Função Composta
-
Upload
monique-nogueira -
Category
Documents
-
view
4.175 -
download
3
Transcript of Função Composta
Com a abolição das distâncias, os homens passaram a se reconhecer uns aos outros como irmãos...No plano moral nossa sociedade avança tateando. Suas prioridades parecem mal-orientadas. Os problemas de espaço preocupam mais que a procura ética... A matéria a interessa mais que o coração do homem. Este, por sua vez, passeia sobre a Lua, mas não se aproxima de seus semelhantes. Explora as profundezas do oceano e os limites do Universo, porém o seu vizinho mais próximo é para ele um desconhecido.
Elie Wiesel
INTRODUÇÃO
Vamos pensar na função f de R em R definida pela lei f(x) = x + 1. Então f leva cada real x ao número x + 1.
Em seguida, pensemos na função g de R em R definida pela lei g(x) = x2. Sabemos que g leva cada real x ao número x2.
Qual será o resultado final se tomarmos um x real e a ele aplicarmos sucessivamente a lei de f e a lei de g?
Teremos:
x x + 1 (x + 1)2f gsomar 1 quadrar
O resultado final é que x é levado a (x + 1)2. Essa função h de R em R, que leva x até (x + 1)2 é chamada composta de g com f. Indica-se h = gof (lê-se “g bola f”), tal que h(x) = gof(x) = g(f(x)).
DEFINIÇÃO:
Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f:AB e g:B C.
A função h:A C tal que h(x) = g(f(x)) é chamada de função composta de g com f.
Esquematicamente, temos:
x f(x) g(f(x))
f g
h = g o f
A B C
NOTA: A composta é uma função que faz o papel de duas funções.
• A população de sapos de um certo ambiente depende da população de cobras.
• A população de cobras depende da população de gaviões.
• Se aumentar o número de gaviões o que acontecerá com a população de cobras?
• Se aumentar o número de gaviões, o que acontecerá com a população de sapos?
• É possível estimar a população de sapos conhecendo somente a população de gaviões?
Fazendo uma analogia:
FUNÇÃO COMPOSTA
Aplicação
Exercício resolvidoDados
y = 3x – 4,
x = 2t + 5 e
t = k2 + 4. Pede-se:
a) x em função de k.
b) y em função de t.
c) y em função de k.
Resolução:
a) x = 2(k2 + 4) + 5 x = 2k2 + 13
b) y = 3(2t + 5) – 4 y = 6t + 11
c) y = 6(k2 + 4) + 11 y = 6k2 + 35
Exercício propostoSendo y = 2x + 1; x = k – 4 e k = 3t – 3, pede-se:
a) O valor de y se t = 2.
b) Escreva x em função de t.
c) Escreva y em função de k.
d) Escreva y em função de t.
Aplicação:Uma chácara de área z foi dividida em 10 lotes, todos de forma quadrada de lado x e área y. Escreva a fórmula matemática que expresse:
(A)y em função de x.
(B) z em função de y.
(C)z em função de x.
(A)y = x2
(B)z = 10y
(C) z = 10x2
Lado x e área y.
Observe que y = x2, pois a figura é quadrada.
Aplicação: Para um quadrado de lado , perímetro P e diagonal D, faça o que se pede:
(A)Escreva P em função de .
(B) Escreva D em função de .
(C)Escreva P em função de D.
4P
2D
DPD
PP 222
244
Observe que:
-O perímetro é uma função do lado.
-A diagonal é uma função do lado.
-O perímetro pode ser escrito como uma função da diagonal e vice-versa.
Isto quer dizer que dado o perímetro, podemos calcular a diagonal sem sabermos a medida do lado.
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Seja a medida do lado de um quadrado, S a medida de sua área e P a medida do perímetro desse quadrado. Pede-se:
a) Escreva S = f()
b) Escreva = f(S)
c) Escreva P = f(S)
d) Escreva S = f(P)
Respostas:
a) S() = 2
b) (S) = S
c) P() = 4 P(S) = 4 S
d) P2 = 16S S(P) = P2/16
Exercício propostoPara uma circunferência, considere:
R = medida do seu raio; D = medida do diâmetro
C = medida do comprimento; S = área do círculo associado.
Pede-se:
a) Escreva R em função de D;
b) Escreva C em função de R e de D;
c) Escreva S em função de R e de D;
d) Escreva S em função de C.
Como encontrar a composta de duas funções reais?
Dadas as duas funções, por exemplo, f e g, através de suas fórmulas:
-Se for pedido f(g(x)):chegamos a f(g(x)) a partir de f(x), trocando-se x por g(x) .
-Se for pedido g(f(x)): no lugar do x da função g, colocamos f(x).
-Exemplo: f(x) = 3 x + 4 e g(x) = 2 x – 1, funções reais.
Assim: f(g(x)) = 3g(x) + 4 [O x da função f passa a ser g(x)]
f(g(x)) = 3(2 x – 1) + 4 [Substituímos g(x) por sua fórmula.]
f(g(x)) = 6 x + 1 [Reduzimos os termos semelhantes.]
- Como atividade, encontre g(f(x)).
Mais exemplos:1) f(x) = x – 1 e g(x) = 5 x + 4.
f(g(x)) = g(x) – 1 g(f(x)) = 5f(x) + 4
f(g(x)) = (5 x + 4) – 1 g(f(x)) = 5(x – 1) + 4
f(g(x)) = 5 x + 3 g(f(x)) = 5 x – 1
2) f(x) = x2 e g(x) = x + 1
f(g(x)) = [g(x)]2 g(f(x)) = f(x) + 1
f(g(x)) = (x + 1)2 g(f(x)) = x2 + 1
f(g(x)) = x2 + 2 x + 1
3. Sejam f e g funções tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = x – 2, determine:
(a) f(g(5)) (c) f(g(x))
(b) g(f(-2)) (d) g(f(x))
-)) g(f(-
x - f(x)) g( - -) g(-)) g(f(-
) - x ( -) f(-
) x g(f(x)) d) g( )(- ) b) f(-
)) f(g(
x - (g(x)) f )() f()) f(g(
) (x- ) g(
)f(x-)) c) f(g(x - )a) g(
72
132552
21352
131232
105
5313335
12335
2255
Exercício propostoDadas as funções reais de variável real, definidas por
f(x) = 2 x + 3 e g(x) = 3 x – 2, pede-se:
a) f(2)
b) g(3)
c) g(f(2))
d) f(g(3))
e) f(g(x))
f) g(f(x))
4. Sejam as funções f e g reais definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 3x – 2, e a pertencente a R. Determine a a fim de que, para todo x real, f(g(x)) = g(f(x)).
f(g(x)) = f(3x – 2)
f(g(x)) = 2(3x – 2) + a
g(f(x)) = g(2x + a)
g(f(x)) = 3(2x + a) – 2
Logo, 2(3x – 2) + a = 3(2x + a) – 2
6x – 4 + a = 6x + 3a –2
– 2a = 2
a = – 1
Resposta: a = – 1.
Exercício propostoDadas as funções reais definidas por f(x) = 3 x + 2 e g(x) = 2 x + a, determine o valor de a de modo que se tenha f o g = g o f.
Exercícios propostosSe f(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que f o g(x) = g o f(x).
Se f(x) = xe g(x) = 3 x + 4, encontre g(f(-2)).
Até aqui, demos funções e pedimos sua composição.
Também, aplicamos valor a uma delas e o resultado, na outra.
Outro tipo de exercício consiste em apresentar uma função e sua composta com outra função. Daí, pede-se a função desconhecida.
Exemplo: f(x) = 3x – 2 e f(g(x)) = 6 x + 1. Qual foi a função que colocada no lugar do x da função f e, feitos os cálculos, chegou-se a 6 x + 1?
Vamos derramar luzes sobre este tipo de exercício.
Siga.
5. Sejam f e g funções reais tais que g(x) = – 4x + 2 e g(f(x)) = –12x –18. Obtenha f(x).
g(x) = – 4x + 2
g(f(x)) = –4f(x) + 2
Então, –4f(x) + 2 = –12x – 18
–4f(x) = –12x – 20
4f(x) = 12x + 20 (Multipliquemos ambos os membros por ¼ )
f(x) = 3x + 5Resposta: f(x) = 3x + 5.
Exercício propostoSejam as funções reais f(x) = 3 x – 5 e f(g(x)) = x2 – 3. Determine a lei da função g.
6. Sabendo que f(x) = 3x + 5 e g(f(x)) = 3x + 3, obtenha g(x).
Resolução:g(3x + 5) = 3x + 3
Fazendo 3x + 5 = t
3x = t – 5
x = t –53
2)(
35)(
33
53)(
ttg
ttg
ttg
Conclusão: g(x) = x – 2 .
Calcule f(x) sabendo que f(2x – 1) = 3x + 2.
Façamos t = 2 x – 1.
Assim, x = ½ (t+1)
Voltando à função: f(t) = 3[ ½(t + 1)] + 2
f(t) = 3t/2 + 7/2. Podemos trocar t por x.
f(x) = 3x + 7
2
Exercício proposto Dados o diagrama seguinte e as funções f:AB e g:B C, determine:
1 •
2 •
3 •
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12A B C
fg
a) Os pares ordenados de g[f(x)]
b) f(3) = , g(5)= e g[f(2)] =
c) Os domínios de f, g e de g[f(x)]
d) As imagens de f, g e de g[f(x)].
Exercício propostoConsiderando a função f:RR, definida por f(x) = 5x + 2, calcule a e b sabendo que f(a) = b e f(b) = 36a + 1.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Dadas as funções f(x) = x2 – 5x + 6 e g(x) = 2x + 1, resolva a equação
)0(
)2(
)]2([
)()1(
f
f
gf
xgf
Resolução: Calculemos, inicialmente, f(1), g(2), f[g(2)], f(2) e f(0), que representam números reais.
f(1) = 12 – 5(1) + 6 = 2
g(2) = 2(2) + 1 = 5 e f[g(2)] = f(5) = 52 – 5(5) + 6 = 6
f(2) = 22 – 5(2) + 6 = 0
f(0) = 02 – 5(0) + 6 = 6. Substituindo na equação, vem:
2
10122
6
0
6
)12(2
xx
x
Resposta: S = { ½ }
7. (Unicap – PE) Um estudo das condições ambientais de um município indica que a taxa média de monóxido de carbono no ar será de C(p) = 0,5p – 1 ppm (partes por milhão) quando a população for de p milhares de habitantes. Daqui a t anos, a população será de p(t) = 10 + 0,1t2.
(a) Atualmente, qual é a taxa de monóxido no ar?
(b) Qual será a taxa de monóxido de carbono daqui a 4 anos?
(c) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido será de 9 ppm?
(d) Determine o nível de monóxido em função do tempo.
Roteiro para resolução:
(a) Tomar t = 0, calcular p(0) e C(p(0)).
(b) Idem t = 4.
(c) Calcular p para C = 9; calcular t para o valor de p encontrado.
(d) Obter a função C(10 + 0,1t2).
Exercício resolvido
Encontre f(x) em cada caso:
a) f(x – 2) = x + 3. Adicionando 2 a x – 2, vamos fazer o mesmo com o x no segundo membro. f(x – 2 + 2) = x + 2 + 3 f(x) = x + 5.
b) f(x + 3) = x2 – 1 f(x + 3 – 3) = (x – 3)2 – 1 f(x) = x2 – 6x + 8.
c) f(2x + 2) = 3x – 1 f(x) = 3[ ½ (x – 2)] – 1 f(x) = 3/2 x – 4 .
d) f( ½ x – 4) = 2x + 1 f(x) = 2(2x + 8) + 1 f(x) = 4x + 17.
FUNÇÃO COMPOSTA
Testes
1. (PUC – SP) Sendo f(x) = x3 + 1 e g(x) = x – 2, então g(f(0)) é igual a:
a) 1
b) 3
c) 0
d) 2
e) –1
2. (Faap – SP) Dadas as funções reais f(x) = 2 – 3x e g(x) = 3x + k, determine o valor de k de modo que f[g(x)] = g[f(x)].
3. (UFMG) Considere a função definida por
Pode-se afirmar que o valor de f(f(f(2))) é:
a) 1/3
b) 1
c) 3
d) 5
e) 9
.4 se ,4
41 se ,5
11 se ,3
)(
xx
x
x
xf
x
4. Dadas as funções reais de variável real f(x) = x + 1 e g(x) = 3x + 2, determine:
a) (g o f)(5) =
b) (f o g)(5) =
c) (g o f)(x) =
d) (f o g)(x)
5. Seja f uma função real de variável real tal que f(2x + 6) = 14x – 1. Determine:
a) f(10)
b) f(2)
c) f(x)
Resolução:
a) Façamos 2x + 6 = 10, onde resulta x = 2.
Assim, f(10) = 14(2) – 1 f(10) = 27.
b) Tomando 2x + 6 = 2, vem que x = – 2.
Assim, f(2) = 14(– 2) – 1 f(2) = – 29
c) De t = 2x + 6, resulta x = ½ (t – 6)
Portanto, f(t) = 14. ½ (t – 6) – 1
f(t) = 7t – 43
Logo, f(x) = 7x – 43.
6. Sendo f uma função real de variável real tal que f(x3) = 2x + 1, determine:
a) f(8)
b) f(-1)
c) f(x)
7. Sejam f e g funções reais de variável real tais que f(x) = x + 1 e g(x) = x4 – 1. Resolva a equação (g o f)(x) = 0.
Resolução:
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1)
= (x + 1)4 – 1 (Não esquecer: substituímos o x da função g pela função f.)
Assim, temos (x + 1)4 – 1 = 0 (pois a composta deve ser nula)
(x + 1)4 = 1
x + 1 = 1x = 0 ou x = – 2 .
Resposta: S = {– 2, 0}
8. Sejam f e g funções reais de variável real tais que f(x) = 2x + 5 e g(x) = x2 – 49. Determine as raízes da equação g[f(x)] = 0.
9. Sejam f, g e h três funções reais de variável real tais que f(x) = 2x + 1, g(x) = x + 2 e h(x) = x2 – 1. Determine:
a) [(h o g) o f](1)
Calculemos f(1): f(1) = 2(1) + 1f(1) = 3
Calculemos g[f(1)] = g(3): g(3) = 3 + 2 = 5.
Calculemos h[g(3)] = h(5): h(5) = 52 – 1 h(5) = 24. Resposta.: 24
b) [(h o g) o f](0)
c) [(h o g) o f](x)
10. (UFRN) A imagem da função f:RR, definida por
contém o elemento:21
1)(
xxf
a) –2
b) 0
c) ½
d) 2
e) 5
11.(Cesgranrio) Se , então f(– ½ ) é:1)(
24
x
xxxf
8
5)
32
5)
8
5)
32
5)
24
5)
e
d
c
b
a
Exercício resolvido:
.2
5 com ,
52
2))((
2
)2(211
))((
22
11
))((2)(
1))((
:Resolução
f(f(x)). encontre 2, x com ,2
1)(por definida f, real função a Dada
xx
xxff
x
xxff
x
xffxf
xff
xxf
12.(PUC – SP) Se , o valor de x, de modo que f[f(x)] = 1, ......é: 1
1)(
xxf
a) 1,0
b) 2,0
c) 1,5
d) -1,0
e) -1,5
13. (UFSE) Se a função f:RR é definida por f(x) = 2x, então ......f(f(x)) é igual a:
a) 4x2
b) 4x
c) x
d) 2x
e) 2x2
14. (Cesgranrio) Sejam f e g duas funções definidas em R por .......f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 3. O valor de g o f (3) é:
a) –1
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
15. (PUC – SP) se f(x) = 3 x – 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:
a) –2
b) 0
c) 1
d) 3
e) 5
16.(UFMG) Sendo P(x) = a x + b, o valor da expressão
.....P(x + 1) – P(x) é:
a) a + 1
b) a x
c) a(x + 1)
d) a + b
e) a
17. (U. Mack) Se f(g(x)) = 2 x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x + 2, então o valor de g(2) é:
a) –2
b) 2
c) 0
d) 6
e) 14
Resolução:
Se f(x – 2) = x + 2, então f(x) = x + 4
Assim, f(g(x)) = g(x) + 4 = 2x2 – 4x + 4
g(x) = 2x2 – 4x
g(2) = 2(2)2 – 4(2)
g(2) = 0 (Letra c)
18. (UFRN) Seja f uma função real de variável real. Se
f(x + 3) = x2 + 2, então f(– 1) é igual a:
a) 12
b) 18
c) 24
d) 30
e) 36
19. (UA – AM) Se f e g são funções, tais que f(x) = 2x – 3 e f[g(x)]=x, então g(x) é igual a:
a) ½ (x + 3)
b) 3x + 2
c) (2x – 3)-1
d) 2x + 3
20. (PUC – SP) Sendo f(x) = 3x – 2, g(x) = 2x + 3 e b = f(a), então g(b) vale:
a) 6a – 4
b) 5a + 1
c) 3a – 2
d) 6a – 6
e) 5a – 2
21. (Mack – SP) Se f(x) = 3 e g(x) = x2, então f(g(x)) é igual a:
a) 9
b) 3
c) 3x2
d) 9x2
e) x2
EXERCÍCIO RESOLVIDO(UFSC) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine o valor de f(0).
Resolução:
Façamos x = 0: f(0 + 1) = 2f(0) – 15
f(1) = 2f(0) – 15 43 = 2f(0) – 15
2f(0) = 43 + 15
f(0) = 29
Resposta: f(0) = 29.
EXERCÍCIO PROPOSTO(UFMG) Uma função f:RR é tal que f(5x) = 5f(x) para todo número real x. Se f(25) = 75, então o valor de f(1) é:
a) 3
b) 5
c) 15
d) 25
e) 45