Formulas Resmat
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Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil
1
Propriedades Geométricas de Áreas Planas
0
dAx
yr
x
y
∫∫
∫∫
∫∫
==
==
==
==
dArIdAxyI
A
Ii
AI
i
dAxIdAyI
dAxMdAyM
2Pxy
yy
xx
2y
2x
SySx
yxAII
xAIIyAII
A
yAdAy
A1
yA
xAdAx
A1
x
eixosdeTranslação
ygxgxy
2ygy
2xgx
i
ii
i
ii
+=
+=+=
====∑∑∫∑
∑∫
G
0
y
ygy
xg
x
A
x
2xy
2yx
yx
xyxy
xy
xy
I2
II
II
I22tg2cosI
2senI2cos
2senI2cos
+
−
−−=θθ
θ+θ
θ−θ
yxminmax,
yxuv
yxyxv
yxyxu
2
III
2sen2
III
2
II
2
III
2
II
2
III
eixosdeRotação
±
+=
+θ−
=
−−
+=
−+
+=
0
u
y
v
x
θ
Seção retangular
h
b
G
0x
xg
y yg
x
y0I
12hb
I12bh
I
4hb
I3hb
I3bh
I
bhA2h
y2b
x
ygxg
3
yg
3
xg
22
xy
3
y
3
x
===
===
===
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2
Seção triangular
( )
( )
( )
( )
( )
A bh x b c y h
I bh I bh b bc c
I bh b c
I bh I bh b bc c
I bh b c
x y
xy
xg yg
xg yg
= = + =
= = −
= −
= = −
= −
12
13
13
112
3 3
2
3 2 2
2
12 3 3
24 3 2
36 36
72 2
+
+
2
h
b
0x
xg
y yg
c
G
x
y
Seção circular
G
y
x
r
d
A r d
I I r d
I r d
x y
P
= =
= = =
= =
π π
π π
π π
2 14
2
14
4 164
4
12
4 132
4
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
d r d r
A r r d d
I I r r d d
I r r d d
e e i i
e i e i
x y e i e
P e i e i
=
i
=
= − = −
= = − = −
= − = −
2 2
2 2 14
2 2
14
4 4 164
4 4
12
4 4 132
4 4
π π
π π
π π
G
y
x
re
ri
Esforço Normal
θσ=τθσ=σε=σ∆
=ε=σ θθ 2sen2cosELL
AN 2
( )
nAN
12E
GTLLAE
LNL
Uadmadm
xzyT
σ=σσ≤=σ
ν+=εν−=ε=ε∆α=∆=∆
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Lei de Hooke
( )[ ]( )[ ]( )[ ] zxzxyxzz
yzyzxzyy
xyxyzyxx
GE1
GE1
GE1
γ=τσ+σν−σ=ε
γ=τσ+σν−σ=ε
γ=τσ+σν−σ=ε
Torção
w746HP1f2Tf2PTP
dxIGT
IGLT
IGLT
IT
iL
PPi
ii
PP i
=π=ωπ=ω=
=φ=φ=φρ=τ ∑ ∫
Seção transversal retangular Seção transversal elíptica
b
a Gbac
LT
bac
T
32
21
max
=φ
=τ
b
a Gba
)ba(LT
ba
T2
33
22
2max
π
+=φ
π=τ
Seção transversal triangular equilátera Seção transversal vazada de parede fina
a
aa
4
3max
aG
LT188,46
a
T20
=φ
=τ
Ω
t
∫Ω=φ
Ω=τ
s2
max
tds
G4
LT
t2T
Flexão
qdxMd
VdxdM
qdxdV
2
2
−==−=
zI
My
IM
yI
WWMy
yIM
y
y
z
zx
max
zz
z
zxx
z
zx ±±=σ==σ
ρ=ε=σ
CCTT admadmadmmaxadmmaxmax yIM
σ≤σσ≤σσ≤=σ
yIM
nyIM
EE
nt
2xt
1x1
2 =σ=σ=
2211
22x
2211
11x2211 IEIE
yEMIEIE
yEM0dAyEdAyE
+=σ
+=σ=+ ∫∫
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Esforço Cortante
)circulark,retangulark(AV
k
dAQItV
dAFItVQ
xIVQ
HIVQ
q
34
23
maxadmmax
AA
===ττ≤τ
=τ==τ== ∫∫
Análise de Tensões
θτ−θσ−σ
−σ+σ
=σ
θτ+θσ−σ
+σ+σ
=σ
′
′
2sen2cos22
2sen2cos22
xyyxyx
y
xyyxyx
x
θτ+θσ−σ
−=τ ′′ 2cos2sen2 xy
yxyx
222tg
2
22tg
22
yx
xy
yxc
2xy
2yx
max
yx
xyp
2xy
2yxyx
2,1
σ+σ=σ
τ
σ−σ−=θτ+
σ−σ±=τ
σ−σ
τ=θτ+
σ−σ±
σ+σ=σ
Analogia de Mohr
*** VyeMyEIM
qvariávelRigidez =′=⇒=
EIV
yeEIM
yMqconstante Rigidez**
* =′=⇒=
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Teorias de Resistência
Critérios de Escoamento
Teoria da Máxima Energia de Distorção (von Mises)
Teoria da Máxima Tensão Tangencial (Tresca)
2Y
2221
21 σ=σ+σσ−σ
Y221
Y121
Y2121
0e0
0e0
0e0
σ=σ⇒<σ<σ
σ=σ⇒>σ>σ
σ=σ−σ⇒<σ>σ
Critérios de Fratura
Teoria da Máxima Tensão Normal (Critério
de Rankine) Teoria de Mohr
U2U1 σ=σσ=σ
Flambagem
YLIM
minmin
min
e2
2
CR2e
min2CR
EA
Ii
iLE
L
EIP
σπ=λ==λ
λπ
=σπ=
π+=σ
+=σ
−
π=
−
=
CR2max
e2max
crmax
emax
PP
2sec
i
ce1
AP
EIP
2L
seci
ce1
AP
1PP
2secey1
EIP
2
Lsecey
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L
Le = L 2L 0,7 L 0,5L
Linha Elástica
[ ] )x(tgyEI)x(M
yy1
y1EI)x(M1
2/32θ≅θ=′=′′
′+
′′=
ρ=
ρ
Trabalho de Deformação Conservação de energia ie UU =
A,BB,AAp,BBm,AA,BB,A
1,22,12,121
kkke
kkke
L
2
L P
2
L
2
L
2
i
yYyMaxwelldeTeorema
UUUUUUBettideTeorema
M21UP2
1UClayperondeTeorema
dxGA2V
dxGI2T
dxEI2M
dxEA2N
UdeformaçãodeernointTrabalho
ϕ=ϕϕ==
=++=
ϕ=δ=
χ+++=
∑∑
∫∫∫∫
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Teorema de Castigliano
kkkk
LL PLLk
kk
PV
V,PT
T,PM
M,PN
N:onde
dxGAVV
dxGITT
dxEIMM
dxEANN
PU
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=
χ+++=δ⇒∂∂
=δ ∫∫∫∫
kkkk
LL PLLk
kk
MV
V,MT
T,MM
M,MN
N:onde
,dxGAVV
dxGITT
dxEIMM
dxEANN
MU
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=
χ+++=ϕ⇒∂∂
=ϕ ∫∫∫∫
XV
V,XT
T,XM
M,XN
N:onde
,dxGAVV
dxGITT
dxEIMM
dxEANN
XU
LL PLL
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=
∆−=χ+++⇒∆−=∂∂
∫∫∫∫
Princípio dos Trabalhos Virtuais
∫∫∫∫
∫∫∫∫
χ+++=ϕ
χ+++=δ
LL PLL
LL PLL
AG
dxVv
IG
dxTt
IE
dxMm
AE
dxNn.1
AG
dxVv
IG
dxTt
IE
dxMm
AE
dxNn.1
∑=
=δn
1i i
iii
AE
LNn.1:treliçasPara
∫∫ =ϕ=δLL IE
dxMm.1ou
IE
dxMm.1:lmentetransversacarregadasvigasPara
Análise de Deformações
( )θ
γ+θ
ε−ε−=
γ
θγ
−θε−ε
−ε+ε
=ε
θγ
+θε−ε
+ε+ε
=ε
2cos2
2sen22
2sen2
2cos22
2sen2
2cos22
xyyx'xý
xyyxyx'y
xyyxyx'x
yx
xyp
2xy
2yxyx
b,a 2tg222 ε−ε
γ=θ
γ+
ε−ε±
ε+ε=ε
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( ) ( )xy
yxt
2xy
2yxmax 2tg
γ
ε−ε−=θγ+ε−ε=γ
( ) θθγ+θε+θε=εε+ε−ε=γ θ cossensencos2 xy
2y
2xyxOBxy
( )
( ) ( ) minmaxmaxbacbaba
bacba
bba
a
E1
E1
EEEEE
ε−ε=γσ+σν−
−=εσ+σν−
=ε+ε
σ+σν
−=εσν
+σν
−=εσν
−σ
=ε
.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
Diagrama retangular
Diagrama triangular
Diagrama triangularqualquer
Diagrama parabólicode 20. grau
Diagrama parabólicode 20. grau
Diagrama parabólicode 30. grau
Diagrama parabólicode grau n
b
h
b
h
x
x
h
b
c
b
h
x
x
b
b
b
h
h
hx
x
x
FORMA ÁREA X
bh b/2
bh/2 b/3
bh/2 (b+c)/3
2bh/3 3b/8
bh/3
bh/4
bh/n+1
b/4
b/n+2
b/5
TABELA DE ÁREAS - Analogia de Mohr
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