Frações1
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Helena Borralho/2012-13
FRAÇÕES
NÚMERO RACIONAL.
Helena Borralho/2012-13
O que são frações?
Fração é um número que exprime uma ou mais partes, em que foi dividida a unidade. Sendo a e b números inteiros e b ≠ 0
(b diferente de zero), indicamos a divisão de a por b com o símbolo a : b ou, ainda,
Helena Borralho/2012-13
2
1 NumeradorDenominador
Termos da fracção
2 é o denominador, representa o número de partes geometricamente iguais em que se considera dividida a unidade.
2
1
1 é o numerador, representa o número de partes que se consideram.
Termos de uma fração
Helena Borralho/2012-13
Números Racionais
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É UM CONJUNTO REPRESENTADO PELA LETRA ℚ E QUE É COMPOSTO PELOS NÚMEROS INTEIROS E PELOS NÚMEROS FRACIONÁRIOS.
UM NÚMERO RACIONAL INTEIRO, OU FRACIONÁRIO, É UM NÚMERO QUE PODE SER ESCRITO NA FORMA𝑎
𝑏
Helena Borralho/2012-13
Por exemplo, a fração é igual a 12÷4. Neste caso, 12 é o numerador e 4 é o denominador. Efetuando a divisão de12 por 4, obtemos o quociente 3, e um resto de 0.
Assim 12 é múltiplo de 4, pelo que é um número natural.
Número Racional Inteiro
Assim teremos:
Temos uma pizza para dividir, igualmente, por 8 pessoas. Quando dividida , a pizza continuará a ser uma unidade, só que, agora, está dividida em 8 pedaços.
Helena Borralho/2012-13
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.
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Número Racional Fracionário
Número racional fracionário, porque o numerador não é múltiplo do denominador.Exemplos 𝟐
𝟖Dois não é múltiplo de 8
Pode ser representado por:
𝟐𝟖 o
u2:8=0,25
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Fração: partes do todo
O primeiro pedaço representa um oitavo da pizza, os sete pedaços que restaram equivalem a sete oitavos da pizza.
Assim, o número fraccionário um oitavo pode representar-se por:1
8ou 0,1
25
Helena Borralho/2012-13
Número fracionário
• Um NÚMERO FRACIONÁRIO é um número que
pode ser representado por uma fração, mas que
não é um número inteiro.
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Números racionais: conclusão
• O conjunto dos NÚMEROS RACIONAIS é formado pelos números inteiros e pelos números fracionários.
Todo o número racional pode ser representado por uma fração.
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TAREFA 1
Quando é que uma fração representa um número natural? Dá exemplos.
Quando o numerador é múltiplo do denominador
164;
287;
15010
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TAREFA II
O denominador de uma fração pode ser zero? Porquê?
Não. Porque numa divisão o quociente tem de ser diferente de zero.
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DIFERENTES REPRESENTAÇÕES PARA A METADE DE UMA FIGURA
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Diferentes representações para a quarta parte
25
10025%
14
Um quarto 0,25
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3
2
10
3
12
1
Representações de Números fracionários
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2
1
2
13
1
4
1
Representações de Números fracionários
Helena Borralho/2012-13
Leitura de fracções
2
1 um meio
3
1
três décimas
4
3 três quartos
5
12doze quintos
6
5cinco sextos
7
2 dois sétimos
8
7 sete oitavos
9
21 vinte e um nonos
10
3
um terço
quatro onze avos11
4
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Problemas de partilha equitativa
Tarefa1: Os alunos da turma da Joana foram a um passeio. A Joana e quatro dos seus colegas decidiram levar para o lanche 3 sandes para partilharem igualmente entre elas. Que porção de sandes coube a cada uma das 5 crianças?
Helena Borralho/2012-13
3 sandes para 5 crianças
1 2 3 4 51 2 3 4
12
110
1
10
1 2 3 4 5
1ºProcesso
O que coube a cada uma das 5 crianças
Helena Borralho/2012-13
3 sandes para cinco meninos
15
15
15
15
15
15+ + =
35
2ºProcesso
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3º Processo - resolução com a divisão
3 : 5 = 0,6
35
3 sandes para cinco meninos
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Problemas de partilha equitativa
Tarefa 2: No mesmo passeio outro grupo de 10 crianças partilhou 6 sandes tendo cada uma ficado com a mesma quantidade de sandes. Com que porção ficou cada uma?
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6 sandes para 10 crianças
1ºProcesso
1
2 1
10
610
ou
O que coube a cada uma das 10 crianças
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6 sandes para 10 meninos
60 pedaços a dividir por 10 Cada pedaço são 0,6 de sandes
2ºProcesso
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Comparação de frações com a unidade
Uma fração é maior que um, quando o numerador é maior que o denominador.
106
>1
Uma fração é menor que um, quando o numerador é menor que o denominador.
56<1
66=1 Uma fração é igual a um,
quando o numerador e o denominador são iguais
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TIPOS DE FRAÇÕES
Frações próprias – quando o numerador é menor que o denominador
Frações impróprias – quando o numerador é maior que o denominador
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Representação de um numeral misto num número fracionário
=1 =1 24+ + = 2
Repara que: se multiplicares, 2 x 4 + 2 e mantiveres o mesmo denominador, obténs a fração correspondente ao numeral misto dado.
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Exemplos 3
1049
100
19
1000
1
10 000
FRAÇÕES DECIMAIS
Frações decimais são todas as frações cujo denominador está representado por uma potência não nula de base 10, ou seja, 10, 100, 1000, 10000,…
5
102
16
103
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Fracções decimais
10
4100
7
1000
3
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30,3
10
Exemplos
490,49
100
190,019
1000
10,0001
10 000
Números decimais
Helena Borralho/2012-13
Verifica então que:
Para se transformar uma fração decimal num número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador. E, esse quociente possui tantas casas decimais iguais quanto o número de zeros do denominador.
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Verifica então que:
Todos os números decimais podem ser representados na forma de fração decimal.
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FRAÇÕES DECIMAIS
NÚMEROS DECIMAIS
Exemplo
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12
2
6
1
: 2
: 2
=
=
FRAÇÕES EQUIVALENTES
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=
15
6
5
2
x 3
x 3
=
FRAÇÕES EQUIVALENTES
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Duas frações dizem-se equivalentes se a partir de uma podemos obter a outra, multiplicando (ou dividindo) o numerador e o denominador por um mesmo número, diferente de zero.
Regra:
Exemplos:
12
3
4
1
2
1
8
4
3
2
9
6
Frações equivalentes
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Encontrar frações equivalentes a
FRAÇÕES EQUIVALENTES
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12
43
1
6
2= =
× 2 × 2
× 2 × 2
12
43
1
6
2= =
: 2 : 2
: 2 : 2
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois termos de uma fração pelo mesmo número, diferente de zero, obteremos uma fração equivalente à fração dada.
PRINCÍPIO DE EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES:
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Simplificar frações
Tiago dividiu uma pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele comeu?Tiago comeu 4/8 da pizza. Mas, 4/8 é equivalente a 2/4. Assim, podemos dizer que ele comeu 2/4 da pizza.
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A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2. Veja-se:
Dizemos que esta é uma fração simplificada de 4/8.
A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração equivalente com termos menores. Veja-se:
Esta fração 1/2 não pode mais ser simplificada.
Uma fração que não pode mais ser
simplificada diz-se irredutível.
Simplificação de Frações
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Simplificação de Frações
Exemplos:
Regra:
Simplificar uma fração é dividir o numerador e o denominador pelo maior valor constante, de forma a encontrar uma fração equivalente. Caso isso não seja possível, diz-se que a fração é irredutível.
2
1
12
6
5
2
10
4
3
2
9
6
7
2
Frações Irredutíveis
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Simplificação de fracções
56
282
1=
: 28
: 28
Porque:
Porque:
D28 = {1, , 28 }2, ,144, 7
D56 = {1, ,56}2, ,144, 7, , 288
O máximo divisor comum entre 28 e 56 é o maior número que é divisor comum destes números.m.d.c.(28,56)
= 28
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56
282
1=
: 28
: 28
Porque:
28 2
14 2
7 7
1
56 2
28 2
14 2
7 7
1
28 = 2 2
× 7 56 = 2 3 × 7
O máximo divisor comum entre 28 e 56, decompostos em fatores primos é igual ao produto dos fatores primos comuns de menor expoente.
m.d.c.(28,56) = 22 × 7= 28
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Comparação e ordenação de números racionais
• Quando dois ou mais números representados por fracções têm o mesmo denominador, o menor deles é representado pela fracção que tiver menor numerador.
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Comparação e ordenação de números racionais
• Quando dois ou mais números representados por fracções têm o mesmo numerador, o menor deles é representado pela fracção que tiver maior denominador.
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0 1 2 3
Observa a reta numérica.
5
25
15
5
8
5
5
5
4
5
2
5
15
5
8
5
5
5
4
5
115
11
• A comparação e ordenação de números racionais facilita a sua localização e posicionamento na reta numérica.
Helena Borralho/2012-13
8
1
8
3+ =
Adição e Subtração de Frações
+
4
1
4
3 - =-
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Quantas joaninhas há no total?
12
Observa a figura e responde:
Quantas são Amarelas? 5 de 12 ou512
Quantas são Vermelhas? 4 de 12412
ou
Quantas são Azuis? 3 de 12 ou312
=
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Adição de frações com o mesmo denominador
Helena Borralho/2012-13
E se for, por exemplo…2
1
3
1+ ?
Adição e Subtração de Frações
Como somar/subtrair frações com denominadores diferentes?
Helena Borralho/2012-13
2
1
3
1+ = ?
6
3+ =
6
2Frações equivalentes, com o mesmo
denominador
Adição e Subtração de Frações
6
5
Helena Borralho/2012-13
Adição de frações com denominadores diferentes
Helena Borralho/2012-13
Para somar/subtrair frações, é necessário que tenham o mesmo denominador.Calcula
6
5
3
1
5
1
3
4
3
1
2
1
5
6
Adição e Subtração de Frações
6
3
5
12
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Unidade
- Uma única Figura/Objeto
- Várias Figuras/Conjunto de Objetos
Problema:Das 18 laranjas que comprei, 2/3 tinham bicho. Quantas laranjas estavam estragadas?
183
2de
OU
Helena Borralho/2012-13
123
3618
3
218
3
2de
Estavam estragadas 12 laranjas
Resolução do problema
0u