os efeitos de 2.a ordem.

A NB-1 admite que os efeitos de 2.a ordem possam ser ignorados quando o índice de esbeltez da peça está abaixo do valor limite A = 40, e esta é contraventada.

Sendo o índice de esbeltez definido pela relação

onde[, é o comprimento deflambagem e i o raio de giração referente ao plano deflexão j /

considerado, a limitação A s 40 corresponde nos casos práticos correntes aos seguin- 1 1 tes valores: I

i. &):\:d ll, z 33~<:,-. seção retangular de lados h, e h, i = - ee G 12

LI. -. 4) '1) , - I

. -.. +/' -'.., '. . . , I , , !

L i

seção circular de diâmetro d i i - -

Page 262: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS

As exigências feitas pela NB-I para a verificação da segurança dos pilares esbeltos estão resumidas no quadro mostrado na Fig. 7.5.1-2.

Fig. 7.5.1-2 Venficaçáo da segurança dos pilares (NR-I 4.1.1.3)

7.5.2 CONSIDERAÇAO DA Na determinação dos efeitos de 2.a ordem das peças submetidas à compressáo por FLUÊNCIA ações de longa duração, em princípio deve ser considerada a fluência.

Em virtude dacomplexidade de determinação dos efeitos da fluência, usualmente sáo adotados métodos aproximados de cálculo.

De acordo com o CEB será dispensável a consideração da fluência dos pilares isolados quando for satisfeita pelo menos uma das seguintes condições:

a. jlexo-compressão com grande excentricidade (ei = excentricidade inicial de 1." ordem)

ei/h 2 2,O (7.5.2-1)

b. predominância de cargas de curta duração

F o * s 0 2 F o + v , k (7.5.2-2)

c. pilares pouco esbeltos

A < 50 (7.5.2-3)

2. CRITÉRIOS DA NA-I De acordo com a NB-I é desnecessário levar em conta o efeito da fluência nas

seguintes alternativas:

a. predominância de cargas de curta duração l o m o a NB-1 náo fornece critério quantitativo

Page 263: Fusco - Estruturas de Concreto

apenas que afluência deve ser considerada "se for o caso", parece razoável o critério do CEB, adotando-se a condição de dispensa de consideração.

Fsh 0 2 Fo + c, k (7.5.2-4)

b. pilares curtos ou mediatzanznzte esbeltos

h S 80 (7.5.2-5)

Subentende-se que esta restriçáo é paralelamente completada pela condição de existir uma armadura de compressão. Com a presença de uma armadura de compres- sáo, a fluência do concreto é substituída, em parte, por um processo de transferência das tensões de compressão do concreto para o aço. Usualmente esta condiçáo é satisfeita pelos pilares que dispõem de armadura simétrica.

Nos casos em que não existe justificativa para a dispensa da consideraçáo da fluência, o cálculo poderá ser feito adotando-se simplificações de diversas naturezas, de acordo com o que está apresentado no Cap. 9 referente aos pilares não- contraventados e as estruturas de contraventamento.

\

7.5.3 SITUAÇÕES DE No item 7.4.1 foram examinadas as situações de projeto e as correspondentes situa- PROJETO ESITUAÇOES DE ções de cálculo, de acordo com as exigências da NB-I.

CÁLCULO As situações de cálculo determinam os esforços solicitantes de dimensionamento que agem nos pilares curtos, para os quais não são feitas considerações de deforma- ção, nem elástica nem viscosa, pelo fato de os pilares serem pouco esbeltos.

Estas mesmas situações de cálculo também serão suficientes pardaverificação da segurança dos pilares esbeltos, desde que sejam calculados por processos rigorosos.

De fato, embora nesses pilares existam efeitos de 2.a ordem bem como de fluência, o cálculo da carga crítica ou da excentricidade crítica pelo método geral com os processos do carregamento progressivo e da excentricidade progressiva, bem como pelo método de equilíbrio com o processo do deslocamentode referência,já incluem esses efeitos dentro dos próprios métodos de cálculo.

rig. r.=.=-l Pilares curtos e pilares esbeltos calculados por processos rigorosos. Simplificação das situa- ~ õ e s básicas de cálculo.

Page 264: Fusco - Estruturas de Concreto

O conceito de excentricidade e, de 2.a ordem do carregamento bem como o de excentricidade suplementar e, devida a fluência somente surgem na aplicação do método do equilíbrio, particularmente com o processo do pilar padráo. As deforma- ções da peça, de natureza elástica e de natureza viscosa, sáo transformadas em excentricidades adicionais das cargas aplicadas.

Tendo em vista que as excentricidades acidentais e, têm por finalidade estabele- cer tão-somente uma segurança suplementar contra os efeitos das incertezas quanto ao ponto de aplicação das cargas e quanto àlinearidade e verticalidade dos pilares, as situações de cálculo estipuladas pela NB-I e reproduzidas na Fig. 7.4.1-1 podem ser

Fie. 7.5.3-2 Simpliiicaçáodas situaçóes básicas de cátculo. Pilares esbeltos calculados por processos :ados.

Page 265: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS 255

simplificadas conforme se mostra na Fig. 7.5.3-1. Estas simplificações são coerentes com o que recomenda o Código Modelo do CEB.3 Essas são as situações básicas de cálculo, válidas para os pilares curtos e para os pilares esbeltos calculados por processos rigorosos.

No caso depilares esbeltos calculados por processos simplificados, as situações de cálculo são derivadas das situaçóes anteriores, considerando-se também as excen- tricidades e,, e e, quando houver fluência significativa. As situaçóes de cálculo assim resultantes estão mostradas na Fig. 7.5.3-2.

É oportuno observar-se que as simplificações propostas são coerentes com ofato de que a excentricidade e, de 2.a ordem e a excentricidade suplementar e, devida a fluêncianão podem ser admitidas na mesma direçáo da excentricidade oblíqua e(, Fig. 7.5.3-3, conforme já foi discutido no Cap. 6.

Quando se emprega o método geral de cálculo com o processo do pilar padrão, utilizando, por exemplo, diagramas de interação (Mldr Nd) como os que são mostra- dos nas Figs.(5.3.5-4) e (5.3.5-5),nas situações de cálculo devem ser explicitadas as excentricidades suplementares e, mas não as excentricidades e,, as quais são conside- radas pelo próprio método de cálculo. Um exemplo dessa situação é mostrado no Cap. 8, item 8.2.6.

NEUTRA

Fig. 7.5.3-3 Flexáo obliqua

Quando a fluência é considerada através de uma excentricidade equivalente de ordem, as excentricidades suplementares e,, e e,, serão calculadas pelas expres-

sões gerais discutidas no Cap. 9, as quais fornecem:

Page 266: Fusco - Estruturas de Concreto

onde

F, = carga de longa duração, a qual produz fluência.

F, = carga de flambagem de Eul'er, calculada conforme se indica no Cap. 9.

4 (t, , to) = função de fluência.

e,,, . = excentricidade na direçáo Gx da carga F,

e,,, ..= excentricidade na direção Gy da carga F,

e,, = excentricidade acidental na direção Gx

e,, = excentricidade acidental na direçáo Gy

A carga de longa duração F, vale

Fn = Y n (Fgk + $2 F ~ R )

I sendo

i F,, = valor característico da carga permanente

$2F-o-cela.&longa duração do valor característico da carga acidental usual ..

1,110 a 1 ,25 , conforme o t ipodG&

"--4 I 7.5.4 SUPERPOSICIO DOS A determinaião seuarada dos momentos fletores de 1," e de 2. . ordem com a sua MOMENTOS FLETORES DE posterior superposição somente será possível se os pilares da estrutura puderem ser

1.a E DE 2.a ORDEM considerados isoladamente, sem a necessidade de uma análise global da estabilidade do conjunto.

t Discute-se adiante, no Cap. 9, as condiçóes gerais para que os pilares de uma I estrutura possam ser tratados isoladamente. Essa possibilidade sempre existe nas

estruturas de nós indeslocáveis, como as estruturas usuais dos edifícios correntes. No caso de pilares de estruturas com nós indeslocáveis, distinguem-se os dois

casos básicos seguintes:

a. Momentosfletores iniciais nulos ou constantes, Fig. 7.5.4-1.

e , = const -- 3,-

Fig. 7.5.4-1 Superposiçáo dos momentos de e de 2.* ordem.

Page 267: Fusco - Estruturas de Concreto

Neste caso, a seção mais solicitada do pilar é aquela onde se dá a máxima excentricidade e, de 2.a ordem.

O dimensionamento será feito então para os valores

e = e, + e, + e, (7.5.4-1)

acrescentando-se ainda a excentricidade caso, resultando

b. Momenrosfleiores iniciais variáveis, Fig. 7.5.4-2.

Fig. 7.5.4-2 Superposi~áo dos momentos de 1." de 2." ordem

Neste caso, não se sabe a priori se a seção mais solicitada é aquela onde ocorre e,, ,,, ou aquela onde existe e,, ,,,

No caso de não existirem cargas transversais aplicadas ao longo do pilar, Fig. 7.4.7-2. a NB-I prescreve a verificação nas seguintes seções da peça:

io da extremidade mais solicitada (elA = e,, ,,, ; e, = 0) 1. Seçi

Page 268: Fusco - Estruturas de Concreto

1 2 . Seçáo intermediária (e, = e,, . ; e, = e,,

Nd = Fd

admitindo-se convencionalmente o valor

I com

I eic > O quando tiver o mesmo srntido que e,.

Neste último caso, se houver fluência significativa, deverá ser considerada a excentricidade suplementar e,, resuitando

e = e, + e, + e, + e, (7.5.4-6)

7.6 PROCESSOS SIMPLIFICADOS DE

CÁLCULO

7.6.1 CRITÉRIO BÁSICO DE O critério básico de simplificaçáo decorre da análise dos diagramas de interaçáo, SIMPLIFICAÇÃO como o que é mostrado na Fig. 7.6.1-1.

!

!

i

d ' = 0 . 5 h

I

<

-- Jd

36 3 d e = 3 d i i ( P d

Fig. 7.6.1-1 Transformagáo da flexo-cornpressáa em compressáo centrada

Page 269: Fusco - Estruturas de Concreto

7.6.2 PILARES CURTOS SOB CARGA CENTRADA

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFíCIOS 259

Desde que se tenha um arranjo simétrico de armaduras e uma força normal relativa de compressão com valores

a taxa mecânica w de armadura correspondente as solicitações reais (v, , ,L,) pode ser determinada, a favor da segurança, em função de uma compressão centrada equiva- lente, com uma força normal relativa equivalente (vd, eR) dada por

que também pode ser escrita

ud, =C = aud (7.6.1-2)

com

No caso da Fig. 7.6.1-1, tem-se K = 3,

logo

ou seja,

1 O coeficiente K = 3 é válido para seções retangulares em que pelo menos 213 da

armadura estejam concentrados junto as bordas perpendiculares a altura h da seção. Para as demais seções retangulares e para as seçóes circulares, da análise dos

diagramas de interação resulta

ou seja,

No item (7.6.4) estas condições de equivalência estão ilustradas por algumas figuras explicativas.

De acordo com a NB-I, quando Fd é suposta centrada e A c 40, o pilar poderá ser calculado à compressão, com a força normal aumentada na proporção I + 6lh, mas não menor que 1 , I , onde h, medido em centímetros, é o menor lado do retângulo mais estreito circunscrito ã seçáo transversal, Fig. 7.6.2-1.

No caso de pilares curtos (A c 40) em situações de projeto de compressão centrada (ei = O), o critério adotado pela NB-1 é o mesmo admitido pelo CEB, o qual

de à condição (7.6.1-2), ou seja, "7 ---- - ~ ~ -

Page 270: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 7.6.2-1 Retingulo circunscrito a seção transversal.

donde

Neste caso, não se faz qualquer restriçáo ao valor v,, e a adoção da expressão única(7.6.2-1) deve ser entendidacomouma soluçáo simplistaválida paraos casos em que a excentricidade é pouco significativa. '

De fato, neste caso a única excentricidade a ser considerada é a excentricidade acidental e,, dela decorrendo:

1. p a r a h s 60cm : e, = 2 c m

2 6 a = l i 3 - = I + -

h h

2. para h 3 60 cm : e, = h130

Na Tabela 13 estão apresentados os coeficientes u de majoração da força normal, correspondentes a pilares curtos (A s 40).

7.6.3 EXEMPLOS Determinar a força normal equivalente para o dimensionamento das seguintes seçóes transversais, admitindo-se sempre A < 40.

a. Seçáo refungular: h, = 30 cm , h, = 70 cm

b. Seção circular: d = 40 cm

Page 271: Fusco - Estruturas de Concreto

7.6.4 PILARES Neste caso, válido para 40 < A < 80, de acordo com a NB-l , além das excentricidades MEDIANAMENTE acidentais também devem ser consideradas as excentricidades de 2.a ordem. as quais

ESBELTOS SOB CARGA podem ser determinadas da forma convencional já discutida anteriormente, ou seja:

sendo

onde

1 - 0,0035 + f,,/E, -- com vd + 0,5 a 1 ,O r (v, + 0 3 h

Como a situaçáo de projeto é de compressão centrada, a situação de cálculo decorre dos valores de e, e h, medidos na direção correspondente à maior esbeltez.

Para a determinação da força normal equivalente são adotados os critérios já discutidos em (7.6.1), a saber:

a. Seçbes retangulares com@, = A, a 3) Fig. 76.4-1 3

com

Fig. 7.6.4-1 Seçóes retangulares com A,, 2 AJ3.

Page 272: Fusco - Estruturas de Concreto

b. Seçóes circulares e seções refangulares com

Fig. 7.6.4-2 Seçoes circulares e seçoes retangulares com A,, , A,/3

Nas Tabelas 14 a 19 são apresentados os valores do coeficiente c< de majoração de força normal, correspondentes aos aços CA-25, CA-50 e CA-60, para pilares media- namente esbeltos (40 < A < 80).

Exemplos numéricos de aplicação estao apresentados no Cap. 8.

7.6.5 PROCESSO Em princípio, o critério introduzido no item 7.6.1 para a transformaçáo de umaflexão i APROXIMADO DE composta normal em uma compressáo centrada, expresso pela equação

PRÉ-DIMENSIONAMENTO E DE DIMENSIONAMENTO Ud,en = V d + p d i (7.6.5-1)

EXPEDITO pode ser empregado mesmo quando no momento pd existir uma parcela devida a uma excentricidade inicial ei.

Entretanto esta aplicação deve ser usada com cautela, pois a precisáo de seus resultados depdnde do andamento dos diagramas de interação nas faixas de valores

Page 273: Fusco - Estruturas de Concreto

altos de pd. Por esta razão, a expressão (7.6.5-1) pode ser empregada irrestritamente tão-

somente para o pré-dimensionamento. O emprego desta expressão para dimensiona- mento somente é lícito após o seu controle, por meio da análise do andamento dos correspondentes diagramas de interação.

Em muitos casos da prática essa aplicação é possível, com precisão numérica muito boa, conforme será visto nos exemplos de projeto.

Generalizando o critério de simplificação, pode-se resolver de forma semelhante o problema do pré-dimensionamento das peças sujeitas a flexão composta oblíqua.

Através da análise dos diagramas de interação (v,, pzdi pyd), a flexáo composta oblíqua pode ser transformada numaflexão composta normal equivalente, para a qual se obtenha a mesma taxa o de armadura, conforme já foi mostrado no item 7.4.4, particularmente através da Fig. 7.4.4-1.

A seguir, esta flexão composta normal é transformada numa compressão cen- trada equivalente, podendo-se fazer assim o dimensionamento expedito da seção transversal da peça.

7.7 PAREDES ESTRUTURAIS

7.7.1 CONCEITOS BÁSICOS Definem-se como paredes estruturais as estruturas laminares planas verticais apoiaz das de modo continuoem toda a sua base, com comprimento b maior que cinco vezes a espessura h, solicitadas predominantemente por cargas contidas no seu plano médio, Fig. 7.7.1-1.

b > 5h b G 5h

PAREDE P I L A R

Fig. 7.7.1-1 Distin$ao entre paredes e pilares

Para efeito de dimensionamento, as paredes estruturais são tratadas da mesma forma que os pilares, alterando-se apenas alguns detalhes particulares.

Um problema particular que merece consideração especial é constituído pelos pilares de seção celular, compostos elementos que podem ser assimilados a paredes estruturais, Fig. 7.7.1-2.

Particularmente em relação a armadura mínima dos pilares de seção celular, é importante lembrar que as exigências de um mínimo de armadura nos pilares nasceram do conceito de excentricidade acidental.

No caso de seções nãu-vazadas, as exigências tradicionais parecem usualmente satisfatórias.

No entanto, no caso de pilares de grandes seções transversais, como é o caso usual dos pilares de seção celular, essas mesmas exigências frequentemente são

Page 274: Fusco - Estruturas de Concreto

exageradas, pois nesses casos nada se melhora, em princípio, em relação a segurança da peça, pelo aumento da armadura além dos valores requeridos pelo cálculo.

No caso de pilares de seção celular, cabe então garantir, através das exigências de armaduras mínimas, a segurança contra flexões localizadas não previstas das paredes que compõem o pilar.

Em casos destanatureza, a solucão lógica será admitir-se a existência de um pilar - para o cálculo do conjunto e dar-se o tratamento de parede estmtural para a considera- ção das disposicoes construtivas, tais como cobrimentos mínimos, armaduras míni- I - . mas, espaçamentos miximos e exigências quanto as armaduras transversais. I

Fig. 7.7.1-2 Pilares de seçia celular

7.7.2 EXCENTRICIDADE De modo geral, o dimensionamentodas paredes estruturais será feito considerando-se DO CARREGAMENTO queacargatenhaumaexcentricidade emrelaçãoaoplano médio da peça, Fig. 7.7.2-1.

Fig. 7.7 "cidade do carregamento das paredes

Page 275: Fusco - Estruturas de Concreto

A excentricidade a considerar será a soma das seguintes parcelas: a. excentricidade inicial ei correspondente a posição prevista para o ponto de aplica-

ção das cargas; b. excentricidade acidental e, resultante da imprecisão de execução; c. excentricidade de 2.a ordem e,, correspondente as deformações de flexáo em plano

perpendicular a parede.

No caso de paredes estruturais, a determinaçáo da excentricidade inicial e, deve considerar ainteração das paredes tanto com as vigas quanto com as lajes com as quais elas estejam monoliticamente ligadas.

No caso de pilares, as ligações destes com as lajes são usualmente ignoradas, exceto quando existirem lajes-cogumelo. Com paredes estruturais, a interação das mesmas com as lajes pode ser importante, mesmo quando as lajes são maciças, particularmente no caso de paredes de extremidade dispostas paralelamente à borda da construção, Fig. 7.7.2-2.

Fig. 7.7.2-2 Interaçao laje-parede.

De acordo com a NB-1, as excentricidades acidentais a serem adotadas para o cálculo de paredes estruturais deverão estar no intervalo

dependendo a escolha do valor específico, a ser adotado no cálculo, dos cuidados previstos para a execução da obra.

7.7.3 MOMENTOS No caso de paredes estruturais fixadas no topo e no pé, os momentos fletores FLETORES DE 2.a OR,DEM ordem poderão ser calculados da mesma forma que para os pilares, adotando-se o

processo simplificado do equilíbrio, pelo qual

onde a curvatura Ilr é adotada com o valor convencional

com

Page 276: Fusco - Estruturas de Concreto

266 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

sendo h a espessura da parede e

Para a determinação do comprimento de flambagem e,, a NB-1 admite os seguin- tes valores aproximados, determinados em função da altura (da parede e da relação

I altura da parede P =

largura da parede

a. Topo e pé articulados fixos Bordas verticais livres

b. Topo e pé articuladosfixos Uma borda vertical livre e outra faa (articulada ou engastada)

c. Topo e pé articulados fixos Bordas verticais firas (articuladas ou engastadas)

e e, = - para íj3 G 1) 1 + pz (7.7.3-4)

e e, = - para íj3 > 1) 2 P

(7.7.3-5) 1

d. Topo e pé engastados, com P G I Adotam-se os valores indicados em a , b, c multiplicados por 0,85

i 7.8 DISPOSIÇOES CONSTRUTIVAS

7.8.1 RESISTÊNCIA AO Os valores máximos e mínimos relativos as disposições construtivas consideram as FOGO exigências das seguintes normas brasileiras: 1

NB-1/78: Projeto e execução de obras de concveto armado I

NB-503177: Exigências particulares das obras de concreto armado e protendido em I

relação a resistência ao fogo

Tendo em vista a ação do fogo sobre as estruturas, devem ser analisados os 1 seguintes aspectos fundamentais:

1. Classificação dos incêndios Para a consideração da intensidade do fogo, a NB-503 classifica os incêndios da

seguinte forma: a. Admite-se para o poder calorífico da madeira o valor de 4 500 kcalJi.0 b. Transformam-se os materiais combustíveis da e num equiv

Page 277: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 267

madeira, considerando o poder calorífico e a quantidade desses materiais. c. Admite-se a seguinte correlação entre o potencial calorifico equivalente em

madeira e a duração do incêndio:

Tabela 1

Potencial calorifico equivalente em

madeira (kg/mz)*

30 60 90

120

*Para valores inrermediários do potencial calorifico adota-se a duracão imediatamente superior.

2. Incêndio a ser considerado no projeto a. Para edifícios residenciais de altura não superior a 12 m, medida do piso

mais baixo ao teto mais alto, pode ser adotada a duração F 60 para toda a estrutura.

b. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente não exceda a 60 kg/m2 de madeira, deve o projeto considerar no mínimo as seguintes durações: - para elementos estruturais essenciais aresistência global da estrutura, tais

como pilares e vigas de transição: F 120 - para os demais elementos da estrutura: F 60

c. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente exceder a 60 kg/m2, em lugar da duração F 120 adotar-se-á a duração indicada na Tabela 1, e a duração imediatamente inferior em lugar da duração F 60 para os elementos estruturais classificados no caso b.

7.8.2 DIMENSOES Valores exigidos pela NB-1 EXTERNAS M ~ N I M A S

Nota 1 - apoiado em toda a extensão da base e obrigatoriamente considerada a flexáo devidaãs ligações com lajes e com os pilares de andares adjacentes.

e, = altura livre i = raio de giração mínimo L = distância numa certa direçao entre eixos de pilares

di = diâmetro do núcleo cintado b = largura da seção h =. espessura da seção

-

Duração do incêndio (minutos)

60 120 180 240

Representação simbólica do fogo

F 60 F 120 F 180 F 240

Page 278: Fusco - Estruturas de Concreto

268 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Observação: Náo sáo permitidas canalizações embutidas longitudinalmente nos pi- lares, quer no concreto, quer em espaços vazios sem aberturas de drenagem.

Valores exigidos pela NB-503 (centímetros)

Peças

1: Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e expostos ao fogo em duas ou mais faces.

2. Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e expostos ao fogo em uma só face.

3. Paredes de seçáo retangular com relação de lados blh 5, inteiramente comprimida.*

4: Peças fletidas que não possam dilatar livremente na di- reçáo longitudinal.

.Valores exigidos pela NB-503: Cobrimento c( da armadura longitudinal (cm)

7.8.3 COBRIMENTOS Valores exigidos pela NB-I: Cobrimento c (centímetros)*

I Peças de concreto náo-revestido (7 (**I

'Para pilares com relagão de lados entre 1 e 5, interpela-se linearmente entre os valores dos casos 1 e 3.

Duração do fogo

M ~ N I M O S

I~ilares com seção inteiramente comprimida 1 2,5 1 4.5 / 6,O / 7,s 1

F 6 0

20

12

12

8

'Cobnmento c medido a partir dor estribos ou das armaduras secundárias externas à armadura principal.

Peças

Pilares Paredes

Paredes / 1,5 1 3,O / 4,s 1 -

FIZ0

30

16

16

11.5

F180

36

20

20

15

Peças fletidas que não possam dilatar livremente na dire- ção longitudinal

I I I I I 1 'Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimcnto c,, para cada 1,s cm de revestimento de argamassa de cal e areia. "Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimento c,. oara cada 0.4 sm de revestimento de x s s o ou de fibras de

F 2 4

40

24

24

18

amianto, ou de argamassa de vermiculite

Concreto revestido com argamassa de pelo menos 1 cm de espessura

2.5

7.8.4 ARMADURAS VALORES E X I G I D O S PELA NB-1 LONGITUDINAIS

a . Pilares não-cintados que tenham todas as barras comprimidas

Interior de edifícios

1,s 1,0

= 0.8% para teli > 30

Concreto em meio fortemente agressivo

4.0 4,O

Ao ar livre

2,O 1 s

4,O

,i, = 0,5% para t,/i s 30

Concreto em contato com o solo

3,O 3 ,o

Concreto aparente

' lusive no trecho de emenda I

Interior de edificios

2,O 2 8

5,O

sse)

Ao ar livre

2.5 2,s

6,O

Page 279: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS

b. Pilares com seção efeíiva A,, ,f superior a seçáo calculada A,, ,.,l

A , = 0 3 % A,, .., para (,/i > 30 A,, ,i, = 0,5% A,, .., parateli s 30 A,, ,i, = 0,5% A,, , (videcomentários, § 7.7.1, arespeito de pilares de seção

celular). De modo geral esta condiçáo da NB-I parece exagerada, podendo por isso ser suprimida.

... c. Paredes (b 6 h)

p,,, = 0,4%

d. Paredes com seçáo efetiva A,, ,superior a seçáo calculada A,., ,.,, A,, min = 0,4% A,, c,,

A,, ,i, = 0 2 % A,, ,f

e. Paredes com 5 h < b < 6 h

Interpolar linearmente entre os valores recomendados para pilares e paredes. I f . Pilares cintados

Veja-se o § 7.2.3

7.8.5 ESPAÇAMENTO DAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-1 BARRAS LONGITUDINAIS

a. Espaço livre mínimo entre barras; 2 cm; 1 4; 1,2 dogregodo + = diâmetro das barras, das luvas ou dos feixes

b. Espaço livre mínimo entre barras, na posição das emendas por traspasse: 2 $ I c. Espaçamento máximo, junto ao contorno dos pilares náo-cintados:

40 cm i d. Espaçamento máximo, das barras da armadura principal das paredes: I

2 h, 30 cm i I I

7.8.6 ARMADURAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-I TRANSVERSAIS

a. Espaçamento máximo dos estribos dos pilares náo-cintudos

- 30 cm - menor dimensão externa da seção da peça - 21 +,e 340 m2,1 +, para aço CA-25 e CA-32 - 12 +, e 190 +2,/ +, para aço CAIIO, CA-50 e CA-60

Caso f,k, esi,.o, < fuk, armadura reduzir o espaçamento proporcionalmente a f,k.Jf,.,

b. Arranjos básicos dos estribos Na Fig. 7.8.6-1 são mostrados os arranjos básicos dos estribos, de acordo com as

exigências da NB-1.

Page 280: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS

Fig. 7.8.6-1 .4rranjos básicos dos estribos das peças náo-cintadas.

c. Diâmetro mínimu dos estribos De acordo com a NB-1, deve-se ter:

d. Armaduras secundárias das paredes A armadura secundária, normal à armadura principal, deverá ter seção tr,.,, .,,-

sal no mínimo 50% da principal.

Page 281: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF'fCIOS

e. Estribos suplementares nas paredes O emprego nas paredes d e estribos suplementares, como os indicados na Fig.

7.8.6-1, é exigido pela NB-1 apenas quando ocorre pelo menos uma das seguintes circunstâncias:

f. Pilares cintados Veja-se o § 7.2.3

7.9 EXERC~CIOS 7. 1 Que são ações atuantes e ações resistentes? Definir solicitações atuantes e soiicitaçóes resistentes.

7. 2 Qual a condição de segurança na flexão pura? 7. 3 Definir a direçáo da verificação da segurança na flexão composta. 7. 4 Que são excentricidades acidentais? 7. 5 Deduzir as expressões básicas de dimensionamento dos pilares não-cintados submetidos a

compressão centrada. 7. 6 Qual a funçáo do coeficiente a de majoraçáo da força normal? 7. 7 Como é determinado o índice de esbeltez dos pilares dos edifícios correntes? Quais as

hipóteses envolvidas nessa determinação? 7. 8 Que é pilar cintado? Qual o efeito do cintamento? 7. 9 Como a NB-I considera quantitativamente a influência do cintamento? 7.10 Quais as restriçóes ao emprego de pilares cintados? 7.11 Quais as exigências da NB-I quanto a dimensões, espaçamentos e taxas de armadura dos

pilares cintados? 7.12 Quais as condiçóes que tornam obrigatória a consideração da açáo do vento sobre os

edifícios? 7.13 Que são estruturas de contraventamento? 7.14 Como são considerados os nós dos pilares de estruturas contraventadas? 7.15 Quais sáo as situações básicas de projeto dos pilares dos edifícios? 7.16 Como são calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de extremidade? 7.17 Como sáo calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de canto? 7.18 Definir as situaçóes de projeto e as correspondentes situações de cálculo estipuladas pela

NB-1. Como podem ser elas simplificadas? Justificar. 7.19 Como se faz a transformação de uma flexáo composta oblíqua numa flexáo composta

normal equivalente? 7.20 O que se entende por diagrama de interação linearizado na flexáo composta oblíqua?

Quando é lícita essa linearizaçáo? 7.21 Quais as desvantagens do emprego do diagrama de interaçáo linearizado?

Page 282: Fusco - Estruturas de Concreto

Pilares Usuais de Edifícios. Exemplos de Dimensionamento

8.1 DADOS BÁSICOS DE PROJETO

8.1.1 CARGAS DE PROJETO Para a determinação das cargas de projeto, dispõe-se da Norma Brasileira NB-5/78 (Cargas para cálculo de estruturas de edificações), a qual "fixa as condições exigíveis para a determinação dos valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de estruturas de edificações, qualquer que seja a sua classe e destino, salvo os casos previstos em normas especiais".

A NB-5 classifica as cargas em permanentes e acidentais, indicando-as, respecti- vamente, pelos símbolos (g) e (q).

A carga permanente (g) da construção é constituída pelo peso próprio da estw- tura e pelo peso de todos os elementos constmtivos fixos e instalações permanentes.

Para os casos em que não há determinação experimental, a NB-5 fornece os valores dos pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais frequentes.

A tabela seguinte é um extrato da Tabela 2.1.3 da NB-5178.

1 Materiais I íkN/m3) Peso específico aparente

Blocos artificiais

e concretos

I N =0 .1kg f I MPa = I MNlmX= 10kflcm2 I k N = I W k g f = 0.1 tf I kN1m = I W kgfim = 0,l tfim I kN.m = 1W kgfm = 0.1 t t m I kNimS= I W kgfimP = 0.1 tflm' 1 kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tf.cm I k N i m b I W kgflm' = 0.1 tfIm3

blocos de argamassa cimento amianto lajotas cerâmicas tijolos furados tijolos maciços tijolos sílico-calcários

argamassa de cal. cimento e areia argamassa de cimento e areia argamassa de gesso concreto simples concreto armado

22 20 18 13 18 20

19 2 1 12.5 24 25

Page 283: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 273

De acordo com a NB-5, carga acidental é toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função de seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos etc.).

Na tabela seguinte apresenta-se um pequeno extrato da Tabela 2.2.1.2 da NB-5, na qual são especificados os valores mínimos das cargas verticais.

A NB-5 fixa ainda diversos valores numéricos e formula uma série de recomen- dações para diferentes casos específicos de carregamento.

No caso de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não destina- das a depósito, para o cálculo de pilares e defundações, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os seguintes valores prescritos pela NB-5.

Carga (kN/mZ)

7.5

Local

Casas de máquinas

Corredores

Edifícios residenciais

Escritórios

I -

Número de pisos que atuam sobre o Redução percentual das cargas acidentais elemento

(incluindo o peso próprio das máquinas) a ser determinada em cada caso, porém com o valor mínimo de

com acesso ao público sem acesso ao público

dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro despensa, área de serviço e lavanderia

salas de uso geral e banheiro

8.1.2 ARRANJO GERAL E Na Fig. 8.1.2-1 está delineado o arranjo geral da estrutura que servirá de suporte CARREGAMENTO DAS para os exemplos de dimensionamento a seguir apresentados.

LAJES Nos itens seguintes serão dimensionados os pilares P1, P4, P5, W e P8, admitindo-se diferentes índices de esbeltez.

3 2

1.5 2

2

1 . 2 e 3 4 5

6 ou mais

a. Carregamento das lajes

0 20 40 60

g, = peso próprio = 0,12 m x 2 5 kN/m3 = 3,O kN/mZ g, = revestimento (taco + argamassa) = 0,8 kN/mZ q = carga acidental (escritórios) = 2,O kN/m2 - p = carga total 5,8 kN/mZ

C

1 N =O, lkg f i MPa I I MNlm* = IOkgf!cm2 I k N = IW kgf = 0,1 tf I kN1m = I W kglirn =O,! tfim I kN.m = I W k g f m = 0.1 tf.m I kN!mS= 100kgf/m2=0,1 tf/rnS I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 õ c m I kN/rnS = l W kgflm' = 0.1 tflm"

Page 284: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Fig. 8.1.2-1 Arranjo geral

b. Reações das lajes De acordo com o quejáfoi discutido anteriormente,* as reações de apoiadas lajes

sobre as vigas são obtidas da seguinte forma:

'Fundamentos do Projeto Estnitural.

I N =O,Ikgf I MPa = I MNlmZ = 10 kgficm2 I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNim = 100 kgf/m = 0.1 tflm 1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m I kNlms= 100kgf/mP = 0,1 tfim2 1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 t fcm I kNlm3 = 100 kgfIm3 = 0.1 tflm=

Page 285: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 275

8.1.3 cÁLCULO DAS VIGAS I . Viga VI

V I G A @ ( 2 0 / 5 0 + 1 2 )

Fig. 8.1.3-1 Cálculo da viga VI

a. Cargas peso próprio + alvenaria 12,0 kN/m laje (L1 = L2) 7,8 kN/m

p = 193 kN/m - 20 kN/m

b. Reaçóes As reações estão indicadas na Fig. 8.1.3-1 e foram calculadas admitindo-se uma

viga contínua (os momentos nos apoios internos foram calculados de forma aproxi- mada pelo valor - pt2/10).

Não convém, em situaçóes dessa natureza, o uso indiscnminado da permissão dada pela NB-I em seu 5 3.2.2.3 B (d).

c. Rigidez (de acordo com a Tabela 27)

-

0,i k d 1 MPa = i MN/mS = 10 kgficrnP I00 k d =- 0,l lf 1 kN/m = 100 kgfim = 0,l tfim i00 kgtm = 0.1 tf m I kNim2 = 1001<gWmP = 0.1 tWmz 100 kgtcm = 0.1 tf.cm 1 kNim3 = 100 kgf/mg = 0,l tfima

1 MPa = 0.1 kN/cmP = 100 N/cmz

Page 286: Fusco - Estruturas de Concreto

d. ?víomento de engastamento perfeito

V I G A S o=@ ( 2 0 / 5 0 + 12)

Fig. 8.1.3-2 Cálculo das vigas V2 e V3

a. Cargas peso próprio = 0,20 m x 0,60 m x 25 kN/m3 = 3,O kN/m

laje (L1 - L2) L1 = 7 , s kN/m laje (L3 - L4) L3 = 7,s kN/m

p = 18,6 kN/m - 19 kN/m

b. Reações Valores indicados na Fig. 8.1.3-2.

c . Rigidez

I N =O, lkg i I MPa = I MNlrn2= IOkgflcm' I kN = I W k g i = 0.1 tf I kNlm = IW kgflm = O, I tfim I kN.m = 1W k d m = 0.1 t fm I kN1m' = IW kgfimP = 0.1 lflm' I kN.cm= 1Wkgj.cm =U,I tf.cm 1 kNlmZ= 1Wkgflm8=U,1 tfirn3

Page 287: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMF'LOS DE DIMENSIONAMENTO

d. Momento de engastamento perfeito

pe2 - 19 kN/m . (6mY = 57 kN,m Me, = 12 -

12

111. Viga V4

Fig. 8.1.3-3 Cálculo da viga V4

a. Cargas I

peso próprio + alvenaria = 10 kN/m laje (Ll) = 5,s kN/m

p = 15,s kN/m - 16 kN/m

b . Reações O equilíbrio de rigidez dentre os pilares P1 e P4 permite que neste caso sejaválida

uma simplificação como a do item 3.2.2.3 B (d) da NB-1. Os valores das reaçóes estão indicados na Fig. 8.1.3-3.

h

c. Rigidez

b,/b, = 12/36 = 0,33 I) = 0,51 (Tabela 27)

hJh = 12/52 = 0,23

I MPa = 0,l kN/cm2 = I00 N/cmP

Page 288: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

r,,, = - I =i 21 = 0,55 dm3 t 40

d. Momento de engastamenro perfeito

I V . Viga V5

I Fig. 8.1.3-4 Cálculo da viga VS.

1 a. Cargas

peso próprio = 2,O kN/m laje L1 = 5,s kN/m laie L2 = 5.8 kNim

b. Reações Reações calculadas de forma simplificada. Valores indicados na Fig. 8.1 5 4 .

8.1.4 CARREGAMENTO a. Cargas devidas a 1 andar DOS PILARES

Total = 82 k N Total = I l l k N Total = 181 kN I I I I 'Peso próprio já incluído na consideração das alvenarias. "Valor estimado para o peso próprio.

1 N =O,lkgf 1 MPa = I MNlms = I0 kgf/cm2 1 kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm 1 kN.m = IW kgf.m = 0,l tfm I kN/m2 = 1W k8f/mP = 0.1 rf/m2 1 kN.cm= 100 kgf:cm = 0,l tfcm I kNIm3 = IW kgflms = 0.1 tfim"

Page 289: Fusco - Estruturas de Concreto

b. Carga de 10 andares (Valores característicos) P1 = 820 kN P4 = 1110 kN P5 = 1810 kN P7 = 1110 kN P8 = 1810 kN

8.2 PILARES INTERNOS

.2.1 PILAR CURTO ( h s 40) a. Problema proposto Considere-se o dimensionamento do pilar PS, admitindo que o comprimento de

flambagem seja l', = 3,50 m. De acordo com os dados básicos, têm-se

Admita-se o emprego dos seguintes materiais:

Aço: CA-SOB y, = 1,15

Na compressão simples = 2%0): fsd = 356 MPa (Tabela 20)

Concreto: fCk = 15 MPa YC = 1,4

15 Na compressão simples: 0,85 f,, = 0 , 8 5 = 9,l MPa

1,4

b. Pré-dimensionamento ' Admitindo-se a taxa geométrica de armadura

p, = 1%

a tensão ideal a,, vale (Tabela 23) ,I I

aia = 035 f,d + p, (fad - 0,85 f,n) = 12,5 MPa = 1,25 kN/cmZ

resultando a estimativa

ou seja, será adotada a seção

A, = 35 cm x 60 cm = 2100 cm2

1 N = O , l k g f I MPa = 1 MNlmZ = 10kgficmZ I k N = 1W kgf = 0.1 tf I kNim I W kgfim = O,] tfim 1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 tf.m 1 kN/rnP = 100 kgfim* = 0.1 tfimP I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNim3 = I W k g f i m b 0.1 tfima

I MPa = 0.1 kN/cmZ = 100 Nlcm'

Page 290: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

c. Dimensionamento Adotando-se a seção definitiva

têm-st

De acordo com a NB-1 , para A < 40, a excentricidade acidental mínima pode ser substituída por uma majoração da força normal, devendo tomar-se

com

É óbvio que esta majoração será feita em função da menor dimensão da seção transversal, a qual já foi considerada na determinação de A,,,.

Neste caso, as duas situações de cálculo de flexáo composta, teoricamente definidas pela NB-I, Fig. 7.4.1-1, ficam reduzidas a uma única situação de cálculo de compressão centrada.

Desse modo, resulta

obtendo-se a tensão ideal média

Nld = . = - 2965 kN l d

kN = 1,41 - = 14,l MPa

A, 2100 cmZ cmZ

De acordo com a Tabela 23, para o Aço CA-50B e f,, = 15 MPa, a tensão ufd = 14,l MPa corresponde a taxa de armadura

logo

não havendo restrições quanto ao arranjo da armadura longitudinal além das prescn- ções constmtivas da NB-I.

0 , l kgf 1 MPa = I MNlms = 10 kgflcm' : IW kgf = 0.1 tf 1 kNlm = IW kgfim = 0.1 tfim

100 kgf.m = 0.1 t f m I kNlma = 1W kgf/mP = 0.1 f ims ; IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N i d = I W k g f i d = 0.1 ifim3

Page 291: Fusco - Estruturas de Concreto

MEDIANA

PILARES USUAIS DE EDIF'~cIoS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 281

8.2.2 PILAR a. Problema proposto MENTE ESBELTO Considere-se novamente o mesmo pilar P5, admitindo agora o novo compnmento

(40 i A s 80) de flambagem

e, = 5,60 m (e,, = te, por hipótese)

e a mesma seção transversal do caso anterior, ou seja,

Neste caso têm-se, novamente, Fig. 8.2.2-1: 1 1

Fig. 8.2.2-1 Arranjo da armadura

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmz +

Page 292: Fusco - Estruturas de Concreto

sendo mantidos os mesmos materiais: Aço CA-SOB, f,, = 15 MPa

b. Pimensionamento O pilar poderá ser novamente dimensionado apenas em função da esbeltez

máxima. De acordo com a NB-I , o pilar poderá ser admitido numa situação de cálculo de compressão uniforme, majorando-se a força normal proporcionalmente a

onde

K = 3 (decisxo de projeto, válida para seçóes retangulares

1 com A,, 3 - A,, Tabela 16) 3

e, = e,, + e,,

e,, = 2 cm faz = 2 cm > - 30 (Ver comentário feito em 7.1.4)

tZ,, . 0,0035 + 0,0027 eZs = - 10 (v, + 0,s) h

Empregando-se a Tabela 16, com f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2, tem-se

2 cm ?!E = = 0,057 h, 35 cm

logo

e sendo

I N = O , l k g f 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficmz I k N = IW kgf = 0.1 tf i kNim = IW kgfim = 0.1 f i m I kN.m = 100 kgf.rn = 0.1 tf.m I kNimS= I W kgfimP = 0.1 @/me I k N c m = 1W kgfcm = 0.1 t fcm I kNima = IW kgfim3 = 0.1 tfirn3

1 MPa = 0.1 kNicm2 = 100 Nicm'

Page 293: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

resulta (Tabela 16)

a2 = 0,26

obtendo-se

a = a , + a 2 = 1 , 1 7 + 0 , 2 6 = 1,43

ou seja

Nld = a Nd = l,43 X 2534 = 3624 kN

Com a seção adotada, obtém-se

Nld = Uid = -

3624kN kN - 1,73 - = 17,3 MPa A, 2100 cmZ cm2

e da Tabela 23 resulta (CA-SOB, f,, = 15 MPa)

p, = 2,4%

logo

2100 A, = 2,4 -- = 50,4 cm2 = 16 4 20 (50,4 cm2), devendo ser respeitada a con- 1 O0

1 dição A,, > - A,, Fig. 8.2.2-1. 3

8.2.3 PILAR ESBELTO SEM a . Problema urouosto . . CONSIDERAÇAO DA Considere-se mais uma vez o pilar P5, admitindo os valores:

- .+Ac.= 20 cm x 150 cm = 3000 cmz e, = 560 I& (e,, = e,,)

h i 7 * p a = 1,07 kNIcmZ L . ! 1 Í 11 i

Na direção de menor rigidez, têm-se 1 i

I N =0 ,1kg f 1 MPa = I MNlrna = 10 kgflcrn* I k N = I W k g f = O , l t f 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tfim I k N m = 100 kgfm = 0.1 t f m 1 kN/rn2= I00 kgf/rn3= 0.1 tf/m2 I kN.cm = IlM kgfcm = 0.1 t f c m I kN/m3 = I W kgf/rn3 = 0.1 tf/mJ

1 MPa = O,] kN/cmz = 100 N/cmz

Page 294: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

e na direção de maior rigidez

A Fig. 8.2.3-1 mostra as situações de cálculo especificadas pela NB-1, ignorando-se ainda as possíveis simplificações permitidas.

Fig. 8.2.3-1 Situaçóes de cálculo

SITUAÇÃO SUPOSTA N O PROJETO

Y

e. = I

b. Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso pelas tabelas do Manual de Flambagem do CEB)

Neste caso, o único momento de I .a ordem decorre da excentricidade acidental e,,, sendo

hz - 20 e,, = 2 cm (e,, = 2 cm > - - - = 0,67 cm) 30 30

logo

S I T U A Ç ~ E S DE CÁLCULO CONFORME A N B - I .

Parao emprego das tabelas daFig. 5.3.5-3 do Cap. 5,'6~"calculam-seos valores:

( 1"

1' i d * x e a x

i,' 97

1 N = O , l k & f I MPa = I MNim2 = I0 kgficm* I k N = I W k g f = O . l t f I kNim = I00 kgflm = 0,I tfim 1 kN.m = I W k g f m = 0.1 1f.m 1 kNimZ= IWkgf im2=0 ,1 tiim' 1 kN.cm = I W kgf.cm = 0,I ü c m I kN/ma = I00 kgfima = 0.1 tfim3

I MPa = 0.1 kNicm2 = 100 NicmP

( 2O 1

~ d b a y ~ x

X y = 13

Page 295: Fusco - Estruturas de Concreto

" PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

De acordo com a tabela citada, têm-se: para

para

Interpolando linearmente para <,/h = 28, resulta

Observe-se que, de acordo com a definição adotada,'" l7 a taxa o. não fornece a armadura total, mas sim a armadura de cada uma das faces.

5 fUd

Sendo então wn = 2

0,85 fc, A,

0,85 x 10,7 MPa x 3000 cm2 = 25,7 cmZ tem.se 5 = 0,41

2 435 MPa

logo A, = 2 x 8 6 20 (2 x 25,2 cm2), conforme indicação da Fig. 8.2.3-2

/ y h , = 20cm

Fig. 8.2.3-2 Atnanjo da armadura.

I N = 0 , 1 k g f I MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cm2 I k N = 100 kgf = 0.1 tf r kN/rn = 100 kgfim = 0.1 tf/m 1 kN.m = I W kgf.m = 0.1 t f m I kN/m2 = 100 k8firn2 = 0.1 WmP 1 k N . c m = 100 kgf.cm = 0.1 d c m I kN/m3 = 100 kgf/mS = 0.1 tf/rn3

I MPa = 0.1 kN/crn2 = 100 N/cmZ

Page 296: Fusco - Estruturas de Concreto

c. 2 . O Situaçáo de cálculo (Dimensionamento simplificado) A 2.a situação de cálculo especificadapela NB-1 corresponde aflexáo no plano de

maior rigidez da seção transversal do pilar, Fig. 8.2.3-1. Neste caso, sendo A, < 40, adinite-se o cálculo simplificado, resultando:

Nld = 2787 kN U i d = -

kN = 0,93 - = 9,3 MPa

A, 3000 cm2 cmP

1 De acordo com a Tabela 23, para CA-SOB, fek = 15 MPa e u,, = 9,3 MPa, resulta I um valor

Ps, nec < Ps, dismnível = Ps, I.* sit. de esleuio I

8.2.4 PILAR ESBELTO. a. Problema proposro SOLUÇAO ALTERNATIVA Considere-se novamente o pilar, P5, nas mesmas condiçoes do item anterior.

POR MEIO DE O objetivo deste exemplo é mostrar o emprego de diagramas de interação de DIAGRAMAS DE flexão composta de barras esbeltas, como os que foram mostrados no Cap. 5 , Fig.

INTERAÇÃO 5.3.5-5. Basicamente, esses diagramas de interação fornecem os mesmos dados que as

I< tabelas apresentadas pelo Manual de Flambagem do CEB.17 Tendo em vista o objetivo deste exemplo, será considerado apenas o dimensio-

namento referente a I .a situação de cálculo do item anterior ( 5 8.2.4-b), Fig. 8.2.3-1.

b. I . a Situação de cálculo (Solução alternativa - dimensionamento rigoroso por meio dos diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5)*

Dados do projeto:

N, = 2534 k~ N < r IJ e,, = e,, = 2 cm A, = 20 cm x 150 cm = 3000 cm2 h, = 20 cm

*ReferSncia (18)

I; @, &J

I N = O , l k g f 1 MPa = I MNlms = 10 kgf/cmZ I k N = 100 kgf = 0.1 rf I kN1m = IW kdim = 0.1 tflm 1 k N m = 1W kgf.m = 0.1 t f m I kN/ma = 1W kgf/m2 = 0.1 tflm' I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 t fcm I kNim3 = l m kgfim3 = 0.1 tf/m3 i

Page 297: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

kN fcd = 10,7 MPa = 1 ,O7 -

cm2

kN f,, = 435 MPa = 43,5 - cm2

Com esses dados, obtêm-se os valores:

Dos diagramas deinteração da Fig. 5.3.5-5, com vd = 0,79e pId = 0,08, obtêm-se:

para 5 = 25 : w = 0,65 r / h

para 5 h = 30 : o = 0,85

Interpelando para 5 = 28, obtém-se h

e sendo

resulta

I N = O , l k g f 1 MPa = I MNlmZ = 10kgf/crn2 ' I k N = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN/m = I W kgflm = 0.1 tflm I kN.m = 100 k g f m = 0.1 tf.m I kN/m2 = I W kgflmz= 0.1 tflm' I kN.cm = I W k g f c m = 0.1 tf.cm 1 kN/mS = 100 kgfimg = 0.1 tf/mJ

I MPa = 0.1 kN/cmP = 100 N/cms

Page 298: Fusco - Estruturas de Concreto

zss ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

ou seja

resultado praticamente igual ao anteriormente obtido.

8.2.5 PILAR ESBELTO. a. Problema proposto SOLUÇÁO ALTERNATIVA Repetir o dimensionamento feito no item anterior, mas empregando-se direta-

POR MEIO DE mente os diagramas (moment~ fletor-força normal-curvatura). DIAGRAMAS (M, N, Ilr) 1

A Fig. 8.2.5-1 mostra os diagramas (M, N, -) correspondentes a d'/h = 0,05 e r

d'lh = 0,15, respectivamente, ambos válidos para u = 0,80

ACO CA 5 0 - A

8 =orctg 0,066 e l = a r c t g 0,074

Fig. 8.2.5-1 Solu~ão por meio de diagramas (M - N - llr).

b. Dimensionamento

N U A = d = 0,79 - 0,8

Page 299: Fusco - Estruturas de Concreto

.- - \

\

\ \ I

PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO \- 291 1

sendo

tem-se

ou seja

Considerando que os diagramas daFig. 8.2.5-1 têm por abscissaavanável 103d/r, pode-se escrever

Desse modo, o coeficiente angular da reta que determina o momento de 2.= ordem p2 é dado por

No caso presente, têm-se:

d para- - = 0,95 : tg 8 H

d para - = 0,85 : tg o h

Conforme se vê na Fig. 8.2.5-1 têm-se:

d para - = 0,95 : OJ = 0,65

h

d para - = 0,85 : = o,90 h 1

I d resultando por interpolaçáo, para - = 0,90, h I

aticamente o mesmo valor obtido no item anterior, ao qual corresponde

= 2 x 9 C$ 20 (2 x 28,35 cm2)

Page 300: Fusco - Estruturas de Concreto

290 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

8.2.6 PILAR ESBELTO. a. Problema proposto CONSIDERAÇAO DA Considere-se novamente o dimensionamento do pilar P5, levando em conta o

FLUÊNCIA efeitoda fluência. Para isso, serão admitidos os seguintes valores: '\ \ i, \

a e n a duração N ~ , + . b k ~ = o , s r N. -'.~- '%,

! Fg = y, (No, + +, Nck) com y, = 1,10 ,''

,..~~ . . ~

função de fluência +(L, to) = 2 \

'8

A, = h,h, = 20 cm x 150 cm = 3000 cm2 l

b. Cálculo da excentricidade suplementar e, --\ .-

i ;

- carga que produz fluência F- (Ngk + I)~N~,) = y,.0,95,Nk /-v-----------. '\-.'

F, = 1,10 x 0,95 x 1810 = 1890 k N

~ ~.~ ~. - excentricidade de I .a ordem da carga F, ~.

e, = e, + e.

sendo

;ei = 0 (situaç,áo..de.projeto de compressão centrada) i-.--.- .. . - . .~ ~ -. ~ . ~. . ~~

- módulo de deformação longitudinal do concreto

E, = 0,9 x 6600 d f c k + 3,5 (em MPaj

f,, = 15 MPa

kN E, = 0,9 x 6600 d m = 25550 MPa = 2555 - cmZ

- momento de inércia ideal Admitindo-se a seção retangular da Fig. 8.2.3-2 como fruto de um pré-

dimensionamento aproximado, têm-se

A, = 2 x 8 4 20 = 50,4 cm2 E, = 210000 MPa

I N =O, Ikg f I MPa = I MNlm2 = lOkgfIcm2 I k N = I W k g f = O , I t f I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 kN.m = 1W k g t m = 0.1 1f.m I k N / m z = IW kgflm2 = 0.1 tf/mS 1 kN.cm= IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNImz= IWkgf /mS= 0,I tf/ma

I MPa = 0.1 kN1cm2 = IW N/cm2

Page 301: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

- carga de flambagem de Euler

sendo e, = 5,60 m

- excentricidade suplementar L . .

~. c S*.> "

. 2,??&890 ) V

e, = 2 { exp ( !- I )} = 2,e-0,5z = 1,19 cm L' 9800 - 1890 ,

<

c. Situaçóes de cálculo A Fig. 8.2.6-1 mostra as situaçóes de cálculo, considerando-se o efeito dafluên-

cia.

SITUAÇAO SUPOSTA S I T U A ~ Õ E S DE CÁLCULO CONFORME A N B - I NO PROJETO ( 1 " ) ( 2 % )

-

e i = O x e,, e c x

_I + h , = 2 0 e X = 13 Y

Fig. 8.2.6-1 Situaçóes de cálculo.

Observe-se aue na Fie. 8.2.6-1 - Isto decorre do fato de que o pilar ; d á calculado pelo processo h E l a ~ p a d r a i $ mas sim por um processo rigoroso, no qual são explicitadas apenas as excentricidades de I .a ordem

I N =O. lkg f I MPa = I MNlrn2 = 10 k&icrns I k N = l m k g f = o , l r f I kNim = I W kgfirn = 0.1 tflm 1 kN.m = IW kgf.rn = 0.1 1f.m 1 kNimZ= 1W kgfim* = 0.1 tfim2 I kN.crn = 1 U kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N i r n L I W kgfim3 = 0.1 @/ma

1 MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 Nlcm*

Page 302: Fusco - Estruturas de Concreto

e 292 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS .C

d. Dimensionamento em função da situação de cálculo Neste caso, empregando novamente os diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5,

têm-se

Nd = yf Nk = 1,4 x 1810 = 2534 kN e,, = e,, + e, = 2 + 1,19 =3 ,19cm A, = 20 em x 150 cm = 3000 cm2 h, = 20 cm

logo, sendo

obtém-se:

I para 6 = 25 : = 0,80 h

resultando para <,/h = 28

3 w = 0,80 + - x 0,20 =

5

ou seja

podendo fazer-se A, = 2 x 11 4 20 (2 x 34,65 cm3

8.2.7 PILAR CINTADO a. Problema proposto Considere-se o dimensionamento do pilar P8, admitindo uma seção transversal

1 N =O,lkgf 1 MPa = I MN/mP = IOksficm' I k N = l W k g f = O , I I f 1 kN/m = 1W kgflm = 0.1 tfim I kN.m = 1W kgf.m = 0,I t t m 1 kN/mz = 100 kgf/m2 = 0.1 Um' 1 kN.cm= 1W kgi.cm = 0,1 tf.cm 1 kNlmS= lWIrBflmS=O,I Iflm"

Page 303: Fusco - Estruturas de Concreto

circular com diâmet k'-\ d = 45 cm e a 1 otando um comprimento de flambagem e, = 3,50 m.

s são os seguintes:

Nk = 1810 kN Nd = ,Nk = ,4 x 1810 = 2534 kN Aço: uYY C - = l , l 5 fvk = 500 MP Concreto: fck = I5 MPa y, = 1,4 fcd

b. Tentativa de dimensionamento como pilar náo-cintado

De acordo com a NB-1, em lugar da excentricidade acidental

pode-se admitir compressão centrada com

Sendo (Tabela 13)

Nld = aNd = 1,15 x 2534

resultando

Nld _ 2914 u i d = - -- kN = 2,32 - = 23,2 MPa

A, 1256 crn2

A esta tensão ideal corresponderia a taxa geométrica de armadura dada por

1 MPa = 0.1 kN/cmz = IW N/cmP

Page 304: Fusco - Estruturas de Concreto

.A 6 '>

294 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

que no caso vale

resultando a armadura longitudinal

Admitindo-se que houvesse emendas por traspasse, estariaultrapassado o limite de 6% imposto pela NB-1 para a máxima armadura longitudinal de pilares não- cintados.

~. .

C . Condiçóes de dimensionamento como pilar cintado Admita-se a colocação da máxima armadura longitudinal

7.3. --~ -

considerada, impondo a bitola +&ara as barras da armadura longitudinal e respep- ando as prescrições construtivas da NB-1 e da NB-503, conforme o que foi

n b - ----- ~ ~ ~ - - ~

Prescriçóes da NB-503 - Admitindo-se um edifício com potencial calorífico equivalente em madeira não

superior a 60 kg/m2, deve ser considerado um incêndio F 120 para o dimensiona- mento dos pilares, uma vez que o prédio tem 10 andares conforme os dados básicos de projeto.

- Cobrimento c, da armadura longitudinal, admitindo-se um revestimento de arga- massa de cal e areia com 1,5 cm de espessura:

Prescriçóes da NB-1 - de edifícios: c = 2,0 cm

por traspasse. 2 +, d. Determinaçüo da armadura longitudinal

O Desse modo, conforme indicado na Fig. 8.2.7-1, tem-se o número máximo de

EMENDAS P O R TRASPASSE d i ' 38,5cm

d = 4 5 c m

di 38,5 cm

Fig. 8.2.7-1 Y L L I . . . ~ ~ ~ ~ ~ , ~ o do máximo número de banas longitudinais~

Page 305: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDK~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 295

barras

Armadura longitudinal adotada é então

A,, = 18 4 16 = 36,O cm2

A área do núcleo cintado vale

resultando a taxa

J w "

que é aceitável, pois conduz, nas emendas, a um valor inferior a 8%, que é a taxa máxima permitida para pilares cintados. - e. Dererminação rln armadura de cinramento

Sendo

resulta /

sendo possível empregar-se o pilar cintado (NB-I : h,,, = 40) Existindo uma situação de projeto de compressão centrada, com

pode-se admitir a situação de cálculo de compressão centrada, pois

h

A força normal majorada vale então

Page 306: Fusco - Estruturas de Concreto

resultando

NIa = 1,16 X 2534 kN = 2940 kN

a expressão simplificada (7.2.3-1 I ) , tem-se

1164cmZ - - 1 2 i 50 (r:Zrl AI = 9,85 cm2

Por outro lado, de acordo com a definição dada por (7.2.3-3), tem-se

nd . Atl a onde AI, é a área da seção transversal da barra de cintamento e sl é o espaçamen- to das espiras, logo

Adotando-se sl = 5 cm, resulta

AI, = 9,85 = 0,4l cmZ n x 38,5

donde i/- +, = 8 mm \ (A,t = + 8 cada 5 cm) )

f. Verificaçãofinal De acordo com a NB-I, deve ser

Calculando-se a carga limite do pilar não-cintado, tem-se

ou seja I I

1 kN kN N,,, IE<r-C,LodO - - (0,85 x 1,07 - x 1256 cmZ + 35,6 - x 36 cm2 = 2090 kN 1,16 cm" cm2

I 2i-i I

1 N = 0.1 kBf I MPa = I MNlmz = 10kBflcmP I k N = 1 0 0 k g f = 0 , l t f I kNlm = IW k8fIrn = 0,l tflm 1 kN.m = 1W kgf.m = 0,1 1f.m 1 kNlrn2= 100 kgflm' = O,l tflm' 1 kN.cm= I00 W . c m = 0,I tf.cm 1 k N l m k lfWkBflms = 0.1 tflma

Page 307: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE E D ~ C I O S . EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

estando portanto satisfeita a condição

Na, ~intaa~ = 2543 kN < 1,7 x Na, .so.~intaao = 3552 kN J

8.3 PILARES DE EXTREMIDADE

8.3.1 PILAR CURTO a. Problema proposto Considere-se odimensionamento do pilar P4, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1.

Esse pilar está submetido à flexão composta em virtude do seu monolitismo com as vigas V2 dos diferentes pisos. Como o plano de flexão contém um eixo de simetna da seção transversal do pilar, a flexão composta será normal.

b. Dados de projeto De acordo com o que foi estabelecido em 5 8.1.4 deste capítulo, têm-se:

Admitam-se ainda os seguintes elementos:

C = C, = 2,80 m f,, = 15 MPa

15 fcd = fCK = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 Y c 134

Aço CA-50B

fuk = joO MPa = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ f@ = - Y* 1,15

c. Pré-dimensionamento Para pré-dimensionamento dos pilares de extremidade dos edifícios usuais, em

geral pode ser admitido um valor

No caso presente, admitindo-se um valor médio e,/h = 0,07, com h = 25cm, resultam as excentricidades

logo

1 N = O , I k d I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/crnP 1 k N = I W k g f = O , l d 1 kNlm = 100 W / m = 0.1 tflm 1 kN.m = 100 kBf.m = 0,l t f m I k N / m z = 100 kgflm' = 0, l tflm' 1 kN.cm = 100 k d c m = 0.1 tf.cm 1 kNlmS = 100 kdim' = 0.1 üimS

1 MPa = 0, l kNlcmx = 100 N/crnZ

Page 308: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

donde

De acordo com o § 7.6.5, pode-se fazer, neste caso,

~ d , ~ ~ = v d + 3 p d = v d ( 1 + 3 ~ 0,15) = 1,45 vd

logo

De acordo com a Tabela 23, para p, = 1%, tem-se

aid = 12,s MPa = 1,25 kN/cmZ

logo

donde

A, = 25 cm x 70 cm = 1750 cm2

d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais Fig. 8.3.1-1 Sendo

e, - 280 h = - - - = 38,8 < 40 (Pilar curto) i 7.22

Calculando o índice de rigidez do pilar, têm-se:

1 N =O, Ikg f 1 MPa = I MNlmz= 10k8ficm2 1 k N = 100 kgf = 0.1 tf I kNim = I W kgflm = 0.1 tíim L kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I kNlmP = 100 kgfim' = 0.1 tíim* I kN.cm = I W kg t cm = 0.1 f f c m I k N / m L ILW 1<8f/m3 = 0.1 tí/mJ

Page 309: Fusco - Estruturas de Concreto

P 4

( k N . m i k N m ) X

MOMENTOS F L E T O R E S ( Mik) 25cm/l'__i

( A - A )

Fig. 8.3.1-1 Determinação dos momentos fletores iniciais.

Admitindo-se r,, = r,,, Fig. 8.3.1-1, a presença da viga V2 de um único andar acarreta os seguintes momentos fletores:

donde

Desse modo, considerando a propagação dos momentos através das expressóes (7.3.5-6) e (7.3.5-7), obtêm-se os valores

donde

MI,, 6 = Moose, 6 = yf Mk = l ,4 x 15,5 = 21,7 kN.m

I N =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficmz 1 k N = I W k g f = O , I t f I kNlm = 100 kgflm = 0 , l dlm 1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 t fm 1 kN/rn2 = 100 kgf/mz = 0.1 d/m2 I k N c m = 1W kgfcm = O,l tf.cm I kN/m3 = 1W kgfim' = 0.1 Wm'

I MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm*

Page 310: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

Os esforços soliciiantes iniciais têm portanto os valores indicados na Fig. 8.3.1-2. Observe-se que é desprezada a variação de força normal ao longo de um tramo de pilar, adoiando-se o valor constante

Em arnbas as extremidades, os módulos das excentricidades máximas da força axial são iguais a

FORÇAS NORMAIS MOMENTOS FLETORES ( M , ~ )

( N d ) M , A = 21,7

e , ~ = 1, 4 c m

( k N ) ( k N m )

ele= 1 , 4 c m Nd - 1 554

Fig. 8.3.1-2 Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais

e. Excentricidades acidentais De acordo com a NB-1, deve-se fazer:

e,, = 2 cm

70 e,, = !!?i = .- = 2,3 cm 30 30

A essas excentricidades acidentais correspondem os momentos fletores aciden- tais:

f. Efeitos de 2 . O ordem No caso presente, por se tratar de um pilar existem momentos

fletores de 2.= ordem a serem considerados no Por essa razão, os

L N = O , l k g f I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgf/crns I k N = I W k g f = O , l t f 1 kNim = 100 kgfim = 0,I tfim 1 kN.m = I W kBfm = 0.1 i f m I kN/ms = 1W kgfim2 = 0.1 tiim' I kN.cm = 1M kgf.cm = 0, l t f c m I k N / m ' = I W kgf/m8 = 0.1 tflm'

Page 311: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 301

momentos fletores totais são obtidos pelasimples superposiçãodos momentos iniciais com os momentos acidentais.

g. Momentosfletores totais e situaçóes de cálculo A Fig. 8.3.1-3 mostra os diagramas de momentos fletores totais ao longo do

comprimento do pilar. Estes momentos são de 1 .a ordem, porque o pilar é suficiente- mente curto para que sejam desprezados os efeitos de 2.a ordem.

Tendo em vista o andamento dos diagramas de momentos fletores, a armadura será constante ao longo do comprimento do pilar e com arranjo simétrico dentro da seção transversal.

Na Fig. 8.3.1-4 estão mostradas as situações de cálculo a serem consideradas no dimensionamento do pilar.

E N V O L T ~ R I A D O S E N V O L T Ó R I A D O S VALORES DE M y d V A L O R E S D E M X d

Fig. 8.3.1-3 Diagramas de momentos fletores totais (pilar curto).

h. I . a Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso)

Nd = 1554 kN A, = 25 cm x 70 cm = 1750 cm2 MSd = 52,s kN.m f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

fUd = 435 MPa

1 N = 0,l kBf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficm' I k N = 100 kgí = 0.1 tf 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm I kN.m = 100 kgí.m = 0,l tf.m 1 k N / m X = lWkgf/ma =O,I tf/ms 1 kN.cm = 100 kgtcm = 0.1 tf.cm 1 kN/mz = 100 kBf/ma = 0,l n/ma

I MPa = 0.1 kNlcm' =/ 100 N/cmz

Page 312: Fusco - Estruturas de Concreto

w e = 1 , 4 crn

y S I T U A Ç Ã ~ EQUIVALENTE ( N B - i ) s i ~ u n ç i o SIMPLIFICADA 4 / ( PARA e i x < e 0 Y )

e = e +0,4 ela' = 2,3 cm

X I X

e. = i ,4 cm e,, = 1 , 4 cm I X .-

e, = 3,4 cm

Fig. 8.3.1-4 Condl~óer de dirnen~ionarnentu

Empregando-se os diagramas de interação (Ref. 7), resulta

w = 0,31 (para d,' = 0,15 h)

donde

I N =0,1kgf I MPa = I MNlm2 = 10kgficmP I k N = I W kgf = 0.1 tf I kN!m = 100 kgfim = O,! tfim 1 kN.m = 100 k8fm = 0,1 t f m I k N / m L I W kgfimP = 0.1 tfim* 1 k N c m = 100 kgf.cm = 0,l tfcm I kN!m3= I W kgf i inL 0.1 tfimg

Page 313: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEWlPLOS DE DIMENSIONAMENTO 303

A,= 12 fl 12,5 logo, Fig. 8.3.1-5,

A,, , = 12 4 12,s (A,, , = 15,O cm2)

1 2 5 i Fig. 8.3.1-5 Dimensionamento rigoroso.

Fig. 8.3.1-6 Dimensianamenia expedito.

i. I .a Situação de calculo (Dimensionamento expedito) Tendo em vista o que já foi dito sobre o andamento dos diagramas de interação,

pode-se, em casos desta natureza, proceder da seguinte forma: I ! I

v, ,,,,,,, = ~ ~ , ~ ~ + 3 p ~ ~ , d =0,83 + 3 X 0 , l l = 1,16

Desse modo, sendo

tem-se I uid = - N1d = vd, fed = 1 ,I6 x 10,7 MPa = 12,41 MPa

A,

Para f,, = 15 MPa e Aço CA-50B, pela Tabela 23 obtém-se

p, - 1 ,O%

logo A A , = 1 , 0 2 = 1750 cmz = 17,s cmz 1 O0 1 O0

resultando, Fig. 8.3.1-6, I A,, e = 14 4 12,5 (A,, ,, = 17,5 cm2) I

j . 2 .a Situaçáo de calculo (Dimensionamento simplificado) De acordo com a NB-I , em lugar da situação teórica de flexão oblíqua é possível ,

considerar-se uma situação de flexão normal com a excentricidade I

No entanto, é plenamente satisfatóna a verificação com I

e, = e,, = 2,3 cm

1 N = 0,l kgf I MPa = I MNlm2 = I0 kgficm' f k N = 100 kgf = 0,l t f 1 k N l m = 100 kgfim = 0.1 t f im I k N . m = 100 kgf .m = 0.1 t f m 1 k N i m Z = IW kgfirns = 0.1 dlm' 1 k N c m = 100 kgf.cm = 0,l t f .crn 1 kN/rn3 = IW kgfirns = 0.1 tfirn'

I MPa = 0.1 kNicrnZ = 100 Nicrn'

Page 314: Fusco - Estruturas de Concreto

304 ESTRUTüRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

conforme foi discutido em § 7.5.3 Fazendo-se o cálculo simplificado, neste caso, resulta:

N, = 1554 kN e, = e,, = 2,3 cm

Como a armadura está disposta ao longo das bordas de maior comprimento, Fig. 8$.1-5, têm-se

ri, = - a Nd - - 1759 kN = 1,Ol kN/cm2 = 10,l MPa A, 1750 cm2

Pela Tabela 23, para fck = 15 MPa, tem-se

p. ' 0,5% < P , ,! c.,,

Note-se que, se fosse feito e, = e,,+ 0,4 ei,, conforme exige a NB-1, o resultado obtido seria exatamente o mesmo.

8.3.2 PILAR a. Problema proposto MEDIANAMENTE Considere-se o mesmo pilar P4 no item 8.3.1, admitindo porém que seu compn-

ESBELTO. 1 .O EXEMPLO mente seja de 4,60 m.

b. Dados de projeto Conforme o que foi determinado na Seção 8.1, bem como no item 8.3.1, têm-se:

Nk = 1110 kN N, = yfNh = l r4 x 1140 = 1554 kN

Me,,, = 57 kN.m (V2) Me,,, = yfMeng,k = 1,4 x 57 = 79,s kN.m

r,,, = 1,16 dm3 Pilar: h, = 25 cm, h, = 70 cm

A, = 25 x 70 = 1750 cmZ

I Admitam-se também os seguintes elementos:

e = e, = 4 , 6 0 m f,, = 15 MPa

fck - 15 fed = - - - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 Yc 1,4

'íPa = 0.1 kNlcm2 = 100 Nlcm'

Page 315: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDlFfCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENT~ 305

Aço CA-SOB f,,,, = 435 MPa

c. Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais Analogamente ao que foi mostrado na Fig. 8.3.1-1, têm-se agora:

h, = 25 cm

460 - 63,7 - 64 (pilar medianamente esbelto) Az=-- 7,22

~ i g . 8.3.21 Situaçóes de projeto. Esfor- ços solicitantes iniciais.

Momentos devidos à viga V2 de um único andar:

donde

Considerando-se a propagação de momentos devidos a diversos andares, tem-se

M ,,,, , = - M ,,,,, , = I,5 r 7,3 = 10,95 kN.m

logo

M ,,, = -Mo ,,,, = yfMk = 1.4 x 10,95 = 15,3 kN.m

A Fig. 8.3.2-1 mostra os esforços solicitantes iniciais ao longo do pilar conside- rado.

FORÇAS NORMAIS ( N d )

MOMENTOS FLETORES ( M i d )

h A

Mia = I 5 3

1 N = O , l k g f 1 MPa = I MN/m3 = l0kgf/cmS I k N = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNim = IW kgflm = 0.1 tfim I k N m = 100 kgf.m = 0,1 ff.m I kN/mP = 1W kgfim* = 0,I d/m2 1 kN.cm = 1UO kgtcm = 0,1 t fcm 1 kN/m8= IWkf/m3 = O,L d/ms

1 MPa = 0.1 kNlçms = IW Nlem'

Page 316: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

d. Excentricidades acidentais

h, = 25 cm, logo e,, = 2 cm

h, = 70 cm, logo e,, = !?!i = ?!! = 2,3 cm 30 30

e . Excentricidades de 2 . O ordem Na direção de maior esbeltez, tem-se

devendo ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem cujo valor máximo, de acordo com a NB-I , pode ser calculado pela expressão

com

No caso presente, empregando Aço CA-50 (não importa para esta expressáo se o aço é da Classe A ou da Classe B ) , tem-se

Esta expressão está tabelada na Tabela 25, da qual, para

resulta

ou seja

e,, = 0,14 x 25 = 3,5 cm

Na direção de menos esbeltez, têm-se

1 N =O,lkgf I MPa = I MNlm* = 10 kgflcm2 1 k N = I W k g f = O , l t f I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 kN.m = 100 1<gtm = 0.1 tf.m I kNlm' = 100 kgflm' = 0.1 tflms I kN.cm = 100 kgfcm = 0,1 t f c m 1 kN/ms = 100kBflm2 = 0,1 tflmS

1 MPa = 0.1 kN/cm2 = L00 N/cma

Page 317: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 3W

sendo portanto desprezíveis, nesta direção, os efeitos de 2.a ordem.

f. Situaçüo de cálculo. Superposição dos esforços Neste caso, sendo h, > 40, no dimensionamento deverão ser levados em conta os

momentos fletores de 2.a ordem. Admite-se que o pilar em consideração, por pertencer a uma esttutura de edifício

devidamente contraventada, possua extremidades indeslocáveis. Nessas condições, os máximos momentos fletores iniciais agem nas extremidades do pilar e os máximos momentos fletores de 2.a ordem agem em sua seção intermediária.

Por essa razão, conforme foi visto no item 7.5.4, a NB-1 especifica que sejam considerados os seguintes momentos fletores iniciais:

1. Seção intermediária

onde

Mic < 0 quando tracionar a face oposta aquela tracionada por M ~ A No caso presente, tem-se

M~A,<I = - Mim = 15,3 kN.m

logo

Mi,., = 0,4 MiA,d = 0,4 x 15,3 = 6,l kN.m

donde

2 . Seçóes das extremidades

Mt,, d = MLA, = 15,3 kN.m

logo

Desse modo, resultam as seguintes situações de cálculo:

-

1 N = 0.1 W I MPa = I MNlm' = I0 kgflcm* I k N = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m 1 kN/mP = IW Wlm ' = 0.1 tflm' 1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 e.cm L kNlm" IW kgflm9 = 0,l tflm'

I MPa = 0.1 kNlcmP = LW Nlcm2

Page 318: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

.2 Situações

Page 319: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 309

1. Seção intermediária

Na = 1554 kN 1 .a Situação: e, = e , ~ + e,, + e,, = 0,4 + 2,O + 3 , 5 = 5,9 cm 2.= Situação: e, = e,, = 2,3 cm

2. Seçáo de extremidade

N, = 1554 kN I.a Situação: e, = e. + e,, = 1,0 + 2,0 = 3,0 cm 2.a Situação: e, = e,, = 2,3 cm

A Fig. 8.3.2-2 mostra as situações de cálculo para as duas seções criticas do pilar, isto é, para a seção intermediária e para a seção de extremidade. As situações de cálculo foram determinadas com as simplificações expostas no item 7.5.3.

g. l.a Condição de dimensionamenro (Cálculo rigoroso) . Do exame das situações de cálculo mostradas na Fig. 8.3.2-2, torna-se evidente

que, para o pilar em consideração, a condição mais desfavorável é aprimeira condição de cálculo da seção intermediária.Desse modo, sendo:

- Nd = 1554kN e, = 5,9 cm fCd = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 fVd = 435 MPa (CA-SOB) A, = 25 cm x 70 cm = I750 cm2

têm-se

Dos diagramas de interaçáo, com 8' = 0,15, resulta

o = 0,61

logo

A, = o A,f,, = 0,61 1750 =,26,3 cmz f ~ d 435 125.1 ou seja, Fig. 8.3.2-3,

A, = 14 4 16 (A,,, = 28,0 cm2) Fig. 8.3.23 Cálculo rigoroso.

I N = 0, l kgf I MPa = I MNIrn' = I0 kgficrnP I k N = l O O k g f = O , I t f I kNim = 100 kgflm = 0,l tWm L kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t t m 1 kNlmP = 1W kgflrn' = 0.1 tWm2 1 kN.cm= 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNimJ = 100 kgfim' = 0.1 tfima

Page 320: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

A,= 16 $ 16 h. 1 .a Situação de dimensionamento (Cálculo expedito) Admitindo-se o emprego do cálculo expedito, têm-se

logo e a = I + 3 - = 1 + 3 x 0 , 2 4 = 1 , 7 1 h

Nld = a N d = 1,71 x 1554 =2654kN

Da Tabela 23, para fck = 15 MPa e

Nld = uid = -

2654 kN = 1,52 kN/cm2 = 15,2 MPa

A, 1750 cm2

Fig. 8.3.24 Cálculo expedito resulta p, = 1,78%

logo

I ou seja, Fig. 8 .3 .24 ,

i A, = 16 4 16 (A,, d = 32,O cm2)

i . 2.a Condição de di~nensionamento (Cálculo simplificado) A 2.a Condição de dimensionamento é igual para as duas seções críticas do

pilar, Fig. 8.3.2-2. Desse modo, sendo

Nd = 1554 kN e,, = 2,3 cm A, = 1750 cm2

têm-se

Page 321: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 311

logo

N,,I = aNd = 1,12 x 1554 = 1740 kN i

resultando então 1 I

I Desse modo, o dimensionamento feito pela 1 .a condição é o que determina a armadura I do pilar. 1

I

8.3.3 PILAR a. Problema proposto MEDIANAMENTE Considere-se agora o pilar P7, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1.

ESBELTO. 2.O EXEMPLO Esse pilar tem esforços iniciais equivalentes aos do pilar P4. Este outro exemplo de pilar de extremidade tem por finalidade salientar a impor-

tância da excentricidade acidental e da correspondente excentricidade de 2.a ordem sobre o dimensionamento da peça.

Sendo um problema de mesma natureza que o anterior, os seus resultados serão apresentados de forma relativamente sintética.

b. Dados de projeto

r = 1,16 Pilar: h, = 70 cm, h, =-25 cm com a maior rigidez correspondendo

ao plano de flexao da viga V3 A, = 70 x 25 = 1750 cm2 e, = 4,60 m f,, = 15 fcd = 10,7 MPa = 1 ,O7 kN/cm2

L = 435 MPa

c. Esforços solicirantes iniciais I

lilar medianamente esbelto)

1 N = 0.1 kgf I MPa = I MNlm2= IOkgflcm* I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm 1 k N m = 100 kgfm = 0,1 t fm 1 kN/m2 = 100 kgflm* = 0.1 tflrna 1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tfcm 1 kN/mJ = 100 kgflm' = 0.1 fimJ

I MPa = 0,l kNIcmx = 100 Nlcms

Page 322: Fusco - Estruturas de Concreto

d. Situações de cálculo

1 . bireçáo x (h < 40) Seção crítica: topo e base do pilar

h= - 70 e,, = - - - = 2,3 cm 30 30

e,, E O

2. Direçio y Seção crítica: seção intermediária

Nd = 1554 kN ei, = O e,, = 2 cm

Sendo

da Tabela 25 resulta

ou seja

e,, = 0,14 X 25 = 3,5 cm

e. Dimensionamento Embora o momento fletor inicial atue no plano que contém o eixo Gx, o d

sionamento é comandado pela flexão no plano Gy, decorrente dos esforços

1 N = 0.1 kgf I MPa = I MN/mX= lOkgf/cm2 I kN = 100 kgf = 0,l lf I kN/m = 1m kgflrn = 0,I õ/m 1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 t tm 1 kN/m3= IMkgi/m'= 0,I tf/mZ I kN.cm = 100 Wcrn = 0,l ff.cm 1 kN/m" 102 kgffma = O , l lffmS

Page 323: Fusco - Estruturas de Concreto

My, = Nd. e,,

com

Com estes esforços obtém-se praticamente a mesma quantidade de armadura que a do item 8.3.2 ( l .a condição de dimensionamento).

Como no caso anterior, a 2.a condição de dimensionamento não afeta os resulta- dos já obtidos.

Observe-se que o dimensionamento do pilar P7 dependeu da força normal N, e das excentricidades e,, e e,,, não tendo sido influenciado pelo momento inicial e,, ao contrário do que aconteceu no caso anterior do pilar P4.

8.3.4 O ESTUDO DOS A consideração de pilares esbeltos com momentos fletores iniciais que variam ao PILARES ESBELTOS longo do comprimento não pode ser feita de forma adequada através dos processos já

exemplificados. A dificuldade essencial que impede essa consideração é a incongruência existente

entre um diagrama de momentos fletores de forma qualquer e o conceito de pilar padrão, o qual admite sempre uma linha elástica senoidal.

A solução geral dos problemas de pilares esbeltos será estudada no Cap. 9, onde são considerados os processos do pilar padrão corrigido e do deslocamento de refe- rência. -

8.4 PILARES DE CANTO

8.4.1 PILAR CURTO. a. Problema proposto DIMENSIONAMENTO Considere-se o dimensionamento do pilar P1 de canto, mostrado na Fig. 8.1.2-1. ,

RIGOROSO O pilar P1 está submetido aflexão composta oblíqua, emvirtude de sua continui- dade estmtural com as vigas V1 na direção Ox e com as vigas V4 na direção Oy.

d Admite-se o comprimento de flambagem e, = 2,80 m. I b. Dados de projeto

De acordo com o que foi estabelecido em 8.1, os dados básicos de projeto são os 1

seguintes: I

viga V I : Me,,,, = 60 kN.m rd,,, = 0,96 dm3

viga V4: Mew,Uk = 21,3 kN.m r,,,,, = 0,55 dm3 fck = 15 MPa Aço CA-SOB

1 N = 0.1 kgf 1 MPa = 1 MNlm' = 10 kgilem2 1 kN = 1W k$ = 0.1 tf 1 kNlm = I M kgflm = 0.1 fflm I kN.m = 1Wkgf.m = 0,I t t m 1 kNlm2= 1Wksflm2= 0.1 tflm* 1 kN.cm = 1W kgi.em = 0, l tf.crn I kNlma = 100 kgflm3 = 0.1 fflm"

Page 324: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

c. Pré-dimensionamenro Analogamente ao que foi feito em 8.3.1, admitem-se as excentricidades iniciais

transformando-se aflexão compostaobliquanumaflexão composta normal, conforme foi discutido em 7.4.4.

Desse modo, sendo

onde

a expressão anterior, conforme mostrado pela equação (7.4.4-2), pode ser escrita

ou seja

A tabela do item 7.4.5 reproduz os valores de p recomendados pela NB-1 para pilares de seção retangular com armadura igual nas quatro faces. Estimando-se

vd - 0,7 w - 0,50

resulta

p - 0,63

donde

Por outro lado, de acordo com a expressão (7.6.1-7), estaflexão normal composta equivalente pode ser transformada num caso de compressão uniforme, sendo

e a = 1 + 4 - = 1 + 4 X 0 , 1 1 = 1 , 4 4 h

resultando

NM = a Nd = 1,44 X 1148 = 1653 kN

Page 325: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 315

Desse modo, admitindo-se uma taxade armadurap, da ordem de 1,2%, de acordo com a Tabela 23, para f,, = 15 MPa e Aço CA-SOB, tem-se

ad = 13,2 MPa = 1,32 kN/cmZ

resultando para a área de concreto o valor

podendo ser adotada a seção

A, = 25 cm x 50 cm = 1250 cm2

onde

Com a seção adotada, sendo

tem-se -

h = - = - - 280 - 38,s i 40 (Pilar curto) i 7,22

d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.1-1) I Direção x

- r,ila, Mtw. k = Mmp, k = Me,, ,k

~ S U U + r,, + riw

donde

logo

I N =O, lkg f I MPa = I MNlmn = 10 kgf/cms I k N = l W k g i = O , l l f 1 kN/m = IM) kgfim = 0.1 tfim 1 kN.m = 1W k8f.m = 0.1 t f m I kN/m2 = 100 k8f/mz = O,l f im' 1 kN.cm = IM) k8f.cm = 0.1 1f.cm 1 kN/ms = 1W kgf/mS = 0 , l tflm3

1 MPa = 0.1 kN/cmz = 1W N/cmz

Page 326: Fusco - Estruturas de Concreto

resultando

M,,., = -Maoae. d = y, MK = 1,4 X 14,58 = 20,41 kN.m

logo

Md - 2041 kN.cm = 1,78 cm eu, = e , , . = - - Nd 1148 kN

2 Direçáo y

hl ,~ , k = MNP, L = rpiiar Me,. k

rgup + ~ V I Y . + rinf

donde

logo

M t w o , k = -Mbose,k = 1,s X 8,22 = 12,33 kN.m *~-

resultando

logo

e. Excentricidades acidentais Tendo-se em vista o que foi dito em § 7.5.3, serão consideradas apenas as

excentricidades segundo os eixos centrais de inércia das seções transversais. Observando-se as exigências da NB-I e o pré-dimensionamento já feito, têm-se

h, = 50 cm e,, = 2 cm

I MPa = 0.1 kNlçm' = 1W Nlcm*

Page 327: Fusco - Estruturas de Concreto

* h, = 25cm

SEÇÁO DO TO^ SE#O DA BASE

Fig. 8.4.1-1 Situaçoes de3rojeto - Momentos fletores iniciais

Fig. 8.4.1-2 Situações de cálculo.

Y A Y

3 (e,=ei,= 1,78 em

c1 e,, = i,78 cm

e = e,y = 1,50cm -

_BI f ,. B 2

-

'1 4

x eiy= 1,50cm x

A1 -.

eay=2,0 cm e,, = 2,O cm I

'L

\e,= 3 , 7 8 c m

-, c2

J-

A 2 - .

Page 328: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

f. Situações de calculo Como a armadura será disposta com dupla simetria, não se fará qualquer distin-

ção entre a seçáo do topo e a seção de base. A. Fig. 8.4.1-2 mostra as situações de cálculo das seções transversais do pilar,

resultando:

I .a Situação

2.Q Situação

g. Dimensionamento rigoroso De acordo com os dados de projeto, têm-se

Nd = 1148 kN A, = 25 x 50 = 1250 cm2 fcd = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 fud = 435 MPa = 43,s kN/cm2

1 .a Situação de cálculo

Nd - vd = -- - = 0,86 (compressão) A, f,, 1250 x 1,07

Empregando-se o ábaco da Fig. 4.1.24, válido para o Aço CA-SOB, com o arranjo de oito barras, obtêm-se

resultando, para v, = 036,

2 . O Situação de cálculo De forma análoga, sendo

vd = 0,86

1 N = 0,l W 1 MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cmx I k N = I W k g f = O , I d 1 kNlm = 100 kgfirn = 0,I d lm 1 kN.m = 1W kgf.rn = 0.1 tf.m 1 kN/mZ= IW kgf/rnz = 0.1 tf/rnz I kN.cm = 1W kgf.ern = 0.1 t fcm I kN/mJ = 1W kgflm' = 0.1 WmJ

I MPa = 0.1 kNlcm2 = IW Nlcm'

Page 329: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

obtém-se o = 0,40

valor determinado a favor da segurança com v, = 1,0. Desse modo, predomina a I.= situação de cálculo, resultando

Como o arranjo admitido foi o de oito barras, tem-se, Fig. 8.1.4-3,

A, = 8 4 16 (A, = 16,0 cmz)

li Fig. 8.4.1-3 Arranjo da armadura.

8.4.2 PILAR CURTO. a. Problema proposto DIMENSIONAMENTO Considere-se novamente o dimensionamento da armadura do pilar PI ,

SIMPLIFICADO empregando-se agora o processo simplificado permitido pela NB-1. Serão admitidas as mesmas dimensões obtidas no item anterior para a seção transversal do pilar.

b. Dados de projeto De acordo com o que foi visto no item anterior, têm-se

I .a Situação de dlculo: e, = 3,78 cm e, = 1,50 cm 2.a Situação de cálculo: e, = 1,78 cm e, = 3,50 cm

f,, = 1 ,O7 kN/cmZ fud = 43,5 kN/cm2 (Aço CA-SOB)

I N = O , I k g i 1 MPa = I MNlm2 = I0 kgf/cm2 I k N = I W k g f = O , l f f I kN/m = 1W kgfim = 0, l tfim I kN.m = IW k&m = 0.1 tf.m I kNim2 = 1W kBfim2 = 0.1 tfim* 1 kN.cm = IW kg t cm = 0, l t f cm I kNima = 1W kgfim3 = 0.1 @/ma

1 MPa = 0.1 kNicm' = 1W N/cm'

Page 330: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTLJRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

c. Excentricidade equivalente De conformidade com o que foi visto em 7.4.5, inicialmente deve ser verificado o

setor em que se encontra a força normal, Fig. 8.4.2-1.

% ; m = Q 0 7 h y 50

Fig. 8.4.21 Simplificação permitida pela NB-I.

A excentricidade equivalente, de acordo com (7.4.5-I), tem por expressão

onde p é dado pela NB-I em função de vd e de o. Considerando a situação de cálculo, tem-se

25 e,, ., = 3,78 + p- x 1,50 50

não sendo necessário, conforme já foi discutido, considerar a 2.= condição. Por outro lado, sendo

cmZ

e admitindo p - 1,2%, ou seja, tomando-se

1 N =0 ,1k@ 1 MW = I MN/mZ = IOkgflcm2 I k N =100kgf=O,I t f I kNlm = ICQ kgílm = 0.1 dlm 1 kN.m = 100kgf.m = 0.1 d.m 1 kNlmZ= 100kgfImz= 0.1 tflm' 1 kN.cm = 100 W c m = 0.1 d.cm I kNlma = I00 kgf/m3 = 0.1 UIm'

Page 331: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 321

da tabela do item 7.4.5, resulta

/3 = 0,55

logo

25 e,, , = 3,78 + 0,55 x - x 1,50 = 3,723 + 0,41 = 4,19 cm 50

d. Dimensionamento Admitindo-se os valores

do diagrama de interaçáo correspondente ao arranjo de oito barras de aço encmado a frio, (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se

o = 0,47

resultando a mesma solução obtida no item anterior, ou seja,

i A, = 0,47 1250

= 14,45 cmZ (A, = 8 qi 16) 4 3 3 -.-/

i

ME DIANAMENTE 1 dos itens anteriores, admitindo porém que o seu

,/

r*,,, = 0,%.d ,, . -\

viga V4: Mew,uk = 21,3 k ~ f X r"'sa., = 0;- fck = 15 MPa f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 Aço CA-50B fvd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2

1 N =O,lkgf 1 MPa = I MNlma= 10 ksf/cm2 1 k N = I W k g f = O , l d 1 kNlm = 1M ksflm = 0,l dlm 1 kN.m = 100 kgf.m = O,I 1f.m 1 kNlm2 = 100Lgf/m2 = 0.1 dlm' 1 kN.cm= 100 kgf.cm = 0.1 d.cm I kN/ma = IWkgflma =O,I #ma

Page 332: Fusco - Estruturas de Concreto

c . Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.3-1) 1. Direção x

, M I ~ , k = MNP, L = M ~ W . z k + + rffl donde

0,14 M I ~ . k = x 60 kN.m = 6,77 kN.m

0,14 + 0,96 + 0,14

logo

Mt,,,k= -Mbaae,k= 1,5 x 6,77 =

resultando

Mtogo, d = -Mbase,

donde M d = e,.,, = - ~ I c , = - Nd 1148 kN \

2 . Direçáo y u

logo

M,,,,k= Mbaae,k= 1,5 x7,18 = 10,78 kN.m

resultando

I N =O,Ikgf I MPa = 1 MNlrn2 = 10 kgflcmZ I k N = l W k g f = O . i t f 1 kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm 1 kN.m = IW kgfm = 0.1 t tm I k N l m L lWkgflm'= 0,l tflm' i kN.cm = 1W W e m = 0.1 Ii.cm 1 kN/ma = IW kgflma = 0.1 tfim'

I MPa = 0.1 kNlcmz = 100 Nlcm'

Page 333: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

Fig. 8.4.3-1 Situações de projeto. Esfovos solicitantes iniciais,

d. Excentricidades acidentais

h, = 25 cm, logo e,, _=_~ ~~~~~

h, = 50 cm, logo /e,, = 2 cm , --

e. Excentricidades de 2.R ordek-

1 . Direçáo x

h, = 25 cm

1 N =O,Ikgf I MPa = I MN/m2 = IOkgf/cmP I k N = I W k g f = O , l õ 1 kNim = IW kgfirn = 0.1 f i m 1 kN.m = 100 W . m = 0.1 t fm 1 kN/ms = 1W kgfim' = 0.1 t£lm2 I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 d.cm I kNlrnS = 100 kgf/ma = 0.1 tfima

I MPa = 0.1 kNicmP = t M N/çms

Page 334: Fusco - Estruturas de Concreto

De acordo com a NB-1, para um pilar de esbeltez média, com Aço CA-50. pode-se admitir o valor

com

O valor de 3 pode ser obtido da Tabela 25, da qual, para h,

resulta

2. Direção y u

Sendo A, < 40, não há necessidade de ser considerada uma excentricidade de 2.a ordem na direção y.

Todavia, caso fosse

os efeitos de 2.a ordem na direção y seriam determinados pelas mesmas expressões

Page 335: Fusco - Estruturas de Concreto

PILARES USUAJS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMEiWO 325

empregadas para a determinação de e,,. Nesse caso, seria tomado o valor

f. Situações de cálculo. Superposição dos esforços A Fig. 8.4.3-2 mostra as situações de cálculo, considerando-se separadamente as

seções de extremidade e a seção intermediária.

e,, = 0 , 5 0 cm

e,= 6,O cm = 2,0 crn

SECÕES DAS EXTREMIDADES

%.- ,Y

SITUAÇÃO DE i! SITUAÇÃO I PROJETO DE CÁLCULO 20 SITUAÇÃO

Fig. 8.4.3-2 Situaçóes de cálculo DE ÇÁLCULO

ei, =1,24 cm eX=1,24cm - X A

e, = 3,24cm e y = 3 , 3 cm

S I T U A C ~ O DE 19 S I T U A Ç ~ PROJETO DE CALCULO -

I 2% S I T U A Ç ~

DE CÁLCULO

Page 336: Fusco - Estruturas de Concreto

T : ~ ~ -..__

) 1 ESTRUTURAS DE C O N C R E T B S O & l C ~ T A ~ O E S N ~ S

/ ~ - ~ i.% P --I;

? / r 2.a Situação

,. e, = r 1 l

i d

I . a Situação de cálculo / e, = 0,5 + 2,O % 3 , s = 6,O cm

2.a Situação de cálculo

e, = O

.4

. ~

<~ ~ g , Dimensionamento . . . . - - -...-------- Tendo em vista que a seção terá um arranjo de armadura com dupla simetria,

parece evidente que a situação mais desfavorável corresponde a I .a situação de cálculo da seção intermediária. Caso persista qualquer dúvida, as seções de extremi- dade também devem ser verificadas.

C p d e q n d o ; s e então a 1 .a situação de cálculo da seção intermediária, tem-se:

Do diagrama de interação naflexão composta normal, correspondente ao arranjo de 8 b a r r a s d ~ aço encniado (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se

ou seja, Fig. 8.4.3-3 I

A, = 8 4 20 (A, = 25,2 cm3 I No caso presente, o dimensionamento feito no item 8.4.2 permite dispensar-se a 1

verificação tanto das seções de extremidade quanto da2.a situação de cálculo da seção I

intermediária.

Page 337: Fusco - Estruturas de Concreto

Fig. 8.4.3-3 Arranjo da armadura

8.4.4 O ESTUDO DOS Analogamente ao que já foi dito em 8.3.4 em relação aos pilares de extremidade, PILARES ESBELTOS também no caso de pilares de canto não se podem aplicar os processos simplificados

aqui considerados, quando a esbeltez ultrapassa determinados limites. No Cap. 9 serão estudados os problemas de instabilidade na flexão composta

oblíqua de pilares esbeltos e muito esbeltos.

Page 338: Fusco - Estruturas de Concreto

Problemas Especiais de Determinação da Carga Crítica

9.1 CARGAS DE LONGA DURAÇÁO

9.1.1 CONSIDERAÇÁO DA Na avaliação da segurança dos pilares com esbeltez acima de certos limites (k = 80), FLUÊNCI A quando houver cargas de longa duração, também deverão ser obrigatoriamente consi-

derados os efeitosda fluência. .

Como a fluência ocorre sob aação dos esforços permanentes de serviço (caracte- rísticos), as tensões no concreto são suficientemente baixas para que se empregue a teoria linear da fluência, na qual é admitidauma função 4 de fluência independente da tensão aplicada. Nesse caso, sendo

CC = tensão de compressão no concreto Ec = módulo de deformação longitudinal do concreto &C = deformação imediata do concreto Ecc = deformação por fluência do concreto

'0'01 = deformação total do concreto 4 = função de fluência

têm-se

Com a hipótese adotada de ser 4 independente de uc, por efeito da fluência, o diagrama tensão-deformação do concret'sofre uma transformação afun, de razão 4, paralelamente ao eixo de E,, Fig. 9.1.1-1.

Conforme j á foi mostrado na tabela da Fig. 5.2.3-2, de posse do diagrama tensão-deformação correspondente a um certo valor 4 da função de fluência, podem ser determinados os diagramas (M, N, l/r), onde as curvaturas são dadas por

.

Page 339: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA 329

Fig. 9.1.1-1 Influência da fluência sobre o diagrama c - E do concreto.

Umavez conhecidos os diagramas (M, N, llr) correspondentes aum dado+, para o cálculo da carga crítica, em princípio poderiam ser aplicados os mesmos métodos já vistos anteriormente, se as cargas aplicadas fossem todas de longa duração.

Todavia, como na grande maioria das constmções, nem todas as cargas são de natureza permanente, o problema de determinação da carga crítica precisa ser reanali- sado.

9.1.2 CARGA No caso de existirem cargas de longa e cargas de curta duração, a verificação rigorosa PARCIALMENTE DE da segurança contra o estado limite de instabilidade fica bastante complicada.

LONGA DURAÇÁO A dificuldade maior decorre do fato de que, para as cargas de longa duração, devem ser empregados diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a + # O e, para o restante do carregamento, que é de curta duração, os diagramas de acréscimos (AM, AN, 1lAr) +=, devem ser calculados com + = 0.

Note-se que, para a intensidade do carregamento de longa duração, deveria ser admitido o valor característico F,, ou, no máximo, o valor y, F,,.* Em muitos casos também existe uma parcela$, F, da carga variável que deveria ser consideradacomo de longa duração. O valor II<, Fck é a parcela de longa duração (quase permanente) da carga acidental F,.

Admita-se então estabelecida uma certa história de carregamento da estrutura, constituída, por exemplo, da seguinte sequência:

1. Açóes iniciais de longa duração: F,,

2. Açóes suplementares de curta duração: (F, - F,,) + Fd

Na Fig. 9.1.2-1 estão ilustradas as diferentes soluçóes associadas a esse pro- blema, empregando-se o método geral com o piocesso de carregamento progressivo.

Pelo fato de não ser válido o princípio da superposição dos efeitos, a solução rigorosa seria teoricamente possível, desde que fossem traçados os diagramas (M, N, l/r) de cada seção transversal com a respectiva história de carregamento. Para o traçado desses diagramas, considerar-se-ia o efeito da fluência para valores de M e de N inferiores aos esforços provocados, na seção considerada, pelo carregamento F,, + Jr,F,. Para os valores de M e N superiores a esses limites, os acréscimos de esforços não provocariam deformação lenta, mas o cálculo dacurvatura exigiria a definição do diagrama (Ao, AE) correspondente a esses acréscimos de esforços.

Em face dacomplexidade do problema são empregadas as soluçóes aproximadas .., --

. . .---.

'Paras discussão do significadoda cargay, F,ver do Autor: Fundamentos doPi.ojetoEstrulural. O Código Modelodo CEB introduz esse conceito sob a forma de um coeficiente y. de comportamento, admitindo valores de 1.10 a 1.25.

Page 340: Fusco - Estruturas de Concreto

. 0 '0 ITOW O CARREGAMENTO DE

Folt,$=o CURTA oun~çloi

F c r i t

.,-=-=----

I xiw o CARREGAMENTO DE LONGA D U R A ~ ~ , ~ )

- Fgk SOLUÇÃO RIGOROSA ACENAS T E O R I C A M E N T E POSSIVEL

yref

Fig. 9.1.2-1 Carga parcialmente de longa duração

,",< -,----- --, a seguir analisadas. ,s I É preciso observar desde já que essas soluções aproximadas são plenamente

,/*' L satisfatórias, pois as cargas de longa duração a t u m com seus valores de serviço, não havendo portanto muito interesse no que se poderia chamar de solução exata.

9.1.3 MÉTODO DE De acordo com este método aproximado, realiza-se o cálculo como se toda a carga FUNÇAO EQUIVALENTE fosse de longa duração, adotando-se para a função de fluência o valor equivalente i

DE FLUÊNCIA efetivo (9.1.3-1) ~

o i

a = fração da força normal que produz fluência p = fração de momento fletor de 1 .a ordem que produz fluência @(t,,t,) = função de fluência real do problema ,,

-~~ i .~ Para emprego prático, esta solução somente será exequível se forem conhecidos I

os diagramas (M, N, llr) para o valor adotado. I Para isso, os diagramas (M, N, l/r), = ,, poderão ser calculados diretarnente ou

obtidos porinterpolação entre os diagramas (M, N, Ilr), =, e (M, N, Ilr),, onde4 éum ,,y+a--, i-l valor padronizado, por exemplo, 4 = 2. I

I ~ma;ez conhecidos os diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a$,f, podem ser 8

aplicados todos os processos de cálculo discutidos anteriormente. Deve-se observar que este método é bastante geral, podendo ser aplicado inclu-

sive nos casos de pilares muito esbeltos ou de seção transversal variável. i 9.1.4 MÉTODO DA Com este outro método aproximado de cálculo admite-se que todo o carregamento

EXCENTRICIDADE seja de curta duração, introduzindo-se para todas as cargas longitudinais, tanto de EQUIVALENTE longa quanto de curta duração, uma excentricidade suplementar e, de l.a ordem, dada i

por

F, = carga de longa duração que produz fluência

e,, = excentricidade de I.a ordem dacarga F,, na qual se inclui a excentricidade acidental &, ou seja, - I

-,

I

= e;.. + e. I

Page 341: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA C ~ T I C A 331

e,, = excentricidade inicial da carga F,

F, = carga de flambagem de Euler, sendo n--- -\

\ F, = 10 E, 1,/ee2 ,J L- -

E, = módulo de deformação longitudinal do concreto

w /L r De acordo com a NB-1/78, tem-se I 7 w

5 I>- 2. I E, = 0,9 x 6600 f l f (MPa) ( 1 MPa = 10 kgf/cm2) I

~~~~ - . ~ ~ ~ - ~ ~ ~

. . '\ /I, = momento de inérciada seção total A, de concreto. Tendo em vista agrande ! i influência da armadura na inibição da deformação lenta, será razoável ,'

tomar-se a seção ideal no estádio Ia,* levando em conta, pelo menos de , ' ,,

.. ~- forma - apr~~ximada~a~presençadaarmadura~ ~~ ~~

e, = comprimento de flambagem

Admite-se o valor

F, = yn (F,k + $2 F,)

com

/

sendo $, F, a parcela de longa duração da carga acidental. Uma vez transformado o efeito da fluência numa excentricidade de 1." ordem,

aplicam-se os mesmos métodos de cálculo já estudados anteriormente. Um exemplo de aplicação deste método já foi visto no item 8.2.6 do capítulo

anterior. Tendo em vista que os efeitos de longa duração ocorrem sob tensões relativa-

mente baixas do concreto e que, além disso, existe um efeito inibidor da fluência pela presença das armaduras, não há em princípio necessidade de grande rigor na conside- ração desse fenômeno.

Por essa razão, no caso de peças com armadura variável, é preferível determinar-se a carga de flambagem de Euler ignorando a presença da armadura e considerando um valor atenuado da função de fluência, adotando-se a expressão

em lugar da expressão (9.1.4-1). De forma análoga, no caso de pilares de seção transversal variável, é aceitável a

determinação da carga de flambagem de Euler por processos simplificados, ou mesmo por processos aproximados. Nos casos usuais são muito úteis as tabelas organizadas por Langendon~k.~~

*O Código - Modelo do C1 EB sugere a adoção da se$ão de concreto simples, desprezando-se a armadura

1 N = 0 , l k 8 f I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm' I k N = l W k g f = O , I t f I kNim = 100 kgflm = 0,l tflm 1 kN.m = 1W W m = 0.1 tf.m 1 kNlmZ = IW kgflm' = 0,1 tflm2 i kN.cm= 1W kd.cm = 0, l d c m 1 kNlmS= IW kgflm3 = 0.1 tflma

Page 342: Fusco - Estruturas de Concreto

9.1.5 JUSTIFICATIVA DO A justificativa da validade desse método de cálculo pode ser dada da maneiradescrita MÉTODO DA a seguir.

EXCENTRICIDADE EQUIVALENTE Consideração

Em reeime elástico. a determinação das flechas das barras esbeltas submetidas a - flexo-compressão pode ser feita assimilando-se a excentricidade inicial e, do carrega- mento a uma flecha inicial w, da barra, Fig. 9.1.5-1.

Fig. 9.1.5-1 Carga de curta duraçéa. Flexão composta de b m s esbeltas - Regime elástico.

Desse modo, tomando uma barra articulada nas extremidades cujo eixo já tenha uma pequena curvatura inicial, a aplicação de uma força de compressão longitudinal com linha de ação segundo a reta que une as extremidades da barra acarreta a ampliação das flechas, as quais passamdos valores iniciais y, paraos valoresfinais y,.

Quando a configuração inicial da barra for dada pela curva senoidal T X y, = wl sen - e

prova-se quer9 a configuração final é expressa por \

F = força de compressão aplicada

F, = carga de flambagem de Euler de uma barra reta de mesmo compri mesmo produto de rigidez E1

A flecha máxima da barra, que originalmente tinha o valor w,, pass; i a valer

Page 343: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA CR~TICA 333

2.a Consideração Nas mesmas condições do caso anterior, admita-se que o material da barra seja

visco-elástico e que, portanto, sofra um processo de fluência. Esse processo se dá com tensões variáveis, pois, a medida que aumentam as

flechas, aumentam as tensões devidas aos efeitos de 2.a ordem, Fig. 9.1.5-2.

INSTANTE INICIAL t o INSTANTE F I N A L 1,

Fig. 9.1.52 Barras com curvatura inicial - Fluência

No caso de barras de eixo senoidal, prova-se que2'

\ %

onde +(t,,to) = função de fluência entre os instantes t, e to

Sendo w, aflecha máxima da barra no instante to logo após a aplicação das forças F,, a flecha máxima no tempo infinito t, passa, por efeito de fluência, a valer

b_

WI = w2 . exp + (t,, to) [ ' b 1 . (9.1.5-2) F, - F,

3.a Consideração Conforme se mostra na Fig. 9.1.5-3, para a verificação da segurança contra o

estado limite de instabilidade, em lugar da história real de carregamento pode ser admitida uma história equivalente. Esta história equivalente de carregamento admite

s da aplicação da carga de curta duração F,, a estrutura seja descarregada da de longa duração e, a seguir, carregada com o valor total F, + F,. g. 9.1.5-4 mostra o efeito do carregamento e do descarregamento de uma

esrrurura submetida a uma carga F, de longa duração. centricidade inicial e,, do carregamento F, de longa duração é assimilada à ixima w, de uma barra com curvatura inicial, a qual é admitida com eixo

senoiaai. No ins cial h, a aplicação de F, amplia aflecha máxima para o valor w2 (to),

que, ante carga F,

A Fi

tante ini

Page 344: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS

IF ,CARREGAMENTO T O T A L

1 HISTÓRIA REAL DE CARREGAMENTO TOTAL

CARREGAMENTO

H I S T ~ R I A EQUIVALENTE DE CARREGAMENTO fr

F

Fig. 9.1.5-3 Históna de carregamento.

I

dado por

9 I I ,t

t o

Por efeito da fluência, no tempo final t,, a flecha máxima toma o valor

wdt,) = w2(to) . exp 4 (t-, to) F, FE - F g

_*." w3ítoa) = elg F~ . exp +(L> to) F,

FE - Fo FE - Fo ........... " --.-.~" , . ;:. -_

Observe-se, Fig. 9.1.5-4, que, se a carga F, fosse aplicada no tempo t, e não no tempo to para que se obtivesse a mesma flecha w3(t,) dadapor (9.1.5-3), aflechainicial da barra deveria ser

ou seja, por efeito da fluência, aflecha inicial w, = e,, sofreu um acréscimo e, dado por

e, = w,. .,luale., - w,

Desse modo, a flecha suplementar e,correspondente aos efeitos da fluênciavale !

...... ...... ,.-.:*I'- .. .

. . . . . ~ . %~.= ..-., . . _ _ . -

Observe-se então, Fig. 9.1.5-3, que essa flecha suplementar se traduz numa excentricidade suplementare, para todas as cargas, tanto , q u a n t o F,, que seaplicam ~imnlfaneamente no tempo final t,, de acordo com a históna equivalente de carrega-

Page 345: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA CaTICA 335

Fig. 9.1.5-4 Determinação da excentricidade suplementar e, devida à fluência.

9.2. PILAR PADRÃO MELHORADO

9.2.1 MODOS DE EMPREGO De acordo com o que foi visto no item 5.3.4, o conceito de pilar padrão surgiu como DO PILAR PADRAO sendo o de um pilar em balanço com linha elástica senoidal, Fig. 9.2.1-1.

Com essa hipótese, sendo o eixo do pilar dado por

onde o comprimento de flambagem e, vale e, = 2e

obtém-se

-, .... I..111. ?do r2 - 10, resulta

3- (L) 10 r base

O momento fletor M, de 2.a ordem na seção da base, dado por

Mz = F,a

Page 346: Fusco - Estruturas de Concreto

3 6 ESTRUT~RAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS

9.2.1-1 Pilar

pode então ser determinado pela expressão

que é uma função linear da curvatura - lhas Surge, desse modo, o processo do pilar padrão. Na Fig. 9.2.1-2 é ilustrada a sua aplicação dentro do método geral de calculo.

Deve-se notar que é dessa maneira que são usualmente determinados os diagramas de interação (M,, N),,,, como aqueles ilustrados pelas Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5.

A Fig. 9.2.1-3 mostra a aplicação do processo do pilar padrão dentro do método ' do equilíbrio: arbitra-se o valor critico de (llr),., e, com este valor arbitrado, é calculado o valor de M,,. Para dimensionamento impõe-se a condição de que, para N, = N,, seja M, não menor que M,, + M,,.

Na prática, essa aplicação do método do equilíbrio torna-se difícil, pois elarequer que seja arbitrado, de forma adequada, o valor de (llr),,,.

No caso de pilares não muito esbeltos, a dificuldade de escolha do valor (llr),, pode ser contornada, adotando-se curvaturas críticas próximas a curvatura última correspondente a peças de esbeltez nula, Fig. 9.2.1-4.

Conforme se mostra na Fig. 9.2.1-4, essa possibilidade decorre do própi

*c- mento dos diagramas (M - N - l/r). De fato, para barras não muito esbeltas, de tangência para a determinação de M,,, é razoavelmente próximo do pontc pondente a ruptura material da seção da base.

Desse modo, a expressão (5.4.4-8), que dá as curvaturas convencionais a pela NB-1/78, fornece os valores

com V, + 0,5 1

l/r), relat iva à mpti ura materi,

io anda- o ponto

3 u"'.ua-

dotadas

os quais, na realidade, correspondem a pontos de um intervalo qut: piuvaveiiiiciiir contém o valor exato da curvatura (

Page 347: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA 337

Nessas condiçóes, o emprego de curvaturas críticas convencionais acarreta erros na determinação de M,,c,, , pois o valor de (I/r),,i,,, arwtado pode diferir do valor de (l/r). correspondente à mptura material. Por essa razão, o método simplificado do equilíbrio é restrito a barras medianamente esbeltas (h 80). Para barras de maior esbeltez, exige-se o emprego de processos mais rigorosos, como, por exemplo, o processo do pilar padrão com o método geral.

M M

Nu =Nd O RUFTURA MATERIAI

D I A G R A M ( M - N - ih) DA SEÇAO DA BASE PARA UMDADO VALOR M N*

. ,,,"

Fig. 9.2.1-4 Processo do pilar padrão aplicado ao método simplificado do equilibno.

9.2.2 FUNDAMENTOS DO Conformejáfoi discutido, para os pilares esbeltos (h > 80) não pode ser empregado o PROCESSO DO PILAR processo simplificado do equilíbrio.

PADRÁO MELHORADO A solução rigorosa do problema exigiria o emprego do método geral, por exem- plo, com o processo do carregamento progressivo proporcional. Todavia, cálculos dessa natureza somente podem ser elaborados em casos excepcionais. Como altema- tiva, pode ser empregado o método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência, cujos resultados estão sempre a favor da segurança.

No caso usual de pilares de seçáo constante, uma soluçáo suficientemente precisa pode ser obtida através do método geral com o processo do pilarpadráo. Todavia, em

I base I I I

(T )base. cri, ( ~ ) b o i e , u (7 )wbitrodo

t e 2 arctg (- F, ) I0

Fig. 9.2.1-2 Processo do pilar padrão aplicado ao método geral. Fig. 9.2:l-3 Processo do pilar padrão aplicado ao método do equilibrio.

ÚNICO WNTO CALCULADO 1.--- ----------- /

/ /

'

Page 348: Fusco - Estruturas de Concreto

certos casos, toma-se necessário melhorar a precisão dos resultados obtidos, uma vez que, paraos pilares de maior esbeltez, nem sempre pode seradmitidaumalinhaelástica senoidal.

De fato, tendo em vista que a real conf~gumção do eixo deformado do pilar depende da verdadeira distribuição de momentos fletores totais M, + M,, em pnnci- pio não se pode admitir como verdadeira a expressão (9.2.1-l), sendo portanto

Para a melhoria dos resultados surge a idéia do pilarpadrão melhorado. Nele é considerada a verdadeira distribuição de momentos de ordem, admitindo-se que apenas os momentos de 2.a ordem produzam deslocamentos transversais com dis& buição senoidal. A Fig. 9.2.2-1 mostra como o fato de a linha elástica total não ser senoidal afeta a determinação da carga crítica.

RUPTURA MATERIAL

m ~ L

Fig. 9.2.21 iniiuência da forma da linha elástica na determinação da carga crítica.

Nessa figura, os momentos de 1 .a e de 2.a ordem correspondentes ao pilar padrão (linha elástica senoidal) estão indicados, respectivamente, por M, e M,. No caso do pilar padrão melhorado, de linha elástica não-senoidal, esses mesmos valores são indicados por M,, e M,,, respectivamente. Observe-se que, em princípio, pode ser M,, 5 M,.

7 De acordo com o que se mostra na Fig. 9.2.2-1, o momento crítico de ordem

poderia ser em princípio obtido através da determinação do maior valor de M,, que pode ser resistido pela seção dabase. A curvatura íl/r)b,,, correspondente a esse valor M,,, ,,, seria a curvatura crítica.

Esse caminho teórico pode, no entanto, ser simplificado, conforme se verá adiante.

9.2.3 PROCESSO DO PILAR No processo do pilar padrão melhorado admite-se que apenas a componente de 2.a PADRÁO MELHORADO ordem da linha elástica tenha distribuição senoidal. A componente de ordem

depende da lei de distribuição dos momentos de ordem, Fig. 9.2.3-1. Admite-se também que, tanto no pilar padrão quanto no pilar padrão melhorado, sejam iguais as curvaturas ctíticas da base e o momento total crítico.

1 Com as hipóteses adotadas, quando se passa do pilar padrão para o pilar ---'-'- melhorado, uma parte de M,, ,,,, transforma-se em M , .,, , ou vice-versa, co seja o andamento do diagrama de momentos M, ao longo do pilar.

Pai ninação da correção a ser introduzida do mo- ra a deten no valor c lisponível

Page 349: Fusco - Estruturas de Concreto

OS MESMOS MUX1ES DE

COMPONENTE SENOIWL

COMPONEKTE NAo-SENOIDAL

rbase ait JL- PILAR PADRÃO PILAR PADRAO MEL HORADQ

Fig. 9.2.3-1 Decomposiçáo dos deslocamentos.

mento de 1." ordem, admite-se a decomposição da curvatura total da base do pilar padrão melhorado em duas parcelas, Fig. 9.2.3-2, fazendo

= (l/r)crit = (l/ri)m + (1Irz)m (9.2.3-1)

onde (1 ..,,,, ,, ~urvatura da seção da base devida a M,,, C,,

(li,,,, - da curvatura da seção da base devida a M,,, .,, Para que es

(M - N - llr) é posição seja exequível em termos práticos, o diagrama io, Fig. 9.2.3-2, daí resultando:

sendo E1 o produto de rigidez secante da seção da base. Para a determinação das parcelas (llr,), e (Ilr,), da decomposição da curvatura

da seção da base, admite-se que a flecha da extremidade livre do pilar padrão melho- rado também seja decomposta em duas parcelas, conforme já foi mostrado na Fig. 9.2.3-1, resultane-

onde

alm = flech, ite dos momentos fletores de I .a ordem, a ser determinada diretamen~t: ciii função da lei de distribuição destes momentos, que é um dado inicial do problema-

Page 350: Fusco - Estruturas de Concreto

DAWMA (M-N-f I DA S E Ç ~ O DA BASE PARA UM 0400 VALOR DE N

Fig. 9.2.3-2 Processa do pilar padrão melhorado.

e: a,, = - (l/r,),, correspondente à componente senoidal da linha elástica 10

Observe-se que a,, é umvalor conhecido e que h, éumaincógnitadoproblema. De acordo com as hipóteses adotadas, tem-se

MI, cnt + M2, c n t = Mim, cn.t + Mzm, cnt - Mmt que passará a ser escrita

suprimindo-se o índice crit por simplicidade. Desse modo, sendo

M,, = M - M,,

logo

M1m = (M1+ Mz) - Mzm

tem-se

M,, = M, + M, 1 < -+I Por outro lado, sendo

Page 351: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA

e: M, = a,,, = P. [alm + - (I)

10 r,

obtém-se

e: alm + - (1lrJm Mz" = a,,, = 10

M, a 5 (!) 10 r

logo

M,, = M, + M, 1 Nessas condições, considerando a linearização expressa pelas equações

(9.2.3-2), tem-se

eZ [ a,, E;; L M2, M,, = M, + M, I - 10

- wric 10 1

De acordo com a analogia de Mohr, a flecha a,, é obtida como o momento estático do diagrama&emrelação ao topo do pilarpadrão. Desse modo, fazendo-se

E1

Z = a,, E1 (9.2.3-3)

onde Z é o momento estático do diagrama de momentos M,, resulta

z 10 - + M,, ( M,, = M, + M, 1 - wri1 )

ou seja

Introduzindo nessa expressão a relação

Mcv,t - Mm = M~rn

obtém-se

L M,, - 10 - e:

Como a correção procurada é sempre moderada, no 2.O termo da expressão ~

Page 352: Fusco - Estruturas de Concreto

342 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

anterior admitem-se, por simplicidade, que sejam

onde M, corresponde ao momento último relativo ao estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo.

Nessas condições, resulta finalmente

que para maior clareza será escrita

Uma vezcalculado o valor de Z em função do diagrama de momentos fletores de I .a ordem, a expressão (9.2.3-5) fornece o valor melhorado domomento critico de I.= ordem.

9.2.4 COEFICIENTES DE Deacordo com o processo do pilarpadráomelhorado, o momentode I.aordemcritico CORREÇÃO. CASOS melhorado M,,, ,,, é dado pela expressão

PARTICULARES -1 *..--/ J%---."--- --- ; Mm. c,, = I + Mz, crit 10

MI, cvit ,e-

Mu - z MI, ""7 ,,.i,

Definindo-se os coeficientes '-'.y.-.'-' .._, '-\-, ' Mz, ctit k = -

M"

resulta

MI,, ,tit = M,, ,dt (1 + k a,)

ou sob a forma adimensi.onal,_, d --e--"- .~ i. ~ i m , ctit = /*i, crit (1 + k p m ) ~ ,\ -.._ .-

A % ~ . ~ ~ d e c o m ~ o s i ~ ã o do diagrama de momentos fletores de I." ordem para o cálculo do coeficiente a,. Note-se que, na expressão (9.2.4-7) n

momento M,, .,, é o valor que atua na base do pilar padrão. Considerando as diferentes componentes da diagrama de M,, têm-se:

a. Componente retangular

Page 353: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA 343

10 z Fig. 9.2.41 Determinação de a, = 1 -- -

6, MI, base

b. Componente triangular

c . Componente parabólica

2e , e e2 Z, = a1 Mt, base - - = M,, base ai

3 2

Na Fig. 9.2.4-2 estão apresentados alguns resultados particulares

1 MI Ml

Tabela básica de valores de a,

Fig. 9.2.42 Coeficientes de cowefão.

Page 354: Fusco - Estruturas de Concreto

344 ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

Sendo e = P,/2, resulta

ou seja ,

logo I)

h -- " .,~"Z,X.

9.2.5 EXEMPLO Considere-se a determinação da máxima força horizontal F, que pode ser aplicada ao pilar da Fig. 9.2.5-1.

A S = 2 x 8 8 2 5 = 8 0 c m 2

Aço C A - 5 0 A

f ck = 21 MPa

Fig. 9.2.5-1 Exemplo.

De acordo com os dados do problema, têm-se

Page 355: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA cRÍTICA

345 I fck - 21 f,d = - - - = 15 MPa = 1,50 kN/cm2 Y C 134

A, = 2 X 8 qí 25 = 80 cm2 fyd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2

As f& = 80 43,5 = 0,36 o=- A, fcd 6400 x 1,s

~ . ,.&%C ~. . L~ . -,. , *.

.' a. Processo do pilar padrüo .: "De acordo c o m o áBeiaco diF ig . 5.3.5-5, para !,/h = 30, o = 0,36 e v, = 0,26,

tem-se pI, er(l = 0,11, donde

Desse modo, obtêm-se

e,, . = 0,42 x 80 = 33,6 cm

e,, , = 5 cm

logo

Fhd = Fud (elc - e,,) - - 2520 x 28,6 = 60,O kN

h 1200

donde

Esta seria portanto a máxima força horizontal que em serviço poderia ser aplicada ao topo do pilar se a componente dalinha elástica, devidaaos momentos de 1 .a ordem, fosse senoidal. e-

4 ' b. Processo do pilar padrüo melhorado Admitindo-se o resultado obtido anteriormente, o diagrama de momentos de

ordem permite o cálculo do fator de correçáo, conforme indicado na Fig. 9.2.5-2, resultando

De acordo com o ábaco da Fig. 2.3.5-1, para v, = 0,26 e o = 0,36 tem-se o valor último pd = 0,23.

Desse modo, sendo

Page 356: Fusco - Estruturas de Concreto

346 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Fig. 9.2.5-2 Aplicação do pilar padrão melhorado

obtém-se

= /"d - /"I. erir = 023 - O,11 = 0,52

/"d 0,23 Conhecidos os dois coeficientes k e a,, resulta finalmente o valor melhorado,

dado por

ou seja plm,ertt =0,11(1 + 0,52 X0,lM) =O,11 x 1,054=0,116

donde os valores melhorados

O 116 F,, = L x 42,9 = 45,2 kN 0,11

Em face da ordem de grandeza da correção obtida, não cabe a reformulação do diagrama de M, empregado no cálculo dos coeficientes de correção.

\

9.3 ESTUDO GERAL DOS PILARES

, . ESBELTOS

'% ' '. . ."xi."

9.3.1 PILARES ESBELTOS De acordo com o que foi mostrado na Fig. 7.5.1-2, no caso de pilares esbeltos, com DE SEÇAO CONSTANTE 80 < h e 140, a NB-1 não mais permite o emprego do processo simplificado do

\, ( h s 140) equilíbrio, no qual são adotadas curvaturas últimas padronizadas.

..,.J-,... ,,@.- .* No caso de pilares esbeltos com h s 140, a NB-1 ainda permite o emprego de processos simplificados de cálculo desde que justificados, exigindo porém que, na presença de cargas de longa duração, seja levada em conta a influência da flu'

'

1 N =U, lk s f 1 MPa = 1 MNlm2 = lu kgf/cmP I k N = 100 k d = U,l tf 1 kNim = 1W kgfim = 0,l d lm I I < N . ~ = IW kgf.,,, = U,I tf.,,, I kNim2 = 100 ksflm' = 0.1 Wm' 1 ~ N . C ~ = 100 ligtcm = 0,1 tf.cm 1 kNlms= 100ksflm8 = 0,l tflm"

Page 357: Fusco - Estruturas de Concreto

No caso de pilares de seção constante submetidos a força normal constante, quando 80 < A s 140, o processo de cálculo mais aconselhável é o correspondente ao

9.3.2 PILARES MUITO ESBELTOS DE SEÇAO CONSTANTE (h > 140)

1 9.3.3 PILARES COM SEÇAO TRANSVERSAL

VARIÁVEL OU FORCA

I NORMAL VARIÁVEL

emprego do método geral com o pilar padrão. O cálculo fica bastante simplificado quando existem diagramas de interação em

função da esbeltez, como os que são mostrados nas Figs. 1.3.5-4 e 5.3.5-5.,Caso contrário, é preciso lançar-se mão dos diagramas (momento fletor-força normal- curvatura), procedendo como foi mostrado no exemplo do item 8.2.4.

Em qualquer dos dois casos, cabe formular a correção permitida pelo conceito de pilar padrão melhorado.

Na presença de cargas de longa duração convém empregar o método da excentri- cidade equivalente, conforme exemplificado em (8.2.6).

Nos casos de flexão composta oblíqua, os critérios de linearização do diagrama de interação podem ser empregados sem maiores dificuldades.

Quando o pilar estiver submetido a força normal com significativa variação ao longo do seu comprimento, toma-se necessário recorrer a processos mais rigorosos como, por exemplo, o do deslocamento de referência.

A NB-1 permite o emprego de pilares desta natureza, desde que sejam tomadas precauções adequadas.

Dentre essas precauções estão a limitação de ser h < 200, a obrigatoriedade de consideração de eventuais fenômenos de vibração e a majoraçáo do coeficiente de ponderação da força normal para o valor

y, = 1,4 + 0,Ol (h - 140)

Além disso, no caso de pilares com A > 140, a NB-I exige que a segurança seja demonstrada por processo exato. Torna-se portanto obrigatório o emprego do método geral com o processo do carregamento progressivo proporcional ou então, afavor da segurança, do método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência, discutido no item 5.4.2.

Analogamente ao que foi dito para os pilares esbeltos, a influência da fluência pode ser considerada pelo método da excentricidade equivalente, e aflexão composta oblíqua pode ser tratada a partir da idéia da linearização do diagrama de interação.

Conforme foi mostrado no item 5.4.2, o método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência permite a verificação da estabilidade de pilares com seção transversal variável submetidos a qualquer tipo de carregamento.

Observe-se, no entanto, que adeterminação exatada carga crítica somente pode ser feita pelo método geral.

Q que* método do equilíbrio permite fazer é a simples verificação de se o equilíbrio é ou não estável sob a ação do carregamento de cálculo.

Apresenta-se a seguir uma sistematização do método do equilíbrio aplicado a pilares com seção transversal variável. Note-se que a mesma sistematização é válida se apenas a força normal varia ao longo do pilar.

Para isso, considere-se o pilar genérico mostrado na-Fig. 9.3.3-1. =&li- carregamento, admitindo todas as açôes com seus valores de cálculo

F, = Y , FIK

Subdivide-se o pilar em segmentos que possam ser admitidos com seção cons- tante e com força normal constante.

Consideram-se na l.= etapa apenas os momentos fletores de ordem, incluindo-se neles aeventual infiuênciadaexcentricidade equivalente correspondente a fluência.

Através dos diagramas (M, N, l/r) determinam-se as curvaturas desta etapa e, por meio da analogia de Mohr, calculam-se as flechas dos pontos nodais adotados na subdivisão do pilar em segmentos.

Essas flechas são adotadas como ponto de partida da 2.a etapa, na qual são

Page 358: Fusco - Estruturas de Concreto

TODAS AS A Ç ~ E S COM SEUS VALORES DE CALCULO Fi = rf Fi r l

Mi= &,I + M2,i

Fig. 9.3.3-1 Pilares de seçáo variável.

considerados os momentos de I.= ordem e os momentos de 2.a ordem determinados com as flechas da etapa anterior.

Com esses esforços são recalculadas as flechas, prosseguindo-se o processo por aproximações sucessivas.

A segurança do pilar estará demonstrada se as flechas dos diferentes pontos nodais tenderem para valores limites finitos, pois então terá sido atingidauma posição de equilíbrio estável.

9.3.4 EXEMPLO Verificar a segurança contra o estado limite último do pilar indicado na Fig. 9.3.4-1, PRELIMINAR sendo dados:

F,,d = yf FIiK = 200 kN fck = 14 MPa fcd = 10 MPa Aço CAJOA

o = constante = 0,60

Este exemplo tem caráter preliminar e serve tão-somente para que sejamostrado o tipo de algoritmo de cálculo empregado. As flechas calculadas neste exemplo são

Page 359: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA C ~ ~ T I C A 349

I k N =lWkBf=O,ltf I kN.m = IW kgtm = 0.1 1f.m

4 C d ' = O,O5 h Fig. 9.3.4-1 Exemplo.

exageradas porque se admitiu, para todo o pilar, o diagrama v, - E, determinadocom os valores de cálculo. Nos itens seguintes, o problema do diagrama tensão- deformação a ser empregado será reconsiderado.

Solução Empregam-se os diagramas (pd, vd. ]/r) do Apêndice 2. De acordo com os resultados adiante indicados, verifica-se que já na 3.a etapa fica

evidenciada a convergência do processo, estando portanto já garantida em termos práticos a segurança do pilar considerado, conforme está mostrado na Fig. 9.3.4-1.

I.= ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS

h A, N d Na M L ~ ei 5 e Seção v6 = - h P I ~ = ~d ' (m) (m3 (kN) A, f<d (kN.m) (m) h

Page 360: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

CÁLCULO DAS FLECHAS y,., ,,,,,

d d = 0,95 h i 103 Seção o v , pid 103 - ?i?

r (m) r (cm) (m-'1

2.a ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS

Seção h YI: e, e, e, e - - - e Vd W d = U d -

( 4 (cm) (cm) h h h h

CÁLCULO DAS FLECHAS y,,.,,,,

d d = 0,95 h 1 103 Seção o vd ,A* 1O3 - Y z o r ím) r ( 4

(m-'1

3.a ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS

Seçáo h YZP e2 e, e , e - - - e Ud p d = V d -

(cm) (cm) (cm) h h h h

Page 361: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA

CÁLCULO DAS FLECHAS ys=

d d = 0,95 h I Seção w vd p,, lo3 - Y8

r Iml r Icml

9.3.5 A RIGIDEZ DO CONCRETO A SER

CONSIDERADA

1 /

No exemplo preiiminar do item anterior, admitiu-se que o diagrama tensão- deformação do concreto, empregado no cálculo dos deslocamentos transversais do eixo do pilar, fosse o mesmo diagrama parábola-retângulo adotado no cálculo do estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo. Empregou-se, portanto, no exemplo preliminar anterior, o diagrama A da Fig. 9.3.5-1, que é o diagrama apresentado no item 8.2.4 da NB-1/78.

Este também era o diagrama recomendado pelo CEB no seu Manual de Flamba- gem1" (Boletim 123, 1978). Esse diagrama leva a uma estimativa exagerada da defoi'mabilidade da estrutura.

0185 fck

0,85 fcd

Fig. 9.3.5-1 Possíveis diagramas (c, E ) para o cálculo dos deslocamentos da barra

De acordo com o Código Modelo do CEB, no estudo da instabilidade é conve- niente relacionar a rigidez do concreto à sua resistência média, adotando-se para isso um coeficiente de comportamento y. = 0,8, daíresultando para aavaliação de f,d o valor y, = 1,2.

Além disso, o Código Modelo passou a adotar uma expressão analítica mais realista para o diagrama uc - E,, correspondente ao diagrama B da Fig. 9.3.5-1.

Page 362: Fusco - Estruturas de Concreto

Todavia, esse diagrama B, embora menos impreciso que o diagrama parábola- retângulo, também é convencional, podendo ser ainda comgido em função da densi- dade do concreto. Além disso, como esse diagrama é variável com a resistência do concreto e com aforma da seção transversal, o seu emprego exige o cálculo automático direto do problema específico em consideração.

i Parao emprego de diagramas (pd - vd - l/r) comoos apresentados no Apêndice% sugere-se a adoçáo usual do diagrama C, particularmente para os pilares esbeltos ( h > 80) e para os não contraventados, permitindo-se o diagrama D para os pilares simulta- neamente contraventados e medianamente esbeltos (h < 80).

O diagrama B poderá então ser exigido apenas no caso de pilares muito esbeltos, (h > 140).

É importante observar-se que nos diagramas C e D foi explicitado o coeficiente 035 quejáestáembutido no cálculodosdiagramas (pd - vd - l/r) do Apêndice2. Parao emprego desses diagramas, no caso C será feito con~encionalmentef,~ = f,,e, no caso D, será tomado o valor fcd = femi, sendo f,, a resistência média ao j dias de idade. Por motivos análogos, em ambos os casos será adotado fUk em lugar de fVd.

Note-se, finalmente, que o diagrama D decorre da interpretação de que -

fciestruh<ra - fe,eomos de p r w a l ~ c ~

ou seja

fcm,eatmaTa E fcm/132 E 035 fcm E fek

ou seja, admite-se parao concretodaestmturaarigidez correspondenteao quantil de 5% das resistências dos corpos de prova de controle.

9.3.6 EXEMPLO Considere-se novamente a verificação da estabilidade do pilar tratado no exemplo do DEFINITIVO item 9.3.4.

Nas mesmas condições do exemplo citado, adotando o diagrama tensáo- deformação correspondente a 0.85 fCk - fck/1,2, tem-se:

ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS PARA O CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS

h A, Nd* N d Mld e, e, e , *** Seção v,, = - p i a = v d - (cm) (m2) (kN) A,€,,** (kN.m) (m) h h

'Na = y, Nr= 1.4 N1. "7. = 1.0 r,, = f,. *** y,= 1.4 y.= 1,O.

CÁLCULO DAS FLECHAS y , . .,,. -bOL

4'

Seção o* d** d = 0,95 h 1 105 Yi" v* Wld 109 -

2 (m) r (cm) ím-'t

4, = 1,O r, = 1.0 f, = f, = I4 MPa f, = f, = SOO MW. *'Fmmeea-s o Diagrama 31 do Anexo.

Page 363: Fusco - Estruturas de Concreto

9.4 ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA C-ICA

2.a ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS

h y , , ~ e, e, e, e e Seção "a - - - (cm) ícm) ícm) h h h pa = - h

CÁLCULO DAS FLECHAS yt:,,,,

Seção o vd p d 103 j d = 0,95h 2 x 103 Y z a r ím) r (cmj

3.a ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS

h yz" e, e, e , e e * Seção vd - - - p d = Vd - ( 4 (cm) (cmj h h h h

*A comparagáo com os vaiores da etapa anterior já garante a converg6ncia do processa, provando-se assim a estabilidade do pilar.

CÁLCULO DAS FLECHAS y,.. .,,. I Em virtude da igualdade dos esforços obtidos, pode-se escrever diretamente I

9.4.1 A ESTABILIDADE A análise da estabilidade global das estruturas deve ser feita levando-se em conta o GLOBAL DAS caráter tridimensional das constmções. ESTRUTURAS Usualmente, esta análise é feita considerando-se a estabilidade de pilares isola-

Page 364: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

dos ou de elementos estruturais planos verticais situados segundo duas direções ortogonais.

De modo geraL3 admite-se que haja risco de ruína por instabilidade desde que o índice de esbeltez do elemento supere o valor limite h = 25.

No caso de pilares isolados, de acordo com o que já foi visto no estudo da instabilidade na flexáo composta oblíqua, a análise usualmente recai no estudo da estabilidade segundo os planos principais de flexáo da peça.

No caso de elementos estruturais planos aporticados, faz-se a distinção entre estruturas indeslocáveis e estruturas deslocáveis. Em qualquer caso, deve ser assegu- rada a estabilidade em dois planos, tanto no plano do elemento quanto no plano a ele perpendicular. Para isso, cada peça estrutural é considerada ou como pertencente a dois elementos estruturais planos que se cruzam, ou então em uma das direções como pilar isolado.

Quando se consideram estruturas indeslocáveis, as barras comprimidas são frequentemente tratadas, no plano da estrutura, como pilares isolados.

A Fig. 9.4.1-1 mostra os critérios adotados pelo CEB3 para a determinação do comprimento de flambagem desses pilares no caso de estruturas planas aporticadas.

b v a l o r U S U ~ I : t e =to + va lor mínimo- te a 0,85 to

Fig. 9.4.1-1 Comprimentos de flambagem de estruturas indeslocáveis (cnténos CEB). 1

Observe-se que o critério considerado é mais elaborado que o critério simplista adotado pela NB-1/78, pelo qual se admite que o comprimento de flambagem seja sempre igual à distância entre os eixos das vigas entre as quais ele se situa, desprezando-se portanto totalmente a rigidez à flexáo das vigas.

Nas exigências da NB-1/78, esta simplificaçáo é compensada pela elevação para A = 40 do limite, a partir do qual é obrigatória a consideração de efeitos de 2.a ordem.

Desse modo, quando se estuda convenientemente a estrutura de contraventa- mento, os pilares contraventados podem ser admitidos como pertencentes a uma 1 estrutura de nós indeslocáveis, podendo empregar-se os critérios da NB-1/78 ou adotar-se o comprimento de flambagem igual ao comprimento livre entre vigas,

e, = e, (9.4.1-1)

ou até um valor menor, determinado em função da rigidez dessas vigas. Nesses casos será tomado sempre um valor

e, 3 o,ss e, e os efeitos de 2.a ordem deverão ser considerados a partir do limite A = í s

Nos edifícios de poucos andares frequentemente não há um arranjo estrutural de peças de concreto armado que garanta a indeslocabilidade do sistema. Nestes casos, , frequentemente a indeslocabilidade dos nós é obtida pela colaboração das alvenarias I]

imentn

Page 365: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA

Fig. 9.4.1-2 Influência da "gidez das vigas de contraventamento

No caso de estruturas deslocáveis, a estabilidade depende em grande parte da rigidez das vigas. A Fig. 9.4.1-2 mostra como as vigas influenciam o valor dos momentos de 2.a ordem.

9.4.2 RIGIDEZ M ~ N I M A De acordo como que foi apresentadono Cap. 7, item 7.2.2, no projetodeedifícios, em DAS E S ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ DE geral não é conveniente que todos os pilares participem do sistema estrutural admitido

CONTRAVENTAMENTO como responsável pcia estabilidade global da construção. Essa participação, se fosse considerada, levaria a uma complexidade exagerada de cálculo. Por esse motivo, os pilares das construções são usualmente divididos em duas categorias: pilares contra- ventados e pilares pertencentes à estrutura de contraventamento.

Os pilares contraventados são tratados como se pertencessem a uma estrutura indeslocável. A estrutura de contraventamento deve assegurar a validade dessa hipótese. Para isso, ela deve ter rigidez adequada.

Frequentemente, a estrutura de contraventamento é composta por paredes estru- turais em balanço, engastadas na fundação, ou por pórticos múltiplos eventualmente entreliçados. Em qualquer desses casos, os nós da estrutura de contraventamento são de fato deslocáveis.

No entanto, desde que a estrutura de contraventamento seja suficientemente rígida para que seus deslocamentos não afetem a segurança dos pilares contraventa- dos, estes podem continuar sendo tratados como se pertencessem a uma estrutura indeslocável. Quando isso acontece, isto é, quando a estrutura de contraventamento é quase-indeslocável, ela pode efetivamente garantir a estabilidade global da constru- ção. Caso contrário, não se pode admitir a estrutura como contraventada, e todos os pilares devem ser tratados como pertencentes a elementos estruturais de nós deslocá- veis.

De acordo com o CEB,3 no caso de edifícios de vários andares, uma estrutura de contraventamento pode ser admitida como quase-indeslocável, desde que obedeça as seguintes restrições:

p a r a n s 3

(9.4.2-1)

Page 366: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

onde

n = número de andares L = altura total da construção R, = soma de todas as cargas verticais da constmção, em condições de serviço,

dada por

E, I, = soma da rigidez aflexão de todos os elementos verticais que compõem a estrutura de contraventamento, no estado não-fissurado, na direção con- siderada. Quando houver variação da rigidez ao longo do comprimento de um elemento, deverá ser empregadauma rigidez equivalente adequa- damente estimada

E, = módulo secante de deformação do concreto que, de acordo com a NB-1, pode ser tomado o valor*

E, = 6000 d f em MPa / Observe-se que a maneira como e calculado o valor de E,I, equivale a considera-

ção da estrutura de contraventamento como um conjunto de pilares em balanço, engastados na fundação, desprezando-se totalmente a rigidez das vigas que ligam esses pilares, Fig. 9.4.2-1.

RIGIDEZES EQUIVALENTES

Fig. 9.4.2-1 Rigidez das estruturas de contraventamenta.

No caso de estruturas entreliçadas, a rigidez equivalente pode ser determinada, por exemplo, igualando-se aflecha na extremidade livre daestmturareal sob aaçáo de uma carga horizontal unitária a flecha do pilar em balanço equivalente.

Os critérios indicados anteriormente podem ser interpretados como decc de uma limitação do peso total da constmção a uma fração de carga de flambs

*Em unidades t6enicas ainda empregadas transitoriamente E, = 19u00 -em kgflcm

Page 367: Fusco - Estruturas de Concreto

estrutura de contraventamento. No caso de pilares submetidos a uma carga axial de compressão uniformemente

L , a carga crítica de Euler valelg

com pelo menos quatro andares, em condi- çóes de serviço, é exigida a relação

admitindo-se que R, seja uniformemente distribuída ao longo da altura da constmçào, resulta

ou seja

R", 0 ~ 0 5 ~u E 5% No caso de construções com até três andares, a condição imposta por (9.4.4-1)

corresponde a

R,, 0,03 R, .ti*, E (9.4.2-5)

9.4.3 EXEMPLO. PAREDES Como exemplo de estrutura contraventada por paredes isoladas, considere-se um ISOLADAS DE edificio alto com as seguintes características, Fig. 9.4.5-1.

CONTRAVENTAMENTO a. Número de pisos elevados: 13

b. Altura total L

L = 4,O m + 12 x 2,90 m = 3830 m = 3880 cm

c. Concreto f,, = 15 MPa

E,, = 6000 v'-= 6000 0 1 5 + 3,5 = 25800 MPa = 2600 kN cmZ

d. Peso total do prédio R, = G + Qk admitindo-se o peso total unitário pk = g + q, = 10 kN/m2 R, = n.e, e, pk = 13 x 25 m x 8 m x 10 kN/m2 = 26000 kN

e. Rigidez mínima da estrutura de contraventamento

obtendo-se

-

1 N - 0 , l k g f 1 MPa = I MNlms = I0 k@/cms 1 kN = 1W kgf = 0.1 tf I kNlm = 1W kgf/m = 0.1 tfim 1 kN.m = 1W kgfm = 0.1 tf.m 1 kNlmz= 1Wkgflm2=0,1 tfimz I kN.cm= 100kgf.cm = O,? t tcm 1 kN/mS= 100kgfims=O,l tWmg

1 MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm'

Page 368: Fusco - Estruturas de Concreto

358 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

logo

ou seja

Admitindo que a estrutura de contraventamento seja formada por duas paredes isoladas, tem-se

logo, adotando-se

b = 20cm

I

~ I

PAREDES ISOLADAS DE CONTRAVENTAMENTO

L

i As lajes funcionam como diafragmas horizontais rígido:

19

T L i

3 I 4,OOn

Fig. 9.4.3-1 Exemplo.

Page 369: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA

resulta s r

Conforme semostra, em escala, na Fig. 9.4.3-1, a estruturade contraventamento, na direção paralela ao lado menor da planta do edifício, pode ser constituída por duas paredes de 20 cm x 500 cm.

Observe-se que o emprego do critério

L . &< 0,6 E" I"

permite admitir-se que as duas paredes isoladas de 20 cm x 500 cm sejam um contraventamento adequado para o prédio em questão, na direção de sua menor rigidez. Com essa hipótese, os demais pilares poderão ser considerados, nessa dire- ção, como pertencentes a uma estrutura indeslocável.

Todavia, nessa mesma direção, o índice de esbeltez da própria estrutura de contraventamento vale

Desse modo, como h > Ali, = 25, no dimensionamento dessas paredes, inclusive de suas fundações, deverá ser considerado o efeito dos momentos de 2.a ordem.

94.4 SOLICITAÇÕES Para adeterminação dos esforços de 2." ordem das estruturas decontraventamento, é DEVIDAS AO EFEITO DE preciso considerar o funcionamento básico das mesmas, ilustrado pela Fig. 9.4.4-1.

CONTRAVENTAMENTO

Fl + F2

I p2 /

p1

I

B B

Fig. 9.4.4-1 F u n c i o n i

Neste exemj fornece a condiçi

H = Fz a/L

CON'

m e n t o básic

plo, o eql ir.

+ H L =

, o cálculo

PILAR DE TRAVENTAI

P ILAR EFEIJO GLOBAL PARA 1 M T O CONTRAVENTUDJ O CALCULO DE Y t

o d a s e s t m t

iilíbrio do

uras d e c o n t r a v e n t a m e n t o .

pilar P2, que é contraventado pelo pilar PI,

:sse modo ......- > - -

O momento i. ,,,em na base do pilar de contraventamento P1 vale então

Ms a

iras.

do momer ----a,. -,

Df ito de 2.a ordem necessário ao dimensionamento da estruruid ut: LuiiriavciirdiiicllLu pode ser feito como se todas as cargas verticais fossem aplicadas à própria estrutura de coptraventamento.

Observe-se que essa hipótese só é válida para o cálculo dos momentos de 2.a ordem. Para o cálculo dos efeitos de l .a ordem, as forças devemser aplicadas em suas posiçõe

Page 370: Fusco - Estruturas de Concreto

3-50 ESTRUTVRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Note-se também que as flechas a são consideradas na determinação dos esforços solicitantes da estrutura de contraventamento, embora essas mesmas flechas sejam admitidas como desprezíveis para a determinação dos esforços dos pilares contraven- tados.

Em edifícios altos, o esquema básico de funcionamento das estruturas de contra- ventamento é repetido em todos os andares da constmçáo, Fig. 9.4.4-2.

PILAR DE PILAR EFEITO GLOBAL PARA CWTRAVENTAYENTO CONTRAVENTADO O C ~ C U L O DE Y t

Fig. 9.4.4-2 Contraventamento em edificios altos

Nesse exemplo, os pilares e as paredes de contraventamento são tratados como peças isoladas submetidas a forças normais variáveis ao longo do seu comprimento.

Nas estmiuras deslocáveis, em lugar da excentricidade acidental das cargas, pode-se considerar uma inclinação acidental dos pilares.

De acordo com o CEB,3 deve-se considerar uma inclinação a em relação à vertical com os seguintes valores: - constmções de um único andar e estmturas carregadas principalmente no topo:

1 tga = -

150 1 - outras constmções: tga = -

200

9.4.5 PAREDES E PILARES Em geral, as estruturas de contraventamento têm esbeltez bastante reduzida, embora DE nem sempre possam ser desprezados os seus efeitos de 2.a ordem.

CONTRAVENTAMENTO. A verificação rigorosa da estabilidade pode ser feita pelo método do equilíbrio CALCULO RIGOROSO com O processo do deslocamento de referência, tal qual foi empregado no item 9.3.3

para o cálculo de pilares com seção variável ou com força normal variável Na Fig. 9.4.5-1 está esquematizada a marcha de cálculo. Na 1 .a etapa, em função dos momentos de I .a ordem M,, e das forças non

que efetivamente a t u m na peça de contraventamento, são determinadas as ( ras llr, e, a partir delas, calculam-se os deslocamentos y , ,. Todos os esfor considerados com seus valores majorados de cálculo.

Na 2.a etapa já se considera a peça de contraventamento com uma CL inicial.

nais N,, :umatu- .ços são

imatura

Page 371: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 361 i

N l d

l* ETAPA

A - Mld

H, -

- 1

- -

Y 4 1 i Fl,n

MOMENTOS DE IPORDEY DESLOCAMEMOS Yi,>

20 ETAPA A C ~ E S DE CkwI.0 A P E N M PARA

DESLOCAMENTOS Y i , t

A

I Os momeqtos de ordem são, nesta etapa, os mesmos que na etapa anterior. Calculam-'se a seguir o s ~ m o m e r i t d ~ ' ~ ~ 2 . ~ ordem, devidos as flechas iniciais

calculadas na etapaantenor, procedendo-se como se em cadaandar as forças verticais tivessem os valores RUdi correspondentes a soma de todas as forças verticais desse andar. Com isso são calculados os valores de M,.

De posse do novo diagrama de momentos M,, obtido pela soma Mld + M,,, e considerando novamente as forças normais efetivas N,,, determinam-se as novas curvaturas. A partir dessas curvaturas calculam-se as novas flechas y , , ~ .

Page 372: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

O processo é repetido tantas vezes quantas forem necessárias para se provar que todas as diferenças de flechas Ay, obtidas entre duas etapas sucessivas tendem a zero. Se isso for provado, a estrutura será estivel.

O processo numérico é desenvolvido nos moldes do exemplo apresentado no item 9.3.4.

9.4.6 PAREDES E PILARES Sempre que a esbeltez da estrutura de contraventamento for moderada, poderá ser DE aplicado o processo simplificado do equilíbrio, com a adaptação que agora se apre-

CONTRAVENTAMENTO. Senta para a consideração das cargas axiais distribuídas ao longo do comprimento do CÁLCULO SIMPLIFICADO pilar, Fig. 9.4.6-1.

Observe-se que as mesmas considerações podem ser feitas para se levar em o n t a o peso próprio de um pilar isolado. ,,.*,- .v,T- ..

L- i e n d õ m i ~ b o ~ e a -da base do pilar, no caso do pilar padrão, carregado na extremidade e de linha elástica senoidal, é obtida a flecha

eZ a = F (1) 10 r base

I1 que também pode ser escrita ,! -- í

L /

sendo o c a r r e s e n t o aistnbuido ao longo do comprimento do x = 5 L pilar, admite-se que a linha elástica sejaparabólica, com a mesma flechaa que o pilar

padrão e com a mesma curvatura da seção da base, resultando então a equação

(9.4.6-1)

1, Com essa hipótese, obtém-se o seguinte valor para o momento de 2.a ordem na -__' seção da base:

L Fig. 9.4.6-1 Cargas axiais uniformemente distribuídas. Mi. bnar = I qdY dx

O

I L L3 M~ Orne = 04 (!) qd xz dx = 0,4 (+Ibeee qd r base o

a JT G C > - E ~ Chamando-se de R,, a carga total que produz efeitos de 2.a ordem, tem-se - e

Rvd .2 '." qd = - r .

2. - T (9.4.6-2)

'U 1 a expressão anterior pode ser escrita

Z MP, base = Rud -

Observe-se que 0rnomentode2.~ ordem M,, b,,,vale 113 do que valeria sc .~ ~ ~ -

estivesse aplicado na extremidade do pilar. do pilar, na seção genérica de abscissa x, Fig. 9.4.6-1 ,o momenl I

i vale

,. - t2 + 2 t3)

Page 373: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRITICA !

onde 1

9.4.7 EXEMPLO. PAREDE' ISOLADA DE

CONTRAVENTAMENTO

r )

\ ./ w

y I - i-.. V-

Para as aplicações, desde que A s 80, pode-se admitir o valor convencional (l/r),,,, especificado pela NB-1/78.

Calcular o momento de 2.a ordem na base das paredes exemplo do item 9.4.3.

De acordo com os dados do problema, têm-se

L = 38,80 m

R,, = 26000 kN fck = 15 MPa / II i d

A, = 20 X 500 = 10000 cm2 Aço CA-5$ I

I I ,-

I ! carga unitária de serviço: p, = 10 kN/m2

A i força normal efetiva na base: N, - (8 m x,h,5 x 10 kN/m2) 4 13 = 2600 kN

V força normal de cálculo: N, = y, N, = 1,4 x 2600 = 3640 kN

peso total correspondente a: - - 22600 kN = 13000 k~ uma parede 2 2

peso total de cálculo: R,, = y,.R,,, = 1.4 x 13000 = 18200 kN

i ,, ,\ Sendo f,., = I5 MPa, logo fCd = 10,7 MPa = 1,07 KN/cm2, tem-se

1 N =O,Ikgf I MPa = I MNlm' = I0 kgf/cmP I kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kNlm = 1W kgflm = 0,I tflrn 1 k N m = IWIrgtm = 0.1 tem I kNlm'=1WkBflrn~=O,ltflm' 1 kN.cm = 100 kgf.crn = 0, l ttcm 1 kNlrnS= 100 kgflma = 0.1 tflm3

1 MPa = 0,1 kNlcm2 = 100 Nlc

Page 374: Fusco - Estruturas de Concreto

364 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

I logo

M,, ,, = 4237 kN.m

9.5 ESTRUTURAS ESBELTAS NAO-

CONTRAVENTADAS

9.5.1 A ESBELTEZ DAS No caso de estruturas deslocáveis, Fig. 9.5.1-1, o comprimento de flambagem dos ESTRUTURAS pilares é maior que a distância entre os eixos das vigas adjacentes.

DESLOCAVEIS c

Fig. 9.5.1-1 Comprimento de flambagem dos pilares de estruturas deslocáveis.

Em princípio não é aconselhável o emprego de estruturas aporticadas deslocáveis muito esbeltas. Sempre que possível, a construção deve ser contraventada por meio de paredes quase-rígidas, maciças ou entreliçadas, que tornem indeslocáveis os nós dos elementos estruturais aporticados.

Para a determinação do índice de esbeltez das estruturas deslocáveis pode ser empregado o critério do CEB3 mostrado na Fig. 9.5.1-2, pelo qual se obtém o valor

onde

K = deslocamento horizontal de um andar em relação àquele que está abaixo, sob a ação de uma carga H aplicada no topo da estrutura, suposta de comportamento elástico linear, com módulo de deformação E.

A = soma das áreas das seções de todos os pilares situados entre os dois andares considerados.

O CEB formula seu critério com H = 1 e E = 1, embora isso não seja necessário e nem sempre conveniente, como está mostrado em 9.5.5.

1 N = O , ] kgf 1 MPa = I MNlmz = I0 kgf/gflema 1 k N = 1 0 0 k g f = O , l õ 1 kNIm = 100 kgflm = 0,l dlm 1 kN.m = 100 kgtm = 0,I lf.m I kN/m' = 100 kgi/rnZ = 0.1 d/ml I kN.cm= 1W kgf.cm = 0.1 d.cm I kKlma = 1W kgf/m3 = 0.1 dlm'

Page 375: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CRfTICA 365

Fig. 9.5.1-2 Estruturas deslocáveis. Determinação do comp"menro ae Iiamoagem.

A justificativ .essão (9.5.1-1) decorre da generalização do resultado correspondente a6 o,gastado em uma extremidade e com apoio de simples escorregamento na outra,z3 Fig. 9.5.1-2.

Neste caso particular, tem-se

K - - - 2 9

3 E1

logo H h3 K = - 12 E1

~~~ ~~ Fazendo I = AiZ

obtém-se H h3 K = -

12 E Ai'

e sendo

resulta

ou seja

Verifica-se abbiiii qur: a cqua~ão (9.5.1-1) decorre da expressão citada, admitindo que a influência da flexibilidade das vigas fique considerada pela determinação do

Page 376: Fusco - Estruturas de Concreto

deslocamento K, na estrutura tal qual ela é.

9.5.2 EXEMPLO. ESBELTEZ Determinar o índice de esbeltez da estrutura da Fig. 9.5.2-1 DE UM PÓRTICO

Fig. 9.5.2-1 Exemplo

7

I I

e, = 800

1 Para o cálculo do deslocamento do andar superior em relação ao nível inferior

aplicou-se o processo de Cross, já se considerando as condições de antimetna dos resultados, Fig. 9.5.2-2.

Neste caso, têm-se:

1 . Pilar P1

I , = - 6 ' 63 - 108 dm4 = 0,0108 m4 12

I I

2. Viga

(MEDIDAS EM CENT~METROSI

P 2 ( 6 0 x 6 O )

2

. I

3. Coeficientes de distribuição

3

Pl(6Ox60)

tnJ,

Page 377: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE D E T E R ~ A Ç A O DA CARGA CRITICA 367 ~

A D \

MOMENTOS FLETORES

Fig. 9.5.2-2 Cálculo do deslocamento horizontal relativo

4. Recalque aplicado (Me,, . = 100 kN.m)

- 100 kN.m Sendo M,,,, = --- - Y2

1 100 X 8' - 98765,4 obtém-se K = - . - E 6 x 0,0108 E

5. Força aplicada

Sendo

resulta

6. Índice de esbeltez efetivo

Page 378: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

7. Comparação

Desprezando-se o efeito de pórtico, os pilares isolados teriam o índicede esbeltez aparente

9.5.3 PÓRTICOS A verificação exata da segurança contra a instabilidade de pórticos hiperestáticos HIPERESTÁTICOS. somente pode ser feita através do método geral, com uma análise não-linear. Em cada

CÁLCULO RIGOROSO etapa do processo de resolução, deve ser resolvido o problema hiperestático. As dificuldades materiais desse cálculo exato são excessivas para a sua aplicação

prática. No caso de pórticos múltiplos com barras perpendiculares entre si, pode-se

desenvolver um processo de cálculo suficientemente rigoroso que pode ser progra- mado para emprego prático, Fig. 9.5.3-1.

O processo se desenvolve por aproximações sucessivas. Na etapaé feita uma análise linear de ordem, calculando-se os deslocamentos horizontais a, dosdiferen- tes andares.

Na 2.a etapa vão ser considerados os efeitos dos deslocamentos horizontais calculados na etapa anterior.

Todavia, em lugar de as barras serem consideradas com deformações iniciais, como foi feito em outros casos já analisados, admite-se novamente a confliguração inicial do pórtico, substituindo-se o efeito de 2.a ordem por um efeito de ordem equivalente.

Para isso, na 2.a etapa serão consideradas forças horizontais suplementares, Fig. 9.5.3-1, calculadas por critério análogo ao empregado na determinação do efeito de contraventamento, Fig. 9.4.4-1. Desse modo, admitindo-se para essa finalidade que todos os nós sejam articulados, a força horizontal de sustentação é dada, em cadanó, pela expressão

conforme se mostra nsFig. 9.5.3-1. Calculam-se novamente os deslocamentos horizontais dos diferentes andares,

repetindo-se o processo quantas vezes for necessário. Em cada etapa deve ser ava- liada convenientemente a rigidez de cada barra da estrutura, em funçãodos esforços calculados na etapa anterior," como se indica na Fig. 9.5.3-2.

A estrutura seráconsiderada estável quando os deslocamentos ai dos andares e as forças fictícias H, convergirem para valores finitos.

De acordo com o CEB,* o processo de determinação dos momentos fletores finais pode ser acelerado. Assim. sendo M,, M,, . .. os momentos fletores calculados numa dada seçáo de referência da estrutura, Fig. 9.5.3-2, prova-se que o valor final pode ser obtido pela expressão

'Manual de Flambegem, Boletim 123

Page 379: Fusco - Estruturas de Concreto

P P i Z N = Z 5 Fj,, 1:i 1,i j:i m:i

CÁLCULO RIGOROSO DE P~RTICOS HIPEREÇTÁTICOS

Fig. 9.5.3-1 Cálculo rigoroso de pórticos hiperestáticos.

O Fh i- a i-i I

WSIÇ~O DEFORMADA DO I

ihiih ANDAR ( 1 - 1 )

I

75m7 xm I O O @ I

I I

F2 1

b

I! ETAPA f l l

P , i - l @

O Fh t - 'i i

2OETAPA DEFORMADA DO I ANDAR L

F1 1 a i I DEFORMADA DO

nm- rn

O H 1 4

I ANDAR ( i + 1

I Fh i 1

I7.i-1 5, i-1 p a i p ~ 0 ~ 1 P

O - __C H i = - Z N -

H i - 1 hi 1'1 j , i hi-1 j:i Ni , i - i Fh,i-i

F F F Zai-1 - a i 1,i 2,i P ,i P

O - - " L Pai = a i - Fh,i

P P i-1

m m 7~ Fl N i l i - ~ = ' ' F,,,

)--I m i l

O O @

Page 380: Fusco - Estruturas de Concreto

370 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

I Rigidez equivalente I M

e t pos de c8iculo - -

' 1 2 ;

Fig. 9.5.3-2 Evolução dos resultados de cálculo.

i 9.5.4 PÓRTICOS Tendo em vista a grande complexidade do cálculo rigoroso dos pórticos hiperestáti- HIPERESTÁTICOS. cos, tal como foi descrito no item anterior, cabe o processo simplificado considerado

CÁLCULO SIMPLIFICADO adiante. A aplicação normal deste processo é exequível quando os pórticos são relativamente simples, como o do exemplo a seguir apresentado.

Conforme se mostra na Fig. 9.5.4-1, na etapa do processo é feita a análise linear de l.= ordem do pórtico, aplicando-se todas as ações verticais F, e horizontais F,, já com seus valores de cálculo FOd = y, FUk e Fhd = yf Fh*

Todos os esforços são sempre considerados com seus valores d e cdkulo ( Fvd,FhdiMd ,Vd , N d )

PILARFS I SOLADl ETAPAS POSTERIC

Fig. 9.5 .4-1 Cálcula 8 simplificado de pórticos hiperestáticos

Page 381: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 371

Nas etapas seguintes, verifica-se a estabilidade de cada pilar considerado isola- damente, submetido as ações que a ele são diretamente aplicadas e aos esforços M,,, V,,, Nld calculados na 1 .a etapa, e que atuam nas seções de corte feitas para separar o pilar do restante do pórtico.

Este processo aproximado de cálculo dos pórticos hiperestáticos é baseado na consideração de que, no processo rigoroso de cálculo, como mostra a Fig. 9.5.3-2, os momentos fletores crescem amedida que se considerametapas posteriores de cálculo. Desse modo, afavor da segurança, os momentos fletores introduzidos nas seções de corte são mantidos com seus valores calculados na I .a etapa, através de uma análise linear do sistema. As variações de V,, e N,, são, por maior razão, consideradas como desprezíveis, pois elas decorrem apenas das variações dos momentos fletores, uma vez que todo o carregamento é aplicado desde o início do processo.

A partir da2.= etapa, procede-se de acordo com o que foi visto no item9.3.3 parao cálculo de pilares com seção transversal variável ou forçanomal variável. O exemplo apresentado no item 9.3.4 ilustra a marcha de cálculo a ser empregada.

9.5.5 INFLUÊNCIA DA De acordo comoque é mostrado na Fig. 9.5.5-1, adeformabilidadedafundaçãodeum DEFORMABILIDADE DA pilar agrava o risco de mína por instabilidade.

FUNDAÇAO A esbeltez do pilar aumenta, crescendo também os efeitos de 2.a ordem, pois, além das flechas decorrentes da própria deformação do pilar, ainda existem o9es ia - camentos horizontais devidos a rotação d s base. .

Para o cálculo do índice de esbeltez do pilar pode-se empregar, por exemplo, o critério dado pela expressão (9.5.1-1). De acordo com esse critério, ilustrado no item 9.5.1 pela Fig. 9.5.1-2, tem-se 7

onde h é a distância entre os dois andares consecutivos. No exemplo da Fig. 9.5.5-1, toma-se para h o valor do comprimento efetivo do pilar e, em compensação, toma-se para K o valor de sua flecha horizontal medida entre a seção da base e a sua extremidade livre.

,//,$//~ ,,%, , + I

\

'\ .--'

Fig. 9.5.5-1 Influência da defonnabilidade da fundação.

Page 382: Fusco - Estruturas de Concreto

372 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

A consideração da deformabilidade da fundação na determinação dos efeitos de 2.= ordem é feita agora dentro dos diferentes métodos de cálculo já discutidos.

No caso de serem empregados processos nos quais é feita a integração da linha elástica, somam-se as flechas devidas a rotação da base com as flechas devidas à deformação do pilar, resultando

y = b ' x + w (9.5.5-2)

Os momentos fletores de 2.a ordem valem entáo

M2 = F" (K - Y)

e sendo K'= 8e + a

onde a é a parcela da flecha da extremidade livre devida à deformação do pilar e

M b a e = k 8.8 (9.5.5-3)

tem-se

%me e = - ke

B logo

que na seção de engastamento vale

M,, = F~(+ h + a)

Por outro lado, sendo

Mòme = MI. bme + Mz, base

1 obtem-se MI ame Mz, boae+ F" a M, *b.,, =F,h- + F , h -

I kn ke

resultando M,, aose F , a + F,h-

F h1 Mz. 0 , = k.9 h 1 - Fn- ke

f / / Quando se empregaopilarpadráo, aparcela F; adomomento de 2.aordem vale

Rv=ql/ h2 (2) F;a = F, . - (9.5.5-5) 2,5 r

onde h = 8. De forma análoga, quando se considera uma carga axial R, uniformemente

distribuída ao longo do comprimento do pilar, em lugar da parcela F,.a deve ser empregado o valor

h2 R" -(I) += -- 7,5 r base

e as parcelas F, h e Fo h M1, devem ser reduzidas à me--, ,... ..rtude do ~ i g . 9.5.5-2 Caso gemi. I, ke

Page 383: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA

tipo de distribuição de R,, resultando, neste caso, hZ 1 Ml, tm*e R " ) + - R h - 7,s r e 2

Mz, base= ke

1 h (9.5.5-7)

1 - - R,- 2 ke

Finalmente, quando se considera o caso geral mostrado na Fig. 9.5.5-2, tem-se

M ~ + ( P . ~ ++)h.*

M2, o,= k@ (9.5.5-8) R" h 1 - F n l + - - ( 2 ) k e

onde M,, é a parcela de Mz devida apenas à deformação do pilar.

9.5.6 EXEMPLO. PAREDE Considere-se a determinação do momento fletor na base da parede de contratrenta- ISOLADA DE mento estudada nos itens 9.4.3 e 9.4.7, levando em conta a açáo do ventok,a

CONTRAVENTAMENTO deformabilidade da fundação. De acordo com os dados do projeto Fig. 9.5.6-1, tem-se:

L = 38,80 m R,,, = 18200 kN (metade do peso total da constmção) h = 5,O m (altura da seção da parede)

% 1 - - r - 1,16 x lOP cm-' (curvatura da seção da base)

N,, ,,, = 2600 kN (de cada uma das duas paredes)

8.0 rn I

1 P

1 argila rija

Fig. 9.5.6-1 Iniiuência da deformabilidade da fundação

Page 384: Fusco - Estruturas de Concreto

a) Vento

Para a consideração do vento (23), são admitidos os seguintes valores: V, = 40 mls (NB-599)

logo

4, = V2,/1,6= 402/1,6 = 1000 N/mZ = 1 kN/m2

donde, para uma largura de influência de 12,5 m, obtém-se

pk = 12,5 m x 1 kN/m2 = 12,5 kN/m2

resultando, na base da parede, o momento

b) Momentos de 1 .a ordem Neste exemplo meramente ilustrativo, das combinações de solicitações prescri-

tas pela NB-1, será examinada apenas aquela em que o vento é a ação variável de natureza diferente que se admite produzir efeitos de menor intensidade. Num projeto real, a situação inversa também deverá ser considerada.

Desse modo, neste exemplo, tem-se M , , .,.,, = O,X y, M,, = 0,8 x 1.4 x 9409 = 10538 kN.m

correspondente a uma excentricidade inicial

Além disso, considerando-se a excentricidade acidental

resultam os valores e, = e , + e, =2,90 + 0,17 = 3 , 0 7 m

*'i

e M,, = N, e, = 1,4 x 2600 kN x 3,07 m = 11175 kN.m

C) Fundação direta sobre argila dura De acordo com a NB-51 (24), em condições de serviço, admite-se paraas argilas

duras o valor básico da tensão admissível.

uadm = 0,4 MPa

Admitindo-se que a base sejauma placa rígida de largura B = 3 m e comprimento H = 8 m, Fig. 9.5.6-1, as suas propriedades são as seguintes:

área da base A = 3 x 8 = 2 4 m Z módulo de resistência W = 3 x X2/6 = 32 m3 momento de inércia I = 3 x X3/12 = 128 m4

Admitindo que opeso próprio da sapata de fundaçãojuntamente coma: andar térreo dupliquem a força normal na base da fundação, sob os efei

1 N =0,1kgf 1 MPa = L MN/m2 = 10 kgfiçm* 1 k N = 1 W @ = O , l f f 1 kNlm = 1W kgflm = 0.1 tflm I kN.m = 100 kgtm = 0.1 ttm I kNlrnz= 100 kgfim2= 0,I tflmz 1 kN.cm= IW kgf.cm = 0,l ftcm 1 kN/mJ= 1Wk8flm8 = 0.1 Iilma

3 cargas do itos de I .a

Page 385: Fusco - Estruturas de Concreto

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 375

ordem, em serviço, resultariam as tensões extremas nas bordas da sapata

-2 N, M,, = 2 x 2600 + 2600 x 3,07 moor* -- + -

A W 24 32

ou sejam kN

~ r,,, = 217 + 249 = 466 - s 0.47 MPa (com~ressão) 1

kN mmi, = 217 + 249 = -32 - - 0,03 MPa (tração)

m2

Embora a tensão na borda tracionada seja muito baixa, ela sugere um reexame da solução estmtural adotada, tanto da fundação, quanto do próprio sistema de contra- veutamento empregado.

Todavia, apenas para ilustrar a influência da deformabilidade da base nos efe&-- de 2.= ordem do pilar, admite-se que a solução sejaaceitável, pois a tensão máxima de compressão na borda não supera 1,2 ma,, - 0,5 MPa.

d) Deformabilidade da fundação De modo geral quando são calculados os recalques de uma estrutura, a Mecânica

dos Solos (25) (26) fornece os elementos para isso necessários. Quando o problema se refere a ações permanentes, os parâmetros do terreno são

os habitualmente considerados na Engenharia de Fundações (27). No caso presente em que se quer calcular a rotação da base, com exceção dos

momentos devidos às excentricidades acidentais, todos os outros, devidos ao vento e aos efeitos de 2.a ordem dele decorrentes, são de curta duração.

Por esta razão, em casos dessa natureza, em lugar dos valores tradicionalmente adotados no cálculo de recalques de fundação, serão empregados os parâmetros adequados a condições de solicitação dinâmica (28).

Desse modo, no caso presente de uma argila dura com tensão admissivel para solicitações estáticas da ordem de 0,5 MPa, para a compressão uniforme é possível adotar-se (28), a favor da segurança, o coeficiente de recalque vertical

k, = 0,5 MPalcm

admitindo-se placas rígidas de aproximadamente 10 m2. No caso presente, a favor da segurança recomenda-se (28) adotar

k,, = k, fl = 0,5 x 0,65 = 0,32 MPalcm 24

No cálculo de rotações, para uma relação de lados

a=-- 8 - 2,7 3 m

o coeficiente de recalque correspondente à compressão não uniforme vale (28) k, - 2,8 k,

donde k, = 2,8 x 0,32 = 0,90 MPalcm

isto é

k, = 0.09 kN/cm3

De acordo com a notação empregada neste trabalho, resulta então

k, = k, hndog.0

Page 386: Fusco - Estruturas de Concreto

ou seja

kN k, = 0,09 - x 128 x 108 cm4 = 11,s x 108 kN.cm

cm3

ou aproximadamente

e) Momentos de 2." ordem [equação (9.5.5-8)]

Roa MI base M,, + ^ . L,. .,

Sendo de acordo com o exemplo do item 9.4.7

(i) = 4237 kN.m M,, = R"d - 7,5 r

base

tem-se

.a resultando

Conclui-se que, neste caso particular, devido à deformabilidade da fundaçáo resultou

havendo portanto um aumento de 12% do momento de 2.a ordem na base das paredes de contraventamento.

No caso de ações de longa duração, este aumento pode ser consideravelmente ampliado pela diminuição da rigidez do terreno de fundação.

Page 387: Fusco - Estruturas de Concreto

Apêndice 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO

Tabela 1 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seções retangulares. Tabela universal. Diagrama parábola-retângulo

Page 388: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS

Tabela 1 (Continuação)

CA-SOA

CA-4OA

N d = E,, ( N d > O tração; N, < O compressão)

FLEXAO SIMPLES M~~ = M* N* = O

ARMADURA SIMPLES

ARMADURA DUPLA (Vide Tabela :

Page 389: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 2 Flexão simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seçóes retangulares. Tabela auxiliar para o cálculo da armadura de compressáo

Fazendo M,,, . = M,,, ,,,, para 5 = 5 ,,,, têm-se: U l d = fWd

u com os valores abaixo

--I------ x - X

I lirn

Valores de v;, MPa para 5 = fil,

I, I ; :: : :::: 217,O 278,O

217,O 278,O

217,O 278,O MPa

1 N = 0,1 k!# i MPa = 1 MN!ml = 10 k!#!cmx I k N = I W k g f = O . l l f 1 kNlm = 104 k8fim = 0,1 lflm 1 kN.m = 1W [email protected] = 0,l lf.m 1 kN!mz = 1W k!#lmim' = 0.1 tf/mP

i 1 kN.cm = 1W k!#.cm = 0,l t . c m 1 kN!m3 = 100 kgflmJ = 0,l Sims

Acos

Page 390: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS

Tabela 3 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seções retangulares. Diagrama retangular de tensões. Tabela resumida para

dimensionamento (C A-25, C A-SOA, C A-50B, C A-6OB)

(y. = 1,15 y, = 1.4)

Flexão composta: N, = F, (N, > O tração; Nd < 0 compressão) M,, = Fd e,

Para 4 = b,, O' = d'ld

Unidades: kN. cm

ld '

. 'L:. L.

Aço

CA-25 CA-SOA CA-50B CA-60B

Flexão simples M,d = M,

kB

0,046 0,023 0,023 0,019

k',

Armadura simples: A, = k, 5 + kg2 Nd M d Armadura simples: A, = k, -

d d

Armadura dupla I Armadura dupla

8' = 0.20

0,046 0,023 0,028 0,026

(k', calculado para 5 = cam)

O' = 0.15

0,046 0,023 0,026 0,024

6' = 0,05

0,046 0,023 0,025 0,021

M,,, , = momento resistido pela seção com armadura simples

= Msd. C + AMa

O' = 0.10

0,046 0,023 0,026 0,022

M, = momento resistido pela seção com armadura simples

Ma = Md, c + AMd

k; calculado para 5 = (Mld. C = MSd, OU (Md, c = Ma, lirn)

1 N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm' = I0 kgflcmP I kN = 1W kgf = 0,1 tf I kNlm = 1M) kgflm = 0,I lflm 1 kN.m = IW kgf.m = 0,l t f m I kNlmZ= 1W kgflm' = 0,l ülm' 1 kN.cm = IW W.cm = 0.1 tf.cm 1 kNlma = IW kgf/ms = 0.1 tflm'

1 MPa =

Page 391: Fusco - Estruturas de Concreto

Para fck MPa I Para os aços

Tabela 3 (Continuação)

Para y, + 1.4 entrar com o valor o b YE

k, = bd21MSd ks 1

Page 392: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 4 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seçóes retangulares. Tabela resumida para dimensionamento

(CA-32, CA-40A, CA-40B)

(y, = 1,15 y , = 1,4)

I

1 Unidades: k N , cm I

Flexão composta N, = Fd (Nd > O tração; N d < O compressão)

M, = F, e,

Flexáo simples MBd = Md

Armadura simples: A, = k, 5 + kg2 N d Md Armadura simples: A, = k, - d d

r AMd A, = k, M,. + k,, - d d - d'

Armadura dupla Armadura dupla I I AMSd A; = k', - (k; calculado para = htm) I AMd A : = k g -

d - d' d - d'

M,,, , = momento resistido pela seçáo com armadura simples

MPd = MDd, C + AM.d

Md, C = momento resistido pela seçáo com armadura simples

Md = Md, C + AMd

\ I MPa = O,

I MPa = 1 MNlms = 10 kgflcrn' i kNlm = 10 kgfim = 0,l tflm

n 1 kNlmZ= IW kgf/rnP = 0, l tf/m2 .cm I kN/ma = 100 kgf/mS = 0.1 tflmz

Page 393: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO

Tabela 4 (Continuação)

I r = Para f,, MPa I Para os aços

Para 71 i 1.4 entrar com o valor 3 b YI

Page 394: Fusco - Estruturas de Concreto

384 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Tabela 5 Flexão simples e flexão cnmposta com grande excentricidade. Seçóes retangulares armadas com aço CA-25

(Y, = ],I5 Y C = 1-41

Armadura simples = A, I Armadura dupla {A% = A'1 + A*

Flexão simples M,d = Md

Flexão composta

Msd Armadura simples: A, = k, - + k,, Nd Md Armadura simples: A, = k, - d d

0,46 k* = - 0,46 k; =-

a B

M*d, c I =

Armadura dupla

Nd = Fd (Nd > O tração; Nd O compressão) Mid = Fd e, Unidades: kN, cm

Md, , = momento resistido pela seção com armadura simples A,,

Msd = M*d. e + AMSd

M,, . = momento resistido pela seção com armadura simples A,,

M, = M , , + AMd

Armadura dupla

~ (Usualmente Mid, c = Md, correspondente a g = g., )

Md, c A, = k,- AMd + kB- d d - d'

AMa .A\ = k: -

- N =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = 10 kgflcm" kN = 100 kgf = 0.1 tf' 1 kNlm = 1W kgilm = 0,l õ lm kN.m = 100 W m = 0,I t t m 1 kNlmB = IW kdlm' = 0.1 tflm' kN.cm = 1W kptcm = 0,l C e m 1 kNlm8 = 100 k g i l d = 0.1 @/ma

d - d'

1 MPa = O ,

Page 395: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 5 (Continuação) Aço CA-25

* b = &cm Pani y. i 1.4 entrar com o valor 2 b Yr I

Page 396: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 6 Flexão simples e flexáo composta com grande excentricidade. Sgões retangulares armadas com aço CAdOA

(y, = 1.15 YC = 1,4)

I Armadura simples = A, I

Flexão composta Unidades: k N , cm N, = F, (N, > O tração; N, < O compressão)

Msd = Fd e.

..e 'O- Armadura simples: As = k, M'd + kSt Nd

d

/ Armadura dupla i I

Armadura dupla (2: = +

100 p, = 100 A91 bd

a = - r s d fVd P = - r:d fVd

I AM8d A'' = k; - d - d'

M,d = Md

M,,, . = momento resistido pela seção com armadura simples A,,

M, = M,, c + AM,d

Flexão simples Msd = Md i

Md Armadura simples: A, = k, - d I

Armadura dupla I I A Md = k: -

d - d '

M,, . = momento resistido pela seção com armadura simples A..

Md = Md, C + AMb

(Usualmente M,, . = M , , ,,, correspondente a 6 = 6 ,,,.)

I MPa = I MNlm' = I0 kg«cmX 1 kN = 1W kgf = 0.1 lf 1 kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 kN.m = 1W kd.m = 0.1 tf.m 1 kNlm2 = 1W kgtlms = 0,l fimx I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ttcm 1 kNlm3= 1W kgflm3 = 0.1 tflma .

1 MPa = O,1 kNlcmS = 100

Page 397: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 6 (Continuação) Aco CAJOA

Para y, f 1,4 entrar com o valor 3 b Y c

Page 398: Fusco - Estruturas de Concreto

388 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Tabela 7 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade. Seções retangulares armadas com aço CA-SOB

(Y. = ],I5 Y C = 14)

bd2 k, = - MSd

Armadura simples = A,

A - A,, + As2 Armadura dupla -

A,, lOOp, = 100- bd

V*d a=- P = - fWd fWd

0,23 k, = - O,23 k' --

a 6 - P

Plexão composta Unidades: kN, cm

Nd = F d ( N b > O traçáo; N d 1 0 compressão) Msd = F d es

Armadura simples: A, = k, 5 + kB Na Armadura simples: A, = k, - Md d d

I A, = k, - Msd + kB (%L + N ~ ) d d - d '

Armadura dupla I

M , , . = momento resistido pela seção com armadura simples A,,

MSd = Msd, e + AMsd

Flexão simples M,, = Md

I Md. c AMd A, = k, - + k,, - d d - d'

Armadura dupla I

M,, . = momento resistido pela seção com armadura simples A,,

M, = M , . = AM,

(Usualmente M , , . = M,,, ,,, correspondente a 5 = fti,.)

- - I N = U , L X S 1 MPa = I MNlmP = I 0 kgf/cmz 1 k N = IOO kgf = 0.1 tf i kN/m = I W kgfim = 0.1 tflm 1 k N rn = 100 kgf rn = 0.1 tf rn I kN/m2 = 100 kgf/mz = 0.1 tf/rnS I k N crn = 100 kgf cm = 0,I tf crn I kNlrn3 = 1W kgflrn' = 0.1 tf/rns

I 1 MPa = 0,I k N b m S = I(U

I

Page 399: Fusco - Estruturas de Concreto

Para y, # 1,4 entrar com o valor 1'4 b Y c

Tabela 7 (Continua@o) 0,023 0 023 k, - - k,, = ' 8 - Aço CA-SOB f,, (MPa) OL B

P

k, 1 1 0 0 ~ ~ k, (1MIp, k, 1100p, k, 1100p, k, 1100p, k, 1100p, k, 1 1 0 0 ~ ~ k, u 6' = 0,0516' = 0,1016' = 0,15 16' = 0,20

f,, = 30 f,, = 25 fCk = 21 fCk = 18 X

f= ; f,, = 15 f,r = 9 fCx = 13,s

Page 400: Fusco - Estruturas de Concreto

390 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Tabela 8 Fiexáo simples e tiexáo composta com grande excentricidade. Seçóes retangulares armadas com aço CA-óOB

(Y, = 1,15 YC = 1,4)

1 Flexão composta Unidades: kN, cm

bd2 k,=- Mad

Armadura simples = A,

A - A*, + A, Armadura dupla {K; -

A,, 100p, = 100- bd

mad 01 =- d d P = - f"d f"d

0,23 0 2 3 r -- k,, = i a a - P

N, = Fd (Nd > O tração; Nd < O compressão) M,, = Fd e,

Msd Armadura simples: A, = k, - + k,, N, d

Ma, , = momento resistido pela seção com armadura simples A.,

= Ma, c + AM,,

A, = k, - c + k, (!!!?L + N,)

Flexão simples 1 M, = M d

Armadura dupla

Md Armadura simples: A, = k, - d

d d - d'

A\ = k. -

I Md, c A M d A, = k, - + k,, - d d - d'

I

I d - d' i'

I Armadura dupla

M , . = momento resistido pela seção com armadura simples A,,

Mh = Md, c + AMd 1 (Usualmente M , , , = M , , ,,, correspondente a f = (,,,,,.)

- 1 N =v,, 1(BI

- I k N = 1W kgf = 0.1 ?i 1 k N m = I W k d m = 0 , 1 t f m I k N . c m = 1 W k g f c m = O , 1 t i c

I Mia 1 kNlm I kN/m2

m I kNlma

i MPa = 0.1 k ~ / c ~ * = IW

Page 401: Fusco - Estruturas de Concreto

*P = tum Para y, + I , 4 entrar com o valor 1'4 b Y E

Page 402: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 9 Flexo-compressáo com pequena excentricidade. Armadura unilateral. Seçóes retangulares. Tabela universal. Diagrama parábola-retângulo

f;d o' = (ud - 035 a,) -

Uid

Page 403: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO

Tabela 9 (Continuação)

Page 404: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Tabela 10 Diagramas tensão-deformação dos aços Classe B

Aços classe B - Relação (u8dr zsd)

E,d

(1 MPa = 10 kgficrn')

1 ,O 1,l 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,s

usd (Mpa)

CA-40B I CA-SOB

1 3 295,4

2,4 313,s 376,4 4303 2,6 320,2 385,2 443,O 2,8 326,O 393,3 453,9

I ! Vale a lei de Hooke ;

U3d = Ead E* i

CA-óOB

250,3 261,l 269,O 275,6 281,3 286,4 291,l

,

313,2 325,3 334,6 342,s 376,l

Page 405: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 10 (Continuação)

Page 406: Fusco - Estruturas de Concreto

396 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Tabela 11 Flexão simples e flexão composta com grande excentricidade. Flexão diagonal da seçáo quadrada. Diagrama parábola-retângulo

1. Flexão composta N, = ESQ (N,, > O tração; N,, < O compressão)

2. Flexão simples M,,, = M a N.,, = O

a. Armadura Simples A,, = L (% + N,,) 'Jad

h. Armadura Dupla Assa = L (* + U S ~ d, - d:

Parte 1 AMszd A;zQ = - - vid d2 - d:

Page 407: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO

Tabela 11 (l.a parte - Continuação)

Page 408: Fusco - Estruturas de Concreto

398 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Tabela 11 (2.a Parte) E<,,, = -3<50%0

Page 409: Fusco - Estruturas de Concreto

/

CA-50A

CA-40A

CA-32

CA-25

Tabela 11 Parte - Continuação)

X f = -

d

0,52 0,54 0,56 0,58 0,60

0,62 0,6283

_ _ _ _ - _ _ _ - 0,64 0,66 0,6788 _ - - - - - 0,68 0,70

0,72 0,7254 _ _ _ _ 0,74 0,76 0,7717 . 0,78 0,80

0,82 0,84 0 3 6 0,88 0,90

0,92 0,94 0,96 0,98 1 ,O0

1,05 1,10 1,15 1.20

6'

P a r d

0,109 0,116 0,122 0,129 0,136

9,143 0,145

0,149 0,155 0,161

- - - - - - 0,161 0,167

0,173 0,174

- _ _ _ - - 0,178 0,183 0,186

0,188 0,192

0,197 0,200 0,204 0,207 0.21 1

0,213 0,216 0,218 0,221 0,223

0,227 0,230 0,232

= 0,15

zc

0,705 0,694 0,682 0,671 0,660

0,649 0,644

0,638 0,627 0,618 - - - - - - - 0,617 0,607

0,598 0,595

0,589 0,580 0,575

0,571 0,563

0,555 0,548 0,540 0,533 0,526

0,520 0,514 0,507 0,502 0,496

0,483 0,472 0,463

E c l b = -3,5Wa

Esd (%o)

3,23 2.98 2,75 2,53 2.33

2,15 2,07 _ _ _ _ _ _ - _ _ 1,97 1,80

_ - _ - - _

1,36 1.33 _ _ _ _ _ _ _ - _ 1,23 1,11 1 ,O4

0,99 0,85

0,77 0,67 0,57 0,48 0,39

0,30 0 2 2 0,lS 0,07 0,W

- 0,17 - 0,32 - 0,46 - 0,58

6'

P l a d

0,109 0,116 0,122 0,129 0,136

0,143 0,145

0,149 0,156 0,162

._ - - - - - 0,162 0,168

0,174 0, 176

0,180 0,185 0,188

0,190 0,195

0,199 0,204 0,207 0,211 0,214

0,218 0,220 0,223 0,225 0,228

0,232 0,236 0,238 0,240

= 0,20

zc 5 =d 0,705 0,694 0,682 0,671 0,660

0,649 0,644 _ 0,637 0,626 0,616

.- - - _ - - - 0,616 0,605

0,595 0,593

0,586 0,576 0,571

0,567 0,559

0,550 0,542 0,534 0,527 0,519

0,512 0,506 0,499 0,493 0,487

0,472 0,460 0,449 0,440

CA-SOA

ICA-40A

-1- _ CA-32

e

0 c ~g a 6

O E 'È e

CA-25

Page 410: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 12 Flexo-compressão com pequena excentricidade. Flexáo diagonal da seção quadrada. Diagrama parábola-retângulo

l.a Parte

P 4RM4DUR4 UNILATERAL

d : o

9 3. 2. 0 vi

0.85.m,

0,758 0,7M 0,769 0,774 0,779

0,783 0,792 0,799 0,805 0,810

0,814 0.818 0,821 0,824 0,826

0.828 0.830 0.83 1 0,833 0,834

0.836 0,838 0,841 0,843 0,844

0,845 0.847 0,848 0,849 0,850

x 'I= h

1 ,O0 I ,O2 1 1 ,O6 1 ,O8

1.10 1.15 1,20 I ,25 1.30

1,35 1,40 1,45 1,50 1,55

1,60 1,65 1,70 I ,75 1,80

1,90 2,OO 2,25 2,50 2,75

3,OO 3,50 4,OO 5,00 a

6; = o,os 0,316 0,320 0,324 0,328 0,33 1

0,334 0,341 0,346 0,350 0,354

0,357 0,359 0,362 0,364 0,365

0,367 0,368 0,369 0,370 0,371

0,372 0,374 0,376 0,377 0,378

0,379 0,380 0,381 0,381 0,382

de piZd s: = 0.15

0,240 0,244 0,247 0,250 0,253

0,256 0,261 0,266 0,270 0,273

0,275 0,278 0,280 0,281 0,283

0,284 0,285 0,286 0,287 0,288

0,289 0,290 0,292 0,293 0,294

0,295 0,296 0,296 0,297 0.297

Valores s: = 0.10

0,278 0,282 0,286 0,289 0,292

0,295 0,301 0,306 0,310 0,313

0,316 0,319 0,321 0,322 0,324

0,325 0,326 0,327 0,328 0,329

0,33 1 0,332 0,334 0,335 0,336

0,337 0,338 0,338 0,339 0.340

s; = 0.20

0,202 0.206 0,209 0,212 0,214

0,217 0,222 0,226 0,229 0,232

0,235 0,237 0,238 0,240 0,241

0,242 0,243 0,244 0,245 0.246

0,247 0,248 0,250 0,251 0,252

0,252 0,253 0,254 0,254 0,255

Page 411: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO 401

Tabela 12 Parte - Compressau unirui

Tabela 12 (La Parte -Continuação)

X 61 = L E:< (%O)

s; = O,2O s; = O , l S s; = O,OS s; = 0 , l O

Page 412: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Tabela 13 Cálculo simplificado de compressão centrada Pilares curtos A S 40

Coeficiente a de majoração da força normal

/- '\ mlh 8' . ~ . , , - : . , . < &', ... . - < : . . .. , - ' . . ' a .. .I';. . ! . </,//lF5)l , . 4 . : .

. o : . . 0 . . . ..d ) . . , . ~ , .. , '4'. , ..:O; .... :,i.: . . : ., . . ' . . ,

. , ) . . , . , , . . . . . . . : . . . , , . . . . ,, . . . .. , . , . d . . . d ' . . , A . . i l . , d . , . . , d .:.. A.;~, i ' ; . , . , : . . , . , . ' ' '\ . : . . . 4 . , : , I , ! .,;

I : ' :,,. ,'.O - .. . . . " . . \ . \ ' . , " . . ; . . . . ' . , . ; ; : , . , ; . ~ d ; ; ' , , . : , . ,.. : \ ,a . 4 : . , ~ . . ~ ' : : . . . . . .. . . , . . . . . ' , ;a -;

, ,

\ ,

Valores de a

1 N =O,Ikgi I MPa = 1 MNlmz = 10 kgf/crnP I k N = 1W kgf = 0,l tf 1 kNlm = 1W kgflm = 0,l fflm 1 kN.m = 100 kgfrn = O,l 1f.m I kN/m* = 100 kgf/m= = 0.1 tflm* I kN.cm = IW kgtcrn = 0,l C.cm I kNlrnS = 100 kgf/ms = 0,1 tflm8

I MPa = 0.1 kNlcm2 = 10

Page 413: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 14 Cálculo simplificado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A s 80

Coeficiente a de majoração da força normal CA-25 -

SEÇÕES RETANGULARES

com AS! 3 As$$fl ( A , 2 A , + 2As2

A, = b h - bl h i As,

L b J

CX = a, + a 2 N,,= O(N, e = e,+ e 2 B

Valores de a, a l = l + 3 & h

Valores de a, 3 e 0,003s + 0 , 0 0 1 ~ %=-(q( 10 h

v,, + 0,s 1

I N =0 ,1kg f 1 MPa = I MNlm2 = IOkgfIcm' I kN = 1W kgf = 0,l tf I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tfirn i kN.m = 100 k g t m = 0.1 1f.m 1 kNimz= 100 kgfim' = 0.1 tfimP i kN.cm= 1Wkgfcm = 0,1 t f c m 1 kNimS= IWkgf/m'=O,lffims

Page 414: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 15 Cálculo simplificado de compressáo eentrada Pilares de esbeltez média 40 < A = 80

Coeficiente a de majoração da força normal -

SEÇÓES RETANWLARES

can A,, < 2 ,As,

I (X- a,+ Me N,, = O: N, e = e,+ e 2

n

v d = N / A f

*Esbeltez limite para sefóes circulares

1 N = 0,i k I MPa = I MNIrn2 = I0 kgflcm' I kN = 1001 I kN/m = 100 kgflm = 0,I tflm I kN.m = 100L *.... .,. ...- ' b"'m2= 100 kgflm2= 0.1 lilm' i kN.cm = 100 kgf.crn = 0.1 t ma = 100 kgflmX = 0.1 lflm3

I MPa = O

Page 415: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 16 Cálculo simplificado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A s 80

coeficiente a de majoração da força normal

CA-50

Valores de a, a, = l f 3 5 h

Valores de a,

1 N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm2 = 10kgf/cm' I kN = IW kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m 1 kN/mx= lWkgf/mP= 0,1 fim' I kN.cm= IW kgfcm = 0,l ttcm I kN/ms = 100 kgfim3 = 0,1 fflma

1 MPa = 0,l kN/cmz = 100 Nlcrns

Page 416: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 17 Cálculo simplifcado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A s 80

Coeficiente a de majoração da força normal

SECÕES RETANGULARES SEÇÓES CIRCULARES

can A,, < + (A,= 2A,, + 2A,,)

e l l ,5< h 5 2 3

4 Ac : b h - b i h1 n i h c hi2) 10<$<20 A

0:- O(, + a, Nld = O:Nd e = e , + e ,

Valores de a,

Valores de or,

1 N =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = 10kgflcrnz I k N = l W k g f = O , l l f 1 kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm 1 k N m = LW k6 .m = 0.1 tf.m 1 kNlmz = I W kãlma = 0.1 tflmx 1 kN.cm = 100 kgtcm = 0,l tf.e

I MPa = O,I

23

'Esbeltez limite para sqóes circulares

0,98 0,91 0,84 0,79 0,74 0,69 0,65 0,62 0,59 0,56 0,54

Page 417: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 18 Cálculo simplificado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A S 80

Coeficiente a de majoração da força normal C A-60

SEÇÕES RETANGULARES A S com A s , 1 , ~ As-Jj$jfl

( A s = 2 A , + 2 A s 2 )

A?., A , = b h - bi hi

C b 4 - cx = O(, +a2 y d = O(N, e = e, 7 e ,

B

Valores de a,

Valores de a,

1 MPa = 0,l kN/cm2 = 100 Nlcm'

Page 418: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 19 Cálculo simplificado de compressão centrada Pilares de esbeltez média 40 < A s 80

CA-60 Coeficiente a de majoração da força normal

SEÇ~E!

OOm 4 1 - 3 /"SI

SE@ES RETANGULARES SEÇÓES CIRCULARES

a," 41<+

(A, = 2 A w + 2 A e )

Q 11,5<+< 23

. A c = b h - b i hi k'

10 < + < 2 0 Ac= 1(h2- h;) 4

Valores de a,

e,/h 0,033 0-04 0,05 0.06 0,07 0,08 0.09 0.10

a1 1,13 1,16 1,20 1 1.24 1 1.28 1,32 1 1,36 1,40

Valores de a,

I I I I I I I I I 23 1,06 0,97 0,90 0,84 0,79 0,74 0,70 0,67 0,63 0,60 0,58

(*)Esbeltez limite para seçóes circulares

I MPa i kN/m

8 1 kNim2

Page 419: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 20 Dimensionamento - Compressão simples Y, = 1,4 y,= I , I S f,x (MPa)

Dimensionar com a força normal majorada N,, = a N d 'f.8 = resistência de cálculo do aço, respeitada a condição s 2 % ~

Page 420: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 21 Dimensionamento - Compressão simples CA-25 y, = 1,4 y, = 1,15

Valores de u t d = 0.85 f,# + ps (fad - 0,85 fcd) em (MPa)

N = 0,l kgf kN = 1W kgi = 0,l tf kN.m = IW kd.m = 0,l U kN.cm = IW kgfcm = 0.1

I MP; 1 kNi

r.m 1 kNI d.cm I kNl

Page 421: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 22 Dimensionamento - Compressão simples CA-SOA y, = 1,4 y. = 1,15

Valores de c,, = 0,85 fcd + p, (f,, - 0,85 fcd) em (MPa)

1 N =0,1kgf 1 MPa = I MN/m2 = I0 k8flcmz I k N = I W k g f = O , l t f 1 kNIm = 100 kgfim = 0,l Iílm 1 kN.m = 1W kg tm = 0.1 1f.m I kN/ml = 100 k8f/rnz = 0.1 tflm2 1 kN.cm = 1W kgf.cm = O,L tf.cm I kN/m3 = 1W kgf/mS = 0.1 tflm'

1 MPa = 0.1 kNlcmS = 100 Nlcmz

Page 422: Fusco - Estruturas de Concreto

Tabela 23 Dimensionamento - Compressão simples CA-SOB y, = 1,4 y, = 1,15

Valores de <r,, = 0 3 5 f,, + p, (f, - 0 3 5 f,,) em (MPa)

I N = 0.1 kgf L MPa = 1 MNlmz = 10 kgficmz 1 k N = l W k g f = O , l t f 1 kNlm = I W kgfim = 0,I tfim 1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m 1 kNimx= 1Wkgf/m2 = 0.1 tfim' 1 kN.cm = I M ligtcm = 0.1 ã.cm I kNimZ = I W kgfim3 = 0,l tfim3

Page 423: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO I

413

Tabela 24 Cálculo de momentos fletores de 2.a ordem Pilares de esbeltez média 40 < h s 80

e: 0,0035 + fud/E, M Z d = N d e 2 = N d - . I0 (V, + 0,5) h

I I I I I I I I I I I I I I I *Esbeltez limite para seiões circulares

1 N = 0 , 1 k g f 1 MPa = I MN/m2 = 10 kgflcm' 1 k N = I W k g f = O , l l f I kNlm = 1W kgflm = 0.1 tflm 1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m 1 kN1m2 = IW kgf/ma = 0,l tf/rnZ I k N c m = 1W kg tcm = 0,1 t t c m 1 kN/m3 = IWkgf/m3 =0 ,1 a m a

Page 424: Fusco - Estruturas de Concreto

414 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Tabela 25 Cálculo de momentos iietores de 2.a ordem Pilares de esbeltez média 40 < A < 80

*Esbeltez limite para seções circulares

1 Ii = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP = 10kgf/cm2 I k N = I W k g i = O , l t f 1 kN/m = 1 M kgilm = 0,1 tflm 1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 d m 1 kN/m2= 1W kgfima = 0.1 tf/m2 I kN.cm = 1W kgfem = 0.1 ttcm 1 kNimS = 1W kgfim3 = 0.1 tflma

I MPa = O,

Page 425: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO

Tabela 26 Cálculo de momentos fletores de 2.a ordem Pilares de esbeltez média 40 < A S 80

Valores de - 0,0035 + 0,00248

h - & ($) v,, + 0.5

1 N = 0 , 1 k g í I MPa = 1 MNlmZ = 10 kgf/cm2 I k N = I W k g f = O , l t f 1 kNim = I W kgflm = O,I tflm 1 kN.m = IW kgí.m = 0, l tf.m 1 kNlm* = 1W k d m ' = 0.1 lflm' 1 kN.cm = IW kgf.cm = 0,I @.cm 1 kN/m3 = 100 kgíimJ = 0,l lflm8

I I I I I I I I I I I I I

1 MPa = 0.1 kNicmz = 100 Nicm'

0,144

*Esbeltez limite para seções circulares

0,151 23 0,316 0,288 0,264 0,243 0,226 0,211 0,198 0,186 0,176 0,166 0,158

Page 426: Fusco - Estruturas de Concreto

VIGA I N T E R N A VIGA ISOLADA

Page 427: Fusco - Estruturas de Concreto

Apêndice 2 Diagramas Momento fletor - Força normal - Curvatura

I d'

f luência I$ = O

I

ACO CA-25

DIAGRAMA ( p - 4 - d/r

Page 428: Fusco - Estruturas de Concreto

f luência I$ = O

DIAGRAMA í H - J - d/r l

Page 429: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - C U R V A W 419

$ = A, = bh A c f c d

M d = 4 +

A c f c d r . A c h f c d

AÇO CA-25 fluência 4 = O . .&h = nn5

DIAGRAMA ( p - 3 - d / r )

Page 430: Fusco - Estruturas de Concreto

420 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

A c : bh 9 = N d A c f c d

- Acfyd 1 = 3 2 A c f c d = AChfcd h

f luência $ = o AÇO CA-25 d I / h = ~ 0 5

.

I 3 4 5 6 7 9 id d i r

Page 431: Fusco - Estruturas de Concreto

APRNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

9 = N d A, = bh A c f c d

. Acfvd M d r 3 +

A c f c d r = Achfcd

fluência 4I = O

Page 432: Fusco - Estruturas de Concreto

422 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS

AÇO CA-25 dl/h= 405 piq

w :* Md , $2 A C f c d .IE AChfCd h

I fluência (I = O I

DIAGRAMA i M - 3 - d/r 1

Page 433: Fusco - Estruturas de Concreto

1 d' I f luência $ = O I

AÇO C A - 25 AÇO C A - 2 5

DIAGRAMAS ( H-3- d / r )

Page 434: Fusco - Estruturas de Concreto

f luência $I = O

AÇO CA-25

I D I A G R A M A S ( p - 2 - d / r )

i

Page 435: Fusco - Estruturas de Concreto

M d p = - = "+ Ach fcd

I d'

f l uênc ia 4 = O

AÇO C A - 25

r h

03

o I 2

ACO CA- 25

DIAGRAM

Page 436: Fusco - Estruturas de Concreto

f luência 4 = O

AÇO CA- 25 AÇO C A - 25

O J 1 ! " l ! ' l ' ! " ' ! o I 2 3 I 2 3 103d/r 103d/r

Page 437: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 427

ACO CA - 25 DIAGRAMAS ( r - * - d / r )

ACO

!, F

.1 CA- 25

r,- N d $ =-

A , = bh f c d

, ,-sfra. Ac f c d A c h f c d

f iuêncio @ = 0

Page 438: Fusco - Estruturas de Concreto

428 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

ACO CA- 25

Page 439: Fusco - Estruturas de Concreto

ACO CA-25

AÇO C A - 2 5

e

A s / 2

A s / 2

d'

A, = b h

, , As fyd f c d

N d J =- A c f c d

M = '= 14, hdfcd

fluência O=O I 4 103d/r

Page 440: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

AÇO C A - 2 5 DIAGRAMAS ( ! - - 3 -d / r )

E,

0.4

0.1

o I 2 3 lo3dh I 2 3 4

f luênc ia r$ = O

J :N" Ac f cd

Page 441: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATCTRA 431

ACO C A - 2 5

' 1 +1e+b,9 1 A * = b h

Nd 3;- A C f c d

f luência $ = 0 I

DIAGRAMAS í P-a- d a

Page 442: Fusco - Estruturas de Concreto

1 U2 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

a, = w Y 4 p. Mb , 3 e Ac fcd h 'cd

I fluência 0 = O

DIAGRAMA ( - 9 - d/f

Page 443: Fusco - Estruturas de Concreto

APRNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

A c fcd I d' 1 fluência @ = O

r 0-5

o 3 4 5 6 7 8 9 10

lo3 d/r

DIAGRAMA ( r- 4 - d/r )

Page 444: Fusco - Estruturas de Concreto

ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS

A f d W;- r;A = J &

fcd h fcd h

fluência @ = O

AÇO CA-50-A

DIAGRAMA ( p - 9 - d/r )

Page 445: Fusco - Estruturas de Concreto

fluência $ = O

AÇO CA-50-A

DIAGRAMA ( p- +d/r )

Page 446: Fusco - Estruturas de Concreto

fluência 6 = O A C O C A - 5 0 A

I

A d 2

As/ 2

DIAGRAMA ( - 3 - d h )

A c = b h $=L A c f c d

A s f d w =Y Md = $ o A C fcd A c h b h

Page 447: Fusco - Estruturas de Concreto

A s f d w M d = 3 P r = Achfcd h A c fcd

I fluência 4 = O I ACO CA- 50-A

Page 448: Fusco - Estruturas de Concreto

fcd fcd

DIAGRAMAS ( p - 9- d/r )

I d' fluência (I = O

,

Page 449: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 439

, k ? Y & Md = J L A c f c d r = A c h f c d

h

fluência 4 = O

RAMAS (I"- 9 - d/r )

Page 450: Fusco - Estruturas de Concreto

1 - Asfyd A c fcd fcd

d' fluência 4 . O

r 43

42

o " : " ' : " ' : ' " :

Page 451: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

DIAGRAMAS ( p - J - d/r )

I 4 5 6 7 8 9 10' d/r

Page 452: Fusco - Estruturas de Concreto

442 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

fluência = O

' 1 r g A s / 2

A s / 2

ACO CA-50-A

A c = bh $=- A c f c d N d

- As fvd M d p - = J A A c f c d bh fcd h

DIAGRAMA ( p - J - d/r )

Page 453: Fusco - Estruturas de Concreto

APONDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 443

Page 454: Fusco - Estruturas de Concreto

o I 2 3 4 5 6 7 8

DIAGRAMAS ( v - 9 - d/r ) fluência I) = O

I 6

Page 455: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 2 -DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

I DIAGRAMAS ( p - J - d/r )

AÇO CA-50-A ACO CA-50-A d'/h= 4 1 5 P!

AÇO CA-5C-A fluência I) = O

Page 456: Fusco - Estruturas de Concreto

DIAGRAMAS ( f i - 3 - d/r )

r r 43

4 2

o o I 2 3 103d/r I 2 3

N d J=- A, = bh Ac fcd

Page 457: Fusco - Estruturas de Concreto

d = N d A c = b h c d

w =U e M d z J - f i z A c h fcd h

A c f c d

f luência d> = O

G R A M A (k -v - d / r )

Page 458: Fusco - Estruturas de Concreto

448 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

e J =- N d

A, = b h c d

, , A s fvd = I > - e

A c f c d h

f l uênc ia @ = o

ACO CA-50-B

O,]

o I 2 3 4 5 6 7 8

DIAGRAMA (&-v - d / r )

Page 459: Fusco - Estruturas de Concreto

AP~NDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

, ,nçfvd - ~d = 9 e A c f c d A c h fcd

h

f luência (0 = 0

AÇO CA-50-B

Page 460: Fusco - Estruturas de Concreto

450 ESTRUTU~AS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

4 = N d A, = b h

c d

- A s f v d M d e I = A c h fcd = Jh

A c f c d

f luênc ia $ = O

DIAGRAMA ()I -3 -d/r '

Page 461: Fusco - Estruturas de Concreto

-J = N d A c = bh

cd

w - A s fyd M d e I = A, h fcd = 9 -

A c f c d h

f luência $ = O

AÇO CA-50-B dl/h = 0,05

3 4 5 6

OIAGRAMA (+ -3 - d/r ) i 03d/r

Page 462: Fusco - Estruturas de Concreto

J = N d A, = bh

c d

, , A S fvd M d = qe A c f c d

= A c h f c d h

f luência $ = O L

AÇO CA-50-B

r 0,5

3 4 5 lo3d,

D I A G R A M A (P-T

Page 463: Fusco - Estruturas de Concreto

D I A G R A M A S (p -V - d / r )

I f luência @ = O I

Page 464: Fusco - Estruturas de Concreto

D I A G R A M A S (JA-v - d/r

AÇO C A - 5 0 - B d'/h = 0,05

rC p i i T

d'

A, = b h N d 3 . -

fcd

A,fyd M d

U> = A , fcd = Ach fcd = 4 ;

f luência (I = O

Page 465: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 455

1 ' ; DIAGRAMAS [p -V - d/r

A c f c d

f luência $ = O

Page 466: Fusco - Estruturas de Concreto

D I A G R A M A S (N-V - d / r )

r+ f l u ê n c i a + = 0

Nd 3.- A , / 2 A c = b h AC f c d

Page 467: Fusco - Estruturas de Concreto

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATi

D I A G R A M A ( k

F

. 4 = N d

A, = b h c d

w =U Md = 9- e A c f c d

r= Ach fcd h

fluência 4 = O

Page 468: Fusco - Estruturas de Concreto

D I A G R A M A ( P - V - d/ r )

e 4 =

N d

A s / 2 A, = b h c d

A s / 2 A s f d M d e w=V = J - f i z A, h fcd h A c f c d

f luência @ = O

Page 469: Fusco - Estruturas de Concreto

N d 3 =- A c = b h

A c f cd

",=% Md = 9 8 A C fcd P= A C ~ fcd h

fluência = O

D I A G R A M A S

Page 470: Fusco - Estruturas de Concreto

460 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

ACO C A - 5 0 9 ACO CA-SOB

I d l i DIAGRAMAS (P -V - d/r )

I fluência @ = O I AÇO CA-5OB

LIA d?h=0 .15

Page 471: Fusco - Estruturas de Concreto

ACO CA-50 -B d'h = 0.15

ACO CA-50-A d/h = 0.15

1

D I A G R A M A S (@-V - d/r)

O fluência 4

ACO C A - 5 0 ' B

Page 472: Fusco - Estruturas de Concreto

Referências Bibliográficas

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I*?.

Page 473: Fusco - Estruturas de Concreto

Índice Alfabético Os números emnogritoreferem-sea locaisonde oassuntoé abordado mais extensamente. Os númerosem itálico referem-se a localizaç0es fora do tento (legendas. quadros. disticor, notas erc.):

A - problemas especiais de determi- 65 216.217 nação da, 328 - do eixo de barra, 200 Esbeltk de um pónicodr

Ábacos - d e flambagem de Euler. 331 domínios de (v. Daminios 366 de flenáo normal composta de - de longa duração. 172, 175, 328 de defoimaçáo) Esforços Montoya. 115 - d e projeto, 272 - módulo de. li -atuantes. 12,

- e m roseta, 108 parcialmente de longa duração. na flexáo composta oblíqua, 2W decomposiçi Açofs) 329 - na fleno-compressáo, 167 Estabilidade - CA-509, 134 permanente, 272 Derlocabilidade dasestruturas,233 - da configura - classe A, I I Carregamento. história de, 334 Deslocamentos, decomposição brio, 158

classe B, I I Coeficiente de correçáo, 342,343 dos, 339, 340 dasformasde rquiiioriu, - diagrama de cálculo dos. 10 Compatibilidade. equações adi- Diagrama(s). 417-62 Estado Asóes mensionair de, 51 - carga-deslocamento. 178 - de deformqáoplisticaer -atuantes, 222 Compressáo - d e cálculo dos agos, 10 3 - resistentes, 222 - armadura de, 25, 35 - de dimensionamento, 377416 -de encunamento último Analogiade Mohr. 169 - centrada, I1 1 - d e interaçâo (v. Interaçáo, dia- creto, 2 Armaduras(s). 90 - - cálculo simplificado de, 402-8 gramas de) -de neutralizaçáo. 5 - alongamentos últimos - simples, 409.12 - de tensões parábola-retângulo, 5 -limite último

das.3, 5 - tensáo ideal de, 227 - linearizado, 216 - -de instabilidade. 153~99 de compressáo, 25, 35, - uniforme, 69. 75,401 - momento-curvatura, 169 - - d e ruptura ou de alongamento

d e tração, 10, 25. 34 e x e m p l o s . 77 - momento fletor-força normal- plástico excessivo, 1-152. 3 - - centro de gravidade da, 46 Concreto cuivatura, 173 - - na nexo-compressão, li -dupla, 24, 27 - encunamentos últimos do, 5 - para o cálculo dos deslocamentos - último de ruptura. 2 - - s e ~ ã o com, 34, 35 - rigidez a ser considerada. 351 da barra, 351 Estribos. arranjos básicos i -longitudinais, 268 - ruptura do, 2.3 - retangulardetensóes, 6,63,79,89 Estruturas - minimas, 264 - verificação do tensáo-deformaçáo. 176 - deslocáveis. 365 -simples, 22, 26 - - e m funçáo da armadura exis- - - dos aços Classe B, 394 --esbeltez das. 364 - - cálculo da, 32 tente. 32 Dimensionamento - esbeltas não-contra ventavas. ,o+ - -deformações, 34 - - em funçáo do momento atuante, -aproximado, 124 Euler - taxa mecânica de, 22 3 1 - diagrama de, 377416 -carga de flambagem de. 331 -transversais, 269 -vigas de seção T das estruturas exemplos de, 36 -fórmula de. 156 - unilateral. 70 de, 82 -expedito, 262 Excentricidade(s) --exemplos, 72 Contraventamento. 236 - tabelas de, 3774!6 -acidental, 1 1 1, 242

-das estruturas. 235 Domínios. 4 -adicional, 111 B - em edifícios altos, 360 - de deformação, 4, 6,7 -do carregamento. 2W. 26

estruturas de, 221 - iniciais de I.%ordem. 211 Barras longitudinais, espaçamento --estabilidade giobal das. 353 E -mínimas inevitáveis, 224 dai, 269 - - quase-indeslocável, 355 - progreraivas, processo d - --r igidez mínima das, 355 Edificios

c - influCnciada rigidezdas vigas de, - cobrimenros mínimos, 268 F 355 - dimensões externas mínimas. 267

Cálculo - paredes de, 360, 362 - disposiçóes construtivas, 266 Flambagem, 154 - d e deforma$ões, 85 - - isoladas de, 357, 363 - pilares (v. Pilares) -carga de, 154 - de flechas com não-lineatidadefi- - pilares de, 360, 362 Equações adimensionais - comprimet

sica, 168 - solicitações devidas ao efeito de, - d e compatibilidade. 51 - cunia de, -de resistência, 85 359 - de equilíbrio, 67 Flexão Cargafs) Convexidade, propriedade de, 108 Equilibtio - Composta, - -acidental, 273 Curvaturas, 202,203 condiçues de, 17 c o m grar.". .nu-

- crítica, ou carga de nambagem ' -álcula das, 204 - de forças, expressão de, I'" - - c á l c u l o prático, 55 154 - d e momentos, 140 - - d e barras esbeltas no regime

- - cálculo da, 207 - equaçóesadimensionaisde elástico, 161 - - - pelo método do - estabiiidade das formas di --instabilidade na. 168 - - -pelo método ge ;formaçáo(ões) 161 - - obliqua, 123 - - - p o r processos simolificados álculo de, 85 -método do, 189 - - - deformaç6es na, 200

215 - condições de compatibilidade de, - proces~o $i lidade na, 200 mplificado dc

ção flefida <

i 1 de. i25 '~ ie equilí-

.," .,. 10". ,O,

~cessiva.

do con-

Page 474: Fusco - Estruturas de Concreto

- -

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORIV

reto. 2, 3 iltimo de. 2. 3 le. 2

S

- - - p r o c e s s o s simplificados de cálculo de, 245

- - resolução dos ~roblemas de, 53

- dimensionamento, 236 - efeito da superposiçáo de. 239 - e~beltos. 272 - - calculados por processos rigo-

roros, 253 --calculados por proces-

sos simpli~ados, 2% - - considerasão da fluência. 290 - - d e seção constante, 346 - -es tudo dos. 313 - - estudo geral dos. 346 - - sem consideração da flu&ncia,

283 - - solução alternativa por meio de

diagramas, 288 - - SOIUF~O alternativa por meio de

diagramas de interaçáo, 286 - influência da deformabilidade da

fundaçáo, 371,373 - intermediirios, 236 - - solicitaçóer iniciais dos, 238 -internos, 279 - medianamente esbelto, 304, 311,

321 - - sob carga centrada, 261 -mu i to esbeltos de seção cons-

tante, 347 - não-cintados, 225,226 - - índice de esbeltez, 228 -padrão, 181, 210,211 - - deformaçóes admitidas, 211 - -melhorado, 335, 338 - - - aplicação do, 345 - - - fundamentos, 337 Z

- - modos de emprego do, 335 -usuais dos edificios, 222 - verificação da segurança dos, 252 Pórticos hipereatáticos, 36s

cálculo rigoroso de, 369 - cálculo simplificado, 370 hocesso - aproximado d e pré-di

mensionamenra e df dimensionamento en pedito, 2

- d a Norma - das excenti

179 - do carregakiiciiiu piugisa - - etapas do, 180 - proporcional, 178, 208 - d o deslocamento de ref

isn

2,"

- -justificativa do, 332 da transformação afim das se-

çóes, 117 - de funçáo equivalente de fluència,

- diagonal da seçáo quadrada - - erande excentricidade. 129.130

, - -pequena excentricidade, 136 - normal composta, 11 1 -oblíqua, 101.52

330 - do equilíbrio, 189 Mohr. analoeia de. 169 Momento(s)' - de inércia, 416 -externos, 159 - - d e 1.'ede2.aordem, superposi-

çio dos, 256 - - d e Z a ordem, 265 - - - cálculo de, 413-15 -internos, 159

Seçãa(6es) -afins. 117

com armadura dupla. 34, 35 -método de transformacão afim

- - -métodos geras de, 101 ,or tentativas, 110 imposta. 111 dução aduas flexóes normair,

" , Q

das. 117 - quadrada, flexãodiagonalda. 129.

130. 136 - retangulares, 17-81 --propriedades básicas, 46. 66 - - transformações afim das, 117 -submetida a momentos de senti-

dos contrários, 42 - T, 82-1W --cálculo prático das. 89 - - notação usual, 82 - -p roces so de dimensionamento

das, 86 -transversal, formas de. 146 Segurança, verificação da, 55 Solicitação(6es) - casos de, 6 -normais, 2 Solidariedade dos materiais, 5

.," ples, 2.45, 82, 223 1~u lo prático, 22 solução dos problemas de. 53 Fcompressáo, 45 i pequena excentricidade, 64 i l~ulo prático, 69 solução geral dos problemas

de. 68

N

NÓ(s) - arranjo estrutural do, 229 - deslocáveis, 233 - indeslocáveir, 235 - cur

- def - esti - insl

vatura na, 170 orrnaçóes na, %dos limites úI 'abilidade na, . nsformacáo em comoressáo

centrãda, 2, o-tracáo. 45

Pãreoe(s), /'i de contraventamento. 360. i Flex

Fárr - da

A"

nula Norma Russa Norma Venezuriaiia, - . . ..

estruturais, conceitos b i s 263

excentricidade do carreran das, 2M

isoladas de c 357, 363

usuais dos edi

iento

tnto, Tabelas - adimensionais, 24 - de dimensionamento, 377416 - dimensionais, organização dar, 31 - t ipo K, 28 - - emprego de, 60, 95 - universiils, 24

eças comprimidas, ''3 subarmadas, 9

Incêndios, classiti, Instabilidade -estado limite últi~ -fundamentos, 15' - na compressáo a - na nexão compor --oblíqua. 200 - na nexo-compres Interaçáo

diagramade,54, 1 - - lineairaçáo dor - - para pilares esb - laje~parede, 265 - supenicies de. 10 - -caso panicular i

:ação das, 26f

mo de, 153-99 I xial, 154

superairnadas, 10 ilar(es), 221 carregamento dos, 278 cintados, 230,231, 292 com armadura igual nas 4 faces,

249

- - emprego de , 89 Tirantes, 222 Tração -armadura de, 25, 34 - com pequena excentricidade. 17 -simples, 17, 222

a a ç á e s afim, 121

'62 Russa, 116 ricidadesprogl compressáo simples de, 225

- com seção transversal variável ou força nomal variável, 347,348

contraventados, 235 CU~OS. 241

, , . . -, , . , eltos, 185-7

4 ia. 145

v Valores

-calculados por processos rigo- rosos, 253

- dimensionamento rigoroso, 313 dimensionamento simplificado,

, > r ,

.," - do pilar padráo, 182, 192 - co r r ig ido , 184 --melhorado, 338, 346 -simplificado do equihbrio, 195,

216,217

- d e cálculo, 29 - d e dimensionamento, 29 VanÁveis - adimensionais, 22, 24 - dimensionais, 28 Verificação da segurança das peças

estruturais, 222 Viga($), 223 - cálculo das, 275 - d e seção retangular, 82 - invenidas, 230

- - sob carga centrada, 259 - d e canto, 223,240, 313 - - solicitações iniciais dos, 240 - d e contraventamento. 360. 362 - d e edificios, 233, 236,237 - - açáo do vento. 233 - - armnios estruturais dos. 238

Regime - anelástico, 161 - elástico, 154 - - flexãaçompostade barrasesbel-

tas no, 161 Resistência - ao fogo, 266 - cálculo de, 85 Ruína, 3

A,'

- d e extremidade, 236, 297 - - solicitações iniciais dos, 239 - de seçáo celular, 2M - deslocáveis com vigas de grande

rigidez, 229

Manutenção da seçáo plana, 4 Matérias plásticas, 155 Método(s) - da excentricidade equivalente

z Zona utilizável, 98

~ ~ o o " ~ , ~ A ~ o M ' , , M c ~ r ~ ~ " ~ c , ~ o ~ . ~ , ~ ~ ~ , , ~ ~

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