8/18/2019 Funções Linearmente Independentes (LI)

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIASTEORIA DAS SOLUÇÕES

Definição. Uma equação diferencial ordinária de ordem n é linear  se puder ser escrita naforma

an(x)y(n) + an–1(x)y(n–1) +...+ a1(x)y′ + a0(x)y = q(x)

onde os coeficientes ai(x) ( i = 0,1,..., n) e q(x) dependem somente de x. Na resoluçãode equações diferenciais lineares de ordem n, procuramos determinar a solução geralcomo uma combinação linear de um número mínimo de funções, chamadas soluçõesfundamentais. Em geral, uma equação de ordem n tem n soluções fundamentais. Porexemplo, a equação y ′′ + y = 0 tem como solução geral y = asen(x) + bcos(x), onde a e bsão constantes arbitrárias. As funções y1  = sen(x) e y2  = cos(x) são soluçõesfundamentais desta equação, sendo que a solução geral é uma combinação linear de y 1 ey2  . Para termos certeza de que um conjunto de soluções é um conjunto fundamental, é

necessário a definição de conjunto Linearmente Independente de funções, que vamosdefinir a seguir.

FUNÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES.

Definição. Um conjunto de funções {y1(x) , y2(x), ..., yn(x)} é linearmente independente(LI) em um intervalo (a,b) se a equação

c1y1(x) + c2y2(x) + ... + cnyn(x) = 0 (1)

admitir somente a solução trivial c1 = c2 = ... = cn = 0 , para todo x ∈(a,b) . Caso exista

uma solução da equação (1) com algum coeficiente c i diferente de zero, então o conjuntode funções {y1(x) , y2(x), ..., yn(x)} é linearmente dependente (LD) . No caso particularem que n = 2, o conjunto {y1(x) , y2(x)} é linearmente dependente se y1(x) = ky2(x),onde k é uma constante. Vamos usar LI para denotar funções linearmente independente eLD para funções linearmente dependentes.

Exemplos .

1)  O conjunto de funções {x , 5x} para x ∈R é LD, pois –5*x + 1*5x =0, isto é, sendoy1 = x , y2 = 5x , temos c1 = –5 e c2  = 1. Observemos que y2 = 5y1 .

2)  O conjunto {sen(x), cos(x) } é LI , para x ∈  ( 0 , π  ) . De fato, supondo que

c1sen(x) + c2 cos(x) = 0, para x∈

  ( 0 ,π  

), então se x = 2π  

, resulta c1sen( 2π  

) +c2 cos( 2π   ) = 0, ou seja, c1 = 0. Logo, c2 cos(x) = 0 para todo x ∈  ( 0 , π  ), o queimplica c2 = 0.

Devido à complexidade da definição, podemos usar um teorema, chamado teorema dowronskiano, para identificar se um conjunto de funções é LI ou LD.

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 TEOREMA. Sejam y1(x) , y2(x), ..., yn(x) funções definidas para x ∈I= (a,b) . Se odeterminante wronskiano

W(x)= W (y1 , y2, ..., yn) =

1)(nn

1)(n2

1)(n1

'n'2'1

n21

yyy

yyy

yyy

−−−L

MMM

L

L

 

for diferente de zero para algum x0 ∈I, então o conjunto de funções {y1(x),y2(x),...,yn(x)}é linearmente independente.

Exemplo 1. Verificar que o conjunto {sen(x) , cos(x) } , para x ∈  ( 0 , π  ), é LI, peloteorema do wronskiano.

Solução : y1 = sen(x) '1y = cos(x)

y2 = cos(x) '2y = –sen(x)

W(x) = W(y1  ,y2  ) =sen(x)cos(x)

cos(x)sen(x)

− = – 1 , para todo x ∈   ( 0 , π  ) .

Logo, pelo teorema do wronskiano , o conjunto {sen(x) , cos(x) } é LI.

Exemplo 2 . Verificar que se a ≠  b , então o conjunto { axe ,  bxe } para x ∈ R, é LI.

Solução y1 =axe   '

1y = a axe  

y2  =  bxe '2y = b  bxe

W(x) = W(y1 ,y2 ) =  bxax

 bxax

 beae

ee = ( b– a)  b)x(ae   +  

Se x = 0, então W(0) = b–a ; assim se a ≠  b , então o conjunto { axe ,  bxe } é LI. Em particular, o conjunto de funções { xe , xe−  } é LI. Se a = b , então o conjunto { axe ,

 bxe  } é LD.

Exemplo 3. Mostrar que o conjunto de funções { xe , 2xe , 3xe } para x ∈ R é LI.

Solução: o determinante wronskiano resulta

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W(x)= W(y1, y2 , y3) =3x2xx

3x2xx

3x2xx

9e4ee

3e2ee

eee

 = 2 6xe

Se x = 0 , então W(0) = 2 ≠  0 ; logo , o conjunto { xe , 2xe , 3xe } é LI.

Os exemplos acima são muito importantes, pois veremos que as funções trigonométricase exponenciais são soluções freqüentes de equações diferenciais ordinárias. Se umconjunto de funções {y1(x) , y2(x), ..., yn(x) } é LI e se cada yi(x) é uma solução de umaedo, então dizemos que as soluções são LI. Por exemplo, as funções y 1=sen(x) ey2=cos(x) são soluções linearmente independentes da equação y′′ + y = 0 .