Funções deriváveis. Infinito 11 / 2Volume Pg. 89 RECORDA!...
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Funções deriváveisFunções deriváveis
Infinito 11 / 2Volume Pg. 89
RECORDA!...RECORDA!...
Derivada de uma função num pontoDerivada de uma função num ponto
x
y
O
25
16
1
t
ttt 204 2
6m
8m
smvmtvm /615,2
15,2... 5,2;1
smvmtvm /812
12... 2;1
21,5
smvmtvm /1015,1
15,1... 5,1;1
12 ti mv
12 m/s
hhv
hi11lim
0
121
2,5
10m
Definição:
A derivada, ou variação instantânea, de uma função f num ponto , se existir, é o limite da quando .
Ou seja,
ou
Se num ponto não existir derivada finita diz-se que a função não é derivável nesse ponto.
Geometricamente, a derivada da função f no ponto , é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto .
h
xfhxfxfh
0000 lim
0
00
0lim
xxxfxfxf
xx
fDx 0 hxxTmv 00 , 0h
o 0x , f x0x
x
y
t
sy = f(x)
f(x0+h) - f(x0)
hf(x0)
f(x0+h)
x0+hx0
M
O
A
5
-20
m=-20m=20
Função derivadaFunção derivada
x
y
O 0,5 1 2 2,5 3 3,5 41,5 4,5 5
m=16
m=12
m=8
m=4
m=0
m=-4
m=-8
m=-12
m=-16
x
y
O
20
2,5
16
0,5
-16
4,5
12
1
8
1,5 -43
-8
3,5
-12
4 4
2
ttt 204 2
ttt 204 2
GSP
208 t t
Derivadas LateraisDerivadas Laterais
Derivadas Laterais IDerivadas Laterais I
-2 2 x
y
O
24 xxg
42 g
42 g
Como as derivadas laterais são diferentes, a função não tem derivada no ponto -2.
A derivada à direita de g no ponto -2 é o declive da semitangente direita ao gráfico nesse ponto.
A derivada à esquerda de g no ponto -2 é o declive da semitangente esquerda ao gráfico nesse ponto.
42 g
42 g
A derivada à esquerda de g no ponto 2 é o declive da semitangente esquerda ao gráfico nesse ponto.
A derivada à direita de g no ponto 2 é o declive da semitangente direita ao gráfico nesse ponto.
Como as derivadas laterais são diferentes, a função não tem derivada no ponto 2.
Derivadas Laterais IIDerivadas Laterais II
x
y
O
3 xxh
Geometricamente, este resultado significa que a tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 0 é uma recta vertical que, neste caso, é o eixo das ordenadas.
0h
Podemos constatar que a função, embora seja contínua no ponto 0, tem derivada infinita. Não é derivável no ponto.
Derivadas Laterais IIIDerivadas Laterais III
x
y
O
Neste caso a função nem é contínua nem derivável no ponto estudado.
Não existe derivada de f no ponto –1.
Graficamente pode ver-se que a semitangente esquerda é vertical e que a semitangente direita tem declive negativo.
121
2 xsexxsex
xf
1f
1 2f
-1 1
-2
1
Derivadas Laterais IVDerivadas Laterais IV
x
y
O
Graficamente vê-se que a semitangente esquerda é uma recta vertical.
Também a semitangente direita é uma recta vertical.
Podemos ainda constatar que também neste caso a função nem é contínua nem derivável no ponto estudado.
2r 2r
2222
xsexxsex
xr
2
4
Maria José Vaz da Costa