Função Função ExponencialExponencial

Prof. Gledson GuimarãesProf. Gledson Guimarães

DefiniçãoDefinição Chamamos de Chamamos de

funções funções exponenciaisexponenciais aquelas nas aquelas nas quais temos a quais temos a variável variável aparecendo aparecendo em expoente.em expoente.

A função A função f:IRf:IRIRIR++ definida por definida por f(x)=af(x)=axx, com a , com a ∈∈ IRIR++ e e aa≠≠11, é , é chamada chamada função função exponencial de exponencial de base base aa . .

Domínio e Domínio e ContradomínioContradomínio

O O domíniodomínio dessa função é dessa função é o conjunto IR (reais) e o o conjunto IR (reais) e o contradomíniocontradomínio é é IRIR++ (reais positivos, maiores (reais positivos, maiores que zero).que zero).

GRÁFICO CARTESIANO GRÁFICO CARTESIANO DA EXPONENCIALDA EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar:Temos 2 casos a considerar:

quando a>1;quando a>1;

Exemplo: Exemplo: y=2y=2xx (nesse caso, a=2, logo (nesse caso, a=2, logo a>1)a>1)

quando 0<a<1quando 0<a<1..

Exemplo: Exemplo: y=(1/2)y=(1/2)xx (nesse caso, a=1/2, (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)logo 0<a<1)

Função crescenteFunção crescente y=2y=2xx

Função Função decrescentedecrescente

y=(1/2)y=(1/2)xx

Características GráficasCaracterísticas Gráficas o gráfico o gráfico nuncanunca intercepta o intercepta o

eixoeixo horizontalhorizontal; ; a função não a função não tem raízestem raízes;;

o gráfico o gráfico cortacorta o o eixo verticaleixo vertical no no ponto (0,1)ponto (0,1);;

os valores de y sãoos valores de y são sempre sempre positivos,positivos, portanto o portanto o conjunto imagem é Im=IR+.conjunto imagem é Im=IR+.

EQUAÇÕES EQUAÇÕES EXPONENCIAISEXPONENCIAIS

Para resolver equações exponenciais, Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos devemos realizar dois passos importantes:importantes:

1º) redução dos dois membros da 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma equação a potências de mesma base;base;

2º) aplicação da propriedade2º) aplicação da propriedade :: )01( >≠=⇒= a e a nm aa nm

Exemplos de Exemplos de equaçõesequações

33 xx =81 (x=4) =81 (x=4) 99 xx = 1 = 1 22 3 x - 13 x - 1 = 32 = 32 2 x2 x

33 2 x2 x –6.3–6.3 xx –27=0–27=0

ResoluçõesResoluções33xx =81 =81

81=381=344 logo 3 logo 3xx = 3 = 344

x=4x=4

S = {4}S = {4}

ResoluçõesResoluções99 xx = 1 = 1

99 xx = 1 = 1 ⇒⇒ 9 9 xx = 9 = 9 00 ; logo ; logo x=0.x=0.

S = {0}S = {0}

ResoluçõesResoluções 223x-13x-1 = 32 = 322x2x

22 3 x - 13 x - 1 = 32 = 32 2 x2 x 22 3 x - 13 x - 1 = (2 = (2 55 )) 2 x 2 x

22 3 x - 13 x - 1 = 2 = 2 1 0 x1 0 x 3x-1=10x3x-1=10xx=-1/7 S = {-1/7 }x=-1/7 S = {-1/7 }

ResoluçõesResoluções 33 2 x2 x –6.3–6.3 xx –27=0–27=0332x2x–6.3–6.3xx–27=0 –27=0 (3(3xx))22-6.3-6.3xx–27=0 –27=0 Fazendo 3Fazendo 3xx=y, =y, y2-6y–27=0y2-6y–27=0 apl icando Bhaskara encontramosaplicando Bhaskara encontramos y ’= y’=

-3 e y ’ ’= 9-3 e y ’ ’= 9 Para achar o x, devemos voltar os valores Para achar o x, devemos voltar os valores

para a equação auxil iar 3x = y:para a equação auxil iar 3x = y:y’= -3 y’= -3 ⇒⇒ 3x’ = -3 3x’ = -3 ⇒⇒ não existe x’ , pois não existe x’ , pois

potência de base posit iva é positivapotência de base posit iva é positivay’ ’= 9 y’ ’= 9 ⇒⇒ 3x’ ’ = 9 3x’ ’ = 9 ⇒⇒ 3x’ ’ = 32 3x’’ = 32 ⇒⇒ x’ ’=2 x’ ’=2

Inequações Inequações ExponenciaisExponenciais

A resolução de inequações A resolução de inequações exponenciais tem dois passos exponenciais tem dois passos importantes:importantes:

1º) redução dos dois membros da 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma inequação a potências de mesma base;base;

2º) aplicação da propriedade:2º) aplicação da propriedade:

Inequações Inequações ExponenciaisExponenciais

a>1 a>1 aamm > a > ann ⇒⇒ m>n m>n(as desigualdades têm mesmo (as desigualdades têm mesmo

sentido)sentido)

0<a<10<a<1 aamm > a > ann ⇒⇒ m<n m<n(as desigualdades têm sentidos ≠)(as desigualdades têm sentidos ≠)

ExemploExemplo

negativos)(reais IRS Portanto

x

:obtemos 1, que maior é (4) base a Como

Porém,

daí, e -

:sejaou ,

:temos4 porlados os ambos ndoMultiplica4

escrita ser pode inequação A

:Resolução

-

x

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

=

<⇒<

<⇒<

<−>⇒−>−+

−>−+

−>−+

−>−+ +−

044

.4414

14114.11114).1641(

114.164.44

.4

114.44

4

4

11444)1

0

0

11