O papel das fraes e nmeros Decimais Esta pgina trata do estudo de fraes e nmeros decimais, bem como seus fatos histricos, propriedades, operaes e aplicaes. As fraes decimais e nmeros decimais possuem notria importncia cotidiana. Tais conceitos so usados em muitas situaes prticas, embora, muitas vezes passem despercebidas. Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de caf por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtm-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de fraes e nmeros decimais. Atravs deste tipo de compra, usamos o conceito de frao decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), nmeros decimais juntamente com o sistema monetrio. Muitas outras situaes utilizam de fraes e nmeros decimais. Observao: Para dividir um nmero X por outro nmero no nulo Y, usaremos frequentemente a notao X/Y, por ser mais simples.

Elementos histricos sobre os nmeros Decimais Hoje em dia comum o uso de fraes. Houve tempo, porm que as mesmas no eram conhecidas. O homem introduziu o uso de fraes quando comeou a medir e representar medidas. Os egpcios usavam apenas fraes que possuiam o nmero 1 dividido por um nmero inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais fraes eram denominadas fraes egpcias e ainda hoje tm muitas aplicaes prticas. Outras fraes foram descobertas pelos mesmos egpcios as quais eram expressas em termos de fraes egpcias, como: 5/6=1/2+1/3. Os babilnios usavam em geral fraes com denominador 60. provvel que o uso do nmero 60 pelos babilnios se deve ao fato que um nmero menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente fraes com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o nmero 12 por ser um nmero que embora pequeno, possui um nmero expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notaes foram usadas para representar fraes. A atual maneira de representao data do sculo XVI. Os nmeros decimais tm origem nas fraes decimais. Por exemplo, a frao 1/2 equivale frao 5/10 que equivale ao nmero decimal 0,5. Stevin (engenheiro e matemtico holands), em 1585 ensinou um mtodo para efetuar todas as operaes por meio de inteiros, sem o uso de fraes, no qual escrevia os nmeros naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posio ocupada pela vrgula no numeral decimal. A notao abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemtico escocs. 1437 1000 A representao dos algarismos decimais, provenientes de fraes decimais, recebia um trao no numerador indicando o nmero de zeros existentes no denominador. 437 = 4,37 100 123 = 1, 4 3 7

Este mtodo foi aprimorado e em 1617 Napier props o uso de um ponto ou de uma vrgula para separar a parte inteira da parte decimal. Por muito tempo os nmeros decimais foram empregados apenas para clculos astronmicos em virtude da preciso proporcionada. Os nmeros decimais simplificaram muito os clculos e passaram a ser usados com mais nfase aps a criao do sistema mtrico decimal.

Fraes e Nmeros Decimais Dentre todas as fraes, existe um tipo especial cujo denominador uma potncia de 10. Este tipo denominado frao decimal. Exemplos de fraes decimais, so: 1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103 Toda frao decimal pode ser representada por um nmero decimal, isto , um nmero que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vrgula. A frao 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como: 127 = 1,27 100 onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notao subentende que a frao 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma: 127 = 100 100 100+27 = 100 100 + 100 27 = 1+0,27 = 1,27

A frao 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 a parte inteira e 8 a parte decimal. Aqui observamos que este nmero decimal menor do que 1 porque o numerador menor do que o denominador da frao.

Leitura de nmeros decimais Para ler nmeros decimais necessrio primeiramente, observar a localizao da vrgula que separa a parte inteira da parte decimal. Um nmero decimal pode ser colocado na forma genrica: Centenas Dezenas Unidades , Dcimos Centsimos Milsimos Por exemplo, o nmero 130,824, pode ser escrito na forma: 1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 dcimos 2 centsimos 4 milsimos Exemplos:

0,6 0,37 0,189 3,7 13,45

Seis dcimos Trinta e sete centsimos Cento e oitenta e nove milsimos Trs inteiros e sete dcimos Treze inteiros e quarenta e cinco centsimos

130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milsimos

Transformando fraes decimais em nmeros decimais Podemos escrever a frao decimal 1/10 como: 0,1. Esta frao lida "um dcimo". Notamos que a vrgula separa a parte inteira da parte fracionria: parte inteira parte fracionria 0 , 1 Uma outra situao nos mostra que a frao decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se l da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centsimos". Novamente observamos que a vrgula separa a parte inteira da parte fracionria: parte inteira parte fracionria 2 , 31 Em geral, transforma-se uma frao decimal em um nmero decimal fazendo com que o numerador da frao tenha o mesmo nmero de casas decimais que o nmero de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a diviso do numerador pelo denominador. Por exemplo:(a) 130/100 = 1,30 (b) 987/1000 = 0,987 (c) 5/1000 = 0,005

Transformando nmeros decimais em fraes decimais Tambm possvel transformar um nmero decimal em uma frao decimal. Para isto, toma-se como numerador o nmero decimal sem a vrgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do nmero dado. Como exemplo, temos:(a) (b) (c) (d) 0,5 0,05 2,41 7,345 = = = = 5/10 5/100 241/100 7345/1000

Propriedades dos nmeros decimais Zeros aps o ltimo algarismo significativo: Um nmero decimal no se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros direita do ltimo algarismo no nulo de sua parte decimal. Por exemplo:(a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 (b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200 (c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000

Multiplicao por uma potncia de 10: Para multiplicar um nmero decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vrgula para a direita uma, duas, ou trs casas decimais. Por exemplo:

(a) 7,4 x 10 = 74 (b) 7,4 x 100 = 740 (c) 7,4 x 1000 = 7400

Diviso por uma potncia de 10: Para dividir um nmero decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vrgula para a esquerda uma, duas, trs, ... casas decimais. Por exemplo:(a) 247,5 10 = 24,75 (b) 247,5 100 = 2,475 (c) 247,5 1000 = 0,2475

Operaes com nmeros decimais Adio e Subtrao: Para efetuar a adio ou a subtrao de nmeros decimais temos que seguir alguns passos: (a) Igualar a quantidade de casas decimais dos nmeros decimais a serem somados ou subtrados acrescentando zeros direita de suas partes decimais. Por exemplo:(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723 (b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723

(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que: i. ii. iii. iv. v. o algarismo das unidades de um nmero dever estar embaixo do algarismo das unidades do outro nmero, o algarismo das dezenas de um nmero dever estar em baixo do algarismo das dezenas do outro nmero, o algarismo das centenas dever estar em baixo do algarismo das centenas do outro nmero, etc), a vrgula dever estar debaixo da outra vrgula, e a parte decimal (dcimos, centsimos, milsimos, etc) de forma que dcimos sob dcimos, centsimos sob centsimos, milsimos sob milsimos, etc.

Dois exemplos:2,400 + 1,723 ------2,400 - 1,723 -------

(c) Realizar a adio ou a subtrao. Multiplicao de nmeros decimais: Podemos multiplicar dois nmeros decimais transformando cada um dos nmeros decimais em fraes decimais e realizar a multiplicao de numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo: 225 2,253,5 = 100 10 35 = 10010 22535 = 1000 7875 = 7,875

Podemos tambm multiplicar os nmeros decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas s do multiplicador. Por exemplo: 2,25 2 casas decimais multiplicando x 3,5 1 casa decimal multiplicador 1125

+ 675 7875 7,875 3 casas decimais

Produto

Diviso de nmeros decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma diviso por 10, 100 ou 1000, o quociente no se alterar. Utilizando essas informaes poderemos efetuar divises entre nmeros decimais como se fossem divises de nmeros inteiros. Por exemplo: 3,60,4=? Aqui, dividendo e divisor tm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente no se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor sero nmeros inteiros. Na prtica, dizemos que "cortamos" a vrgula. 3,6 3,60,4 = 0,4 Um outro exemplo: 0,35 0,357= 7 = 7100 0,35100 = 700 35 = 7007 357 = 100 5 = 0,05 = 410 3610 = 4 36 =9

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente no se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor sero inteiros. Exerccio: Uma pessoa de bom corao doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual ser a rea que cada um receber? Diviso com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a diviso de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 dcimos, 3500 centsimos, ... at que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a diviso se torne possvel. Neste caso, h a necessidade de multiplicar por 100. Assim a diviso de 35 por 700 ser transformada numa diviso de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vrgula aps o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficar dividido por 100. dividendo 3500 700 divisor resto 0 0,05 quociente Realiza-se a diviso de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05. Diviso de nmeros naturais com quociente decimal: A diviso de 10 por 16 no fornecer um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da diviso no ser um inteiro, assim para dividir o nmero 10 por 16, montamos uma tabela semelhante diviso de dois nmeros inteiros. 10 16 ?

(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficar dividido por 10. Isto justifica a presena do algarismo 0 seguido de uma vrgula no quociente.

100

16 0,

(2) Realizamos a diviso de 100 por 16. O resultado ser 6 e o resto ser 4. 100 -96 4 16 0,6

(3) O resto 4 corresponde a 4 dcimos = 40 centsimos, razo pela qual colocamos um zero (0) direita do nmero 4. 100 -96 40 16 0,6

(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto ser 8. 100 -96 40 -32 8 16 0,62

(5) O resto 8 corresponde a 8 centsimos = 80 milsimos, razo pela qual inserimos um 0 direita do nmero 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0. 100 -96 40 -32 80 -80 0 16 0,625

A diviso 10/16 igual a 0,625. O o quociente um nmero decimal exato, embora no seja um inteiro.

Comparao de nmeros decimais A comparao de nmeros decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses nmeros. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se l: maior); < (que se l: menor) ou = (que se l: igual). Nmeros com partes inteiras diferentes: O maior nmero aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:(a) 4,1 > 2,76, pois 4 maior do que 2. (b) 3,7 < 5,4, pois 3 menor do que 5.

Nmeros com partes inteiras iguais: Igualamos o nmero de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessrios. Aps esta operao, teremos dois nmeros com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual o maior deles. Alguns exemplos, so:(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31. (b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470. (c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3.

Porcentagem Ao abrir um jornal, ligar uma televiso, olhar vitrines, comum depararmos com expresses do tipo:

A inflao do ms foi de 4% (l-se quatro por cento) Desconto de 10% (dez por cento) nas compras vista. O ndice de reajuste salarial de maro de 0,6% (seis dcimos por cento)

A porcentagem um modo de comparar nmeros usando a proporo direta, onde uma das razes da proporo uma frao cujo denominador 100. Toda razo a/b na qual b=100 chama-se porcentagem. Exemplos: (1) Se h 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o nmero de meninas com o nmero total de alunos da sala, usando para isto uma frao de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos ento 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento o mesmo que 30 = 30% 100 (2) Calcular 40% de R$300,00 o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporo que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporo: 40 = 100 300 X

Como o produto dos meios igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicao cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120 Logo, 40% de R$300,00 igual a R$120,00. (3) Li 45% de um livro que tem 200 pginas. Quantas pginas ainda faltam para ler? 45 = 100 200 X

o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu j li 90 pginas, ainda faltam 200-90=110 pginas