Função Polinomial do 1º grau

Prof:Zaqueu Oliveira

Objetivos

• Compreender o conceito de função.• Escrever a lei de formação de uma função• Identificar a variável dependente e independente.• Representar uma função por meio de gráficos.• Classificar as funções em crescente ou decrescente.• Determinar o zero de uma função, o ponto de

interseção de seu gráfico.• Determinar o ponto de máximo e mínimo.

História•Desde o tempo dos Gregos até à Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano.

•A noção de função vai ser um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. Foi Leibniz (1646 - 1716) quem primeiro usou o termo "função" em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus".

•Um retoque final nesta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi também Euler quem introduziu a notação f(x).

Algumas situações de funções

O valor da fatura de telefone é calculado em função do consumo no mês. F(x)= 30+C

O tempo de uma viagem está em função da velocidade praticada no trajeto.

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função

afim,a qualquer função de IR em IR dada por uma lei da

formação f(x)= ax+b .

1. E podemos dizer f(x) = y, logo y= ax+b

2. Onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.

3. O gráfico dessa função é sempre uma reta.

4. A função de Primeiro Grau é a função de grau 1.

Exemplos de funções polinomial do 1º grau;

1) f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 32) f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 73) f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico de uma funçãoSe cada reta interceptar o gráfico em um único ponto, ela será uma função. Mas , se uma reta interceptar em dois ou mais pontos, não é Função.

Representação gráfica de uma função• O plano cartesiano composto de duas retas (horizontal e

vertical) que se cruzam em um único ponto, chamado de origem.

• A coordenadas cartesianas, representando-o por um par ordenado na forma (x,y).

Localização dos pontosA(4;3)B(1;2)C(-2;4)D (-3;-4)E (3;-3)F (-4;0)

Construção do Gráfico• O jeito mais fácil de se construir uma função de primeiro

grau é criar uma tabela para os valores de x e determinar os valores associados em y.

y = x + 1F(x) = x + 1 x y (x,y)-1 -1+1=0 (-1,0) 0 0+1=1 (0,1) 1 1+1=2 (1,2) 2 2+1=3 (2,3) 3 3+1=4 (3,4)

Construção do Gráfico• O modo mais recomendado na construção de uma

função é encontrar os interceptos em x e em y.• y = x + 1• F(x) = x + 1

Para x=0 Para y=0 y= x+1 y=x+1 y=0+1 0=x+1 y=1 x=-1

Estudo da função Imagine a função afim f(x)= a.x+b e função linear f(x)=ax Quando (a>0) , teremos uma função crescente Gráficos das funções y = x + 2 ; y = x – 3 e y=x;

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5

a > 0y = x – 3

y = x + 2

y = x

Estudo da função Imagine a função afim f(x)= a.x+b e função linear f(x)=ax Quando (a<0), teremos uma função decrescente Gráficos das funções y=-2x; y = –2x + 4 e y = –2x – 3.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5

y = –2x + 4

y = –2x

a < 0

y = –2x – 3

Quando (a=0), teremos uma função constante Gráfico da função f(x)=3

Estudo da função

a = 0f(x)=3

Zero de uma Função AfimEncontre o zero da funçãof(x)=3x-9, onde f(x)=y=0 ; 3x-9=0 3x = 9 3 3 x = 3Substituindo o valor no X. y=3(3)-9 y=9-9 y=0

Intersecção• Em qual ponto as funções y=x+1 e y=-2x+1 se interceptam? y= x+1 (I) y= -2x+1 (II) x+1= -2x+1 x+2x = 1-1 3x=0 x=0/3 x=0Substituindo em (I), temos:y = 0+1y = 1Resposta: Nos pontos (0,1)

-4 -2 0 2 4

-1.5-1

-0.50

0.51

1.52

2.53

3.5

Y

Valores Y

"A mudança deve acontecer de dentro para fora. Os seus pensamentos determinarão diretamente a forma que você vê o mundo. Pense positivo! Pense que você pode e que você é capaz de coisas maiores." (Dr. Jô Furlan)

Bibliografia

• Slidesdare• Google imagens• Livro didático Vontade de saber de

matemática• Artigos relacionados as equações do 2º grau.• Site Só matemática.

Função Polinomial do 2º grau

Prof:Zaqueu Oliveira

Objetivos

• Compreender o conceito de função.• Escrever a lei de formação de uma função• Identificar a variável dependente e independente.• Representar uma função por meio de gráficos.• Classificar as funções em completa ou incompleta.• Determinar o zero de uma função, o ponto de

interseção de seu gráfico e o vértice da parábola.• Determinar o ponto de máximo e mínimo.

História•Desde o tempo dos Gregos até à Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano.

•A noção de função vai ser um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. Foi Leibniz (1646 - 1716) quem primeiro usou o termo "função" em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus".

•Um retoque final nesta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi também Euler quem introduziu a notação f(x).

Função do 2° GrauUma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40m de comprimento e 20m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.

Sua área é função de x.A = (40 + 2x) . (20 + 2x)A = 800 + 80x + 40x + 4x2A = f(x) = 4x² + 120x + 800

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau,qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da formaf(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

a é o coeficiente real de x², com a≠0.

b é o coeficiente real de x.

c é um coeficiente real, também chamado termo independente.

Definição

Alguns exemplos de função quadráticas

• Função completa:f(x) = 3x² - 4x + 1,(completa) onde a = 3, b = - 4 e c = 1

• Função incompleta:f(x) = x² -1, (incompleta) onde a = 1, b = 0 e c = -1f(x) = - x² + 8x, (incompleta) onde a = -1, b = 8 e c = 0f(x) = -4x², (incompleta) onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Toda função quadrática quando a > 0 concavidade voltada para cima.a) y= x² - x - 6

Quando a < 0 concavidade voltada para baixo. b) y= - 3x²

CONCAVIDADE DA PARÁBOLAO gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.

A parábola está presente em algumas situações do cotidiano. Quais são elas?

A antena parabólica A forma de parábola

Gráfico da função quadrática• Seja a função definida por y = - x²+ 2x - 2

vamos atribuir para x os valores -1, 0, 1, 2 e 3 calcular os valores de y.

-2 -1 0 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Valores Y

Valores Y

Gráfico de uma função quadrática Todo gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola. O gráfico de uma função quadrática é composto de três

partes fundamentais:1) Zeros da função: é ou são pontos em que o gráfico

corta o eixo das abscissas (eixo x), ou seja , onde y=0.

02) Vértice: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.

03) Termo independente: ponto que o gráfico corta o eixo das ordenadas (eixo y), Neste ponto x=0.

A quantidade de raízes reais de uma função quadráticadepende do valor obtido para o radicando ∆=b²-4.a.c, chamado discriminante, a saber:1)Quando ∆>0, é positivo, há duas raízes reais e distintas;2)Quando ∆=0, é zero, há duas raízes reais e iguais;3)Quando ∆<0, é negativo, não há raiz real

Zeros ou raízes

> 0 , tem dois zeros reais e diferentes.

a > 0 a < 0

> 0,tem dois zeros reais e iguais

a > 0 a < 0

< 0, não tem zeros reais.

a > 0 a < 0

Zeros ou RaízesAs raízes são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de

Bháskara:Como determinar a raiz ou zero da Função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau :

Zeros ou RaízesF(x)= x² + x – 6,igualando f(x)=0 => x² + x – 6=01) Identificação de coeficientes onde a=1, b=1 e c=-62) ∆=b²-4.a.c ∆= (1)² - 4.(1).(-6) = 1+24 = 25>0Como ∆>0, a função terá dois zeros.3)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Valores Y

Resolução de funções Incompletas

Inequações da forma:ax² +bx = 0, (c = 0)

De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções:

x = 0e

x = - b a

Inequações da forma:ax² +c = 0, (b = 0)

De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0:possui duas raízes reais

se:- c for um nº positivo

anão possui raiz real se:- c for um nº negativo

a

O gráfico de uma função quadrática intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,c)

Interseção com o eixo y

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V

Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

"A mudança deve acontecer de dentro para fora. Os seus pensamentos determinarão diretamente a forma que você vê o mundo. Pense positivo! Pense que você pode e que você é capaz de coisas maiores." (Dr. Jô Furlan)

Bibliografia

• Slidesdare• Google imagens• Livro didático Vontade de saber de

matemática• Artigos relacionados as equações do 2º grau.• Site Só matemática.