Função Quadrática

Componente Curricular - Matemática

Ensino Fundamental, 9º ano

Função Quadrática

Matemática, 9º anoFunção Quadrática

Uma introdução as funções quadráticasConsidere a situação a seguir: Pedro possui um indústria de calçados, a Sapato Furado e C&A. A empresa tem um custo fixo com impostos, contas de água luz, energia e telefone de R$ 350,00 por mês . Já o custo de fabricação é de R$ 40,00 o par. A quantidade de sapatos vendidos é calculado em função do preço de venda, da seguinte forma: . Supondo que ela venda no máximo 200 pares por mês, a quantidade vendida será o seguinte: , de forma que preço esteja entre R$ 40,00 e R$ 200,00 reais.

A tabela a seguir mostra algumas situações envolvendo, o preço de venda, quantidade vendida, o custo de produção(custo de produção multiplicado pelo número de sapatos fabricados mais o custo fixo), a receita (número de sapatos vendidos multiplicado pelo preço de venda) e o lucro (diferença entre receita e custo).


Preço de

venda (reais)

Quantidade

de sapat

os vendidos

Custo (em reais)*Preço de fabricação é R$

40,00Receita (em reais) Lucro (em reais)

Preço de

venda (reais)

Quantidade

de sapat

os vendidos



90

Preço de

venda (reais)

Quantidade

de sapat

os vendidos



90

120

Preço de

venda (reais)

Quantidade

de sapat

os vendidos



90

120

70

Preço de

venda (reais)

Quantidade

de sapat

os vendidos



90

120

70

150


Podemos então deduzir as fórmulas para os cálculos do Custo, da Receita e do Lucro.

Considerando um preço de venda qualquer, entre e reais, temos que:


O Lucro está representado em função do preço de venda, ou seja, dependendo do preço de venda, o Lucro pode ser alto, baixo, ou até nenhum. Esse tipo de função que contém como índice máximo da variável o 2, ou seja, é o maior índice, chamamos de Função Quadrática, ou Função do 2º grau.

• Definição: Chamamos função quadrática, ou função do 2º grau, toda função do tipo , em que: é o coeficiente real do , com . é o coeficiente real de . é o coeficiente independente.Exemplo de uma função quadrática , em que , e

Função Quadrática


Dois problemas importantes no estudo das funções é o cálculo da função para um determinado ponto e o cálculo do para um determinado valor da função . Acompanhe o exemplo a seguir sobre essas situações.Exemplo: Dada uma função , determine: a) O valor de para ; b) O(s) valor(es) de quando ;


Valor de uma função quadrática emum ponto

Solução a) Para resolver esse item basta substituir a letra pelo valor fornecido. Dessa forma,


b) Para resolver esse item basta substituir o termo pelo valor fornecido. Dessa forma,

Perceba que obtivemos uma equação do 2º grau. A resolução dessa equação está no próximo slide.

Logo, os valores de são e .


Denominamos como zeros, ou raízes, de uma função quadrática os valores que anulam a função, ou seja, os valores de para .Exemplo: Determinar os zeros da função .


Zeros de uma função quadrática

Solução:

𝑓 (𝑥 )=0⇒3 𝑥2−9 𝑥−12=0

Como toda função, é possível descrever graficamente o comportamento de uma função do 2º grau. O gráfico de uma função quadrática é uma curva, a qual chamaremos de parábola. Vamos considerar a duas funções a seguir.


Gráfico de uma função quadrática

Para traçar o gráfico dessas funções construiremos uma tabela para cada função na qual usaremos para determinar os pares ordenados , e em seguida traçaremos os gráficos das funções. Os próximos slides mostram a determinação dos gráficos.


Gráfico da função 𝑦

𝑥

Eixo de Simetria

Vértice da Parábola

Parábola


𝐼𝐼 ¿ 𝑦=−𝑥2+4 𝑥

Gráfico da função


𝑥

𝑦


Gráfico da função quadrática e oscoeficiente , e

O gráfico de uma função quadrática está diretamente ligado aos coeficiente , e . Analisaremos a influência de cada um deles no gráfico de uma função quadrática.

Coeficiente Ele é responsável pela concavidade da parábola e pela abertura da parábola.

1º caso: Se , a concavidade é voltada para cima.


Exemplo:

𝑦=110

𝑥2

𝑦=12𝑥2

𝑦=𝑥2

𝑦=2 𝑥2𝑦=5 𝑥2

Percebe-se que todos os gráficos tem a concavidade da parábola voltada para cima, e que a medida que o valor absoluto de aumenta a parábola se estreita.

Concavidade para cima


2º caso: Se , a concavidade é voltada para baixo.Exemplo:

Concavidade para baixo

𝑦=−110

𝑥2

𝑦=−12𝑥2

𝑦=−𝑥2𝑦=−2𝑥2

𝑦=−5 𝑥2

Percebe-se que todos os gráficos tem a concavidade da parábola voltada para baixo, e que a medida que o valor absoluto de aumenta a parábola se estreita. Podemos então organizar uma tabela em relação a concavidade da parábola.


Coeficiente Concavidade

Para cima

Para baixo


Coeficiente Ele é responsável pela declividade da parábola, ou seja, indica se a parábola cruza o eixo no ramo crescente ou decrescente.

1º caso: Se , a parábola cruza o eixo no ramo crescente.

Exemplo:

Ramo Crescente

Ramo Crescente

𝑥

𝑥

𝑦𝑦


2º caso: Se , a parábola cruza o eixo no ramo decrescente.

Exemplo:

𝑥

𝑦

Ramo Decrescente

𝑥

𝑦 Ramo Decrescente


Coeficiente Indica o ponto em que a parábola cruza o eixo . A parábola cruza o eixo no ponto .

𝑥

𝑦

(0,2 )→𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑐=2


Relação entre o discriminante (delta) de uma equação do 2º grau

e o gráfico de uma função quadrática

Para entendermos essa relação, vamos determinar os zeros das funções quadráticas a seguir.


Raízes e Duas raízes diferentes.

𝑥

𝑦


𝑥

𝑦

Raízes e Duas raízes iguais.

𝑥

𝑦



Podemos agora criar uma tabela relacionando o discriminante e o coeficiente .

𝑥1

𝑥1=𝑥2

𝑥2

𝑥1𝑥2

𝑥1=𝑥2


Vértice da parábolaChamamos vértice de uma parábola o ponto em que a declividade da parábola muda de direção.

Vértice da parábola (Ponto de interseção entre a parábola e o eixo de simetria)

Eixo de Simetria

• Cálculo do vértice de uma parábola O cálculo do vértice de uma parábola é feita através da fórmula:


𝒙𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆=−𝒃𝟐 .𝒂

𝒚 𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆=−∆𝟒 .𝒂

Logo, as coordenadas do vértice serão:

𝑽 ( 𝒙𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 ,𝒚 𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 )⇒𝑽 ( −𝒃𝟐 .𝒂,−∆𝟒 .𝒂 )


Exemplo: Determine o vértice da função quadrática a seguir e esboce o gráfico da função.

𝒚 𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆=−𝟏


𝑥

𝑦

Vértice


Valor mínimo e valor máximo da função quadrática

Valor mínimo e valor máximo de uma função quadrática é o vértice da parábola, sendo que:

O vértice será chamado de valor mínimo se a parábola tiver a concavidade voltada para cima;

O vértice será chamado de valor máximo se a parábola tiver a concavidade voltada para baixo;

• Esboço gráfico dos pontos mínimo e máximo


𝑥 𝑥

𝑦𝑦

Ponto Mínimo

Ponto Máximo𝒂>𝟎

𝒂<𝟎


Estudo do sinal de uma função quadráticaO estudo do sinal de uma função quadrática é determinação dos valores de para os quais a função é , e .Exemplo: Estudar os sinais das funções:

Estudo do sinalPara: 𝟐<𝒙<𝟓⇒𝒚<𝟎


𝑥5

Estudo do sinalPara:

𝑥

Estudo do sinal positivo para qualquer valor real de .


𝑥−2 3 Estudo do sinal

Para:


𝑥6 Estudo do sinalPara:

𝑥

Estudo do sinal negativo para qualquer valor real de .

Tabela de ImagensSlide Autoria / Licença Link da fonte Data de acesso

Todas as imagens de gráficos foram geradas utilizando o programa GeoGebra versão 5.0.9.0

Matemática contextualizada: 9º ano: ensino fundamental / Ênio Silveira, Claúdio Marques – Recife: Ed. Construir, 2006. Pag. 123 – 148.Fundamentos da Matemática Elementar, 1: Geometria Plana/ Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos – 8.ed – São Paulo: Atual, 2004. Pag. 138 – 164.Vontade de Saber Matemática, 9º ano / Joamir Roberto de Souza, Patrícia Rosana Moreno Pataro. – 2.ed – São Paulo : FTD, 2012. Pág.103 – 1121.Projeto Teláris: Matemática 9º ano/ Luiz Roberto Dante – 1. ed – São Paulo: Ática, 2012 – (Projeto Teláris: Matemática). Pág. 91 – 106.

Referências


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