Funcao exponencial

FUNÇÃO EXPONENCIAL 1 www.ricardinhomatematica.com.br

EQUAÇÃO EXPONENCIAL Considere a equação 2x = 16. Nela a variável aparece como expoente. Uma equação em que isso ocorre é denominada equação exponencial. Para compreender bem esse assunto, vamos recordar algumas propriedades. Sendo a ∈∈∈∈ R e a ≠≠≠≠ 0 e m ∈∈∈∈ Z. Tem-se que: am = a. a. a. a. a..... a. ←←←← m fatores →→→→ a) a0 = 1 para a ≠ 0

b) a am

n mn=

c) a-n = 1

a n

d) am.an = am + n

e) a

aa

m

nm n= −

f) (am)n = am.n g) (a.b)n = an.bn

h) a

b

a

b

n n

n

=

Definição: Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser reduzida a forma ax = b, com 0 < a ≠ 1. Exemplos : a) 2x = 16 b) 3x - 1 = 27 Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em: • Igualdade de potência de mesma base. af(x) = ag(x) ⇔ f(x) =g(x)

• Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x) ⇔ a = b sendo a e b ≠ 1 e a e b ∈ R*

+. Exercícios Resolvidos 1) Resolver a equação 2 x = 128 Resolução: Transformando a equação dada em igualdade de mesma base temos: 2 x = 28 Logo temos que x = 8

2) Resolver a equação 2x = 1

16

Resolução: Sabemos que 1

16 é o mesmo que 2−4.

Então: 2 x = 2−4 Portanto x = −−−−4 Algumas equações exponenciais não são possíveis transformar em igualdade de bases iguais de imediato. Nestes casos é necessário utilizar uma variável auxiliar. Veja os exercícios resolvidos:

1) Resolver a equação 3x − 1 + 3x + 1 = 90 Resolução: Podemos escrever a equação da seguinte forma: 3x.3 −1 + 3x.31 = 90 fazendo 3x = y, temos:

y.1

3 + y.3 = 90

y + 9y = 270 10y = 270 y = 27 Mas 3x = y então 3x = 27 ∴ x = 3 2) Resolver a equação 32x – 4.3x + 3 = 0 Resolução: Podemos escrever a equação da seguinte forma. (3x)2 – 4.3x + 3 = 0 fazendo 3x = y temos: y2 – 4y + 3 = 0 resolvendo a equação temos: y ´ = 3 y ´´ = 1 Porém 3x = y, então 3x = 3 ou 3x = 1 ∴ x = 1 ou x = 0

EXERCÍCIOS 01) Resolva, em R, as equações a seguir: a) 2 x = 128

b) 2x = 1

16

c) 3x − 1 + 3x + 1 = 90 d) 25.3x = 15x é: e) 22x −−−− 2x + 1 + 1 = 0

f) 5x + 1 + 5x + 5x - 1 = 775


02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação 3.9x − 26.3x − 9 = 0, é:

03) ( UFSC ) O valor de x que satisfaz a equação

5

5

1

125

4 12

3 8

x

x

−

+ = é:

04) ( UFSC ) Sendo: 7x + 1 + 7x - 34.256 = 100.200,

determine o valor de 18x. 05) Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2x, obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = x2 = 3 06) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo tal

que 2 22 2x x= +

, então ( )xxxx 2

é igual a:

07) A maior raiz da equação 4|3x −−−− 1| = 16 08) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação

94

31

1

21

x

x

−

−− = − é:

09) A soma das raízes da equação

2

31

13 2

3

2 1

1

+ =

−

+

x x

x

.é:

10) Resolver, em reais, as equações abaixo:

a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x

GABARITO – EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 1) a) 7 b) – 4 c) 3 d) 02 e) 00 f) 03 2) 02 3) 17 4) 90 5) c 6) 02 7) 01 8) 01 9) 00 10) a) {-1, 1} b) {0, 1}


AULA 02

FUNÇÃO EXPONENCIAL 1. Função Exponencial

Definição: Denomina-se função exponencial de base a, com a > 0 e a ≠ 1 a função f de R → R definida por: f(x) = a x Exemplos: a) f(x) = 2x a = 2 b) f(x) = 3x a = 3

c) f(x) =

x

2

1 a =

1

2

Gráfico:

� (a > 1) → função crescente

� (0 < a < 1) → função decrescente

Note que para dois valores distintos de x, tem-se imagens distintas, logo a função exponencial é injetora. Se

definirmos f(x) = ax de R em *R+ , ela também se torna

sobrejetora, logo ela será bijetora. Assim sendo ela admite inversa: a função logarítmica f(x) = logax, que será estudada mais adiante.

Exercícios Resolvidos: 1) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2x e definir a imagem dessa função.

Im(f) = {y ∈ R| y > 0} 2) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2x – 1 e definir a imagem dessa função.

Im(f) = {y ∈ R| y > - 1}

3) Esboçar o gráfico da função f(x) = x

2

1 e definir a

imagem dessa função.

Im(f) = {y ∈ R| y > 0}

2) Esboçar o gráfico da função f(x) =

x

3

1 + 1 e definir

a imagem dessa função.

Im(f) = {y ∈ R| y > 1}


2. Inequação Exponencial Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades.

• Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação de desigualdade se mantém.

af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x)

• Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < a < 1), a relação de desigualdade se inverte.

af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x) Exercícios Resolvidos 1) Resolver a inequação: 22x − 1 > 2x + 1 Resolução: Como a base é maior que 1 (a > 1) a desigualdade se mantém:

22x − 1 > 2x + 1 2x − 1 > x + 1 x > 2 S = { x∈ R| x > 2 } 2) Resolver a inequação: (0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 8 Resolução: Como a base está entre 0 e 1 (0 < a < 1) a desigualdade se inverte. (0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 8 5x − 1 > 2x + 8 3x > 9 x > 3 S = { x∈ R| x > 3 }

3) Determinar o domínio da função 162

1)( −=

x

xf

Resolução: Numa função irracional de índice par, devemos impor a condição de que o radicando tem que ser maior ou igual a zero, logo:

162

1−

x

≥ 0

162

1≥

x

4

2

1

2

1−

≥

x

→ x ≤ – 4

D = { x∈ R| x ≤ – 4}

EXERCÍCIOS 01) ( PUC – RS – 2010 ) A função exponencial é usada

para representar as frequências das notas musicais. Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a função f ( x ) = ex + 2 é:

a)

b)

c)

d)

e)

02) ( UEL-PR ) A função real definida por f(x) = ax, com

a > 0 e a ≠ 1:

a) só assume valores positivos b) assume valores positivos somente se x > 0 c) assume valores negativos para x < 0 d) é crescente para 0 < a < 1 e) é decrescente para a > 1


03) Dadas f(x) = 1

2

−x

e as proposições:

I) f(x) é crescente II) f(x) é decrescente III) f(3) = 8 IV) ( 0,1 ) ∈ f(x)

podemos afirmar que: a) todas as proposições são verdadeiras b) somente II é falsa c) todas são falsas d) II e III são falsas e) somente III e IV são verdadeiras 04) Resolva, em R, as inequações a seguir:

a) 22x − 1 > 2x + 1

b) (0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 8

c) 31

4

7

4

72

<

−x

05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida por

y =

2433

1

1

−

x

, é:

06) ( UFSM ) Num raio de x km, marcado a partir de uma

escola de periferia, o Sr. Jones constatou que o número de famílias que recebem menos de 4 salários mínimos é dado por N(x) = k.22x, em que k é uma constante e x > 0. Se há 6 144 famílias nessa situação num raio de 5km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de 2km da escola, seria:


07) ( UFPR – 09 ) Em estudos realizados numa área de proteção ambiental, biólogos constataram que o número N de indivíduos de certa espécie primata está crescendo em função do tempo t (dado em anos), segundo a expressão:

ttN

1,02.35

600)( −+

=

Supondo que o instante t = 0 corresponda ao início desse estudo e que essa expressão continue sendo válida com o passar dos anos, considere as seguintes afirmativas:

1. O número de primatas dessa espécie presentes na

reserva no início do estudo era de 75 indivíduos. 2. Vinte anos após o início desse estudo, o número de

primatas dessa espécie será superior a 110 indivíduos.

3. A população dessa espécie nunca ultrapassará 120 indivíduos.

Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

08) Determine o domínio da função

7

5)4,1()( 52

−= −xxf

09) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto. 01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta o

eixo das abscissas no ponto (1,0)

02. A solução da equação 2x.3x = 3 36 pertence ao intervalo [0, 1]

04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im = *+R

08. A função f(x) = ( )x2 é crescente

16. ba

ba

<⇒>

2

1

2

1

10) ( UDESC-05 ) O conjunto solução da desigualdade

122 2

2

1ln

2

1ln

−+

<

xx

é:

a) S = {x ∈ R tal que – 1 < x < 3} b) S = {x ∈ R tal que – 1 ≤ x ≤ 3} c) S = {x ∈ R tal que x < – 1 ou 3 < x } d) S = {x ∈ R tal que – 3 < x < 1} e) S = {x ∈ R tal que 1 < x < 3}


11) Seja f = R* em R, onde f(x) = 21

x . O conjunto dos

valores de x para os quais f(x) < 1

8

12) ( UEL-PR ) O crescimento de uma colônia de bactérias

é descrito por P(t) = α.4λ t onde t ≥ 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. Se, após 4 horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da colônia será:

a) 6 α b) 8 α c) 9 α d) 8 α − 4 e) α + 8

13) ( UEPG-PR ) Dadas as funções definidas por

f(x) =

x

5

4e g(x) =

x

4

5, é correto afirmar que:

01. os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam 02. f(x) é crescente e g(x) é decrescente 04. g(-2).f(-1) = f(1) 08. f(g(0)) = f(1)

16. f(-1) + g(1) = 2

5

14) ( UERJ ) A inflação anual de um país decresceu no

período de 7 anos. Esse fenômeno pode ser representadopor uma função exponencial do tipo f (x) = abx , conforme o gráfico a seguir. Determine a taxa de inflação desse país no 4° ano de declínio.


15) Um grande lago está sendo infestado por algas. A área do lago afetada pelas algas cresce exponencialmente de acordo com a função f(x) = 10.2x, na qual x é o tempo em meses após a observação inicial e f representa a área em metros quadrados.

a) Qual a área, em metros quadrados, afetada pelas

algas após dois meses?

b) Em quantos meses a área afetada pelas algas será de 320 m2

16) ( ACAFE – 2010.2 ) O número de bactérias de uma

cultura, t horas após o início de um experimento, é dado por: B(t) = BO . 22t em que BO é o número de bactérias quando t = 0 . Sabendo que após 2 horas do início do experimento havia 19200 bactérias na cultura, o valor de BO é igual a:

a) 4800 b) 19200 c) 2400 d) 1200

17) Para que valores de x a desigualdade ex > x é verdadeira?

18) ( ACAFE – 2011 ) A Curva de Aprendizagem é um

conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão Q =1512 − 2−0,5t +16 em que:

Q = quantidade de peças produzidas mensalmente

por um funcionário. T = meses de experiência. Em quantos meses um funcionário produzirá 1000

peças mensalmente?

a) 14 meses b) 12 meses c) 16 meses d) 13 meses


19) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: f(t) = a . 2 -bt onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. Sabe-se que a população inicial (t = 0) é igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos é a metade da população inicial. Com base no exposto, determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. a constante a vale 512. 02. a constante b vale 0,1. 04. o tempo mínimo para que a população se reduza

a 1/8 da população inicial é 30 anos. 08. o gráfico da função f(t) para t ∈[0, 40] está indicado pela figura abaixo

20) ( UFSM – 2010 ) O gráfico a seguir retrata o comportamento da evolução das populações rural e urbana no Brasil. Se for considerado o tempo t = 0 (t é dado em anos) iniciando em 1970, como sugere o gráfico, pode-se obter um modelo matemático aproximado que calcula a diferença, em milhões de habitantes, entre a população urbana e a rural em relação ao tempo, diferença essa dada pela fórmula d(t) = 150 – a.3bt onde a,b são constantes reais a serem determinadas.

Baseando-se nos valores do gráfico, pode-se afirmar que a diferença entre a população urbana e a rural em 2030 será, aproximadamente, de: a) 113 milhões. b) 118 milhões. c) 123 milhões. d) 128 milhões. e) 133 milhões.

GABARITO - FUNÇÃO EXPONENCIAL 1) a 2) a 3) b 4 ) a) S = { x∈ R| x > 2 } b) S = { x∈ R| x > 3 } c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 } 5) ( −∞, −5 [ 6) 96 7) c 8) {x ∈ℜ| x ≤ - 2 ou x ≥ 2} 9) 30 10) a 11) ] -1/3, 0 [ 12) c 13) 28 14) 60% 15) a) 40m2 b) 5 meses 16) d 17) ℜ 18) a 19) 14 20) e

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