FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr.

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr.

Sumário

FME / PDE

Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos

Estruturantes x Encaminhamento Metodológico

DCM: Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico

FME / PDE

Data: 29/06/2007

Pela manhã

G7 3

G7 ; Cruzeiro do Oeste e Foz do Iguaçu 3

Palestra do Mestrado em Educação Matemática

Aula de Trigonometria

Data: 06/07/2007

Pela manhã G7 3 Foz e 3 Barras 4 Goioerê 3 Chico 2 Toledo 2 Josemara 1 Clarice 1

Conteúdos:Funções

FME / PDE

Relações Funções Funções do 1º Grau Função Quadrática Função Modular Função Composta – Função Inversa

Relações

FME / PDE

Par Ordenado – conceito primitivo (a, b) = (c, d) a = c e b = d

Sistema Cartesiano Ortogonal Teorema: entre o conj. de pontos P do pl cartesiano e o

conj. dos pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívoca.

Produto Cartesiano Def: Sejam A e B dois conjs. não vazios. Denominamos

PC de A por B o conj. A X B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), x elto A e y de B.

A X B = {(x, y)/ x X A e y X B}

Relações Relação Binária

R é relação binária de A em B R T A X B

- x X D y X B/(x, y) X R

- y X Im x X A/(x, y) X R

Relação Inversa

- (y, x) X R-1 (x, y) X R

FME / PDE

Funções

f é função de A em B

x X A , ! y X B/ (x, y) X f Domínio (Imagem): D (Im) é o conj. das abscissas

(ordenadas) dos pontos tais que as retas verticais (horizontais) conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, i. e., é o conj. formado por todas as abscissas (ordenadas) dos pontos do gráfico f.

Def. Duas funções, f de A em B e g de C em D são iguais sss A = C, B = D e f(x) = g(x) para todo x X A

FME / PDE

Inequações Def.: Sejam as funções f(x) e g(x) com domínio D1 e D2

contidos no conj. dos Reais. Inequação na incógnita x é qq uma das sentenças abertas:

f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) P g(x) f(x) O g(x)

Domínio de validade da inequação f(x) < g(x) é o conj. D = D1 W D2, onde D1 é domínio da f e D2 da g. Assim,

para todo ponto x0 XD, estão definidos f(x0) e g(x0).

FME / PDE

Inequações O número real x0 é solução da inequação f(x) > g(x)

sss é verdadeira a sentença f(x0) > g(x0)

O conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x) é uma sentença verdadeira, chamamos de conjunto-solução da inequação.

Diz-se que duas Inequações são equivalentes em D nos reais se o conjunto-solução da primeira é igual ao conjunto-solução da segunda.

FME / PDE

Inequações

Princípio 1.

Sejam as fç f(x) e g(x) definidas em D1 e D2,

respectivamente. Se a função h(x) é definida em

D1 W D2, as inequações

f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x)+ h(x)

são equivalentes em D1 W D2.

FME / PDE

Inequações

Princípio 2. Sejam as fç f(x) e g(x) definidas em D1 e

D2, respectivamente. Se a função h(x) é definida em

D = D1 W D2 e tem sinal constante, então:

(i) Se h(x) > 0, as inequações

f(x) < g(x) e f(x) . h(x) < g(x). h(x), são equivalentes em D

(ii) Se h(x)< 0, as inequações

f(x) < g(x) e f(x) . h(x) > g(x). h(x), são equivalentes em D

FME / PDE

Funções do 1º Grau

Função Constante f : R YR

xYc

Função Linear f : R YR

xYax, a K 0

Função Afim f : R YR

xYax + b, a K 0

FME / PDE

Funções do 1º Grau

Função Afim- Gráfico - Coeficientes da função- Zero da função- Funções Crescentes e Decrescentes- Sinal da função

FME / PDE

Inequações Simultâneas

f(x) < g(x) < h(x) => f(x) < g(x)

g(x) < h(x)

FME / PDE

Inequações Produto/Quociente f(x) . g(x) > 0

(f(x) e g(x) > 0) ou (f(x) e g(x) < 0)

f(x) . g(x) < 0 ; f(x) . g(x) P 0; f(x) . g(x) O 0

Função Quadrática

FME / PDE

Função Quadrática f : R Y R

x Y ax2 + bx + c, a K 0- Gráfico- Concavidade- Forma Canônica- Zero de função- Máximo e mínimo- Vértice da parábola e Imagem- Eixo de simetria- Sinal

Inequação do 2º Grau

FME / PDE

- ax2 + bx + c > 0 - ax2 + bx + c < 0

- ax2 + bx + c P 0- ax2 + bx + c O 0

Função Modular- Definição de módulo- Propriedades- Função

- Equações modulares- Inequações modulares

Função Composta – Função Inversa

FME / PDE

Def.: Seja f uma fç de um conj. A em um conj. B e seja g uma fç de B em um conj. C; chama-se fç composta de g e f à fç h de A em C definida por:

h(x) = g(f( x ))

para todo x em A.

h(x) = (g o f)(x) = g(f( x ))

Função Composta – Função Inversa

FME / PDE

f: A Y Bf é sobrejetora y, y X B , x, x X A/ f(x)=yf é sobrejetora Im (f) = Bf: A Y Bf é injetora x1, x1 X A , x2, x2 X A

(x1 K x2) => f(x1) K f(x2)f: A Y Bf é bijetora y, y X B , ! x X A / f(x)=y

Teo:Seja f: A Y B. A relação inversa f -1 é uma fç de B em A sss f é bijetora.

Sumário

FME / PDE



Conteúdos: Logaritmo e Exponencial

FME / PDE

Potências e Raízes Função Exponencial Logaritmos Função Logarítmica Equações Exponenciais e Logarítmicas Inequações Exponenciais e Logarítmicas Logaritmos Decimais

Potências e Raízes

FME / PDE

DEF.: Dado um número real a natural. Potência de base a e expoente n é o número an tal que:

a0 = 1, para a K0

an = an-1.a, n P 1

DEF.: Dado um número real a não nulo, e um número n natural, define-se a potência a-n pela relação: a-n = 1/an

Potências e Raízes

FME / PDE

DEF.: Dados um número real não negativo, a, e um n natural, demonstra-se que existe sempre um real positivo ou nulo b tal que bn = a.

b = raiz n-ésima aritmética de a

a = radicando e n = índiceOBS.: [¬n/(a)]n = a; ¬/36 = 6 não é (- 6);

¬/a2 = !a!; Assim, ¬/x2 = !x!

e, ¬/(x-1)2 =

= !x-1! = x – 1, se x > 1; 0, se x = 1; 1 – x, se x < 1Propriedades: página 20

Função Exponencial

FME / PDE

DEF.: Dado um número real a, tal que a seja maior que zero e diferente de 1, diz-se função exponencial de base a a função f de R em R (conj dos reais) que associa a cada x real o número ax.

Propriedades: pág 23 a pág 29

Função Exponencial

FME / PDE

Imagem => Im = reais positivos

Gráfico: y=ax (a > 1) , fç crescente

(0< a <1), fç decrescente

Equações Exponenciais (EE)

FME / PDE

DEF.: EE são equações com incógnita no expoente.

Exemplo 1: 2x = 64

Exemplo 2: 4x – 2x = 2

Exemplo 3: 2x = 3

Método da redução a uma base comum

Exs 1 e 2

Inequações Exponenciais (IE)

FME / PDE

DEF.: IE são as inequações com incógnita no expoente.

Exemplo 1: 2x > 32

Exemplo 2: 4x – 2 = 2x

Método da redução a uma base comum

Se b e c são números reais então:

a > 1 => ab > ac <=> b > c

0 < a < 1 => ab > ac <=> b < c

Logaritmos

FME / PDE

DEF.: se a e b são números reais e positivos, com a diferente de 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b (logaritmando ou número).

baxb

baRbax

a

log

então,0e10,,

Logaritmos

FME / PDE

Sistemas de Logaritmos:

- decimal - Neperiano

Prop: pág 56

Conseqüência da definição:

cbcb

baa

aa

baa

a

loglog

;1log;01log log

Mudança de Base - Propriedades- Conseqüências

pág 64

Função Logarítmica

FME / PDE

DEF.: Dado um número real a, positivo e diferente de 1, chamamos de função logarítmica de base a a função f de R*+ em R que associa a cada x o número:

Propriedades: pág 69 a pág 71.

Imagem: Im = R

Gráfico: fç crescente e fç decrescente

xalog

Equações Exponenciais

bxba

ba

ax log

:se-tem,0e10Se

FME / PDE

Exemplo:

}3log{S

3log32

2

2

xx

Equações Logarítmicas

0)()()(log)(log

então10Se

xgxfxgxf

a

aa

FME / PDE

1º Tipo: pág. 79

2º Tipo: pág. 80

3º Tipo: são as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita. pág. 81

axfxf

a

a

)()(log

entãoRe10Se

Inequações Exponenciais

10seloglog

1seloglog)II(

10seloglog

1seloglog)I(

:se-tem,10e0,0Se

cba

cbaba

cba

cbaba

cba

cx

c

cx

cx

cx

c

cx

cx

x

FME / PDE

IE que não podem ser reduzidas a uma desigualdade de potências de mesma base.

Inequações Logarítmicas

10se)()(0

ou

1se0)()(

)(log)(log

axgxf

axgxf

xgxf aa

FME / PDE

1º Tipo: pág. 97

2º Tipo: pág. 100

3º Tipo: idem pág. 101

10)(

1)(0)(log

10)(0

1)()(log

aseaxf

aseaxfkxf

aseaxf

aseaxfkxf

k

k

a

k

k

a

Logaritmos Decimais

FME / PDE

Característica

- Regra 1: (x > 1): A caract. do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de algarismos de sua parte inteira, menos 1.

Exemplo: log 2,3 => c = 0; log 23 => c = 1

- Regra 2: (0 < x < 1): a caract é o oposto da qt de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo.

Exemplo: log 0,2 => c = -1; log 0,00053 => c = -4

Logaritmos Decimais

FME / PDE

Mantissa

- Obtida nas tábuas de logaritmos.

- Propriedade: A mantissa do logaritmo decimal de x não se altera se multiplicarmos x por uma potência de 10 com expoente inteiro.

Assim, os logaritmos decimais dos números 2; 20; 200; 2000; 0,2; 0,002 tem todos a mesma mantissa 0,3010; mas as caract. são, resp, 0; 1; 2; 3; -1; -3.

Sumário

FME / PDE



Conteúdos: Trigonometria

FME / PDE

Arcos e Ângulos Funções Circulares Relações Fundamentais Redução ao 1º Quadrante Transformações Equações Inequações

Arcos e Ângulos

FME / PDE

Arcos de Circunferência

DEF.: Dados 2 pts distintos A e B sobre uma circunf, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, é denominada arco de circunferência AB

Medidas de Arcos => identificação de uma unidade, cujo raio é idêntico aos arcos a serem comparados.

Arcos e Ângulos

FME / PDE

Unidades: Grau e Radiano.- Grau ( º) é um arco unitário igual a 1/360

da circunf. que contém o arco a ser medido.

- Radiano (rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunf. que contém o arco a ser medido.

Arcos e Ângulos

rad º180

rad2 º360

FME / PDE

Relação entre as duas medidas

Medidas de Ângulos: l = compr. arco AB, r raio da circunf.

)radianos em (r

l

Funções Circulares

FME / PDE

Ciclo trigonométrico => r = 1, e o comprimento da circunf. é 2

Noções Gerais:

- Eixos dos cossenos u e dos senos v

- Sentido (> 0) ; (< 0) e 4 quadrantes

DEF.: Uma fç de A em B é periódica se existir um número p > 0 tal que f(x+p) = f(x)

Identificação das funções circulares no ciclo trigonométrico: sen, cos, tg, cot, sec, cosec.

Relações Fundamentais

FME / PDE

xsenxec

xx

xsen

xx

x

xsenxtg

Pitágorasxxsen

1cos

cos

1sec

coscot

cos

1cos22


FME / PDE

xtg

xtgxsen

xtgxxecx

xxtgxtg

x

kxRx

2

22

2222

22

1

1

1coscos1cot

sec11

cot

2,


FME / PDE

Identidades:

gfgf

DDxxgxfgf

0.3

gfhg

hf 2.

noutro identidade da membro um se-transforma 1.

:eindentidadprovar para Passos

),()( 21


FME / PDE

Data: 29/06/2007

Pela manhã

G7 3

G7 3

G7 ; Cruzeiro do Oeste e Foz do Iguaçu 3

Palestra do Mestrado em Educação Matemática

Redução ao 1º Quadrante

FME / PDE

- Redução do 2º ao 1º Quadrante- Redução do 3º ao 1º Quadrante- Redução do 4º ao 1º Quadrante

- Identidades – pág. 58

Transformações

FME / PDE

• pág. 67

Equações

FME / PDE

• pág. 93

Inequações

FME / PDE

• pág. 127

Sumário

FME / PDE



Conteúdos: Polinômio

FME / PDE

Números Complexos

Polinômios

Equações Polinomiais

Transformações

Raízes Múltiplas e Raízes Comuns


FME / PDE

Data: 06/07/2007

Pela manhã

Foz e 3 Barras 4

Goioerê 3

Chico 2

Toledo 2

Josemara 1

Clarice 1

Sumário

FME / PDE



Conteúdos: Análise Combinatória

FME / PDE

Princípio Fundamental da Contagem

Arranjos

Permutações

Fatorial

Combinações

Binômio de Newton

Sumário

FME / PDE



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Obrigado por sua atenção.

FME / PDE

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