Uma Significao do Conceito de Funo Baseado em Experincias da

Vida de Alunos do Nono Ano do Ensino Fundamental

Francislene Sales1

GD2 Educao Matemtica nos anos finais do Ensino Fundamental

Resumo do trabalho. Este texto apresenta a fundamentao terica para uma atividade com alunos de uma

escola pblica da cidade de Baro de Cocais, para identificar os significados que estes estudantes atribuem ao

conceito de funo (CARAA, 1998) quando o conceito est abordado em relao s experincias de vida

deles (DEWEY, 2010).

Palavras chave: Experincia. Funo. Significados.

Introduo

A abordagem de um contedo exposto da mesma forma que a utilizada pelo livro didtico,

comumente deixa os alunos desconfortveis, pois apresentam um contexto em geral fora da

realidade deles. Frente a essa situao, estamos procurando desenvolver uma maneira de

abordar a matemtica de forma que desperte nos alunos o interesse de participarem das

aulas de matemtica.

Nosso principal enfoque neste trabalho identificar significados que estudantes atribuem

ao conceito de funo quando o conceito est relacionado s experincias de vida deles.

Abordaremos o ensino de conceito de funo na perspectiva de experincia e educao de

John Dewey (2010, p. 75):

Quando a educao concebida em termos de experincia, uma considerao se

destaca em relao s demais. Tudo o que possa ser considerado como matria

de estudo, seja aritmtica, histria, geografia ou qualquer uma das cincias

naturais, deve derivar de materiais que, originalmente, pertenam ao escopo da

experincia da vida cotidiana.

Conforme ideias de Dewey (2010), pretendemos abordar o conceito de funo a partir de

situaes vividas pelos alunos, problematizadas de modo que o conceito possa ser utilizado

para auxiliar na resoluo das situaes. Desta forma, o uso do conceito de funo na

resoluo fornecer uma oportunidade para que os estudantes atribuam significados ao

conceito; contribuindo ao desenvolvimento de uma compreenso dele. A partir desta

afirmao, queremos investigar como que os estudantes utilizam o conceito de funo

1 Universidade Federal de Ouro Preto, e-mail: fsjv0601@yahoo.com.br, orientador: Dale Bean

como instrumento para compreenso de situaes ou para a construo de solues para

inquietudes e assim atriburem significados ao conceito.

Abordaremos o conceito de funo em relao s experincias dos estudantes apoiados nas

ideias de Bento de Jesus Caraa (1998) enquanto a noo de funo. Este autor mostra a

importncia da definio sendo construda passo a passo, relatando a histria do

surgimento dos conceitos matemticos. Caraa (1998) coloca em destaque noes que

fundamentam o conceito, como a interdependncia e a fluncia, que so caractersticas da

realidade do mundo; a noo de isolado, que uma seo da realidade; as noes de

qualidade e quantidade do isolado a ser estudado; e a noo de varivel e suas

particularidades.

Esse entendimento do conceito de funo (CARAA, 1998), junto com as ideias de

experincia de Dewey (2010), nortear a pesquisa de campo numa atividade com alunos do

nono ano do Ensino Fundamental da Escola Estadual Jos Maria de Morais, localizada na

cidade de Baro de Cocais. Essa escola trabalha com alunos do sexto ao nono ano do

Ensino Fundamental e do Ensino Mdio. O convite para comear a criar o ambiente para

que possamos iniciar os trabalhos, partir de um assunto que os alunos queiram tratar.

Nas prximas duas sees, apresentamos nossos aportes principais, Dewey (2010) e

Caraa (1998), para a conceitualizao, elaborao e conduo de uma atividade que

utilize o conceito de funo que se fundamente nas experincias dos estudantes. Em

seguida, com essa base, esboamos o contexto da pesquisa de campo com a turma do nono

ano.

Experincia e Educao

As ideias de John Dewey e a postura de um professor em sala de aula, juntamente com as

experincias vivenciadas como professora-educadora e pesquisadora nas aulas de

matemtica possuem carter fundamental no desenvolvimento da proposta de pesquisa.

Dewey, ao defender uma educao progressiva, mostra uma linha de pensamentos e

atitudes que o professor deve possuir para se tornar reflexivo e perceber o que de novo h

dentro das salas de aulas. O que apresentado so fundamentos de uma filosofia da

experincia e da educao.

Uma anlise da educao tradicional e da educao progressiva, identifica falhas

fundamentais no processo da educao e seus objetivos, donde se conclui que nenhuma

das duas abordagens suficiente em si. Ambas so essenciais.

Apesar de ter escrito no incio do sculo XX, Dewey se mantm atual ao mostrar,

claramente, a necessidade de modificar os mtodos de ensino diante das transformaes

que ocorrem no mundo. As dificuldades em ensino e aprendizagem da poca de Dewey

no desapareceram com o passar das dcadas, alis os questionamentos levantados so

questes que no se calam diante do problema da ideia da educao tradicional que

envolve a transmisso do passado para as novas geraes. Educao tradicional, para o

autor, o conjunto de informaes, de habilidades e de regras e condutas elaboradas no

passado, para transmiti-los as novas geraes. O autor promove uma filosofia educacional

para melhorar a educao dos alunos, na qual o professor trabalha diante das experincias

vividas por ele e aquelas apresentadas pelos discentes. A definio de experincia, tratada

pelo autor, refere-se ao ato da tentativa de experimentao associado ao passar por alguma

coisa. Aprendemos algo quando experimentamos e, em conseqncia, sofremos com o ato.

Exemplificando, quando uma criana leva o dedo ao fogo, ser experincia quando o

movimento se associa com a dor que ela sofre, em consequncia do ato. Por isso faz -se

sim, necessria uma filosofia educacional que abandone a tradio e os costumes e que

valorize as experincias e valores dos envolvidos no processo de aprendizagem.

Pensando sobre como envolver melhor alunos na sua aprendizagem e como fazer que essa

aprendizagem para eles tivesse significado e conexo com o cotidiano, passamos a refletir

sobre como fomos formados. Refletimos a respeito dos valores e costumes de professores e

pais que participaram da nossa prpria formao e como esses interferem na postura que

assumimos como professor. A ideia fundamental da educao tradicional, definida por

Dewey, a transmisso do passado, s novas geraes. O principal objetivo da educao

tradicional preparar o jovem para suas responsabilidades futuras e para o sucesso na vida,

por meio da aquisio de um conjunto organizado de informaes e de formas

preestabelecidas de habilidades que constituem o material de instruo. Essa base

filosfica chama ateno para o surgimento de uma educao nova ou escolas

progressistas.

Na educao tradicional, a falta de um vnculo entre as experincias da vida de um jovem

estudante e as matrias de estudos impede uma participao mais ativa dele no

desenvolvimento do que est sendo ensinado. A sociedade considera que o futuro est da

mesma forma que o passado, no aceitando a mudana como uma regra, e sim como uma

exceo.

Aprender aqui significa adquirir o que j esta incorporado aos livros e cabea

das geraes anteriores. mais que isso, o que ensinado considerado como

essencial esttico. ensinado como um produto acabado, sem maior ateno

quanto aos modos como tal produto foi originalmente construdo ou quanto s

mudanas que certamente ocorrer no futuro (DEWEY, 2010, p. 21).

Sobre a ideia de uma Filosofia da Educao, o autor, busca na cultura ocidental a relao

da educao com a filosofia, que sempre se constituiu vinculada a uma inteno

pedaggica e formativa do ser humano. Nesse sentido, a formao filosfica do educador

extremamente relevante e imprescindvel.

Dewey defende a ideia de uma nova educao, mas apresenta junto a ela os problemas que

esta traz consigo, uma vez que as solues so apresentadas diante das experincias. Um

problema apontado pelo autor que nem todas as experincias so educativas. Isto ,

experincia e educao no so equivalentes. Assim como a educao tradicional tambm

proporciona experincias erradas, como associar livros a uma tarefa, onde os alunos ficam

condicionados a uma leitura rpida e ocasional, a educao progressiva tem como o

problema central selecionar as experincias presentes.

A educao progressiva possui uma filosofia que declara ter com base a liberdade do

aluno, o qual a educao tradicional lutava para que esta estivesse no controle do professor.

A liberdade transformada na realidade de uma experincia para sala de aula, traz outra

questo que faz pensar na experincia de cada profissional ligado diretamente com o

processo de aprendizado. O que o papel do professor e dos livros didticos na promoo

do desenvolvimento educacional de jovens alunos? Esta questo levanta uma reflexo

sobre a relao dos problemas do passado com os do presente e do futuro. "Abandonar o

velho no resolve todo e qualquer problema" (DEWEY, p. 26). certo que dificuldades na

educao progressiva iro aparecer a cada relao e comparao com a educao

tradicional. Existe uma conexo orgnica entre experincia e educao, na qual "[...] a

nova Filosofia da Educao est comprometida com algum tipo de filosofia emprica e

experimental" (DEWEY, 2010, p. 26).

Da o cuidado com as experincias, pois aquelas vivenciadas no passado com um

determinado grupo de jovens alunos podem no se repetir com outro grupo. A formao

de atitudes emocionais e intelectuais envolve nossas sensibilidades bsicas e nossos modos

de receber e responder as condies com as quais nos deparamos na vida. A realidade do

ambiente propcio para a educao composta por jovens estudantes com experincias

diferentes. De acordo com Dewey (2010), neste momento, de utilizar as experincias

passadas, o papel do educador fundamental em apresentar a direo e desafiar o aluno

para caminhar rumo a sua prpria experincia. Para a qualidade dessa experincia, mister

que o princpio da continuidade se aplique, ou seja, buscar situaes que possibilitem fazer

o que querem.

O educador deve apresentar direo e desafio. Por outro lado, se uma experincia

desperta curiosidade, fortalece a iniciativa e d origem a desejos e propsitos

suficientemente intensos para levar a pessoa, no futuro, a lugares alm de seus

limites, a continuidade funciona de uma maneira bastante diferente. Toda

experincia uma fora em movimento (DEWEY, 2010, p. 38).

Cabe o educador e aos pais selecionarem as experincias que conduzam ao sucesso do

processo de aprendizado para que as experincias sejam vlidas e preparar o ambiente

para novas experincias. De acordo com Dewey (2010, p. 50), "preparao significa

ajudar o aluno a experimentar tudo aquilo para o que ele j capaz". Tendo isto como

objetivo, o educador deve ter um planejamento flexvel e com direcionamento claro para

conduzir o contnuo desenvolvimento das capacidades dos alunos. Com um planejamento

flexvel, porm slido, o professor interage com o grupo de seus alunos proporcionando

uma experincia educativa, por meio de uma viso de um processo social contnuo. A

organizao da escola no se transformar em um transtorno desde que as atividades sejam

criadas pelas situaes de interesse do grupo e a postura do professor seja de ocupar a

posio de lder desde grupo.

No uma tarefa fcil para o professor tambm manter a preocupao constante de

considerar uma conectividade com o que j foi alcanado com as experincias de um novo

contedo. O futuro, para o professor, considerar os efeitos do seu trabalho, que da

prpria natureza da sua profisso. De acordo com Dewey (2010, p. 78), ", portanto, tarefa

do educador selecionar coisas que, no mbito das experincias existentes, possua a

potencialidade de apresentar novos problemas que, ao estimular novas formas de

observao e julgamento, ampliaro a rea para experincias futuras".

Dewey distingue a educao baseada na experincia da educao tradicional atravs da

fonte de problemas. A educao progressiva trata o fato de que as condies encontradas

na experincia dos alunos devam ser utilizadas como fonte de problemas. Na escola

tradicional, a fonte de problema esta fora da experincia dos alunos. Novamente o autor

nos chama a ateno para os professores, no que se refere responsabilidade de avaliar as

condies das experincias sejam coerentes com as capacidades dos alunos e que

despertem neles a necessidade da busca ativa de informaes e de novas ideias.

Conceito de Funo

Baseado em Caraa (1998), fundamentaremos o conceito de funo para a realizao deste

trabalho. Focaremos no conceito de funo para resoluo das situaes que surgem a

partir de problemas vivenciados pelos alunos.

Segundo Caraa (1998), a realidade, independente de nossa vontade, existe e evolui

enquanto a cincia, representada pelo homem, evolui com base na sua vontade para

exemplificar, explicar e utiliz-la de acordo com suas necessidades. Mergulhados na

fluncia universal e tendo necessidade, para fins humanos, de explic-la, lanamos sobre

ela toda uma teia de leis regularidades dos fenmenos tais como se nos revelam

(CARAA, 1998, p. 114). Est no contexto da formulao dessas leis que Caraa explicita

as noes para fundamentar a abordagem do conceito de funo.

De acordo com Caraa (1998), o homem, na sua necessidade de controlar a Natureza para

seu benefcio, foi levado a observar e a estudar os fenmenos, suas causas e seu

encadeamento. Os resultados destes estudos no decorrer de toda a evoluo humana vo

construindo assim os conceitos que o autor chama de Cincia. O objetivo final da Cincia

aproximar-se bastante do real, explicitando este entendimento em um quadro ordenado

dos fenmenos naturais, que o autor denomina fenmenos do mundo fsico e do mundo

humano, individual e social.

De acordo com Caraa (1998), a construo deste quadro explicativo dever satisfazer a

duas exigncias fundamentais: a exigncia de compatibilidade e a exigncia de acordo com

a realidade. A exigncia de compatibilidade a harmonia, o acordo das construes dos

conceitos. Por exemplo, "Toda a teoria matemtica uma construo progressiva feita

custa de conceitos - os seres de que trata a teoria - e de afirmaes feitas sobre esses

conceitos. Em estado nenhum da construo se pode tolerar desacordo" (p. 50). Por sua

vez, a exigncia de acordo com a realidade, aproximar a situao problema o mais

possvel da situao real.

[...] a Cincia no tem, nem pode ter, como objetivo descrever a realidade tal

como ela . Aquilo a que ela aspira construir quadros racionais de

interpretao e previso; a legitimidade de tais quadros dura enquanto durar o

seu acordo com os resultados da observao e da experimentao (CARAA,

1998, p. 102, destaque do autor).

O autor ainda esclarece seu argumento: Em nenhum momento o homem de cincia pode

dizer que atingiu a essncia ltima da realidade; o mais que pode desejar dar uma

descrio, uma imagem, que satisfaa s duas exigncias fundamentais (p. 102, destaque

do autor).

Caraa (1998) parte ento para a Realidade, afirmando que a inteligncia dos homens se

esfora por compreender o Mundo no seu sentido mais amplo, apresentando duas

caractersticas essenciais:

a de interdependncia, onde todas as coisas esto relacionadas uma com as outras;

Toda essa Realidade em que estamos mergulhados, organismo vivo, uno, cujos

compartimentos comunicam e participam, todos, da vida uns dos outros" (p. 103,

destaque do autor). Por exemplo, uma planta em uma floresta, examinaremos com

cuidado, as coisas de que depende: o solo, quantidade de luz e calor recebida do

sol, espcies de plantas e animais que compartilham a regio, etc. E algo que esta

ligado a um sistema maior, condies climticas da regio, se a ao do homem

esta ligada ou no neste local. Come se v a questo examinada com um pouco a

mais de cuidado, comeam a aparecer as dependncias e a se comunicar com os

problemas.

a fluncia, apoiando-se no filsofo Heraclito de Efeso com sua afirmao

fundamental o Mundo esta em permanente evoluo; todas as coisas, a todo

momento, se transformam, tudo flui, tudo devm (p. 103, destaque do autor). Basta

observar com ateno, onde tudo esta em uma permanente agitao, um exemplo

o leito de um rio, a eroso em uma montanha, em uma dimenso maior, a rota que a

Terra faz em torno do sol.

Como a todo momento as coisas se tornam novas e diante do Mundo em que tudo est se

comunicando e participando da vida uns dos outros, as dificuldades de um estudo de

qualquer fato natural surge com a seguinte questo: "Se tudo depende de tudo, como fixar

a nossa ateno num objeto particular de estudo? temos que estudar tudo ao mesmo

tempo?"(CARAA, 1998, p. 105). Caraa (1998, p. 105, destaque do autor) esclarece que

[...] um isolado , portanto, uma seo da realidade, nela recortada arbitrariamente. Claro

que o ato de isolar um fato j no mais o deixamos igual ao da realidade, j estamos

passveis ao erro e, mesmo que isolemos tal fato, temos que contar com o inesperado, pois

o Mundo de onde foi recortada a realidade, no para sua evoluo. E neste aparecimento

do inesperado que surge o progresso no conhecimento da realidade.

Nesta relao de interdependncia e fluncia Caraa (1998) se refere ao conceito de

qualidade como o " [...] conjunto de relaes em que um determinado ser se encontra com

os outros seres de um agregado" (p. 106).

Por exemplo, suponhamos que A e B so duas espcies animais, das quais B se

alimenta de A. Nesta relao, o sentido AB implica para o consequente B uma fonte de conservao, e o sentido BA implica para o consequente A uma fonte de destruio. A relao uma, simplesmente os seus dois sentidos tm

significados distintos para os respectivos consequentes. (CARAA, p. 106).

O autor tem ainda o cuidado de chamar de qualidade as caractersticas dos seres

atribudos aos contextos diferentes no conjunto de relaes em que ele se encontra.

Algumas qualidades no admitem quantificao. O exemplo dado por Caraa (1998) de

uma circunferncia. Uma circunferncia no mais circular que a outra, ou ainda duas

retas num plano, em geometria euclidiana, no podem ser mais ou menos paralelas, ou so

paralelas ou concorrentes.

De acordo com Caraa (1998), quantidade um atributo de qualidades e no um objeto.

Existem qualidades que admitem quantificao em termos de fazer juiz de maior que,

maior, menor que e menor, e ainda admitem medio, ou seja, a atribuio de nmero;

como a temperatura do dia em graus Celsius. [...] O poder ou no traduzir-se em nmeros

uma variao de quantidade uma questo que depende, acima de tudo, do grau de

conhecimento momentneo dos homens [...] (p. 109).

Retornando ao conceito de lei, Caraa (1998) apresenta dois tipos: a lei qualitativa, que diz

respeito variao de qualidade; e a lei quantitativa, que diz respeito variao de

quantidade. Um exemplo do qual o autor se vale para explicar a lei qualitativa a trajetria

que cada planeta descreve em torno do Sol, uma elipse, da qual o Sol ocupa um dos focos.

Um exemplo de lei quantitativa que para todo o corpo em queda livre no vcuo, as alturas

de queda so diretamente proporcionais aos quadrados dos tempos de queda (lei da queda

dos graves). Quanto a um exemplo que fornece as duas leis, lei qualitativa-quantitativa a

manuteno da qualidade estado gasoso de um gs que est dependente de variaes

quantitativas de presso e temperatura, o objetivo desta lei acentuar a ligao

determinando as condies sob as quais a quantidade (de presso) pode transformar em

qualidade nova (estado lquido).

Caraa (1998), em vrios exemplos mostra que os conceitos matemticos surgem da

necessidade de se resolver os "problemas de interesse sejam eles de capital, prtico ou

terico, e mais o nmero natural surgindo da necessidade da contagem, o nmero

racional, da medida, o nmero real, para assegurar a compatibilidade lgica de aquisies

diferentes" (p. 118). Assim acontece o fato de se esperar que se crie um instrumento

prprio para o estudo desta matemtica. A matemtica faz a interveno na histria, de

como j foi mencionado, da necessidade de explicar e previso dos fatos. Mas este

instrumento no fica pronto e acabado, at que seja apresentada outra necessidade na qual

o instrumento no se seja utilizado, da parte seu aprimoramento para satisfazer a resoluo

do novo problema.

Tomando posse de uma ideia fundamental do instrumento a ser criado e que estabelea

uma relao entre altura e intervalos de tempo, Caraa (1998), exemplifica com o

fenmeno de queda livre e apresenta uma tabela com valores de variao de tempo em

segundos e o de espao em metros do seguinte problema:

Suponhamos realizadas as condies fsicas necessrias - o isolado conveniente -

e procuremos a regularidade do fenmeno: a lei quantitativa. Que fazemos?

Medimos as alturas da queda em intervalos de tempos iguais, e estudamos depois

a variao dessas altura de queda. (p. 118, destaque do autor).

tempos (em segundos) 0 1 2 3 [...]

espaos (em metros) 0 4,9 19,6 44,1 [...]

Ao demonstrar a necessidade de que o instrumento matemtico tenha na sua essncia a

correspondncia entre os dois conjuntos numricos, o autor introduz o conceito de

varivel, e o faz da seguinte forma: "Seja E um conjunto qualquer de nmeros, conjunto

finito ou infinito, e convencionemos representar qualquer dos seus elementos por um

smbolo. A este smbolo, representativo qualquer dos elementos do conjunto, chamamos

varivel" (CARAA, 1998, p. 120).

A varivel compreensvel quando satisfaz os valores de um quadro geral de ideias. Possui

um carter contraditrio em que [...] o varivel e no cada um dos elementos do

conjunto [...] (CARAA, 1998, p. 120, destaque do autor). O carcter essencial da

varivel essa sntese de ser ou no ser em um quadro de ideias que tem coerncia com

a Realidade, onde sua caracterstica a fluncia.

De acordo com Caraa (1998), a varivel o que for determinado pelo conjunto numrico,

ela representa dois casos a sua substncia e o seu domnio. Um dos casos importantes o

domnio do conjunto de nmeros reais compreendidos entre dois nmeros reais, como se

diz o conjunto dos nmeros reais do intervalo, varivel x, a varivel real, e o segundo caso

o domnio de um conjunto infinito dos nmeros naturais, designaremos a varivel n como

a varivel inteira. Este ltimo seu conjunto infinito, porm num intervalo, no

consideraremos todos os nmeros reais, somente um conjunto finito dos nmeros que

chamamos de nmeros naturais.

Finalmente, Caraa (1998) posiciona-se diante de seus conceitos. A varivel ser o que for

determinada pelo conjunto numrico, se cria a relao de correspondncia, varivel

dependente e varivel independente. Uma correspondncia unvoca, voltando ao problema

de tempo (t) para o espao (e) e escreve simbolicamente e = f(t). Assim, o conceito de

funo aparece-nos, no campo matemtico, como o instrumento prprio para o estudo das

leis. (p. 121).

Resumindo Caraa se reporta a seguinte definio do conceito de funo:

Sejam x e y duas variveis representativas de conjuntos de nmeros; diz-se que y

funo de x e escreve-se

y = f(x),

se entre as duas variveis existe um correspondncia unvoca no sentido xy. A x chama-se varivel independente, a y varivel dependente.

A partir da construo de noes bsicas deste conceito, como interdependncia e fluncia,

relacionadas a situaes vivenciadas por alunos esperamos que os alunos estabeleam

significados para essas noes, podendo criar um ambiente favorvel para que haja

aprendizagem. O educador deve estar preparado para ser uma ponte entre as experincias

dos alunos e estas noes bsicas que fundamentam o conceito de funo como

instrumento matemtico.

Pesquisa de Campo

Uma das dificuldades das escolas, ainda hoje em termos das ideias progressivas de Dewey,

a questo da seleo e organizao intelectual de sua matria curricular, pois essa

dinmica no se organiza dentro de um currculo e sim dos caminhos do desenvolvimento

e direcionamento inteligentes para uma educao baseada na experincia.

A pesquisa de campo dar-se-, primeiramente, com uma situao problema levantada pelos

alunos. A observao do professor fundamental para fazer uma apreciao da situao e

os questionamentos dos estudantes para ver se a situao se abre para abordagem das

noes de funo.

Os participantes desta pesquisa sero os alunos de uma escola estadual da cidade de Baro

de Cocais, onde sou professora do quadro efetivo e tambm irei participar como professora

pesquisadora. Trabalharei com uma turma de nono ano do Ensino Fundamental, de

aproximadamente 40 alunos, durante as aulas regulares, no turno em que estes alunos

estudam.

Nossa expectativa que o convite desta abordagem do conceito de funo envolva os

alunos em um ambiente de liberdade, no qual a professora medeie as interaes na direo

de responder s questes que direcionam este trabalho.

Referncias bibliogrficas

CARAA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemtica. Lisboa: Gradiva Publicaes,

1998. 334 p.

DEWEY, John. Experincia e educao. Traduo de Renata Gaspar. 60 ed. Petrpolis,

RJ: Vozes, 2010. 165 p. (Coleo Textos Fundantes de Educao).