FUNÇÕES EXPONENCIAIS & FUNÇÕES …...... Esboce o gráfico de N como função de t: N = f(t)....
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Instituto Federal da Bahia - IFBA
Campus de Barreiras
Material de Estudo
Turmas 721 & 722
FUNÇÕES EXPONENCIAIS &FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 1
Prof. Valdex Santos
7 de fevereiro de 2011
1 c©V.S. - Disponivel em waldexifba.wordpress.com.
Matemática 1a série Volume 3
3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 AS POTÊNCIAS E O CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: A FUNÇÃO EXPONENCIAL
!?
Suponhamos que no país X a produção de determinado alimento foi igual a uma tonelada no final do ano de 2000. Devido a incentivos econômicos, essa produção passou a triplicar anualmente a partir daquele momento.
Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir.
Ano Produção P (em toneladas) Potência correspondente
2000 1 30
2001 3 31
2002 9 32
2003 27 33
2004 81 34
2005 243 35
2006 729 36
2007 2 187 37
2008 6 561 38
2009 19 683 39
... ... ...
2015 14 348 907 315
2000 + n 3n
Leitura e Análise de Texto
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A regularidade da multiplicação pelo fator 3, a cada ano, conduz naturalmente à representação da produção correspondente de modo simplificado, por meio de uma potência de 3. Observe que a cada aumento em uma unidade no ano, a produção em toneladas é multiplicada por 3. Ao acompanhar a tabela, concluise que n anos após o ano de 2000 o valor da produção P será 3n toneladas.
VOCÊ APRENDEU?
1. Tomando a situação descrita pela tabela apresentada na seção Leitura e Análise de Texto, como você representaria a produção P do país X meio ano após o início da produção? E quatro anos e três meses após o início do processo?
2. Uma população N de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 . 3t, sendo t em horas.
a) Indique e calcule o valor de N para os seguintes valores de t:
I. t = 2 h III. t = ª 2 __ 3 º h II. t = 0,5 h IV. t = 1,25 h
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b) Esboce o gráfico de N como função de t: N = f(t). (Estabeleça uma escala apropriada no eixo y.)
3. Em determinado país X, a produção de automóveis cresce em progressão geométrica, ano após ano, a partir do início do ano de 2000, tendo aumentado 50% ao ano desde então. Sabendose que em 2004 foram produzidos 162 000 automóveis, perguntase:
a) Qual foi a quantidade produzida no ano de 2000?
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b) Qual é a produção estimada para o ano de 2010?
4. Para analisar a função exponencial y = ax, ou seja, f(x) = ax, para a > 0 e a ≠ 1, para todo número real, construímos, a seguir, uma tabela com diversos valores de x e os valores correspondentes de f(x) para alguns valores de a. Preencha os espaços em branco da tabela.
x 2x 3x ª 1 __ 2 º x
ª 1 __ 3 º x
1 2 1 __ 2
2 22 = 4 ª 1 __ 3 º 2 = 1 __ 9
3 23 = 8 33 = 27 ª 1 __ 2 º 3 = 1 __ 8
0 30 = 1 ª 1 __ 2 º 0 = 1
–3 3–3 = 1 ___ 33 = 1 ___ 27 ª 1 __ 3 º
–3 = 33 = 27
1 __ 2 2 1 __ 2 = ®
__ 2 ≅ 1,41 ª 1 __ 2 º
1 __ 2 = ® ___
1 __ 2 = 1 ____
® __
2 0,71≅
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5. Tendo como base os valores obtidos na tabela apresentada na atividade anterior, vamos esboçar os gráficos das funções exponenciais a seguir, observando o crescimento ou o decrescimento em cada caso. Para isso, construa os gráficos das funções I e II em um mesmo sistema de eixos. Faça o mesmo para as funções III e IV. Divida o seguinte papel milimetrado em duas partes, uma para cada par de gráficos.
I. y = 2x II. y = ª 1 __ 2 º x III. y = 3x IV. y = ª 1 __ 3 º
x
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• Quandox aumenta uma unidade a partir de qualquer valor, ax é multiplicado por a. De fato, ax + 1 = ax . a, ou seja, para cada unidade a mais no valor de x, o valor de ax crescerá ou decrescerá, dependendo apenas do valor de a.
• Sendoa> 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax também aumenta, ou seja, a função f(x) = ax é crescente.
• Sendo0< a < 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax diminui, ou seja, a função f(x) = ax é decrescente.
PESQUISA INDIVIDUAL
Construção de gráficos com auxílio de um software
Alguns softwares livres, como o Graphmatica ou o Winplot, podem ser utilizados para construir gráficos de funções de vários tipos. Veja a seguir, como exemplo, o gráfico das funções exponenciais y = 5x e y = ª ®
____ 125 º
x, desenhado com o auxílio do Graphmatica.
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0 1–1–2 2 x
y
y = 5xy = ( ® ____
125 )x
Para aprofundar o estudo dos gráficos das funções exponenciais, procure “baixar” da internet um software específico para a sua construção ou, se possível, utilize o espaço da sala de informática de sua escola. Com o auxílio de um desses softwares, desenhe os gráficos e, em seguida, responda às questões apresentadas.
Quadro-resumo
Analisando as tabelas e os gráficos podemos observar que:
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1. Desenhe os gráficos das seguintes funções e escreva o que você observou.
I. f(x) = ª 1 __ 2 º x II. f(x) = (2)–x
2. Desenhe os gráficos das seguintes funções em um mesmo sistema de eixos na malha a seguir:
I. f(x) = 3x III. f(x) = 32x
II. f(x) = ª 1 __ 3 º x IV. f(x) = 3–0,5x
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a) Escreva cada uma das funções na forma y = (ak)x, com a > 0 e a ≠ 1, identificando o valor de k.
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b) Analisando os gráficos das funções, identifique quais delas são crescentes ou decrescentes.
c) Verifique, com base nos itens a e b, que, de modo geral, dada uma constante k, o gráfico de uma função do tipo f(x) = akx, com a > 0 e a ≠ 1, pode ser obtido imaginandose o gráfico de y = (ak)
x. Dependendo do valor de k, a função poderá ser crescente ou decres
cente. Sendo a > 1, quando k é positivo, a função é crescente; quando k é negativo, a função é decrescente.
Quadro-resumo
Assim, considerando a função exponencial f(x) = ª 1 __ 2 º x, e notando que 1 __ 2 = 2–1, podemos
escrever que: f(x) = ª 1 __ 2 º x= 2(–1)x = 2–x. De modo geral, sendo 0 < a < 1, então 1 __ a > 1, ou seja,
toda função exponencial f(x) = ax decrescente pode ser representada na forma f(x) = ª 1 __ a º –x
.
Observamos tal fato no gráfico a seguir:
y = 2–x y = 3–x y = 5–x y = 3xy = 5x y = 2x
3
12
6
15
21
9
18
24
– 4 –3 –2 –1 0 1 32 4
y
x
LIÇÃO DE CASA
1. A população N de determinado município cresce exponencialmente desde a sua fundação, há 20 anos, de acordo com a expressão N = 3 000 . 100,1t, sendo t em anos. Calcule:
a) O valor de N quando o município foi fundado (t = 0).
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b) O valor de N dez anos após a fundação.
c) O valor de N nos dias atuais.
d) Depois de quanto tempo, após a fundação, a população atingirá a marca de 3 000 000 de habitantes se o ritmo de crescimento permanecer.
e) Depois de quanto tempo, após a fundação, o valor de N atingirá 600 000.
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 QUANDO O EXPOENTE É A QUESTÃO, O LOGARITMO É A SOLUÇÃO: A FORÇA DA IDEIA DE LOGARITMO
!?
A ideia de logaritmo: mais viva e importante do que nunca
Os logaritmos foram criados no início do século XVII com o objetivo de simplificar cálculos. Se comparada com o período atual, aquela era uma época com poucos recursos tecnológicos, em que os cálculos eram realizados com parcos instrumentos e eram muito trabalhosos, sobretudo os referentes à navegação. Quando surgiram, a principal característica e a grande vantagem dos logaritmos era simplificar os cálculos de um modo facilmente compreensível.
Hoje, no entanto, existem muitos instrumentos disponíveis para efetuar os mais intrincados cálculos: das calculadoras eletrônicas aos computadores (com preços cada vez mais acessíveis). Para que, então, estudar logaritmos?
A história da Matemática, quando o assunto é logaritmo, revelanos uma surpresa especial. A despeito de seu enorme sucesso no século XVII, hoje, em pleno século XXI, os logaritmos são mais importantes do que foram no momento de sua criação. Já não precisamos mais deles para simplificar os cálculos, mas seu significado e a força de sua linguagem tornaramse fundamentais para a expressão e a compreensão de fenômenos em diferentes contextos, alguns deles surgidos em pleno século XX: nas medidas da intensidade sonora, da energia destruidora dos terremotos, do índice de acidez de um líquido, da rapidez com que uma substância radioativa desintegrase, etc. Sem dúvida, hoje, mais do que ontem, é fundamental aprender logaritmos.
Para iniciar nosso percurso na aprendizagem dos logaritmos, retornaremos, no entanto, à problemática inicial: a simplificação dos cálculos.
Simplificação de cálculos: uma ideia brilhante do século XVII
Para compreender o significado dos logaritmos quando surgiram, imaginemos a seguinte situação: calcular o valor de E indicado na expressão a seguir.
E = 5 ® ____________________
381,5 . (20,87)3 . (4 182)4 ____________________
(7,935)2
Leitura e Análise de Texto
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Para realizar as operações indicadas sem dispor de uma calculadora, o trabalho braçal é imenso. Uma simplificação muito interessante foi elaborada por alguns matemáticos no início do século XVII, entre os quais o inglês Henry Briggs (15611630) e o escocês John Napier (15501617). Cada um propôs uma alternativa a seu modo, mas a ideia central subjacente era a seguinte:
• é possível escrever qualquer número positivo N como uma potência de 10: N = 10n;
• assimprocedendo,o cálculodeumamultiplicação se transformano cálculodeuma adição (dos expoentes); o cálculo de uma divisão se transforma no cálculo de uma subtração (dos expoentes); o cálculo de uma raiz se transforma no cálculo de uma divisão (do expoente pelo índice do radical), e assim por diante.
Na expressão E apresentada anteriormente, se pudermos escrever
381,5 = 10a 20,87 = 10b 4 182 = 10c 7,935 = 10d
conhecendo os valores de a, b, c e d e usando apenas propriedades da potenciação, podemos afirmar que o valor será:
E = 10 (a + 3b + 4c – 2d) _______________
5
A chave da questão é a representação de qualquer número positivo N como 10n, o que é fácil quando se tem N igual a 10, 100, 1 000, 10 000, etc., mas já não parece tão simples para valores de N como 2, 17, ®
____ 537 , 30, 200 ou 1 932,5, por exemplo.
Não é simples, mas é possível. Esse é o grande mérito dos matemáticos que investiram nesse terreno. A possibilidade de se escrever N como 10n é equivalente à afirmação de que é possível calcular o valor da potência 10x para qualquer número real x e não apenas para os valores inteiros de x.
Pois bem, quando escrevemos N = 10n e nos preparamos para simplificar, daqui para frente, os cálculos envolvendo tal número, estamos entrando na seara dos logaritmos.
Se N = 10 n, então o expoente n é chamado “logaritmo de N”: n = log N.
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VOCÊ APRENDEU?
1. Para a familiarização com a linguagem, calcule os logaritmos dos números abaixo, seguindo o modelo apresentado nos itens a e f:
a) Sendo N = 100 = 102, então o logaritmo de N é 2: log 100 = 2.
b) Sendo N = 10 = 101,
c) Sendo N = 1 = 100,
d) Sendo N = ® ___
10 = 10 1 __ 2 ,
e) Sendo N = 0,01 = 10–2,
f ) Sendo N = 13, como 101 < 13 < 102, então o logaritmo de N é um número n tal que 1 < n < 2; assim, 1 < log 13 < 2.
g) Sendo N = 3,22,
Sendo N menor ou igual a zero, então N não tem logaritmo, pois 10n é sempre positivo, para todo n.
Atenção!
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Leitura e Análise de Texto
Tabelas de logaritmos
Para facilitar os cálculos, tal como era sugerido pelos criadores dos logaritmos, foram criadas longas tabelas contendo uma lista dos valores de N e do logaritmo correspondente, representado por log N. Tais tabelas (tábuas de logaritmos) eram disponibilizadas para os calculadores e constituíram algo que se assemelha aos modernos softwares de hoje.
N (N = 10n) n (n = log N)
10 000 4
6 000 3,77815
3 000 3,47712
2 000 3,30103
1 000 3
600 2,77815
300 2,47712
200 2,30103
100 2
60 1,77815
30 1,47712
20 1,30103
10 1
6 0,77815
3 0,47712
2 0,30103
1 0
Os valores apresentados foram escolhidos como exemplos, mas são sugestivos de certas regularidades existentes em uma tabela de logaritmos.
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Por exemplo, como a razão 3 000 _____ 300 é igual a 10, a diferença entre seus logaritmos deve ser igual a 1, ou seja, eles têm a mesma parte decimal, diferindo apenas na parte inteira. O mesmo acontece com os logaritmos de 300, de 30 e de 3.
Também notamos que, como 6 = 2 . 3, então log 6 = log 2 + log 3 = 0,30103 + + 0,47712 = 0,77815.
Fatos assim constituem indícios de que não é necessário colocar na tabela os logaritmos de todos os números, o que seria impossível. Tabelandose os logaritmos de alguns números, por exemplo, os naturais de 1 a 10 000, os demais podem ser calculados aproximadamente a partir deles.
Observações sobre a tabela de logaritmos (ou tábua de logaritmos)
1. Se na tabela aparecem apenas os números naturais de 1 a 10 000, não vamos encontrar nela, por exemplo, 381,5. Entretanto, sabemos que seu logaritmo situase entre 2 e 3 e que sua parte decimal é a mesma de 3 815. Assim determinamos o logaritmo de 381,5.
2. A construção de uma tabela é um processo longo e trabalhoso. Os logaritmos dos números que não são potências inteiras da base são números irracionais e, na prática, são expressos em termos aproximados, com um número fixo de casas decimais.
Acompanhe os passos do exemplo a seguir:
• o logaritmo de 1 é 0;
• o logaritmo de 10 é 1;
• para preencher as lacunas entre 1 e 10, podemos extrair a raiz quadrada de 10;
• como® ___
10 = 10 1 __ 2 , segue que log ®
___ 10 = 0,5;
• extraindo a raiz quadrada da raiz quadrada de 10, temos o log 4 ® ___
10 = 0,25;
• de modo geral, sendo A e B dois números cujos logaritmos conhecemos, extraindo a raiz
quadrada de A . B, temos log ® ___
AB = 1 __ 2 · (log A + log B);
• assim, com paciência, as lacunas entre as potências inteiras podem ser preenchidas.
As tábuas de logaritmos são um instrumento de importância histórica, mas sem interesse no presente, uma vez que dispomos de muitos outros instrumentos para calcular logaritmos.
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VOCÊ APRENDEU?
1. Existem métodos de cálculo para os logaritmos dos números que não são potências inteiras de 10. Tais valores (aproximados, pois são números irracionais) podem ser obtidos por meio de calculadoras (ou encontrados em tabelas de logaritmos) e estão disponíveis para o uso de todos. Como sabemos, os números entre 1 e 10 têm logaritmos entre 0 e 1. Em uma calculadora científica, obtemos: log 2 ≅ 0,30 (ou seja, 2 ≅ 100,30) e log 3 ≅ 0,47 (ou seja, 3 ≅ 100,47 ). Com base nesses valores aproximados, calcule:
a) log 6 d) log 12
b) log 9 e) log 72
c) log 4 f ) log 3 600
LIÇÃO DE CASA
1. A população de certa região A cresce exponencialmente de acordo com a expressão NA = 6 000 . 100,1t (t em anos). Em outra região B, verificase que o crescimento da popula ção ocorre de acordo com a fórmula NB = 600 . 100,2t (t em anos). De acordo com esses modelos de crescimento, responda às questões a seguir.
a) Qual é a população inicial de cada uma das regiões?
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b) Depois de quantos anos, a partir do instante inicial, as duas regiões terão a mesma população?
c) Qual é a população de cada uma das regiões 15 anos após o instante inicial?
(Dado: 10 3 __ 2 ≅ 31,62.)
Logaritmos em qualquer base: significado e aplicações
Já vimos que é possível escrever cada número positivo N como uma potência de 10: se N = 10n, então n = log N.
Na verdade, podese escrever cada número positivo N como uma potência de uma base a (a > 0 e a ≠ 1) que não necessita ser igual a 10.
De modo geral, se N = an, então dizemos que n é o logaritmo de N na base a e escrevemos: n = loga N.
Por exemplo, como 16 = 24, dizemos que 4 é o logaritmo de 16 na base 2 e escrevemos: 4 = log2 16.
Leitura e Análise de Texto
Potência Logaritmo
8 = 23 3 = log2 8
625 = 54 4 = log5 625
9 = 81 1 __ 2 1 __ 2 = log81 9
3 = 81 1 __ 4 1 __ 4 = log81 3
1 ___ 32 = 2−5 –5 = log2 ª 1 ___ 32 º
3 ® __
7 = 7 1 __ 3 1 __
3 = log7
3 ® __
7
1 ____ ®
__ 5 = 5
– 1 __ 2 – 1 __ 2 = log5 1 ____
® __
5
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VOCÊ APRENDEU?
1. Calcule os logaritmos indicados a seguir:
a) log2 128 e) log2 ª 1 ____ 256
º
b) log3 81 f ) log3 ª 1 ____ 243
º
c) log13 169 g) log169 13
d) log5 3 125 h) log125 25
Quando a base escolhida para expressar um número N como uma potência é igual a 10, convencionase que ela pode ficar subentendida; se optarmos por outra base a, diferente de 10, somos obrigados a registrála. Assim, log N representa o logaritmo de N na base 10, também chamado logaritmo decimal de N; já o logaritmo de N em qualquer outra base a deverá ser escrito: loga N.
Potência Logaritmo
N = N1 1 = logN N
1 = 170 0 = log17 1
N = a7 7 = loga N
N = 13a a = log13 N
x = 3n n = log3 x
x = y z z = logy x
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2. Se um número N situase entre an e an + 1, então loga N situase entre os inteiros n e n + 1. Com base nesse fato, indique dois inteiros consecutivos entre os quais se situam os logaritmos a seguir:
a) log2 52 b) log3 300 c) log7 400 d) log5 813
(Observação: você pode indicar a resposta usando a notação dos logaritmos, sem precisar calculálos.)
3. Uma população N de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 . 3t, sendo t em horas. Indique o valor de t para o qual se tem:
a) N = 15 000 c) N = 250 000 e) N = 470 000
b) N = 25 000 d) N = 350 000
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LIÇÃO DE CASA
1. A partir de um valor inicial igual a 1 000, certa população P1 de bactérias dobra a cada meia hora, ou seja, P1 = 1 000 . 22t (t em horas). Simultaneamente, partindo de um valor inicial oito vezes maior, outra população P2 de bactérias cresce mais lentamente que P1, dobrando de valor a cada duas horas, ou seja, P2 = 8 000 . 20,5t (t em horas).
Perguntase:
a) Em que instante t as duas populações terão o mesmo valor?
b) Em que instante t a população P1 será oito vezes maior que a população P2?
c) Quais serão os valores de P1 e P2 quando t = 3?
(Utilize o valor aproximado 2 3 __ 2 = 2,83.)
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2. Certa substância radioativa decompõese de forma que sua massa m reduzse à metade do valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo . 2
–0,25t, sendo mo o valor inicial da massa. Partindose de 60 gramas da substância, perguntase:
a) Qual será a massa restante após 8 horas?
b) Após quanto tempo a massa restante será igual a 12 gramas?
(Utilize o valor aproximado 5 ≅ 22,32.)
Logaritmos: propriedades fundamentais em qualquer base
Já vimos que os logaritmos nada mais são que expoentes. Suas propriedades mais fundamentais decorrem das correspondentes propriedades das potências.
Quem afirma, por exemplo, que para multiplicar potências de mesma base mantémse a base e somamse os expoentes, ou seja, que am . an = am + n, está simultaneamente afirmando que o expoente a que se deve elevar a base a para se obter o produto (am . an) é igual a (m + n), o que significa dizer que o logaritmo de (am . an) é igual a (m + n). Em outras palavras, o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
Podemos observar a relação entre as propriedades das potências e dos logaritmos na tabela a seguir (a > 0, a ≠ 1; m, n e k, naturais quaisquer).
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PropriedadePotências
M = am N = an
Logaritmos
m = loga M n = loga N
Produto M . N = am + n loga (M . N) = loga M + loga N
Quociente M ___ N = am – n loga ª M ___ N
º = loga M – loga N
Potência Mk = amk loga (Mk) = k . loga M
Raiz k ® ___
M = M 1 __ k = a
m ___ k loga (M 1 __ k ) = 1 __
k · loga M
Tais propriedades são válidas para qualquer base a em que estamos calculando os logaritmos. As propriedades relativas a potências também podem ser estendidas para qualquer expoente real k.
Para a determinação dos logaritmos na base 10, ou seja, dos logaritmos decimais, existem tabelas construídas desde o século XVII, por meio de aproximações sucessivas. Atualmente, podemos obter os logaritmos utilizando calculadoras eletrônicas científicas.
Uma vez construída uma tabela de logaritmos para uma determinada base, por exemplo, a base 10, podemos determinar o logaritmo de um número N em qualquer outra base por meio de um procedimento simples, descrito a seguir:
• temosologaritmodeN na base 10, que é igual a n, ou seja, N = 10n;
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VOCÊ APRENDEU?
1. Estabelecendose que log 2 = 0,30103, calcule:
a) o logaritmo de 10 na base 2;
• queremosologaritmodeN em outra base a, ou seja, queremos saber o valor de m tal que N = am;
• comoN= 10n = am, conhecendo o logaritmo da nova base a, ou seja, sabendo o valor de k tal que a = 10k, podemos escrever:
N = 10n = am = (10k)m, de onde segue que 10n = 10km, e, então, m = nk
;
• ouseja,empalavras:
logaritmo de N na base a = logaritmo de N na base 10
_____________________ logaritmo de a na base 10
;
• emnotaçãosimbólica,temos:
loga N = log N
_____ log a
• comumprocedimentoanálogo,poderíamosobteraexpressãoquepermiteamudança de uma base conhecida a para uma nova base b:
logaritmo de N na base b = logaritmo de N na base a _____________________
logaritmo de b na base a ;
logb N = loga N ______ loga b
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b) o logaritmo de 5 na base 10;
c) o logaritmo de 5 na base 2;
d) o logaritmo de 64 na base 5.
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Logaritmos: uma linguagem sugestiva em diferentes contextos
O contexto em que surgiram os logaritmos era o de simplificação de cálculos no início do século XVII. Tal significado prático não é, hoje, especialmente relevante diante dos inúmeros recursos tecnológicos disponíveis para isso. No entanto, a relevância dos logaritmos permaneceu e é possível afirmar que ela aumentou. Como explicar tal fato?
A força da ideia de logaritmo provém do fato de que os logaritmos são expoentes, que podem ser utilizados para simplificar cálculos, mas que também são especialmente adequados para representar de modo sugestivo grandezas de valores muito grandes, como a energia liberada por ocasião dos terremotos, ou muito pequenas, como a quantidade de íons de hidrogênio livres em um líquido. A expressão das grandezas correspondentes a esses fenômenos por meio de potências de 10 torna os números envolvidos menores (de 0 até por volta de 9 graus na escala Richter e de 0 a 14 na indicação do pH). Como se sabe, a água tem pH igual a 7, a acidez de um líquido é tanto maior quanto menor é seu pH, entre 0 e 7, e o caráter básico, que se opõe ao ácido, significando menos H+ por litro, aumenta quanto mais o pH se aproxima de 14.
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VOCÊ APRENDEU?
1. A energia liberada por ocasião de um terremoto pode ser muito grande, sendo frequentemente expressa por uma potência de 10. Para medir o potencial destrutivo de um terremoto, utili zase a escala Richter, que leva em consideração apenas o expoente da potência considerada em cada caso. Esse expoente indica a magnitude do terremoto. Existem aparelhos apropriados para medir tal magnitude: são os sismógrafos. A tabela a seguir registra o local, o ano de ocorrência e a magnitude de alguns terremotos que ficaram famosos pelos estragos produzidos.
Local Ano de ocorrência Magnitude
Los Angeles 1994 6,6
Cidade do México 1985 8,1
Chile 1960 8,3
ExUnião Soviética 1952 8,5
Ilha de Krakatoa 1883 9,9
Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões:
a) Um terremoto de 8 graus na escala Richter é potencialmente quantas vezes mais destrutivo do que um terremoto de 4 graus?
Matemática 1a série Volume 3
29
b) Um caminhão muito pesado passou pela rua e produziu um pequeno tremor. Um sismógrafo registrou 2,5 graus na escala Richter. Se 4 caminhões passarem juntos pela rua, podemos afirmar que o tremor correspondente será de 10 graus?
2. Para caracterizar a acidez de um líquido, usase um indicador chamado pH (potencial hidrogeniônico). O pH indica a quantidade aproximada de íons H+ que se encontram livres no líquido, indicando a concentração (quantidade por unidade de volume) de tais íons. A própria água (H2O) tem íons H+ livres: são relativamente poucos, mas existem. Há, na água, cerca de 1 íongrama de H+ para cada 107 litros. Em uma limonada existem mais íons H+ livres: digamos, 1 íongrama para cada 102 litros. Em alguns líquidos há menos íons H+ do que na água: no leite de magnésia, por exemplo, há cerca de 1 íongrama de H+ para cada 1010 litros. Dizemos que o pH da água é 7, o pH da limonada é 2, e o pH do leite de magnésia é 10. A escala do pH varia de 0 a 14, situando a água bem no meio. Os líquidos com pH entre 0 e 7 têm caráter ácido; os que têm pH entre 7 e 14 têm caráter básico. Para combater a acidez estomacal, por exemplo, costumase ingerir uma colher de leite de magnésia.
A tabela a seguir apresenta os valores aproximados do pH de alguns líquidos.
Líquido pH
Ácido sulfúrico 0,1
Suco de laranja 3,0
Café 5,0
Leite 6,9
Água 7,0
Sangue humano 7,4
Água do mar 8,2
Leite de magnésia 10,0
Matemática 1a série Volume 3
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Com base nas informações apresentadas, responda às seguintes questões:
a) O que significa dizer que determinado líquido tem pH igual a 6?
b) Se um líquido tem 1 íongrama de H+ para cada 100 litros, qual é o seu pH?
c) Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem mais ou menos íons de hidrogênio livres do que a água? Quantas vezes?
d) Qual é a diferença entre os valores do pH de dois líquidos, um deles com mil vezes mais íons H+ livres do que o outro?
Matemática 1a série Volume 3
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Observação!
Como na atividade anterior, tudo o que se exige aqui, além da ideia de logaritmo como expoente, é a competência leitora. A escala de pH também é logarítmica, ou seja, os valores são expoentes. Mas como se trata de números pequenos, uma vez que a quantidade de íons H+ por litro é pequena, os expoentes encontramse no denominador:
• aáguatem1íon-gramadeH+ para cada 107 litros, ou seja, a razão é 1 ____ 107 e dize
mos que seu pH é 7;
• umácidotemmaisíons-gramadeH+; por exemplo, tem 1 para cada 103 litros, ou
seja, a razão é 1 ____ 103 e dizemos que seu pH é 3;
• jáumlíquidobásicotemmenosH+; por exemplo, tem 1 para cada 1012 litros, ou
seja, a razão é 1 ____ 1012 e dizemos que seu pH é 12.
A escala de pH varia, então, de 0 a 14, situandose a água em seu ponto médio.
LIÇÃO DE CASA
1. O ouvido humano é muito versátil e percebe sons de uma gama de intensidade muito ampla. A intensidade sonora é a medida da energia transportada pelas ondas por segundo e por unidade de área (perpendicular à direção da propagação).
Entre o som de baixa intensidade, quase inaudível, e o ruído que produz dor nos ouvidos, a intensidade varia em uma escala que vai de 1 a 1012. Para medir a intensidade sonora, utilizase apenas o expoente correspondente a cada intensidade. Ele corresponde ao número de béis (plural de bel, unidade escolhida em home nagem ao físico Alexandre Graham Bell). Assim, se ao som fracamente audível corresponde 0 bel, ao som que produz dor corresponderão 12 béis. Como o bel revelouse uma uni dade muito grande para distinguir os diversos níveis de som, em situações práticas costumase usar o decibel, que corresponde à décima parte do bel.
A tabela a seguir registra as intensidades sonoras correspondentes a algumas situações cotidianas.
Matemática 1a série Volume 3
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Tipo de somIntensidade (watt/m2)
Números proporcionais
Medida em bel
Medida em decibel
Som fracamente audível 10–12 1 0 0
Ruído das folhas de uma árvore 10–11 10 1 10
Sussurro humano 10–10 102 2 20
Conversa comum 10–6 106 6 60
Barulho dos carros no tráfego pesado 10–5 107 7 70
Britadeira manual usada na rua 10–2 1010 10 100
Som que produz dor e dano 1 1012 12 120
Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões:
a) Um som de intensidade de 90 decibéis é quantas vezes mais forte que um de 80 decibéis?
b) Quantos decibéis correspondem a uma britadeira defeituosa, que emite som com intensidade 100% maior do que o normal (tabela)?
c) Qual é a fórmula que relaciona o número n de béis de um som com sua intensidade sonora I?
Matemática 1a série Volume 3
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d) Qual é a fórmula que relaciona o número n de decibéis de um som com sua intensidade sonora I?
PESQUISA INDIVIDUAL
Se você reparar em uma calculadora científi ca, identifi cará a tecla log. Essa tecla é utilizada para calcular o valor do logaritmo de qualquer número, só que na base 10. Com o conceito de mudança de base e com uma calculadora desse tipo, é possível calcular os logaritmos em qualquer base. Crie um procedimento para, com o uso da calculadora científi ca, determinar o valor de log 2,5 54. Crie, em folha avulsa, uma lista com 5 logaritmos com bases diferentes de 10 e use o procedimento apresentado para calcular seus valores.
Matemática 1a série Volume 3
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 AS FUNÇÕES COM VARIÁVEL NO EXPOENTE: A EXPONENCIAL E SUA INVERSA, A LOGARÍTMICA
!?
Potências e logaritmos: das tabelas às funções
Já sabemos que, ao calcular os valores da potência ax, se tivermos a < 0, algumas po
tências não poderão ser calculadas: não podemos, por exemplo, calcular a potência (– 3) 1 __ 2 ,
uma vez que não existe um número real que seja a raiz quadrada de um número negativo. Também não interessa muito o caso em que a = 1, uma vez que 1x = 1 para todo x.
Portanto, sendo a > 0 e a ≠ 1, podemos calcular a potência ax para todo x real. Isso significa que a função y = ax, ou seja, f(x) = ax está definida para todo número real x, assumindo valores sempre positivos, já que ax > 0 para todo x real.
Sabemos ainda que, sempre que aumentamos os valores de x:
•osvaloresdeax aumentam correspondentemente quando a > 1;
•osvaloresdeax diminuem correspondentemente quando 0 < a < 1.
De modo análogo, sabemos que a igualdade y = ax equivale a afirmar que x = loga y. Observemos tal fato no gráfico da função exponencial (caso a > 1):
Portanto, a cada número positivo y corresponde um número real x, que é o seu logaritmo na base a. É possível, então, estabelecer uma correspondência entre cada número positivo e seu logaritmo em uma determinada base a, ou seja, é possível definir uma função que, a cada número positivo, associa seu logaritmo. Essa função será chamada de função logarítmica e representada por f(x) = loga x.
Leitura e Análise de Texto
x = loga y
y = ax
y
x
Matemática 1a série Volume 3
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Observando o nome das variáveis:
• na função exponencial,x é a variável independente, à qual atribuímos qualquer valor real, positivo, nulo ou negativo, e y = ax é a variável dependente do valor de x, que será, no caso em questão, sempre positiva;
• na função logarítmica, a variável independente é um número positivo y, que escolhemos livremente, e a variável dependente é o logaritmo x desse número, que poderá assumir qualquer valor real, positivo, nulo ou negativo.
Temos, portanto, a função logarítmica x = loga y. Construindo o gráfico de x como função de y, situando o eixo y na horizontal, como fazemos para a variável independente, e representando os valores de x na vertical, temos o gráfico a seguir (caso a > 1):
y = ax
x
x = loga y
y
Naturalmente, se nomearmos a variável independente de x, como é usual, então a variável dependente y será tal que y = loga x, ou seja, a função logarítmica é representada por f(x) = loga x. Nessas condições, seu gráfico, no caso a > 1, é esboçado a seguir:
f(x) = loga x a > 1
x
y
Notamos, no caso a > 1, que a função exponencial f(x) = ax é crescente, bem como a correspondente função logarítmica. Representando os dois gráficos em um mesmo sistema de coordenadas, obtemos:
Matemática 1a série Volume 3
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a > 1
y = ax
y = loga x
Analogamente, no caso em que 0 < a < 1, a função exponencial de base a será decrescente, assim como a correspondente função logarítmica. Os gráficos são representados a seguir:
y = ax y = loga x
0 < a < 1
x
y
VOCÊ APRENDEU?
1. A função y = 5x – 8 estabelece que partimos de x, multiplicamos seu valor por 5 e depois subtraímos 8 de seu resultado. Para definir a função inversa de x, partimos de y, somamos 8 e
depois dividimos o resultado por 5, o que é representado por x = (y + 8) ______ 5 . Desse modo,
podemos dizer que a função y = f(x) = 5x – 8 e a função x = g(y) = (y + 8) ______ 5 são funções inversas.
Preencha com um X os parênteses cujas funções y = f(x) e x = g(y), representadas a seguir, são inversas uma da outra:
( ) y = x + 7 e x = y – 7 ( ) y = x2 (x ≥ 0) e x = ® __
y (y ≥ 0)
y
x
Matemática 1a série Volume 3
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( ) y = 3x e x = 1 __ 3 y ( ) y = 5x – 8 e x = y + 8 _____ 5
( ) y = 1 __ x (x ≠ 0) e x = 1 __ y (y ≠ 0) ( ) y = x3 e x = 3 ® __
y
( ) y = x –11 _____ 4 e x = 4y + 11 ( ) y = 3x – 1 ______ 7 e x = 7y + 1 ______ 3
2. Sabendo que as funções f(x) e g(x) são inversas uma da outra, associe, com um traço, cada função à sua respectiva inversa:
f(x) = x – 5 g(x) = 3 ® _____
x – 1
f(x) = x3 + 1 g(x) = log7 x
f(x) = 7x g(x) = 3x
f(x) = log3 x g(x) = x + 5
Observe, em cada exemplo, que f(g(x)) = x, ou seja, partindose de x, chegamos ao valor g(x); partindose de g(x) e calculando o valor de f(x) em g(x), obtemos x. O esquema a seguir traduz o que foi dito:
f(x)
g(x)
g(x) f(g(x)) = xx
f(x) e g(x) são funções inversas uma da outra
PESQUISA INDIVIDUAL
Construção de gráficos com auxílio de um software
Do mesmo modo que utilizamos os softwares Graphmatica ou Winplot para a análise das funções exponenciais, vamos usálos aqui para observar uma interessante relação entre os gráficos de funções inversas.
Vamos construir os gráficos de cada par de funções inversas apresentadas nas atividades 1 e 2 da seção Você aprendeu? e observar que cada par (m; n) de um gráfico corresponde ao par (n; m) do gráfico de sua função inversa. Observe a figura a seguir e note que pontos como (m; n) e (n; m) são simétricos em relação à reta y = x, que é bissetriz dos quadrantes ímpares:
Matemática 1a série Volume 3
38
(m; n)
(n; m)
m n
m
ny = x
y
x
No caso das funções exponencial e logarítmica, podemos concluir, então, que a cada ponto do gráfico de y = ax corresponde um ponto do gráfico de y = loga x, que é simétrico ao primeiro em relação à reta y = x. Em outras palavras, os gráficos das funções y = ax e y = loga x são simétricos em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares). Podemos observar tal fato nos gráficos a seguir:
a > 1
y = ax
y = loga x
0 < a < 1
y = ax
y = x
y = loga x
y
x
y
x
y = x
Matemática 1a série Volume 3
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De fato, se substituirmos em x = loga y o valor de y calculado em y = ax, obtemos: x = loga (a
x) = xSimetricamente, se substituirmos em y = ax, o valor x = loga y, obtemos:
y = aloga y = alogaax = ax = y
Ou seja, acontece algo similar ao que ocorre quando multiplicamos um número por k e em seguida dividimos o resultado por k: a segunda operação desfaz o que a primeira fez e retornamos ao valor inicial.
Em outras palavras, as funções f(x) = ax e g(x) = loga x são chamadas inversas uma da outra e é verdade que g(f(x)) = x e que f(g(x)) = x.
VOCÊ APRENDEU?
1. Considere as funções f(x) = 10x e g(x) = log x.
a) Esboce seus gráficos no mesmo sistema de coordenadas.
Matemática 1a série Volume 3
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b) Determine os pontos A, B, C e D dos gráficos, tais que: A = (0; f(0)), B = (1; g(1)), C = (10; g(10)) e D = (1; f(1)).
c) Use o teorema de Pitágoras e calcule o perímetro do quadrilátero ABCD.
d) Mostre que o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles.
2. Quais das seguintes funções são crescentes? Quais são decrescentes?
a) f(x) = log11 x c) h(x) = log 1 __ 3 x e) n(x) = log
3 __ 2 x
b) g(x) = ( ® ___
11 )x d) m(x) = ª 1 __ 3 º x f ) j(x) = 5–x
Matemática 1a série Volume 3
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LIÇÃO DE CASA
1. As funções exponencial e logarítmica representam padrões de crescimento/decrescimento muito distintos. Sendo a > 1, a função f(x) = ax cresce cada vez mais rapidamente, enquanto a função g(x) = loga x cresce cada vez mais lentamente. É possível compreender tal fato observando os gráficos das duas funções. Se você comparar com o padrão de crescimento da função linear y = x, vemos que a exponencial cresce mais depressa e a logarítmica cresce mais devagar.
g(x) = loga x
f(x) = ax
y
x
y = x
Na Atividade 1 da seção Você aprendeu?, você construiu os gráficos das funções f(x) = 10x e g(x) = log x. Retome os dados do problema citado para responder às questões a seguir.
a) Quando o valor da variável independente x aumenta em uma unidade, a partir de um valor qualquer x0, qual é o aumento E no valor da função f(x) = 10x?
b) Quando o valor da variável independente x aumenta em uma unidade, a partir de um valor qualquer x0, qual é o aumento L no valor da função g(x) = log x?
Matemática 1a série Volume 3
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c) O que acontece com o valor de E quando x0 se torna cada vez maior? Interprete.
d) O que acontece com o valor de L quando x0 se torna cada vez maior? Interprete.
Matemática 1a série Volume 3
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4AS MÚLTIPLAS FACES DAS POTÊNCIAS E DOS LOGARITMOS: PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM DIFERENTES CONTEXTOS
!?
Desafio!
É muito conhecida a lenda do tabuleiro de xadrez: para retribuir ao jovem inventor pela criação do jogo, o rei concedelhe qualquer coisa que desejasse, e o jovem pede “apenas” um grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim por diante, até chegar a 263 grãos pela sexagésima quarta casa. Como se sabe, a soma de todos os grãos (1 + 2 + 22 + 23 +... + 263) é igual a 264 – 1 grãos e esse número, apesar de não parecer, é tão grande que seria impossível atender ao inocente pedido. Quantos algarismos tem o número 264 ? (Dado: log 2 ≅ 0,30.)
VOCÊ APRENDEU?
1. Aplicando seus conhecimentos sobre logaritmos, determine qual dos dois números é maior: 107 ou 710 ? (Dado: log 7 ≅ 0,845.)
Matemática 1a série Volume 3
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2. Considere uma folha de papel comum, com espessura de cerca de 0,08 mm.
a) Suponha que a folha é dobrada ao meio 10 vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura do papel dobrado?
b) Suponha agora que a folha tivesse tamanho suficiente para ser dobrada ao meio 50 vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura do papel dobrado?
c) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel dobrado ultrapassaria a distância da Terra à Lua?
(Dados: a distância aproximada da Terra à Lua é de 384 000 km; log 2 ≅ 0,30; log 3 ≅ 0,48.)
d) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel dobrado ultrapassaria a distância da Terra ao Sol?
(Dados: a distância aproximada da Terra ao Sol é de 150 000 000 km.)
Matemática 1a série Volume 3
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3. Algumas estimativas sugerem que a população máxima que o planeta Terra pode acolher, de acordo com as terras cultiváveis disponíveis, seja da ordem de 45 bilhões de pessoas. Atualmente, a população da Terra é de cerca de 6,7 bilhões e o censo revela que a população tem dobrado a cada 30 anos. Com base nessas suposições, calcule em quantos anos, a partir de agora, a população da Terra atingiria o limite suportável.
4. Um capital C0 é aplicado a uma taxa de juros simples de 12% ao ano (a cada ano, os juros são calculados tendo sempre como base o capital aplicado inicialmente). Calcule em quantos anos o capital dobrará seu valor inicial. (Dados: log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845.)
LIÇÃO DE CASA
1. Um capital C0 é aplicado a uma taxa de juros de 1% ao mês (os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada mês e esse novo valor será a base para o cálculo dos juros do próximo). Calcule em quantos anos o capital dobrará seu valor inicial e compare com o resultado da atividade anterior. (Dados: log 2 = 0,301 e log 101 ≅ 2,004.)
Matemática 1a série Volume 3
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2. A primeira escala para a medida do brilho das estrelas foi criada por Hiparco, cerca de 150 a. C. Ele dividiu cerca de 850 estrelas então visíveis a olho nu e classificouas em seis grupos, de acordo com a intensidade do brilho, atribuindo, quando vistas da Terra, grandeza 1 às mais brilhantes e 6 às de menor brilho. Por volta de 1850, apoiado no trabalho de Hiparco, um astrônomo inglês chamado Pogson propôs uma escala logarítmica para a medida do brilho de uma estrela. Considerando, na escala de Hiparco, a estrela mais brilhante como 100 vezes mais brilhante do que a visível de brilho mais fraco, Pogson atribuiu grandeza 0 à estrela mais brilhante e grandeza 5 à menos brilhante na antiga escala; como 2,55 ≅ 100, ele considerou cada nível de gran deza 2,5 vezes maior do que o nível anterior:
Grandeza 1 2 3 4 5 6 n
Brilho 1 (2,5)–1 (2,5)–2 (2,5)–3 (2,5)–4 (2,5)–5 2,5–(n–1)
Númerosproporcionais
(maior brilho, 1a grandeza)
2,55 2,54 2,53 2,52 2,5
(menor brilho, 6a grandeza)
1 2,5–(n–6)
Pogson ainda estendeu a escala de modo a classificar a grande quantidade de estrelas e demais corpos celestes brilhantes, na perspectiva de um observador na Terra. A escala foi estendida tanto para cima como para baixo, incluindo os logaritmos que não são inteiros:
Corpo brilhante Sol Lua Sirius Betelgeuse Antares Deneb
Grandeza –27 –11 –1,50 0,50 1,00 1,26
Existem outras escalas para a medida da grandeza (ou magnitude) de uma estrela, levando em consideração seu brilho em sentido absoluto e não apenas o que é percebido por um observador na Terra. A escala de Pogson fornece a grandeza aparente, ou seja, relativa a um observador na Terra. Em uma escala absoluta, que leva em consideração as distâncias entre os corpos celestes envolvidos, o Sol é uma estrela de 5a grandeza, enquanto Sirius é uma estrela de 1a grandeza.
Com base na escala de Pogson, responda às questões a seguir:
a) Betelgeuse é mais ou menos brilhante do que Antares? Quantas vezes?
Matemática 1a série Volume 3
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b) Sirius é mais ou menos brilhante do que Antares? Quantas vezes?
c) Quantas vezes a Lua é menos brilhante do que o Sol?
3. Para estimar a idade de um fóssil, o químico norteamericano W. F. Libby criou o chamado Método do Carbono 14, pelo qual recebeu o Prêmio Nobel de Química de 1960. O mé to do consiste no seguinte:
o elemento químico carbono 14 formase nas camadas superiores da atmosfera por efeito da •radiação cósmica sobre o nitrogênio. Admitese que sua presença na superfície da Terra ocorre em uma proporção constante relativamente à do carbono 12, que é o carbono comum;
os animais e as plantas absorvem o carbono 14 pela respiração e pela alimentação e, en•quanto estão vivos, mantêm uma proporção fixa do mesmo. Depois de mortos, a absorção da substância deixa de existir e a quantidade que possuíam começa a se desintegrar, transformandose em carbono comum;
o carbono 14 desintegrase em uma proporção constante em relação ao valor inicial: a cada •5 730 anos, a massa inicial reduzse à metade (em outras palavras, a meiavida do carbono 14 é igual a 5 730 anos);
em consequência, se determinarmos a proporção do carbono 14 em relação ao carbono co•mum em um fóssil (um peixe incrustado em uma pedra, um osso, uma planta ressecada, um pedaço de madeira, etc.), podemos estimar há quanto tempo ele existe, ou seja, há quanto tempo a vida deixou de existir nele.
Fóssil Idade estimada
Carvão da caverna de Lascaux, França 15 516 ± 900 anos
Carvão nos monumentos de Stonehenge, Inglaterra 3 789 ± 275 anos
Linho encontrado em uma caverna do Mar Morto 1 917 ± 200 anos
Pinturas rupestres em São Raimundo Nonato, no Piauí Cerca de 60 000 anos
Matemática 1a série Volume 3
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Suponhamos, então, que um fóssil foi encontrado e que desejamos estimar sua idade.
a) Se a análise laboratorial determinou que 50% do carbono 14 inicial já se desintegrou, qual é a idade estimada do fóssil?
b) A massa m de carbono 14 varia com o tempo de acordo com a seguinte expressão:
m(t) = m0 . ª 1 __ 2 º t _____ 5 730
(cada vez que t assume valores múltiplos sucessivos de 5 730, a massa
reduzse à metade). Se for constatada que a massa de carbono 14 restante no fóssil é apenas 10% da massa inicial, qual é a idade estimada do fóssil? (Dado: log 2 ≅ 0,301.)