UCS - CCET: CENTRO DE CINCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIAMAT0356 - PR-CLCULOFuno polinomial do 1 grau

DEMANA, F. D. et al. Pr-clculo: captulo 8 - p. 85

Uma funo polinomial da forma

fx = anxn + an1xn1 + an2xn2 +. . . . . . .+a2x2 + a1x + a0em que os coeficientes an, an1, an2, . . . . . . . , a2, a1 e a0 so nmeros reais e n um nmeronatural. Para an 0, n o grau da funo e an dito coeficiente principal.

Funo do 1 grauDentre as funes polinomiais, a funo do 1 grau da forma

fx = mx + bcom m e b nmeros reais e m 0. O domnio da funo do 1 grau R (conjunto dosnmeros reais) e seu conjunto imagem tambm R.

Veja alguns exemplos de funes do 1 grau: fx = 2x 1, gx = x + 23 , hx = 5x,Hx = x 2 .*************************************************************************************************************

Reviso rpida: RETAS Uma equao do 1 grau com duas variveis define uma reta. Assim, a equaoax + by + c = 0, de variveis x e y, define uma reta, e essa forma dita a equao geral dareta. Se isolamos y na equao, obtemos a forma reduzida da reta, que pode ser escritacomo y = ax + b.

O coeficiente de x, que o nmero real a 0, chamado coeficiente angular da reta esignifica que " y varia a unidades sempre que x varia 1 unidade". Ao interpretar, assim, ocoeficiente angular, esse informa se a reta cresce (a > 0) ou decresce (a < 0).

O termo independente da equao, que o nmero real b, chamado coeficiente linearda reta e significa que a reta vai interseptar o eixo dos y no ponto 0, b.

Apenas dois pontos so suficientes para determinar uma reta. Assim, por exemplo, paratraar a reta cuja equao y = 3x 2, basta atribuir dois valores a x e determinar, naequao, os valores correspondentes a y. Teremos ento dois pontos que sero marcados noplano cartesiano e, passando sobre eles, teremos a reta desejada.Veja, por exemplo, que se escolhemos os valores de x como sendo 0 e 1 teremos,respectivamente, os valores correspondentes de y como 2 e 1; poderamos escolherquaisquer outros valores.

x 0 1y 2 1

1

Para ter o grfico da reta, marcamos, ento, esses dois pontos, 0,2 e 1, 1, e sobre elestraamos a reta. Veja a seguir:

-2 -1 1 2

-5-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

De outra forma, se conhecemos dois pontos de uma reta, podemos determinar suaequao. Para isso, vamos lembrar de duas frmulas, que podem auxiliar:1) se conhecemos dois pontos, x1, y1 e x2, y2, de uma reta, o seu coeficiente angular calculado pela frmula: a = y2 y1x2 x1 .2) se conhecemos o coeficiente angular, a, de uma reta e um ponto, x1, y1, por onde elapassa, a sua equao obtida por y y1 = ax x1.

Assim, por exemplo, considerando a reta anterior, que, como vimos, passa pelos pontos0,2 e 1, 1, para determinar sua equao, seguimos os passos:1) determinamos seu coeficiente angular: a = y2 y1x2 x1 =

1 21 0 =

31 = 3

2) escolhemos um dos pontos conhecidos, por exemplo 0,2, e consideramos o coeficientedeterminado no passo 1 para substituir na frmula: y y1 = ax x1. Temos, assimy 2 = 3x 0 y + 2 = 3x y = 3x 2 (que a equao procurada!)

Dois pontos importantes de uma reta so os pontos de interseco com os eixoscoordenados: x, 0, sobre o eixo dos x, e 0, y, sobre o eixo dos y.1) para determinar a interseco com o eixo y, basta considerar x = 0 na equao da reta ecalcular o valor correspondente a y;2) para determinar a interseco com o eixo x, basta considerar y = 0 na equao que definea reta e calcular o valor correpondente a x (o valor de x obtido dessa forma chamado raiz ouzero da equao).

No exemplo da reta de equao y = 3x 2, temos:1) interseco com o eixo y: fazendo x = 0 na equao, obtemos y = 2 (veja que o valorobtido o coeficiente linear!); portanto o ponto de interseco com o eixo y 0,2.2) interseco com o eixo x: fazendo y = 0 na equao, obtemos o valor de yy = 3x 20 = 3x 2 2 = 3x 23 = x; portanto, o ponto de interseco com o eixo x

23 , 0

Ainda sobre retas, importante lembrar das equaes de retas paralelas aos eixoscoordenados:1) Uma reta paralela ao eixo y, que passa sobre o eixo x pelo ponto k, 0 tem equao x = k.

2

Por exemplo, a equao x = 2 paralela ao eixo y.-1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

x

y

2) Uma reta paralela ao eixo x, que passa sobre o eixo y pelo ponto 0, q tem equao y = q.

Por exemplo, a equao y = 4 paralela ao eixo x.

-1 1 2 3 4

-2

2

4

x

y

*************************************************************************************************************

Voltando definio da funo, observe que a equao que define a funo do 1 grau(y = mx + b) a equao reduzida da RETA. Por isso, podemos afirmar que o grfico de umafuno do 1 grau sempre uma reta e, para constru-lo, basta determinar dois de seuspontos.Assim, para construir o grfico da funo fx = 2x 1, atribumos dois valores quaisquer a x edeterminamos os valores correspondentes para y = fx. Marcamos os dois pontos no planocartesiano e passamos, por eles, a reta assim definida. Veja:

x y = fx0 11 1 -6 -4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

Considerando a funo fx = mx + b, m o coeficiente angular da reta que seu grfico.Isso significa que, cada vez que x varia 1 unidade, fx varia m unidades. Veja maisalguns pontos do grfico da funo fx = 2x 1:

3

x y = fx1 30 11 12 3

Observe os pontos e veja que, somando 1 ao x,o y fica somado com 2. De fato, o coeficiente angularde fx = 2x 1 2.

O termo constante, b, da equao que define a funo do 1 grau fx = mx + b ocoeficiente linear da reta que seu grfico. Lembre que o coeficiente linear a ordenada doponto de interseco da reta com o eixo y. Veja, no exemplo que, em fx = 2x 1, ocoeficiente linear da reta que grfico da funo 1. Ele obtido fazendo x = 0 na equaoque define a funo. Portanto, o ponto de interseco do grfico da f com o eixo dos y 0,1.

J, se quisermos conhecer o ponto de interseco dessa mesma reta, que o grfico da f,com o eixo dos x, fazemos y = 0 na equao y = 2x 1. Assim, temos 0 = 2x 1, do qualresulta x = 12 . Ou seja, o ponto de interseco do grfico da f com o eixo dos x 12 , 0 .

Obter os pontos de interseco com os eixos coordenados, quando so pontos distintos comotemos acima, um modo bem simples de representar uma reta com informaes importantesque um grfico de reta precisa conter. Tomando, ento, esses dois pontos, 0,1 e 12 , 0 ,de interceo, respectivamente, com o eixo y e com o eixo x, traamos, passando por eles, areta y = 2x 1. Veja:

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

Exerccios de aula 1

1) Construa o grfico da funo fx = x + 2, diga se ela crescente ou decrescente,determine sua raiz e analise seu sinal (identificando o intervalo em que a f positiva e ointervalo em que a f negativa).2) Construa o grfico da funo gx = 2x 1 utilizando os pontos de interseco do grficocom os eixos coordenados. Essa funo g crescente ou decrescente? Por qu?3) Construa o grfico da funo do 1 grau que passa pelos pontos 2, 12 e

23 , 1 . Em

seguida, determine a equao que define a funo representada.4) A presso atmosfrica diminui conforme subimos em relao ao nvel do mar, onde apresso 1 atm. A 100 metros de altura, a presso de 0, 95 atm. Se a variao da presso representada por uma funo do 1 grau, determine a equao que define essa variao.

4

Exerccios extraclasse 1

1) Use rgua e construa o grfico de cada funo definida a seguir:a) fx = 23 x 1 b) gx = 3x c) y = x + 2

2) Em cada caso, determine os pontos de interseco do grfico da funo com os eixoscoordenados. Em seguida, use os pontos calculados para construir os grficos dessasfunes.

a) y = 2x 3 b) fx = 2x + 1 c) fx = x3 + 2

3) Considere a funo do 1 grau definida por fx = x + 32 .a) O ponto 1,1 pertence ao grfico da funo? Por qu?b) Determine o coeficiente angular da reta que o grfico da f. Qual o significado desse

valor?c) Determine o coeficiente linear do grfico da f. O que significa esse valor?d) Determine os pontos de interseco do grfico da f com os eixos coordenados.e) Use os pontos determinados em (d) e construa o grfico da f.

4) Identifique pontos pertencentes reta representada no grfico a seguir e, com isso,determine a equao da funo correspondente.

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7-1

1

2

3

x

y

5) Considere a funo do 1 grau Hx = x2 + 1.a) Determine o ponto de interseco do grfico da H com o eixo dos x.b) Determine a equao da reta r que passa pelo ponto obtido em (a) e paralela ao eixo

dos y.c) Determine o ponto de interseco do grfico da H com o eixo dos y.d) Determine a equao da reta s que passa pelo ponto obtido em (c) e paralela ao eixo

dos x.e) Construa, no mesmo sistema cartesiano, os grficos de H, r e t.

6) Construa apenas a parte positiva do grfico da funo fx = 3x + 13 .

7) Se y = fx uma funo do 1 grau, f1 = 5 e f 15 = 1, determine a equao quedefine a funo f.

5

8) Para produzir cada objeto que vende, uma empresa gasta R$ 5, 00 e, independentementeda quantidade produzida, h uma despesa fixa de R$ 21. 000, 00. Sabendo que o preo devenda desse objeto R$ 8, 00, qual o nmero de objetos que devem ser produzidos paraque a empresa comece a obter lucro?

Ateno! Voc pode encontrar mais alguns exerccios que envolvem funo do 1 grau nolivro indicado na Bibliografia Bsica (Demana, p. 92 e 93).

Algumas respostas:

(1)

-3 -2 -1 1 2 3

-5-4-3-2-1

12345

x

y

(2)

-6 -4 -2 2 4

-5-4-3-2-1

12345

x

y

(a) com eixo dos x: 32 , 0 com eixo dos y: 0,3(b) com eixo dos x: 12 , 0 com eixo dos y: 0, 1(c) com eixo dos x: 6, 0 com eixo dos y: 0, 2

(3) O grfico de f uma reta.(b) o coeficiente angular m = 12 ; isto significa que fx diminui

12 sempre que x

aumenta 1 unidade.(c) o coeficiente linear b = 32 ; isto significa que o ponto de interseco do grfico da f

com o eixo y, das ordenadas, 0, 32 .(d) interseco com o eixo dos x: 3, 0

interseco com o eixo dos y: 0, 32

(4) y = 13 x +13

6

(5)(a) 2, 0 (b) x = 2 (c) 0, 1 (d) y = 1

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

x

y

(6)

-3 -2 -1 1

2

4

6

x

y

(7) fx = 5x

-4 -2 2 4

-20

-10

10

20

x

y

(8) 7001 objetos

7