FRAÇÕES Por Emerson Mendes

7/23/2019 FRAES Por Emerson Mendes

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FRAES

Elementos Histricos sobre fraes

H 3000 antes de Cristo, os gemetras dos faras do Egito realizavam marcao dasterras qe ficavam !s margens do rio "ilo, #ara a sa #o#lao$ %as, no #er&odo de

'n(o a setembro, o rio inndava essas terras levando #arte de sas marcaes$ )ogo os#ro#rietrios das terras tin(am qe marc*las novamente e #ara isso, eles tilizavamma marcao com cordas, qe seria ma es#+cie de medida, denominada estiradoresde cordas$

s #essoas tilizavam as cordas, esticando*as e assim verificavam qantas vezes aqelanidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida davacorreta no terreno, isto +, no cabia m n-mero inteiro de vezes nos lados do terreno.sendo assim eles sentiram a necessidade de criar m novo ti#o de n-mero * o nmero

fracionrio, onde eles tilizavam as fraes$

/ntrodo ao conceito de frao

s vezes, ao tentar #artir algo em #edaos, como #or e1em#lo, ma #izza, ns acortamos em #artes qe no so do mesmo taman(o$

)ogo isso daria ma grande confso, #ois qem ficaria com a #arte maior2 qemficaria com a #arte menor2 4 lgico qe alg+m sairia no #re'&zo$

5ensemos neste e1em#lo6 7ois irmos foram 'ntos com#rar c(ocolate$ Eles com#raram

das barras de c(ocolate igais, ma #ara cada m$ /am comear a comer qandoc(ego ma de sas mel(ores amigas e vieram as #ergntas6 8em daria m #edao

#ara a amiga2 8al deveria ser o taman(o do #edao2 Eles disctiram e c(egaram !seginte conclso6

5ara qe nen(m dos dois comesse menos, cada m daria metade do c(ocolate #ara aamiga$

9oc: concorda com esta diviso2 5or q:2

Como voc: #oderia resolver esta sitao #ara qe todos comessem #artesigais2

qe voc: ac(a desta frase6 Quem parte e reparte e no fica com a melhor parte, ou bobo ou no temarte.

Elementos gerais #ara a constro de fraes

5ara re#resentar os elementos qe no so tomados como #artes inteiras de algmacoisa, tilizamos o ob'eto matemtico denominado frao$

con'nto dos n-meros natrais, algmas vezes incli o zero e otras vezes no, tendoem vista qe zero foi m n-mero criado #ara dar significado nlo a algo$ "essemomento o con'nto " ser re#resentado #or6


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" ; < =, >, 3, ?, @, A, B, $$$

)ogo, todos os n-meros natrais re#resentam #artes inteiras$

s n-meros qe no re#resentam #artes inteiras, mas qe so #artes de inteiros,

constitem os n-meros racionais no*negativos, aqi re#resentados #or 8D, onde estaletra 8 significa qociente o diviso de dois n-meros inteiros natrais$

8D; < 0,$$$, =?,$$$, =>,$$$, =,$$$,>,$$$

Numeral:Felativo a n-mero o indicativo de n-mero$

Nmero:5alavra o s&mbolo qe e1#ressa qantidade$

7efinio de frao

s nmerais qe re#resentam n-meros racionais no*negativos so c(amadosfraeseos n-meros inteiros tilizados na frao so c(amados nmerador e denominador,se#arados #or ma lin(a (orizontal o trao de frao$

Numera

dor

Denomin

ador

ondeNumeradorindica qantas #artes so tomadas do inteiro, isto +, o n-mero inteiroqe + escrito sobre o trao de frao eDenominadorindica em qantas #artes dividimoso inteiro, sendo qe este n-mero inteiro deve necessariamente ser diferente de zero$

Observao: lingagem HG%) #ara constrir #ginas da IebJ no #ro#orcionaainda m m+todo sim#les #ara a im#lementar a barra de frao, razo #ela qal, !svezes saremos a barra o mesmo o sinal K, #ara entender a diviso de dois n-meros$

Exemplo:Consideremos a frao =?, qe #ode ser escrita como6

1

4

Em lingagem matemtica, as fraces #odem ser escritas tanto como no e1em#lo acimao mesmo como =?, considerada mais comm$

1/4 1/4

1/4 1/4


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nidade foi dividida em qatro #artes igais$ frao #ode ser visalizada atrav+s dafigra ane1ada, sendo qe foi sombreada ma dessas #artes$

)eitra de fraes

aJ O numerador 1 e o denominador um inteiro 1


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1/$0 um sessenta avos um sexa.simo

1/%0 um setenta avos um septua.simo

1/&0 um oitenta avos um o-to.simo

1/'0 um noventa avos um nona.simo

1/100 um -em avos um -entsimo1/1000 um mil avos um milsimo

1/10000 um de+ mil avos um d-imo milsimo

1/100000 um -em mil avos um -entsimo milsimo

1/1000000 um milo avos um milionsimo

Observao: frao =3@MB #ode ser lida como6 m, tr:s mil qin(entos e noventa esete avos$

Gi#os de fraes

re#resentao grfica mostra a frao 3? qe + ma frao c'o nmerador + mn-mero natral menor do qe o denominador$

1/4 1/4

1/4 1/4

frao c'o nmerador + menor qe o denominador, isto +, a #arte + tomada dentro dointeiro, + c(amadafrao prpria$ frao c'o nmerador + maior do qe odenominador, isto +, re#resenta mais do qe m inteiro dividido em #artes igais +c(amadafrao imprpria$

"/"

1/"

1/"

1/"

!/"

1/"

1/"

1/"

2

#/"21!/"

1

1/"

1/"

1/"

rao aparente:+ aqela c'o nmerador + m m-lti#lo do denominador e a#arentaser ma frao mas no +, #ois re#resenta m n-mero inteiro$ Como m caso #articlar,

o zero + m-lti#lo de todo n-mero inteiro, assim as fraes 03, 0N, 0=@ so a#arentes,#ois re#resentam o n-mero inteiro zero$


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ra3es E)uivalentes:Lo as qe re#resentam a mesma #arte do inteiro$ Lemlti#licarmos os termos nmerador e denominadorJ de ma frao scessivamente

#elos n-meros natrais, teremos m con'nto infinito de fraes qe constiti m

con'nto qe + con(ecido como a classe de eqival:ncia da frao dada$

1/!

1/!

1/!

!/4

1/4 1/4

1/4 1/4

"/$

1/$ 1/$ 1/$

1/$ 1/$ 1/$

4/&

1/& 1/& 1/& 1/&

1/& 1/& 1/& 1/&

5ro#riedades fndamentais

=J Le mlti#licarmos os termos nmerador e denominadorJ de ma frao #or mmesmo n-mero natral, obteremos ma frao eqivalente ! frao dada6

1

!2

1!

!!2

!

4

>J Le + #oss&vel dividir os termos nmerador e denominadorJ de ma frao #or mmesmo n-mero natral, obteremos ma frao eqivalente ! frao dada6

1!

1$2

1!5!

1$5!2

$

&2

$5!

&5!2

"

4

frao como ma classe de eqival:ncia

classe de eqival:ncia de ma frao + o con'nto de todas as fraes eqivalentes !

frao dada$ o inv+s de trabal(ar com todos os elementos deste con'nto infinito,sim#lesmente #oderemos tomar a frao mais sim#les deste con'nto qe ser are#resentante desta classe$ Esta frao ser denominada m n-mero racional$ #licandoa #ro#riedade fndamental, #odemos escrever o con'nto das fraes eqivalentes a =3,como6

C=3J ; < =3, >A, 3M, ?=>, @=@, A=N, $$$

"-mero %isto
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htmhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm


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8ando o nmerador de ma frao + maior qe o denominador, #odemos realizar mao#erao de decom#osio desta frao em ma #arte inteira e ma #arte fracionria e oresltado + denominado n-mero misto$

6rans7ormao de uma 7rao impr8pria em um nmero misto

1%

42

1$1

42

1$

4

1

42 4

1

42 4

1

4

6rans7ormao de um nmero misto em uma 7rao impr8pria

4

1

42 4

1

42

1$

4

1

42

1%

4

Lim#lificao de Oraes

Lim#lificar fraes + o mesmo qe escrev:*la em ma forma mais sim#les, #ara qe amesma se torne mais fcil de ser mani#lada$

ob'etivo de sim#lificar ma frao + torn*la ma frao irredt&vel, isto +, ma

frao #ara a qal o %1imo 7ivisor Comm entre o "merador e o 7enominador se'a=, o se'a, o "merador e o 7enominador devem ser #rimos entre si$ Essa sim#lificao#ode ser feita atrav+s dos #rocessos de diviso scessiva e #ela fatorao$

diviso scessiva corres#onde a dividir os dois termos da frao #or m mesmon-mero fator comm J at+ qe ela se torne irredt&vel$

"$

$02

"$5!

$05!2

1&

"02

1&5!

"05!2

'

1#2

'5"

1#5"2

"

#

Fes#ectivamente, dividimos os termos das fraes #or >, > e 3$

Observao:tra maneira de diviso das fraes + obter o %1imo 7ivisor Commentre o "merador e o 7enominador e sim#lificar a frao diretamente #or esse valor$

Exemplo:Lim#lificaremos a frao @?B>, sando o %1imo 7ivisor Comm$ Como%7C@?,B>J;=N, ento @?6=N;3 e B>6=N;?, logo6

#4

%!2

#451&

%!51&2

"

4


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Com#arao de das fraes

=J 9or reduo ao mesmo denominador

Le das fraes #ossem denominadores igais, a maior frao + a qe #ossi maiornmerador$ 5or e1em#lo6

"

#J 6anto os numeradores -omo os denominadores das duas 7ra3es so di7erentes

7evemos redzir ambas as fraes a m denominador comm e o #rocesso de#ende doclclo do %&nimo %-lti#lo Comm entre os dois denominadores e este ser odenominador comm !s das fraes$ "a seqP:ncia, divide*se o denominador comm

#elo denominador de cada frao e mlti#lica*se o resltado obtido #elo res#ectivonmerador$

Exemplo:9amos com#arar as fraes >3 e 3@$ Como os denominadores so 3 e @,temos qe %%C3,@J;=@$ Fedzindo ambas as fraes ao mesmo denominador comm=@, a#lica*se a regra de dividir o denominador comm #elo denominador de cada fraoe na seqP:ncia mlti#lica*se esse res#ectivo n-mero #elo nmerador$

!

"

"

#

%lti#licando os termos da #rimeira frao #or @ e mlti#licando os termos da segndafrao #or 3, obteremos6

!

"

2!#

"#

""

#"

2"

#

Gemos ento os mesmos denominadores, logo6

!

"2

10

1#

'

1#2

"

#

e #odemos garantir qe

!

"2

10

1#*

'

1#2

"

#


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3J ;s 7ra3es possuem um mesmo numerador

Le os nmeradores de das fraes forem igais, ser maior a frao c'o denominador

for menor$

Exemplo:Qma re#resentao grfica #ara a desigaldade

"

4*

"

&

#ode ser dada geometricamente #or6

"/42$/&

1/& 1/& 1/& 1/&

1/& 1/& 1/& 1/&

"/&

1/& 1/& 1/& 1/&

1/& 1/& 1/& 1/&

bserve qe a rea amarelada + maior na #rimeira figra$

7iviso de fraes * Consideremos inicialmente ma diviso 7 de das fraes,denotada #or6

D 21

!5

!

"

Qm modo fcil #ara e1#licar esta diviso + tomar as das fraes com o mesmodenominador e realizar a diviso doprimeiro numerador#elose!undo numerador, isto+6

D 21

!5

!

"2

"

$5

4

$

#ois => + eqivalente a 3A e >3 + eqivalente a ?A$ desen(o abai1o mostra asfraes => e >3, atrav+s de sas res#ectivas fraes eqivalentes6 3A e ?A$

"/$

1/$ 1/$ 1/$

1/$ 1/$ 1/$

4/$

1/$ 1/$ 1/$


9/9

1/$ 1/$ 1/$

Fealizar a diviso entre dois n-meros fracionrios o no"e#, + o mesmo qe#rocrar saber qantas #artes de#esto oc#adas #or"$ 8antas #artes da frao ?Aesto oc#adas #ela frao 3A2

"o desen(o, os nmeradores das fraes esto em cor amarela$ Como temos 3 #artes emamarelo na #rimeira frao e ? #artes em amarelo na segnda frao, a divisocorres#onde ! frao $%&, o se'a, em cada artes amarelas, $esto oc#adas$

Este argmento 'stifica a diviso de das fraes #ela mlti#licao da #rimeira frao#elo inverso da segnda frao e observamos qe de fato isto fnciona neste caso6

D 21

!5

!

"2

"

$

$

42

1&

!42

"

4

"a verdade, ( m tratamento mais geral qe o deste caso #articlar$ diviso de mn-mero real ab #elo n-mero real cd +, #or definio, a mlti#licao do n-mero ab

#elo inverso de cd$ contece qe o inverso de cd + a frao dc, assim6

a

b

5-

d

2a

b

d

-

2ad

b-

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