Função modular
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Prof. Luciano Ribeiro
AGOSTO/2010
1. Módulo de um número real• O módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. • O módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo.
|x| = x, se x ≥ 0 -x, se x < 0
Veja alguns exemplos de como calcular módulo ou valor absoluto de números reais. • |+4| = 4
• |-3| = - (-3) = 3
• |10 – 6 | = |+4| = 4
• |-1 – 3| = |-4| = - (-4) = 4
• |-1| + |5| - |6| = -(-1) + 5 – 6 = 1 + 5 - 6 = 6 – 6 = 0
• - | -8| = -[-(-8)] = - 8
Veja alguns exemplos de como encontrar o módulo de valores desconhecidos.
• |x + 2| nesse caso teremos duas opções, pois não sabemos o valor da incógnita x. Assim, seguimos a definição: x + 2, se x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ -2 - (x + 2), se x + 2 < 0, ou seja, x < -2
• |2x – 10| 2x – 10, se 2x – 10 ≥ 0, ou seja, 2x ≥ 10 → x ≥ 5 -(2x – 10), se 2x – 10 < 0, ou seja, 2x < 10 → x < 5
• |x2 – 9| x 2 – 9, se x2 – 9 ≥ 0 x 2 – 9 ≥ 0 x 2 ≥ 9 x ≥ 3 ou x ≤ -3
- (x 2 – 9) , se x2 – 9 < 0 x2 – 9 < 0 x2 < 9 -3 < x < 3
2. Função ModularA função modular, ou função módulo, é a função definida como segue:
Da definição de módulo de x, temos que a função modular pode ser definida por duas sentenças :
O domínio de f é D( f ) = R e a sua imagem é Im( f ) = R+ . O seu gráfico é dado por:
Vamos considerar agora funções definidas por sentenças do tipo
1. g(x) = |f (x)|2. g(x) = f (| x|)ExemplosVamos construir os gráficos das seguintes funções.
3. Translação
gráfico de f(x)=|x|
1
1
2
gráfico de f(x)=|x|+2
1
1
y
x
gráfico de f(x)=|x|-2
Unindo os três gráficos, temos:
01
1
2
-2
f(x) = | x | + 2
f(x) = | x | - 2
f(x) = | x |
Conclusões:
1) Translação de um gráfico é o deslocamento deste, sobre o plano cartesiano;
2) Para a função f(x)= |x|, temos que sua raiz é 0, ou seja o início do gráfico será em y = 0;
3) Para a função f(x)= |x|+ K, temos que sua raiz é K, ou seja o início do gráfico será em y = K;
4) Para a função f(x)= |x|- K, temos que sua raiz é -K, ou seja o início do gráfico será em y = -K;
Vejamos outro tipo de translação;
1
1
2
gráfico de f(x)=|x -2|
1
1
-2
gráfico de f(x)=|x +2|
Unindo os três gráficos, temos:
0
1
1
-2 2
f(x) = | x - 2|f(x) = | x + 2| f(x) = | x |
Conclusões:
1) Para a função f(x)= |x+ K|, temos que sua raiz é -K, ou seja o início do gráfico será em x = -k;
2) Para a função f(x)= |x – K|, temos que sua raiz é K, ou seja o início do gráfico será em x = K;
Fim"só é vencido aquele que admite a si mesmo que está
derrotado”