Função quadrática
Transcript of Função quadrática
Função Quadrática Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0
Vejamos alguns exemplos de função quadrática:1.f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2.f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3.f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4.f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
5.f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 , é uma curva chamada PARÁBOLA
Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
f(-3)=(-3)2+(-3)F(-3)=9 – 3=6
f(-2)=(-2)2 +(-2)f(-2)=4 – 2 = 2
f(-1)=(-1)2 +(-1)f(-1)=1-1=0 4
1)2
1(
2
1
4
1)2
1(
)2
1()
2
1()
2
1( 2
f
f
f f(0)=02+0=0
f(1)=12 +1=2
f(2)=22+2=6
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:•se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; •se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
X
Ya > 0
X
Y a< 0
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara
cab ..42
a
cabbx
.2
..42
Exemplo:Calcular os zeros da função y=x2 – 5x +6
1
2425
6.1.45 2
a=1 b=-5 c=6
23
22
4
2
15'
32
6
2
15'
2
151.2
15
esãoraízesas
x
x
x
x
x2 – 5x +6=0
•Coordenadas do vértice da parábola
•Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
Exemplo:Encontre as coordenadas do vérticex2 – 4x + 3
22
41.2
42
V
V
V
x
x
a
bx
14
44
12161.4
3.1.44
4
..4
.4
2
2
v
v
v
v
v
y
y
y
a
caby
ay
)1,2(
1
2
v
y
x
v
V
a=1 b=-4 c=3
•Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades
1ª caso: quando a >0
2º caso: a<0
Exemplo: Calcular a imagem da seguinte função quadrática y=x2 – 4x + 3
14
44
12161.4
3.1.44
4
..4
.4
2
2
v
v
v
v
v
y
y
y
a
caby
ay 1/ yyy
Aplicações de uma função quadrática
Exemplo1:
Um criador de galinhas resolve construir um galinheiro de forma retangular.Aproveitando um muro já existente no local como um dos lados do galinheiro, dispõe de 60 m de uma tela especial para fechar os outros três lados. Como obter as medidas do local correspondente ao galinheiro, para que a área seja máxima possível.
X+X+Y=602X+Y=60Y=60 – 2x
A área de um retângulo é o produto de suas dimensões, ou seja:
S=X.YS=X.(60 – 2X)S= - 2x2 +60X
154
60
)2.(2
602
V
V
V
v
X
X
X
a
bX
Como X =15,então:
Y=60 – 2.15Y=60 – 30Y =30
Portanto as dimensões da tela são 15 m e 30 m
Exemplo 2:
A trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezados os efeito do ar, é uma parábola de equação Y=120X – 4X2, x e y em metros. Obtenha o alcance máximo e a altura máxima atingidos pelo corpo.