Física III

João Francisco Fuzile Rodrigues Garcia 8549323

Maiara Fernanda Moreno 8549344

Exercício 23.85 • •

Ao longo do eixo central de um disco carregado uniformemente, em um ponto a 0,60m do

centro do disco, o potencial é 80V e a intensidade do campo elétrico é 80V/m. A uma

distância de 1,5m, o potencial é de 40V e a intensidade do campo elétrico é de 23,5V/m.

Determine a carga total do disco.

OBS: Considere que o potencial seja zero quando muito distante do disco (ou seja, V = 0

para |x| = ∞).

Introdução

Este exercício trata de um disco uniformemente carregado, e para obter-se as equações de seu

potencial elétrico e de seu campo elétrico, que serão utilizadas para a resolução do exercício

proposto, é necessário o estudo de alguns conceitos fundamentais, que antecedem o cálculo de

seu potencial:

Potencial elétrico de uma carga puntiforme

O potencial elétrico a uma distância 𝑟 de uma carga puntiforme 𝑞 pode ser calculado

usando 𝑉𝑝 − 𝑉𝑟𝑒𝑓 = ∫ �⃗� 𝑝

𝑟𝑒𝑓∗ 𝑑 𝑙 ⃗⃗ , onde no ponto de referência o potencial é igual a 𝑉𝑟𝑒𝑓

e 𝑝 é um ponto arbitrário onde calcula-se o campo. O campo elétrico devido a uma carga

puntiforme é dado por :

�⃗� = 𝑘𝑞

𝑟2 𝒓

Substituindo �⃗� na integral de linha tem-se que:

𝑉𝑝 − 𝑉𝑟𝑒𝑓 = ∫ �⃗� 𝑝

𝑟𝑒𝑓

∗ 𝑑 𝑙 ⃗⃗ = ∫𝑘𝑞

𝑟2 𝒓

𝑝

𝑟𝑒𝑓

∗ 𝑑 𝑙 ⃗⃗ = ∫𝑘𝑞

𝑟2

𝑝

𝑟𝑒𝑓

∗ 𝑑 𝑟 ⃗⃗

Ou simplificando,

𝑉𝑝 = 𝑘𝑞

𝑟−

𝑘𝑞

𝑟𝑟𝑒𝑓

Cálculo do potencial elétrico para distribuições contínuas de carga

O potencial devido a uma distribuição contínua de carga pode ser calculado escolhendo-

se um elemento de carga 𝑑𝑞, que é tratado como uma carga puntiforme. Desta forma o

potencial pode ser calculado pela integral abaixo:

𝑉𝑝 = ∫𝑘 𝑑𝑞

𝑟

A integral apresentada acima é ponto de partida para resolver casos especiais de

distribuição, como o de um anel carregado e de um disco carregado (caso deste exercício).

Potencial elétrico de um anel carregado uniformemente

Tem-se um anel de raio r e carga q no plano x = 0 e centrado na origem. A distância de

um elemento de carga dq ao ponto p no eixo do anel é:

𝑟 = √𝑥2 + 𝑎2

Como esta distância é a mesma para todos os elementos de carga do anel, podemos

remover este termo da integral. O potencial no ponto P devido ao anel é então:

𝑉 = ∫𝑘 𝑑𝑞

𝑟=

𝑘

𝑟∫𝑑𝑞 =

𝑘𝑄

𝑟

ou

𝑉𝑝 = 𝑘𝑞

√𝑥2 + 𝑎2

Figura 1 – Anel carregado uniformemente

Potencial elétrico de um disco carregado uniformemente

Podemos usar o resultado encontrado para o potencial no eixo de um anel de carga para

calcular o potencial no eixo de um disco uniformemente carregado, pois considera-se que

este é composto por vários aneis carregados.

Figura 2 - Esquema de um disco uniformemente carregado

O eixo do disco é o eixo x e este é tratado como um conjunto de aneis carregados. O anel

de raio a e espessura da na figura acima tem uma área 2𝜋𝑑𝑎. A carga do anel é

𝑑𝑞 = σ ∗ 𝑑𝑎 = 𝑟𝑜2𝜋𝑑𝑎, onde σ = Q/(𝜋𝑅2) é a densidade superficial de carga.

O potencial no ponto P devido a carga neste anel é dado pela equação no tópico anterior:

𝑉𝑝 = 𝑘𝑞

√𝑥2 + 𝑎2

Integramos então de a = 0 até a = R para determinar o potencial total devido à carga do

disco.

Aqui tem-se então o potencial V então para o plano x = 0:

𝑑𝑉 = 𝑘 𝑑𝑞

√𝑥2 + 𝑎2=

𝑘σ2𝜋𝑎 𝑑𝑎

√𝑥2 + 𝑎2

𝑉 = ∫𝑘σ2𝜋𝑎 𝑑𝑎

√𝑥2 + 𝑎2

𝑅

0

= 𝑘σ𝜋∫2𝑎 𝑑𝑎

√𝑥2 + 𝑎2

𝑅

0

𝑉 = 2𝜋𝑘σ|x| (√1 + 𝑅2

𝑥2− 1) =

σ

2 ∊𝑜 (√𝑥2 + 𝑅2 − 𝑥)

Campo elétrico de um disco carregado uniformemente

A partir da equação do campo elétrico e da equação do potencial elétrico do disco

uniformemente carregado, podemos obter a fórmula do campo de um disco

uniformemente carregado:

𝐸𝑥⃗⃗⃗⃗ = −

𝑑𝑉

𝑑𝑥= 2𝜋𝑘σ|x| (

1

𝑥−

1

√𝑥2 + 𝑅2) 𝒊 =

σ

2 ∊𝑜 (1 −

𝑥

√𝑥2 + 𝑅2) 𝒊

Resolução

Dados do exercício:

V1 = 80 V V2 = 40 V

R1 = 0,60 m R2 = 1,50 m

E1 = 80 V/m E2 = 23,5 V/m

Baseando-se nos dados do exercício, para sua resolução poderemos usar as equações do

potencial e do campo elétrico para um disco uniformemente carregado:

𝑉(𝑥) = σ

2 ∊𝑜 (√𝑥2 + 𝑅2 − 𝑥) ( 𝐼 )

𝐸𝑥 = σ

2 ∊𝑜 (1 −

𝑥

√𝑥2 + 𝑅2) ( 𝐼𝐼 )

Onde ∊𝑜= 8.854 . 10−12 𝐶2

𝑁.𝑚2

Para obtermos a carga Q nessas equações, teremos que substituir σ, que é a densidade superficial

de carga. Para um disco uniformemente carregado, cuja superfície é um círculo, temos:

𝑄 = ∫σ 𝑑𝑆

𝑆

= ∫ ∫ σ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑅

0

2𝜋

0

= σ𝜋𝑅2

σ = 𝑄

𝜋𝑅2 ( 𝐼𝐼𝐼 )

Substituindo a equação ( III ) nas equações ( I ) e ( II ), obteremos:

𝑉(𝑥) = 𝑄

2𝜋𝑅2 ∊𝑜 (√𝑥2 + 𝑅2 − 𝑥) => 𝑄 =

2𝜋𝑅2 ∊𝑜 𝑉(𝑥)

(√𝑥2 + 𝑅2 − 𝑥) ( 𝐼𝑉 )

𝐸𝑥 = 𝑄

2𝜋𝑅2 ∊𝑜 (1 −

𝑥

√𝑥2 + 𝑅2) => 𝑄 =

2𝜋𝑅2 ∊𝑜 𝐸𝑥

(1 − 𝑥

√𝑥2 + 𝑅2) ( 𝑉 )

Com isso, ainda temos que calcular o valor do raio do disco, R, o que pode ser feito de várias

formas. No caso, poderemos fazer do seguinte modo:

𝑉(0.60𝑚) = 80𝑉 = 2𝜋𝑘σ (√(0.60𝑚)2 + 𝑅2 − 0.60𝑚) ( 𝑉𝐼 )

𝑉(1.50𝑚) = 40𝑉 = 2𝜋𝑘σ (√(1.50𝑚)2 + 𝑅2 − 1.50𝑚) ( 𝑉𝐼𝐼 )

Dividindo a fórmula ( VI ) pela fórmula ( VII ):

80𝑉

40𝑉=

2𝜋𝑘σ (√(0.60𝑚)2 + 𝑅2 − 0.60𝑚)

2𝜋𝑘σ (√(1.50𝑚)2 + 𝑅2 − 1.50𝑚)

2 = (√(0.60𝑚)2 + 𝑅2 − 0.60𝑚)

(√(1.50𝑚)2 + 𝑅2 − 1.50𝑚)

2 (√2.25𝑚2 + 𝑅2 ) − 3𝑚 = √0.36𝑚2 + 𝑅2 − 0.60𝑚

2 (√2.25𝑚2 + 𝑅2 ) = √0.36𝑚2 + 𝑅2 + 2.40𝑚

Elevando-se os dois lados ao quadrado:

9𝑚2 + 4𝑅2 = 0.36𝑚2 + 𝑅2 + 5.76𝑚2 + 4.80 (√0.36𝑚2 + 𝑅2)

0.6𝑚2 + 0.625𝑅2 = (√0.36𝑚2 + 𝑅2)

Novamente elevando ambos os lados ao quadrado:

0.36𝑚2 + 0.75𝑅2 + 0.390625𝑅4 = 0.36𝑚2 + 𝑅2

0.390625𝑅4 = 0.25𝑅2

𝑅2 = 0.64

𝑅 = 0.80𝑚

Logo, o valor do raio do disco é de 0.80m

Finalmente, basta substituir os dados do exercício e do raio do disco na equação ( IV ) ou na

equação ( V ). No caso, utilizaremos a equação ( V ). Note que é possível usar tanto os valores

(E1, R1) quanto os valores (E2, R2) para resolver o exercício:

utilizando o par (𝐸1, 𝑅1 ): Q = 2 𝑥 8.854 . 10−12 (

𝐶2

𝑁.𝑚2)𝑥 80 (𝑉𝑚

)𝑥 𝜋 𝑥 (0.80𝑚)2

(1 − 0.60𝑚

√(0.60𝑚)2 + (0.80𝑚)2)

Q = 2 𝑥 8.854 . 10−12 (

𝐶2

𝑁.𝑚2) 𝑥 80 (𝑉𝑚

)𝑥 𝜋 𝑥 0.64𝑚2

(1 − 0.60𝑚1𝑚

)=

2848.323723 . 10−12 (𝑉 . 𝐶2

𝑁 .𝑚)

0.4

Q = 7120.809307 . 10−12 (𝑉. 𝐶2

𝑁.𝑚) = 7.120809307 . 10−9𝐶 ≅ 7.12 𝑛𝐶

utilizando o par (𝐸2, 𝑅2 ): Q = 2 𝑥 8.854 . 10−12 (

𝐶2

𝑁.𝑚2) 𝑥 23,5 (𝑉𝑚

)𝑥 𝜋 𝑥 (0.80𝑚)2

(1 − 1.50𝑚

√(1.50𝑚)2 + (0.80𝑚)2)

Q = 2 𝑥 8.854 . 10−12 (

𝐶2

𝑁.𝑚2)𝑥 23,5 (𝑉𝑚)𝑥 𝜋 𝑥 0.64𝑚2

(1 − 1.50𝑚1.70𝑚)

= 836.6950936 . 10−12 (

𝑉 . 𝐶2

𝑁 .𝑚)

0.117647058

Q = 7111.908345. 10−12 (𝑉. 𝐶2

𝑁.𝑚) = 7.111908345 . 10−9𝐶 ≅ 7.12 𝑛𝐶

Obs: note que (V/m) = (N/C), e logo:

(𝑉. 𝐶2

𝑁.𝑚) = (

𝑁. 𝐶2

𝑁. 𝐶) = 𝐶

Portanto, a carga total do disco é de 7.12 nC.

Conclusão

Como pudemos ver, existem várias maneiras de se resolver o exercício. Não é necessário se

utilizar de todas as equações empregadas nessa resolução, porém dessa forma engloba-se toda a

matéria relacionada a potencial elétrica e campo elétrico, e o caso especial do disco

uniformemente carregado.

Também é possível se obter as equações para o disco sem o uso das equações do anel

uniformemente carregado, porém o resultado é o mesmo, exigindo apenas menor número de

equações.

Bibliografia

P. Tipler, Física para Cientistas e Engenheiros, vol. 2, Eletricidade e Magnetismo, sexta edição