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8/18/2019 FT8_CondicoesPlanoEspaço

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Módulo A1 - Geom etria: Ficha d e Trabalho N.º8

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CONDIÇÕES NO PLANO. CONJUNÇÃ O E DISJUNÇÃ O

A ideia de identificar um ponto do plano por um par de números reais e relacionar, a partir daí, as propriedades

dos lugares geométricos com as propriedades desses números revelou-se muito frutifica, não só no estudo da

Geometria mas também em outros ramos da Matemática.

Quando nos referimos a lugares geométricos do plano, estamos a referir-nos a conjuntos de pontos do plano que

verificam uma determinada condição.

RETAS VERTICAIS (Retas paralelas ao eixo Oy )

Uma reta vertical que passa pelo ponto de abcissa a tem por equação x = a .

Todos os pontos pertencentes a uma reta vertical têm a mesma abcissa.

RETAS HORIZONTAIS (Retas paralelas ao eixo Ox )

Uma reta horizontal que passa pelo ponto de ordenada b tem por

equação y = b.

Todos os pontos pertencentes a uma reta horizontal têm a mesma

ordenada.

BISSETRIZES DOS QUADRANTES

A reta y = x é designada pela bissetriz dos quadrantes ímpares.

Todos os pontos têm a abcissa igual à ordenada.

A reta y = -x é designada pela bissetriz dos quadrantes pares.

Todos os pontos têm a abcissa simétrica à ordenada.

MATEMÁTICA 10º Ano - 2014/2015 - Módulo A1: Geometria - Ficha de Trabalho N.º8

Condições no plano e no espaço.


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SEMIPLANOS ABERTOS E FECHADOS

Quando se considera uma reta num plano, esta divide-o em dois semiplanos.

SEMIPLANO FECHADO

Constituído por todos os

pontos de abcissa não

inferior a a (maior ou igual

a a ), é definido pela

condição x a .

SEMIPLANO ABERTO


pontos de abcissa

superior a a , é definido

pela condição x > a .

SEMIPLANO FECHADO


pontos de abcissa não

inferior a k (maior ou

igual a k ), é definido

pela condição y k .

SEMIPLANO ABERTO

Constituído por todos

os pontos de

ordenada superior a k ,é definido pela

condição y > k .

ATIVIDADES

1. Represente num referencial o.m., geométrica e analiticamente:

1.1. A reta horizontal que contém os pontos de ordenada -2;

1.2. A reta vertical que contém os pontos de abcissa 3.

2. Escreva uma equação para as retas representadas nos referenciais seguintes:

2.1. 2.2.


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3. Represente, num referencial o.m., a região do plano definida pela condição:

3.1. y 2 3.2. x 1,5 3.3. x - 2

3.4. y x 3.5. y -x 3.6. y < -x

4. Escreva uma condição que represente cada um dos semiplanos.

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

CONJUNÇÃ O E DISJUNÇÃ O DE CONDIÇÕES

CONJUNÇÃO DE CONDIÇÕES

A conjunção de duas condições a(x) e b(x) é uma nova condição que se

obtém ligando as condições dadas pelo símbolo (lê-se “e”) ou seja

a(x) b(x) .

O conjunto de pontos definido por a(x) b(x) é o conjunto de pontos que

satisfazem simultaneamente as duas condições dadas.

DISJUNÇÃO DE CONDIÇÕES

A disjunção de duas condições a(x) e b(x) é uma nova condição que se

obtém ligando as condições dadas pelo símbolo (lê-se “ou”) ou seja

a(x) b(x) .

O conjunto de pontos definido por a(x) b(x) é o conjunto de pontos que

satisfazem pelo menos uma das duas condições dadas.

1. ATIVIDADES2.5. Represente o conjunto dos pontos do plano definidos por:

5.1. y 3 y 1 5.2. – 2 y 3 5.3. y 1 x 1 5.4. x 3 y 0

5.5. y 4 x 0 5.6. x -3 x 3 y 0 5.7. x > 2 y 3


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6. Defina por uma condição, em R2, que corresponda a cada um dos seguintes conjuntos de pontos no plano.

6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

6.5. 6.6. 6.7. 6.8.

6.9. 6.10. 6.11. 6.12.

7. No referencial o.m. da figura está representado o triângulo [ABC] de área igual a

6 cm2. Sabe-se que:

a unidade do referencial é o centímetro;

A é um ponto do eixo Oy;

C é um ponto do eixo Ox;

A reta AB é definida pela equação y = b;

A reta CB é definida pela equação x = 3.

7.1. Determine as coordenadas dos pontos A, B e C.

7.2. Determine o perímetro do triângulo [ABC].


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CONDIÇÕES NO ESPAÇO. PLANOS COORDENA DOS

Recorde que um plano pode ser definido por duas

retas concorrentes, logo

pode ser definido por

duas retas

perpendiculares.

Assim:

Os três planos xOy , xOz

e yOz intersectam-se no ponto 0, 0, 0

, a

origem do referencial, e dividem o espaço em oito

regiões – os octantes.

Exemplo 1:


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Exemplo 2:

ATIVIDADES

7. Considere o paralelepípedo retângulo MNOPQRST .

7.1. Sabendo que área da base é 6, escreva as coordenadas de

cada um dos vértices do paralelepípedo.7.2. Escreva a equação do plano que contém a face NPQT .

7.3. Indique uma condição para definir a face STQR .

8. Na figura ao lado encontra-se, num referencial o.m.,um prisma reto retangular [ABCDEFGH]. Sabe-se

que:

a base é um quadrado de lado 3 cm e a altura é

igual a 5 cm;

o vértice A tem de coordenadas (2, 0 , 0).

8.1. Determine as coordenadas dos pontos C, D e E.

8.2. O plano de equação x= -1 contém uma das

faces do prisma. Qual é essa face?

8.3. Determine, em centímetros quadrados, a área do triângulo [AEG]. Apresente o resultado arredondado

às décimas.


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9. Num referencial o.m. Oxyz está representado um prisma quadrangular regular. A

aresta da base tem 5 cm de comprimento e a altura do prisma é 7 cm. Escreva uma

equação para cada um dos planos que contêm as faces do prisma.

10. Na figura está representado um cubo [ABCDEFGH] de aresta 8 cm. Oreferencial representado tem a origem no centro do cubo e os eixos contêm os

centros das faces. escreva uma equação para cada um dos planos que

contêm as faces do cubo.

11. Na figura estão representados, em referencial o.m. Oxyz 10 cubos, todos

com as mesmas dimensões.

O ponto A tem de coordenadas (1, 0, -1).

11.1. Determine as coordenadas dos vértices B a N.

11.2. Defina por uma equação os planos:

a) AFE b) BCG c) ABC d) NMH e) DIN f) JKL

11.3. Defina por uma condição as retas:

a) EF b) ML c) GC

12. Na figura está representado um paralelepípedo [ABCDEFGH].

12.1. Indique as coordenadas dos vértices do paralelepípedo.

12.2. Escreva uma condição que represente cada um dos seguintes

conjuntos de pontos.

a) plano ABF b) plano EHG

c) reta BC d) reta CG

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