Full Paper Cil Am Ce

CMNE/CILAMCE 2007 Porto, 13 a 15 de Junho, 2007

© APMTAC, Portugal 2007

PROGNÓSTICO DE DANOS: TÉCNICAS NUMÉRICAS PARA DETECÇÃO DE FALHAS E PREDICÃO DE VIDA ÚTIL EM

ESTRUTURAS SIMPLES

Flavio A. Presezniak1*, Juan E. Perez Ipiña2 e Carlos A. Bavastri1

1: Departamento Acadêmico de Mecânica Laboratório de Vibrações

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Avenida Sete de Setembro, 3165 – CEP 80630-000 – Curitiba – Paraná – Brasil

* Bolsista do CNPq - Brasil e-mail: [email protected], [email protected]

2: Departamento de Mecánica Aplicada

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional del Comahue

Avenida Buenos Aires, 1400 – CP 8300 - Neuquén – Neuquén - Argentina e-mail: [email protected]

Palavras-chave: Prognóstico de danos, Trincas, Mecânica da Fratura, Técnicas de Otimização, Vibrações, Elementos Finitos

Resumo. A falha brusca em estruturas pode causar enormes prejuízos tanto humanos quanto materiais. Nos últimos anos surge o conceito de prognóstico de dano, o qual procura utilizar medições periódicas e modelos da estrutura para identificar o seu estado atual e prever a vida útil restante. Neste trabalho é apresentada uma metodologia para identificar uma trinca em uma estrutura simples e estimar a vida útil da mesma. Assim, serão utilizados conceitos tais como: respostas numéricas, técnicas de otimização não linear, lei de Paris e Transformada Wavelet. Esta última permite salientar o defeito existente na estrutura já que a sua influência na resposta, em geral, é imperceptível. Um exemplo numérico sobre uma viga metálica será apresentado e os resultados discutidos.

Flavio A. Presezniak, Juan P. Ipiña e Carlos A. Bavastri

2

1. INTRODUÇÃO A falha brusca de estruturas pode causar grandes prejuízos tanto humanos quanto financeiros. Para evitar estes incidentes, vários estudos foram feitos para identificar o mecanismo de propagação destas fissuras. A esta nova área da ciência deu-se o nome de mecânica da fratura. Após o incidente com a fuselagem do avião da Aloha Airlines em 1988, buscou-se através de monitoramento periódico, do conhecimento do carregamento, de conceitos de metalurgia e modelos de predição de falhas, estabelecer critérios para verificar se a estrutura poderia continuar funcionando com segurança. Desta forma, é possível evitar falhas repentinas e catastróficas devido ao crescimento instável de trincas. A esta área, atualmente em desenvolvimento, se dá o nome de Prognóstico de Falha [1]. Com o conhecimento do carregamento, das características do material e do tamanho da trinca fica possível criar um critério de falha baseado nos princípios de mecânica da fratura [2]. Existem vários métodos capazes de identificar trincas, como por exemplo, a utilização de líquidos penetrantes, medições por ultra-som, etc. A necessidade de acesso aos componentes para este tipo de análise dificulta muito este trabalho quando se trata de estruturas complexas. Devido à variação das características dinâmicas da estrutura, como mudança das freqüências naturais ou mudanças de forma dos modos de vibração, os métodos baseados em medições de respostas vibratórias têm recebido especial atenção [3]. Assim, nesta linha de pesquisa, nos últimos anos, podem-se encontrar vários trabalhos introduzindo modelos matemáticos para identificar fissuras em estruturas simples. Também, introduzindo transformada wavelet é possível amplificar o efeito causado pela trinca sobre um modo de vibração [4]. De esta forma, variando as características físicas da fissura, através de um ajuste por mínimos quadrados entre uma resposta obtida através do modelo numérico e uma resposta obtida experimentalmente é possível identificar tanto a localização quanto a severidade do dano.

2. TRANSFORMADA WAVELET

A transformada Wavelet possui certas propriedades que permitem uma grande performance quando aplicada a representação de funções de um certo nível de complexidade. Nestes casos, a representação a partir da transformada de Fourier exige um grande número de coeficientes, enquanto que a transformada wavelet permite uma representação com um número muito inferior de coeficientes [5]. A principal propriedade do sistema wavelet é que as funções utilizadas na transformação são, contrariamente ao seno e cosseno da transformada de Fourier, discretas tanto no tempo quanto na freqüência, ou seja, são ondas definidas em um intervalo restrito de tempo. Para a realização da transformada wavelet faz-se necessário a introdução do conceito de


3

sistema wavelet. Um sistema wavelet é formado por uma função de escala, comumente representada por f e pela wavelet propriamente dita, representada por y, sendo que estas funções podem ser contínuas ou discretas, ortogonais e possibilitam a representação de qualquer função como uma combinação linear destas funções.

2.1. Sistema Wavelet de Daubechies

Ingrid Daubechies definiu um conjunto de nove sistemas wavelet, sendo esta generalização muito importante na representação de funções [6]. Para justificar esta generalização, definiu-se um momento M [7], que é o valor para o qual uma função pode ser derivada M vezes da forma:

M

M

dx

dx

φξ =)( (1)

satisfaz

)1...,,1,0(0)( −==∫+∞

∞−

Mmdxxx mξ (2)

Assim, pode-se dizer que se um sistema wavelet possui um momento M, este pode representar exatamente qualquer polinômio de ordem M-1. A geração das funções de escala dos sistemas wavelet de Daubechies consideram certas restrições para gerar os seus valores nos inteiros do intervalo onde a função é definida. Estas relações apresentam alguns coeficientes, chamados de coeficientes de filtro, definidos por hk que são calculados de tal forma a manter verdadeira a seguinte relação:

∑−

=

−=12

0

2/ )2(2)(N

k

jk

j kxhx φφ (3)

sendo N o sistema wavelet escolhido (variando de 1 a 9), j um parâmetro de escalonamento da função e k um parâmetro de translação da função. Para a obtenção dos valores dos coeficientes de filtro, são utilizadas as seguintes relações [6]:

∫+∞

∞−

= 1)( dxxφ

∫+∞

∞−

=−= kdxkxxx ,0)()()( δφφφ

∑−

=

=12

0

2N

kkh (4)

1,..,02 ,0

12

02 −==∑

−

=+ Nkcomhh k

N

nknn δ


4

∑−

=

−==−12

0

1,..,10)1(N

k

jk

k Njcomkh

A geração das funções de escala parte da solução do problema de autovalores originário da aplicação recursiva da Eq. 3. São também definidos os coeficientes de filtro gk, obtidos a partir da geração das funções wavelet que obedecem a relação recursiva:

∑−

=

−=12

0

)2()(N

kk kxgx φψ (5)

Assim, é possível relacionar os coeficientes hk e gk através da relação:

kk

k hg −−= 1)1( (6)

2.2. Análise Multiresolução

O conceito de análise multiresolução permite obter diferentes soluções para o problema em níveis de nitidez diferentes. Este conceito diz que, uma solução em um nível de refinamento ou nitidez superior pode ser obtida a partir da soma da solução em um nível inferior com um “detalhe” [5]. Matematicamente, este conceito pode ser compreendido a partir da utilização de subespaços formados tanto pelas funções de escala quanto pelas wavelets propriamente ditas. Partindo-se de uma solução em um nível j, portanto, pertencente a um subespaço Vj, verifica-se que para a representação de uma função em L2(R) é necessário que

...... 210121 ⊂⊂⊂⊂⊂⇔⊂ −−+ VVVVVVV jj (7)

sendo que estes subespaços devem satisfazer

U

I

nn

jj

LV

V

)(

0

2 ℜ=

=∞

−∞= (8)

Desta forma, se uma função f(x) está definida em um subespaço Vj, a função f(2x) passa a ser definida em um subespaço Vj+1, ou seja, os subespaços devem estar relacionados de tal forma que

1)2()( +∈⇔∈ jj VxfVxf (9)

Os subespaços são gerados pelas translações das funções de escala, desta forma a relação


5

jj VxfVxf ∈+⇔∈ )1()( (10)

deve ser satisfeita. Isso significa que a função escala φ(x) e suas translações inteiras φ(x-k) formam a base do subespaço Vj-1, sendo que esta função φ(x) se define como a combinação linear de φ(2x-k), o que garante que Vj-1⊂Vj.

O conjunto de funções φj,k formam uma base do sub-espaço Vj e são obtidos através de operações de dilatação j e translação k, sendo φj,k dados por:

)2(2)( 2/, kxx jjkj −= φφ (11)

Esta análise multiresolução conduz a uma decomposição do espaço L2(R) em subespaços Vj, que são utilizados para aproximar as funções. Para isso, se faz necessário obter as projeções da função a aproximar nestes subespaços. Como a união de todos os subespaços Vj é densa em L2(R), se tem garantia de uma boa aproximação. Definidos os subespaços das funções de escala Vj, define-se também os subespaços Wj

formados pelas Wavelets ψ(x). Estes subespaços, que constituem uma base ortonormalizada em L2(R) a um dado nível de resolução j (escala j), podem ser definidos como o complemento ortogonal (Vj

c) de Vj em Vj+1, ou seja, é o complemento que é necessário para se passar de um nível de resolução j para um nível de resolução j+1, sendo matematicamente definido por:

jjj WVV ⊕=+1 (12)

Com isso, pode-se dizer que o subespaço Wj contém o detalhe ou informação necessária para se passar de uma aproximação de resolução j para uma de j+1. Graficamente, isso pode ser representado da seguinte forma, como mostra a Fig. 1.

Figura 1: Representação gráfica da análise multiresolução

2.3. Transformada Wavelet e Filtros

A implementação da transformada discreta Wavelet pode ser feita mediante o processamento


6

do sinal via um banco de filtros, com coeficientes dados pelos valores de hk e gk, originários das definições das funções de escala e wavelets [8]. Partindo da definição de função de escala, pode verificar-se esta propriedade de análise. Definindo a função de escala para j=1 por

∑ −=n

n ntht )2(2)( φφ (13)

e assumindo que uma única solução existe, é possível escalonar e transladar esta função no tempo, por um fator t=2 jÿt - k, da seguinte forma:

∑ ∑ −−=−−=− +

n n

jn

jn

j nkthnkthkt )22(2))2(2(2)2( 1φφφ (14)

Fazendo uma mudança de variáveis do tipo m=2k + n obtêm-se a seguinte relação:

∑ −=− +−

m

jkm

j mthkt )2(2)2( 12 φφ (15)

Definindo o suporte do subespaço Vj, como as funções que originam este subespaço para qualquer translação k, pode-se escrever:

)2(2 2/ ktSV jj

kj −= φ (16)

assim, se a função

)2(2)()( 12/)1(11 ktdtfVtf

k

jjjj −=→∈ ∑ ++++ φ (17)

Como pode ser visto na Eq. 17, f(x) é representada na escala j+1 apenas com funções de escala, sem Wavelets. Para obter esta solução em uma escala inferior é necessário acrescentar o “detalhe”. Assim, para a escala j:

∑ ∑ −+−=k k

jjj

jjj ktcktdtf )2(2)2(2)( 2/2/ ψφ (18)

sendo coeficientes dj,k são determinados por:

dtkttfttfd jjkjj )2(2)()(),( 2/

, ∫ −== φφ (19)

Substituindo a Eq. 15 na Eq. 19

∑ ∫ −= ++−

m

jjkmkj dtmttfhd )2(2)( 12/)1(

2, φ (20)

sendo o valor da integral o coeficiente dj+1,k. Desta forma,

∑ +−=m

kjkmkj dhd ,12, (21)

A relação correspondente para o coeficiente Wavelet é dada por


7

∑ +−=m

kjkmkj dgc ,12, (22)

Por outro lado, a filtragem de um sinal x(n-k), com um filtro com coeficientes h(k), é definida por:

∑−

=

−=1

0

)()()(N

k

knxkhny (23)

Comparando a Eq. 21 e a Eq. 22 com a Eq. 23, verifica-se que as duas primeiras correspondem à filtragem de um sinal cj+1,k por exemplo, com um filtro de coeficiente hm-2k originando um sinal cj,k. Assim, estas relações mostram que os coeficientes de escalonamento e os coeficientes Wavelets, em diferentes níveis, podem ser obtidos convoluindo os coeficientes da expansão em uma escala j com os coeficientes das definições de função de escala e Wavelet, h e g. Graficamente, esta filtragem pode ser visualizada na Fig. 2:

Figura 2: Filtragem de um sinal utilizando os coeficientes de filtro das funções de escala.

3. MODELO NUMÉRICO DA VIGA

A modelagem de uma estrutura simples com trinca, através de um modelo de elementos finitos, deve ser elaborada de forma que seja possível identificar a mesma no domínio gerado pela transformada wavelet. Desta forma, o modelo deve considerar a variação de rigidez local imposta pela presença da trinca e permitir sua variação durante o processo de otimização utilizado para a identificação dos seus parâmetros.

3.1. Tipos de Elementos Utilizados

A modelagem utiliza os modelos de viga de Timoshenko e de viga de Euler-Bernoulli. O modelo de viga de Timoshenko é utilizado em regiões não adjacentes da trinca e o modelo de viga de Euler-Bernoulli nos elementos que fazem a ligação com a mola torcional que representa a mesma (ver Fig. 3). Esta modelagem mista busca evitar os problemas causados nos elementos adjacentes a trinca, devido ao modelo utilizado para suas modelagem, onde não há cisalhamento interno.


8

Figura 3: Modelo da viga utilizado

Devido à utilização de uma mola torcional para a modelagem da trinca [4], algumas considerações devem ser feitas no momento da montagem das matrizes globais de massa e rigidez. A ligação dos elementos n e n+1 (Fig. 3) é feita somente pelos seus deslocamentos, ou seja, eles possuem os mesmos deslocamentos, mas diferentes rotações. Desta forma, as matrizes de rigidez e massa dos elementos adjacentes a trinca podem ser dados por:

[ ]

+−

−+

+=

++++

++++

++++

++++

O

O

144

143

142

141

134

133

132

131

124

123

122

121

44434241

114

113

11234

111333231

24232221

14121211

4432211

000

000

00

00

000

000

nnnn

nnnn

nnt

nt

n

ttnnnn

nnnnnnnn

nnnn

nnnn

t

kkkk

kkkk

kkKkKk

KKkkkk

kkkkkkkk

kkkk

kkkk

vvv

K

θθθθ

e (24)

[ ]

+=

++++

++++

++++

++++

O

O

144

143

142

141

134

133

132

131

124

123

122

121

44434241

114

113

11234

111333231

24232221

14121211

4432211

000

000

000

000

000

000

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnnnnnn

nnnn

nnnn

t

mmmm

mmmm

mmmm

mmmm

mmmmmmmm

mmmm

mmmm

vvv

M

θθθθ

, (25)

sendo os coeficientes destas matrizes obtidos através do modelo de Euller-Bernoulli. Para os demais elementos das matrizes globais, são utilizados elementos de viga de Timoshenko.


9

3.2. Determinação da Rigidez da Trinca

A rigidez da mola torcional é obtida através de modelos empíricos aplicados a diferentes secções transversais. Assim, através de um ajuste de uma curva de flexibilidade em função do tamanho da trinca, é apresentado em [9] o modelo utilizado para uma viga de secção retangular:

=

h

aF

bEI

hc

π6 (26)

Neste caso a é o tamanho da trinca, b a largura da viga, h a altura e EI a rigidez da secção por unidade de comprimento. A função F definida em [9] é:

10987

65432

6,661445,1729,126

81,7622,3737,1695,386,1

+

−

+

+

+

+

+

−

=

h

a

h

a

h

a

h

a

h

a

h

a

h

a

h

a

h

a

h

aF

(27)

sendo a rigidez da trinca dada por:

cK t

1= (28)

4. OBTENÇÃO NUMÉRICA DOS MODOS DE VIBRAÇÃO

A partir do conhecimento das matrizes de massa e rigidez da estrutura com trinca, é possível achar seus parâmetros modais: freqüências naturais e modos de vibrar característicos. Neste trabalho, a partir dos modos será possível identificar a trinca. O cálculo dos modos de vibrar leva em consideração o problema de autovalores não-amortecido, dado por:

[ ]s M K2 0+ =φ (29)

Os autovalores desta equação ocorrem aos pares e são imaginários puros e conjugados da forma:

s i

s i

j j

j j

=

= −

Ω

Ω* (30)

Isto permite que a Eq. 29 possa ser escrita da forma

K Mφ φ= Ω2 (31)

A solução deste problema conduz diretamente a Ω j je2 φ . Matricialmente, esta solução pode

ser escrita da seguinte forma:


10

( ) [ ]njdiag φφφφ ,...,,,, 3212 =ΦΩ=Λ (32)

Apenas a informação de um modo de vibração é utilizada para a identificação dos parâmetros da trinca já que, como mostrado em [10] a variação da freqüência é muito pequena e diferentes configurações de trinca podem levar a uma mesma variação na freqüência natural

5. MECANICA DA FRATURA

Os conceitos de mecânica da fratura podem ser aplicados em prognóstico de dano. Uma vez identificada a trinca é possível determinar a vida útil restante da estrutura usando estes conceitos. Para esta predição, faz-se necessário o conhecimento dos parâmetros básicos da mecânica da fratura, os quais são indicados na Fig. 4 Neste trabalho foram considerados os conceitos de mecânica da fratura linear elástico.

Figura 4: Parâmetros básicos da mecânica da fratura

Devido ao fato de que o crescimento da trinca nestas estruturas se dá por fadiga, pelo modo I de abertura de trincas, este crescimento passa a ser incremental de acordo com os ciclos de carga, sendo controlado pela reversão da deformação plástica na ponta da trinca. A partir de medições do tamanho da trinca em função do número de ciclos [2], Paris determinou, para cada ponto, a inclinação da curva. Estes valores foram postos em um gráfico em escala logarítmica, conforme Fig. 5, onde foi observada a presença de três regiões distintas. Para a região onde se observa o crescimento da trinca, Paris determinou uma relação conhecida atualmente como lei de Paris, sendo dada por:

mKCdn

da∆= (33)

sendo os parâmetros C e m identificados a partir da reta da região II na Fig. 5


11

Figura 5: Velocidade de crescimento de trinca

A Eq. 33 pode ser integrada da seguinte forma:

f

i

a

ma

daN

C( K )=

∆∫ , (34)

dando como resultado:

−∆−

=−−

2

2

2

25,1

11

)2(

2m

f

m

i

mm

aaYCm

Nσπ

, (35)

A Eq. 35 permite determinar o número de ciclos restantes da estrutura, em função dos parâmetros básicos da mecânica da fratura, indicados no triangulo da Fig. 4, e do tamanho crítico de trinca. Nesta equação, ai é o tamanho atual de trinca e af é o tamanho crítico de trinca, obtenível da tenacidade a fratura do material e do estado de carregamento.

6. IDENTIFICAÇÃO E PREDIÇÃO DO DANO

O prognóstico de dano de uma estrutura, leva em conta a sua modelagem, o monitoramento ou periódico do seu estado, a identificação do tamanho do dano e a aplicação de um critério de falha para determinar a vida útil restante. Além disso, todas estas informações são registradas para constante aperfeiçoamento do modelo e melhor aplicação do prognóstico de dano em outras estruturas similares. Assim, na metodologia proposta a identificação e predição do dano possuem as seguintes etapas e objetivos:

• Determinação das solicitações: determinar um critério de falha para a estrutura, sendo este critério dado por um tamanho crítico de trinca que pode ser admitido na estrutura;

• Modelamento da Estrutura: o modelamento serve de base para a obtenção de respostas numéricas na presencia de uma trinca;


12

• Identificação: A identificação é realizada comparando-se as respostas numéricas e experimentais em um subespaço dos detalhes wavelet, obtidos a partir da transformada wavelet com a utilização das funções de escala. Esta transformação realça as descontinuidades do sinal causadas pela presença de uma trinca. Após esta etapa, uma trinca equivalente é identificada;

• Predição do dano: este critério deve levar em consideração a lei de crescimento de trinca, dada pela lei de Paris, para que se possa obter, de maneira mais precisa, o tempo de vida útil da estrutura.

6.1. Identificação da Trinca

O processo de identificação das características da trinca tem inicio na obtenção de um modo de vibração via análise modal de uma estrutura danificada na qual não se conhece a localização nem o tamanho da trinca. Assim, utilizando os detalhes da transformada wavelet, é realizado um ajuste entre o modo característico obtido de forma experimental e o modo característico obtido numericamente. Desta forma, usando técnicas de otimização não linear para minimizar o erro médio quadrático é possível achar o tamanho e a localização da trinca. O algoritmo de busca é o “fminsearch” do Matlab, que minimiza uma função de várias variáveis usando o método de Nelder-Mead. No presente trabalho, esta técnica é utilizada duas vezes: uma para localizar a posição e outra para identificar o tamanho, devido a grande diferença da ordem de grandeza dos coeficientes wavelet envolvidos em ambas as identificações. As funções objetivos são definidas através das seguintes equações:

[ ] [ ])()( numéricomáxPosrespostamáxPoserro −= (36)

Onde o termo Pos[max(resposta)] identifica a posição (nó) onde a resposta experimental atinge o maior valor. O termo “numérico” se referencia a resposta numérica.

[ ])()( numéricomáxrespostamáxmáxerro −= (37)

Onde os termos max(resposta) e max(numérico) indicam o máximo valor de ambas as respostas, numérico e experimental. A função objetivo é dada por:

objf erro= (38)

Os vetores projeto são dados pela localização e tamanho da trinca e definidos por:

trincaT Lx = (39)

trincaT ax = (40)


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6.2. Predição do Dano

O modelo da Lei de Paris leva a Eq. 35. A partir desta equação, é possível obter o tamanho final para cada valor de ciclo. Desta forma, o tamanho da trinca em função do número de ciclos é dado por:

−

−

+

∆−−

=

2

2

5,1

12

1)2(

11

)(

m

mm

m

i

dni

YCmN

a

Naσπ

(41)

Após algumas medições em campo, realizadas periodicamente, depois de identificados o tamanho e a localização da trinca para cada um destes ciclos, é possível ajustar a curva dada pela Eq. 41 para estimar a vida útil de uma estrutura ou parte dela. Este ajuste é realizado entre a nuvem de pontos obtida de forma numérico-experimental e a curva do crescimento da trinca obtida através da lei de Paris. Neste caso, o valor do número de ciclos N representa o número de ciclos entre a medição inicial, ai e a medição atual que determina o ai+dn. O vetor projeto está formado pelos parâmetros da lei de Paris, m, C e o fator geométrico Y:

Tx m C Y= (42)

A função objetivo é definida a partir do erro entre o valor experimental de trinca identificada e aquele obtido a partir da curva dada pela Eq. 41.

erimentalteórico aaerro exp−= (43)

Assim, a função objetivo pode ser definida como a norma 2 do vetor erro (2)

2objf ( x ) erro= (44)

Após o ajuste, os parâmetros de projeto ótimo fornecem a curva de crescimento de trinca. Para validar esta metodologia, foram realizadas três simulações numéricas, como se mostra na Fig. 6. Os pontos para o ajuste foram obtidos através da curva em azul, curva real a ser reproduzida. Foram utilizados 3, 4 e 5 valores de trinca, correspondentes a 3, 4 e 5 medições em campo em distintos ciclos de vida e posterior identificação da mesma. Em cada caso, um número aleatório foi somado aos valores obtidos pela curva real, visando a simulação de uma imprecisão na medição. A curva em vermelho da Fig. 6 mostra o ajuste realizado a partir da lei de Paris com 3, 4 e 5 pontos . Verifica-se que a curva ajustada se aproxima da real à medida que o número de pontos experimentais aumenta. Uma linha limite em verde foi acrescentada indicando o tamanho crítico da trinca, obtido de forma experimental ou através de conceitos de mecânica da fratura. Observa-se que com três pontos identificados de trinca não é possível achar uma predição de


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dano confiável já que o erro entre a curva azul e vermelha da primeira Fig. 6 é de 85,41%. Por outro lado, quando se usam cinco pontos de trincas identificadas, o erro entre a curva verdadeira e a curva identificada é de 0,59%.

Figura 6: Ajustes das curvas de tendência do crescimento da trinca

7. EXEMPLO NUMÉRICO

Para mostrar o potencial da metodologia proposta é apresentado um exemplo numérico. Este exemplo consiste na identificação de uma trinca em uma viga de aço de secção retangular. As condições de contorno correspondem a uma viga engastada – livre e os dados são apresentados na Tabela 1. Com a identificação das características da trinca, localização e tamanho e com o conhecimento do carregamento e das características do material, é calculada a vida útil restante da estrutura.

Constante Valor Unidade


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b Largura da viga 15 mm h Altura da viga 30 mm Lv Comprimento da viga 400 mm E Módulo de Young 207 109 Pa G Módulo de 8,02 109 Pa ρ Massa específica 7800 Kg/m3

L Tamanho do elemento 1 mm Iz Momento de Inercia de área 8,43 10-9 m4

A* Área da secção transversal corrigida 5,4 10-4 m2

S Area da secção transversal 4,5 10-4 m2

a Tamanho da trinca 1 mm Nº elementos 400 -- Nó da trinca 250 --

Tabela 1: Características da viga utilizada no ensaio

Uma vez modelada a viga com fissura por elementos finitos e obtidas as matrizes de massa e rigidez (Eq. 24 e Eq. 25), resolve-se o problema de autovalores (Eq. 31). Na Fig. 7, mostram-se o primeiro e o segundo modo característico do sistema com e sem a presença da trinca.

Figura 7: Primeiro e segundo modos para as vigas sem e com trinca

Pela Fig. 7, verifica-se que a influência da trinca na variação da curvatura do modo é imperceptível. Com a aplicação da transformada Wavelet sobre estes modos de vibração é possível ressaltar a mudança provocada pela presença da trinca (ver Fig 8). Para mostrar as características da transformada Wavelet, foram considerados seis casos em duas situações diferentes: variando o tamanho da trinca mantendo fixa a posição e mantendo


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fixo o tamanho da trinca e variando a posição. Estes casos possuem as características apresentadas na Tabela 2.

Situação Caso Localização [Nó] Tamanho [mm]

1 1 2 1,5 1 3

160 2

4 40 5 100 2 6 250

3

Tabela 2. Características dos modelos para aplicação da transformada wavelet

A aplicação da transformada wavelet nos modos característicos gerados para as vigas cujas trinca possuem as características da Tabela 2, conduz aos resultados mostrados na Fig 8 e Fig. 9. Na Fig. 8 é reproduzida a condição 1, diferentes tamanhos de trinca na mesma posição na viga. Na Fig. 9 o tamanho da trinca é o mesmo, mudando-se a posição.

Figura 8: Coeficiente dos detalhes wavelet para a situação 1

O valor dos coeficientes wavelet para vários tamanhos de trinca, apresentados na Fig. 8, variam de forma muito pequena com a variação do tamanho da trinca. É possível, fazendo uso do modelo numérico do modo e do modo obtido através de uma análise modal, identificar a trinca no domínio wavelet, tanto sua posição quanto o seu tamanho.


17

Figura 9: Coeficiente dos detalhes wavelet para a situação 1

Para a aplicação das técnicas de otimização foram utilizados dois processos de otimização distintos, um com o objetivo de identificar a localização e outro para a identificação do tamanho. Os resultados são apresentados na Tabela 3.

Característica Real Identificado Erro [%]

Posição 250 249 0,4 Tamanho [mm] 3 3,15 5

Tabela 3. Parâmetros obtidos no processo de identificação da trinca.

Para a identificação da vida útil restante, foi atribuído para cada tamanho de trinca um número de ciclos correspondente, conforme a Tabela 4.

Núm. Pontos Quantidade de Ciclos Tamanho de trinca

3 N1 = 2000; 14500; 39500 A1=0,1023; 0,1123; 0,1387 4 N2 = N1; 49500 A2 = A1; 0,1533 5 N3 = N2; 99500 A3 = A2; 0,2887

Tabela 4. Parâmetros para identificação da vida útil.

Os resultados relativos a este processo de identificação, foram comparados com resultados teóricos calculados por mecânica da fratura. Na Tabela 5 são comparados ambos resultados para verificação da metodologia proposta. Como pode observa-se após cinco pontos de medição, o calculo de vida útil tem erro menor a 1 %.


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Lei de Paris Numero de Ciclos até limite Num. Pontos

m C Y Real Ajuste Erro [%]

3 2,3858 7,7379 10-9 2,6849 311500 85,41 4 3,2941 5.3824 10-9 2,2715 183000 8,93 5 3,4733 6,0305 10-9 2,1030

168000 169000 0,59

Tabela 5. Parâmetros de vida útil identificados.

8. CONCLUSÕES

Neste trabalho foram apresentados os elementos necessários para a realização das etapas do prognóstico de dano em estruturas: Modelo numérico da estrutura na presencia de fissuras, identificação da trinca e metodologia para predizer a vida útil. Um dos pontos relevantes deste trabalho foi o estudo e implementação do processo de identificação da trinca no domínio Wavelet. Para tal fim, foram revisadas a teoria e a implementação numérica da transformada Wavelet. Exemplos foram realizados e os resultados analisados. A identificação da trinca foi realizada mediante o ajuste entre os detalhes da transformada wavelet aplicada aos modos obtidos numericamente e ao modo obtido através de uma análise modal numérico-experimentalmente. A identificação consistiu em achar tanto o tamanho quando a localização da trinca. Ao contrário dos métodos que utilizam variações nas freqüências naturais, onde somente grandes tamanhos de trinca podem ser identificados, este método foi capaz de identificar as pequenas variações causadas pela presença de uma trinca nos modos de vibração. Uma revisão dos conceitos de mecânica da fratura foi realizada. Um ajuste, utilizando técnicas de otimização não linear, foi apresentado entre o modelo proposto na lei de Paris e os tamanhos de trinca medidos. Desta forma, foi possível, com certa precisão, determinar o número de ciclos restantes até que a trinca atinja o seu tamanho crítico. Mostra-se que um número mínimo é necessário para que o erro cometido seja aceitável. Abaixo deste número, o resultado não é confiável. Assim, esta metodologia se mostrou viável para identificação de trincas e determinação da vida útil restante em estruturas unidimensionais e com trincas localizadas em regiões onde ocorre a variação da forma do modo de vibração.

9. REFERENCIAS

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