Funções
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Funções
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Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) baxxf baxy
x
xf
x
y
0a 0a
Crescente Decrescente
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Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) baxxf baxy
x
xf
x
ybb
ab
ab
Raiz da função
Raiz da função
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Função Polinomial de 1º Grau – Linear (b = 0) xxf xy
x
xf
Identidade
x
y
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Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) baxxf baxy
x
xf
x
y0a
Constante Constante
byxf
b
b
0b
0a0b
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Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola)
cbxaxxf 2 cbxaxy 2
x
xf 0a 0a
Concavidade voltada para cima
x
y
Concavidade voltada para baixo
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Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola)
cbxaxxf 2 cbxaxy 2
x
xf
x
y c
cRaiz da função
Raiz da função
Raiz da função
Raiz da função
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Função Polinomial de 2º Grau – Raízes cbxaxy 2
0ycbxax 2002 cbxax
acb 4)( 2
abx
2
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0
0
0
não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo das abscissas).
possui duas raízes reais iguais (a parábola toca em único ponto no eixo das abscissas).
possui duas raízes reais distintas ( a parábola toca em dois pontos no eixo das abscissas.
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Função Polinomial de 2º Grau
x x x1x 2x 21 xx Rxex 21
0a0
0a0
0a0
x x x1x 2x 21 xx Rxex 21 0a0 0a
00a0
Raízes reais distintas
Raízes reais iguais
Não existem raízes reais
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Função Polinomial de 2º Grau – Vértice
x
y
Vértice
eixo de simetria
ayV 4
abxV 2
VV yxV ,
aabV
4,
2
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Função Polinomial de 2º Grau – Vértice
x
y
Vértice
x
yPonto
de máximo
Vértice
Ponto de
mínimo
0a
0a
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Função Polinomial de 2º Grau – pontos notáveis
x
y
cRaiz da função
Raiz da função
VérticeayV 4
abxV 2
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Função Polinomial de 2º Grau – Imagem
x
y
Vértice
x
y Vértice
Se a >0, então:
vyyRy /Im
Se a < 0, então:
vyyRy /Im
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Função Polinomial de 2º Grau – Forma fatorada
cbxaxxf 2
21 xxxxaxf
raízessãoxex 21
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Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
INJETORAPara uma função ser classificada como injetora, devemos lembrar que, para DOMÍNIOS diferentes devem gerar IMAGENS diferentes, ou seja:
2121 xfxfxx Ex.: 63 xxf
91
6316131
fff
60
6006030
fff
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Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Para uma função ser classificada como sobrejetora, devemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIO deve ser igual a IMAGEM da função dada, ou seja:
ImCDEx.: RRf : 2xxf
x
y
SOBREJETORA
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Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Para uma função ser classificada como bijetora, devemos lembrar que ela deve ser INJETORA e SOBREJETORA ao mesmo tempo, ou seja:
ImCDEx.: RRf : 2xxf
x
y
BIJETORA
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x
y
-2 2
- 4
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
4
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x
y
-2 2-2 2
4f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
f : D CD
x
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x
y
22
4
2
4
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
x y
Não é Injetora
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x
y
22
4
2
4
Não é Injetora
0
Im(f) = [0, +∞)CD = R
Não é Sobrejetora
Im(f) ≠ CD
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
x y
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x
y
22
4
2
4
Não é Injetora
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
x y
Não é Sobrejetora
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x
y
22
4
2
4
Não é Injetora
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
x y
Não é Sobrejetora
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x
y
22
4
2
4
É uma função Simples
Não é Injetora
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
x y
Não é Sobrejetora
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Função inversa e função compostaFunção inversa
12 xxf
A
4321 B
7531
4,3,2,1A 7,5,3,1B
BAf :
![Page 27: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/27.jpg)
Função inversa e função composta
4,3,2,1AFunção inversa
7,5,3,1BABg :
21
xxg
A
4321 B
7531
xfxg 1
![Page 28: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/28.jpg)
Função inversa e função compostaFunção inversa
A inversa de uma função f só existirá se f for bijetora.
Lei de Formação da inversa
1º – Troca x por y e y por x.2º – Isola a variável y.
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Função inversa e função compostaFunção inversa
12 xxf
12 xy12 yxyx 21
yx
2
1
21
xy
211
xy
2
11 xxf
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Função inversa e função compostaFunção inversa
(representação gráfica)
2xy
21 xy
x
y
2
2
2
2
B.Q.I.
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Função inversa e função compostaFunção inversa
(representação gráfica)f
1f
x
y
B.Q.I.
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Função inversa e função compostaFunção composta
A
4321 B
6543
2xxfBAf :
B
6543 C
11975
12 xxgCBg :
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Função inversa e função compostaFunção composta
xfgxh CAh :
12 xfxh
122 xxh
142 xxh
32 xxh
12 xxg 2xxf
32 xxfgxh
![Page 34: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/34.jpg)
Função inversa e função compostaFunção composta
A
4321 B
6543
2xxfBAf :
B
6543 C
11975
32 xxh 32 xxfg
12 xxgCBg :
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Função inversa e função compostaFunção composta
A
B
Cfg
fgh
xfgxh
xfgxh
fgh
x f
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Função inversa e função compostaFunção composta
A composta de uma função com sua inversa é a função identidade. (fof-1 = f-1of = x)
2xy21 xy 221 xff
xff 1
221 xff
xff 1
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Função Exponencial
RRf :
Definição
RDomínio
,0Im f
Imagem
xaxf 10 a
*R
,0Im f RfD
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Função ExponencialRepresentação Gráfica
xxf 2x
1234... ..x
xy 2221 y422 y823 y1624 y
xy 2
y
1 2123 x
12
4
0
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Função ExponencialRepresentação Gráfica
x
xg
21
1 22 x
y
1
4
0
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Função ExponencialRepresentação Gráfica
xxf 2
1 2123 x
y
12
4
1 22 x
y
1
4
x
xg
21
1
1aCrescente
10 aeDecrescent
00
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Equação exponencial322 x
8191
x
171333 112 xxx
093109 xx
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Equação exponencialkxaa kx
322 x522 x
5x 42 33 x
42 33 x
8191
x
42 x 2x
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Equação exponencial63933 1212 xxx
6333
333 22
2 x
xx
6333
333 22
2 xx
x
yx 23
633
3 yyy
318939 yyy
1897 y 27y
32 33 x23
x
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Equação exponencial224 xx
02222 xx
02222
xx
yx 2
11 y
12 x
1x
022 yy
22 y
22 x
![Page 45: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/45.jpg)
Inequação exponencial322 x
8191
x
64,08,0 2 x
093109 xx
![Page 46: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/46.jpg)
Inequação exponencial
kx aa
322 x522 x
5x 21 99 x
299 x
2 x
2x
1 , asekx
10 , asekx
8191
x
![Page 47: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/47.jpg)
Inequação exponencial
1x
64,08,0 2 x
100648,0 2 x
100648,0 2 x
1088,0 2 x
8,08,0 2 x
12 x
![Page 48: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/48.jpg)
Logaritmos
xab logBase do logaritmo
Logaritmando
Logaritmo
0a 01 bCondição de Existência
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Logaritmos
xab logBase do logaritmo
Logaritmando
Logaritmo
xab log ab x
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Logaritmos
xab logBase do logaritmo
Logaritmando
Logaritmo
x8log2 82 x3x
8log2
38log2
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LogaritmosSistema de Logaritmos
aa loglog10
2100log100log10
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LogaritmosSistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)
bae log
...718281828,2e
2log ee 2ln 2 e5logee 55ln e
ba ln
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LogaritmosPropriedades operátórias
babaP ccc logloglog1
babaP ccc logloglog2
anaP bn
b loglog3
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LogaritmosMudança de Base
baa
c
cb log
loglog
babaa cc
c
cb loglog
logloglog
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Função LogarítmicaDefinição
RRf *: xxf blog
*RDomínio
Rf Im
Imagem R
*RfD
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Função LogarítmicaRepresentação Gráfica
xxf 2log
1 x
y
1
2
1
21
0
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Representação Gráfica
xxg21log
12
x
y
1
1
0
Função Logarítmica
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Representação Gráfica xxg
21log
12
x
y
1
1
1 x
y
1
2
1
21
0 0
xxf 2log
1bCrescente
10 beDecrescent
Função Logarítmica
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Inversa da Função Logarítmica
x
y
xxf blog
1
1
xbxf
1bCrescente
xy
Função Logarítmica
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Inversa da Função Logarítmica
x
y
xxf blog
1
1
xbxf 10 beDecrescent
xy
Função Logarítmica
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Equação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
53log2 x
325 xx332
35x
03 x3x
35S
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Equação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
295log 1 xx
951 2 xx95122 xxx
095 x59 x
01x 1 x
11x 2 x
01072 xx21 x 51 x 5S
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Equação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog 8log4log3log 555 xx
03 x 3 x04 x 4 x
41 x
3 x
4S
8log43log 55 xx
8122 xx0202 xx 52 x
0202 xx
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Inequação Logarítmica xgxf bb loglog
1b xgxf
10 b xgxf
5log3log 22 x
53 x8x
03 xC.E
3x 8/ xRxS
,8S
![Page 65: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/65.jpg)
Inequação Logarítmica xgxf bb loglog
1b xgxf
10 b xgxf
2log82log32
32 xx
282 xx6x
082 xC.E
4x02 x
2x
I II
4 xIII
![Page 66: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/66.jpg)
Inequação Logarítmica 34log3log 22 xx
8122 xx
322 2log43log xx
322 2log43log xx
0202 xx51 x
42 x
x5 – – – – – –+ + +
4
+ + +
45 x
![Page 67: Funções](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051420/56815e41550346895dccae4d/html5/thumbnails/67.jpg)
Inequação Logarítmica 34log3log 22 xx
x5 – – – – – –+ + +
4
+ + +
45 x
03 xC.E
3x04 x
4x
3 x
43/ xRxS
0202 xx