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Função de uma variável real

Laura Goulart

30 de Janeiro de 2019

Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de 2019 1 / 15

1-De�nição de função

Desde dos primórdios, com o desenvolvimento de outras ciências, tais como

Física e Química, sentiu-se a necessidade de um instrumento matemático

relacionando as leis de maneira quantitativa.

Por exemplo, para cada tipo de alimento está associado a uma

porcentagem de proteína bruta, conforme o quadro abaixo:

Alimento Proteína bruta(%)

Milho grão 10

Farelo de soja 45

Farelo de trigo 18

Feno de gramínea 10

Sal mineral 0

Milho grão 10

Farelo de soja 45

Farelo de trigo 18

Sal mineral 0

Milho grão 10

Farelo de soja 45

Farelo de trigo 18

Sal mineral 0

Assim, a relação possui uma propriedade marcante: a cada alimento

"x"está associada exatamente a um único percentual "y"de proteína bruta.

Tal relação é chamada de uma aplicação ou uma função. Observemos que

o alimento é uma variável qualitativa enquanto que o percentual é uma

variável quantitativa.

De�nição

Uma função f é uma relação de um conjunto A em um conjunto B

obedecendo a seguinte regra:

"Todo elemento de A(domínio) tem que estar relacionado com apenas um

elemento de B(contradomínio)."

Assim, a relação possui uma propriedade marcante: a cada alimento

"x"está associada exatamente a um único percentual "y"de proteína bruta.

Tal relação é chamada de uma aplicação ou uma função. Observemos que

o alimento é uma variável qualitativa enquanto que o percentual é uma

variável quantitativa.

De�nição

Uma função f é uma relação de um conjunto A em um conjunto B

obedecendo a seguinte regra:

"Todo elemento de A(domínio) tem que estar relacionado com apenas um

elemento de B(contradomínio)."

Exemplo 1.1

Observação

Em Matemática utilizamos letras para representar grandezas variáveis.

Numa função temos sempre duas variáveis: chamamos de x a variável do

domínio e y a variável que depende do valor da primeira.

Assim, em geral existe uma sentença aberta f (x) = y que expressa a

regra matemática da função.

f é uma função de A em B⇔ (∀x ∈ A,∃!y ∈ B tal que f (x) = y

As funções de nosso maior interesse são as funções reais a valores reais, ie,

são aquelas em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R.

Observação

f é uma função de A em B⇔ (∀x ∈ A,∃!y ∈ B tal que f (x) = y

Observação

f é uma função de A em B⇔ (∀x ∈ A, ∃!y ∈ B tal que f (x) = y

Observação

f é uma função de A em B⇔ (∀x ∈ A, ∃!y ∈ B tal que f (x) = y

Exercício de Fixação

1.1-Domínio de uma função

Em muitos casos, é comum que a função seja dada apenas pela sua lei de

correspondência. Assim, vamos supor que a função de�nida tenha o

domínio o conjunto de todos os números reais que possam signi�camente

ser substituídos por x em f(x).

Em todos os casos, vamos considerar que o contradomínio é R.

1.1-Domínio de uma função

Em muitos casos, é comum que a função seja dada apenas pela sua lei de

correspondência. Assim, vamos supor que a função de�nida tenha o

domínio o conjunto de todos os números reais que possam signi�camente

ser substituídos por x em f(x).

Em todos os casos, vamos considerar que o contradomínio é R.

1o. caso: f (x) =1

Df = {x ∈ R/g(x) 6= 0}

Exemplo (1.2)

f (x) =1

2x − 4

Exemplo (1.3)

f (x) =1

x2 + 2x − 3

2o. caso: f (x) =√

Df = {x ∈ R/g(x) ≥ 0}

Exemplo (1.4)

f (x) =√2x + 6

Caso especial: f (x) =1√g(x)

Df = {x ∈ R/g(x) > 0}

Exemplo (1.5)

f (x) =1√

3x − 1

1.2-Imagem de uma função

O conjunto formado pelos elementos do contradomínio que estão

relacionados com algum elemento do domínio é chamado de conjunto

imagem da função e denotado por Imf .

1.3-Grá�co de uma função

Para construir o grá�co de uma função, basta atribuir valores do domínio

para a variável x e, usando a sentença matemática que de�ne a função,

calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos

construir o grá�co da função f : R+ → R/f (x) =x

Escolhidos os valores para x, montamos a seguinte tabela:

x 2 4 6 8

y 1 2 3 4

Identi�cando os pontos encontrados no plano cartesiano, obtemos:

O grá�co da função será uma reta que passará pelos quatro pontos

encontrados. Basta traçar a reta e o grá�co estará construído.

x 2 4 6 8

y 1 2 3 4

x 2 4 6 8

y 1 2 3 4

x 2 4 6 8

y 1 2 3 4

encontrados. Basta traçar a reta e o grá�co estará construído.Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de 2019 12 / 15

1.4-Raízes de uma função

O que também nos interessa são os valores do domínio que anularão a

função chamados de raízes(ou zeros) da função. Observemos que são

exatamente estes pontos que cortam o eixo das abcissas, conforme ilustra a

�gura abaixo:

1.5-Função crescente e decrescente

Seja f : D ⊂ R→ R uma função. Considere a, b ∈ D tq a < b.Diremos que:

f é crescente(ou estritamente crescente) se f (a) < f (b).

f é não-crescente se f (a) ≤ f (b).

f é decrescente(ou estritamente decrescente) se f (a) > f (b).

f é não-decrescente se f (a) ≥ f (b).

1.6-Função par e ímpar

Seja f : D ⊂ R→ R uma função.

Diremos que f é par qdo f (−x) = f (x).

Diremos que f é ímpar qdo f (−x) = −f (x).

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