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Formulacoes multiobjetivos para um problemade Coleta de Petroleo em Campos Maduros

Dario Jose AloiseUniversidade Federal do Rio Grande do Norte, Campus Universitario S/N,

Lagoa Nova, 59072-970, Caixa-Postal 1551, Natal, RN, [email protected]

Andr ea C. SantosLimos, Universite Blaise Pascal,

Complexe scientifique des Cezeaux, 63173, Aubiere cedex, [email protected]

Christophe DuhamelLimos, Universite Blaise Pascal,

Complexe scientifique des Cezeaux, 63173, Aubiere cedex, [email protected]

RESUMO

Unidades Moveis de Pistoneio (UMPs) sao caminhoes equipados para extrair petroleo de pocos comuma producao marginal. A producao de tais pocos nao justifica a utilizacao de equipamentos fixos deelevacao artificial. Os objetivos do problema de otimizacao do emprego de unidades moveis de pistoneio(POE-UMP) consistem em maximizar a extracao de petroleo e minimizar os tempos de percurso. Nestetrabalho, sao propostos diversos modelos matematicos para o POE-UMP para um veıculo e para o casoonde uma frota de veıculos e utilizada. Os modelos sao aprimorados atraves do reforco das restricoes deeliminacao de subciclos. Otimalidade e provada para instancias de grafos com ate 200 nos, simulandosituacoes reais.PALAVRAS CHAVE. Roteamento de veıculos. Multiobjetivo. Modelos matematicos.

ABSTRACT

The Mobile Oil Recovery (MOR) unit is a truck able to pump marginal wells in a petrol field. Theproduction of those wells does not make enough profit to install an artificial lift system. The goal of theMOR optimization Problem (MORP) is to optimize both the oil extraction and the travel costs. In thiswork, we describe several formulations for the MORP using a single vehicle or a fleet of vehicles. Wehave also strengthened them by improving the subtour elimination constraints. Optimality is proved forinstances close to reality with up to 200 nodes.KEYWORDS. Vehicle routing. Multiobjective. Mathematical models.

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1143

1. Introducao

O Brasil tornou-se auto-suficiente em termos de producao de petroleo em 2006. O aumento daproducao ocorreu, entre outros fatores, em virtude da descoberta de novas jazidas, utilizacao de novastecnologias e aplicacao de tecnicas de otimizacao. A bacia Potiguar e explorada por cerca de 30 anose aproximadamente 98% dos pocos utilizam metodos de elevacao artificial. Um desses metodos e autilizacao de unidades moveis de pistoneio (UMPs). Uma UMP e um caminhao equipado para extrairpetroleo em pocos com producao marginal, ver Figura 1. A producao de tais pocos nao justifica autilizacao de equipamentos fixos de elevacao artificial (ex. bombeio mecanico, bombeio de cavidadesprogressivas e bombeio centrıfugo submerso).

Figura 1. Exemplo de uma unidade m ovel de pistoneio.

Em um dia de trabalho, as UMPs saem do deposito, extraem petroleo de varios pocos e emseguida retornam ao deposito. Quando o tanque da unidade esta cheio, um caminhao auxiliar e utilizadopara transportar o oleo ate o deposito. Por isto, a capacidade das UMPs pode ser considerada ilimitada.O problema de otimizacao de unidades moveis de pistoneio (POE-UMP) e multiobjetivo e consiste emmaximizar a extracao de petroleo e minimizar os tempos de percurso. Os dois objetivos sao opostos,enquanto um visa o aumento de lucros, o outro consiste em reduzir os custos.

Quando uma unica UMP e utilizada, o problema e proximo do problema do caixeiro viajanteseletivo Laporte e Martelo (1990) que tambem e chamado deOrienteering ProblemFeillet et al. (2005)ou problema da coleta maxima, ver Kataoka e Morito (1988). Quando uma frota de veıculos e uti-lizada, o POE-UMP torna-se um problema de roteamento de veıculos (VRP) similar ao problema deroteamento de veıculos com coleta seletiva, Balas (1989) e proximo ao problemaTeam OrienteeringBoussier et al. (2007). Para uma investigacao detalhada em problemas de roteamento, as seguintes re-ferencias sao indicadas: para o estado da arte em termos de metodos exatos e aproximados para o VRPe suas variantes, consultar Toth e Vigo (2002). Uma visao geral cobrindo mais de 500 artigos da versaoclassica do VRP e encontrada em Laporte e Osman (1995). Para estrategias de solucoes de problemasde roteamento de veıculos multiobjetivos, ver Current e Min (1986); Keller e Goodchild (1988); Boffey(1995).

Um modelo matematico para o POE-UMP com um unico veıculo e proposta em Santos et al.(2001) e modelos sao apresentados em Santos et al. (2008). Em ambos trabalhos, a otimizacao e real-izada em duas fases. O objetivo da primeira fase e a maximazicao de oleo e da segunda fase e minimizaros tempos de viagem e de explotacao. Estrategias heurısticas para o POE-UMP sao apresentadas emSantos et al. (2001); Aloise et al. (2002). Neste trabalho, descreve-se formulacoes para os casos ondeum unico veıculo e uma frota de veıculos e utilizada. Elas sao aprimoradas atraves da melhoria dasrestricoes de eliminacao de subciclos. Adicionalmente, sao apresentadas restricoes para eliminacao desimetria dos subciclos validos. A otimalidade e provada para instancias simulando situacoes praticascom ate 200 nos.

Este artigo esta organizado da seguinte forma: O problema e definido na Secao 2. Asformulacoes para uma UMP sao apresentadas na Secao 3. As Secoes 4 e 5 sao dedicadas ao POE-UMP com varios veıculos. Os resultados computacionais sao apresentados na Secao 6 e as conclusoessao realizadas na Secao 7.


2. Definicao do problema

As ruas, os pocos e o deposito sao modelados como um grafo nao orientadoG = (N,E). Ge transformado em um digrafo completoG′ = (V,A), ondeV e o conjunto de pocos ev0 representa odeposito. Sejadij a menor distancia dei atej, ∀(i, j) ∈ A. s e a velocidade media de uma UMP. Entao,para cada arco deG′, o tempo de trajetotij e calculado comotij = dij/s.

O volume extraıdo dos pocos e normalmento composto de uma mistura de hidrocarbonetos(oleo), sedimentos e agua (bsw). O fatorbswdetermina a qualidade do petroleo produzido por cadapoco. Quanto menorbsw, mais oleo podera ser recuperado. Considera-se neste trabalho, que a producaodo pocoi e dada porpi = υi · (1 − bswi), ondeυi e o volume estimado a ser extraıdo. Assume-se quet′i e o tempo total de servico no pocoi (tempo de conectar a UMP ao poco, de extrair o oleo e dedesconectar a unidade do poco). Em uma jornada de trabalho,P eT correspondem respectivamente aototal de producao de oleo e ao tempo total de trabalho. Alem disto,T e o maximo tempo que uma UMPpode trabalhar em uma jornada de trabalho.

Tipicamente, a coluna de oleo dos pocos sobe ate que um nıvel estatico seja alcancado. Estenıvel e atingido quando a pressao entre o poco e a formacao rochosa se estabiliza. Este processo foiestudado em Assmann e Bolonhini (1997). Nos modelos aqui propostos e considerado um nıvel estaticoda coluna de oleo dos pocos. Este nıvel e calculado a partir de uma analise historica e estatıstica paracada poco (ultimo dia que o poco foi explotado versus a producao estimada). Alem disto, considera-seque os pocos podem ser explorados a qualquer momento, mesmo se o nıvel estatico nao tenha sidoatingido. Entretanto, cada poco so pode ser explotado uma unica vez em um dia, como nos trabalhosprecedentes Barros (2001); Santos (2002); Santos et al. (2008).

Dado K, a quantidade de UMPs, o POE-UMP consiste em definir um circuitoτ ={v0, vσ1, vσ2, ..., vσk, v0} para cada unidade, ondeσ e a posicao que cada poco no circuito sera ex-plotado em uma jornada de trabalho, de modo queP seja maximizado,T seja minimizado eT ≤ T .

Como mencionado anteriormente, o POE-UMP com um unico veıculo e proximo a dois prob-lemas classicos: o problema do caixeiro viajente seletivo (the selective traveling salesman problem -STSP) e o problema de coleta do caixeiro viajante com premios (the prize collecting traveling salesmanproblem - PCTSP). No STSP, os premios sao associados a cada no visitado. O problema consiste emdefinir um circuito, que inicia-se e termina no deposito, tal que o premio total e maximizado (o quecorresponde a producao de oleo no POE-UMP), e tal que o circuito nao exceda um dado tamanho (oque corresponde ao limite de uma jornada de trabalho para o POE-UMP) Laporte e Martelo (1990). Aprincipal diferenca entre o POE-UMP e o STSP e que o POE-UMP requer a minimizacao dos tempos deviagem. Alem disto, no POE-UMP existe tambem um tempo de servico associado a cada no visitado.No PCTSP, um premio e associado a cada no visitado e uma penalidade e dada a cada no nao visitado.Um premio mınimo deve ser alcancado em um circuito. O objetivo e definir um circuito de modo queo custo de trajeto e as penalidades sejam minimizados, Balas (1989). As diferencas entre o POE-UMPe o PCTSP sao: ao ınves de pagar uma penalidade para cada no nao visitado, uma penalidade (tempode servico) e dada para cada no visitado no POE-UMP. Assim sendo, o POE-UMP para varios veıculoscorresponde a uma generalizacao do PCTSP, chamado aqui de problema da coleta de veıculos compremios (the prize-collecting VRP - PCVRP).

3. Formulacoes para umaunica UMP

Um dos primeiros modelos para o POE-UMP foi proposto em Santos et al. (2001). Nestemodelo, um unico veıculo e utilizado e a otimizacao ocorre em duas fases: na primeira, a quantidademaxima de petroleo e calculada e na segunda, o caminho mais curto para extrair essa quantidade e de-terminado. As contribuicoes neste trabalho para melhorar essa formulacao sao as seguintes: (i) remocaodas restricoes garantindo que a UMP retorna para o deposito porque sao redundantes, (ii) simplificacao


das restricoes de conservacao de fluxo, (iii) aplicacao e reforco das restricoes de eliminacao de subcic-los.

Sejamfij as variaveis de decisao para escolha do arco(i, j) e xi as variaveis binarias queespecificam se o pocoi e explotado ou nao. A formulacao para a primeira fase de otimizacao do POE-UMP, apos as modificacoes citadas acima, e apresentada nas Equacoes de (1)-(8).

max P =∑

i∈V \{v0}

pi · xi s.t. (1)

∑

i∈V \{v0}

t′i · xi +∑

(i,j)∈A

tij · fij ≤ T (2)

∑

j:(j,i)∈A

fji −∑

j:(i,j)∈A

fij = 0 ∀i ∈ V \{v0} (3)

∑

j:(j,i)∈A

fji = xi ∀i ∈ V \{v0} (4)

∑

j∈V

f0j = 1 (5)

(Restricoes de eliminacao de subciclos) (6)

xi ∈ {0, 1} ∀i ∈ V \{v0} (7)

fij ∈ {0, 1} ∀(i, j) ∈ A (8)

A funcao objetivo (1) maximiza a extracao de oleo. As inequacoes (2) limitam o tempo detrabalho (tempo de trajetos e de servico) aT . As restricoes de conservacao de fluxo sao (3) e (4).Restricoes (5) garantem que o circuito inicia-se no deposito. Variaveisxi e fij sao definidas respecti-vamente em (7) e (8). Na Secao 3.1 sao apresentadas diversas restricoes de eliminacao de subciclos.As propostas por Miller, Tucker e Zemlin (MTZ), Desrochers e Laporte (1991); Miller et al. (1960),as de Gavish e Graves utilizando fluxo agregado (GGA) e fluxo desagregado (GGD), Gavish e Graves(1978). GGA sao as restricoes de eliminacao de subciclos usadas em Santos et al. (2001).

O objetivo da segunda fase e de minimizar os tempos de percurso (9) sujeito as restricoes (3)–(8) e (10). A Equacao (10) garante que a producao total deve ser igual ao otimo obtidoP ∗ na primeirafase.

min T =∑

i∈V \{v0}

t′i · xi +∑

(i,j)∈A

tij · fij s.t. (9)

Restricoes (3)–(8).

∑

i∈V \{v0}

pi · xi = P ∗ (10)


3.1. Restricoes de eliminacao de subciclos

Um subciclo e definido como um subconjunto ordenado de vertices. Para o POE-UMP, ossubciclos validos sao aqueles que iniciam-se e terminam no depositov0. Restricoes de eliminacao desubciclos sao avaliadas para o problema do caixeiro viajante, por exemplo, em Wong (1980).

Um limite superior para a quantidadeM de pocos que podem ser explotados em um dia detrabalho e calculado. Isto pode ser feito visto que as UMPs tem um tempo de trabalho limitado emuma jornada de trabalho. Considerando esse tempo, um procedimento para determinarM consiste emtomar os pocos em ordem crescente de tempo de servicot′i, Santos et al. (2001). Assim sendo,M edeterminado da seguinte forma:

M∑

i=1

t′i ≤ T ≤

M+1∑

i=1

t′i. (11)

Uma ideia para melhorar o valor deM consiste em utilizar tambem os tempos mınimos deviagem para chegar em cada poco (no do grafo). Alem disto, como os veıculos retornam ao deposito,o menor tempo de percurso para entrar no deposito tambem pode ser utilizado. Entao,M passa a serdeterminado como:

M∑

i=1

(

t′i + minj∈V

{tji}

)

≤ T − minj∈V

{tj0} ≤M+1∑

i=1

(

t′i + minj∈V

{tji}

)

(12)

3.1.1. Restricoes de Miller, Tucker e Zemlin.

Nas restricoes de Miller, Tucker e Zemlin, uma ordem topologica dos nos e utilizada paraeliminar subciclos invalidos. As variaveisui determinam a ordem que cada noi ∈ V aparece nosubciclo. E importante ressaltar que utilizar esta estrategia para eliminacao de subciclo, implica quecada no aparece uma unica vez no subciclo. Contudo, no POE-UMP, o deposito aparece duas vezes:no ınicio e no final de um subciclo valido. Para utilizar essas restricoes, um tratamento especial podeser dado ao deposito. O deposito e considerado somente no inıcio da ordem topologica. Isto pode serfeito visto que a estrutura de fluxo definida pelas variaveisfij, xi e as Restricoes (3)–(5) garantem oretorno ao deposito. As restricoes de MTZ adaptadas para o POE-UMP sao apresentadas nas Equacoes(13)–(14).

ui − uj + M · fij ≤ M − 1 ∀(i, j) ∈ A, j 6= {v0} (13)

0 ≤ ui ≤ M ∀i ∈ V (14)

ExistemO(|V |2) de tais restricoes. Essas restricoes podem ser aprimoradas atraves de uma es-trategia chamada delifting, proposta por Desrochers e Laporte (1991). A tecnica consiste em adicionarum termo nao negativoαjifji as Inequacoes (13):ui − uj + M · fij + αji · fji ≤ M − 1. Sefji = 0,entaoαji pode assumir qualquer valor. Supondo-se quefji = 1. Entao, significa que o veıculo visitao pocoj 6= v0 antes do pocoi. Assim, a variavel de ordem topologica associada ai, ui = uj + 1.Portanto,fji = 1, o que implica quefij = 0 em virtude das restricoes (3) e (4). Substituindo essesvalores na restricao (13), obtem-seαji ≤ M − 2. Quanto maior o valor deαji, maior e o seu reforco.Por isto, toma-seαji = M −2. As inequacoes (15) correspondem a versao das Restricoes (13) comlift .

ui − uj + M · fij + (M − 2) · fji ≤ M − 1 ∀(i, j) ∈ A, j 6= v0 (15)


3.1.2. Restricoes de Gavish e Graves.

A estrategia proposta por Gavish e Graves (1978) elimina subciclos atraves da construcao defluxo em redes. Uma unidade de fluxo e enviada para cada no que consome uma unidade. Chama-se defluxo desagregado quando uma unidade especıfica de fluxo e enviada da origem para cada no Corte-Reale Gouveia (2007); Magnanti e Wolsey (1995). Se o fluxo nao e especıfico, a estrategia e chamada defluxo agregado.

Sejayij a variavel de fluxo associada ao arco(i, j). As restricoes GGA para o POE-UMP saoapresentadas nas restricoes (16)–(18). As equacoes (16) correspondem a conservacao de fluxo. Asinequacoes (17) garantem que o fluxo passa pelo arco(i, j) se o arco e selecionado pelo modelo. Essasrestricoes sao reforcadas em virtude da utilizacao deM . Nesta estrategia, exitemO(|V |2) restricoes evariaveis.

∑

j:(j,i)∈A

yji −∑

j:(i,j)∈A

yij = xi ∀i ∈ V \{v0} (16)

yij ≤ M · fij ∀(i, j) ∈ A, (17)

yij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ A (18)

As restricoes GGD sao dadas nas restricoes (19)–(22). Sejaykij as variaveis que especificam se

o fluxo k passa pelo arco(i, j) ou nao. As restricoes (19) correspondem a conservacao de fluxo. AsEquacoes (20) garantem que uma unidade de fluxo e enviada da origem para cada nok. As restricoes(21) especificam que o fluxo para o nok atravessa o arco(i, j) se e somente se este arco e usado. Estaestrategia contemO(|V |3) restricoes e variaveis. Geralmente, essa tecnica resulta em uma relaxacaolinear mais forte que utilizando fluxo agregado.

∑

j:(i,j)∈A

ykij −

∑

j:(j,i)∈A

ykji = 0 ∀k ∈ V \{v0},∀i ∈ V \{v0, k} (19)

∑

j:(0,j)∈A

yk0j = xk ∀k ∈ V \{v0} (20)

ykij ≤ fij ∀k ∈ V \{v0},∀(i, j) ∈ A (21)

ykij ≥ 0 ∀k ∈ V \{v0},∀(i, j) ∈ A (22)

4. Formulacao multifluxo

Sejamxki as variaveis de decisao que especificam se o veıculok visita o pocoi, ou nao. As

variaveisfkij ∈ {0, 1} asseguram que o veıculok visita o pocoj depois do pocoi, ou nao.P (K) e

o valor total de oleo coletado usandoK UMPs. As outras variaveis foram definidas anteriormente naSecao 3. A formulacao multifluxo e definida da seguinte forma:

max P (K) =∑

i∈V \{v0}

pi ·K

∑

k=1

xki s.t. (23)

∑

i∈V \{v0}

t′i · xki +

∑

(i,j)∈A

tij · fkij ≤ T ∀k = 1, ...,K (24)

∑

j:(j,i)∈A

fkji −

∑

j:(i,j)∈A

fkij = 0 ∀k = 1, ...,K,∀i ∈ V \{v0, k} (25)


∑

j:(0,j)∈A

fk0j ≤ 1 ∀k = 1, ...,K (26)

∑

j:(j,i)∈A

fkji = xk

i ∀k = 1, ...,K, ∀i ∈ V \{v0} (27)

K∑

k=1

xki ≤ 1 ∀i ∈ V \{v0} (28)

∑

j:(j,i)∈A

yji −∑

j:(i,j)∈A

yij =K

∑

k=1

xki ∀i ∈ V \{v0} (29)

yij ≤ M ·K

∑

k=1

fkij ∀(i, j) ∈ A, j 6= v0 (30)

yij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ A (31)

xki ∈ {0, 1} ∀k = 1, ...,K,∀i ∈ V \{v0} (32)

fkij ∈ {0, 1} ∀k = 1, ...,K,∀(i, j) ∈ A (33)

As restricoes (24) limitam a jornada de trabalho para as UMPs. As restricoes de conservacaode fluxo sao definidas de (25) a (26). Equacoes (27) garantem que o veıculok passa pelo arco(i, j)somente se o pocoj e explotado. Inequacoes (28) especificam que no maximo um veıculo visita umpoco em uma jornada de trabalho. As restricoes (29) e (30) eliminam subciclos invalidos utilizando aestrategia GGA. As variaveis sao definidas de (31) a (33). Essa formulacao contemO(|V 3|) variaveise restricoes. As restricoes de eliminacao de subciclo GGA foram escolhidas em virtude dos resultadoscomputacionais para um veıculo, ver Secao 6. Evidentemente, outras estrategias podem ser utilizadas.

4.0.3. Inequacoes validas para o modelo multifluxo

No modelo apresentado na Secao 4, qualquer veıculo pode iniciar qualquer um dos circuitosem uma solucao. Entao, a quantidade de solucoes viaveis e multiplicada em ateK maneiras de associarK unidades aosK circuitos. Isto pode tornar o modelo ineficiente. A Figura 2 exemplifica o problemade simetria. Figura 2 (a) e (b) tem dois circuitos similares, mas na Figura 2 (a), o veıculok1 realiza ocircuito{v0, v3, v6, v7, v1, v0} e na Figura 2 (b), este circuito e feito pelo veıculok2.

v0

(a) (b)

v6

v7

v1

v2

v5

v4

v3

k1

v8

v9

k2

v0

v6

v7

v1

v2

v5

v4

v3

k2

v8

v9

k1

Figura 2. Exemplo do problema de simetria entre duas soluc oes.

Para remover a simetria, pode-se definir as chamadas restricoes de quebra de simetria. Umamaneira e especificar que o primeiro veıculo realiza o circuito com a maior producao de oleo, o segundo


veıculo realiza o circuito com a segunda maior producao e assim por diante. Isto e realizado atraves dasInequacoes (34).

∑

i6=v0

pixki ≥

∑

i6=v0

pixk+1i ∀k = 1, ...,K − 1 (34)

Outra maneira de remover a simetria consiste em aplicar uma ordem lexicografica dos circuitos:dados dois circuitosτ1 e τ2, τ1 < τ2, se o primeiro no visitado emτ1 tem um menor identificador doque o primeiro no visitado emτ2. Restricoes (35) definem uma ordem lexicografica.

∑

i6=v0

i · xk0i ≤

∑

i6=v0

i · xk+10i ∀k = 1, ...,K − 1 (35)

Finalmente, outro meio de remover a simetria e definido nas Restricoes (36). O veıculok visitao noi somente se o veıculok − 1 visita pelo menos um dos nos1, ..., i − 1). Consequentemente, todasas variaveisxk

i sao iguais a zero sek > i.

xki ≤

i−1∑

j=1

xk−1j ∀i = 1, ..., n,∀k = 2, ...,min{K, i} (36)

5. Formulacao de fluxo implıcito

Nesta formulacao o veıculo que visita cada pocoi nao e definido explicitamente como aformulacao apresentada anteriormente. Isto pode ser feito uma vez que todas as UMPs sao similares(frota homogenea). Uma ideia similar foi anteriormente usada, por exemplo em Ropke et al. (2007). Asvariaveisfij e xi foram definidas na Secao 3. Adicionalmente, variaveisdi especificam a data (time)que o pocoi e visitado em uma jornada de trabalho. A formulacao de fluxo implıcito e dada abaixo:

max P =∑

i∈V \{v0}

pi · xi s.t. (37)

∑

j:(j,i)∈A

fji −∑

j:(i,j)∈A

fij = 0 ∀i ∈ V \{v0} (38)

∑

j:(j,i)∈A

fji = xi ∀i ∈ V \{v0} (39)

∑

j∈V

f0j = K (40)

di − dj + (T + t′i + tij) · fij + (T − t′j − tji) · fji ≤ T ∀(i, j) ∈ A, i, j 6= v0 (41)

di ≥ t0i · f0i +∑

j 6=v0

(t0j + t′j + tji) · fji ∀i ∈ V \{v0} (42)

di ≤ T − (t′i + ti0) · fi0 −∑

j 6=v0

(t′i + tij + t′j + tj0) · fij ∀i ∈ V \{v0} (43)

xi ∈ {0, 1} ∀i ∈ V \{v0} (44)

fij ∈ {0, 1} ∀(i, j) ∈ A (45)


di ≥ 0 ∀i ∈ V \{v0} (46)

Restricoes (38) sao de conservacao de fluxo. Equacoes (39) garantem que o arco(i, j) e usadose o pocoj e explotado. Inequacoes (40) asseguram queK UMPs sao utilizadas. Restricoes (41)conectam o tempo que o noj e visitado, ao tempo que o noi e visitado e a selecao do arco(i, j). Esta euma adaptacao das restricoes MTZ (ver Secao 3.1). Inequacoes (42) e (43) definem os limites superiorese inferiores generalizados com relacao ao tempo que o noi e visitado. Restricoes (42) conectam o tempoque o noi e visitado as variaveisfji. No maximo um dos arcos que entram no noi e usado. Deste mode,di e pelo menos igual ao mınimo tempo necessario para chegar ate o noi, seja saindo do depositov0

atei ou indo dej atei. Uma ideia similar e aplicada nas inequacoes (43). Variaveisxki , fk

ij e di sao

definidas respectivamente de (44) a (46). A fomulacao de fluxo implıcito possuiO(|V |2) variaveis erestricoes. As restricoes de eliminacao de subciclos MTZ sao usadas porque a formulacao permanececomO(|V |2) variaveis.

6. Resultados computacionais

Os experimentos computacionais foram realizados em um Intel Core 2 Duo com 2.66 GHzclock e 4Gbytes de memoria RAM, usando o resolvedor CPLEX 11, com parametros padrao. Asinstancias foram geradas de modo a simular situacoes reais e sao provenientes do trabalho de Barros(2001). As formulacoes propostas sao comparadas em termos de tempo para provar otimalidade equalidade da relaxacao linear.

Nas Tabelas 1 and 2, cada linha corresponde a uma instancia. Para cada instancia os seguintesdados sao fornecidos: o tamanho da jornada de trabalho(L) em minutos, a quantidade de pocos(|V |)e o valor da producao otima (P∗). Para cada formulacao sao apresentados: o valor da relaxacao linear(RL∗), o tempo(T ) gasto pelas UMPs para visistar os pocos da solucao otima, o tempo em segundos(tempo) requerido para provar otimalidade usando o CPLEX e a quantidade de nos (nos) visitados naarvore debranch-and-bounddo CPLEX. O sımbolo(−) significa que o resolvedor usado nao achoua solucao otima porque a arvore de busca cresceu gerando problemas de memoria. Quando a solucaootima para uma instancia nao e conhecida, o valor da melhor solucao inteira encontrada e identificadapor (≥ valor).

A Tabela 1 resume os resultados para as formulacoes para um veıculo usando as restricoes deeliminacao de subciclos MTZ, GGA ou GGD. De acordo com os resultados computacionais, nos mod-elos com as restricoes GGA, otimalidade e encontrada mais rapido para 9 instancias do que utilizandoas restricoes de MTZ e GGD. Utilizando MTZ, otimalidade e provada mais rapido para 7 instanciasdo que usando GGA e GGD. Apesar de ter piores valores para a relaxacao linear, as restricoes MTZpermitem de provar otimalidade para instancias com ate 200 nos. GGD consome muito tempo, mesmose a relaxacao linear e de melhor qualidade. Um resultado interessante da relaxacao linear e encontradoquandoL = 480 e |V | = 20: GGA e melhor do que GGD. Isto ocorre para esta instancia porque ovalor deM e igual a quantidade otima de pocos a serem visitados em uma jornada de trabalho.

A segunda fase de otimizacao tambem foi executada para as instancias da Tabela 1. O tempoTmelhorou somente para a instancia comL = 480 e |V | = 120 (T ∗ = 479.5 ao ınves deT = 480). Poristo, a segunda fase de otimizacao nao foi testada para as instancias utilizando varios veıculos. Mesmoassim, a segunda fase de otimizacao do POE-UMP e importante visto que faz parte do processo dedecisao global do problema.

Os resultados para as formulacoes de fluxo implıcito e multifluxo sao apresentados na Tabela 2.A quantidade de veıculos usado(K) e a soma do tempo total consumido por todas as UMPs(T ′)sao apresentados. A formulacao multifluxo produz relaxacoes lineares de melhor qualidade do quea formulacao de fluxo implıcito. Entretanto, a formulacao de fluxo implıcito possui um desempenhomelhor para calcular a solucao otima das instancias. Observa-se que o problema torna-se mais difıcil


Tabela 1. Primeira fase de otimizac ao para o POE-UMP usando um veıculo.MTZ GGA GGD

L |V | P∗ RL∗ T tempo nos RL∗ T tempo nos RL∗ T tempo nos480 20 12.60 17.21 477 2 1292 12.92 477 0 1 13.41 477 11 17480 30 15.88 18.38 477 5 2337 17.19 477 6 979 16.61 477 841 191480 40 15.88 18.38 477 7 2081 17.19 477 6 963 16.61 477 30137 255480 60 15.84 18.43 467 15 3203 16.86 467 3 90 - - - -480 80 9.97 13.80 479 83 5429 11.67 479 32 1410 - - - -480 120 18.73 19.09 480 73 2996 19.05 480 204 1910 - - - -480 160 19.10 19.47 480 240 2095 19.46 480 2540 3378 - - - -480 200 19.64 19.82 480 62 3256 19.77 480 20626 2360 - - - -960 20 24.45 32.11 952 817 915570 28.39 952 98 14807 25.65 960 452 264960 30 31.65 35.93 950 424 228949 35.29 950 446 46898 32.43 950 5313 527960 40 19.76 24.17 909 406 40244 23.84 909 135 10898 22.34 909 63631 2401960 60 31.65 35.96 950 974 301668 35.18 950 377 33257 32.26 - - -960 80 37.70 38.05 959.5 3240 57320 38.00 959.5 866 21595 - - - -960 120 37.99 38.41 960 2764 36803 38.42 960 872 6716 - - - -960 160 40.05 40.19 960 377 5893 40.16 960 585 877 - - - -960 200 40.05 40.19 960 420 6672 40.16 960 789 951 - - - -

Tabela 2. Primeira fase de otimizac ao para o POE-UMP usando v arios veıculos.Formulacao de fluxo implıcito Formulacao multifluxo

K L |V | P ∗ RL∗ T ′ tempo nos RL∗ T ′ tempo nos2 480 10 20.97 27.74 911 2 8416 24.09 870 22 91392 480 20 24.45 29.55 953 74 41047 25.08 953 4 4872 480 30 31.16 35.79 941 51 51661 33.78 941 1149 752162 480 40 31.16 35.79 941 646 84815 33.78 941 1315 643972 480 50 28.99 34.70 928 654 94922 30.93 928 7929 1019352 480 60 30.39 35.78 946 326 57405 32.99 946 1619 607242 480 70 25.88 32.86 916 2 3374 30.43 916 1219 261082 480 80 19.35 27.03 881 78 69927 22.86 876 16426 3134212 960 20 ≥ 46.51 55.89 - - - 52.75 - - -2 960 30 ≥ 62.26 69.44 - - - 68.57 - - -3 480 10 29.82 29.82 909 1 503 29.82 901 2 6393 480 20 33.72 40.42 943 553 704266 36.73 943 27788 2148563 480 30 45.49 52.31 943 2394 2269664 49.86 - - -3 960 20 62.16 62.16 933 134 138791 62.16 - - -3 960 30 ≥ 88.78 98.44 - - - 97.63 - - -


quando a quantidade de pocos aumenta, mas tambem quando a quantidade de veıculos e maior. Alemdisto, o tamanho da jornada de trabalho tambem contribui para aumentar a dificuldade de resolucao.Os resultados sugerem que e melhor utilizar uma janela de tempo pequena, como por exemplo de 480minutos. A formulacao multifluxo encontra em alguns casos um valor menor deT ′ (destaqueo emnegrito).

7. Conclusoes

Neste trabalho, diversas formulacoes para o POE-UMP sao apresentadas e reforcadas atraves damelhoria das restricoes de eliminacao de subciclos. Adicionalmente, foram apresentadas desigualdadesvalidas para o modelo multifluxo para quebra de simetria. As restricoes de quebra de simetria seraoutilizadas em trabalhos futuros.

Instancias proximo da realidade com ate 200 pocos foram resolvidas. Essas instancias saomaiores que as consideradas na pratica pela Petrobras na bacia Potiguar. Consequentemente, solucoesotimas para o POE-UMP nesta regiao podem ser obtidas ao ınves da utilizacao de solucoes aproximadas.

Entre as formulacoes para um veıculo, observa-se que apesar das fracas relaxacoes lineares,MTZ e capaz de provar otimalidade para instancias com ate 200 nos em um pequeno tempo computa-cional. GGA apresenta um melhor desempenho que os outros modelos quando a janela de tempo emaior. Utilizando varios veıculos, a formulacao de fluxo implıcito prova otimalidade para as instancasrapidamente, apesar das fracas relaxacoes lineares.

Os resultados computacionais mostram que o tamanho das janelas de tempo para a jornada detrabalho aumenta a dificuldade para provar otimalidade. Alem disto, a quantidade de veıculos tambemcomplica a resolucao das instancias. Utilizando tres veıculos, apenas instancias com uma pequenaquantidade de nos foi resolvida porque os tempos computacionais aumentam rapidamente.

Diversos trabalhos futuros podem ser desenvolvidos. Por exemplo, pode-se investigarinstancias, onde a segunda fase de otimizacao torna-se importante.E interessante estudar uma es-trategia para dividir as janelas de tempo e consequentemente tornar o problema mais facil de ser re-solvido. Alem disto, e pertinente testar o impacto da utilizacao das restricoes de quebra de simetria nomodelo multifluxo, assim como aplicar a estrategia de lifting nas restricoes de tempo de percurso nomodelo de fluxo implıcito. Em termos de algoritmos, diversas estrategias podem ser exploradas, comoo desenvolvimento de algoritmos exatos como um branch-and-price. Para o tratamento da funcao multi-objetivo, a tecnica utilizando uma funcao de pareto pode ser testada. Finalmente, pesquisar a integracaodo reenchimento dinamico dos pocos.

Agradecimentos.Agradecemos a equipe da Petrobras por apoiar este trabalho e fornecer informacoesimportantes sobre a UMP e sua utilizacao na bacia Potiguar.

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