Fundamentos

Matemática

Fundamentos de Matemática

Conhecimento inicial para bom entendimento do conteúdo abordado futuramente

Matemática

Turmas de 1 ano

Curso Pré-Vestibular – Conhecimentos do Ensino Médio

São Carlos

2010

Apresentação

Introdução

Objetivos

Dicas

Sumário

Números e Operações Fundamentais ................................................................................................... 1

Números Primos, Múltiplos e Divisores ................................................................................................ 3

Exercícios ............................................................................................................................................. 6

Divisibilidade .......................................................................................................................................... 7

M.M.C. e M.D.C. .................................................................................................................................... 8

Exercícios ........................................................................................................................................... 12

Frações ................................................................................................................................................. 13

Exercícios ........................................................................................................................................... 15

Números Decimais ............................................................................................................................... 17

Razão .................................................................................................................................................... 20

Porcentagem ........................................................................................................................................ 22

Exercícios ........................................................................................................................................... 23

Grandezas Proporcionais ..................................................................................................................... 25

Potenciação .......................................................................................................................................... 30

Exercícios ........................................................................................................................................... 32

Radiciação ............................................................................................................................................. 33

Exercícios ........................................................................................................................................... 35

Racionalização ...................................................................................................................................... 36

Produtos Notáveis e Fatoração ............................................................................................................ 15

Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática

Exercícios: Operações Fundamentais

1

NÚMEROS E OPERAÇÕES

1. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 2 + 5 + 8 + 7 = b) – 5 – 8 – 3 – 1 = c) 6 + 65 + 32 – 87 = d) – 98 + 65 – 3 = e) 9 – 10 + 6 – 18 = f) 287 – 1635 + 74 =

2. Calcule:

a) 10 ∙108 = f) (-3) ∙ (-9) ∙ (-1) = b) 11∙ 3 ∙ 5 = g) 442 = c) 2 ∙ (-5) = h) 6623 = d) 5 ∙ (-2) = i) 81 (-9) = e) (-2) ∙ (-5) = j) (-30) (-10) =

3. Efetue: * Atenção para as prioridades das operações e dos parênteses, colchetes e chaves!

a) 10 – 5 + 2.108 = b) 4 – 9 – 324 = c) 3 ∙ 69 – 5 ∙ 2 ∙ 820 = d) (8 ∙ 6 – 16) ( – 4 – 2 ∙ 2) = e) – 30 – 5 ∙ [(-1) ∙ (15 – 3.6) + 9 – 3 ∙ 4] = f) 1 – 10 {10 – 1[1 – 10 (10 – 1)]} = g) [1 + (-2 + 3 – 5) – 4] – [-1 + (-3 + 4)] = h) (-1) ∙ [15 – (-6) ∙ (6 ∙ 3)] – 2(11 – 5) = i) [-3(- 6) + 4(-5)] + 3[- 4 + 5 ∙ 2 – (-1)] =

j) (-6) ∙ 10 – 4 (-2) + (-5) ∙ (-10) =

k) (7 ∙ 8 – 60) (-2) + 3 =

l) (12 + 5 ∙ 6) [-2 – 3(-1 – 2)] =

m) 4 ∙ 20 (-10) + (-32) (16) ∙ (-2) =

n) 2 + 2 – 2 ∙ 22 + (-2) (-2) ∙ (-2) =

o) -5 ∙ (4 – 84 + 4) =

4. Agora Silvio Santos te convida para o jogo do

“BATE E VOLTA”. Então tente responder rapidamente e ganhe 1 milhão de reais (mentira .. Oeê!!):

a) Quais são o maior e o menor número natural de dois algarismos? b) Quais são o maior e o menor número de dois algarismos diferentes? c) Quais são o maior e o menor número natural de três algarismos diferentes? d) Quais são o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes? e) Quais são o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes? f) Quais são o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes? g) Determine a diferença entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o maior número de 3 algarismos ímpares e diferentes.

5. Daniel me disse para que eu pensasse em um número. Pensei no número 12. Em seguida ele pediu para que eu multiplicasse esse número por 5, acrescentasse 35 ao resultado, subtraísse 13 do total obtido e novamente multiplicasse o valor encontrado por 5. Qual o dobro do valor que encontrei?

6. As galinhas do Léo botaram 3 ovos na segunda feira, 5 na terça, 3 na quarta, 1 na quinta, nenhum na sexta e, no sábado, metade do que já haviam botado nos 5 dias anteriores. Sabendo que Léo utiliza 4 ovos para fazer um bolo, quantas receitas deste bolo ele poderá fazer após recolher os 2 ovos botados pelas galinhas no domingo, com os ovos que recolheu durante toda a semana?


Exercícios: Operações Fundamentais

2

7. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o divisor. Qual é o valor do dividendo?

8. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325,00; o segundo receberá R$ 60,00 a menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 a menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartido entre os três vendedores?

9. Um dicionário tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média 35 letras. Quantas letras há nesse dicionário? 10. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em uma ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês? 11. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina? 12. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia, eles ficariam com o mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles? 13. Os candidatos ao vestibular de uma faculdade foram distribuídos em 112 salas de 35 lugares cada uma. Tendo sido necessário, ainda formar uma classe incompleta com 18 candidatos, quantos candidatos havia para o vestibular dessa faculdade? 14. Uma herança de 20.000 reais foi dividida entre 10 homens. Se essa mesma herança fosse dividida somente entre 8 mulheres, quanto cada uma destas receberia a mais do que cada homem?

15. (UFBA- 96) Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$10,00 e outras de R$5,00. Calcule quantas notas de R$5,00 a pessoa recebeu. 16. (Escola Técnica Federal - RJ) Dividindo-se o número 59093 sucessivamente por 2, 3, 5, 9 e 10, os restos das divisões serão respectivamente: a) 0, 2, 3, 6, 3 b) 1, 1, 2, 2, 8 c) 1, 2, 0, 7, 3 d) 1, 2, 3, 8, 3 e) 1, 1, 1, 1, 1

GABARITO: 1) a) 22 b) -17 c) 16 d) -36 e) -13 f) -1274 2) a) 10.108 b) 165 c) -10 d) -10 e) 10 f) -27 g) 22 h) 11 i) -9 j) 3 3) a) 2.013 b) -13 c) -2 d) -4 e) -30 f) -989 g) -7 h) -135 i) 19 j) -8 k) 5 l) 6 m) -7 n) 0 o) -30 4) a) 99 e 10 b) 98 e 10 c) 987 e 102 d) 204 e 864 e) 9.875 e 1235 f) 13.579 e 97.531 g) 49 5) 820 6) 5 7) 167 8) R$ 930,00 9) 4.256.000 10) R$ 1.140,00 11) Menino 36 / Menina 48 12) Renato 15 / Flávia 8 13) 3938 14) 500 15) 6 16) d

”Os sinais + e − modificam a quantidade diante da qual são colocados como o adjetivo modifica o substantivo”. (Cauchy)


Revisão: Primos, Múltiplos e Divisores

3

MÚLTIPLOS

O que significa múltiplo de um número?

Numa multiplicação o produto (resultado

da multiplicação) é múltiplo de cada um dos

números que foram multiplicados.

Exemplo:

5 × 3 = 15

15 é MÚLTIPLO de 5

e

15 é MÚLTIPLO de 3.

Percebe-se então que MÚLTIPLO de um

número é o produto deste número por outro

qualquer.

Conjunto de Múltiplos de um número

Como existem infinitos números naturais

(1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ) um número pode ser

multiplicado por infinitos números.

Observação: Por causa disso, o conjunto dos

múltiplos de um número também é infinito.

Para montar esse conjunto, o indicamos com um

M(x), onde no lugar de x incluímos o número

cujos multiplos se deseja enumerar. A seguir,

multiplicamos esse número por todos os

números naturais, de 0 a infinito.

Exemplos:

Vamos enumerar os múltilplos de 3:

Assim, multiplicamos 3 por 0, por 1, por 2, por 3,

... E conseguimos com isso o conjunto:

𝑀 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,… }

Conjunto dos múltiplos de 13:

𝑀 13 = {0, 13, 26, 39, 52,… }

Generalizando, podemos escrever os

múltiplos de um número n como sendo:

𝑀 𝑛 = { 0 ∙ 𝑛, 1 ∙ 𝑛, 2 ∙ 𝑛, 3 ∙ 𝑛, 4 ∙ 𝑛, 5 ∙ 𝑛,… }

Observação: Desse modo, o zero é múltiplo de

qualquer número e todo número é múltiplo de si

mesmo (afinal são as primeiras multiplicações:

por zero e por um).

Observação II: O conjunto dos múltiplos de

zero é um conjunto unitário, cujo único elemento

é o próprio zero. (por que?)

DIVISORES

O que significa divisor de um número?

Divisor de um número natural é aquele

número que consegue dividir esse número de

forma exata, ou seja, de forma que a divisão

tenha resto igual a zero.

Exemplo:

Vejamos se o número 5 é divisor de 15:

15 5

0 3

Note o resto da divisão é igual a zero, ou seja, foi

exata. Assim:

5 é DIVISOR de 15.

Assim como:

3 é DIVISOR de 15.

Pois 15 dividido por 3 é uma divisão exata.

Agora, vejamos se o número 2 é divisor de 15:

15 2

1 7

Note o resto da divisão é diferente de zero, ou

seja, a divisão não foi exata. Assim, 2 não é

divisor de 15.



4

Observação: Note que o número 14 é múltiplo

de 2. Assim, existe uma interdependência entre

múltiplos e divisores, onde o divisor de um

número deve formar esse número, ou seja, o

número sempre deve ser é múltiplo do divisor.

É múltiplo de

15 5

É divisor de

15 é MÚLTIPLO de 5

5 é DIVISOR de 15.

Conjunto de Divisores de um número

Indicaremos o conjunto de divisores de

um número x por D(x). Para construirmos o

conjunto de divisores de um número, devemos

descobrir quais são seus divisores.

Para isso, montamos uma lista de

números que, multiplicados entre si, resultam

no número. Essa lista inicia com 1. Nos

perguntamos:

Qual número multiplicado por 1 resulta

em no número que queremos?

Observe que essa pergunta é o mesmo que

dividirmos o número por 1.

Assim, 1 vezes o próprio número é o

primeiro par de divisores da lista. Temos agora

que listar todos os naturais refazendo essa

pergunta (substituindo 1 por 2, 3, 4, ...), de

forma a manter os números que se encaixam na

multiplicação e excluindo os números que

multiplicados não resultam no número. Isso se

repetirá até o momento em que esses números

começam a se repetir.

Por exemplo:

Vamos enumerar os divisores do número 15:

Iniciamos com 1: Qual número que multiplicado

por 1 resulta em 15? O próprio 15 (Ou seja, 15

dividido por 1 resulta em 15):

1 × 15 = 15

Agora, o número 2: Qual número que

multiplicado por 2 resulta em 15? Nenhum. Não

existe nenhum número que multiplicado por 2

resulta em 15 (Ou seja, a divisão de 15 por 2 não

é exata), assim ignoramos o número 2.


multiplicado por 3 resulta em 15? O número 5

(Ou seja, 15 dividido por 3 resulta em 5):

3 × 5 = 15


multiplicado por 4 resulta em 15? Nenhum. Não

existe nenhum número que multiplicado por 4

resulta em 15 (Ou seja, a divisão de 15 por 4 não

é exata), assim ignoramos o número 4.

O número 5, não é necessário verificar, pois já o

vimos quando multiplicamos o 3, ou seja, os

divisores começaram a se repetir.

Ficamos então com a lista:

1 × 15 = 15

3 × 5 = 15

Colocando os números que encontramos em

ordem:

1 3 5 15

3x15=15

1x15=15

Assim, os divisores de 15 são:

𝐷 15 = { 1, 3, 5, 15}



5

Exemplo II:

Vamos enumerar os divisores do número 36:

1 × 36 = 36

2 × 18 = 36

3 × 12 = 36

4 × 9 = 36

6 × 6 = 36

Assim, temos:

𝐷 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Observação: Note que os divisores de qualquer

número sempre serão menores que o próprio

número. Assim, o conjunto de divisores de um

número sempre será finito, ao contrário do

conjunto dos múltiplos de um número.

NÚMEROS PRIMOS

Dizemos que os números naturais que

admitem como divisores apenas o número 1 e o

próprio número são números primos.

Os números que possuem mais divisores

que si mesmos e o número 1 são chamados

números compostos.

Observação: O número 1 é um número especial

que é divisor de todos os números e possui como

divisor apenas si mesmo. Por não se encaixar

nas definições acima, o número 1 não é primo e

nem composto (característica que pertence

apenas ao número 1).

Se verificarmos quais são os divisores de

um número, podemos classificá-lo como sendo

primo ou composto.

Lembrando: Se o número possuir dois divisores o

número é PRIMO e se possuir mais de dois

divisores o número é COMPOSTO!

Exemplos:

𝐷 2 = {1, 2} 2 é PRIMO.

𝐷 3 = {1, 3} 3 éPRIMO.

𝐷 4 = {1, 2, 4} 4 é composto.

𝐷 5 = {1, 5} 5 é PRIMO.

𝐷 6 = {1, 2, 3, 6} 6 é composto

𝐷 7 = {1, 7} 7 é PRIMO.

𝐷 8 = {1, 2, 4, 8} 8 é composto.

𝐷 9 = {1, 3, 9} 9 é composto.

𝐷 10 = {1, 2, 5, 10} 10 é composto.

𝐷 11 = {1, 11} 11 é PRIMO.

𝐷 12 = {1, 2, 4, 3, 12} 12 é composto

𝐷 13 = {1, 13} 13 é PRIMO.

𝐷 14 = {1, 2, 7, 14} 14 é composto

𝐷 15 = {1, 3, 5, 15} 15 é composto

𝐷 16 = {1, 2, 4, 8, 16} 16 é composto

𝐷 17 = {1, 17} 17 é PRIMO.

𝐷 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 18 é composto

𝐷 19 = {1, 19} 19 é PRIMO

𝐷 20 = {1, 2, 4,5,10, 20} 20 é composto

𝐷 21 = {1, 3,7, 21} 21 é composto

𝐷 22 = {1, 2, 11, 22} 22 é composto

𝐷 23 = {1, 23} 23 é PRIMO

𝐷 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,24} 24 é composto

𝐷 25 = {1, 5, 25} 25 é composto

𝐷 26 = {1, 2, 13,26} 26 é composto

𝐷 27 = {1, 3,9,27} 27 é composto

𝐷 28 = {1, 2, 4, 7,14,28} 28 é composto

𝐷 29 = {1, 29} 29 é PRIMO

𝐷 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 30 é composto

𝐷 31 = {1, 31} 31 é PRIMO

𝐷 32 = {1, 2, 4, 8, 16,32} 32 é composto

𝐷 33 = {1, 3, 11, 33} 33 é composto

.

.

.

.

.

.


Exercícios: Primos, Múltiplos e Divisores

6

PRIMOS, MULTIPLOS E DIVISORES

1. Sabemos que existem números pares no

conjunto dos números naturais, e que os

números deste conjunto que não são pares são

chamados de ímpares. Neste mesmo conjunto,

temos os conhecidos números primos. Me diga

os números que não são primos são o que? Qual

a relação desses números com os números

primos? E os números 0 e 1 são primos?

2. Quantos elementos possui e como é

escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?

3. Quantos elementos possui e como é

escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 18?

E o conjunto de divisores desse elemento?

4. Para obter os divisores de um número

natural a, basta saber quais os elementos que,

multiplicados entre si, têm por resultado o

número a. Com base nessa afirmação, obtenha o

conjunto de divisores (naturais) de cada um dos

números: 13, 25, 32 e 60.

5. Qual o elemento do conjunto dos

números naturais que é divisor de todos os

números?

6. Qual o elemento do conjunto dos

números inteiros que é múltiplo de todos os

números?

7. O número 5 é divisor do número 16?

Justifique a sua resposta.

8. Sobre números Primos:

a. O que é um número Primo?

b. Qual é o maior número primo que você

conhece?

9. Qual é o menor número primo com dois

algarismos? Qual é o menor número primo com

dois algarismos diferentes? Qual é o menor

número primo com três algarismos diferentes?

10. Conhecendo um método para identificar

os números primos, verifique quais dos

seguintes números são primos:

(a) 49 (b) 37 (c) 12 (d) 11

11. Escreva três números diferentes cujos

únicos fatores primos são os números 2 e 3.

12. (Papiro de Rhind) Entre cinco pessoas

foram repartidas 100 medidas de trigo, de modo

que a segunda recebeu a mais do que a primeira

o mesmo que a terceira recebeu a mais do que a

segunda, que corresponde ao mesmo que a

quarta recebeu a mais do que a terceira e

também a mesma quantidade que a quinta

recebeu a mais do que a quarta. Quanto recebeu

cada pessoa?

13. Descubra quais os números a seguir são

números primos: 19, 27, 97, 130, 253, 255.

14. Descubra todos os números primos

existentes entre 1 e 100.

Dica: Crivo de Erastótenes: É um processo

para obter números primos menores do que um

determinado número natural n. Devemos

construir uma tabela contendo os primeiros n

números naturais. Para determinar os números

primos nesta tabela, basta seguir os seguintes

passos:

1) Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um

número primo.

2) Marcamos o número 2, que é o primeiro

número primo e eliminamos todos os múltiplos

de 2 que encontrarmos na tabela.

3) Marcamos o número 3 e eliminamos todos os

múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.

4) Determinamos o próximo número primo, que

será o próximo número não marcado da tabela e

eliminamos todos os múltiplos desse número

primo que encontrarmos na tabela.

5)

Gabarito:

(1) São números compostos. São números formados a partir

da multiplicação de outros primos (teorema fundamental da

aritmética). 0 e 1 não são primos nem compostos.

(2) Conjunto unitário: M(0)={0}

(3) Infinitos: M(18)={0, 18, 36, ...}. D(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}

(4) D(13)={1, 13} D(25)={1,5,25} D(32)={1, 2, 4, 8, 16,32}

D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

(5) Número 1 (6) Número 0 (7) Não

(8)a. números que possuem apenas dois divisores (na verdade

4, se considerarmos divisores inteiros)

(9) 11, 13, 103 (10) b, d (11) 6, 12, 18

(12) Pessoa 1 recebeu t, pessoa 2 recebeu t+m, pessoa 3

recebeu t+2m, pessoa 4 recebeu t+3m, pessoa 5 recebeu

t+4m. Temos que (t,m)={(0,20),(1,18),(2,16),...,(9,2),(10,0)}

(13) 19, 97

Dica: Crivo de Erastótenes: É um processo para

obter números primos menores do que um

determinado número natural n. Devemos construir

uma tabela contendo os primeiros n números

naturais. Para determinar os números primos nesta

tabela, basta seguir os seguintes passos:

1) Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um

número primo.

2) Marcamos o número 2, que é o primeiro número

primo e eliminamos todos os múltiplos de 2 que

encontrarmos na tabela.

3) Marcamos o número 3 e eliminamos todos os

múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.

4) Determinamos o próximo número primo, que será o

próximo número não marcado da tabela e eliminamos

todos os múltiplos desse número primo que

encontrarmos na tabela.

5) Continuamos o processo, sempre voltando ao passo

anterior, com o próximo número primo.

6) Os números que não foram eliminados são os

números primos.


Revisão: Divisibilidade

7

Atenção: É importante lembrar alguns critérios de divisibilidade para facilitar os cálculos, principalmente dos

números 2, 3 e 5, mas não se

preocupe em decorar os critérios de todos os números naturais!

PRINCIPAIS CRITÉRIOS DE

DIVISIBILIDADE:

Critérios de divisibilidade são regras simples que permitem verificar se determinado número inteiro A é múltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades das suas representações decimais.

A seguir estão apresentados critérios de divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 1 até 12, representados em sua forma decimal. Outros números naturais maiores que 12 também têm regras de divisibilidade, mas em geral pouco práticas.

Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. *Uma dica é somar todos os algarismos do número e se a resposta contiver mais de um algarismo, somar novamente, até restar apenas um algarismo, se este algarismo for 3, 6 ou 9 o número inicial é divisível por 3! Veja: 1647 é divisível por 3? 1+6+4+7=18, e 1+8=9. Então 1647 é divisível por 3.

Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592 Número sem o último algarismo

-16 Dobro de 8 (último algarismo)

16576 Diferença

Repete-se o processo com este último número.



1645 Diferença




154 Diferença




7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7. Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:


-2 Dobro do último algarismo

424 Diferença



-8 Dobro do último algarismo

34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.


Revisão: M.M.C e M.D.C.

8

M.M.C.

O que significa a sigla M.M.C.?

O significado de M.M.C. é Mínimo

Múltiplo Comum.

Então o M.M.C. entre dois ou mais

números é o menor (Mínimo) número (diferente

de zero) que é múltiplo simultaneamente

(comum) entre dois ou mais números.

Vejamos, por exemplo, qual é o M.M.C.

entre 3 e 4:

Para isso, precisaremos listar os múltiplos

de 3 e os múltiplos de 4:

𝑀 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,… }

𝑀 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,… }

Perceba que alguns dos números listados

aparecem em ambas as listagens:

𝑀 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,… } 𝑀 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,… }

Assim, podemos montar o conjunto dos

múltiplos comuns entre os dois números:

𝑀 3, 4 = {0, 12, 24, 36, 48,… }

Agora, basta selecionarmos o MENOR

número, diferente de zero, que pertence ao

conjunto de múltiplos comuns listado acima, que,

no caso, é o número 12.

Escrevemos, assim:

𝑀.𝑀.𝐶. 3,4 = 12

Problema: Os planetas Alpha Caolin e Beta Donin estão

alinhados com sua estrela em uma posição muito bela,

dizendo os místicos que essa formação traz abundância e

felicidade. Estes planetas têm períodos de translação em

torno de sua estrela de aproximadamente 3 e 5 anos,

respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois dessa

observação, para que estes planetas voltem a ocupar,

simultaneamente, as mesmas posições em que se

encontram no momento da observação, trazendo

novamente abundância?

Alpha Caolin volta a ocupar a posição

observada a cada 3 anos e Beta Donin volta a

ocupar a posição observada a cada 5 anos.

Listando os múltiplos entre 3 e 5, observamos de

quando em quanto tempo esses dois planetas

ocuparão novamente as posições desejadas. Assim,

poderemos observar quando estes planetas

ocuparão, simultaneamente, as posições

observadas:

𝑀 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,… }

𝑀 5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55,… }

Perceba que os planetas voltarão a ocupar a

posição em:

𝑀 3,5 = {0, 15, 30, 45, 60,… }

0 anos: Agora;

15 anos;

30 anos;

45 anos;

...

A próxima vez que os planetas ocuparão

estas posições será em 15 anos. Isso acontece a

cada 15 anos (M.M.C.(3,5)=15).

Dica: Os problemas que utilizam puramente

M.M.C. para serem resolvidos, como o problema

acima, sempre trazem a idéia de ciclo, ou seja,

algo que se repete de tempos em tempos ou que

devemos realizar alguma ação repetidamente a

cada período, metro, medição, determinada

quantidade, etc...



9

Método Prático (M.M.C.)

Veremos como encontrar o M.M.C.

entre dois ou mais números, pelo método

prático, através de um exemplo:

Qual o M.M.C. entre 4 e 10 ?

Ou seja, qual é o menor múltiplo entre

4 e 10 simultaneamente?

Para isso, passamos um traço vertical

e escrevemos os números 4 e 10 do lado

esquerdo desse traço: 4, 10

Após esse momento, vamos inserindo

do lado direito do traço números primos (2, 3,

5, 7, 11, 13, 17, 23, ...) que dividam ALGUM

(pelo menos um) dos números à esquerda:

Vamos iniciar pelo primo 2: este divide

os números 4 e 10, então:

4, 10 2

Como 2 divide 4 e 2 divide 10,

colocamos a resposta das divisões abaixo

desses números:

4, 10 2

2, 5

Agora, colocaremos o próximo primo do

lado direito do traço: Tentemos o número 2

novamente. O número 2 não divide o número

5, mas divide o número 2, então colocamos o

número 2 e a resposta da divisão embaixo,

como no primeiro caso. Como o 5 não será

dividido, ao invés de colocarmos o resultado

da divisão do 5, repetimos esse número

embaixo:

4, 10 2

2, 5 2

1, 5

Repetimos esses procedimentos até

resultar apenas o número 1 do lado esquerdo

do traço.

Veja que não existe mais nenhum

número que pode ser dividido por dois (afinal

1 não pode ser divido por 2 e resultar em um

número inteiro e o mesmo com 5), assim não

o colocamos mais. Se tentarmos o 3, também

não é possível. O próximo primo que pode ser

colocado à esquerda é o número 5, pois divide

5, assim:

4, 10 2

2, 5 2

1, 5 5

1, 1

Chegamos ao fim da decomposição. O

M.M.C. será a multiplicação entre todos os

números do lado direito do traço:

2 ∙ 2 ∙ 5 = 20

Portanto, o Mínimo Múltiplo Comum

entre 4 e 10 é 20.

4, 10 2

2, 5 2

1, 5 5

1, 1 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20

M.M.C.(4, 10)= 20



10

M.D.C

O que significa a sigla M.D.C.?

O significado de M.D.C. é Máximo

Divisor Comum.

Então o M.D.C. entre dois ou mais

números é o maior (Máximo) número que é

múltiplo simultaneamente (comum) entre dois

ou mais números.

Vejamos, por exemplo, qual é o M.D.C.

entre 18 e 24:

Para isso, precisaremos listar os divisores

de 18 e os divisores de 24:

𝐷 24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

𝐷 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}

Perceba que alguns dos números listados

aparecem em ambas as listagens:

𝐷 24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

𝐷 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}

Assim, podemos montar o conjunto dos

divisores comuns entre os dois números:

𝐷 18, 24 = {1, 2, 3, 6}

Agora, basta selecionarmos o MAIOR

número que pertence ao conjunto de DIVISORES

COMUNS listado acima, que, no caso, é o número

6.

Escrevemos, assim:

𝑀.𝐷.𝐶. 18,24 = 6

Problema:

Um terreno retangular tem 24 m de

comprimento por 18 m de largura.

24 m

18 m 18 m

24 m

O dono desse terreno deseja cercá-lo com

árvores plantadas a iguais distâncias uma da

outra, e quer manter, entre as árvores, a maior

distância possível, medida em um número inteiro

de metros. Qual será a distância entre cada

árvore a ser plantada?

Note que o problema se resume em dividir

cada canto do retângulo no mesmo tamanho e

descobrir qual é a maior medida em que isso é

possível.

Vimos a lista dos divisores de 18 e 24 ao

lado, e sabemos que os divisores entre 18 e 24 são:

𝐷 18, 24 = {1, 2, 3, 6}

Como o problema quer que peguemos a

MAIOR medida em que podemos dividir os lados

do retângulo, sabemos que as árvores deverão ser

plantadas a cada 8 metros para manter a maior

distância entre cada árvore, nos diferentes lados

do terreno.

𝑀.𝐷.𝐶. 18,24 = 6

Dica: Os problemas que utilizam puramente

M.D.C. para serem resolvidos, como o problema

acima, sempre trazem a idéia de ajustamento,

tentando descobrir qual é a Maior medida, ou

tempo, que pode ser ajustado entre dois ou mais

objetos ou idéias.

ATENÇÃO: Nem sempre a palavra MAIOR está

explicitada no texto, nos grandes vestibulares

esses exercícios têm essa idéia implicitamente,

escondida.



11

Método Prático (M.D.C.)

O processo de obtenção do M.D.C. é

bastante similar ao do M.M.C. Apenas

devemos prestar atenção ao fato de quando

um primo dividir simultaneamente todos os

números devemos colocar uma marcação

neste número. Ao final multiplicamos apenas

os números com marcações.

Exemplo:

Qual o M.D.C. entre 18 e 24 ?

Ou seja, qual é o maior divisor entre 18

e 24 simultaneamente?

Iniciamos o processo como no processo

de obtenção do M.M.C.: Passaos um traço

vertical e escrevemos os números 18 e 24 do

lado esquerdo desse traço: 18, 24

Vamos iniciar a pelo primo 2: este

número divide os números 18 e 24

simultaneamente, então incluímos uma

marcação:

18, 24 2

Colocamos agora a resposta da divisão

de 18 por 2 (9) e 24 por 2 (12) abaixo desses

números:

18, 24 2

9, 12

Agora, colocaremos o próximo primo do

lado direito do traço: Tentemos o número 2

novamente. Este divide apenas o número 12,

assim não colocamos marcação:

18, 24 2

9, 12 2

Dividindo apenas o 12 temos:

18, 24 2

9, 12 2

9, 6

Novamente o 2 divide apenas o número

6, assim inserimos o 2 sem marcação:

18, 24 2

9, 12 2

9, 6 2

9, 3

Não é mais possível dividir por 2.

Então passemos ao número 3: 3 divide 9 e 6,

assim colocamos uma marcação no 3 e a

resposta da divisão de 9 por 3 e 6 por 3:

18, 24 2

9, 12 2

9, 6 2

9, 3 3

3, 1

Agora, o 3 divide apenas o número 3,

assim o inserimos sem marcação:

18, 24 2

9, 12 2

9, 6 2

9, 3 3

3, 1 3

1, 1

Chegamos ao fim da decomposição. O

M.D.C. será a multiplicação de APENAS os

números do lado direito do traço COM

MARCAÇÃO:

2 ∙ 3 = 6

Portanto, o Máximo Divisor Comum

entre 18 e 24 é 6. 𝑀.𝐷.𝐶. 18,24 = 6

18, 24 2

9, 12 2

9, 6 2

9, 3 3

3, 1 3

1, 1

M.M.C.(18, 24)= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 72

M.D.C.(18, 24)= 2 ∙ 3 = 6


Exercícios: M.M.C e M.D.C.

12

EXERCÍCIOS: MMC E MDC

1. Determine MMC(10,20) e MDC(10,20).

2. Determine MMC(10,14) e MDC(10,14).

3. Determine MMC e o MDC de 4, 10, 14, 60.

4. Determine MMC(97, 2, 10) e MDC(97, 2, 10).

5. MMC(2,4)∙MDC(2,4)=?

6. É verdadeiro que

MMC(10,20)∙MDC(10,20)=10∙20 ?

7. É sempre verdadeiro que

MMC(a,b)∙MDC(a,b)= a∙b ? Justifique.

8. Desejo construir uma parede externa de um

prédio com vidros quadrados de forma que não seja

necessário quebrar nenhum vidro para isso. Sabendo-se

que a parede do prédio deve ter as medidas de largura

igual a 16 m e de altura igual a 32 m, qual a maior

medida do lado do vidro quadrado que posso utilizar

(em metros)? Quais as outras medidas que satisfazem

também tais exigências (em metros)?

9. Tendo em vista o prédio anteriormente visto

com formato retangular e considerando todas as

paredes do prédio para serem instalados vidros

externos, desconsiderando os pilares de sustentação,

com medidas 16m de comprimento das paredes frontal

e de trás do prédio, 32m de altura e 10m de

comprimento das paredes laterais. Qual a maior medida

do lado do vidro (em metros) a ser colocado nas

paredes externas desse prédio? E se o prédio tiver um

formato pentagonal (com 5 paredes) de 21 metros de

altura e paredes de comprimentos 18m, 27m, 36m, 12m

e 42m cada. Quanto será a maior medida do lado do

vidro (em metros)?

10. (FUVEST) Maria quer cobrir o piso de sua sala

com lajotas quadradas, todas com lado de mesma

medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de

lados 2m e 5m. Os lados das lajotas devem ser

paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizados

apenas lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores

do lado das lajotas?

11. Em uma sala retangular de piso plano nas

dimensões 8,80m por 7,60m deseja-se colocar ladrilhos

quadrados iguais, sem necessidade de recortar nenhuma

peça. A medida do lado de cada ladrilho é:

a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm

d) 40 cm e) 50 cm

12. Os planetas Júpter, Saturno e Urano têm

períodos de revolução em torno do sol de

aproximadamente 10, 30 e 84 anos, respectivamente.

Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação,

para que eles voltem a ocupar, simultaneamente, as

mesmas posições em que se encontravam no momento

da observação?

13. Sejam os números m e n naturais, não primos

entre si, cujo produto é 420. Qual é o maior número

possível que seja máximo divisor comum de n e m

(dica: enumere alguns mdc’s possíveis)?

14. Dois livros, um dos quais tem 256 páginas e

outro 160 páginas, são formados por fascículos com o

mesmo número de páginas (superior a 10 e inferior a

50). Cada fascículo:

a) pode ter 32 páginas

b) pode ter 24 páginas

c) tem 16 páginas

d) tem 18 páginas

e) pode ter 12 páginas

15. (FUVEST) No alto da torre de uma emissora

de TV, duas luzes ―piscam‖ com freqüências diferentes.

A primeira ―pisca‖ 15 vezes por minuto e a segunda

―pisca‖ 10 vezes por minuto. Se, num certo instante, as

luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos

elas voltarão a piscar simultaneamente?

16. Estou numa estação de trem e noto que neste

momento dois trens em trilhos diferentes partem da

estação no mesmo instante. Percebendo que o primeiro

trem retorna à estação a cada 21 minutos e o segundo

trem a cada 35 minutos, pergunto-me: de quanto em

quanto tempo estes dois trens partem simultaneamente

da estação?

17. Três cidades, A, B e C, realizam grandes festas:

de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em B e de 12

em 12 meses em C. Estas festas coincidiram em

setembro de 2008. Coincidirão novamente em:

a) outubro de 2009 b) algum mês de 2011 c)

setembro de 2015 d) setembro de 2018 e)

depois de 2020.

Gabarito: (1) 20,10 (2) 70,2 (3) 420,2 (4) 970,1 (5) 8 (6)

Sim

(7) Sim (8) 16 m. 2, 4 e 8 m (9) 2 m, 3m

(10) 1x1, 2x2, 4x4, 5x5, 10x10, 20x20, 25x25,

50x50,100x100

(11) d (12) 420 anos (13) 2 (14) a (15) 6

segundos

(16) a cada 105 minutos (17) d


Revisão: Frações

13

Numerador

Denominador

FRAÇÕES

O que é uma fração?

Fração é um número que exprime

uma ou mais partes iguais em que foi

dividida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma

pizza inteira e a dividimos em quatro partes

iguais, cada parte representará uma fração

da pizza.

Uma pizza inteira Quatro pedaços de

pizza

𝟏 𝟒 × 𝟏

𝟒

Qual o significado de uma fração?

Uma fração significa dividir algo em

partes iguais. Assim a fração 𝑎

𝑏 significa o

número a ser dividido pelo número b, sendo

a e b números naturais e b diferente de 0.

O número a é chamado de numerador e b é

chamado de denominador:

𝑎

𝑏

Nome de frações:

1

2

Metade

1

3

Um terço

2

4

Dois quartos

3

5

Três quintos

1

6

Um sexto

4

7

Quatro sétimos

7

8

Sete oitavos

2

9

Dois nonos

1

10

Um décimo

2

11

Dois onze avos

5

12

Cinco doze avos

... ... 1

100

Um centésimo

1

1000

Um milésimo

Frações equivalentes:

Frações equivalentes são frações que

representam a mesma parte de um todo,

como o próprio nome já diz, são

equivalentes.

1

2

2

4

8

16

Para conseguir frações equivalentes,

basta multiplicarmos o numerador e o

denominador da fração por um mesmo

número:

1

2=

1 ∙8

2 ∙8 =

8

16

Sabemos assim que 1

2=

8

16, ou seja,

são equivalentes.


Revisão: Frações

14

Simplificação de frações:

Para simplificarmos uma fração,

devemos dividir o numerador e o

denominador por um mesmo número

inteiro. Observe as operações de

simplificação abaixo:

a) 2

4=

2 ∶2

4 ∶2 =

1

2

b) 8

16=

8 ∶8

16 ∶8 =

1

2

Outros exemplos:

a) 35

63=

35 ∶7

63 ∶7 =

5

9

b) 3

4 Não é possível a simplificação, por

isso, é uma fração irredutível.

Adição e subtração de frações:

1) Verificar se os denominadores são iguais.

Se forem iguais, basta somar ou subtrair o

numerador. Vejam os exemplos:

a) 2

8+

3

8=

5

8

b) 2

8−

3

8=

1

8

2) Caso os denominadores sejam diferentes,

devemos encontrar o mmc e transformar em

frações de mesmo denominador para depois

efetuarmos as operações.

a) 2

4+

3

10=

Temos que o M.M.C. entre de 4 e 10 é

igual a 20. Assim, transformemos as frações

apresentadas em frações equivalentes de

denominador 20:

2

4=

2 ∙5

4 ∙5 =

10

20

3

10=

3 ∙2

10 ∙2 =

6

20

Podemos agora somar, pois as frações

possuem o mesmo denominador. Após a

soma, se possível, simplifique!

2

4+

3

10=

10

20+

6

20=

16

20

Simplificando temos:

2

4+

3

10=

16

20=

16 ∶4

20 ∶4 =

4

5

Multiplicação de frações:

Multiplicar numerador com

numerador e denominador com

denominador. Se necessário, simplifique o

produto.

1

2×

3

4=

1×3

2×4=

3

8

Divisão de frações:

Na divisão de frações, vamos

multiplicar a primeira fração pelo inverso

da segunda. Se necessário, simplifique.

1

2÷

3

4=

1

2×

4

3=

1×4

2×3=

4

6


Exercícios: Frações

15

EXERCÍCIOS: FRAÇÕES

1. A tabela relaciona as frações com três situações diferentes. Complete-a:

2. Escreva pelo menos duas frações equivalentes a:

a) 2

3 b)

3

5 c)

3

4 d)

4

5

3. Simplifique:

a) 4 20 b)

6

15 c)

18

42 d)

80

120

e) 45

180

4. Organize as seguintes frações de forma a sabermos qual é a menor fração e qual a maior fração:

2

3

1

2

3

5

7

10

5. Calcule:

a) 1

3+

2

3 b)

1

5+

3

5

c) 1

2+

3

8 d)

1

3+ 1 + 4

e) 4

5−

1

5 f)

2

3−

1

2

g) 1 − 2 5

h) 7

8−

5

6

i) 1

2−

1

10 j)

3

4∙

1

6

k) 7

3∙

5

4 L)

3

8÷

2

6

6. Considere as frações: 6/5, 7/3, 1/4 e 3/8. É verdade que: a) 1 é maior que 6/5? b) 2 é maior que 7/3? c) 6/5 é menor que 7/3? d) 3/9 é menor que 3/8?

7. Escreva cada fração abaixo como soma de um número inteiro e uma fração com numerador menor que o denominador:

Exemplo: 7

2= 3 +

1

2

a) 8

3 b)

18

12

c) 23

5

8. Que fração da semana corresponde a um dia?

9. Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litro poderão ser cheias?

10. Que fração do ano corresponde a dois meses?

11. O tanque de gasolina do carro estava vazio. Colocamos 48 litros de combustível. O marcador ficou assim:

Quantos litros de combustível cabem nesse tanque?

12. Dois candidatos, A e B, disputam a prefeitura de uma cidade. Uma pesquisa realizada com 200

eleitores indicou que 3

5 preferem o candidato A e

que o restante prefere o candidato B.

a) Quantos eleitores consultados preferem o candidato A? b) Quantos eleitores consultados preferem o candidato B? c) Que fração dos eleitores consultados prefere o candidato B?

1 HORA (60 minutos)

2.000 HABITANTES

1 LITRO (1.000 ml)

1

4= 15 minutos

1

4=

1

4=

3

4=

3

4=

3

4= 750 ml

1

5=

1

5=

1

5=

2

5=

2

5=

2

5=

1

4

1

2

3

4


Exercícios: Frações

16

13. Uma pesquisa, sobre a preferência de

refrigerantes, revelou que 3

5do total das pessoas

consultadas, isto é, 6.975 pessoas bebem o refrigerante MuitoAmargo. Calcule o número de pessoas consultadas pela pesquisa.

14. Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5.456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários?

15. Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Quantos litros do reservatório terão enchido as duas torneiras juntas em uma hora se o reservatório possui 1.200 litros de capacidade? Dica: Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas?

16. Claudia fez 2/9 de um trabalho em 7 horas e Mariana, 4/7 desse mesmo trabalho em 12 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas?

17. Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é R$516,00 e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário?

18. João Carlos é operário e seu salário é de R$520,00 por mês. Ele gasta 1/4 de seu salário com aluguel e 2/5 do salário com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: 3/8 do seu salário foram gastos com remédios. Sobrou dinheiro? Se sobrou ou faltou dinheiro, qual foi esse valor?

Gabarito: (3)a.1/5 b.2/5 c.3/7 d.2/3 e.1/4 (4) 1/2, 3/5, 2/3, 7/10

(5)a.1 b.4/5 c.7/8 d.16/3 e.3/5 f.1/6 g.3/5 h.2/48 i.2/5 j.3/12

k.35/12 l.9/8 (6) a.Sim b.Não c.Sim d.Sim (7) a. 2+ 2

3 b. 1+

1

2 c.

4+ 3

5 (8) 1/7 (9) 18 garrafas (10) 1/6 (11) 64 litros (12) a. 120

b. 80 c. 2/5 (13) 11.625 pessoas (14) 5.115 ladrilhos (15) 140 litros (16) 12 horas e 36 minutos (17) R$301,00 (18) Faltou, R$ 13,00


Revisão: Números Decimais

17

NÚMEROS DECIMAIS

O fato do nosso sistema de numeração ser

posicional e ter base dez permitiu que as frações

fossem representadas, na notação decimal, como

números decimais. Foi preciso então criar

uma forma de diferenciar a parte inteira de um

número, da sua parte fracionária. Para isso nós

utilizamos a vírgula ( , ), e os países anglo-

saxões utilizam o ponto ( . ). Veja como isto

funciona:

Percebemos que nesse tipo de

representação que uma posição à direita de

outra vale a décima parte desta outra. Se

dividimos a unidade em 10 partes iguais, cada

uma destas partes será um décimo: 0,1 ou 1

10.

Um décimo dividido por 10 será igual a um

centésimo (0,01), um centésimo dividido por 10

será igual a um milésimo (0,001) e assim por

diante.

Observe algumas frações decimais (cujo

denominador é um múltiplo de 10) e como são

representadas como números decimais:

A vírgula na nossa representação separa

a parte inteira da parte decimal do número:

à esquerda da vírgula está a parte inteira e à

direita sua parte fracionária ou decimal. Assim,

na fração 852

100 , temos:

Lê-se: 8 inteiros e 52 centésimos.

Veja outros exemplos:

Operações com números decimais:

Adição e Subtração: Uma vez escrita sob a

forma de notação decimal, as operações com

frações tornam-se muito mais simplificadas,

pois obedecem aos mesmos processos envolvidos

no sistema de numeração decimal. Na adição de

números decimais, devemos adicionar décimos

com décimos, centésimos com centésimos,

milésimos com milésimos, etc., da mesma forma

que adicionamos dezenas com dezenas,

unidades com unidades, etc.

Vamos adicionar 0,8 + 0,13:



18

O cálculo com frações decimais:

O cálculo com números decimais:

Agora consideremos a seguinte subtração:

Como nos números decimais o número de

partes em que ficou dividida a unidade é sempre

o mesmo, a adição e a subtração são imediatas,

não sendo necessário mais “reduzir frações ao

mesmo denominador”. Pode ocorrer, apenas, a

necessidade de transformar décimos em

centésimos, o que se consegue simplesmente

adicionando-se quantos zeros se fizerem

necessários. Por exemplo:

0,2 – 0,18

Como 0,2 = 0,20, temos:

Logo, 0,2 – 0,18 = 0,02.

Uma vez entendido o conceito de fração

decimal e sua correspondente notação decimal,

podemos usar o dispositivo prático que diz para

colocar “vírgulas embaixo de vírgulas” no

momento da soma ou subtração.

Multiplicação: Para entender as regras práticas

usadas no algoritmo da multiplicação de

números decimais, vamos antes fazer uma

associação destes com as frações decimais e usar

o algoritmo já conhecido:

Na prática, a multiplicação de decimais é

feita como se os números fossem inteiros e,

determinado o resultado, a colocação da vírgula

é analisada a partir do número de “casas

decimais” (décimos, centésimos, etc.) dos

fatores. Isso se apóia na seguinte propriedade

da multiplicação:

Em toda multiplicação, quando se

multiplica um dos fatores por um número

natural a diferente de zero e o outro fator

por um número b diferente de zero, o

produto ficará multiplicado por a ∙ b.

Vamos, por exemplo, multiplicar 3,8 x 1,42,

como algoritmo prático, usando a propriedade

enunciada acima:

Multiplicamos os fatores como se fossem

números inteiros, pois:

Agora analisamos a colocação da vírgula:

Como o primeiro fator, 3,8, foi

multiplicado por 10 e o segundo fator, 1,42, por

100, o produto 5 396 está multiplicado por 10

x 100 = 1000.

Logo, para a multiplicação proposta, este

produto 5396 deverá ser dividido por 1000. Ou

seja:



19

Efetuando este cálculo na vertical, temos:

Divisão: Numa divisão não exata (resto

diferente de zero) temos um quociente decimal,

quando continuamos a divisão fracionando o

resto em décimos, centésimos, milésimos, etc.

Nesse sentimos temos alguns casos a analisar:

Divisão de número decimal por número

inteiro.

17,5 ÷ 5

Para efetuar essa divisão é preciso utilizar

uma propriedade das divisões: Multiplicando-

se o dividendo e o divisor por um mesmo

número, diferente de zero, o quociente não

se altera e o resto fica multiplicado por

esse número.

Vamos, então, multiplicar o dividendo e o

divisor por 10, o que significa “eliminar a

vírgula” ou “igualar as casas”. Como 17,5 x 10 =

175, temos:

A vírgula no quociente indica a parte

inteira. O resto será multiplicado por 10 para

obtermos os décimos Continuamos a divisão,

transformando o resto, 25 inteiros, em 250

décimos:

Portanto, 17,5 ÷ 5 = 3,5.

Divisão de inteiro por decimal.

Por exemplo, para 3 ÷ 0,6. Vamos utilizar a

propriedade das divisões e multiplicar o

dividendo e o divisor por 10 (igualando casas

decimais). Como 0,6 x 10 = 6, temos:

3 ÷ 0,6 = 30 ÷ 6 = 5

Divisão de decimal por decimal.

Por exemplo, para 31,5 ÷ 2,25. Como o

dividendo e o divisor devem ser multiplicados

por um mesmo número para que o quociente

não se altere, vamos multiplicá-los por 100:

Assim:

A vírgula separa a parte inteira do

quociente. O resto será multiplicado por 10,

para obtermos os décimos.

Portanto, 31,5 ÷ 2,25 = 14.


Revisão: Razão

20

Razão? Fração? Divisão? Existe diferença?

Problema: Dos 50 alunos da de uma sala do

cursinho da UFSCar, 20 são homens e 30 são

mulheres. Qual é a relação entre o número de

homens e o número de mulheres?

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠=

20

30=

2

3

Dizemos que na sala de aula, o número de

homens está para o número de mulheres assim como

2 está para 3. Isso significa que para cada 2 homens

temos 3 mulheres.

A expressão 2 para 3 é chamada razão entre 2 e 3,

indicada por 2

3 ou 2 : 3.

Então o que é razão?

Se a e b são números racionais e b ≠ 0, a razão

entre os números a e b é a divisão (quociente) de a

por b:

𝑎

𝑏 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 (“a está para b”)

Pense sozinho: o que seria “razão inversa”?

Algumas razões muito utilizadas

Velocidade Média: Velocidade média de um corpo

em movimento é a razão entre o espaço percorrido e o

tempo gasto para percorrê-lo.

Ex: A velocidade média de um carro que percorreu

300 km em 5 horas é dada pela razão:

300 𝑘𝑚

5 ℎ =

60 𝑘𝑚

1 ℎ = 60 km/h

Exercícios

1. Indique a razão:

a) 20 para 50 c) 12 para 24

b) 10 para 40 d) 6 para 8

2. Encontre a razão de a para b, lembrando que as

medidas devem ser colocadas na mesma unidade:

a) a = 8 cm e b = 24 cm

b) a = 30 meses e b = 2 anos

c) a = 30 meses e b = 2 anos

d) a = 15 Kg e b = 25 g

3. Quem apresentou melhor desempenho: Léo, que

resolveu 20 problemas e acertou 18, ou Véinho, que

resolveu 30 problemas e acertou 24?

4. Giovani comprou um carro por R$ 18.000,00 e

vendeu por R$ 24.000,00. Qual é a razão entre o

lucro e o preço de venda desse carro?

5. Luiz Matemático tem dois terrenos retangulares.

O terreno A tem 10 m de largura e 30 m de

comprimento. O terreno B tem 20 m de largura e 90

m de comprimento. Calcule a razão entre:

a) as larguras de A e B

b) os comprimentos de A e B

c) as áreas de A e B

d) os perímetros de A e B

6. O segmento AB da figura está dividido em cinco

partes iguais:

Obtenha as razões:

a) 𝐴𝐶

𝐴𝐵 b)

𝐶𝐵

𝐴𝐵 c)

𝐴𝐶

𝐶𝐵 d)

𝐶𝐵

𝐴𝐶

7. Calcule a velocidade média de um carro que

percorreu 210 km em 3 horas.

8. Quanto tempo um carro leva para percorrer 400

km, mantendo a velocidade média de 80 km/h?

9. Se um carro mantiver a velocidade média de 65

km/h durante 3 horas, quantos quilômetros

percorrerá?

Densidade demográfica: é a razão entre o número

de habitantes de uma região e a área dessa região.

Ex: A cidade de Ribeirão Preto tem uma área

aproximada de 1.058 km2. Segundo o IBGE, de

fevereiro de 1992, a população dessa cidade era de

431.135 habitantes. Então a densidade demográfica

de Ribeirão Preto é dada por:

431.135 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

1.058 𝑘𝑚2 ≅ 408 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚2


Revisão: Razão

21

10. O censo de 1991 estimou a população do estado

do Rio Grande do Norte em 2.414.000 habitantes.

Calcule a densidade demográfica desse importante

estado do Nordeste, sabendo que sua área total é de

53.015 km2.

Escala: é a razão entre a medida de um

comprimento no desenho e a medida correspondente

ao comprimento real.

Ex: Se a planta de uma casa está desenhada na

escala de 1 : 100 (um para 100), significa que cada 1

cm no desenho corresponde a 100 cm na dimensão

real.

11. A planta ilustrada abaixo foi desenhada na

escala 1 : 100.

a) Calcule as dimensões reais da sala dessa casa.

b) Calcule quantos metros quadrados de carpete são

necessários para acarpetá-la.

12.) Um mapa está desenhado na escala

1 : 10.000.000. Qual é, em quilômetros, a distância

real entre Salvador e Maceió, se, no mapa, a

distância é de 5 cm?

Testes de vestibulares

(FUVEST – 2010 – 1ª Fase) O Índice de Massa

Corporal (IMC) é o número obtido pela divisão da

massa de um indivíduo adulto, em quilogramas, pelo

quadrado da altura, medida em metros. É uma

referência adotada pela Organização Mundial de

Saúde para classificar um indivíduo adulto, com

relação ao seu peso e altura, conforme a tabela

abaixo.

Levando em conta esses dados, considere as

seguintes afirmações:

I. Um indivíduo adulto de 1,70 m e 100 kg apresenta

Obesidade Grau 1.

II. Uma das estratégias para diminuir a obesidade

na população é aumentar a altura média de seus

indivíduos por meio de atividades físicas orientadas

para adultos.

III. Uma nova classificação que considere obesos

somente indivíduos com IMC maior que 40 pode

diminuir os problemas de saúde pública. Está correto

o que se afirma somente em

a) I.

b) II.

c) III.

d) I e II.

e) I e III.

(FUVEST – 2010 – 1ª fase) Um automóvel, modelo

flex, consome 34 litros de gasolina para percorrer 374

km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel

consome 37 litros deste combustível para percorrer

259 km. Suponha que um litro de gasolina custe R$

2,20. Qual deve ser o preço do litro do álcool para que

o custo do quilômetro rodado por esse automóvel,

usando somente gasolina ou somente álcool como

combustível, seja o mesmo?

a) R$ 1,00

b) R$ 1,10

c) R$ 1,20

d) R$ 1,30

e) R$ 1,40


Revisão: Porcentagem

22

A porcentagem faz parte de nossas vidas, a

vemos quando vamos às compras, quando vemos

anúncios sobre economia, quando cuidamos de nossa

dieta, enfim, sempre nos deparamos com essa tal

porcentagem. Mas, afinal, o que é porcentagem?

Porcentagem é uma razão que nos informa qual

é a quantidade de uma determinada parte em relação ao

todo e é dada em relação ao número 100, ou seja, é um

modo de compararmos dois números tomando o 100

como padrão. Esse modo de comparação é utilizado

desde o século XVII e é um padrão em nossos dias.

Representamos porcentagem pelo símbolo % e

lê-se ―por cento‖. A porcentagem equivale a uma

fração de denominador 100 e ao número decimal

correspondente. Deste modo a fração 50

100 é uma

porcentagem que podemos representar por 50%.

Interpretamos a razão 50% dizendo que se um aluguel

de casa fosse de R$100,00 e existisse um aumento de

50% nesse aluguel, o aumento teria sido de R$50,00.

Observe: A parte preenchida dos quadrinhos pode ser

representada por:

Razão

Considere um aumento de R$ 50,00 no aluguel

de um imóvel cujo aluguel é de R$ 1000,00. Para se

obter uma razão entre o aumento e o total do aluguel

devemos dividir o valor do aumento pelo valor total do

imóvel (valor aumento

rvalor total

). Essa razão pode ser

expressa de diversas formas, como no exemplo desse

aluguel 50 5 50

0,5 50%1000 10 100

r .

Cálculo de uma porcentagem

Seja a porcentagem a% de T.

(1) Podemos, simplesmente, multiplicarmos a fração

100

a por T :

a% de T 100

aT

Exemplo:

23% de R$ 240,00 23

240 55,2100

, ou seja,

23% de R$ 240,00 é o mesmo que R$ 55,20.

(2) Podemos conseguir o mesmo resultado através da

regra de três simples, fazendo-se corresponder 100% a

T e a% a x (a% de T):

T ——— 100%

x ——— a %

E, multiplicando-se em cruz, temos:

100100 100

a T aT a x x x T

Conseguindo assim a multiplicação do caso (1).

Exemplo:

23% de R$ 240,00:

240 ——— 100

x ——— 23

240 23 100 x

240 23 240 23 5520

100 100 100x x x

55,2x

Assim 23% de R$ 240,00 é equivalente a

R$55,20.

Fração

40

100

Número decimal

0,4 Porcentagem

40%


Exercícios: Porcentagem

23

1) Escreva os números de duas maneiras: usando a notação decimal e o símbolo de porcentagem:

a) 5

5 b)

3

4 c)

3

8

d) 6

3 e)

4

5 f)

3

2

2 ) Determine:

a) 10% de 100 d) 12% de 200

b) 20% de 800 e) 3,5% de 150

c) 5% de 1000 f) 4,7% de 600

3) Descubra o número em cada item:

a) 10% do número é igual a 27

b) 1% do número é igual a 15

c) 25% do número é igual a 100

d) 5,5% do número é igual a 11

4) Indique que porcentagem representa:

a) 15 de 150 c) 17 de 200

b) 24 de 48 d) 65 de 1000

5) Um jornal publicou a seguinte manchete: “30% da população brasileira vive em estado de subnutrição”. Sabendo que a população brasileira é de cerca de 150 milhões de habitantes, quantos brasileiros são subnutridos?

6) Na eleição para prefeito de uma cidade estavam inscritos 300.000 eleitores. Se o índice de abstenção foi de 15%, quantos eleitores votaram nessa eleição?

7) 25% dos alunos da sala de Vanessa praticam natação. Quantos alunos há nessa classe, se 27 não nadam?

8) Um comerciante quer ter um lucro equivalente a 10% do preço de custo de uma mercadoria. Sabendo que ele pagou R$ 27,00 por essa mercadoria, por quanto deve vendê-la? (LEMBRETE: Lucro = Preço de venda – Preço de custo)

9) Mário compra um equipamento eletrônico por R$ 2.000,00 e vende por R$ 3.000,00. a) Qual foi o lucro obtido? b) Em porcentagem, qual a relação entre o lucro e o preço de custo? c) Em porcentagem, qual a relação entre o lucro e o preço de venda?

10) Numa competição de salto em altura, um atleta conseguiu melhorar em 10% sua marca, que era de 4,80 m. Qual é a nova marca desse atleta?

11) Uma escola tem hoje 4.600 alunos. Esse número é 15% maior que o número de alunos do ano passado. Quantos alunos estudavam nessa escola no ano passado?

12) Os alunos de uma escola foram comemorar o fim de ano em um restaurante. A conta, incluindo os 10% do garçom, foi de R$ 165,00. Qual seria o valor da conta sem a gorjeta para os garçons?

13) 15% de um rebanho bovino são vacas e o restante são bois. Qual é o total de cabeças desse rebanho, se há 17.000 bois?

14) Num campeonato de fórmula 1, Ayrton Senna venceu 10 das 16 provas de que participou. Que porcentagem representa o total de vitórias de Senna nesse campeonato?

15) Uma praça retangular tem lados medindo 100 metros. No centro da praça vai ser construído um canteiro também quadrangular, com lados medindo 20 metros. Quantos por cento da área da praça o terreno vai ocupar?

16) Uma lanchonete vendeu 2.000 sanduíches em janeiro. Em fevereiro, vendeu 25% a mais que em janeiro e, em março, 20 % a mais que em fevereiro. Calcule o número de sanduíches vendidos em fevereiro e março.

17) Para vender um aparelho eletrônico com um certo lucro, Letícia acrescenta 35% ao valor que pagou. Sabendo que ela vendeu esse aparelho por R$ 2.700,00, quanto pagou por ele?


Exercícios: Porcentagem

24

140 - (ENEM – 2009) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo. Disponível em:

http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado). Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%? a) 27,75 milhões de litros. b) 37,00 milhões de litros. c) 231,25 milhões de litros. d) 693,75 milhões de litros. e) 888,00 milhões de litros.

141 - (ENEM – 2009) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que

, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de

acordo com o desenho, no qual é o lado do quadrado.

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele: a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. c) triplicasse a área do quadrado. d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%.

173 - (ENEM – 2009) A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar: a) um CD de 700 MB. b) um pendrive de 1 GB. c) um HD externo de 16 GB. d) um memory stick de 16 MB. e) um cartão de memória de 64 MB.

179 - (ENEM – 2009) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. b) 4 doses. c) 6 doses. d) 8 doses. e) 10 doses.

GABARITO ENEM: 140) d 141) c 173) e 179) b

http://www1.folha.uol.com.br/


Grandezas Proporcionais

25

Grandezas Diretamente e

Inversamente Proporcionais

Problema: Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: Tempo (minutos) Produção (em Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes, ou seja: - Se duplicamos o tempo, a produção também duplica:

5 min ---------- 100 Kg 10 min ---------- 200 Kg

- Se triplicamos o tempo, a produção também triplica:

5 min ---------- 100 Kg 15 min ---------- 300 Kg

Observe também que a razão entre os valores de uma grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da outra grandeza.

5

15=

100

300=

1

3

10

20=

200

400=

1

2

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª grandeza. Essa razão igual é chamada constante de proporcionalidade.

Problema: Um ciclista faz um treino para a prova de “1000 metros contra o relógio”, mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo: Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125

12 100

20 50

Novamente uma grandeza varia de acordo com a outra e, portanto, são variáveis dependentes. No entanto observe que: - Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade:

5 m/s --------- 200 s 10 m/s ---------- 100 s

- Quando quadruplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte:

5 m/s ----------- 200 s 20 m/s ----------- 50 s

Note que a razão entre dois valores de uma grandeza é o inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª grandeza. Essa razão é chamada de constante de proporcionalidade inversa.



26

CUIDADO: Nem sempre existe proporcionalidade. Por exemplo: A tabela abaixo mostra o aumento da altura de Paulinho em função da idade:

Idade de Paulinho

4 anos 8 anos 12 anos

Altura de Paulinho

1 m 1,40 1,60

Perceba que mesmo havendo uma possível relação de aumento de uma grandeza de acordo com a outra, verifica-se que não existe proporcionalidade nesse caso. Veja:

4

1≠

8

1,40≠

12

1,60

Resolvendo problemas: a Regra de Três

Exemplo 1: Se um padeiro faz 60 pães com 4 Kg de farinha, quantos pães ele fará com 6 Kg de farinha? - Primeiramente construímos uma tabela com as grandezas do problema, analisando o que acontece com uma delas caso a outra varie, aumentando ou diminuindo. Usamos uma incógnita para representar o valor desconhecido:

Farinha (Kg) Quantidade de pães

4 60

6

As setas representam que: se a aumentarmos a quantidade de farinha, a conseqüência será o aumento no número de pães que podem ser feitos. Além disso, verificamos que se uma grandeza duplicar, a outra também duplica. Então as grandezas são diretamente proporcionais e podemos escrever:

4

60=

6

𝑥

Multiplicando em cruz, temos:

4 ∙ 𝑥 = 60 ∙ 6 4𝑥 = 360

𝑥 =360

4

𝑥 = 90 Portanto, com 6 Kg de farinha é possível fazer 90 pães.

Exemplo 2: Para reformar a quadra de esportes de uma escola, 2 pedreiros vão trabalhar 24 dias. No mesmo ritmo de trabalho, em quantos dias 6 pedreiros podem fazer esse serviço? - Novamente construímos uma tabela:

Número de pedreiros Tempo (dias)

2 24 (x)

6 x (24)

Agora, as setas indicam que se uma das grandezas (por exemplo, o número de pedreiros) aumenta, então a outra diminui na mesma razão (inversa). Portanto as grandezas são inversamente proporcionais. Nesse caso, antes de aplicarmos a “multiplicação em cruz”, devemos lembrar que ela aconteceria se montássemos a proporção da maneira que está na tabela, no caso de proporcionalidade direta. No entanto, a relação de proporção inversa faz com que tenhamos que “inverter” uma das setas antes de escrever a proporção, fazendo com que ela pareça de forma direta. Observe:

2

6=

𝑥

24

6𝑥 = 48

𝑥 =48

6

𝑥 = 8

Portanto, 6 pedreiros demoram 8 dias para efetuar a reforma.

Exercícios

1) Se 300 g de um metal custam R$ 600,00, quanto custam 700 g desse metal?

2 ) Um carro faz, na estrada, 8 km com 1 litro de álcool. a) Quantos litros de álcool são necessários para esse carro percorrer 100 km? b) Quantos quilômetros ele percorre com 45 litros de álcool? 3) Um recordista olímpico corre a prova dos 100 metros em 10 segundos. Em quanto tempo ele pode correr 10.000 metros?



27

4) Luiz Matemático bebeu 10 copos de catuaba em 20 minutos. Em quanto tempo ele pode beber 100 copos de catuaba?

5) A secretária de uma escola preenche 10 fichas de matrícula em 30 minutos. a) Quanto tempo ela leva para fazer 50 matrículas? b) Quanto tempo demorou em fazer a matrícula de uma classe com 45 alunos?

6) Em 600 ml de uma cerveja há 20 ml de álcool. a) Quanto ingere de álcool uma pessoa que bebe 5 cervejas de 600 ml cada uma? b) Quantas cervejas de 300 ml pode ingerir uma pessoa que deseja ingerir, no máximo, 30 ml de álcool?

7) Uma foto 3 x 4 foi aumentada para um tamanho 6 x 8. A foto maior representa uma ampliação da foto menor? Por quê?

8) Uma torneira, despejando 5 litros de água por minuto, enche uma caixa d’água em 6 horas. Em quanto tempo duas torneiras iguais a essa encherão a mesma caixa?

9) Numa fazenda, cada boi come a mesma quantidade de ração todos os dias. O fazendeiro, que tinha armazenado ração suficiente para alimentar seus 40 bois durante 25 dias, comprou mais 10 bois. Nesse caso, quantos dias a ração deve durar?

10) Um corredor de fórmula 1 dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos, a uma média de 200 km/h. a) Em quanto tempo fará a volta na pista, se mantiver velocidade média de 180 km/h? b) Para fazer a volta em 1 minuto e 30 segundos, qual deve ser sua velocidade média?

Divisão Proporcional

Exemplo: Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

Vamos pensar que o número 60 seja dividido em duas partes x e y, proporcionais a 2 e 3. Então podemos escrever:

𝑥

2=

𝑦

3= 𝑘 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)

Também sabemos que as duas partes somadas devem resultar no número 60. Então temos um sistema com as equações:

𝑥

2= 𝑘 (𝐼)

𝑦

3= 𝑘 (𝐼𝐼)

𝑥 + 𝑦 = 60 𝐼𝐼𝐼

Isolamos x e y nas equações (I) e (II), obtendo:

𝑥 = 2𝑘

𝑦 = 3𝑘

Substituindo esses valores de x e y na equação (III) temos:

𝑥 + 𝑦 = 60 𝐼𝐼𝐼 2𝑘 + 3𝑘 = 60

5𝑘 = 60

𝑘 =60

5

𝑘 = 12 Se k = 12, então:

𝑥 = 2 ∙ 12 = 24

𝑦 = 3 ∙ 12 = 36

Portanto, a divisão proporcional resulta nos números 24 e 36.

CUIDADO: E se tivéssemos que ter uma divisão inversamente proporcional? Então basta lembrar que a razão é inversa, ou seja, teríamos:

𝑥

2=

1

𝑘 𝑒

𝑦

3=

1

𝑘

Isolando x e y da mesma maneira e substituindo em x + y = 60 teríamos:

𝑘

2+𝑘

3= 60

Fazendo as operações necessárias chegamos ao resultado.

11) Divida o número 100: a) Em partes proporcionais a 3 e 7. b) Em partes inversamente proporcionais a 4 e a 12.



28

12) Divida o número 560: a) Em partes proporcionais a 2, 4 e 8. b) Em partes inversamente proporcionais a 2, 4 e 8.

13) Na formação de uma sociedade, Clóvis entrou com R$ 120.000,00 e Oliveira com R$ 80.000,00. Depois de algum tempo, dividiram o lucro de R$ 18.000,00 proporcionalmente ao capital que cada um empregou. Como foi feita essa divisão?

14) O Ministério da Saúde vai distribuir 500 ambulâncias entre dois estados, numa divisão que será proporcional ao número de hospitais de cada um deles. Se um dos estados tem 400 hospitais e o outro 600, quantas ambulâncias cada um terá?

Organizando em uma tabela:

Número de caixas Número de porções

1 4

2 8

5 20

7 28

Dizemos que há proporcionalidade entre o número de caixas de gelatina em pó e o número de porções de gelatinas obtidas. Em outras palavras, as duas grandezas variam na mesma razão, então dizemos que elas são proporcionais. Veja:

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟 çõ𝑒𝑠=

1

4=

2

8=

5

20=

7

28

Exercícios

1. No café da manhã, para fazer um omelete, Bete usa 3 ovos para 2 pessoas.

a) Nessa situação, qual é a razão entre o número de ovos usados e o número de pessoas?

b) Certo dia, 6 pessoas tomaram o café da manhã. Quantos ovos ela usou nessa manhã?

c) Nesse dia, qual foi a razão entre o número de ovos e o número de pessoas?

d) As razões dos itens a) e c) são iguais?

e) As grandezas número de ovos e número de pessoas são grandezas proporcionais? O quê?

Proporção é uma igualdade entre duas razões. Uma proporção envolve quatro números: a, b c e d. Nessa ordem, temos a proporção:

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 𝑜𝑢 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ∶ 𝑑

onde b e d são diferentes de zero.

Lemos: “a está para b, assim como c está para d”

2. A igualdade 7

8=

21

24 é uma proporção? Por

quê? Escreva outra proporção que envolva essa razão. 3. Escreva como se lêem as seguintes proporções:

a) 6

8=

3

4

b) 4

6=

6

9

Propriedade Fundamental das Proporções: Em toda proporção, vale a propriedade da “multiplicação em cruz”, por exemplo:

7

4=

14

8 𝑝𝑜𝑖𝑠 7 ∙ 8 = 4 ∙ 14

Portanto, se 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 então 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐.

4. Determine o valor de x nas proporções abaixo:

a) 𝑥

4=

30

20

b) 2

𝑥=

4

3

c) 1

4=

𝑥

5

d) 15

25=

6

𝑥



29

Proporção na resolução de problemas Exemplo: Uma caixa tem 35 bombons. Para cada 2 bombons comidos por Léo, Luiz comeu 3. Quantos bombons comeu cada um?

X: número de bombons comidos por Léo Y: número de bombons comidos por Luiz

Podemos formar a proporção: 𝑥

𝑦=

2

3

Multiplicando em cruz temos: 3x = 2y Como a caixa tem 35 bombons: x + y = 35 Então temos um sistema com duas equações:

𝑥 + 𝑦 = 35 (𝐼)3𝑥 = 2𝑦 (𝐼𝐼)

Na equação (I), isolamos uma das incógnitas:

𝐼 𝑥 + 𝑦 = 35 𝑥 = 35 − 𝑦

Então substituímos esse valor de “x” no lugar de “x” na outra equação:

𝐼𝐼 3𝑥 = 2𝑦 3 ∙ 35 − 𝑦 = 2𝑦

105 − 3𝑦 = 2𝑦 105 = 2𝑦 + 3𝑦

105 = 5𝑦

𝑦 =105

5

𝑦 = 21 Colocando esse valor de “y” em qualquer uma das equações, encontramos o valor de “x”:

𝐼 𝑥 + 𝑦 = 35 𝑥 + 21 = 35 𝑥 = 35 − 21

𝑥 = 14 Portanto, Léo comeu 14 bombons e Luiz comeu 21 bombons.

Exercícios

5. Determine x e y na proporção 𝑥

2=

𝑦

3, sabendo

que x + y = 100.

6. A razão entre dois números é 7

3. Sabendo que a

diferença entre eles é 40, quais são esses números? 7. Duas pessoas apostaram juntas na loteria e ganharam 60.000.000,00. Quanto coube a cada uma, se as importâncias que jogaram estão na

razão 2

3 ?

8. Numa cantina escolar, de cada 4 refrigerantes vendidos, 3 são da marca X. Na última quinta-feira foram vendidos 100 refrigerantes. Qual a venda de refrigerantes X, nesse dia? 9. No carnaval passado, a escola de samba Vaidade desfilou com 5.000 componentes. De cada 5 integrantes dessa escola, 2 eram mulheres e 3 eram homens. Quantas mulheres e quantos homens desfilaram pela Vaidade? 10. Em uma bandeira, a altura está para o comprimento assim como 7 está para 10. Qual deve ser o comprimento de uma bandeira com 1,40 m de altura? Qual área terá essa bandeira?


Revisão: Potenciação

30

POTENCIAÇÃO Definição de Potenciação (O que significa potenciação):

Sejam números representados pelas letras b e n de forma que 𝑏 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ ℕ, ou seja, sejam um número qualquer pertencente ao conjunto dos números reais*, representado pela letra b, e um número qualquer pertencente ao conjunto de números naturais**, representado pela letra n.

Assim, chamamos de potência de base b e

expoente n ao número:

𝑏𝑛 = 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ ... ∙ 𝑏 𝑛 fatores de b multiplicados por b

Exemplos:

23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 3 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖

= 8

25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 5 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖

= 32

35 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 5 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖

= 243

112 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 12 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖

= 1

72 = 7 ∙ 7 2 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖

= 49

É importante ressaltar que:

𝑏1 = 𝑏 Exemplos: 51 = 5 91 = 9

12354671 = 1235467 (−35)1 = −35

𝟏𝟏 = 𝟏 𝟎𝟏 = 𝟎

Outra Observação:

Se 𝑏 < 0 e n par ⇒ 𝑏𝑛 > 0

Exemplo: Sendo −2 (menor que 0) a base da potência e 4

(par) o expoente, temos:

(−2)4 = −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2

(−2)4 = 16

Ou seja: (−2)4 é maior que zero: (−2)4 > 0

Se 𝑏 < 0 e n ímpar ⇒ 𝑏𝑛 < 0 Exemplo:

Sendo −2 (menor que 0) a base da potência e 3 (ímpar) o expoente, temos:

(−2)3 = −2 ∙ −2 ∙ −2

(−2)3 = (−8)

Ou seja: (−2)3 é menor que zero: (−2)4 < 0

E em particular: (Sendo 𝑏 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0 )

𝑏0 = 1

Explicação: Peguemos por exemplo o número 5, quanto será 50?

Vejamos: quanto seria 50 ∙ 51? Note no verso dessa ficha de revisão a primeira propriedade da potenciação dizendo que:

50 ∙ 51 = 50+1. Assim:

50 ∙ 51 5

= 50+1 51 5

Logo, essa equação fica assim:

50 ∙ 5 = 5

⇒ 50 = 5

5

Ou seja: 50 = 1

*Números reais (de forma não

formal) são todos os números

inteiros e ―quebrados‖, positivos e

negativos, pares e ímpares,

fracionários ou irracionais. O

conjunto dos números reais é

representado pelo símbolo ℝ. **Números Naturais:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,… }


Revisão: Potenciação

31

Generalizando:

Tomando qualquer número real representado aqui pela letra b veja:

Como 1 + 0 = 1 temos que:

𝑏1+0 = 𝑏1 De acordo com a propriedade 𝑏𝑚+𝑛 = 𝑏𝑚 ∙ 𝑏𝑛 temos:

⇒ 𝑏1 ∙ 𝑏0 = 𝑏1 Resolvendo a equação acima, dividindo os dois lados da equação por 𝑏1, ou seja, o famoso “passando 𝑏1 que está multiplicando 𝑏0 para o outro lado da igualdade dividindo”, temos:

⇒ 𝑏0 = 𝑏1

𝑏1

Sabemos que qualquer número dividido por ele

mesmo é igual a 1, neste caso 𝑏1

𝑏1 = 1. Então:

𝑏0 = 𝑏1

𝑏1

⇒ 𝑏0 = 1

***Isso é válido para qualquer número real, ou

seja, b pode ser substituído por qualquer número real que a resposta permanecerá 1, exceto para b = 0, pois

não existe divisão por zero, o que significa que 0

0 não

possui resposta e assim também a potência 00 = 0

0.

Exemplos:

50 = 1

90 = 1

12321240 = 1

10 = 1

Propriedades da Potenciação:

𝑏𝑚 ∙ 𝑏𝑛 = 𝑏𝑚+𝑛

Exemplo: 52 ∙ 53 = 5 ∙ 5 2 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 3 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

2+3 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

= 52+3

𝑏𝑚

𝑏𝑛= 𝑏𝑚−𝑛

Exemplo: 54

52 =5∙5∙5∙5

5∙5= 5 ∙ 5 = 54−2

(𝑎 ∙ 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚

Exemplo: 3 ∙ 5 2 = 3 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 5 = = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 = 32 ∙ 52

𝑎

𝑏 𝑚

= 𝑎𝑚

𝑏𝑚

Exemplo: 5

3

2=

5

3 ∙

5

3 =

= 5

3 ∙

5

3 =

52

32

𝑏𝑚 𝑛 = 𝑏𝑚∙𝑛 = 𝑏𝑛 𝑚

Exemplo: 53 2 = 53 ∙ 53 = = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 52∙3

Atenção: Pega-Ratão:

−22 ≠ (−2)2

−22 = −2 ∙ 2 = −4 e (−2)2 = −2 ∙ −2 = 4

234≠ (23)4

234= 281 e (23)4 = 8 4 = 4.096

Potência de expoente negativo:

Sejam números representados pelas letras b e n de

forma que 𝑏 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ ℕ. Definimos a potência 𝑏−𝑛 como:

𝑏−𝑛 =1

𝑏𝑛

Explicação: Seja o número b pertencente aos números reais e diferente

de zero. Observe que 𝑏𝑛−𝑛 = 𝑏0, ou seja:

𝑏𝑛 ∙ 𝑏−𝑛 = 𝑏0 ⇒ 𝑏−𝑛

=1

𝑏𝑛

“Passando-se” 𝑏𝑛 para o outro lado obtemos a resposta!

Exemplos: 7−3 =1

73=

1

343 2−5 =

1

25=

1

32


Exercícios: Potenciação

32

EXERCÍCIOS: POTENCIAÇÃO

1. Calcule:

a) 52 b) 3

4 c) 83

1 d) 2

3

e) (-2)3

f) -23 g) 23

0 h) (-81)

0

i) 34 j) 200 k) 2-5

L) 3-3

m)

3

3

1

n)

2

5

2

o) 42 p) 42

q) 22

r) 3

3

s)

2

2

5

t)

3

7

2

u) 1010 3333

v)

1

23

3

132

2. (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 108 . 4 .

10-3

é:

a) 206 b) 2 . 10

6 c) 2 . 10

9

d) 20 . 10-4

3. Escreva em uma só potência:

a) 472 555 b) 17

12

3

3 c) 322 d)

322

e) 232 f) 232 g)

11

75

22

33

h) 3

56

16

84 i)

3532

532452

27

93

ba

baa

j) 482 yyy k) 523 yx

4. Calcule os valores para as potencias seguintes:

24, 4

2, 4

-2, (-4)

2, (-2)

4, (-2)

-4.

5. Calcule o valor da expressão:

402261 .

6. Qual a metade de 222 ?

7. Simplificar:

a) 4

253

3

6

ab

cba b)

2

2423

4252

a

a

aa

aaa

c)

001,0

01,01010253

8. Reduza a uma só potência: 2342 .

9. Reduza a expressão a uma só potência:

3329 222

.

10. Sendo x = 322 , y = 322 e z =

232 , escreva

o produto zyx na forma de uma só potência.

11. PUC-SP) O número de elementos distintos

da sequência 24, 4

2, 4

-2 (-4)

2, (-2)

4, (-2)

-4 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

12. Tenho a sentença matemática 1022 k .

Pergunta-se: qual o valor de k?

13. Tenho as sentenças matemáticas

24210 102 m e 20205 5210 k . Pergunta-se:

quais os valores de m e k?

14. (Fatec) Se 6453 a o valor de a5 é:

a) 4

1 b)

40

1 c)

20

1 d)

8

1 e)

4

1

15. Quais são os valores de 2

1

4 , 4

1

81 , 10

1102 ,

10

1

1024 ?

16. Qual o valor de: 4)2,0( e 5)1,0( .

17. (FUVEST) O valor de 2316,02,0 é:

a) 0,0264 b) 0,0336 c) 0,1056

d) 0,2568 e) 0,6256

Gabarito (1) a.25 b.81 c.83 d.8 e.-8 f.-8 g.1 h.1 i.1/64 j.0

k.1/32 L.1/27 m.1/27 n.4/25 o.16 p.-16 q.1/4 r.-1/27

s.4/25 t.343/8 u.6 v.11/24

(2) B

(3) a.513 b. 3−5 c.26 d.28 e.26 f.29 g. 3

2

12

h.215

i.𝑎12 j.𝑦14 k. 𝑥15 ∙ 𝑦10

(4) 32, 16, 1/16, 16, 32, 1/32

(5) -28

(6) 221

(7) a. 2𝑎2𝑏𝑐2 b. 1 c. 1.000.000.000

(8) 236

(9) 2−9

(10) 223

(11) B

(12) 10

(13) m=3/2 e k=4

(14) E

(15) 2, 3, 2, 2

(16) 0,0016 e 0,00001

(17) B


Revisão: Radiciação

33

RADICIAÇÃO

Definição de Radiciação (O que significa radiciação):

Nomenclatura:

𝑎𝑛

Raiz

A radiciação é a operação inversa à potenciação.

Para um número real a, a expressão 𝑎𝑛

representa o único número real 𝑏 que verifica 𝑏𝑛 = 𝑎 .

Em outras palavras, sendo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 ≠0, ou seja, sendo dois números quaisquer pertencentes ao conjunto dos números reais, representados pela letra a e b, e um número qualquer pertencente ao conjunto dos números naturais diferente de zero, representado pela letra n, temos que:

Chamamos de raiz “n-ésima” de a o número b de forma que 𝒃𝒏 = 𝒂.

𝑎𝑛

= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎

Isso quer dizer que se elevarmos um número b à potência n e depois tirarmos a raiz n do resultado, voltamos ao número b.

Por exemplo, se elevarmos 2 à quinta potência (25 = 32) e depois tirarmos a raiz quinta do resultado

( 325

), voltamos ao número 2. Logo, 325

(raiz quinta de 32) é igual a 2 porque a potência 25 é igual ao radicando 32:

325

= 2 porque 25 = 32

Observação: Quando o número n do radical (radical é o

nome dado ao símbolo ) é omitido, em expressões como

5 por exemplo, isso significa que 𝑛 = 2. Esta é chamada de raiz quadrada e dizemos, neste caso, raiz quadrada de cinco

( 5).

Exemplos:

Para descobrirmos o valor da expressão 𝑎𝑛

=? sempre devemos nos perguntar: Qual valor elevado a n resulta em a?

492

=? Qual valor elevado ao quadrado (2) resulta em

49? Temos que 72 = 49 então 492

= 7 .

273

=? Qual valor elevado ao cubo (3) resulta em


= 3.

112

=? Qual valor elevado a 12 resulta em


= 1 .

Casos da radiciação:

1. Na expressão 𝑎𝑛

= 𝑏 se 𝑎 ≥ 0 então

necessariamente 𝑏 ≥ 0 qualquer que seja o índice n:

162

= 4 porque 42 = 16

83

= 2 porque 23 = 8


= 𝑏 se 𝑎 ≤ 0 então

necessariamente 𝑏 ≤ 0 se n for ímpar:

−1253

= −5 porque (−5)3 = −125


= 𝑏 se 𝑎 ≤ 0 e n for par, então não existe resposta para a radiciação no conjunto dos

números reais, pois, por exemplo, para −42

= 𝑏 qual o número b que satisfaz a equação 𝑏2 = −4? Se 𝑏 = 2 temos que 𝑏2 = 4 e se 𝑏 = −2 a resposta permanece 𝑏2 = 4, então, no conjunto dos números reais, não existe

solução para a expressão −42

. Note que se utilizarmos um conjunto numérico mais abrangente a expressão possui solução: No conjunto dos números Complexos, a solução

seria: −42

= 2𝑖.

Casos que devemos prestar atenção:

0𝑛

= 0 Isso acontece porque zero vezes zero sempre será zero, não importa quantas “n” vezes o zero for multiplicado.

1𝑛

= 1 Como acima, isso acontece porque um vezes um sempre será um, não importa quantas “n” vezes o um for multiplicado.

𝑎1

= 𝑎 porque 𝑎1 = 𝑎 Isso vale para qualquer número real, representado aqui pela letra a. Isso acontece porque qualquer número elevado a 1 sempre será

o próprio número, ou seja, para resolver 51

, por exemplo, devemos nos perguntar “qual número elevado a 1 resulta

em 5? Ora, o número 5, pois 51 = 5, então 51

= 5.

Cálculo da raiz por decomposição: (Utilizamos aqui propriedades da radiciação)

Exemplos:

Vamos calcular: 144 : Devemos primeiramente fatorar 144 ⇒ Descobrimos então que:

144 = 24 ∙ 32 Temos que:

24 ∙ 32 = 24 ∙ 32 = 24

2 ∙ 32

2 = = 22 ∙ 31 = 4 ∙ 3 = 12 Então:

144 = 12

Índice

Radicando

24 32

3

3

2

2

2

2

1

3

9

18

36

72

144


Revisão: Radiciação

34

Atenção: Nem sempre conseguimos eliminar o radical:

Vamos calcular: 27 Fatorando 27 temos que: ⇒ Descobrimos então que:

27 = 32 ∙ 31 = 32

2 ∙ 31

2 =

= 31 ∙ 3 = 3 3 Então:

27 = 3 3

Potência de Expoente Racional:

𝑎𝑚𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

(com 𝑎 ∈ ℝ+ e 𝑛 ≠ 0) Exemplos:

41

2 = 412= 4

4 = 4 1

2

32

3 = 323= 9

3

1024−0,1 = 1024−1

10 = 1024−110

= 1

1024

10=

110

102410 =

1

2

Propriedades da Radiciação:

𝑎𝑛

∙ 𝑏𝑛

= 𝑎 ∙ 𝑏𝑛

Exemplo:

53

∙ 73

= 51

3 ∙ 71

3 = 5 ∙ 7 1

3 = 5 ∙ 73

𝑎 𝑛

𝑏 𝑛 =

𝑎

𝑏

𝑛

Exemplo:

54

74 =

(5) 1 4

(7) 1 4

= 5

7

14

= 5

7

4

( 𝑎𝑛

)𝑚 = 𝑎𝑚𝑛

Exemplo:

53

2

= 51

3 2

= 5 13

∙2= 5

2 3

=

523

𝑎𝑚𝑛

= 𝑎𝑛 ∙𝑚

Exemplo:

53

2

= 513

2

= 513

12

= 513∙12 = 5

12∙3

= 52∙3

Simplificação de radicais

𝑎𝑚𝑛= 𝑎𝑚∙𝑝𝑛 ∙𝑝

Exemplo:

1046= 10

4

6 = 10 4

6 ∙

2

2 = 10 4∙2

6∙2 =

106∙24∙2

Utilidade na simplificação:

1046= 10

4 6 = 10

4 6

∙ ½ ½ = 10

2 3

= 1032

𝑎𝑛

𝑛

= 𝑎 (se 𝑎 ≥ 0 para n par)

Vejamos um exemplo numérico para que essa expressão fique clara:

273

3

= ?

Note que 273

= 3 assim: 273

3

= (3)3 = 27

Portanto: 273

3

= 27

Raiz quadrada do quadrado de um número

𝑎2

2

= 𝑎22= 𝑎 onde 𝑎 =

Exemplos:

32 = 3 = 3 pois 3 ≥ 0

42 = 4 = 4 pois 4 ≥ 0

(−3)2 = −3 = − −3 = 3 pois −3 < 0

(−5)2 = −5 = − −5 = 5 pois −5 < 0

(2 − 3)2 = 2 − 3 = 2 − 3 pois

2 − 3 ≥ 0

(2 − 5)2 = 2 − 5 = − 2 − 5 = 5 − 2

pois

2 − 5 < 0

O número a sempre positivo

123 333

3

3

3

1

3

9

27


Exercícios: Radiciação

35

1) Calcule:

a) 25 b) 81 c) 3 27 d) 3 64

e) 121 f) 3 32

g) 70 0 h) 4 1

i) 3 8 k) 4 12864x j) 6 64

l) ( 4 12864x )4 m)

81

4 n) 3

64

27

o) ( 2 )8 p) ( 3 2 )

9 q) 3 64

r) 16 s) 3 92 t) 9 123

2) Escreva sob a forma de potência a

expressão: 5 .

3) Qual é o valor de 316 2701625 ?

4) Calcule o valor da expressão: 432 x .

5) Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):

a) 16 = 4 ou –4 b) 4

1

64

13

c) 118 d) - 525

6) Calcule o valor de:

a) x = 3 491 b)

5 3 1321

c)

1 +

32 ∙ 5 + 27 ∙ 25 + 7 − 9343

7) Escreva sob a forma de raízes:

a) 2

3

9 b) 3

4

8 c) 3

2

64

d) ( 4

5

16 ) 5

2

8) Calcule o valor da expressão:

2

1

3

1

2

1

3

2

34316125

.

9) Escreva na forma de uma única raiz:

4 3

6 5

2

2.

10) Se 11 e 24 , qual seria uma aproximação

para 2 ?

Gabarito da Lista de Radiciação

1) a) 5 b) 9 c) 3 d) 4 e) 11 f) 2

g) 0 h) 1 i) –2 j) 2 k) 3 132

l) 8192 m) 9

2 n)

4

3 o) 2 p) 8 q) 2

r) 2 s) 8 t) 3 43

2) 8

1

5

3) 6 4) 6 5) a) V b) V c) V d) V 6) a) 2 b) 1 c) 3

7) a) 39 b) 3 48 c) 3 264 d)

16

8) 6

9) 12 2 10) 1,5 ou 1,4


Revisão: Racionalização

36

RACIONALIZAÇÃO DE

DENOMINADORES

Considere o número 2

2, utilize uma

calculadora para calcular essa operação, ou seja, divida

2 por 2 , note que o resultado será equivalente ao

número 2 (2 ÷ 2 = 1,4142136 … e 2 =

1,4142136 …). Observamos que a fração 2

2 é

equivalente a 2

21

, ou seja, a fração dada

originalmente, cujo denominador é um número

irracional (2

2), foi transformada em uma fração

em que o denominador é racional, possibilitando um

cálculo mais simples e rápido.

Portanto, racionalização de denominadores

significa obter uma fração de mesmo valor da fração

original, cujo denominador é irracional, mas que possua

um denominador racional.

A racionalização pode ser feita multiplicando-

se o numerador e o denominador da fração original por

um mesmo fator (que é o mesmo que multiplicar a

fração por 1), obtendo assim uma fração equivalente a

anterior. Esse fator é chamado fator de racionalização

ou fator racionalizante.

Exemplos:

Racionalizar os denominadores:

a) 3 3 3 3 3 3 3 3 3

33 3 3 3 3 9

3

3

33

b) 6 6 2 6 2 6 2

5 25 2 5 2 2 5 2 2

3

6

2

5 2 1

3 2

5

c)

2

3 3 5 3 5 3 5 15

55 5 5 5 5 5

d)

3 2 3 3

3 3 3 32 3

2 2 5 2 25 2 25

55 5 5 5

Observação: Na racionalização realizamos a

multiplicação da fração por outra com o mesmo valor

no numerador e no denominador (com o mesmo valor

em baixo e em cima), que equivale a um, pois não

queremos alterar o valor da fração e sim seu formato.

Em 2

2, por exemplo, multiplicamos a fração por

2

2.

Note que 2

12 . E perceba que ao efetuarmos a

multiplicação, na verdade, não estamos realizando

nenhuma mudança: 2 2

12 2 , que como vimos é

equivalente a 2 : 2 2 2 2 2

222 2 2

.

Note também que nosso objetivo é eliminar a

raiz do denominador e para isso devemos multiplicar a

fração original por várias frações equivalentes a um até

conseguirmos tal eliminação:

3 23 3 3

3 3 3 3 3 3

4 4 3 3 4 3 4 9

33 3 3 3 3

Genericamente temos:

n n n nn m n m n m n m

n n n n nm m n m m n m n

N N a N a N a N a

aa a a a a

Ou seja: n n m

n m

N N a

aa


Revisão: Racionalização

37

Outro tipo de fração que pode ser necessário

racionalizar e que pode gerar confusão é a do tipo com

denominador possuindo raiz e a operação de adição,

como por exemplo 6

2 1. Note que se realizarmos o

processo idêntico ao anterior, ou seja, se

multiplicarmos a fração por outra com numerador e

denominador iguais a 2 , a fração resultante

continuará apresentando o termo raiz de 2 no

denominador (Verifique!). Temos então que encontrar

uma técnica que resolva o problema...

Lembraremos inicialmente o seguinte produto

notável: 2 2( )( )a b a b a b . Como queremos que a

raiz quadrada seja eliminada, ela deve ser elevada ao

quadrado, que é o que acontecerá se utilizarmos essa

expressão:

2

2( 3 2)( 3 2) 3 2 3 4 1

( 3 2)( 3 2) 1

Tendo então uma fração do tipo 5

3 2,

multiplicaremos a fração por outra que possua como

numerador e o denominador o número 3 2 :

5 5 3 2 5( 3 2)

3 2 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2)

5 3 1010 5 3

1

Perceba que o processo aqui é o mesmo, o que

muda é só o formato do número a ser colocado no

numerador e denominador da fração, equivalente a um,

a ser multiplicada.

Podemos, com isso, determinar um

procedimento geral: sempre que o denominador da

fração a ser racionalizada for da forma a b c d ,

multiplicaremos por outra fração, equivalente a um,

cujo numerador e denominador deve ser a b c d . Se

o denominador for do tipo a b c d , utilizaremos

expressão a b c d .

Curiosidade: as expressões a b c d e

a b c d recebem o nome de conjugado uma da

outra.

Exemplos:

a)

6 6 2 1 6( 2 1)

2 1 2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1)

2

2

6( 2 1) 6( 2 1)6( 2 1)

2 12 1

b)

4 4 5 2

5 2 5 2 5 2

2 2

4( 5 2) 4( 5 2)

( 5 2)( 5 2) 5 2

4( 5 2) 4( 5 2)

5 2 3

c)

2 2 5 1 2( 5 1)

5 1 5 1 5 1 ( 5 1)( 5 1)

2

2

2( 5 1) 2( 5 1) 2( 5 1)

5 1 45 1

d)

6 6 2 3 3 2

2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2

2 2

6(2 3 3 2) 12 3 18 2

(2 3 3 2)(2 3 3 2) 2 3 3 2

12 3 18 2 12 3 18 2 12 3 18 2

4 3 9 2 12 18 6

2

12 3 18 2 12

6

3

6

3

1

18

2

6 1

2 3 3 2


Revisão: Produtos Notáveis e Fatoração

38

PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO

Esqueminha:

Produto Notável

𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 𝑏3 𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 − 𝑏3

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐

Fatoração

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