Autovalor, Autovetor e Formas Quadráticas

Ole Peter Smith, IME, UFG

28 de julho de 2011

1 PermutaçõesPor uma permutação dos números (1, 2, . . . , n), entendemos estes números colocadosnuma ordem diferente, (j1, j2, . . . , jn), ondem nemhum ji se repete. Podemos repre-sentar isso em forma de matriz:

p =

(1 2 · · · nj1 j2 · · · jn

)Lemos isto: 1 vai em j1, 2 vai em j2, e assim por diante. Denotamos por Pn o con-junto de todas as n! permutações de ordem n. Introduzindo a composição de duaspermutações

p1 ◦ p2 =

(1 2 · · · ni1 i2 · · · in

)◦(

1 2 · · · nj1 j2 · · · jn

)=(

1 2 · · · ni1 i2 · · · in

)◦(i1 i2 · · · inj′1 j′2 · · · j′n

)=(

1 2 · · · nj′1 j′2 · · · j′n

)Lemos isto: 1 vai em i1 que vai em j′1, 2 vai em i2 que vai em j′2, etc. É claro que:e ◦ e = e, e e ◦ p = p ◦ e = p, ∀p ∈ Pn.A permutação:

e =

(1 2 · · · n1 2 · · · n

)deixa os números em ordem inalterado, assim asociamos esta com o elemento neutro.As transposições:

tij =

(· · · i · · · j · · ·· · · j · · · i · · ·

)troca as posições de i e j. Trocando as posições de i e j duas vezes, claro, deixa aordem inalterado:

tij ◦ tij = t2ij = e

1

1.1 Exemplo: P2 1 PERMUTAÇÕES

1.1 Exemplo: P2

Em P2 temos 2! = 2 permutações:

e =

(1 21 2

)p =

(1 22 1

)Formamos o quadro de composição:

◦ e p

e e pp p e

1.2 Exemplo: P3

Nesse caso mais simples, temos 3! = 6 permutações:

e =

(1 2 31 2 3

)= (1)(2)(3)

t1 =

(1 2 31 3 2

)= (1)(2 3)

t2 =

(1 2 33 2 1

)= (2)(1 3)

t3 =

(1 2 32 1 3

)= (3)(1 2)

p =

(1 2 33 1 2

)= (1 2 3)

p2 =

(1 2 32 3 1

)= (1 2 3)2

Temos: t21 = t22 = t23 = p3 = e. Mais:

t1 ◦ p =

(1 2 31 3 2

)◦(

1 2 33 1 2

)=

(1 2 33 2 1

)= t2

t2 ◦ p =

(1 2 33 2 1

)◦(

1 2 33 1 2

)=

(1 2 32 1 3

)= t3

t3 ◦ p =

(1 2 32 1 3

)◦(

1 2 33 1 2

)=

(1 2 31 3 2

)= t1

Similarmente:

p ◦ t1 = t3

p ◦ t2 = t1

p ◦ t3 = t2

2

2 APLICAÇÕES LINEARES

Mais:

t1 ◦ p2 = (t1 ◦ p) ◦ p = t2 ◦ p = t3

t2 ◦ p2 = (t2 ◦ p) ◦ p = t3 ◦ p = t1

t3 ◦ p2 = (t3 ◦ p) ◦ p = t1 ◦ p = t2

p2 ◦ t1 = p ◦ (p ◦ t1) = p ◦ t3 = t2

p2 ◦ t2 = p ◦ (p ◦ t2) = p ◦ t3 = t3

p2 ◦ t3 = p ◦ (p ◦ t3) = p ◦ t2 = t1

Completando:

t1 ◦ t2 = t3 ◦ t1 = p

t1 ◦ t3 = t2 ◦ t1 = p2

Formamos o quadro de composição:

◦ e p p3 t1 t2 t3e e p p3 t1 t2 t3p p p2 e t3 t1 t2p2 p2 e p t2 t3 t1t1 t1 t2 t3 e p p2

t2 t2 t3 t1 p2 e pt3 t3 t1 t2 p p2 e

2 Aplicações Lineares: Autovetor e AutovalorSeja A = (aij) um matriz quadrática de ordem n, definindo uma aplicação linear,f : Rn 7→ Rn:

f(x) = A x, x ∈ Rn (1)

A linearidade da aplicação, f , expressamos em:

f(x+ y) = f(x) + f(y) (2)

E:

f(αx) = αf(x) (3)

Dizemos que v ∈ Rn é um autovetor de autovalor λ ∈ R, se:

f(v) = λv (4)

ou seja, se a imagem do v é paralela com v, reescrevendo a definição:

A v = λv = λI v

3

2 APLICAÇÕES LINEARES

Equivalentemente: (A− λI

)v = 0 (5)

Fixando um λ ∈ R, isto é um sistema linear homogêneo. Denotamos por Sλ ⊆ Rna solução completa deste sistema: o autoespaço do A do autovalor λ. Primeiramenteobservamos que os autoespaços formam um espaço vetorial, ou seja tem uma estruturalinear, pois:

x,y ∈ Sλ ⇒ x+ y ∈ Sλ (6)

E:

x ∈ Sλ, α ∈ R⇒ αx ∈ Sλ (7)

É claro, que por qualquer λ ∈ R, Sλ é não-vasil: pois 0 ∈ Sλ. Isto é, os autoespaçoscontém no mínimo a solução trivial, 0. Interessante então, é se temos autoespaços quecontém algo mais do que somente a solução trivial. Podemos escrever: {0} ⊆ Sλ ⊆Rn. Por outro lado, é claro que os autoespaços são disjuntos:

Sλ1∩ Sλ2

= ∅, λ1 6= λ2 (8)

E: ⋃λ∈R

Sλ ⊆ Rn (9)

Pela teoria de matrizes e sistemas lineares, sabemos que a dimensão dos autoespaçosdo (5) é igual o posto, ρλ, do matriz A − λI. De fato, a equação (5) tem soluçõesnão-triviais, se e somente se ρλ < n, ou seja:

det(A− λI

)= 0 (10)

O determinante aparecendo aqui é um polinômio de grau n em λ:

P (λ) = det(A− λI

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n

......

...an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (11)

Chamamos este o polinômio caraterístico do A. Seus raízes reais, no máximo n, deno-tamos o espectro do A, sendo os autovalores cuja seu autoespaço é não-trivial, ou sejacontém vetores não-trivias. Podemos calcular os coeficientes desse polinômio. Pondo:

P (λ) = anλn + an−1λ

n−1 + . . .+ a1λ+ a0 (12)

4

2.1 Exemplo: Caso n = 2 2 APLICAÇÕES LINEARES

2.1 Exemplo: Caso n = 2

Neste caso, calculamos o polinômio caraterístico:

P (λ) = det(A− λI

)=

∣∣∣∣ a11 − λ a12a21 a22 − λ

∣∣∣∣ =

(a11 − λ)(a22 − λ) − a12a21 =

λ2 − (a11 + a22)λ+ (a11a22 − a12a21)

O polinômio tem raízes reais, se e somente se o discriminante:

∆ = (−(a11 + a22))2 − 4(a11a22 − a12a21) = (a11 − a22)2 + 4a12a21

é não-zero. No caso importantíssimo que A é uma matriz simétrica: a12 = a21, vemos:

∆ = (a11 − a22)2 + 4a212 ≥ 0

Assim mostramos, o que vale por qualquer ordem n, que uma matriz simétrica tem n autovaloresreais. �

2.2 Exemplo: Caso n = 3

Como no exemplo anterior, calculamos o polinômio caraterístico:

P (λ) = det(A− λI

)=

∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 a13a21 a22 − λ a23a31 a32 − λ a33 − λ

∣∣∣∣∣∣ =

(a11 − λ)

∣∣∣∣ a22 − λ a23a32 − λ a33 − λ

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 − λ

∣∣∣∣ + a13

∣∣∣∣ a21 a22 − λa31 a32 − λ

∣∣∣∣ =

(a11 − λ) (a22 − λ) (a33 − λ)

−a23a32 (a11 − λ)

−a12 (a21 (a33 − λ) − a31a23)

+a13 (a21a32 − a31 (a22 − λ)) =

(a11 − λ) (a22 − λ) (a33 − λ)

+ (a23a32 + a12a21 + a13a31)λ

−a23a32a11 − a12a21a33 − a13a31a22

+a12a31a23 + a13a21a32 =

−λ3 + λ2 (a11 + a22 + a33)

−λ (a23a32 + a12a21 + a13a31 − a11a22 − a22a33 − a33a11)

−a23a32a11 − a12a21a33 − a13a31a22

+a12a31a23 + a13a21a32 + a11a22a33

Reconhecemos aqui o traço do A, TA (o coeficiente de λ2) e o determinante do A (o termoconstante). Encontramos também a quantidade:

5

2.2 Exemplo: Caso n = 3 2 APLICAÇÕES LINEARES

ΣA = a23a32 + a12a21 + a13a31 − a11a22 − a22a33 − a33a11

Assim, podemos escrever:

P (λ) = −λ3 + TAλ2 + ΣAλ+ detA

Por ser de grau ímpar, sabemos apriori que P (λ) tem no mínimo uma raíz real, λ0. Casonecessário, podiamos estimar este raíz numericalmente. Escrevemos:

P (λ) = (λ0 − λ)(λ2 + aλ+ b

)= −λ3 + (λ0 − a)λ2 + (aλ0 − b)λ+ bλ0

Comparando coeficientes, vemos:

λ0 − a = TA

aλ0 − b = ΣA

bλ0 = detA

Assim, usando as primeiras duas equações:

a = λ0 − TA

b = aλ0 − ΣA

Usando a última equação, verificamos:

detA = bλ0 =(aλ0 − ΣA

)λ0 =

((λ0 − TA

)λ0 − ΣA

)λ0 = λ3

0 − TAλ20 − ΣAλ0

Ou seja:

λ30 + TAλ

20 + ΣAλ0 + detA = 0

O que se diz: λ0 é raíz no polinômio caraterístico. Temos três raízes reais, caso:

a2 − 4b =(λ0 − TA

)2

− 4(aλ0 − ΣA

)=(

λ0 − TA

)2

− 4((λ0 − TA

)λ0 − ΣA

)=

λ20 − 2TAλ0 + T 2

A − 4λ20 + 4TAλ0 + 4ΣA =

−3λ20 + 2TAλ0 + T 2

A + 4ΣA ≥ 0

�

Da mesma maneira, obtemos no caso geral:

an = (−1)n

an−1 = (−1)n−1 (a11 + a22 + . . .+ ann) = (−1)n−1TA

a0 = P (0) = detA

6

2.3 Exemplo: Núcleo de uma Aplicação Linear 2 APLICAÇÕES LINEARES

2.3 Exemplo: Núcleo de uma Aplicação LinearO núcleo de uma aplicação linear, NA, é definido como os vetores cuja imagem é o vetor trivial,0: A x = 0. Este já apareceu no teoria de sistemas lineares, onde o chamamos a soluçãocompleta do sistema homogêneo. Também apareceu nacima, onde nos o chamamos o autoespaçodo autovalor λ = 0: NA = S0.O autoespaço S + 0, ou seja o núcleo, contém vetores não triviais, se e somente se, λ = 0 é raízno polinômio caraterística, isto é, se e somente se o matriz é singular: detA = 0. �

7