Fórmulas e nomenclaturas de matemática financeira
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fórmulas e Nomenclaturas
Prof. Esp. Mário Ferreira Neto1
10/AGOSTO/2011
1 Professor Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – Minas Gerais.
2
Fator multiplicativo ou fator matemático:
100
iFm
Fm→ fator matemático i→ taxa de juros Fórmula da capitalização simples ou juros simples:
J = PV . i. n ou J = C . i . n
J→ juros PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) C→ capital
FV = PV + J ou M = C +J
FV→ valor futuro PV→ valor presente M→ montante C→ capital J→ juros
J = FV – PV ou J = M - C
J→ juros FV→ valor futuro PV→ valor presente M→ montante C→ capital
Fórmulas auxiliares de juros simples:
3
1- Valor presente ou capital:
ni
JPV
.
PV→ valor presente J→ juros i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) 2- taxa:
nPV
Ji
.
i→ taxa de juros J→ juros PV→ valor presente n→ número de períodos (período de tempo) 3- número de períodos ou período de tempo:
iPV
Jn
.
n→ número de períodos (período de tempo) J→ juros PV→ valor presente i→ taxa de juros Fórmula da capitalização composta ou juros compostos:
J = PV . [(1 + i)n - 1] ou J = C . [(1 + i)n – 1]) J→ juros PV→ valor presente
4
i→ taxa de juros
n→ número de períodos (período de tempo) C→ capital
FV = PV . (1 + i)n ou M = C . (1 + i)n
FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros
n→ número de períodos (período de tempo) M→ montante C→ capital
J = FV – PV ou J = M – C
J→ juros FV→ valor futuro PV→ valor presente M→ montante C→ capital Fórmulas auxiliares de juros compostos: 1- Valor presente ou capital:
11
ni
JPV
PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) 2- taxa:
5
1 n
PV
FVi
i→ taxa de juros FV→ valor futuro PV→ valor presente n→ número de períodos (período de tempo) 3- número de períodos ou período de tempo:
iPV
FV
n
1log
log
n→ número de períodos (período de tempo) FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros log→ logaritmo Fórmula de financiamento (coeficiente de financiamento):
ni
iCF
11
ou
ni
iCF
1
11
6
CF→ coeficiente de financiamento i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) Fórmula de financiamento (valor da prestação):
PMT = PV . CF ou VP = C . CF
PMT→ valor da prestação PV→ valor presente CF→ coeficiente de financiamento Vp→ valor da prestação C→ capital Fórmula de financiamento (valor da prestação com um valor de entrada):
PMT = (PV – PMT) CF ou VP = (C – Vpe). CF
PMT→ valor da prestação PV→ valor presente CF→ coeficiente de financiamento Vp→ valor da prestação C→ capital Vpe→ valor da prestação de entrada Fórmula de financiamento (valor da prestação igual ao valor da entrada):
PMT→ valor da prestação PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto)
7
CF→ coeficiente de financiamento
CF
PMTPV
PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto) PMT→ valor da prestação CF→ coeficiente de financiamento Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Fórmula de taxa proporcional:
2
1
2
1
t
t
i
i
i1→ taxa inicial (taxa que tenho) i2→ taxa final (taxa que quero) t1→ tempo inicial (tempo que tenho em mês) t1→ tempo final (tempo que tenho convertido para o número de capitalizações) Fórmula de taxa equivalente:
ie = (1 + ik)k – 1
ie→ taxa equivalente (taxa que quero) ik→ taxa equivalente qualquer (taxa que tenho) k→ número de capitalizações convertido para a unidade padrão ou unidade apropriada
Fórmula de situações possíveis com taxa equivalente:
8
Fórmula Taxa Período Número de
capitalizações
1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2
1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3
1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4
1+ia = (1+imes)12 imes mês 12
1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24
1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52
1+ia = (1+idias)365 idias Dia 365
Taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.
iN = n x i
in→ taxa nominal i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos
Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
ie = (1 + ie)1/n – 1
in→ taxa nominal i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos
Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
9
Taxa acumulada de juros com taxas variáveis é
normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral. Taxa aparente é a taxa que se obtém em uma operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação. Taxa over é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão do mercado financeiro). Taxa média é a taxa de juros que tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica. Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: a taxa real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade existe uma ligação íntima entre as três taxas dadas por:
1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado então o resultado
é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. A variação real no final deste mês será definida por:
vreal = 1 + ireal
pode ser calculada por:
vreal = resultado / (1 + iinflação)
isto é:
10
vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02
o que significa que a taxa real no período foi de:
ireal = 2%
Capitalização em períodos fracionários:
CONVENÇÃO LINEAR por esta convenção calcula-se o montante ou valor futuro a juros compostos do número de períodos inteiros. Ao valor futuro (montante) obtido adicionam-se os juros simples correspondentes no período fracionário.
FV = PV . (1 + i)n + PV (1 + i)n . i . p/q
Juros compostos
Nos períodos inteiros
Juros simples
Nas frações de períodos (taxa proporcional)
FV→ valor futuro
PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos n + p/q→ prazo total p/q→ fração do período total
n + p/q: prazo total de n: número de períodos inteiros e p/q: fração desse período para calcular o montante ou valor futuro atingido pelo capital ou valor presente
na taxa: i no fim de n + p/q períodos:
11
FV = PV (1 + i)n . [1 + i . (p/q)]
FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos n + p/q→ prazo total p/q→ fração do período total
CONVENÇÃO EXPONENCIAL na convenção exponencial o capital ou valor presente renderá juros compostos durante todo o período de aplicação, ou seja, nos períodos inteiros e fracionários. É conveniente notar que, nos períodos fracionários, o
cálculo é efetuado pela taxa equivalente.
FV = PV (1 + i)n . (+ p/q)
FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos n + p/q→ prazo total p/q→ fração do período total
ATENÇÃO: ao se resolverem problemas de capitalização com períodos fracionários, o primeiro passo é definir claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial. Se definido que a capitalização é LINEAR deve-se trabalhar com taxas proporcionais para o cálculo da capitallização no período fracionário. Se definido que será empregada a EXPONENCIAL será utilizada a taxa equivalente.
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DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)
ATENÇÃO: O desconto comercial difere do desconto racional principalmente por que se trata de uma taxa aplicada ao valor nominal do título. Não é uma descapitalização, como no caso do desconto racional e as equações do desconto comercial, são diferentes das equações dos descontos racionais. O desconto comercial simples é o tipo de desconto aplicado no comércio e a taxa de desconto é única para cada prazo determinado. Assim, um título pago com um mês de antecedência deve ser descontado a uma taxa diferente de um título pago com três meses de antecedência. O valor do desconto é obtido diretamente do produto da taxa de desconto ao valor nominal do título. O valor atual ou valor a ser pago pelo título é o valor nominal descontado
Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples:
Dc = N – Ac
Dc→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face
Ac→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação
Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples:
Dc = N . i . n
Dc→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face i→ taxa de juros n→ número de períodos antecipação
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Fórmulas auxiliares do desconto comercial:
1- taxa:
nN
Di
.
i→ taxa de juros D→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face n→ número de períodos de antecipação
2- valor nominal:
ni
DN
.
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face D→ Desconto i→ taxa de juros n→ número de períodos antecipação
Equação ou Formula do Valor Atual Comercial Simples:
A = N . (1 – i.n)
A→ Valor atual = valor líquido N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação
Fórmulas auxiliares do valor atual: 1- taxa:
14
n
N
D
i
1
i→ taxa de juros D→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face n→ número de períodos de antecipação
Equação ou Formula do Desconto Comercial Composto:
Dc = N – Ac
Dc→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face Ac→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação
Ac = N . (1 + i) – n ou nci
NA
)1(
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face Ac→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação
DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO
Dr = N – Ar
Dr→ Desconto Racional Ar→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos
Equação ou Formula do Desconto Racional Composto:
15
nri
NA
)1(
Ar→ Valor atual = valor líquido N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos
Equivalência de taxas de descontos:
(1 + ic . (1 + ir) = 1 Ar→ Valor atual = valor líquido N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos ATENÇÃO: O desconto racional é juro. Ele é obtido exatamente da mesma forma que o juro, com a diferença que o desconto corresponde a uma descapitalização. Para obter o valor D do desconto racional simples a ser concedido sobre o valor nominal N de um título que vence em n períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros i, utiliza-se como taxa de desconto a taxa de juros e
calcula-se o valor do desconto. Se o desconto racional a ser aplicado é o composto, utiliza-se a mesma equação da descapitalização no juro composto (chamando de o valor a ser pago). O valor do desconto pode ser obtido com a equação equivalente do montante:
N = A + D
O desconto racional também é chamado de desconto verdadeiro, desconto justo e desconto real.