FUNÇÕES GERADORAS(continuação – aula de 04.10.2011)

Preste muita atenção para a seguinte demonstração e, sobretudo, no resultado final. Para começarmos, vamos lembrar que:

(Nr )= N !r ! .(N−r)!

Desenvolvendo, temos:

(Nr )=N .(N−1) .(N−2)...(N−r+1)

r !

Para chegar no resultado que nos interessa, vamos substituir N=−n para termos o seguinte:

(−nr )=(−n−1) .(−n−2) ...(−n+r−1)r !

Colocando (-1) em evidência, obtemos:

(−1)r . (n+1) .(n+2) ...(n−r+1)r !

que é igual à seguinte expressão em fatoriais:

(−1)r . (n+1) !r ! .(n−1)!

E assim chegamos no importante resultado para o estudo das funções geradoras:

(n+r−1r )=(−1)r .(−nr )

Agora, vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1:Sendo xi ≥ 1 (i = 1 e 2), quantas soluções existem na equação

2x1 + x2 ? resolução:

Note que para 2x1 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências

(x2 + x4 + x6 + …)

Por sua vez, para x2 = {1, 2, 3,...} teriamos as seguintes potências

(x1 + x2 + x3 + …)

Também, devemos lembrar que

11−x

= 1 + x + x2 + x3 + ...

Pois nos permite estender como podemos verificar nos seguintes exemplos:

11−x2

= 1 + x2 + x4 + x6 + …

11−x3

= 1 + x3 + x6 + x 9+ ...

11−x4

= 1 + x4 + x8 + x12 + …

Em assim por diante, de maneira que podemos chegar na seguinte expressão geral:

1(1−x p)n

=Σ r(n+r−1r ) . xrp

Por exemplo:

¿

1(1−x )2

=Σ r=0(−2r ) .(−1)r .xnE usando o importante resultado obtido inicialmente, temos:

¿

1(1−xa)b

=Σ r=0(−br ).(−1)r . xa.n=(b+r−1r )Agora, voltando no exercício 2x1 + x2, temos:

(x2 + x4 + x6 + …).(x1 + x2 + x3 + …)

E para resolver, usamos os resultados que já sabemos:

11−x2

= 1 + x2 + x4 + x6 + …

Passamos o número 1 para o outro lado para chegarmos na seguinte expressão:

(x2 + x4 + x6 + …) = 11−x2

- 1 = x2

1−x2

Da mesma maneira, fazemos:

(x+x 2+x3+...) = x3.(1+x)(1−x2).(1−x2)

= x3.(1+x)

(1−x2)2=

= ¿

(x3+x4).Σ r=0(−2+r−1r ). x2.r =

= (x3+x4).[(10 )+(21) . x2+(32) . x4+(43 ) . x6 ...] =

= (x3+x4).(1+2x2+3x4+4x6+5x8+...)

Agora, note bem na relação dos expoentes de 'x' com os coeficientes do polinômio obtido:

Expoentes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...Coeficientes 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 ...

A partir desse momento, podemos obter a solução para diversos resultados da equação dada. Vejamos alguns exemplos:

Para 2x1 + x2 = 11, basta verificar que na tabela ao expoente 11 corresponde o

coeficiente 5. Portanto, são 5 soluções possíveis, que podemos enumerá-las da seguinte maneira: 2 + 9, 4+ 7, 6 + 5, 8 + 3, e, por último, 10 + 1, totalizando as 5 soluções indicadas pela tabela.

Por sua vez, para 2x1 + x2 = 10, basta verificar que na tabela ao expoente 10 corresponde o coeficiente 4. Portanto, são 4 soluções possíveis, que podemos enumerá-las da seguinte maneira: 2 + 8, 4 + 6, 6 + 4 e, finalmente, 8 + 2, totalizando as 4 soluções indicadas pela tabela.

Agora, vamos resolver outro problema usando o mesmo método das 'funções geradoras'.

Exemplo 2:

Sendo x1,2 ≥ 1 e y3 = {0, 2}, quantas soluções existem na equação 4x1 + 2x2 + y3 ? resolução:

Note que para 4x1 = {4, 8, 12,...} teriamos as seguintes potências (x4 + x8 + x12 + …) =

x4

1−x4

Enquanto para 2x2 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências (x2 + x4 + x6 + …) =

11−x2

- 1 = x2

1−x2

Por fim, para y3 = {0,2} teriamos (1+x2) .

Agora, multiplicando essas três partes, teriamos:

x4

1−x4. x2

1−x2. (1+x2) = x6.(1+ x2)

(1− x4) .(1− x2)=

= x6.(1+x2)(1−x2).(1+x2).(1−x2)

= x6

(1−x2)2=

= x6 . 1(1−x2)2

= x6.Σ r(2+n−1r ) . x2r =

= x6 .[(10)+(21 ) . x2+(32 ) . x4+(43 ) . x6 ...] =

= x6.(1+2x2+3x4+4x6+5x8+...)

E chegariamos na tabela que relaciona 'expoente' com 'coeficiente' seguinte:

Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...Coeficientes 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 ...

Assim, para 4x1 + 2x2 + y3 = 10, basta verificarmos a tabela para verificar que para o expoente 10 o número de soluções são 3, que poderiamos confirmar pela seguinte enumeração (1,3,0), (1,2,1) e (2,1,0).E assim resolvemos esse exercício através do método das 'funções geradoras'.

Mais exemplos:

Podemos explorar o mesmo exercício que acabamos de resolver, por exemplo, fazendo com que y3 ={0,1,2,3}, ao qual corresponderia o polinômio

(1+x+x2+x3) . Aproveitando a resolução já feita, chegaríamos na

seguinte expressão:

x6

(1−x4).(1−x2). (1+x+x2+x3) =

= x6

(1−x4).(1−x2). [(1+x2)+x.(1+x2)] =

= x6

(1−x4).(1−x2). (1+x2).(1+x) =

= x6.(1+x2).(1+x)(1+x2).(1−x2).(1−x2)

=

= (1+x ). x6

(1−x2)2,

Usando alguns resultados do exercício anterior, obtemos a seguinte tabela 'expoente-coeficiente':

Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...Coeficientes 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 ...

Que nos proporciona diversas soluções, conforme já explicado pela correspondência entre os expoentes e os coeficientes.

Porém, vamos para mais um exemplo usando o mesmo exercício sendo que agora y3

= {0,1}, que corresponde ao polinônio (1+x) . Aproveitando os resultado anteriores, chegaríamos à seguinte expressão:

x6

(1−x4).(1−x2). (1+x) = x6

(1−x4).(1−x)=

= x6.(1+x4+x8+x12+...).(1+x+x2+x3+...)

E, mais uma vez, montariamos a tabela de 'expoentes-coeficientes' seguinte:

Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ...1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .... . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .... . . . . . . . 1 1 1 1 1 .... . . . . . . . . . . . 1 ...

Coeficientes 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 ...

Assim poderiamos ter diversas soluções, por exemplo, para 4x 1+2x2+y3 = 10 teriamos 2 soluções, que seriam (1,2,0) e (2,1,). Já para 4x 1+2x2+y3 = 12, teriamos também 2 soluções, que seriam (1,4,0) e (2,2,0). Por fim, para 4x1+2x2+y3 = 14, teriamos 3 soluções, que seriam (1,5,0), (2,3,0) e (3,1,0) ●

Prof. Dr. Stefano De LeoAula de 4 de outubro de 2011

Matemática Discreta – MA 200-Z -IMECC – Unicamp