Formação Continuada Docente e Cultura Profissional: a educação … · 2018. 11. 28. · Caderno...

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

ANTONIO MARCOS EMILIANO

FORMAÇÃO CONTINUADA DOCENTE E CULTURA PROFISSIONAL: A EDUCAÇÃO ALGÉBRICA E OS MOVIMENTOS DE REORIENTAÇÃO CURRICULAR NO ESTADO DE SÃO PAULO

SÃO PAULO 2016



Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Área de Concentração: Educação Matemática. Orientadora: Profa. Dra. Maria Elisabette Brisola Brito Prado.

SÃO PAULO 2016

E46f Emiliano, Antonio Marcos

Formação Continuada Docente e Cultura Profissional: a educação algébrica e os movimentos de reorientação curricular no Estado de São Paulo. Antonio Marcos Emiliano. – São Paulo, 2016.

193 f.: il.; 30 cm

Dissertação (Programa de Pós-graduação em Educação Matemática) – Coordenadoria de Pós-graduação – Universidade Anhanguera de São Paulo, 2016.

Orientadora: Profa. Dra. Maria Elisabette Brisola Brito Prado

1. Educação matemática. 2. Educação algébrica. 3. Reforma curricular. 4. Formação continuada de professores. 5. Cultura profissional I. Título. II. Universidade Anhanguera.

CDD 372.7



Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Área de Concentração: Educação Matemática. Aprovada em: 16/12/2016.

BANCA EXAMINADORA

_______________________________________________________________ Profa. Dra. Maria Elisabette Brisola Brito Prado

Universidade Anhanguera de São Paulo

_______________________________________________________________ Prof. Dr. Ruy Cesar Pietropaolo

Universidade Anhanguera de São Paulo

_______________________________________________________________ Prof. Dr. Marcelo Dias Pereira

Fundação Educacional Inaciana Padre Sabóia de Medeiros

Dedico este trabalho aos meus pais, à minha esposa e ao meu amado filho que sempre estiveram comigo, me apoiando, nessa incrível jornada.

AGRADECIMENTOS

À Professora Dra. Maria Elisabette Brisola Brito Prado pela confiança em mim depositada enquanto seu orientando, pelo apoio e dedicação durante a realização deste trabalho e, principalmente, pelo valoroso incentivo à autoria.

Ao Professor Dr. Ruy Cesar Pietropaolo e ao Professor Dr. Marcelo Dias Pereira, que dispuseram a participar da minha banca de defesa, cujas valiosas sugestões contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho.

Aos meus professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva, Profa. Dra. Aparecida Rodrigues Silva Duarte, Prof. Profa. Dra. Janete Bolite Frant, Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros, Profa. Dra. Maria Elisabette Brisola Brito Prado, Profa. Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa, Profa. Dra. Rosana Nogueira de Lima; Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo, Profa. Dra. Siobhan Victoria Healy, e Prof. Dr. Ubiratan D'Ambrósio, pelas contribuições para o meu desenvolvimento pessoal e profissional.

À Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo “Paulo Renato Costa Souza”, pelo apoio enquanto pesquisador e pelo incentivo ao meu desenvolvimento profissional.

À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pela bolsa de estudos que viabilizou o desenvolvimento desta pesquisa.

À Comissão Regional do Programa Mestrado e Doutorado da Diretoria de Ensino Região de Caieiras, pelo apoio durante a gestão da bolsa de estudos.

A todos os meus amigos, que de alguma forma contribuíram para o desenvolvimento desta investigação.

A minha esposa e aos meus pais, pela cumplicidade e incentivo durante toda a minha trajetória acadêmica, principalmente nos momentos de recuperação após um grave acidente motociclístico, que quase impossibilitou o desenvolvimento deste trabalho.

Ao meu filho João Vitor, que me enche de orgulho e foi motivo de incentivo nessa jornada.

A Deus, por ter me auxiliado em tudo nessa vida, mas, principalmente, por ter me livrado do pior e por ter me dado forças para superar todas as adversidades.

Quem não se dispõe a mudar não transforma a prática. E quem acha que já faz tudo certo não questiona as próprias

ações.

Francisco Imbernón

RESUMO

Neste estudo foram analisadas as reflexões pessoais de determinado grupo de

professores acerca das diferentes estratégias de ensino para introduzir o uso de letras

na Matemática, a partir da 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental. Por meio dessa

análise, buscou-se identificar quais concepções de educação algébrica norteiam esse

trabalho, com o objetivo central de compreender a cultura profissional docente,

relacionada ao ensino da álgebra escolar, tendo em vista o movimento de reorientação

curricular que reestruturou a educação básica nos níveis Fundamental (Ciclo II/Anos

Finais) e Médio, no Estado de São Paulo, a partir de 2008. Para isso, elegeu-se como

opção metodológica a pesquisa qualitativa, de cunho documental, sobre os registros

textuais de treze professores, coletados no Fórum de Discussão de um curso de

formação continuada. Esse processo formativo, oferecido pela Secretaria da

Educação do Estado de São Paulo, por meio da Escola de Formação e

Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo “Paulo Renato Costa

Souza”, foi desenvolvido em Ambiente Virtual de Ensino e Aprendizagem. O estudo

revelou, iluminado pelos trabalhos de Usiskin, Lins e Gimenez, Imbernón, Shulman e

Zeichner, que os professores selecionados possuem conhecimento variado acerca

das diferentes estratégias de ensino que norteiam o estudo da álgebra escolar.

Embora tenham valorizado, em diferentes aspectos, o estudo da pré-álgebra, a

análise de conteúdo evidenciou que para alguns professores o ponto de partida para

a introdução do uso de letras na Matemática, na 6ª série (7º ano) do Ensino

Fundamental, tem como base o estudo das equações e suas diferentes técnicas de

resolução. No que tange à cultura profissional, há indícios de que os professores

selecionados estão vivenciando, em sua prática docente, um momento de transição

entre o fazer e o pensar álgebra.

Palavras-chave: Educação Matemática. Educação Algébrica. Reforma Curricular.

Formação Continuada de Professores. Cultura Profissional.

ABSTRACT

This Master’s degree thesis analyzed personal insights from a selected group of

teachers about various strategies of introducing the use of letters in Mathematics for

6th graders (current 7th graders) and above. Seeking to identify which algebra

concepts guided the work of teachers, this research’s main objective was to

understand the teacher’s professional culture related to the teaching of algebra,

considering a curricular change that took place in the Middle School (Ciclo II/ Anos

Finais) and High School in the state of São Paulo in 2008. In order to accomplish it,

this thesis used a qualitative research methodology, with a documental value, in which

narratives (posts) of thirteen teachers were collected from an online discussion forum

of a continuing education course and analyzed afterwards. This formative assessment

process, offered by São Paulo State Department of Education, was developed in a

virtual learning environment (VLE) and it was hosted by Escola de Formação e

Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo ‘Paulo Renato Costa

Souza’ (School of Continuing Education and Professional Development of Teachers of

São Paulo State ‘Paulo Renato Costa Souza’). This study brought to light, based on

the works of Usiskin, Lins and Gimenez, Imbernón, Shulman and Zeichner, the fact

that those selected teachers have a wide range of knowledge about different strategies

of teaching algebra. Even though they have demonstrated a professional culture that

value, in different ways, the study of pre-algebra, the analysis of this research content

has showed that for some teachers the starting point for introducing the use of letters

in Mathematics, in the 6th grade (current 7th grade), is through the study of equations

and its different techniques of solving them. Concerning their professional culture,

there are some evidences that those teachers are experiencing, on their daily basis, a

moment of change from doing to thinking algebra.

Keywords: Mathematical Education. Algebraic Education. Curriculum Reform.

Teachers Further Training. Professional Culture.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Página inicial do Programa Currículo e Prática Docente – 2012 ............................ 31 Figura 2 – Página inicial do Ambiente Virtual de Ensino e Aprendizagem da EFAP ............. 32 Figura 3 – Concepções da álgebra escolar e diferentes funções das letras, sintetizadas nos PCN – Matemática ............................................................................................................................. 39 Figura 4 – Caderno do Gestor ......................................................................................................... 53 Figura 5 – Caderno do Professor .................................................................................................... 54 Figura 6 – Caderno do Aluno ........................................................................................................... 54 Figura 7 – Interconexão entre os diferentes blocos temáticos ................................................... 57 Figura 8 – Caracterização dos blocos temáticos na área de Matemática ................................ 57 Figura 9 – Diferentes fases da análise de conteúdo .................................................................. 107 Figura 10 – Representação dos níveis de conhecimento dos professores em relação às quatro concepções de educação algébrica que norteiam o ensino da álgebra escolar ....... 113 Figura 11 – Exemplos de erros cometidos pelos estudantes na resolução de equações, apresentados no Tema 1 do 6º Módulo ........................................................................................ 123 Figura 12 – Exemplos de erros cometidos pelos estudantes na resolução de equações, apresentados no Tema 1 do 6º Módulo ........................................................................................ 132 Figura 13 – Exemplo de soma algébrica de polinômios sugerida na Proposta Curricular de Matemática de 1986, na 6ª série do Ensino Fundamental ........................................................ 133 Figura 14 – Representação dos níveis de conhecimento dos professores, em relação às quatro concepções de educação algébrica que norteiam o ensino da álgebra escolar, manifestadas durante a análise de conteúdo .............................................................................. 139 Figura 15 – Concepções de educação algébrica que embasam as estratégias dos treze professores selecionados, para introduzir o uso de letras na Matemática, a partir da 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental ................................................................................................... 153 Figura 16 – Eixos e Programas Estruturantes da SEE-SP ....................................................... 177

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Pesquisas correlatas encontradas no Banco de Teses CAPES ........................... 24 Quadro 2 – Pesquisa correlata encontrada na Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP....................................................................................................................................................... 24 Quadro 3 – Pesquisa correlata encontrada na Biblioteca do Centro de Ciências Exatas e Tecnologia da PUC-SP ..................................................................................................................... 24 Quadro 4 – Pesquisa correlata encontrada no site na Universidade Anhanguera de São Paulo..................................................................................................................................................... 25 Quadro 5 – Resumo dos significados atribuídos para equação ................................................ 26 Quadro 6 – Conceitos atribuídos pelo professor tutor nas atividades avaliativas ................... 33 Quadro 7 – Número de períodos, módulos e datas de realização dos Núcleos Básico e Específico do Curso Currículo e Prática Docente – Matemática – 2012 ................................... 33 Quadro 8 – Objetivos de aprendizagem em álgebra e conteúdos desenvolvidos, definidos na Proposta Curricular de Matemática do 1º grau, 6ª série (7º ano) – Tema Números ......... 46 Quadro 9 – Objetivos de aprendizagem em álgebra e conteúdos desenvolvidos, definidos na Proposta Curricular de Matemática do 1º grau, 7ª série (8º ano) – Tema Números ......... 48 Quadro 10 – Objetivos de aprendizagem em álgebra e conteúdos desenvolvidos, definidos na Proposta Curricular de Matemática do 1º grau, 8ª série (9º ano) – Tema Números ......... 50 Quadro 11 – Atividade do Caderno do Aluno, 5ª série (6º ano), volume 1 .............................. 59 Quadro 12 – Conteúdos e habilidade em álgebra, definidos no Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias, 6ª série (7º ano), 4º bimestre ...................................... 60 Quadro 13 – Conteúdos e habilidade em álgebra, definidos no Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias, 7ª série (8º ano), 2º bimestre ...................................... 63 Quadro 14 – Conteúdos e habilidade em álgebra, definidos no Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias, 7ª série (8º ano), 3º bimestre ...................................... 65 Quadro 15 – Conteúdos e habilidade em álgebra, definidos no Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias, 8ª série (9º ano), 3º bimestre ...................................... 69 Quadro 16 – Conteúdos e temas que norteiam o ensino da álgebra escolar na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental em cada Proposta Curricular de Matemática e Concepções de Educação Algébrica, segundo os PCN – Matemática .................................................................. 73 Quadro 17 – Conteúdos e temas que norteiam o ensino da álgebra escolar na 7ª série (8º ano) do Ensino Fundamental em cada Proposta Curricular de Matemática e Concepções de Educação Algébrica, segundo os PCN – Matemática .................................................................. 75 Quadro 18 – Conteúdos e temas que norteiam o ensino da álgebra escolar na 8ª série (9º ano) do Ensino Fundamental em cada Proposta Curricular de Matemática e Concepções de Educação Algébrica, segundo os PCN – Matemática .................................................................. 76 Quadro 19 – Resumo dos resultados encontrados na pesquisa ............................................. 152 Quadro 20 – Módulos e temas que compuseram o Núcleo Básico ........................................ 183 Quadro 21 – Módulos e temas que compuseram o Núcleo Específico de Matemática ....... 184 Quadro 22 – Narrativas extraídas do Fórum de Discussão, relacionadas à participação do Professor 01 ...................................................................................................................................... 186 Quadro 23 – Narrativas extraídas do Fórum de Discussão, relacionadas à participação do Professor 02 ...................................................................................................................................... 186 Quadro 24 – Narrativas extraídas do Fórum de Discussão, relacionadas à participação do Professor 03 ...................................................................................................................................... 187

Quadro 25 – Narrativa extraída do Fórum de Discussão, relacionada à participação do Professor 04 ...................................................................................................................................... 188 Quadro 26 – Narrativa extraída do Fórum de Discussão, relacionada à participação do Professor 05 ...................................................................................................................................... 188 Quadro 27 – Narrativas extraídas do Fórum de Discussão, relacionadas à participação do Professor 06 ...................................................................................................................................... 189 Quadro 28 – Narrativas extraídas do Fórum de Discussão, relacionadas à participação do Professor 07 ...................................................................................................................................... 189 Quadro 29 – Narrativas extraídas do Fórum de Discussão, relacionadas à participação do Professor 08 ...................................................................................................................................... 190 Quadro 30 – Narrativas extraídas do Fórum de Discussão, relacionadas à participação do Professor 09 ...................................................................................................................................... 191 Quadro 31 – Narrativa extraída do Fórum de Discussão, relacionada à participação do Professor 10 ...................................................................................................................................... 192 Quadro 32 – Narrativa extraída do Fórum de Discussão, relacionada à participação do Professor 11 ...................................................................................................................................... 192 Quadro 33 – Narrativa extraída do Fórum de Discussão, relacionada à participação do Professor 12 ...................................................................................................................................... 192 Quadro 34 – Narrativa extraída do Fórum de Discussão, relacionada à participação do Professor 13 ...................................................................................................................................... 193

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Número e percentual de vagas distribuídas entre os treze cursos que integraram o Programa Currículo e Prática Docente – 2012........................................................................... 30 Tabela 2 – Número e percentual de cursistas aprovados, reprovados por aproveitamento, reprovados por frequência e reprovados por aproveitamento e frequência no curso Currículo e Prática Docente – Matemática – 2012 ......................................................................................... 34

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ............................................................................................................... 15

CAPÍTULO 1 – Introdução ................................................................................................. 17

1.1. Trajetória Profissional ................................................................................................ 17

1.2. Problemática: Origem, Questão, Objetivos e Delimitação da Pesquisa ..................... 19

1.3. Relevância da Pesquisa ............................................................................................ 23

1.4. Contexto da Pesquisa ............................................................................................... 28

CAPÍTULO 2 – A Educação Algébrica no Ensino Fundamental ..................................... 37

2.1. A Educação Algébrica e os Movimentos de Reorientação Curricular no Brasil .................................................................................................................................. 37

2.2. A Educação Algébrica e as Inovações Curriculares no Estado de São Paulo ........... 41

2.2.1. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática: Ensino Fundamental ............... 42

2.2.1.1. A Educação Algébrica na 6ª Série (7º Ano) do Ensino Fundamental .................. 46



2.2.1.4. Considerações sobre a Educação Algébrica na Proposta Curricular para o Ensino de Matemática: Ensino Fundamental ................................................................................... 51

2.2.2. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio ........................................................................................................ 52

2.2.2.1. A Educação Algébrica na 6ª Série (7º Ano) do Ensino Fundamental – 4º Bimestre ........................................................................................................................... 59




2.2.2.5. Considerações sobre a Educação Algébrica na Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio (2008) ........................................................................................................................... 71

2.2.3. Considerações sobre o Continuum relacionado à Educação Algébrica nas Propostas Curriculares de Matemática do Estado de São Paulo, a partir de 1986 ............... 72

CAPÍTULO 3 – Fundamentação Teórica ........................................................................... 78

3.1. A Educação Algébrica e suas Diferentes Conceitualizações ..................................... 78

3.1.1. As Diferentes Concepções de Atividade Algébrica ................................................ 78

3.1.2. As Diferentes Concepções de Educação Algébrica ............................................... 86

3.1.3. Algumas Considerações sobre a Educação Algébrica ........................................... 97

3.2. A Formação do Professor e o Conhecimento Profissional ......................................... 97

CAPÍTULO 4 – Aspectos Metodológicos ........................................................................ 106

4.1. Natureza da Pesquisa ............................................................................................. 106

4.2. Procedimentos de Coleta e de Análise dos Dados .................................................. 108

CAPÍTULO 5 – Análise dos Dados e Resultados ........................................................... 115

5.1. Análise de Conteúdo das Narrativas ....................................................................... 115

5.2. Principais Resultados da Análise de Conteúdo ....................................................... 138

5.3. Síntese dos Resultados Encontrados ...................................................................... 152

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................... 154

REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 164

APÊNDICES ...................................................................................................................... 173

APÊNDICE A – Origem do Programa Currículo e Prática Docente .................................... 173

A1 – As Políticas Educacionais no Estado de São Paulo entre 2007 e 2010 ..................... 173

A2 – A Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo (EFAP) ............................................................................................................................... 179

A3 – O Curso de Formação Específica do Concurso Público para Provimento de Cargo Efetivo de Professor da Educação Básica II ...................................................................... 181

A4 – O Programa Currículo e Prática Docente ................................................................... 184

ANEXOS ........................................................................................................................... 186

ANEXO 1 – Íntegra das Narrativas Extraídas do Fórum de Discussão .............................. 186

15

APRESENTAÇÃO

Este estudo está inserido na linha de pesquisa “Formação de Professores que

Ensinam Matemática”, do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da

Universidade Anhanguera de São Paulo e foi desenvolvido considerando-se o

contexto de um programa de formação continuada, oferecido em Ambiente Virtual de

Ensino e Aprendizagem pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, por

meio da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São

Paulo “Paulo Renato Costa Souza”.

Nesse processo formativo, um grupo de professores de Matemática, sujeitos

desta investigação, tiveram a oportunidade de discutir sobre as diferentes estratégias

de ensino para introduzir o uso de letras na Matemática, desde a 6ª série (7º ano) do

Ensino Fundamental. A partir das reflexões apresentadas, foram coletadas algumas

evidências sobre a cultura profissional docente, relacionada ao ensino da álgebra

escolar. Tendo como base metodológica a pesquisa qualitativa, de cunho documental,

a estrutura deste trabalho foi organizada da seguinte forma:

O Capítulo 1 apresenta uma breve explanação sobre a trajetória profissional

do autor, seguindo com a problemática da pesquisa, destacando sua origem, questão,

objetivos e delimitação, finalizando com a relevância e com o contexto da

investigação.

O Capítulo 2 discute a organização da educação algébrica nos Currículos de

Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental, tendo em vista diferentes

movimentos de reorientação curricular ocorridos no Brasil e no Estado de São Paulo,

ao longo dos anos. Apresenta uma breve explanação sobre a organização e as

finalidades da álgebra nos Parâmetros Curriculares Nacionais, bem como na Base

Nacional Comum Curricular, e uma discussão sobre a educação algébrica nas

Propostas Curriculares do Estado de São Paulo para a área de Matemática,

apresentadas em 1986 e 2008.

O Capítulo 3 apresenta os elementos teóricos que norteiam a análise dos

dados desta investigação. Primeiramente, são abordadas as teorias relacionadas à

álgebra escolar, suas principais concepções e sobre como as diferentes visões da

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atividade algébrica acabaram por moldá-las. Posteriormente, são abordadas algumas

teorias que tratam da formação continuada do professor e do conhecimento

profissional, tendo em vista a educação a distância e os princípios da prática reflexiva.

O Capítulo 4 trata das escolhas metodológicas que norteiam o

desenvolvimento desta investigação. Apresenta a natureza da pesquisa e as técnicas

para coleta e análise de dados.

O Capítulo 5 apresenta a análise de conteúdo das narrativas coletadas do

Fórum de Discussão, com foco no sistema de categorias e sua derivação, definidos a

priori. Discute como os professores de Matemática engajam seus estudantes em

atividade algébrica na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental e quais concepções

de educação algébrica norteiam esse trabalho, tendo em vista a questão norteadora

e os objetivos de pesquisa. Finaliza apresentando os resultados obtidos, pondo em

relevo, por meio de quadros analíticos, as principais evidências que emergiram

durante a análise.

Por fim, nas Considerações Finais desta investigação é apresentada uma

síntese global da pesquisa, que descreve os resultados encontrados e respostas à

pergunta norteadora. Apresenta, ainda, uma avaliação das discussões realizadas

pelos professores e tutor no Fórum e algumas sugestões sobre como os diferentes

aspectos da álgebra escolar, além de sua inter-relação com o currículo, podem ser

explorados por mediadores, de forma a potencializar a reflexão coletiva e a tomada

de consciência sobre a prática profissional. Finaliza com algumas sugestões para

trabalhos futuros.

17

CAPÍTULO 1 – Introdução

Este capítulo apresenta uma breve explanação sobre a trajetória profissional

do autor, seguindo com a problemática da pesquisa, destacando sua origem, questão,

objetivos e delimitação, finalizando com a relevância e com o contexto da

investigação.

1.1. Trajetória Profissional

Minha trajetória profissional como professor de Matemática do ensino básico

teve início no ano de 2004, na rede pública do Estado de São Paulo. Em todas as

reuniões com o grupo de professores e gestores na escola onde lecionava,

discutíamos com muita frequência sobre como levar os estudantes a participarem

ativamente das aulas de Matemática. Alguns professores se posicionavam dizendo

que os conteúdos matemáticos deveriam ser ensinados de forma contextualizada,

outros afirmavam que as atividades matemáticas deveriam valorizar situações-

problema, determinado grupo afirmava, ainda, que os conteúdos deveriam ser

iniciados tendo como fio condutor a história da Matemática. Independente das

propostas apresentadas, sempre chegávamos a um consenso a respeito do que era

preciso para ensinar Matemática: motivar os alunos e produzir significados para o

ensino de Matemática.

Ao final de nossas discussões, tendo como referência nossas conclusões,

sempre fazíamos as seguintes perguntas: Como motivar os estudantes para que

participem ativamente das aulas de Matemática? Como a Matemática pode ser

ensinada de forma a se tornar significativa aos aprendizes? Mesmo sendo uma tarefa

difícil, nunca desisti de procurar respostas a essas perguntas. Ganhei novo fôlego

quando fui convidado para exercer a função de Assistente Técnico Pedagógico1 na

Diretoria de Ensino de Caieiras. Vislumbrei a oportunidade de ampliar meus

conhecimentos, a fim de continuar buscando respostas às minhas perguntas. E foi

1 Os Assistentes Técnicos Pedagógicos – atualmente conhecidos como Professores Coordenadores do Núcleo Pedagógico – exercem a função de formadores de professores nas Diretorias Regionais de Ensino.

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naquele momento que passei a integrar a equipe da Oficina Pedagógica2, iniciando

uma trajetória como formador de professores.

Nessa nova etapa da minha carreira profissional atuei como formador de

professores, e também como aprendiz, em dezenas de cursos oferecidos por

diferentes instituições de ensino. Dentre essas ações de formação, destaco o Curso

de Formação Específica do Concurso Público para Professores da Educação Básica

II3 e o Programa Currículo e Prática Docente, oferecidos pela Secretaria da Educação

do Estado de São Paulo4 (SEE-SP) e executado pela Escola de Formação e

Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo “Paulo Renato Costa

Souza”5 (EFAP). Esses dois programas de formação continuada trataram de um

importante tema relacionado à educação básica no Estado de São Paulo: a

implementação de um novo currículo para as escolas da rede estadual nos níveis de

Ensino Fundamental (Ciclo II/Anos Finais) e Ensino Médio, ocorrida no ano de 2008.

Por ter atuado como formador de professores na Diretoria de Ensino de

Caieiras desde 2008 e por ter participado como cursista do Curso de Formação

Específica do Concurso Público para Professores da Educação Básica II, no ano de

2010, tive a oportunidade de trabalhar como tutor em 2011, e como coordenador de

tutores em 2012, no Programa Currículo e Prática Docente, na área de Matemática.

A atuação como formador em ações presenciais, bem como cursista, tutor e

coordenador de tutores em formações a distância, me levou a perceber a importância

2 Com a reorganização da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE-SP), por meio do Decreto nº 57.141, de 18 de julho de 2011, as Oficinas Pedagógicas que integravam as Diretorias Regionais de Ensino passaram a se chamar Núcleos Pedagógicos. 3 O Curso de Formação Específica do Concurso Público para Professores da Educação Básica II é uma ação de formação continuada oferecida pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE-SP), e executada pela Escola de Formação e Aperfeiçoamento de Professores “Paulo Renato Costa Souza” (EFAP), destinada aos candidatos classificados em concurso público para provimento de cargos de Professores da Educação Básica II, desde o ano de 2010. 4 Responsável pela administração do ensino público no Estado de São Paulo, a Secretaria da Educação é composta por dois órgãos vinculados, o Conselho Estadual de Educação (CEE) e a Fundação para o Desenvolvimento da Educação (FDE), e por seis Coordenadorias, sendo elas a Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo “Paulo Renato Costa Souza” (EFAP); a Coordenadoria de Gestão da Educação Básica (CGEB); a Coordenadoria de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional (CIMA); a Coordenadoria de Infraestrutura e Serviços Escolares (CISE); a Coordenadoria de Gestão de Recursos Humanos (CGRH); e a Coordenadoria de Orçamento e Finanças (COFI). 5 A Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo “Paulo Renato Costa Souza” (EFAP) foi instituída no ano de 2009 pelo Governo do Estado de São Paulo, a partir do Decreto nº 54.297, e tem como uma de suas atribuições o gerenciamento da execução de ações de formação, aperfeiçoamento e educação continuada, aos profissionais da educação.

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que a educação algébrica tem para o desenvolvimento dos estudantes, em sua

trajetória escolar. Com essa perspectiva, passei a olhar para as minhas perguntas

iniciais não mais sob o contexto do ensino e da aprendizagem, mas sob o contexto da

formação continuada de professores.

Tendo como referência a minha trajetória profissional como professor e como

formador de professores, me propus a pesquisar se a reforma curricular que

reestruturou a educação básica no Estado de São Paulo em 2008, provocou

mudanças na cultura profissional dos professores de Matemática em relação ao

ensino da álgebra escolar. Com essa perspectiva, iniciei o mestrado em Educação

Matemática na linha de pesquisa “Formação de Professores que Ensinam

Matemática”, uma vez que meus questionamentos estão vinculados a esse contexto.

1.2. Problemática: Origem, Questão, Objetivos e Delimitação da Pesquisa

No Estado de São Paulo, o movimento de reorganização curricular promovido

pela Secretaria da Educação, em 1986, propôs a implantação de um novo modelo

pedagógico para o Ensino Fundamental, com a Proposta Curricular de Matemática do

1º grau6. Esse movimento buscou contribuir com o processo de construção da

autonomia pedagógica do professor, tendo em vista o respeito ao ritmo individual e

aos processos de maturação dos estudantes (SÃO PAULO, 1997).

Diretamente ligada às discussões sobre a qualidade do ensino público estadual

paulista, a Proposta Curricular de Matemática do 1º grau, elaborada pela

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas7, partiu do diagnóstico de

problemas relativos ao ensino da Matemática, evidenciados por muitos professores

comprometidos com o ensino dessa disciplina (SÃO PAULO, 1997). À vista disso, e

6 Os antigos Ensino Primário (grau Elementar) e Ciclo Ginasial do Ensino Médio (Médio 1º Ciclo), ambos com quatro anos de duração, passaram a formar o Ensino de Primeiro Grau, com oito anos de duração (1ª a 8ª séries), a partir da Lei nº 5.692/71. Com a Lei nº 9.394/96, o Ensino de Primeiro Grau recebeu a denominação de Ensino Fundamental (RIGOTTI, 2004). 7 Antes da reorganização da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, a partir do Decreto nº 57.141, de 18 de julho de 2011, a atual Coordenadoria de Gestão da Educação Básica (CGEB) tinha a denominação de Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP) que, por sua vez, foi instituída em 29 de janeiro de 1976, a partir do Decreto nº 7.510. Atualmente, a CGEB tem a função de viabilizar a ação educativa, definindo o currículo oficial, materiais didáticos, procedimentos educacionais, e orientações às escolas para a obtenção das metas de desempenho fixadas (SÃO PAULO, 2011).

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tendo como base a reflexão sobre o papel da Matemática no currículo do 1º grau e a

análise crítica dos Guias Curriculares anteriores, a Proposta Curricular de Matemática

do 1º grau buscou provocar mudanças significativas no cotidiano da sala de aula,

objetivando atingir duas importantes metas estabelecidas para o ensino da

Matemática na educação básica: as aplicações práticas e o desenvolvimento do

raciocínio lógico por parte dos estudantes (SÃO PAULO, 1997).

Apesar de propostas como essa buscarem reorganizar o currículo de

Matemática da educação básica, com o interesse de orientar a prática docente dos

professores, verificou-se, ao final dos anos 90 que, desde os anos 20, os diferentes

movimentos de reorientação curricular não produziram o impacto almejado no ensino

da Matemática: mudar a prática docente dos professores que recaia sobre o treino de

habilidades e sobre a mecanização de processos sem compreensão (BRASIL, 1998).

No que se refere à álgebra escolar, ficou evidenciado que a ênfase dada ao

seu ensino não garantia uma aprendizagem algébrica significativa, nem o sucesso

dos estudantes em avaliações externas, “[...] a julgar tanto pelas pesquisas em

Educação Matemática como pelo desempenho dos alunos nas avaliações que têm

ocorrido em muitas escolas.” (BRASIL, 1998, p. 115). Os resultados do SAEB, por

exemplo, revelaram que os itens relacionados à álgebra não atingiam, em muitas

regiões do Brasil, um índice de acerto superior a 40% (BRASIL, 1998).

Na tentativa de elevar esses índices, os professores propunham, na maioria

das vezes, a repetição mecânica de exercícios e, além disso, em busca de tornar a

aprendizagem algébrica mais significativa, deslocavam de forma precoce alguns

conceitos algébricos tratados tradicionalmente no Ensino Médio para o Ensino

Fundamental, tornando a abordagem pedagógica inadequada neste nível de ensino

(BRASIL, 1998).

Diante desse cenário bastante desfavorável para o ensino e para a

aprendizagem de álgebra, há razoável consenso acerca do que é preciso para

favorecer o desenvolvimento do pensamento algébrico dos estudantes: engajá-los

21

em atividade algébrica que inter-relacione as diferentes concepções da álgebra escolar8 (BRASIL, 1998).

Apesar desse consenso, as diferentes concepções da álgebra escolar, ou

concepções de educação algébrica9, não são desenvolvidas pelos professores ao

longo do Ensino Fundamental, “[...] pois privilegiam fundamentalmente o estudo do

cálculo algébrico e das equações – muitas vezes descoladas dos problemas.”

(BRASIL, 1998, p. 117). Embora esses aspectos sejam necessários, eles não são

suficientes para promover uma aprendizagem efetiva da álgebra, visto que, “para o

aluno consolidar e ampliar um conceito, é fundamental que ele o veja em novas

extensões, representações ou conexões com outros conceitos.” (BRASIL, 1998, p.

23). Além disso, é preciso ter clareza das finalidades da álgebra nos currículos, “[...]

além da reflexão de como a criança e o adolescente constroem o conhecimento

matemático, principalmente quanto à variedade de representações.” (BRASIL, 1998,

p. 116).

Com a reforma curricular que reestruturou a educação básica (Ciclo II/Anos

Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio) no Estado de São Paulo, em 200810,

a grade curricular relacionada à álgebra sofreu grandes transformações, tendo como

base um continuum de Propostas, passando a integrar novos conteúdos e orientações

pedagógicas aos professores de Matemática. Nos anos finais do Ensino Fundamental,

por exemplo, são sugeridas diferentes estratégias de ensino que buscam justificar o

sentido e o significado do uso de letras na Matemática, a partir da 6ª série (7º ano),

em um trabalho denominado pré-álgebra11, inter-relacionando as diferentes

concepções da álgebra escolar.

Tendo como base esse panorama, e o continuum relacionado à educação

algébrica nos Currículos do Estado de São Paulo, a partir de 1986, esta pesquisa tem

8 Aritmética Generalizada, Funcional, Equações e Estrutural (BRASIL, 1998, p. 116). Essas diferentes concepções da álgebra escolar serão exploradas no Capítulo 3, sob a ótica de Usiskin (1995). 9 Lins e Gimenez (1997) se referem às diferentes concepções da álgebra escolar como “concepções de educação algébrica”. 10 No Estado de São Paulo, a Proposta Curricular de Matemática do 1º grau, elaborada a partir de 1986, foi substituída em 2008 com a implementação de um novo currículo oficial. 11 Segundo os PCN – Matemática, “Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar ‘abstratamente’, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho articulado com a Aritmética.” (BRASIL, 1998, p. 117). A esse trabalho é atribuído o status de pré-álgebra.

22

como objetivo central compreender a cultura profissional de determinado grupo de

professores de Matemática, no que se refere ao ensino da álgebra escolar, a partir da

6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental. Para isso, foram definidos como objetivos

específicos:

• Analisar o continuum relacionado à educação algébrica nas Propostas

Curriculares do Estado de São Paulo, a partir de 1986, com foco nos conteúdos,

nas estratégias e nas concepções que norteiam o ensino da álgebra nos anos

finais do Ensino Fundamental.

• Analisar como determinado grupo de professores de Matemática costuma

engajar os estudantes em atividade algébrica, a partir da 6ª série (7º ano) do

Ensino Fundamental.

• Identificar quais concepções de educação algébrica norteiam o trabalho desses

professores, a partir da 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental.

• Compreender a cultura profissional desse grupo de professores, em relação as

estratégias de ensino para a introdução do uso de letras na Matemática, a partir

da 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental.

Tendo em vista que as finalidades da álgebra escolar (cultura algébrica escolar)

são determinadas por (ou relacionam-se com) diferentes concepções de educação

algébrica (USISKIN, 1995), esta investigação se propôs a responder a seguinte

questão norteadora:

• Quais concepções de educação algébrica são priorizadas pelos professores,

quando se busca introduzir o uso de letras na Matemática, a partir da 6ª série

(7º ano) do Ensino Fundamental? O foco incide sobre o desenvolvimento do

pensamento pré-algébrico dos estudantes, valorizando-se a inter-relação entre

as diferentes concepções da álgebra escolar, ou sobre o estudo do cálculo

algébrico e das equações?

Para responder a essa questão norteadora, optou-se por realizar uma pesquisa

documental, de natureza qualitativa, cujo universo de documentos foi constituído por

registros textuais, extraídos do Fórum de Discussão de um programa de formação

continuada oferecido pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE-SP),

por meio da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de

23

São Paulo “Paulo Renato Costa Souza” (EFAP), em Ambiente Virtual de Ensino e

Aprendizagem (AVEA).

1.3. Relevância da Pesquisa

Para justificar a relevância da pesquisa, foi realizada uma revisão sistemática

da literatura em busca de estudos acadêmicos (teses e dissertações) que abordam as

concepções da álgebra escolar, especificamente no contexto da formação continuada

de professores. Como ponto de partida, foi adotado o ano de 2007, em que se discutiu

a implementação de um novo currículo no Estado de São Paulo, provocando

mudanças significativas no ensino da Matemática e, consequentemente, na educação

algébrica.

O principal objetivo dessa revisão sistemática foi encontrar pesquisas que se

relacionam com o tema: concepções dos professores de Matemática sobre o ensino

da álgebra escolar. Para tanto, as buscas foram realizadas no portal da CAPES, em

bibliotecas virtuais de instituições de ensino superior e no Google Acadêmico. Como

trata-se de um tema muito específico, as buscas foram orientadas a partir das

palavras-chave:

• Formação de Professores (linha de pesquisa);

• Matemática (área de conhecimento);

• Álgebra (tópico).

O primeiro repositório de pesquisas visitado foi o Banco de Teses CAPES. Em

decorrência dessa busca, foram encontrados, a partir de 2007, três resultados

(dissertações de mestrado), conforme destacado no Quadro 1.

24

Quadro 1 – Pesquisas correlatas encontradas no Banco de Teses CAPES

Autor Título Ano da Defesa Ando, Rosangela de Souza Jorge

Formação Continuada e Ensino de Álgebra: Reflexões de Professores da Educação Básica sobre Itens do SARESP

2012

Santos, Rita de Cassia Viegas dos

Equações no Contexto de Funções: Uma Proposta de Significação das Letras no Estudo da Álgebra 2012

Lautenschlager, Etienne

Discutindo Diferentes Significados de Equação num Curso de Formação Continuada de Professores

2012

Fonte: Banco de Teses CAPES.

Dando continuidade à busca por pesquisas correlatas, diferentes repositórios

de teses e dissertações de algumas instituições de ensino superior foram visitados e

dois resultados atenderam aos filtros de busca estabelecidos anteriormente. Foram

encontradas uma dissertação de mestrado na Biblioteca Digital de Teses e

Dissertações da USP e uma tese de doutorado na Biblioteca do Centro de Ciências

Exatas e Tecnologia da PUC-SP, conforme destacado nos Quadros 2 e 3,

respectivamente.

Quadro 2 – Pesquisa correlata encontrada na Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP

Autor Título Ano da Defesa Sousa, Adilson Sebastião de

Metacognição e Ensino da Álgebra: Análise do que Pensam e Dizem Professores de Matemática da Educação Básica

2007

Fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP.

Quadro 3 – Pesquisa correlata encontrada na Biblioteca do Centro de Ciências Exatas e Tecnologia da PUC-SP

Autor Título Ano da Defesa Ribeiro, Alessandro Jacques

Equações e seus multisignificados no ensino de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico.

2007

Fonte: Biblioteca do Centro de Ciências Exatas e Tecnologia da PUC-SP.

Em busca de novas referências, dessa vez com o auxílio da máquina de busca

do Google, uma dissertação de mestrado foi encontrada, publicada no site da

Universidade Anhanguera de São Paulo. Os critérios de busca se basearam nas

palavras chave supracitadas. O resultado encontrado no referido repositório pode ser

visualizado no Quadro 4.

25

Quadro 4 – Pesquisa correlata encontrada no site na Universidade Anhanguera de São Paulo

Autor Título Ano da Defesa Barbosa, Yuri Osti Multisignificados de Equação: Uma Investigação

sobre as Concepções de Professores de Matemática

2009

Fonte: Banco de Teses e Dissertações da Universidade Anhanguera de São Paulo.

A realização dessa busca sistemática revelou que poucos estudos acadêmicos

foram encontrados, a partir de 2007, segundo os critérios de pesquisa selecionados

(linha de pesquisa: Formação de Professores; área de conhecimento: Matemática;

tópico: Álgebra). Além disso, apesar desses trabalhos se relacionarem com o estudo

da álgebra, ficou constatado que essa relação é pouco estreita com o tema desta

pesquisa, conforme demonstrado a seguir.

O trabalho de Souza (2007), por exemplo, propôs uma análise sobre os

processos vivenciados pelos professores de Matemática na formação inicial e na

formação continuada, bem como os conhecimentos que esses professores têm sobre

as práticas de ensino da álgebra. Com esse trabalho, o autor buscou investigar as

atividades metacognitivas desenvolvidas pelos docentes que lecionam nos anos finais

do Ensino Fundamental. Fica evidenciado, então, que a temática do trabalho de Souza

(2007) está diretamente relacionada à metacognição no ensino da álgebra.

O trabalho de Ribeiro (2007) propôs uma investigação sobre os diferentes

significados que são atribuídos à noção de equação no ensino da Matemática. Ao

analisar as diferentes perspectivas relacionadas à ideia de equação, presente em

diferentes civilizações ao longo da história, em livros didáticos e em pesquisas

realizadas no âmbito da Educação Matemática, o autor concluiu que existem

diferentes formas de reconhecer, tratar e interpretar situações-problema que

envolvem equações. A essas diferentes formas, Ribeiro (2007) denominou como

Multisignificados de equação, conforme resumo ilustrativo apresentado no Quadro 5.

26

Quadro 5 – Resumo dos significados atribuídos para equação

Significado Características Exemplos Intuitivo-Pragmático

Equação concebida como noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades. Utilização relacionada a resolução de problemas de ordem prática originários de situações do dia-a-dia.

Babilônios e Egípcios; Livros didáticos de: Bourdon e de Imenes & Lellis

Dedutivo-Geométrico

Equação concebida como noção ligada às figuras geométricas, segmentos e curvas. Utilização relacionada à situações envolvendo cálculos e operações com segmentos, com medidas de lados de figuras geométricas e intersecção de curvas.

Gregos; Omar Khayyam – Geometria das Curvas

Estrutural-Generalista

Equação concebida como noção estrutural definida e com propriedades e características próprias, considerada por si própria e operando-se sobre ela. Utilização relacionada com a busca de soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza.

al-Khwarizmi; Descartes; Abel e Galois.

Estrutural-Conjuntista

Equação concebida dentro de uma visão estrutural, porém diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma ferramenta para resolver problemas que envolvam relações entre conjuntos.

Rogalski; Warusfel; Bourbaki

Processual-Tecnicista

Equação concebida como a sua própria resolução – os métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos estruturalistas, não enxergam a equação como um ente matemático.

Pesquisas em Educação Matemática: Cotret (1997); Dreyfus & Hoch (2004)

Axiomático-Postulacional

Equação como noção da Matemática que não precisa ser definida, uma idéia a partir da qual outras idéias, matemáticas e não matemáticas, são construídas. Utilizada no sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana.

Chevallard; Primeiro significado que poderia ser discutido no ensino-aprendizagem de Álgebra

Fonte: Ribeiro (2007, p. 127-128).

Percebe-se que o trabalho de Ribeiro (2007) tem como tema central o estudo

das equações, especificamente no que se refere às diferentes perspectivas que

conceberam essa ideia matemática ao longo da história.

Ao adotar a mesma perspectiva de Ribeiro (2007), Barbosa (2009) propôs uma

investigação sobre as imagens de conceitos dos professores de Matemática ao ver,

interpretar e tratar situações-problema relacionadas à ideia de equação. Com esse

objetivo, o autor buscou verificar se existe alguma relação entre essas imagens de

conceitos com os Multisignificados de equação. Verifica-se, portanto, que o trabalho

de Barbosa (2009), mesmo buscando uma contribuição subjacente aos processos de

ensino e aprendizagem de álgebra, não se relaciona com o tema desta pesquisa.

27

O trabalho de Lautenschlager (2012) foi desenvolvido no contexto da formação

continuada de professores, priorizando a realização de estudos, análises e discussões

acerca das diferentes concepções da álgebra, um tema muito próximo ao desta

pesquisa. Entretanto, apesar dessa proximidade, a investigação da autora teve como

tema central as diferentes formas de ver e de tratar a noção de equação, tomando

como base, assim como Barbosa (2009), a perspectiva de Ribeiro (2007), em relação

aos Multisignificados de equação.

Santos (2012), em suas considerações sobre o ensino e a aprendizagem da

álgebra, ressaltou a importância de formar cidadãos críticos à altura dos desafios da

sociedade contemporânea, acrescentando que o ensino da álgebra escolar é um fator

importante nesse processo. Em sua visão, Santos (2012, p. 12-13) afirma que a

álgebra “[...] ajuda a organizar os conceitos matemáticos na medida em que generaliza

padrões aritméticos e geométricos e descreve de forma clara e objetiva relações entre

grandezas, possibilitando a compreensão de vários fenômenos naturais, sociais,

políticos e econômicos.”.

Mesmo fazendo referências às diferentes concepções de educação algébrica,

buscando apresentar uma proposta de significação para o uso de letras no estudo da

álgebra, Santos (2012) centrou sua discussão no contexto do ensino e da

aprendizagem, principalmente por ter proposto um trabalho que envolveu o estudo

das funções reais, de variável real, com alunos do Ensino Médio.

Ando (2012), ao realizar um estudo no contexto da formação continuada de

professores, envolvendo a educação algébrica escolar, afirmou que o:

[...] Currículo Oficial do Estado de São Paulo contempla as diversas concepções de álgebra apontadas por Usiskin [...], ou seja, discute-se, ao longo do ensino, a álgebra como aritmética generalizada, como estudo de procedimentos para resolver problemas e como estudo de relações entre grandezas (funções). Entretanto, a dimensão da álgebra como estudo das estruturas não está incluída no currículo da Educação Básica (ANDO, 2012, p. 53).

Apesar de fazer referências ao Currículo Oficial de Matemática do Estado de

São Paulo e às diferentes concepções de educação algébrica propostas por Usiskin

(1995), a autora centrou sua discussão no que sabem e pensam os professores de

28

Matemática sobre os resultados do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do

Estado de São Paulo, relacionados ao ensino da álgebra escolar.

A partir dessa breve revisão de literatura, fica evidenciado que poucas

pesquisas se relacionam com o tema desta investigação. Nesse sentido, a não

existência de trabalhos equivalentes ao escopo investigado confirma a relevância

acadêmica e social desta pesquisa, que busca compreender a cultura profissional de

determinado grupo de professores de Matemática, relacionada ao ensino da álgebra

escolar, tendo em vista o movimento de reorientação curricular ocorrido no Estado de

São Paulo, no ano de 2008.

1.4. Contexto da Pesquisa

Um dos grandes desafios da educação básica no Estado de São Paulo,

evidenciados antes da reforma curricular ocorrida no ano de 2008, foi a melhoria das

aprendizagens dos estudantes.

Como o acesso ao Ensino Fundamental já havia sido universalizado e o Ensino

Médio caminhava para a universalização total, gerando um alto crescimento no

número de matrículas, incorporando segmentos da população antes excluídos, houve

a necessidade de garantir não apenas que os estudantes ingressassem na escola,

mas que pudessem aprender (SÃO PAULO, 2010).

Para superar esse desafio, alguns programas estruturantes foram

desencadeados pela SEE-SP, diretamente relacionados à gestão da carreira do

magistério, aos padrões curriculares e à avaliação (de desempenho do aluno, de

progresso da escola e de competências docentes). Dentre essas ações, destacam-se

o Programa São Paulo Faz Escola, que resultou na implementação de um novo

currículo para os níveis de ensino Fundamental (Ciclo II/Anos Finais) e Médio (em

2008), e o Programa + Qualidade na Escola, que resultou na criação da EFAP (em

2009) e na instituição do Curso de Formação Específica do Concurso Público para

Professores da Educação Básica II como etapa obrigatória para o ingresso no Quadro

do Magistério (a partir de 2010).

29

Ao buscar responder à pergunta que norteia esta investigação, foi considerado

a inter-relação entre o Currículo Oficial do Estado de São Paulo – como apoio às

escolas e à melhoria da qualidade das aprendizagens dos estudantes, definindo as

competências para aprender, os conteúdos e sua organização, as atividades para os

professores e os alunos, os insumos didáticos e a avaliação e recuperação da

aprendizagem; a EFAP – como espaço institucional próprio para suas ações de

formação continuada em serviço; e o Curso de Formação Específica do Concurso Público para Professores da Educação Básica II – como ação que visa preparar o

professor para trabalhar com o currículo adotado.

Nessa perspectiva, esta pesquisa se inseriu no contexto da EFAP, mas não

considerou o Curso de Formação Específica do Concurso Público para Professores

da Educação Básica II, ofertado em 2010, sobretudo por ser imprescindível esperar o

tempo necessário para que as mudanças na cultura profissional dos professores de

Matemática, em relação ao ensino da álgebra escolar, possam se concretizar a partir

da Proposta de reformulação curricular, apresentada em 2008.

À vista disso, esta investigação considerou o contexto do Programa Currículo

e Prática Docente – 201212, ofertado após quatro anos de reforma curricular no Estado

de São Paulo. Essa ação de formação continuada, também oferecida pela SEE-SP,

teve como base os princípios que nortearam o desenvolvimento do Curso de

Formação Específica do Concurso Público para Professores da Educação Básica II,

visando atender diversos profissionais em exercício no Quadro do Magistério (efetivos

ou não).

A edição 2012 do Programa Currículo e Prática Docente contou com a oferta

de 7.403 vagas, distribuídas em treze cursos, conforme apresentado na Tabela 1.

12 Para conhecer em detalhes a origem do Programa Currículo e Prática Docente, que está diretamente relacionada à implementação do Currículo Oficial do Estado de São Paulo, à criação da EFAP e à instituição do Curso de Formação Específica do Concurso Público para Professores da Educação Básica II, ver o Apêndice A.

30

Tabela 1 – Número e percentual de vagas distribuídas entre os treze cursos que integraram o Programa Currículo e Prática Docente – 2012

Curso N %

Currículo e Prática Docente – Arte – 2012 630 8,51 Currículo e Prática Docente – Biologia – 2012 315 4,26 Currículo e Prática Docente – Ciências – 2012 490 6,62 Currículo e Prática Docente – Educação Física – 2012 770 10,40 Currículo e Prática Docente – Filosofia – 2012 368 4,97 Currículo e Prática Docente – Física – 2012 215 2,90 Currículo e Prática Docente – Geografia – 2012 560 7,56 Currículo e Prática Docente – História – 2012 630 8,51 Currículo e Prática Docente – LEM/Inglês – 2012 539 7,28 Currículo e Prática Docente – Língua Portuguesa – 2012 1.155 15,60 Currículo e Prática Docente – Matemática – 2012 1.155 15,60 Currículo e Prática Docente – Química – 2012 315 4,26 Currículo e Prática Docente – Sociologia – 2012 261 3,53

Total 7.403 100,00 Fonte: Adaptado de São Paulo (2012).

O objetivo geral dos 13 cursos que integraram o Programa Currículo e Prática

Docente – 2012 foi complementar a formação acadêmica dos professores da rede

pública estadual, a fim de subsidiar o exercício da docência. Com essa perspectiva,

buscou-se proporcionar momentos de reflexão sobre a prática pedagógica, em

relação ao novo Currículo adotado pelo Estado de São Paulo, e sobre as novas

políticas educacionais vigentes na Secretaria, a partir de 2008.

A Figura 1 ilustra a página inicial do Programa, que viabilizou a divulgação dos

13 cursos, do regulamento e das pré-inscrições.

31

Figura 1 – Página inicial do Programa Currículo e Prática Docente – 2012

Fonte: http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Default.aspx?tabid=3603 (acesso em:

05/08/2016 às 5:35).

O Programa Currículo e Prática Docente – 2012 foi realizado na modalidade a

distância, em Ambiente Virtual de Ensino e Aprendizagem (AVEA). O cronograma de

realização dos treze cursos foi executado no período de 18 de agosto a 11 de

dezembro de 2012, sendo que as inscrições dos profissionais interessados foram

realizadas no período de 2 a 31 de julho de 2012.

A Figura 2 ilustra a página de acesso ao AVEA da EFAP.

http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Default.aspx?tabid=3603

32

Figura 2 – Página inicial do Ambiente Virtual de Ensino e Aprendizagem da EFAP

Fonte: http://efp.cursos.educacao.sp.gov.br/ (acesso em: 05/08/2016 às 6:05).

Tendo em vista os objetivos e a questão de pesquisa, esta investigação

considerou o contexto do curso Currículo e Prática Docente – Matemática – 2012, cuja

carga horária total foi equivalente a 260 horas e dividida em 13 módulos.

Basicamente, sua estrutura foi composta por dois Núcleos: Básico e Específico,

realizados concomitantemente.

O Núcleo Básico do curso foi dividido em 3 módulos de 20 horas cada,

totalizando 60 horas, e tratou de questões gerais como currículo, competências e

tecnologias, acessibilidade e diversidade, além de avaliação externa.

O Núcleo Específico, dividido em 10 módulo de 20 horas cada, totalizando 200

horas, buscou apresentar o universo do Currículo do Estado de São Paulo para a área

de Matemática, de forma a auxiliar os professores na preparação do planejamento e

na aplicação das situações de aprendizagem.

Cada módulo, de ambos os núcleos, foi composto por atividades avaliativas

como Fóruns de Discussão, Questões Objetivas e Dissertativas e duas Atividades de

“Vivência”, realizadas nas escolas junto aos alunos durante o curso. As atividades

http://efp.cursos.educacao.sp.gov.br/

33

foram mediadas e avaliadas por professores tutores, contratados na própria rede de

ensino, com exceção das questões objetivas, avaliadas automaticamente pelo AVEA.

O Quadro 6 apresenta os conceitos atribuídos às atividades avaliativas.

Quadro 6 – Conceitos atribuídos pelo professor tutor nas atividades avaliativas

Atividade Não Validada Atividade Validada

Respostas em branco, incoerentes com as questões

propostas ou postadas contendo conteúdos que

culminem em material ilícito

Respostas Coerentes com as Questões Propostas

Insatisfatório Satisfatório

Conceito C Conceito B Conceito A

Inferior a 51% De 51% a menor que 75%

Igual ou superior a 75%

Fonte: Adaptado de São Paulo (2012).

A frequência e o aproveitamento dos professores cursistas foram aferidos em

3 períodos distintos, conforme demonstra o Quadro 7.

Quadro 7 – Número de períodos, módulos e datas de realização dos Núcleos Básico e Específico do Curso Currículo e Prática Docente – Matemática – 2012

Período Núcleo Básico Núcleo Específico

Módulo Carga Horária

Data de Realização Módulo Carga

Horária Data de

Realização

1 1 20 h 24/08 a 22/09

1 20 h 24/08 a 02/09

2 20 h 03/09 a 12/09

3 20 h 13/09 a 22/09

2 2 20 h 23/09 a 22/10

4 20 h 23/09 a 02/10

5 20 h 03/10 a 12/10

6 20 h 13/10 a 22/10

3 3 20 h 28/10 a 26/11

7 20 h 28/10 a 06/11

8 20 h 07/11 a 16/11

9 20 h 17/11 a 26/11

.. .. 10 20 h 27/11 a 06/12

Carga Horária Total

60 horas 200 horas 260 horas


Para aprovação e certificação, os professores cursistas deveriam realizar, no

mínimo, 80% do total das atividades propostas e ter média de aproveitamento com

34

conceito satisfatório (A ou B) em cada período, além de entregar, obrigatoriamente,

todos os relatórios relativos às atividades de vivência.

Das 1.155 vagas ofertadas, 1.151 foram preenchidas e distribuídas em 33

turmas. O índice de professores cursistas aprovados e certificados foi igual 56,73%

(653), conforme dados da Tabela 2.

Tabela 2 – Número e percentual de cursistas aprovados, reprovados por aproveitamento, reprovados por frequência e reprovados por aproveitamento e frequência no curso Currículo

e Prática Docente – Matemática – 2012

Situação N %

Aprovados 653 56,73 Reprovados por aproveitamento 4 0,35 Reprovados por frequência 73 6,34 Reprovados por frequência e aproveitamento 421 36,58

Total 1.151 100,00 Fonte: São Paulo (2016).

Quanto ao conteúdo do curso, o Núcleo Básico foi dividido em 3 módulos (SÃO

PAULO, 2012a), organizados da seguinte forma:

• Módulo 1: Currículo, Competências e Tecnologia.

• Módulo 2: Acessibilidade e Diversidade.

• Módulo 3: Avaliação Externa e SARESP.

No que se refere ao Núcleo Específico, sua composição contou com a

distribuição do conteúdo em 10 módulos (SÃO PAULO, 2012b), organizados da

seguinte forma:

• Módulo 1: A proposta curricular de Matemática.

• Módulo 2: Números para ordenar e contar.

• Módulo 3: Números para representar e medir.

• Módulo 4: Geometria I: do estático ao dinâmico.

• Módulo 5: Geometria II: Analítica e Métrica.

• Módulo 6: Álgebra I: do uso de letras às equações.

o Tema 1: O uso de letras em Matemática: regularidades numéricas e

fórmulas.

35

o Tema 2: Álgebra e Geometria: dos produtos notáveis à fórmula de

equação do 2º grau.

o Tema 3: Equações, perguntas e balanças.

o Tema 4: Proporcionalidade e regra de 3.

• Módulo 7: Álgebra II: um olhar funcional.

• Módulo 8: Trigonometria: do triângulo aos ciclos.

• Módulo 9: Probabilidade, contagem e estatística.

• Módulo 10: Metodologia e prática de ensino.

O destaque aos 4 temas do módulo 6 se deve ao fato de a pesquisa explorar

essa unidade de estudo, que teve o propósito13 de:

I. Apresentar uma proposta de introdução do ensino formal da álgebra, visando

levar os estudantes a construírem ideias algébricas com significado.

II. Colocar os estudantes como agentes principais da construção do pensamento

algébrico.

III. Apresentar diversificadas abordagens para favorecer a construção de

significados algébricos.

IV. Estabelecer a ideia de equivalência.

O foco da pesquisa incide sobre o Tema 1, que teve como objetivo apresentar

aos professores participantes do curso Currículo e Prática Docente – Matemática –

2012 algumas propostas de introdução ao uso de letras na Matemática, visando

favorecer o desenvolvimento do pensamento algébrico por parte dos estudantes. Para

isto, os professores foram convidados a refletir sobre as estratégias mais apropriadas

para iniciar o estudo da álgebra na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental, em um

Fórum de Discussão que explorou o tópico: operação com expressões que envolvem letras.

Na referida atividade, mediada por professores tutores durante o período de

realização do 6º Módulo, os professores tiveram a oportunidade de expressar a

opinião pessoal, tendo como ponto de partida uma proposição inicial:

13 Extraído de São Paulo (2012c, n.p.).

36

Atualmente existem professores que têm preferência por iniciar o estudo da Álgebra de uma maneira formal, utilizando operações envolvendo letras. [...] Posicione-se em relação às diferentes abordagens, justificando sua posição, e argumente com os colegas que apresentaram posições diferentes da sua. (SÃO PAULO, 2012c, n.p.).

A busca por compreender a cultura profissional de determinado grupo de

professores de Matemática, relacionada ao ensino da álgebra escolar, a partir da 6ª

série (7º ano) do Ensino Fundamental, tem como ponto de partida as reflexões

registradas na referida atividade (Fórum de Discussão).

37

CAPÍTULO 2 – A Educação Algébrica no Ensino Fundamental

Este capítulo discute a organização da educação algébrica nos Currículos de

Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental, tendo em vista diferentes

movimentos de reorientação curricular ocorridos no Brasil e no Estado de São Paulo,

ao longo dos anos. Apresenta uma breve explanação sobre a organização e as

finalidades da álgebra nos Parâmetros Curriculares Nacionais, bem como na Base

Nacional Comum Curricular, e uma discussão sobre a educação algébrica nas

Propostas Curriculares do Estado de São Paulo para a área de Matemática,

apresentadas em 1986 e 2008.

2.1. A Educação Algébrica e os Movimentos de Reorientação Curricular no Brasil

Diferentes movimentos de reorientação curricular têm provocado mudanças

significativas no ensino da Matemática no Brasil e, em particular, na educação

algébrica.

Com a aprovação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei nº

9.394 de 20 de dezembro de 1996, foi definida uma Base Nacional Comum para a

educação básica, de forma a estabelecer os objetivos de aprendizagem para cada

área do conhecimento e seus respectivos componentes curriculares, visando garantir

os direitos de aprendizagem dos estudantes.

Especificamente no Artigo 26, alterado pela Lei nº 12.796, de 4 de abril de 2013,

foi determinado que:

Os currículos da educação infantil, do ensino fundamental e do ensino médio devem ter base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de ensino e em cada estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e dos educandos (BRASIL, 2013, p. 1).

Na atualidade, o documento preliminar da Base Nacional Comum (BNC),

publicado em 25 de setembro de 2015, explicita que os objetivos básicos de

aprendizagem em Matemática, que devem orientar as situações de aprendizagem

38

desde a Educação Infantil até o final do Ensino Médio, estão organizados em quatro

áreas14 do conhecimento: Ciências da Natureza, Ciências Humanas, Linguagens e

Matemática.

Especificamente na área de Matemática, está prevista a organização dos

objetivos de aprendizagem em cinco eixos (temas geradores): Geometria, Grandezas

e Medidas, Estatística e Probabilidade, Números e Operações, Álgebra e Funções.

Apesar dessa dissociação, o documento preliminar da BNC prevê “[...] conexões entre

os conhecimentos de diferentes eixos e de diferentes componentes curriculares de

modo que o/a estudante possa perceber a riqueza dos conhecimentos.” (BRASIL,

2015, p. 120).

Em organizações curriculares anteriores, ocorridas entre 1997 e 2000, como os

Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN – Matemática), apontados

como um referencial de qualidade para a educação básica brasileira, o mapeamento

do conhecimento disciplinar sugeriu uma organização em três grandes áreas15

(Linguagens e Códigos, Ciências Humanas e Ciências da Natureza e Matemática), no

qual optou-se por considerar a Matemática como disciplina, incorporada à área de

Ciências da Natureza, em vez de constituí-la como área com identidade própria (SÃO

PAULO, 2012d).

Além dessa organização, houve consenso nos PCN – Matemática a respeito

dos currículos de Matemática contemplarem o estudo de diferentes conteúdos

matemáticos em quatro eixos: Números e Operações (no campo da aritmética e da

álgebra), Espaço e Forma (no campo da geometria), Grandezas e Medidas

(interligando os diferentes campos do conhecimento) e Tratamento da Informação (no

campo da estatística, das probabilidades e da combinatória).

A partir dessa organização, verifica-se que os objetivos de aprendizagem em

álgebra nos PCN – Matemática foram definidos no eixo Números e Operações,

14 A Resolução CNE/CEB nº 2, de 30 de janeiro 2012, em seu artigo 8º, ao definir Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, organizou a base nacional comum curricular em quatro áreas do conhecimento – Linguagens; Matemática; Ciências da Natureza; e Ciências Humanas (BRASIL, 2012). 15 As Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, instituída pela Resolução CNE/CEB nº 3, de 26 de junho de 1998, prescreveram a organização do currículo em três áreas do conhecimento – Linguagens, Códigos e suas Tecnologias; Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias; e Ciências Humanas e suas Tecnologias (BRASIL, 1998a).

39

diferentemente do que foi explicitado no documento preliminar da BNC, que previu

essa organização no eixo Álgebra e Funções, tornando o tópico álgebra um tema à

parte.

No que se refere à compreensão dos diferentes significados da álgebra, o

documento oficial dos PCN – Matemática sugere um trabalho articulado entre as

diferentes concepções da álgebra escolar. A Figura 3 sintetiza essas diferentes

interpretações e as diferentes funções das letras.

Figura 3 – Concepções da álgebra escolar e diferentes funções das letras, sintetizadas nos PCN – Matemática

Álgebra no ensino fundamental

Dimensões da Álgebra

Aritmética Generalizada Funcional Equações Estrutural

Uso das letras

Letras como generalizações

do modelo aritmético

Letras como variáveis para

expressar relações e funções

Letras como incógnitas

Letras como símbolo abstrato

Conteúdos (conceitos e

procedimentos)

Propriedades das operações Generalizações

de padrões aritméticos

Variação de grandezas Resolução de

equações

Cálculo algébrico

Obtenção de expressões equivalentes

Fonte: Brasil (1998, p. 116).

Buscando favorecer o desenvolvimento do pensamento algébrico por parte dos

estudantes, foi sugerido que essas diferentes concepções de educação algébrica

fossem exploradas nas séries finais do Ensino Fundamental:

Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos da álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1998, p. 50).

40

A grande contribuição que a BNC traz em relação a essa questão é a de que

os objetivos de aprendizagem em álgebra foram explicitados desde os primeiros anos

do Ensino Fundamental, visto que o eixo Álgebra e Funções está entre os grandes

temas geradores.

No período destinado à alfabetização, por exemplo, que compreende os três

primeiros anos do Ensino Fundamental, privilegia-se, no eixo da Álgebra, a

capacidade de organização do pensamento por meio da identificação de atributos e

regras de formação de sequências, além do desenvolvimento da ideia de função a

partir do reconhecimento de mudanças e relações (BRASIL, 2015). Para que esses

propósitos sejam alcançados, foram explicitados seis objetivos de aprendizagem.

Nos anos subsequentes, quarto e quinto anos do Ensino Fundamental, são os

objetivos do eixo da Álgebra que buscam dar corpo aos conceitos explorados em

situações de aprendizagem trabalhadas em outras áreas, além de relacioná-los de

forma a demonstrar que esses diferentes conhecimentos estão inter-relacionados

(BRASIL, 2015). Na busca pelo desenvolvimento desse corpo de conhecimentos por

parte dos estudantes foram explicitados oito objetivos de aprendizagem.

Nos anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano), o eixo da Álgebra busca

contribuir “[...] não apenas para aumentar o raciocínio lógico, mas, principalmente, o

poder de resolver problemas que dependem de um novo tipo de compreensão das

informações disponíveis para gerar modelos de resolução.” (BRASIL, 2015, p. 121).

Para tanto, foram explicitados dezoito objetivos de aprendizagem.

Ao expressar o que é esperado dos estudantes ao longo da educação básica,

mais especificamente do Ensino Fundamental, o documento preliminar da BNC

apresenta trinta e dois objetivos de aprendizagem no eixo Álgebra e Funções, nos

quais quatorze deles se referem aos anos iniciais (1º ao 5º ano) e dezoito aos anos

finais (6º ao 9º ano).

Apesar de ter explicitado os objetivos de aprendizagem em álgebra nas séries

finais (ou anos finais), o documento oficial dos PCN – Matemática ressalta a

importância desse trabalho, desde as séries iniciais (ou anos iniciais) do Ensino

Fundamental:

41

Embora se considere importante que esse trabalho – chamado de “pré-álgebra” – aconteça nas séries iniciais, ele deve ser retomado no terceiro ciclo para que as noções e conceitos algébricos possam ser ampliados e consolidados. Para isso é desejável que o professor proponha situações de modo que permitam identificar e generalizar as propriedades das operações aritméticas, estabelecer algumas fórmulas [...] investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em representações geométricas e identificar suas estruturas, construindo a linguagem algébrica para descrevê-los simbolicamente. (BRAIL, 1998, 117).

Segundo os PCN – Matemática, é nas séries finais do Ensino Fundamental que

as principais ideias associadas à álgebra são ampliadas e consolidadas, apoiadas no

trabalho com a pré-álgebra, que busca favorecer, dentre diferentes aspectos, a

construção da álgebra como uma linguagem para expressar regularidades (BRASIL,

1998).

Tendo como base as referências nacionais acerca da educação algébrica no

sistema educativo brasileiro, serão analisadas algumas inovações curriculares no

Estado de São Paulo.

2.2. A Educação Algébrica e as Inovações Curriculares no Estado de São Paulo

Os diferentes movimentos de reorientação curricular ocorridos no Brasil

exerceram grande influência nas propostas curriculares implementadas em diferentes

regiões do país. Como exemplo, destaca-se, nas décadas de 60/70, o conhecido

movimento de renovação, denominado Matemática Moderna, veiculado

principalmente pelos livros didáticos (BRASIL, 1998).

Baseado num modelo de política de modernização econômica, o Movimento da

Matemática Moderna – assim denominado na literatura da área – passou a refluir após

a constatação de inadequações em seus princípios básicos, sobretudo por procurar

aproximar a Matemática desenvolvida na escola básica, da Matemática acadêmica,

que, por sua vez, “[...] estava fora do alcance dos alunos, em especial daqueles das

séries iniciais do ensino fundamental.” (BRASIL, 1998, p. 19).

No Estado de São Paulo, a partir da experiência vivenciada com os “Subsídios

para a Implementação do Guia Curricular de Matemática” (1977), com o Projeto

42

“Geometria Experimental” (1979) e com as “Atividades Matemáticas” (1981), a SEE-

SP realizou dois importantes movimentos de reorientação curricular:

• Em 1986, com a publicação da primeira edição da Proposta Curricular para o

Ensino da Matemática: Ensino Fundamental, buscando proporcionar mudanças

significativas no cotidiano escolar (SÃO PAULO, 1997);

• Em 2008, com apresentação da Proposta Curricular do Estado de São Paulo:

Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio, buscando

organizar o sistema educacional paulista, visto que a autonomia dada às

escolas para a definição de seus próprios projetos pedagógicos, a partir da Lei

de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, demonstrou-se ineficiente, apesar

de importante (SÃO PAULO, 2008).

Em busca de verificar quais são as finalidades e o lugar da álgebra nas

Propostas supracitadas e de investigar o continuum relacionado aos conteúdos, às

estratégias e às concepções de educação algébrica que norteiam o ensino da álgebra

escolar no Estado de São Paulo, serão analisados:

• O documento básico de cada Proposta Curricular (concepções, conteúdos e

finalidades da álgebra no Currículo).

a. No que se refere à Proposta Curricular para o Ensino de Matemática:

Ensino Fundamental, será analisada sua 5ª edição, publicada no ano de

1997.

• Os documentos dirigidos especialmente aos professores (comentários e

recomendações pedagógicas e roteiros para o desenvolvimento das Situações

de Aprendizagem).

a. No caso da Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática –

Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio, serão analisados os

Cadernos do Professor dos anos finais do Ensino Fundamental.

2.2.1. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática: Ensino Fundamental

A elaboração da Proposta Curricular de Matemática do 1º grau pela

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP) considerou o papel da

43

Matemática no currículo do 1º grau, a reflexão sobre os problemas detectados no

ensino dessa disciplina, tais como: o treino excessivo de habilidades relacionadas à

mecanização de processos, à memorização de regras e à repetição e imitação de

técnicas de resolução, assim como a formalização precoce de conceitos incompatíveis

com o amadurecimento dos estudantes, e a análise crítica dos Guias Curriculares

anteriores (SÃO PAULO, 1997).

Em sua 1ª edição, apresentada em 1986 pela Equipe Técnica de Matemática

da CENP, com assessoria dos professores Nilton José Machado16 (USP) e Antonio

Miguel17 (UNICAMP), foi considerada uma ampla discussão realizada nas diferentes

regiões do Estado de São Paulo, em cada Delegacia de Ensino18 (SÃO PAULO,

1997).

Após a sistematização das sugestões apresentadas pelos monitores de

Matemática das Delegacias de Ensino, que deu início à construção da 1ª edição, e da

análise crítica realizada por professores de diferentes universidades do Estado de São

Paulo (USP – IME, UNESP – Rio Claro e Presidente Prudente e UNICAMP – IMECC),

foi elaborada e discutida a 2ª edição da Proposta Curricular de Matemática, em julho

de 1987, com os professores de Matemática que trabalhavam nas escolas estaduais

de 1º grau (SÃO PAULO, 1997).

Ao considerar os relatórios das discussões realizadas nas Delegacias de

Ensino e a análise crítica de alguns professores, a SEE-SP levantou os elementos

fundamentais para a reelaboração da Proposta Curricular de Matemática e publicou

uma 3ª edição em 1988 (SÃO PAULO, 1997). Na referida edição, os conteúdos foram

apresentados de forma seriada, buscando atender a uma solicitação realizada pelos

professores de Matemática, apontada nos relatórios sistematizados pelas Delegacias

de Ensino (SÃO PAULO, 1997). O atendimento a essa solicitação buscou possibilitar

uma maior flexibilização do trabalho dos professores, de forma que os temas

pudessem ser tratados respeitando-se os ritmos individuais e a maturidade dos

estudantes (SÃO PAULO, 1997).

16 Lattes: http://lattes.cnpq.br/0451357087945695. Acesso em: 05 dez. 2016. 17 Lattes: http://lattes.cnpq.br/8957103119666909. Acesso em: 05 dez. 2016. 18 A partir do Decreto nº 57.141, de 18 de julho de 2011, as Delegacias de Ensino receberam a denominação de Diretorias de Ensino Regionais.

http://lattes.cnpq.br/0451357087945695

http://lattes.cnpq.br/8957103119666909

44

A seriação dos conteúdos implicou na opção por apresentá-los em diferentes

níveis de abordagem, buscando-se, dessa forma, respeitar “[...] a integração dos

temas a serem trabalhados, bem como seu desenvolvimento ‘em espiral’ [...]” (SÃO

PAULO, 1997, p. 8).

Para Lobo da Costa (2004, p. 44), a organização curricular em espiral,

apresentada na Proposta Curricular de Matemática, foi inovadora, pois além de

romper com a visão linear de currículo, enfatizou “[...] que os professores não

deveriam observar apenas a seqüência dos temas, mas buscar explorar a resolução

de problemas, desenvolvendo no aluno a reflexão e a capacidade de elaborar e testar

hipóteses.”.

Ao buscar romper com a visão linear, libertando-se da crença de que para

abordar determinado tópico há a necessidade de ensinar seu pré-requisito, priorizou-

se a organização e distribuição dos conteúdos curriculares em três temas: Números,

Geometria e Medidas, articulando-os, sempre que possível, com foco nas ideias

fundamentais da Matemática (equivalência, ordenação, proporcionalidade,

interdependência) e não nos conteúdos em si mesmos (SÃO PAULO, 1997).

Com essa organização, baseada no desenvolvimento das ideias fundamentais

da Matemática, alguns conceitos associados à álgebra foram tratados em outros

temas. Entretanto, os objetivos de aprendizagem em álgebra foram explicitados no

eixo Números, associados, tradicionalmente, a alguns conteúdos como: cálculo literal,

soma e multiplicação algébrica, expressões algébricas, equações e inequações do 1º

grau e sistema de duas equações do 1º grau, dentre outros.

A análise do texto de estruturação da Proposta Curricular de Matemática

evidenciou que não há menções explícitas ao termo álgebra. O que há é uma

associação aos “conteúdos da álgebra”, buscando-se explorar alguns aspectos do

fazer algébrico no tema Números (cálculo literal, técnicas de resolução de equações

e inequações). Em outras palavras, o foco incidiu sobre a ideia de número e suas

propriedades fundamentais, e as ideias da álgebra foram embutidas, implicitamente,

nesse tratamento, constituindo “[...] suporte para a operação com números de modo

genérico, sem referência imediata a contagens ou medidas.” (SÃO PAULO, 1997, p.

19-20).

45

Além desse tratamento implícito, o estudo da álgebra foi priorizado,

predominantemente, nas séries finais do 1º grau (5ª a 8ª série), conforme destacado

no documento oficial:

Nas séries finais do 1º grau, são aprofundadas certas propriedades fundamentais dos números [...] inicia-se o cálculo literal e sedimentam-se algumas técnicas básicas, como as de resolução de equações e inequações, por exemplo. Surgem, também, algumas generalizações substanciais, que significam uma ultrapassagem da experiência concreta, como no caso de alguns teoremas geométricos ou da introdução dos números racionais (SÃO PAULO, 1997, p. 20).

Mesmo tendo sido propostos nas séries finais, os objetivos de aprendizagem

em álgebra foram definidos a partir da 6ª série (7º ano). A análise desses objetivos

evidenciou o porquê da falta de referência ao termo álgebra no texto que trata da

estruturação da Proposta: o título “Cálculo Literal” substituiu, de forma intencional, o

título “Álgebra”. A justificativa apresentada indicou a necessidade de uma nova

abordagem ao tópico álgebra, reduzindo de forma significativa a sua extensão e o

tempo que se dedicava ao seu estudo, visto que a ênfase nos Guias Curriculares

anteriores incidia sobre o papel das estruturas algébricas e sobre a linguagem da

teoria dos conjuntos, em busca de unificar vários campos da Matemática (SÃO

PAULO, 1997).

Ao considerar essa perspectiva, foi expressado no documento oficial quais

concepções de ensino deveriam nortear o estudo da álgebra no antigo 1º grau, a partir

da 6ª série (7º ano):

Esse conteúdo [Álgebra] deve estar vinculado diretamente aos temas: ‘estudo das propriedades das operações’ e ‘regras de simplificação no cálculo com potencias’, que deverão dar legitimidade aos mecanismos presentes no cálculo literal. [...] Apenas a terminologia básica estritamente necessária deverá ser introduzida com o objetivo de facilitar a comunicação e o enunciado de regras fundamentais: expressões algébricas; termos de expressão (monômios); coeficiente e parte literal de um termo. [...] O estudo de expressões algébricas deve ter como objetivo levar o aluno a tratar, de forma generalizada, as operações e propriedades dos números já estudados. É com esse sentido que a variável deve ser tratada (SÃO PAULO, 1997, p. 121).

Tomando como referência as concepções da álgebra escolar, sintetizadas nos

PCN – Matemática, fica constatado que as concepções “Aritmética Generalizada” e

“Estrutural” foram priorizadas como ponto de partida para dar sentindo e significado

46

para o uso de letras na Matemática. A primeira concepção (Aritmética Generalizada)

pela priorização de conceitos e procedimentos relacionados às generalizações das

operações aritméticas e suas propriedades e a segunda concepção (Estrutural) pela

priorização do cálculo algébrico abstrato, visto que:

A interpretação geométrica de alguns cálculos algébricos proporciona um trabalho bastante rico e educativo, porém há limitações, pois nem sempre conseguimos um modelo geométricos para explicá-los [...] e também porque algumas vezes esse modelo geométrico pode tornar-se muito artificial [...]. Essa limitação é que nos leva ao passo seguinte: a abstração (SÃO PAULO, 1997, p. 123-124).

Para identificar as concepções, os conteúdos e as finalidades da álgebra na

Proposta Curricular de Matemática do 1º grau, são apresentadas as análises dos

objetivos de aprendizagem e os conteúdos definidos para cada série escolar.

2.2.1.1. A Educação Algébrica na 6ª Série (7º Ano) do Ensino Fundamental

O estudo da álgebra na Proposta Curricular de Matemática do 1º grau foi

indicado para ser iniciado na 6ª série (7º ano), a partir das noções sobre cálculo literal,

conforme Quadro 8.

Quadro 8 – Objetivos de aprendizagem em álgebra e conteúdos desenvolvidos, definidos na Proposta Curricular de Matemática do 1º grau, 6ª série (7º ano) – Tema Números

Objetivo de Aprendizagem Conteúdo

• Identificar monômios e polinômios como generalizações das operações e propriedades dos números já estudados.

• Determinar soma algébrica de monômios e polinômios e realizar operações.

• Cálculo literal: o Noções de cálculo literal. o Soma algébrica e expressões algébricas. o Multiplicações de expressões algébricas. o Divisão de monômios. o Divisão de polinômios por monômios.


As ideias relacionadas ao cálculo literal, destacadas no Quadro 8, foram

adotadas como ponto de partida para o estudo da álgebra na 6ª série (7º ano),

objetivando “[...] facilitar a comunicação e o enunciado de regras fundamentais:

expressões algébricas; termos de expressão (monômios); coeficiente e parte literal de

um termo.” (SÃO PAULO, 1997, p. 121).

47

Para justificar as regras fundamentais que dão legitimidade ao cálculo

algébrico, as letras foram tratadas como generalizações do modelo aritmético,

principalmente no cálculo algébrico de monômios e polinômios, confiando-se em suas

propriedades estruturais (SÃO PAULO, 1997).

Algumas regras de soma algébrica de monômios e de polinômios, por exemplo,

têm como base a multiplicação como soma reiterada de parcelas iguais, além do

cálculo de áreas e volumes para ampliar a visualização dos estudantes em relação ao

método adotado (SÃO PAULO, 1997).

Nos casos em que não era possível interpretar geometricamente alguns

cálculos algébricos, como na divisão de polinômios por monômios, por exemplo,

recorreu-se à abstração (SÃO PAULO, 1997).

Como concepções da álgebra escolar que orientam essas estratégias,

destacam-se a “Aritmética Generalizada” e a “Estrutural” (BRASIL, 1998).


Os objetivos de aprendizagem em álgebra, na 7ª série (8º ano) do Ensino

Fundamental, buscaram explorar o estudo das equações e inequações do 1º grau,

além da noção de proporcionalidade, conforme Quadro 9.

48



• Compreender o significado de uma equação do 1º grau com uma incógnita.

• Aplicar os princípios da igualdade para resolver uma equação do 1º grau.

• Utilizar a equação do 1º grau na resolução de problemas.

• Compreender o significado de uma inequação do 1º grau e utilizar as propriedades da desigualdade numérica para resolvê-la.

• Identificar a natureza da variação das medidas de duas grandezas (direta ou inversamente proporcionais).

• Representar graficamente a variação de duas grandezas e analisar o comportamento dessa variação.

• Aplicar a regra de três simples e composta na resolução de situações-problema.

• Resolver problemas que envolvam juros utilizando regras de três composta.

• Equações e inequações do 1º grau com uma incógnita: o Noção de equação-tradução algébrica de

situação-problema. o Propriedades de uma igualdade

numérica. o Resolução de equações do 1º grau. o Resolução de problemas do 1º grau. o Propriedades de uma desigualdade

numérica. o Resolução de inequações do 1º grau. o Sistemas de duas equações do primeiro

grau com duas incógnitas. o Representação gráfica de uma equação

do 1º grau com duas incógnitas. • Proporcionalidade: o Noção de interdependência entre duas ou

mais grandezas e a noção de variável. o Grandezas diretamente proporcionais.

Representação gráfica e analítica desse tipo de intercedência.

o Grandezas inversamente proporcionais. Representação gráfica e analítica desse tipo de intercedência.

o Grandezas não proporcionais. o Grandezas que variam proporcionalmente

ao quadrado de outras. o Razões e proporções – aplicações em

problemas. o Juros simples.


No que se refere às equações do 1º grau, foi proposto uma abordagem mais

autônoma, centrada nas diferenças e semelhanças, na análise das soluções

encontradas e na compatibilidade com as situações-problema e suas técnicas de

resolução.

Ao tratar as equações do 1º grau como meras traduções algébricas de

diferentes situações-problema, objetivou-se definir o conceito de equação como uma

igualdade com pelo menos uma variável, sem uma preocupação, a princípio, com as

técnicas de resolução, “[...] mas sim em pôr o aluno em contato com a ‘tradução’, com

a experimentação de resultados, etc.” (SÃO PAULO, 1997, p. 130).

49

O mesmo tratamento foi dado ao estudo das inequações, como sendo

traduções algébricas de situações-problemas, baseadas nas propriedades das

desigualdades e das operações numéricas. Seu conceito foi definido como sendo uma

desigualdade com pelo menos uma incógnita.

Em ambos os casos, buscou-se justificar as técnicas de resolução de equações

e inequações do 1º grau com uma variável. O estudo da álgebra era iniciado na 7ª

série (8º ano) com essa concepção de ensino.

Para finalizar o trabalho com as equações e inequações, foi proposta uma

abordagem dos sistemas de equações e inequações do 1º grau com duas incógnitas

– representação gráfica, resolução gráfica, resolução analítica e resolução de

problemas.

No caso dos conteúdos relacionados à ideia de proporcionalidade, buscou-se

explorar, dentre as atividades sugeridas, a ideia de interdependência entre duas ou

mais grandezas, além da noção de variável. Por meio de representações gráficas e

analíticas e do estudo de leis de formação, objetivou-se investigar como grandezas

variam direta ou inversamente umas em função das outras.

No que se refere às concepções da álgebra escolar que orientam essas

estratégias, destacam-se: “Equações” e “Funcional”. A primeira concepção

(Equações) pela priorização de atividades que visavam explorar conceitos e

procedimentos relacionados à resolução de equações e inequações e a segunda

concepção (Funcional) pela priorização de conteúdos que buscavam explorar a

variação de grandezas, baseadas na ideia de interdependência.


Na 8ª série (9º ano) do Ensino Fundamental, priorizou-se o estudo das regras

de fatoração de expressões algébricas e das técnicas de resolução de equações do

2º grau, conforme apresentado no Quadro 10.

50



• Fatorar expressões algébricas. • Apropriar-se do conceito de equação do 2º

grau com uma variável e dominar as técnicas de resolução de uma equação do 2º grau, bem como, utilizar esse conhecimento na resolução de problemas.

• Fatoração de expressões algébricas: o Equações do 2º grau com uma variável. o Equações redutíveis a uma equação do

2º grau. o Problemas.


Antes mesmo do estudo das equações do 2º grau, foi sugerida a introdução

das regras de fatoração, buscando levar os estudantes a perceberem sua importância

para a resolução de problemas do 2º grau.

De início, no trabalho com fatoração de expressões algébricas, os comentários

e observações para o professor, explicitados no documento básico da Proposta,

propunham uma abordagem por meio de significados geométricos (cálculo de áreas

para ensinar produtos notáveis). Posteriormente, foi sugerido um trabalho

essencialmente algébrico.

O conceito de equação do 2º grau foi abordado tendo como referência as

discussões realizadas na série anterior, principalmente as que ficaram em “aberto”, já

que o estudo das equações na 7ª série (8º ano) se restringiu ao grau 1. Ao aproveitar

essa “abertura”, foi indicado que o momento era propício para se introduzir as técnicas

de resolução para equações de grau 2.

A primeira abordagem sugerida tratava do método geométrico de al-Khwarizmi,

com suas devidas ponderações, evidentemente. Em seguida, sugeriu-se que as

resoluções de equações do 2º grau fossem abordadas pelo método algébrico –

fatoração do trinômio, já que o método de al-Khwarizmi se limitava ao estudo de

equações completas e não fornecia todas as soluções.

Como concepções da álgebra escolar, que orientam essas estratégias,

destacam-se: “Equações” e “Estrutural”, já que foram priorizados conceitos e

procedimentos relacionados à resolução de equações do 2º grau, bem como

conteúdos associados ao cálculo algébrico abstrato (fatorações), respectivamente.

51

2.2.1.4. Considerações sobre a Educação Algébrica na Proposta Curricular para o Ensino de Matemática: Ensino Fundamental

A análise da Proposta Curricular de Matemática do 1º grau evidenciou que

todas as funções da álgebra escolar foram sugeridas para serem exploradas ao longo

do Ensino Fundamental, tendo como ponto de partida, a partir da 6ª série (7º ano), o

estudo do cálculo literal, “[...] vinculado diretamente aos temas: ‘[...] propriedades das

operações’ e ‘regras de simplificação no cálculo com potências’.” (SÃO PAULO, 1997,

p. 121).

Muitos conceitos algébricos relacionados às relações/funções, tratados

tradicionalmente no 1º grau, nos Guias Curriculares anteriores, baseados no estudo

formal das funções (determinação de domínio, contradomínio e imagem de uma

função, dentre outros), foram priorizados para serem explorados no 2º grau. Na

Proposta Curricular de Matemática do 1º grau, o estudo das relações/funções tinha

como objetivo concretizar o conceito de função, tendo como base o estudo da variação

entre grandezas, enfatizando as relações em situações de interdependência, bem

como em representações gráficas (SÃO PAULO, 1997).

Por não se constituir bloco temático à parte na Proposta Curricular de

Matemática do 1º grau, as relações/funções foram indicadas para serem exploradas

no tema Números, tendo como base situações-problema e interpretações gráficas

(SÃO PAULO, 1997).

Em suma, a análise da Proposta Curricular de Matemática do 1º grau, no que

se refere à educação algébrica, demonstrou que houve um grande avanço na época,

em comparação com os Guias Curriculares anteriores, visto que a ênfase dada ao

papel das estruturas algébricas, bem como à linguagem da teoria dos conjuntos, foi

minimizada, em razão de tal opção valorizar “[...] mais a organização do conhecimento

já construído – que muitas vezes interessa ao especialista em Matemática – do que

[...] o efetivo processo de construção desse conhecimento.” (SÃO PAULO, 1997, p.

181).

52

2.2.2. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio

Com a reforma curricular no Estado de São Paulo, que reestruturou a educação

básica nos níveis Fundamental (Ciclo II/Anos Finais) e Médio, em 2008, a SEE-SP

pretendeu garantir uma base comum de conhecimentos e competências vistos como

indispensáveis para o enfrentamento dos desafios sociais, culturais e profissionais do

mundo contemporâneo. Dessa forma, todos os estudantes em idade de escolarização

passaram a realizar o mesmo percurso de aprendizagem, tendo garantida a mesma

oportunidade de acesso aos conhecimentos julgados como importantes pela

sociedade (SÃO PAULO, 2008).

Com essa Proposta, a SEE-SP pretendeu, também, apoiar as escolas nos

trabalhos desenvolvidos, buscando contribuir para a melhoria da qualidade da

educação oferecida.

No processo de reestruturação curricular foi levado em conta o acervo técnico

pedagógico da SEE-SP e as práticas pedagógicas exitosas desenvolvidas por

professores e gestores escolares.

Ao articular o conhecimento e a herança pedagógica da SEE-SP com as

práticas pedagógicas de sucesso, desenvolvidas pelas escolas, foram estabelecidos

alguns princípios centrais, orientadores do Currículo:

[...] a escola que aprende, o currículo como espaço de cultura, as competências como eixo de aprendizagem, a prioridade da competência de leitura e de escrita, a articulação das competências para aprender e a contextualização no mundo do trabalho (SÃO PAULO, 2008, p. 11).

Além da constituição de uma base comum de conhecimentos e competências

fundamentados em seis princípios, que visam orientar o conteúdo, o sentido e o

significado da escola (princípios orientadores), todos expressos no documento básico,

a SEE-SP confeccionou um segundo conjunto de documentos para apoiar a gestão

do currículo na escola, o trabalho dos professores em sala de aula e a aprendizagem

dos estudantes.

53

O Caderno do Gestor, documento ilustrado na Figura 4, exclusivamente

direcionado aos Professores Coordenadores, Diretores e Vice-Diretores de Escola,

bem como aos Professores Coordenadores do Núcleo Pedagógico e Supervisores

das Diretorias de Ensino, foi elaborado com a finalidade de apoiar os gestores

escolares na implementação do currículo nas escolas.

Figura 4 – Caderno do Gestor

Fonte: São Paulo (2010).

O Caderno do Professor, ilustrado na Figura 5, organizado por disciplina, por

ano/série e por bimestre, direcionado a todos os professores que lecionam nos anos

finais do Ensino Fundamental (Ciclo II), bem como no Ensino Médio, contém

orientações pedagógicas que visam a auxiliar os professores na gestão da

aprendizagem, na avaliação e na recuperação dos estudantes.

Dividido em quatro volumes19, cada um representando um bimestre do ano

letivo escolar, o Caderno do Professor é composto por diferentes Situações de

Aprendizagem, com conteúdos disciplinares específicos para cada série/ano,

indicando quais competências e habilidades devem ser desenvolvidas pelos alunos

nos diferentes temas ou tópicos de conteúdo.

19 Atualmente, os cadernos do Professor, e do aluno, são divididos em dois volumes. Como na época do curso Currículo e Prática Docente – Matemática – 2012 os professores trabalharam com as versões divididas em quatro volumes, optamos por ilustrá-los dessa forma.

54

Figura 5 – Caderno do Professor


O Caderno do Aluno, ilustrado na Figura 6, também organizado por disciplina,

por série/ano e por bimestre, mantém uma articulação com o Caderno do Professor e

contém diferentes orientações de estudos em suas Situações de Aprendizagem.

Também dividido em 4 volumes, sua estrutura é composta por Propostas de

Atividades: exercícios em sala de aula, roteiro para o trabalho individual e em grupo,

roteiro de experimento/estudo de campo, lição de casa, textos e imagens de apoio; e

por Referências: remissão a outros materiais e aos livros didáticos adotados na rede

estadual de ensino.

Figura 6 – Caderno do Aluno


55

Esses materiais de apoio, especificamente os Cadernos do Professor e do

Aluno, apresentam um guia básico para o trabalho que deve ser desenvolvido em sala

de aula, sem a pretensão de “[...] tolher a iniciativa ou a criatividade do professor”

(SÃO PAULO, 2010, n.p.).

Nas propostas curriculares anteriores, elaboradas a partir de 1986 e

substituídas em 2008, a Matemática era considerada uma área específica do

conhecimento. Ao inspirar-se na anterior, a Proposta Curricular apresentada em 2008

manteve a Matemática “[...] como um terreno específico, distinto tanto das Linguagens

quanto das Ciências Naturais.” (SÃO PAULO, 2008, p. 38). Além disso, ao priorizar

um trabalho com os diferentes temas matemáticos em “escalas diferentes”, cabendo

ao professor planejar em que grau de profundidade irá abordar a grade curricular

bimestral, a organização do currículo na Proposta apresentada em 2008 segue a

lógica adotada anteriormente, mantendo uma abordagem dos conteúdos em espiral.

Apesar de se inspirar na anterior, foi indicado, na Proposta Curricular de 2008,

que os conteúdos na área de Matemática abrangeriam quatro grandes temas, tanto

no Ensino Fundamental como no Ensino Médio.

Ao considerar os três temas anteriores, contemplados nas propostas

elaboradas a partir de 1986, “[...] um quarto componente, referente à representação

de dados e ao tratamento da informação, abre espaço para a incorporação crítica das

tecnologias no ensino.” (SÃO PAULO, 2008, p. 45). Dessa forma, para a organização

e distribuição dos conteúdos curriculares foram considerados, em 2008, os seguintes

blocos temáticos: Números, Geometria, Grandezas e Medidas e Tratamento da

Informação. Entretanto, ao deixar de ser tratado como Proposta Curricular no ano de

2010, passando a ser referenciado como Currículo Oficial, o documento básico

considerou a organização dos conteúdos na área de Matemática em três grandes

temas: Números, Geometria e Relações (SÃO PAULO, 2010a, 2011a, 2012d).

Ao reiterar que o foco principal do currículo é transformar as informações em

conhecimento, considerando que essas informações circulam de forma desordenada

e fragmentada em bases de dados cada vez maiores, o que as tornam, naturalmente,

efêmeras, “[...] todos os conteúdos estudados na escola básica, em todas as

56

disciplinas, podem ser classificados como ‘Tratamento da Informação’.” (SÃO PAULO,

2012d, p. 36).

Nessa perspectiva, o tema Tratamento da Informação foi suprimido no

documento que trata do Currículo Oficial, já que tratar a informação, “[...] tendo em

vista a transformação da informação em conhecimento, é a meta comum de todas as

disciplinas escolares e, em cada disciplina, de todos os conteúdos a serem

ensinados.” (SÃO PAULO, 2012d, p. 36).

A partir dessa organização curricular, a mobilização dos conteúdos tem como

base a identificação e a exploração de ideias fundamentais da Matemática

(equivalência, ordenação, proporcionalidade, interdependência), assim como ocorreu

na Proposta anterior. Dessa forma, além de priorizar uma maior articulação entre os

diferentes temas, baseada em ideias fundamentais, busca-se, no atual Currículo de

Matemática do Estado de São Paulo, extrapolar a mera aprendizagem de conteúdos.

No que se refere à álgebra, suas principais ideias são tratadas, sobretudo, nos

temas Números e Relações, apesar de serem exploradas no tema Geometria, dando

suporte ao desenvolvimento de outras competências, como as relacionadas às

demonstrações de teoremas (Tales e Pitágoras), por exemplo. Segundo o documento

básico do currículo:

Naturalmente, os conteúdos dos três blocos interpenetram-se permanentemente, sendo praticamente impossível abordar um deles sem a participação quase automática dos dois outros, e é importante mencionar a positividade de tal fato (SÃO PAULO, 2012d, p. 39).

Essa interpenetração permanente a que se refere o documento básico do

Currículo de Matemática, é representada na Figura 7.

57

Figura 7 – Interconexão entre os diferentes blocos temáticos

Fonte: São Paulo (2012d, p. 39).

Em decorrência dessa interconexão, os três grandes temas foram

caracterizados, conforme Figura 8.

Figura 8 – Caracterização dos blocos temáticos na área de Matemática

Fonte: São Paulo (2012d, p. 39).

A partir dessa organização, que tem em sua base o desenvolvimento de ideias

fundamentais, de forma a favorecer o que podemos chamar de “interdisciplinaridade

interna da própria Matemática”, fica claro que algumas ideias associadas à álgebra

são tratadas no tema Relações, apesar de serem exploradas no tema Números, com

o estudo de suas representações algébricas e no tema “Geometria”, com “[...] uma

permanente aproximação com a geometria analítica desde a apresentação do plano

cartesiano, na primeira metade do Ensino Fundamental.” (SÃO PAULO, 2012d, p. 41).

58

Nos anos finais do Ensino Fundamental, por exemplo, o trabalho com o tema

Números busca o desenvolvimento da linguagem numérica enquanto instrumento de

representação simbólica. Nessa perspectiva, o desenvolvimento do simbolismo

algébrico busca tornar essa linguagem ainda mais ampla, rica e abrangente (SÃO

PAULO, 2012d).

Ao considerar o trabalho com o tema Geometria de forma espiralada, há uma

aproximação constante entre álgebra e geometria, rompendo com o pressuposto de

que o assunto geometria analítica é assunto exclusivo do Ensino Médio. Nessa

perspectiva:

As primeiras ideias associadas ao plano cartesiano podem – e devem – estar presentes já no Ensino Fundamental, na 5ª – série/6º – ano ou na 6ª – série/7º – ano, ainda que por meio da localização de pontos em mapas, ou pelo estudo de simetrias, ampliações e reduções de figuras no plano coordenado; na 7ª – série/8º – ano ou na 8ª – série/9º – ano, podem – e devem – estar associadas à construção, análise e interpretação de gráficos (SÃO PAULO, 2012d, p. 42).

Quanto ao tema Relações, o estudo das grandezas direta e inversamente

proporcionais tem como base a ideia de proporcionalidade, sendo prolongado,

naturalmente, para o estudo das relações de interdependência e funções do 1º grau

(SÃO PAULO, 2012d).

Com essa transição da álgebra entre os diferentes temas, existem Situações

de Aprendizagem bem oportunas para a introdução do uso de letras na Matemática já

na 5ª série (6º ano) do Ensino Fundamental. O Quadro 11 apresenta, por exemplo,

uma atividade do Caderno do Aluno do primeiro bimestre (volume 1) que pode

envolver alguns elementos da álgebra, caso o professor julgue necessário frente à

maturidade dos estudantes.

59

Quadro 11 – Atividade do Caderno do Aluno, 5ª série (6º ano), volume 1

Fonte: São Paulo (2009, p. 19).

Mesmo não sendo o foco central dessa etapa escolar (5ª série/ 6º ano), essa

atividade serve de prelúdio para o estudo da álgebra que se inicia de forma organizada

e intencional a partir da 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental (SÃO PAULO,

2009a).

Para identificar as concepções, os conteúdos e as finalidades da álgebra na

Proposta Curricular de Matemática (2008), serão analisados as habilidades e os

conteúdos definidos para as séries finais do Ensino Fundamental.

2.2.2.1. A Educação Algébrica na 6ª Série (7º Ano) do Ensino Fundamental – 4º Bimestre

O estudo da álgebra inicia-se na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental com

a investigação de padrões e regularidades numéricas, relação entre grandezas e uso

de letras para representar valores desconhecidos (SÃO PAULO, 2009a). Essa

proposta é apresentada no Caderno do 4º bimestre (volume 4), que possui o objetivo

principal de discutir algumas estratégias de ensino relacionadas à introdução do uso

de letras na Matemática e à resolução de equações do 1º grau,

60

O Quadro 12 apresenta, de forma sintética, a organização das habilidades e

dos conteúdos básicos definidos para o estudo da álgebra no 4º bimestre da 6ª série

(7º ano).

Quadro 12 – Conteúdos e habilidade em álgebra, definidos no Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias, 6ª série (7º ano), 4º bimestre

Conteúdo Habilidade Tema: Números (4º bimestre) • Álgebra: o Uso de letras para representar um valor

desconhecido. o Relações entre grandezas. o Conceito de equação. o Resolução de equações. o Equações e problemas.

• Compreender o uso de letras para representar valores desconhecidos, em particular, no uso de fórmulas.

• Saber fazer a transposição entre a linguagem corrente e a linguagem algébrica.

• Compreender o conceito de equação a partir da ideia de equivalência, sabendo caracterizar cada equação como uma pergunta.

• Saber traduzir problemas expressos na linguagem corrente em equações.

• Conhecer alguns procedimentos para a resolução de uma equação: equivalência e operação inversa.

Fonte: Adaptado de São Paulo (2012d).

Como dito anteriormente, os conteúdos básicos em cada bimestre se dividem

em quatro Situações de Aprendizagem. Na primeira delas, o foco das atividades incide

sobre o reconhecimento de padrões e regularidades em figuras e em sequências

numéricas. As atividades propostas nessa Situação de Aprendizagem objetivam “[...]

trabalhar a identificação e a representação de padrões em sequências, por meio da

linguagem escrita e da linguagem [...] algébrica, e o uso de recursos aritméticos para

a identificação indutiva do padrão de sequências.” (SÃO PAULO, 2009a, p. 20). Além

disso, buscam levar os estudantes a desenvolverem as habilidades de observação,

generalização e registro algébrico.

Verifica-se que a concepção “Aritmética Generalizada” (BRASIL, 1998) embasa

o trabalho proposto na Situação de Aprendizagem 1, já que as atividades exploram

conceitos e procedimentos relacionados às generalizações das operações aritméticas

e suas propriedades no reconhecimento de padrões em figuras e em sequências

numéricas.

61

A segunda Situação de Aprendizagem proposta nos Cadernos da 6ª série (7º

ano), volume 4, explora a correspondência entre fórmulas (matemáticas; físicas;

químicas; econômicas) e equações. O objetivo principal dessa Situação de

Aprendizagem é ampliar o significado atribuído ao uso de letras em Matemática, de

forma que os estudantes se familiarizem com a representação algébrica. Para que

esse objetivo seja alcançado, são exploradas algumas fórmulas conhecidas (que

envolvem a relação entre duas ou mais grandezas), como a fórmula da área do círculo,

por exemplo, visando evidenciar sua relação com as equações (que tratam de

perguntas).

Por meio das atividades propostas na segunda Situação de Aprendizagem,

espera-se que os estudantes desenvolvam as habilidades de “[...] interpretar uma

fórmula; saber substituir as letras de uma fórmula pelos valores numéricos

correspondentes; representar relações matemáticas simples por meio de letras;

resolver equações usando o raciocínio aritmético básico.” (SÃO PAULO, 2009a, p.

28).

Observa-se que as concepções “Funcional” e “Equações” (BRASIL, 1998)

atuam de forma articulada na segunda Situação de Aprendizagem. A primeira

(Funcional) porque as atividades sugeridas priorizam conceitos e procedimentos

relacionados à variação de grandezas nas fórmulas apresentadas e a segunda

(Equações) por priorizar conteúdos que exploram a resolução de equações.

Na terceira Situação de Aprendizagem, há uma preocupação explícita com as

técnicas e os métodos de resolução de equações. Primeiramente, privilegia-se o uso

do raciocínio aritmético com o uso de operações inversas, um método de resolução

mais imediato; posteriormente explora-se, por analogia, a ideia de equivalência com

o uso da imagem de uma balança de dois pratos, buscando justificar as

transformações diretas que são realizadas durante a resolução de equações. Cabe

destacar que essa técnica é utilizada levando-se em consideração seus limites e suas

possibilidades.

Portanto, fica evidenciado que a concepção “Equações” (BRASIL, 1998)

embasa o estudo da álgebra na terceira Situação de Aprendizagem, já que “[...] a

expectativa é que os alunos sejam capazes de resolver equações simples de 1º grau

62

com uma incógnita, seja por meio do raciocínio aritmético, [...] seja por meio dos

procedimentos de equivalência.” (SÃO PAULO, 2009a, p. 38).

A quarta e última Situação de Aprendizagem busca retomar a ideia de

proporcionalidade para introduzir a regra de três. Ao utilizar a linguagem matemática

das equações para modelar e resolver problemas que envolvem proporcionalidade,

busca-se reduzir a incidência de erro associada, na maioria das vezes, ao

procedimento mecânico da “multiplicação em cruz”. Para tanto, utiliza-se o princípio

da balança de dois pratos, discutidos na Situação de Aprendizagem anterior.

O principal objetivo da quarta Situação de Aprendizagem é apresentar, no

contexto das equações, “[...] a regra de três como recurso prático para resolução de

problemas de proporcionalidade [...]” (SÃO PAULO, 2009a, p. 40).

Percebe-se que a concepção “Equações” (BRASIL, 1998) fundamenta o

desenvolvimento das atividades propostas na quarta Situação de Aprendizagem,

cabendo ressaltar que há uma preocupação com o desenvolvimento do significado da

regra de três e não com a mecanização de procedimentos (como “multiplicação em

cruz”). Além disso, valoriza-se as resoluções por meio de interpretações aritméticas

dos dados extraídos dos problemas.


Na 7ª série (8º ano), o estudo da álgebra inicia-se no 2º bimestre, com o volume

2 dos Cadernos do Professor e do Aluno. Na série/ano anterior, houve uma maior

preocupação com a introdução do uso de letras na Matemática, buscando dar sentido

e significado ao seu uso. Esse estudo tem continuidade, na série/ano subsequente,

com foco nas regras de manipulação dos símbolos algébricos (SÃO PAULO, 2009b).



(8º ano).

63


Conteúdo Habilidade Tema: Números/Relações (2º bimestre) • Expressões algébricas: o Equivalência e transformações. o Produtos notáveis. o Fatoração algébrica.

• Realizar operações simples com monômios e polinômios.

• Relacionar as linguagens algébrica e geométrica, sabendo traduzir uma delas na outra, particularmente no caso dos produtos notáveis.

• Saber atribuir significado à fatoração algébrica e como utilizá-la na resolução de equações e em outros contextos.

• Compreender o significado de expressões envolvendo números naturais por meio de sua representação simbólica e de seu significado geométrico (2𝑛𝑛 é um número par, 2𝑛𝑛 + 1 é um número ímpar, a soma dos 𝑛𝑛 primeiros números naturais é 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)

2

etc.).


A primeira Situação de Aprendizagem tem início com a investigação de padrões

e regularidades numéricas, mas, agora, na perspectiva da diversidade de

representações envolvendo letras. A estratégia sugerida envolve uma colaboração

entre álgebra e geometria, já que a associação de sequências numéricas com arranjos

geométricos de bolinhas é bastante explorada nas atividades propostas. O objetivo

principal dessa Situação de Aprendizagem é levar os estudantes a se familiarizar “[...]

com a possibilidade de expressão de um movimento quantitativo por meio de uma

fórmula ou de uma expressão algébrica.” (SÃO PAULO, 2009b, p. 18).

Dessa forma, verifica-se que a abordagem sugerida na primeira Situação de

Aprendizagem está embasada na Concepção “Aritmética Generalizada” (BRASIL,

1998), pois o que se busca “[...] é a equivalência entre expressões com letras, que

representam a generalização de um determinado padrão.” (SÃO PAULO, 2009b, p.

18).

A segunda Situação de Aprendizagem explora os produtos notáveis, inter-

relacionando álgebra e geometria. Ao explorar esse assunto por meio da linguagem

geométrica, busca-se a apropriação significativa dos conceitos envolvidos e não o

desenvolvimento da mera técnica algébrica, desvinculada da aplicação dos produtos

notáveis.

64

Apesar de algumas atividades propostas explorarem a obtenção de expressões

equivalentes, não se trata da concepção “Estrutural”, mas sim da concepção

“Equações” (BRASIL, 1998), já que as letras possuem referenciais, como, por

exemplo, a área e o perímetro de figuras planas e a medida dos lados de figuras

geométricas. Além disso, ao centrar a investigação na busca por padrões e na

aplicação de estratégias para generalizar propriedades de potências do tipo (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛,

verifica-se que a concepção “Aritmética Generalizada” atua de forma integrada com a

anterior (Equações).

Na terceira Situação de Aprendizagem, a proposta é trabalhar, de forma

contextualizada, com alguns casos de fatoração e simplificação de expressões

envolvendo frações algébricas. Nessa perspectiva, a estratégia é trabalhar com a

tradução de problemas enunciados na linguagem materna para a linguagem algébrica,

de forma que seja possível resolver equações por meio do cálculo mental e por meio

de fatorações. Além disso, busca-se apresentar a distinção entre o uso das letras

enquanto incógnitas e variáveis (distinção entre as ideias de igualdade e identidade).

Percebe-se que a concepção “Equações” (BRASIL, 1998) embasa o

desenvolvimento da terceira Situação de Aprendizagem, principalmente por explorar

a resolução de equações por meio de fatorações. Além disso, a concepção “Aritmética

Generalizada” (BRASIL, 1998) é valorizada nessa Situação de Aprendizagem (3), já

que uma das metas é levar os estudantes a transformarem expressões algébricas,

“[...] permitindo, de certa forma, uma generalização de procedimentos aplicados nos

cálculos aritméticos.” (SÃO PAULO, 2009b, p. 42).

Na quarta e última Situação de Aprendizagem, explora-se, de forma integrada,

o uso das linguagens escrita, aritmética, algébrica e geométrica. Por meio da

investigação de problemas aritméticos e algébricos, como o problema relacionado à

soma dos 𝑛𝑛 primeiros números ímpares ou do número de diagonais de um polígono

qualquer, objetiva-se o desenvolvimento de habilidades relacionadas ao cálculo

algébrico e à generalização de padrões. Por esse motivo, as concepções “Aritmética

Generalizada” e “Equações” (BRASIL, 1998) dão suporte ao desenvolvimento da

quarta Situação de Aprendizagem, já que o foco central envolve, respectivamente, o

cálculo algébrico e a “[...] possibilidade de representar um elemento genérico de um

conjunto por uma variável.” (SÃO PAULO, 2009b, p. 49).

65


Ao buscar dar continuidade ao trabalho desenvolvido no bimestre anterior, o

estudo da álgebra no 3º bimestre da 7ª série (8º ano) prioriza o alcance de três

objetivos centrais: aprofundar o estudo das equações de 1º grau, organizar e

representar informações por meio do plano cartesiano e explorar a ideia de equações

com duas ou mais incógnitas no contexto dos sistemas de equações e das equações

que se restringem às soluções inteiras (SÃO PAULO, 2009c). Com essa proposta

espera-se que os estudantes ampliem o repertório relacionado às estratégias de

resolução de equações de 1º grau mais complexas, além de situações de transposição

entre linguagem materna e linguagem algébrica.



(8º ano).


Conteúdo Habilidade Tema: Números/Relações (3º bimestre) • Equações: o Resolução de equações do 1º grau. o Sistemas de equações e resolução de

problemas. o Inequações de 1º grau.

• Gráficos: o Coordenadas: localização de pontos no

plano cartesiano.

• Compreender situações-problema que envolvem proporcionalidade, sabendo representá-las por meio de equações ou inequações.

• Saber expressar de modo significativo a solução de equações e inequações de 1º grau.

• Saber explorar problemas simples de matemática discreta, buscando soluções inteiras de equações lineares com duas incógnitas.

• Saber resolver sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas pelos métodos da adição e da substituição, sabendo escolher de forma criteriosa o caminho mais adequado em cada situação.

• Compreender e usar o plano cartesiano para a representação de pares ordenados, bem como para a representação das soluções de um sistema de equações lineares.


66

A primeira Situação de Aprendizagem busca expandir a linguagem das

equações, partindo de uma discussão “[...] sobre a importância do trabalho com a

leitura, interpretação de enunciados e transcrição das informações para a linguagem

algébrica, discutindo algumas estratégias para o desenvolvimento da competência

leitora do aluno.” (SÃO PAULO, 2009c, p. 9). Para tanto, exploram-se problemas que

envolvem equacionamentos mais complexos do que os apresentados na série/ano

anterior (6ª série/7º ano), tomando como referência a organização de dados em

tabelas.

Como o foco da primeira Situação de Aprendizagem incide sobre a resolução

de equações e inequações do 1º grau, fica constatado que a concepção “Equações”

(BRASIL, 1998) embasa o desenvolvimento das atividades propostas.

A segunda Situação de Aprendizagem apresenta as coordenadas cartesianas

e as transformações no plano a partir do recurso de representação de figuras.

Inicialmente são propostas atividades que exploram a noção de localização para,

posteriormente, ser explorado o estudo formal de um sistema de coordenada, com os

movimentos e as transformações no plano, como translação, reflexão, ampliação e

redução de figuras geométricas.

A exploração do sistema de coordenadas cartesianas busca dar continuidade

ao estudo da álgebra, principalmente por possibilitar a análise gráfica dos sistemas de

equações. Dessa forma, espera-se que os estudantes se familiarizem “[...] com as

coordenadas cartesianas e com as representações gráficas de pontos no plano,

construindo uma base sólida para a representação de equações e resolução de

sistemas.” (SÃO PAULO, 2009c, p. 37).

Na segunda Situação de Aprendizagem, as letras são tratadas como

coordenadas cartesianas e não como generalizações de modelos aritméticos, ou

como variáveis, ou incógnitas ou, ainda, como símbolos abstratos. É por esse motivo

que alguns autores (como Lins e Gimenez) questionam se as representações gráficas

fazem ou não parte da álgebra (essa questão será discutida no capítulo posterior). À

vista disso, não há clareza quanto ao tipo de concepção que norteia a segunda

Situação de Aprendizagem, tomando como base as concepções de educação

67

algébrica descritas nos PCN – Matemática e o referencial que serve de guia a esta

investigação.

Na terceira Situação de Aprendizagem a proposta é trabalhar com sistemas de

equações de 1º grau, seu significado e estratégias de resolução. Ao retomar a ideia

da balança de dois pratos, discutida na série/ano anterior (6ª série/ 7º ano), é proposto

que se discuta sobre os métodos da adição e subtração para resolução de sistemas

de equações com mais de uma incógnita. Além disso, é sugerido um trabalho que

aborde a representação gráfica de um sistema de equações e uma investigação sobre

essa representação, visando auxiliar os estudantes a compreender as possíveis

soluções de um sistema de equações do 1º grau: determinado, indeterminado e

impossível (SÃO PAULO, 2009c).

Outro ponto fundamental na terceira Situação de Aprendizagem é que se

espera que os estudantes “[...] sejam capazes de resolver problemas envolvendo mais

de uma incógnita, saibam representar esses problemas na forma de um sistema e

consigam achar uma solução usando o método mais conveniente.” (SÃO PAULO,

2009c, p. 49).

Como o foco está voltado para a discussão de equações com mais de uma

incógnita e para as estratégias de resolução de um sistema de equações do 1º grau,

verifica-se que a concepção “Equações” (BRASIL, 1998) orienta a terceira Situação

de Aprendizagem.

Na quarta e última Situação de Aprendizagem, discute-se sobre as equações

com soluções inteiras e suas aplicações. São apresentados diferentes problemas que

podem conduzir a uma equação com mais de uma incógnita, desde que sejam

equacionados.

A estratégia sugerida parte da investigação, em domínio inteiro positivo, das

equações que podem ter um número finito de soluções, sendo classificadas como

indeterminadas no domínio real. Para tanto, os dados são analisados de forma

contextualizada, muito próximos de situações reais, e organizados em tabelas.

Como as atividades propostas objetivam investigar os processos de resolução

de equações com mais de uma incógnita e com soluções finitas, inteiras e positivas,

68

observa-se que a concepção “Equações” (BRASIL, 1998) embasa o desenvolvimento

da quarta Situação de Aprendizagem. Além disso, as habilidades trabalhadas nas

atividades propostas exigem que os estudantes sejam capazes de “[...] organizar as

informações numéricas em uma tabela, observar padrões, generalizar regularidades

[...]” (SÃO PAULO, 2009c, p. 58). Dessa forma, a concepção “Aritmética

Generalizada” (BRASIL, 1998) atua de forma articulada com a anterior.


Na 8ª série (9º ano), o conteúdo álgebra é desenvolvido no 3º bimestre, com o

estudo das equações do 2º grau e a noção de função. No estudo das equações do 2º

grau, espera-se que os estudantes obtenham as raízes por diferentes métodos,

inclusive em situações geométricas que podem ser equacionadas.

No que se refere à noção de função, busca-se uma apropriação da noção de

interdependência entre duas grandezas, tomando como base a resolução de

problemas que envolvem, ou não, proporcionalidade direta e inversa entre essas

grandezas. Além disso, por meio de representações algébricas, gráficas e por tabelas,

busca-se expressar a variação entre grandezas, “[...] iniciando, assim, o estudo das

funções afim e quadrática, que serão posteriormente desenvolvidas no Ensino Médio.”

(SÃO PAULO, 2009d, p. 9).

Em relação às equações quadráticas, a ênfase recai sobre os conhecimentos

relacionados aos procedimentos que envolvem fatoração, exponenciação e

radiciação. Além disso, são exploradas as equações exponenciais, de 3º grau e a

fórmula de Bhaskara para a resolução de equações do 2º grau.



(9º ano).

69


Conteúdo Habilidade Tema: Números/Relações (2º bimestre) • Álgebra: o Equações de 2º grau: resolução e

problemas. • Funções: o Noções básicas sobre função. o A ideia de variação. o Construção de tabelas e gráficos para

representar funções de 1º e 2 º graus.

• Compreender a resolução de equações de 2º grau e saber utilizá-las em contextos práticos.

• Compreender a noção de função como relação de interdependência entre grandezas.

• Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções de 1º grau.

• Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função de 2º grau.

• Saber construir gráficos de funções de 1º e de 2º graus por meio de tabelas e da comparação com os gráficos das funções 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2.


A primeira Situação de Aprendizagem busca apresentar um roteiro para a

resolução de equações do 2º grau, visando discutir alguns modos de resolvê-las.

Todavia, é sugerido que se valorize os conhecimentos dos estudantes para encontrar

as raízes das equações, antes de se priorizar as técnicas de resolução por meio da

fórmula de Bhaskara (SÃO PAULO, 2009d). Para tanto, exploram-se a combinação

de elementos algébricos e geométricos por meio da interpretação dos produtos

notáveis trabalhados na série/ano anterior (7ª série/8º ano).

Ao final da primeira Situação de Aprendizagem, é desejável que os estudantes

“[...] tenham compreendido, além dos processos de resolução, o movimento conceitual

de resolução desses tipos de equações.” (SÃO PAULO, 2009d, p. 36). Portanto, fica

evidenciado que a concepção “Equações” (BRASIL, 1998) embasa o desenvolvimento

desse trabalho.

Na Segunda Situação de Aprendizagem, é enfatizada a resolução de

problemas envolvendo equações do 2º grau. Com a apresentação de uma série de

problemas diretos e contextualizados, objetiva-se pôr em prática os diversos

procedimentos para obtenção das raízes de equações quadráticas (SÃO PAULO,

70

2009d). Dessa forma, a concepção “Equações” (BRASIL, 1998) também embasa o

desenvolvimento da segunda Situação de Aprendizagem.

A terceira Situação de Aprendizagem foca no desenvolvimento de situações

que expressem a variação entre grandezas, priorizando a identificação dessa relação

com base na proporcionalidade (direta, inversa ou não proporcional). Dessa forma,

busca-se “[...] propor situações cuja finalidade é o desenvolvimento de ideias relativas

às funções, por meio de situações envolvendo a proporcionalidade.” (SÃO PAULO,

2009d, p. 42). Por consequência, só no contexto da terceira Situação de

Aprendizagem é que se exploram as noções de variável dependente e variável

independente (relação de interdependência entre duas grandezas). Nessa

perspectiva, espera-se que os estudantes:

[...] reconheçam situações contextualizadas que podem ser modeladas por meio de uma expressão que relacione duas grandezas e analisem se essa relação é direta, inversamente proporcional ou nem direta nem inversamente proporcional. A familiarização com o conceito de função está associado, particularmente, às observações das variações e das relações de interdependência na expressão algébrica ou na construção de tabelas (SÃO PAULO, 2009d, p. 49).

Portanto, verifica-se que a concepção “Funcional” (BRASIL, 1998) embasa o

desenvolvimento da terceira Situação de Aprendizagem, já que as letras são tratadas

como variáveis que, por sua vez, buscam expressar a relação entre grandezas.

Na quarta e última Situação de Aprendizagem, há uma continuidade do trabalho

realizado na situação anterior, especialmente no que se refere à leitura, construção e

representação gráfica da relação de interdependência entre duas grandezas, sendo

que o objetivo principal é proporcionar “[...] a construção de noções básicas sobre

funções lineares e quadráticas.” (SÃO PAULO, 2009d, p. 58). Assim sendo, constata-

se que a concepção “Funcional” (BRASIL, 1998) também embasa o desenvolvimento

da quarta Situação de Aprendizagem.

71

2.2.2.5. Considerações sobre a Educação Algébrica na Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio (2008)

A análise da Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática – Ensino

Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio, relacionada à educação algébrica, evidenciou

que sua elaboração teve inúmeros subsídios, baseados na herança e nos

conhecimentos pedagógicos acumulados pela SEE-SP, desde as Propostas

antecessoras, como no “[...] levantamento e análise dos resultados de projetos ou

iniciativas realizados.” (SÃO PAULO, 2012d, p. 7).

Assim como na Proposta Curricular do 1º grau, o ensino formal da álgebra tem

início na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental. Entretanto, nessa etapa escolar, o

ponto de partida se dá por meio do estudo dos padrões e regularidades numéricas

para, posteriormente, explorar o uso de letras para representar valores desconhecidos

e as relações entre grandezas, seguindo a mesma tendência observada nos PCN –

Matemática e na BNC, em relação ao ensino da pré-álgebra.

Outro ponto importante é a valorização da inter-relação entre as diferentes

concepções da álgebra escolar, conforme destacado no Caderno do Professor, 7ª

série (8º ano) do Ensino Fundamental, volume 2:

Normalmente, atribuímos ao estudo da álgebra as funções de generalizar a aritmética, de possibilitar um processo para a resolução de problemas, de permitir a representação da variação de grandezas e, ainda, de formalizar estruturas matemáticas. Entendemos que essas quatro funções devem ser exploradas de forma relacionada, e não como blocos isolados dentro do planejamento. Dessa forma, as atividades propostas devem ser interpretadas como uma forma de estabelecer a relação entre duas ou mais das funções do estudo da álgebra (SÃO PAULO, 2009b, p. 9).

Apesar de destacar a importância de se explorar, de forma relacionada, as

quatro concepções da álgebra escolar nas atividades a serem desenvolvidas com os

estudantes, a concepção “Estrutural", na Proposta Curricular de Matemática de 2008,

é consolidada no Ensino Médio, visto que ao longo do Ensino Fundamental são

priorizadas as concepções “Aritmética Generalizada”, “Funcional” e “Equações”

(BRASIL, 1998).

72

2.2.3. Considerações sobre o Continuum relacionado à Educação Algébrica nas Propostas Curriculares de Matemática do Estado de São Paulo, a partir de 1986

A análise das Propostas Curriculares de Matemática do Estado de São Paulo,

relacionada à educação algébrica, evidenciou que o estudo da álgebra, desde 1986,

foi proposto para ser iniciado a partir da 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental,

tendo como base as ideias fundamentais da Matemática (equivalência,

proporcionalidade, interdependência, dentre outras) e uma abordagem em espiral.

Em 1986, a organização curricular sugeriu a distribuição dos conteúdos básicos

em três blocos temáticos: Números, Geometria e Medidas, sendo que o conteúdo

álgebra foi proposto para ser explorado no tema Números.

A partir de 2008, prevaleceu a organização curricular dos conteúdos nos blocos

temáticos: Números, Geometria e Relações, sendo que as principais ideias

associadas à álgebra são exploradas nos temas Números e Relações, apesar da

constante articulação com o tema Geometria (claramente explicitada no documento

básico da Proposta).

A justificativa para a constituição das Relações como um tema à parte decorreu

do fato de este conteúdo incluir “[...] a noção de medida, com a fecundidade e a

riqueza da ideia de aproximação [...]” (SÃO PAULO, 2012d, p. 39). Além disso:

[...] os Números são construídos a partir das relações de equivalência e de ordem; na Geometria, um lugar de especial destaque é ocupado pelas relações métricas; e praticamente todas as Relações que imaginarmos incluirão números ou formas geométricas (SÃO PAULO, 2012d, p. 39).

No que se refere aos conteúdos abordados na 6ª série (7º ano) do Ensino

Fundamental, o estudo da álgebra teve como ponto de partida, na Proposta Curricular

de 1986, o cálculo literal, vinculado aos temas “propriedades das operações” e “regras

de simplificação no cálculo com potências” (SÃO PAULO, 1997. P. 121). Como

concepções de educação algébrica que embasam esse trabalho, destacam-se a

“Aritmética Generalizada” e a “Estrutural” (BRASIL, 1998), visto que foram priorizados

conceitos e procedimentos relacionados às generalizações das operações aritméticas

73

e suas propriedades (Aritmética Generalizada), além do cálculo algébrico abstrato

(Estrutural).

Em relação à Proposta Curricular de 2008, ficou evidenciado que o estudo da

álgebra teve como ponto de partida o estudo da pré-álgebra, com base na

investigação de padrões e regularidades numéricas. Além disso, foi priorizado o

estudo das relações entre grandezas e a resolução de equações do 1º grau. Como

concepções de educação algébrica que embasam esse trabalho, destacam-se a

“Aritmética Generalizada”, a “Equações” e a “Funcional” (BRASIL, 1998).

Os conteúdos, os temas e as concepções de educação algébrica que norteiam

o ensino da álgebra na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental, em relação às duas

Propostas de Matemática analisadas, são apresentados no Quadro 16.

Quadro 16 – Conteúdos e temas que norteiam o ensino da álgebra escolar na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental em cada Proposta Curricular de Matemática e Concepções de

Educação Algébrica, segundo os PCN – Matemática

Proposta Conteúdo Concepção

1986

Tema: Números • Cálculo literal: o Noções de cálculo literal. o Soma algébrica e expressões algébricas. o Multiplicações de expressões algébricas. o Divisão de monômios. o Divisão de polinômios por monômios.

• Aritmética Generalizada

• Estrutural

2008

Tema: Números • Álgebra: o Uso de letras para representar um valor desconhecido. o Relações entre grandezas. o Conceito de equação. o Resolução de equações. o Equações e problemas.


• Equações • Funcional

Fonte: Adaptado de São Paulo (1997, 2012d).

Na 7ª série (8º ano) do Ensino Fundamental, a Proposta Curricular elaborada

em 1986 priorizou o estudo da álgebra embasado nas concepções “Equações” e

“Funcional” (BRASIL, 1998), já que as atividades propostas buscaram explorar,

respectivamente, a resolução de equações e inequações do 1º grau e as relações

entre grandezas.

74

Na Proposta Curricular de 2008 são priorizadas as concepções “Aritmética

Generalizada” e “Equações” (BRASIL, 1998), visto que as atividades propostas

sugerem a investigação de padrões e regularidades numéricas sob a perspectiva da

diversidade de representações envolvendo letras, numa colaboração entre álgebra e

geometria. Essa colaboração se dá, especialmente, por meio da associação de

sequências numéricas com arranjos geométricos, do aprofundamento do estudo das

equações de 1º grau, da exploração da ideia de equações com duas ou mais

incógnitas e da organização e representação de informações no plano cartesiano.




75




1986

Tema: Números • Equações e inequações do 1º grau com uma incógnita: o Noção de equação-tradução algébrica de situação-

problema. o Propriedades de uma igualdade numérica. o Resolução de equações do 1º grau. o Resolução de problemas do 1º grau. o Propriedades de uma desigualdade numérica. o Resolução de inequações do 1º grau. o Sistemas de duas equações do primeiro grau com duas

incógnitas. o Representação gráfica de uma equação do 1º grau com

duas incógnitas. • Proporcionalidade: o Noção de interdependência entre duas ou mais grandezas

e a noção de variável. o Grandezas diretamente proporcionais. Representação

gráfica e analítica desse tipo de intercedência. o Grandezas inversamente proporcionais. Representação

gráfica e analítica desse tipo de intercedência. o Grandezas não proporcionais. o Grandezas que variam proporcionalmente ao quadrado de

outras. o Razões e proporções – aplicações em problemas. o Juros simples.


2008

Tema: Números/Relações • Expressões algébricas: o Equivalência e transformações. o Produtos notáveis. o Fatoração algébrica.

• Equações: o Resolução de equações do 1º grau. o Sistemas de equações e resolução de problemas. o Inequações de 1º grau.

• Gráficos: o Coordenadas: localização de pontos no plano cartesiano.


• Equações


Na 8ª série (9º ano) do Ensino Fundamental, a Proposta Curricular de 1986

priorizou o estudo da álgebra embasado nas concepções “Equações” e “Funcional”

(BRASIL, 1998), assim como o fez na série/ano anterior. Essa constatação se deve

ao fato de as atividades propostas terem explorado algumas técnicas para a resolução

de equações do 2º grau e pelo tema fatoração ter sido apresentado com um caráter

76

essencialmente algébrico (sem referências às quantidades conhecidas ou às

grandezas geométricas).

Em relação à Proposta Curricular de 2008, são priorizadas as concepções

“Equações” e “Funcional” (BRASIL, 1998), especialmente pelos conteúdos básicos

explorarem as equações do 2º grau e as noções de função.







1986

Tema: Números • Fatoração de expressões algébricas: o Equações do 2º grau com uma variável. o Equações redutíveis a uma equação do 2º grau. Problemas.

• Equações • Estrutural

2008

Tema: Números/Relações • Álgebra: o Equações de 2º grau: resolução e problemas.

• Funções: o Noções básicas sobre função. o A ideia de variação. o Construção de tabelas e gráficos para representar funções

de 1º e 2 º graus.



A partir dessa análise, que considerou o continuum relacionado à educação

algébrica nos anos finais do Ensino Fundamental, ficou constatado que a partir de

1986, houve um avanço em relação aos tipos de tarefas sugeridas aos estudantes,

em decorrência do desenvolvimento de pesquisas no âmbito da Educação

Matemática, mas não em relação às diferentes concepções da álgebra escolar,

presentes nas duas Propostas. A única exceção, em relação ao ensino da álgebra no

Ensino Fundamental, está na Proposta Curricular de 2008, que busca consolidar as

ideias relacionadas à concepção “Estrutural” ao longo do Ensino Médio.

77

Nesse sentido, a Proposta Curricular de Matemática apresentada em 2008 teve

importantes subsídios para o seu desenvolvimento, como por exemplo, os Parâmetros

Curriculares Nacionais de Matemática, a partir de 1997, visto que são reconhecidos

como um referencial de qualidade para a educação básica brasileira, assim como a

expressiva herança pedagógica do Estado de São Paulo, “[...] consubstanciada em

suas propostas curriculares e nos materiais produzidos pela Coordenadoria de

Estudos e Normas Pedagógicas [...]” (SÃO PAULO, 2012d, p. 29).

Como esta pesquisa se delimita a compreender a cultura profissional docente,

relacionada ao ensino da álgebra na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental, e

identificou o lugar e as finalidades da álgebra a partir do continuum de Propostas

Curriculares de Matemática, desde 1986, resta saber quais concepções de educação

algébrica são priorizadas por determinado grupo de professores quando se busca

introduzir o uso de letras na Matemática, a partir da reestruturação curricular ocorrida

no ano de 2008, no Estado de São Paulo. Em busca desse esclarecimento, será

apresentado, no capítulo subsequente, o referencial teórico que orienta esta

investigação.

78

CAPÍTULO 3 – Fundamentação Teórica

Este capítulo apresenta os elementos teóricos que norteiam a análise dos

dados desta investigação. Primeiramente, são abordadas as teorias relacionadas à

álgebra escolar, suas principais concepções e sobre como as diferentes visões da

atividade algébrica acabaram por moldá-las. Posteriormente, são abordadas algumas

teorias que tratam da formação continuada do professor e do conhecimento

profissional, tendo em vista a educação a distância e os princípios da prática reflexiva.

3.1. A Educação Algébrica e suas Diferentes Conceitualizações

Na perspectiva de Lins e Gimenez (1997), não há consenso construído acerca

do que se entende por pensar algebricamente. Por consequência, o que há são

diferentes “propostas para a sala de aula”, resultantes de diferentes visões daquilo

que se deseja promover por meio do ensino da álgebra escolar. Para os autores,

essas diferentes visões, ou diferentes concepções de educação algébrica, têm suas

raízes em diferentes conceitualizações da atividade algébrica.

Em busca de uma compreensão sobre como essas diferentes concepções

promovem a educação algébrica dos estudantes, serão analisadas algumas ideias e

trabalhos ligados à atividade algébrica, a fim de verificar a origem das principais

propostas de ensino da álgebra escolar, para a sala de aula.

3.1.1. As Diferentes Concepções de Atividade Algébrica

Para Lins e Gimenez (1997), a base de conhecimentos que fundamenta as

diferentes concepções de educação algébrica tem sua raiz no que se acredita ser a

atividade algébrica, como dissemos anteriormente. Em seu trabalho, os autores

afirmam que:

Parte do trabalho de caracterizar a atividade algébrica é dar uma ‘descrição’ de posse da qual possamos identificar essa atividade quando ela acontece. Outra parte, mais complicada, é tentar saber se há – e quais seriam, então – processos cognitivos peculiares a essa atividade (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 90).

79

A grande questão relacionada a essa afirmação, segundo Lins e Gimenez

(1997), indica que as diferentes concepções que buscam descrever a atividade

algébrica compartilham o fracasso de se restringirem, apenas, à primeira etapa do

trabalho, deixando de lado os processos cognitivos que envolvem essa atividade. Em

outras palavras, caracterizam a atividade algébrica como “resolver os problemas da

álgebra”, associados, tradicionalmente, às equações, ao cálculo literal, às funções,

dentre outros. Para Lins e Gimenez (1997, p. 90) a versão mais comum dessa linha

de pensamento “[...] é a que descreve a atividade algébrica como ‘calcular com letras’.”

(LINS; GIMENEZ, 1997, p. 90).

Na outra face dessa visão reducionista, que resume a atividade algébrica ao

cálculo com letras, há uma linha de pensamento que busca não apenas adotar uma

caracterização restrita da atividade algébrica, como “cálculo literal”, mas demonstrar

como uma provável linha de desenvolvimento da álgebra pode ser desenvolvida a

partir da reconstrução histórica das notações algébricas (LINS; GIMENEZ, 1997).

Ao falar brevemente sobre o desenvolvimento da notação algébrica, desde os

Babilônios e os Egípcios (que remonta os anos 1700 a.C.), passando pelo grego

Diofanto (em torno do ano 250 d.C.) e pelo francês Vieta (1550 d.C.), o primeiro a

sistematizar o uso de letras para representar quantidades conhecidas ou grandezas

geométricas em uma expressão algébrica, baseando-se em noções usuais da

aritmética e da geometria, até chegar à origem (gênese) da noção de estrutura

algébrica, com Galois e Abel no século XIX, e Bourbaki no século XX (a partir de

1940), Lins e Gimenez (1997) afirmam que se constituiu o domínio próprio do “cálculo

com letras”, representado pela sintaxe, gerando um mundo sofisticado e

completamente abstrato.

Essa perspectiva, que traz à tona uma visão de que a introdução da notação

especial está diretamente relacionada ao desenvolvimento linear de suas mudanças

conceituais ao longo dos anos, sinalizando para um estágio de desenvolvimento da

atividade algébrica, tem ilustres defensores e expositores (LINS; GIMENEZ, 1997).

80

Como exemplo, Lins e Gimenez (1997) citam o inglês Eon Harper, que publicou

o artigo20 “Fantasmas de Diofanto”, em 1987, influenciando diversos outros autores.

No referido artigo, Harper toma a ideia de Nesselmann21, publicada em 1842, de que

se pode classificar a álgebra, considerando seus diferentes momentos históricos, em

três estágios de desenvolvimento: retórica (somente palavras), sincopada (notação

especial baseada em palavras abreviadas) e simbólica (manipulação puramente

simbólica) (LINS e GIMENEZ, 1997).

Apesar de os autores destacarem que para Nesselmann tratava-se apenas de

uma postura descritiva em relação à álgebra, para Harper tratava-se de algo mais, ou

seja, em seu artigo (Fantasmas de Diofanto) Harper procurou estabelecer uma

correspondência entre o desenvolvimento intelectual de crianças de diferentes idades

com a representação descritiva de Nesselmann (álgebra retórica, sincopada e

simbólica). Para que tal fim fosse alcançado, tomou o seguinte problema em suas

entrevistas clínicas, já apresentado na aritmética de Diofanto:

Mostre que, se você souber a soma e a diferença de dois números, é sempre

possível descobrir os números. Dê sua resposta da forma mais geral possível. (LINS;

GIMENEZ, 1997, p. 92).

Como resultado, surgiram três tipos de respostas:

1) Totalmente verbal (solução retórica).

2) Por valores particulares, a fim de representar a soma e a diferença de um

sistema, como, por exemplo:

�x + y = 10x − y = 2 (solução sincopada), e

3) Totalmente simbólica, representada por um sistema do tipo:

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 (solução simbólica)

A partir desses resultados, Harper concluiu que cada tipo de resposta

representava um estágio de desenvolvimento intelectual.

20 Publicou seu artigo no Educational Studies in Mathematics, nº 18, em 1987, com o título original em inglês Ghosts of Diophantus (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 92). 21 Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann.

81

Seguindo essa mesma linha, Lins e Gimenez (1997) afirmam que um estudo22

conduzido por Dietmar Kuchemann, na Inglaterra, compartilhou com algumas ideias

sugeridas por Harper, principalmente por sugerir que havia uma relação entre as

idades dos alunos e o nível de acerto para cada questão, seguindo uma tradição

piagetiana.

Apesar de fazer parte de um projeto mais amplo, denominado Concepts in

Secondary Mathematics and Science (CSMS), coordenado por Kathleen Hart entre os

anos 1974 e 1979, os autores relatam que uma das sugestões centrais do estudo

apresentado por Kuchemann produziu mudanças significativas no sistema escolar

Inglês.

Baseado na tradição piagetiana, de que o desenvolvimento intelectual depende

de um processo de maturação, Kuchemann sugeriu que o estudo da álgebra fosse

iniciado de forma bem tardia, por volta dos 14-15 anos de idade, pois em sua

perspectiva, somente nessa idade é que os alunos teriam as estruturas cognitivas

necessárias para a aprendizagem da álgebra (LINS; GIMENEZ, 1997).

Evidentemente, os resultados desse estudo produziram efeitos adversos e negativos

para o ensino da Matemática na Inglaterra.

Embora distintos em interesse e método, os trabalhos de Harper e Kuchemann

compartilham “[...] a crença no fato de que, de algum modo, seguir a trajetória do uso

de letras permite seguir a trajetória do desenvolvimento de um pensamento algébrico.”

(LINS; GIMENEZ; 1997, p. 94-95).

Partindo de uma posição semelhante à de Kuchemann, a pesquisadora

australiana Lesley Booth iniciou seu trabalho questionando se os erros apresentados

pelos alunos de uma determinada faixa etária tinham, de fato, correspondência com

os estágios de desenvolvimento intelectual.

Segundo Lins e Gimenez (1997), ao testar um grupo de alunos utilizando as

mesmas questões propostas por Kuchemann, Booth buscou identificar os erros mais

comuns a fim de verificar se os mesmos resistiriam à instrução. Sequências didáticas

foram construídas para tentar ensinar o que os alunos demonstravam não saber e,

22 Estudo publicado no livro Children’s understanding of mathematics (p. 11-16), em Londres, 1981 (LINS; GIMENEZ, 1997).

82

após um pós-teste, verificou-se que alguns dos erros indicados por Kuchemann não

persistiram. Dessa forma, Booth mostrou que alguns erros apontados Kuchemann

resistiram muito pouco à instrução, abrindo espaço para críticas ao seu trabalho.

Uma das críticas que se faz a essa tendência “letrista” diz respeito ao fato de

que seguir os passos do pensamento algébrico por mudanças conceituais na notação,

acaba por deixar coisas demais de fora, como, por exemplo, os conceitos presentes

na álgebra islâmica medieval, a partir de al-Khwarizmi. Na perspectiva de Lins e

Gimenez (1997) há uma grande perda nessa linha de pensamento, pois temos duas

conceitualizações que não são redutíveis uma à outra, dado o caráter “retórico” da

álgebra de al-Khwarizmi. A esse respeito, os autores acrescentam que:

Não é possível ver al-Khwarizmi nem como uma ‘evolução’ em relação ao trabalho de Diofanto nem ‘contido’ em Diofanto. Do ponto de vista da técnica, a álgebra de al-Khwarizmi é muito mais pobre do que a aritmética de Diofanto, mas o que é feito em al-Khwarizmi não pode ser encontrado em Diofanto. Por exemplo: a álgebra contém, pela primeira vez conhecida, uma sistematização da parte ‘teórica’, que é apresentada antes de ser aplicada a problemas particulares [...], mas na aritmética [de Diofanto] o que encontramos é uma sucessão de problemas resolvidos, ao longo dos quais técnicas diversas vão sendo introduzidas. E ainda: em al-Khwarizmi associam-se números a grandezas geométricas [...], como fazemos hoje, mas em Diofanto isso é impossível [...] (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 97).

Após realizar essas comparações, buscando evidenciar o que a tendência

“letrista” deixa de fora, Lins e Gimenez apontam para a falta de profundidade

apresentada pelo reconhecido matemático francês Jean Dieudonné, ao referir-se a

álgebra de al-Khwarizmi, no livro “Em honra do espírito humano”, como não tendo

originalidade.

No que se refere a esse fato, os autores afirmam o quanto uma descrição

superficial da atividade algébrica pode levar, naturalmente, a uma caracterização

associada a conteúdos. Tomando como base essa observação:

[...] o caso de Dieudonné é excelente exemplo disso: a álgebra de al-Khwarizmi não tem ‘originalidade’ porque não contém nenhum resultado novo em relação aos que vieram antes dele. O que fica claro é que é preciso ir além de uma caracterização superficial (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 97-98).

83

Das duas linhas que investigamos até aqui, as que caracterizam a atividade

algébrica pelo uso das notações (tendência letrista) e as que caracterizam a atividade

algébrica pela presença de certos conteúdos (tendência conteudista), fica a suspeita

de que cada uma delas deixa de fora alguns episódios que poderiam ser

caracterizados como atividade algébrica, pelo menos sob a ótica de outras

conceitualizações.

Como exemplo, Lins e Gimenez (1997) citam um terceiro ponto de vista que

caracteriza a atividade algébrica como resultante da ação do pensamento formal23

(álgebra abstrata):

[...] o pensamento formal é algébrico, caso em que todo o pensamento de alguém que atingiu o estágio operatório formal constituiria alguma atividade algébrica, mas isso nos deixa com um horizonte inaceitavelmente amplo. Talvez devamos nos restringir, no caso da atividade algébrica, ao pensamento que opera sobre as operações (concretas) aritméticas, o que nos deixa com a noção de álgebra escolar como aritmética generalizada, e, outra vez, com uma caracterização dependente de conteúdos (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 99).

Nesse caso, o da álgebra abstrata, as operações são desprovidas de

referenciais quantitativos, mas guiadas por suas propriedades operatórias estruturais.

Apesar dessa sofisticação, essa conceitualização da atividade algébrica também

deixa de fora alguns episódios. Como exemplo, Lins e Gimenez (1997) citam o caso

de uma criança de 10 anos que, ao apresentar a resolução de uma equação,

explicitando sua consciência na tentativa de desenvolver uma ideia geral, acabe por

falhar por não apresentar quaisquer sinais de ter atingido o estágio operatório formal

(piagetiano). A esse episódio pode se negar o status de atividade algébrica? (LINS;

GIMENEZ, 1997).

Ao citar a aritmética de Diofanto, e sua crença na obtenção dos números por

abstração, nos processos de contagem, segundo a tradição aristotélica, Lins e

Gimenez (1997) questionam a conceitualização adotada pela tradição piagetiana em

relação ao que vem a ser atividade algébrica:

23 “Como em Piaget, o pensamento formal ‘Consiste em refletir as operações (concretas), portanto, em operar sobre operações ou sobre os resultados e, consequentemente, em agrupar operações de segundo grau’” (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 99).

84

Em seu livro Psicogenesis y história de la ciencia, Rolando Garcia e Jean Piaget negam ao trabalho de Diofanto o status de ‘álgebra’, preferindo começar com Vieta; longe de ser simplesmente uma posição mal-informada ou ‘equivocada’, ela reflete as consequências da caracterização que aqueles autores adotam (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 100).

O que essas três linhas analisadas até o momento têm em comum (uma

centrada em conteúdos, outra centrada em notações e uma última caracterizada como

resultante da ação do pensamento formal) é o fato de buscarem uma descrição

normativa da atividade algébrica (baseada nas regras, nos preceitos e na lógica da

Matemática acadêmica). Mas, segundo Lins e Gimenez (1997), há uma corrente que

segue outra linha, a qual destacam-se David Kirshner e Paolo Boero.

Kirshner defende que as operações algébricas não são processadas pelos

seres humanos a partir de descrições normativas (seguindo regras), mas segundo a

atividade de reconhecimento de padrões (LINS; GIMENEZ, 1997). No caso Boero, há

o interesse em entender como levar pessoas a operarem como o especialista opera.

Apesar de haver um componente de conteúdo, o foco dessa conceitualização está

centrado nos processos de aprendizagem, tornando o conteúdo um meio para

alcançar tal objetivo (LINS; GIMENEZ, 1997).

Na perspectiva de Lins e Gimenez (1997), os exemplos de Kirshner e Boero

têm em comum o fato de recusarem o texto da Matemática acadêmica como

[...] referência para o que a atividade algébrica deveria ser – como encontramos em Piaget, por exemplo, quando ele adota a formalização da matemática por Bourbaki como ponto de referência para suas estruturas do pensamento –, adotando, em vez disso, a postura de descrever como essa atividade se dá ‘de fato’ (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 101).

Apesar de estarem interessadas em processos e não em instruções

normativas, tanto a linha de Kirshner quanto a de Boero não buscam

[...] descrever os ‘mecanismos mentais’ subjacentes a esses processos nem reduzi-los a processos mais elementares. Às vezes, o interessante é produzir uma descrição técnica e precisa – como em Kirshner –, às vezes, é produzir uma leitura da atividade algébrica que inclua tanto elementos heurísticos [...] quanto elementos ‘técnicos’ – como em Boero (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 102).

85

Por fim, a quarta e última conceitualização da atividade algébrica, destacada

por Lins e Gimenez (1997), faz referência ao Modelo dos Campos Conceituais

elaborado pelo francês Gérard Vergnaud.

No modelo apresentado por Vergnaud, um campo conceitual, ao substituir a

noção isolada de conceito, é constituído por:

[...] a) um conjunto de esquemas operacionais e de invariantes; b) um conjunto de formas notacionais; e, c) um conjunto de problemas que, a um mesmo tempo, são resolvidos por aqueles esquemas e dão sentido a eles (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 102-103).

O que difere o modelo de Vergnaud dos outros é que nesse tipo de

conceitualização da atividade algébrica não há uma caracterização por conteúdos,

nem por notações, mesmo havendo referências aos dois. Um exemplo destacado por

Lins e Gimenez (1997) é o seguinte:

Pode-se falar de um ‘campo conceitual da álgebra elementar’, mas, sendo uma unidade muito ampla para a investigação experimental, Vergnaud e seus seguidores preferem tratar, por exemplo, de um ‘campo conceitual das equações de 1º grau (lineares)’. Alguém trabalhando nesse ou em outros campos conceituais da álgebra estaria engajado em atividade algébrica (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 103).

Como exemplo, para encontrar a solução de equações do 1º grau, segundo o

modelo de Vergnaud, seria preciso mobilizar os elementos de um determinado campo

conceitual e, segundo Lins e Gimenez (1997), esses elementos seriam os da

Matemática acadêmica, caracterizando esse modelo, também, como normativo.

Apesar das diferenças encontradas nas linhas examinadas até o momento, o

que há em comum em todas elas é que, de alguma forma, todas apresentam

propostas para a sala de aula. Segundo Lins e Gimenez (1997, p. 104), essas

diferentes propostas buscam “[...] produzir um ‘mapa’ do que é a correta atividade

algébrica, mapa esse segundo o qual professores e desenvolvedores curriculares se

orientariam [...]”. Nessa perspectiva, os desenvolvedores curriculares acabam por

elaborar os mapas (formas adequadas) para engajar os alunos no que é tomado,

corretamente, por atividade algébrica, ao passo que os professores utilizariam esses

mapas buscando saber o que os alunos sabem e onde precisam chegar.

86

A grande questão relacionada a essas propostas que primam pela “falta”, na

visão de Lins e Gimenez (1997, p. 104), é a seguinte:

[...] olhamos para o aluno e, se ele se comporta de modo identificavelmente correto, sei que ‘está lá’, sei onde ele está. Mas e se ele se comporta de maneiras ‘estranhas’, divergentes em relação ao ideal? Onde está o aluno, então? Certamente não está em meu mapa. E pior: entregamo-nos à tarefa de ‘trazê-lo’ para onde queremos, sem sequer sabermos onde ele está.

Dependendo da proposta, talvez essa visão não seja muito útil, como no caso

das propostas construtivistas piagetianas, por exemplo, no qual é possível, apenas,

estimular o aluno, não cabendo conduzi-lo no processo de aprendizagem. Entretanto,

essa questão seria plenamente justificável se fosse provado que a condução do aluno

em seu percurso de aprendizagem não fosse possível e necessária (LINS; GIMENEZ,

1997).

Assim sendo,

[...] o que parece ser necessário, então, é uma perspectiva de atividade algébrica que nos permita tanto saber qual é o ideal a ser atingido quanto ler positivamente o que uma pessoa está fazendo quando se engaja em atividade algébrica de forma ‘não-ideal’ [...] (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 105).

E o não-ideal, na visão dos autores supracitados, deve ser encarado como uma

variação entre o quase-ideal ao que é considerado completamente incorreto.

3.1.2. As Diferentes Concepções de Educação Algébrica

A análise das diferentes concepções de educação algébrica na seção anterior

evidenciou que as diferentes conceitualizações da atividade algébrica, como a

centradas em conteúdos (equações; cálculo literal; funções), em perspectivas

históricas acerca das notações algébricas (retraçando o desenvolvimento da álgebra

ao longo da história), em processos e descrições não normativas (buscando produzir

uma descrição técnica e precisa da atividade algébrica ou uma leitura que inclua

elementos heurísticos e técnicos da atividade algébrica), em álgebra puramente

abstrata (como resultante da ação do pensamento formal) e no modelo de Vergnaud

(buscando mobilizar os elementos de um determinado campo conceitual), se dirigem,

de alguma forma, “[...] à sala de aula – mesmo no caso do modelo de Vergnaud,

87

claramente dirigido a fornecer um instrumento para a sala de aula [...] –, bastante

popular na França.” (LINS; GIMENEZ, 1997. p. 104).

Também ficou evidenciado que essas diferentes “propostas para a sala de

aula”, ou diferentes concepções de educação algébrica, são resultantes de diferentes

conceitualizações da atividade algébrica e demonstram o que se deseja promover por

meio do ensino e da aprendizagem da álgebra escolar, ou seja:

[...] propostas para sala de aula não são nunca ‘neutras’ ou ‘ingênuas’ em relação a pressupostos de toda ordem: relativos à natureza de processo cognitivos, relativos à natureza dos objetos que ali são apresentados ou relativos a concepções de conhecimento, para citar apenas alguns aspectos envolvidos (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 105).

Corroborando com essa afirmação, Usiskin (1995) afirma que algumas

questões relacionadas ao currículo de álgebra, como a ênfase dada a aprendizagem

de técnicas manipulatórias, bem como a definição do momento mais apropriado para

a introdução do pensamento funcional, também refletem o que se deseja promover

por meio do ensino e da aprendizagem da álgebra escolar. Nas palavras do autor:

É claro que essas [...] questões relacionam-se com as próprias finalidades do ensino e da aprendizagem da álgebra, com os objetivos da formação em álgebra e com as concepções que tenhamos desse corpo de conhecimentos (USISKIN, 1995, p. 12).

Ao buscar definir o que é a álgebra da escola média (ou como dizemos: álgebra

escolar), Usiskin (1995) ressalta que há uma distinta conotação entre a álgebra que é

ensinada na educação básica com a álgebra que é ensinada na educação superior.

Ao citar o trabalho de Saunders Mac Lane e Garret Birkhoff, publicado em 1967,

Usiskin (1995) afirma que esses dois autores, em nível de educação algébrica

universitária, tentaram estabelecer uma conexão entre a álgebra escolar com a

álgebra acadêmica. Após refletir sobre essa aproximação, Usiskin (1995) conclui que

a álgebra escolar está intimamente ligada à busca por dar sentido e significado para

o uso de letras na Matemática. Além disso, acrescenta que as letras são comumente

associadas às variáveis, e considera que os estudantes estão envolvidos em atividade

algébrica quando se deparam com as letras (variáveis) pela primeira vez.

Essa descrição superficial da atividade algébrica é questionada pelo próprio

autor. Em suas palavras, Usiskin (1995, p. 10) reconhece que: “[...] como o próprio

88

conceito de variável é multiface, a redução da álgebra ao estudo das variáveis não

responde à pergunta: ‘O que é a álgebra da escola média?’.”.

Em busca dessa resposta, o autor analisa algumas equações24 que

representam uma igualdade entre o produto de dois números com um terceiro número:

1. 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 ∙ ℎ

2. 40 = 50𝑥𝑥

3. sin 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥 ∙ tan 𝑥𝑥

4. 1 = 𝑛𝑛 ∙ �1𝑛𝑛�

5. 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥

Apesar da semelhança (produto de dois números com um terceiro número),

Usiskin (1995) destaca que essas equações possuem características

dessemelhantes. Em sua opinião:

Comumente chamamos (1) de fórmula, (2) de equação (ou sentença aberta), (3) de identidade, (4) de propriedade e (5) de equação de uma função que traduz uma proporcionalidade direta [...]. Esses nomes diversos refletem os diferentes usos dados à idéia de variável. Em (3), 𝑥𝑥 é o argumento de uma função. A equação (4), ao contrário das outras, generaliza um modelo aritmético e 𝑛𝑛 identifica um exemplo do modelo. Em (5), 𝑥𝑥 é mais uma vez um argumento de uma função, 𝑦𝑦 o valor e 𝑘𝑘 uma constante (ou parâmetro, dependendo de como é usada). Somente em (5) há o caráter de ‘variabilidade’, do qual resulta o termo variável. Mesmo assim, tal caráter não está presente se imaginarmos aquela equação como a representação analítica de uma reta de inclinação 𝑘𝑘, passando pela origem (USISKIN, 1995, p. 10).

Ao realizar essas considerações, Usiskin (1995) ressalta que as concepções

de variável se alteraram ao longo dos anos. Como exemplo, cita alguns textos da

década de 50, como o primeiro livro de uma série publicada por Hart, em 1951, que

apresentava uma concepção diferente das variáveis. Segundo Usiskin (1995), Hart

fez referência à palavra variável, apenas quando introduziu uma discussão sobre

sistemas. No caso em questão, Hart tratou as variáveis como sendo um número do

tipo mutável. Uma descrição mais compatível com a de hoje é realizada por Hart,

apenas quando faz menção à palavra fórmula: “Em cada fórmula, as letras

24 Adaptado de Usiskin (1995).

89

representam números. O uso de letras para representar números é a principal

característica da álgebra [...]“ (USISKIN, 1995, p. 10).

De acordo com Usiskin (1995), uma descrição mais formal das variáveis foi

apresentada por Hart, apenas no 2º livro da série, publicado, também, em 1951. No

referido livro, Hart afirmou que as variáveis eram números literais que poderiam

assumir dois ou mais valores (USISKIN, 1995).

Além dessa concepção apresentada por Hart, Usiskin (1995) cita o trabalho de

May e Van Engen, publicado em 1959, que trouxe uma discussão cautelosa sobre o

significado da variável:

Uma variável, grosso modo, é um símbolo pelo qual se substituem os nomes de alguns objetos, comumente números, em álgebra. Uma variável está sempre associada a um conjunto de objetos cujos nomes podem ser substituídos por ela. Esses objetos chamam-se valores da variável (USISKIN, 1995, p. 11).

Apesar de May e Van Engen terem apresentado uma concepção de variável

como sendo um símbolo que representa, sem distinção, os elementos de determinado

conjunto, Usiskin (1995) destaca que esse não é o único ponto de vista acerca das

variáveis. Como exemplo, cita o trabalho da escola formalista da Matemática, que no

começo do século XX tratava as variáveis e os símbolos matemáticos como "meros

sinais no papel”, ou seja, sua manipulação ocorria às cegas, “[...] sem necessidade de

saber o que elas representam ou de se preocupar com isso.” (USISKIN, 1995, p. 11).

No caso dos estudantes, muitos acham que as variáveis representam números

e buscam sempre trabalhar no nível desse referencial. Usiskin (1995) acrescenta que

nem todas as variáveis são números, nem mesmo no escopo da álgebra escolar.

Como exemplo, destaca as variáveis que representam pontos, como na geometria

(variáveis do tipo 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 e 𝐶𝐶), funções, como na análise (variáveis do tipo 𝑓𝑓 e 𝑔𝑔), matrizes

ou vetores, como na álgebra linear (variáveis do tipo 𝐴𝐴 e 𝑣𝑣), ou mesmo as variáveis

que representam símbolos, como o asterisco (*), em referência a uma operação. Este

último exemplo, conforme destaca o autor, é muito utilizado em álgebra superior, e

demonstra que o uso das variáveis não se restringe, apenas, ao uso das letras.

90

Outra questão apontada pelo autor, e relacionada às diferentes formas de

representação das variáveis, se deve ao fato de muitos estudantes (e muitos

professores) associarem as variáveis apenas às letras.

No caso de:

3 + 𝑥𝑥 = 7 e 3 + Δ = 7

Usiskin (1995) destaca que não há problemas, ou seja, esses casos são

considerados coisas da álgebra, entretanto, em situações como:

3 + __ = 7 e 3 + ? = 7

Não há reconhecimento, “[...] embora o traço e o ponto de interrogação sejam,

na medida em que se deseja resolver uma equação, equivalente a 𝑥𝑥 e ao Δ.”

(USISKIN, 1995, p. 11).

Em síntese, Usiskin (1995) ressalta que o conceito de variável é multifacetado,

e que não se pode tentar enquadrá-lo sob a ótica de uma única concepção, visto que

implicaria em uma “[...] supersimplificação que, por sua vez, distorce os objetivos da

álgebra.” (USISKIN, 1995, p. 12).

Após dissertar sobre essas questões fundamentais, que envolvem diferentes

formas de ver, tratar e representar as variáveis, Usiskin (1995) defende a tese de que

há uma intrínseca relação entre as finalidades da álgebra escolar (propostas para a

sala de aula), as diferentes conceitualizações da atividade algébrica e as distintas

formas de utilização das variáveis. Com essa perspectiva, o autor conclui que: “As finalidades da álgebra são determinadas por, ou relacionam-se com, concepções

diferentes da álgebra que correspondem à diferente importância relativa dada aos

diversos usos das variáveis.” (USISKIN, 1995, p. 13).

Ao seguir essa linha de pensamento, Usiskin (1995) define quatro concepções

de educação algébrica que determinam as finalidades da álgebra escolar (álgebra da

escola média).

91

Concepção 1 – A álgebra como aritmética generalizada:

A primeira concepção de educação algébrica definida por Usiskin (1995)

caracteriza a atividade algébrica como uma expressão da generalidade ou

generalizadora de modelos, como diz o autor. Por meio dessa concepção de

educação algébrica é possível descrever matematicamente algumas relações

existentes entre os números, a fim de extrair algumas propriedades, “[...] e as variáveis

são instrumentos utilíssimos nessa descrição.” (USISKIN, 1995, p. 13).

Como exemplo, pode-se generalizar o modelo25:

3 ⋅ 5 = 15 2 ⋅ 5 = 10

1 ⋅ 5 = 5

0 ⋅ 5 = 0

−1 ⋅ 5 = −5

−2 ⋅ 5 = −10

De modo a extrair propriedades como:

−𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑦𝑦

Ou pode-se traduzir alguns problemas em linguagem materna para linguagem

algébrica, como, por exemplo:

• Adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma é 40. Achar o número.

(USISKIN, 1995, p. 14).

Neste último caso, sob a perspectiva da álgebra enquanto generalizadora de

modelos, a reposta seria:

5𝑥𝑥 + 3 = 40

De acordo com Usiskin (1995), essa resposta satisfaz apenas a representação

da relação estabelecida, não respondendo à pergunta: qual é o número que

multiplicado por 5 e adicionado a 3 gera a soma 40?

25 Adaptado de Usiskin (1995).

92

Apesar de não apresentar uma resposta, essa concepção de educação

algébrica auxilia muito na resolução de situações-problema, pois a “[...] descrição

algébrica assemelha-se à descrição numérica; a descrição em língua portuguesa

não.” (USISKIN, 1995, p. 14). É por esse motivo que há uma superioridade da

linguagem algébrica sobre a linguagem materna, visto que sua descrição das relações

existentes entre os números se deve à similaridade entre as sintaxes algébrica e

aritmética (USISKIN, 1995).

Basicamente, dentro dessa concepção de ensino, “[...] as instruções-chave

para o aluno são traduzir e generalizar.” (USISKIN, 1995, p. 13), ou seja,

“Generalizamos relações conhecidas entre números e, assim sendo, não temos

sequer a sensação de incógnitas.“ (USISKIN, 1995, p. 14).

Na atualidade, a maior referência dessa concepção de educação algébrica

pode ser encontrada no estudo dos padrões em figuras e em sequências numéricas,

conforme sugerido na Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo,

apresentada em 2008 (6ª série/ 7º ano). Em reformas curriculares anteriores, como a

que ocorreu em 1986 no Estado de São Paulo, a maior referência dessa concepção

de educação algébrica estava ligada às noções de cálculo literal, buscando justificar,

por exemplo, a soma algébrica de monômios e polinômios, a partir das regras e

propriedades das operações realizadas com números (6ª série/ 7º ano).

Nos PCN – Matemática, essa concepção de educação algébrica é denominada

“Aritmética Generalizada” e o uso que se faz das letras se resume à generalização de

modelos aritméticos (BRASIL, 1998).

Concepção 2 – A álgebra como um estudo de procedimentos para resolver

certos tipos de problemas:

A segunda concepção de educação algébrica definida por Usiskin (1995)

caracteriza a atividade algébrica como o estudo da simbologia e sua manipulação.

Apresenta uma metodologia baseada na aprendizagem de técnicas/algoritmos

tomadas como modelo para a resolução de equações.

93

Tomando como exemplo, o problema anteriormente apresentado:

• Adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma é 40. Achar o número.

(USISKIN, 1995, p. 14).

E sua representação em linguagem algébrica:

5𝑥𝑥 + 3 = 40

Fica constatado que, do ponto de vista da álgebra como generalizadora de

modelos, o problema terminou, entretanto, “[...] dentro da concepção da álgebra como

um estudo de procedimentos, estamos apenas começando.” (USISKIN, 1995, p. 14).

Usiskin (1995) destaca que, apesar da similaridade entres as sintaxes algébrica

e aritmética, muitos estudantes apresentam dificuldades ao resolver problemas desse

tipo, especificamente na passagem da linguagem aritmética para a linguagem

algébrica. Nas palavras do autor:

Enquanto a resolução aritmética (“de cabeça”) [a partir da linguagem materna] consiste em subtrair 3 e dividir por 5, a forma algébrica 5𝑥𝑥 +3 = 40 envolve a multiplicação por 5 e a adição de 3, as operações inversas. Isto é, para armar a equação, devemos raciocinar exatamente da maneira contrária à que empregaríamos para resolver o problema aritmeticamente (USISKIN, 1995, p. 15).

Basicamente, dentro dessa concepção de ensino, “[...] as instruções-chave são

simplificar e resolver.” (USISKIN, 1995, p. 15), ou seja, “[...] simplificamos expressões

de modo a torna-las mais fáceis de entender e usar.“ (USISKIN, 1995, p. 15).

De acordo com Lins e Gimenez (1997), a versão mais sofisticada dessa

concepção de educação algébrica está associada ao uso de balanças de dois pratos

para ensinar algumas técnicas de resolução de equações, como sugerido na Proposta

Curricular de Matemática do Estado de São Paulo, apresentada em 2008 (6ª série/ 7º

ano).

Nos PCN – Matemática, essa concepção de educação algébrica é denominada

“Equações” e as letras são consideradas como incógnitas (BRASIL, 1998). Para

Usiskin (1995), as letras (variáveis) são tratadas como incógnitas ou constantes.

94

Concepção 3 – A álgebra como estudo de relações entre grandezas:

A terceira concepção de educação definida por Usiskin (1995) caracteriza a

atividade algébrica pela exploração das relações entre grandezas. As relações

matemáticas são representadas por letras, cujos referenciais quantitativos variam a

cada observação.

Considerando, por exemplo, a fórmula: 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏ℎ, que generaliza o cálculo da

área de um retângulo qualquer, verifica-se que se trata da relação entre três

grandezas (USISKIN, 1995). Ainda que se possa pensar em uma fórmula como um

tipo especial de generalização entre duas ou mais grandezas, “Fórmulas como 𝐴𝐴 =

𝑏𝑏ℎ transmitem uma sensação diferente de generalizações como 1 = 𝑛𝑛 ⋅ (1/𝑛𝑛) [...]”

(USISKIN, 1995, p. 15).

Segundo Usiskin (1995), o que diferencia esses dois exemplos de

generalizações é o fato de que na fórmula da área de um retângulo não se tem a

sensação de estar resolvendo algo, ou seja, a sensação de estar manipulando

incógnitas. Portanto, “[...] a distinção crucial entre essa concepção e a anterior é que,

neste caso [da fórmula da área de um retângulo], as variáveis variam.” (USISKIN,

1995, p. 15).

Essa evidência pode ser encontrada, de acordo com Usiskin (1995), nas

respostas que muitos estudantes dão à seguinte questão:

• O que ocorre com o valor de 1/𝑥𝑥 quando 𝑥𝑥 se torna cada vez maior? (USISKIN,

1995, p. 15).

No caso em questão, Usiskin (1995) destaca que não se pede para encontrar

o valor de 𝑥𝑥, pois não é preciso resolver nenhuma equação, o que indica que 𝑥𝑥 não é

uma incógnita; não é pedido nenhuma tradução da pergunta e, apesar de existir um

modelo a ser generalizado, “[...] não se trata de um modelo que se pareça com a

aritmética. (Não tem sentido perguntar o que aconteceria com o valor de 1/2 quando

2 se torna cada vez maior.) [...]” (USISKIN, 1995, p. 16).

95

Por se tratar de um modelo fundamentalmente algébrico, Usiskin (1995)

ressalta que muitos educadores na área de Matemática, como Fey e Good, acreditam

que o estudo da álgebra deveria ser iniciado a partir dessa concepção de ensino.

No caso da Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo,

apresentada em 2008, essa concepção de ensino é explorada no estudo de algumas

relações que se estabelecem nas principais fórmulas de diferentes áreas do

conhecimento, como na Química, na Física e na Economia (6ª série/ 7º ano).

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, essa concepção de

educação algébrica é denominada “Funcional” e as letras são consideradas variáveis

que expressam relações e funções. Para Usiskin (1995), as letras são consideradas

um argumento (valores do domínio de uma função) ou um parâmetro (um número do

qual dependem outros números) e apenas no contexto dessa concepção é que

surgem as noções de variáveis independente e dependente (conceito de

interdependência entre duas ou mais grandezas).

Concepção 4 – A álgebra como estudo das estruturas:

A quarta e última concepção de educação algébrica definida por Usiskin (1995)

caracteriza a atividade algébrica como o estudo das propriedades estruturais da

álgebra. Apesar de envolver, no ensino superior, o estudo de grupos, anéis, corpos e

ideais, a álgebra como estudo das estruturas, na escola média, é reconhecida pelas

propriedades operatórias realizadas com números reais e expressões polinomiais

(USISKIN, 1995).

No caso da seguinte instrução:

• Fatorar 3𝑥𝑥2 + 4𝑎𝑎𝑥𝑥 − 132𝑎𝑎2. (USISKIN, 1995, p. 18).

A resposta a essa questão seria:

(3𝑥𝑥 + 22𝑎𝑎) ⋅ (𝑥𝑥 − 6𝑎𝑎)

96

Portanto:

A concepção de variável nesse caso não coincide com nenhuma daquelas discutidas anteriormente. Não se trata de nenhuma função ou relação; a variável não é um argumento. Não há equação alguma a ser resolvida, de modo que a variável não atua como incógnita. Também não há nenhum modelo aritmético a ser generalizado (USISKIN, 1995, p. 18).

Esse exemplo em questão indica que as variáveis, nessa concepção de

educação algébrica, não passam de meros símbolos arbitrários de uma estrutura

estabelecida (USISKIN, 1995), como no caso da identidade trigonométrica:

2 sin2 𝑥𝑥 − 1 = sin4 𝑥𝑥 − cos4 𝑥𝑥

Segundo Usiskin (1995), problemas como esses geram um grande dilema para

os educadores, pois deseja-se que os estudantes tenham sempre em mente os

referenciais quantitativos na hora de manipular as variáveis, entretanto deseja-se,

também, que sejam capazes de operar com as variáveis sem ter que voltar ao nível

desses referenciais.

Mesmo no caso da identidade trigonométrica supracitada, não é esperado, por

exemplo, que os estudantes encontrem o seno e o cosseno de um ângulo específico,

quando o professor solicita a dedução da referida identidade, ou seja, os professores

desejam, simplesmente, que os estudantes manipulem sin 𝑥𝑥 e cos 𝑥𝑥 baseando-se em

propriedades que são tão abstratas quanto a identidade que se tenciona deduzir

(USISKIN, 1995).

Portanto, na concepção da álgebra como estudo das estruturas, confia-se na

manipulação das variáveis de forma puramente abstrata (manipulação às cegas),

tomando como base suas propriedades estruturais, sem se preocupar com os

referenciais quantitativos (USISKIN, 1995).

Na Proposta Curricular do Estado de São Paulo implementada em 1986, por

exemplo, recorreu-se a essa concepção de ensino na 6ª série/ 7º ano, por conta da

limitação de contextos que fossem capazes de explicar como ocorre a maioria dos

cálculos algébricos, como na divisão de polinômios por monômios, visto que esse era

o foco do ensino da álgebra nessa etapa escolar (6ª série/ 7º ano).

97

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, essa concepção de

educação algébrica é denominada “Estrutural” e as letras são consideradas como

símbolos puramente abstratos. Para Usiskin (1995, p. 18), as variáveis são

consideradas como objetos arbitrários em estruturas algébricas estabelecidas por

diferentes propriedades, evidenciando que “Essa é a visão da variável na álgebra

abstrata.”.

3.1.3. Algumas Considerações sobre a Educação Algébrica

Essas diferentes concepções de educação algébrica, definidas por Usiskin

(1995), são importantes para se compreender como os estudantes são levados a

construir ideias algébricas com significado, partindo de questões como: quais

estratégias os professores de Matemática adotam ao proporcionar aos estudantes as

primeiras experiências com a álgebra? Como costumam engajar os estudantes em

atividade algébrica e o que eles (professores) entendem por atividade algébrica?

Quais conceitualizações orientam o seu trabalho.

Aliás, o que vem a ser “construir ideias algébricas com significado”, um tema

tão central ao ensino da álgebra?

De acordo com Lins e Gimenez (1997), o termo “significado” faz referência a

um conjunto de coisas que se pode dizer, efetivamente, a respeito de um objeto no

interior de uma atividade. Nessa perspectiva, construir ideias algébricas com

significado implica na formulação de um conjunto de afirmações que possam

expressar, no interior da atividade algébrica, as principais ideias da álgebra. Por

consequência, atividade algébrica consiste no processo de produção de significados

para a álgebra (LINS; GIMENEZ, 1997).

3.2. A Formação do Professor e o Conhecimento Profissional

Nas últimas décadas, a formação continuada de professores da educação

básica tem sido uma preocupação manifestada tanto por vários pesquisadores

nacionais e internacionais, como por diversos órgãos públicos. Os investimentos feitos

nessa área têm como propósito principal propiciar a melhoria do ensino básico, uma

98

vez que os estudantes de hoje necessitam cada vez mais estar preparados para atuar

na sociedade caracterizada pela tecnologia digital da informação e da comunicação.

Pesquisadores como Freire (1987); Saviani (1986); Melo (2000), entre outros,

apontam a formação do professor como prioridade, visto que sua atuação, dentre

muitos fatores, influencia diretamente a qualidade da educação básica, devendo ser

contemplada desde seu ingresso na universidade, como continuamente ao longo de

sua prática profissional.

Para Mello (2000, p. 101-102):

A educação escolar é uma política pública endereçada à constituição da cidadania. Quando forma médicos contribui para o sistema de saúde da mesma forma que a preparação de cineastas é a contribuição da educação para o desenvolvimento da arte cinematográfica. Quando se trata de professores, a educação está cuidando do desenvolvimento dela mesma, para que possa continuar contribuindo para a medicina, a engenharia, as artes e todas as atividades que exigem preparação escolar formal, além de sua finalidade de constituição de cidadania.

Nessa perspectiva, para que a educação se desenvolva a partir da formação

do professor, de forma a continuar contribuindo para as diferentes áreas sociais e para

a constituição da cidadania, é preciso entender o que o professor necessita saber para

ensinar, de maneira que o estudante aprenda no sentido de adquirir autonomia para

novos aprendizados.

Nesse sentido, Shulman (1986) discute a base do conhecimento profissional

do professor, dentre as quais, destacam-se:

O conhecimento do conteúdo específico:

Para Shulman (1986), esse tipo de conhecimento faz referência às

compreensões que o professor tem acerca da matéria que leciona, relacionadas a

conceitos, fatos históricos, procedimentos e processos, além de como se constrói

conhecimento em sua área específica de conteúdo. Engloba tanto os modelos

utilizados para explicar o conteúdo específico de uma área de conhecimento

(conhecimento substantivo) como os padrões que determinam como esses

conhecimentos são construídos, introduzidos e aceitos por uma comunidade

disciplinar (conhecimento sintático).

99

O conhecimento pedagógico do conteúdo:

Shulman (1986) afirma que o conhecimento pedagógico do conteúdo expressa

os principais aspectos do conteúdo a serem ensinados, o qual inclui, principalmente,

as representações mais úteis e as analogias mais poderosas. Além disso, inclui as

concepções, pré-concepções e repertórios dos estudantes de diferentes idades, o que

acaba por tornar o ensino de determinado conteúdo mais simples ou mais complexo.

O conhecimento do currículo:

Segundo Shulman (1986), o conhecimento do currículo envolve o domínio que

os professores têm acerca das estruturas curriculares que norteiam o ensino em seus

diferentes níveis. Além disso, envolve conhecimento acerca de uma variedade de

materiais instrucionais elaborados para o desenvolvimento do currículo. Em uma de

suas analogias, o autor compara o conhecimento que o professor deve ter acerca do

currículo com o conhecimento que um médico deve ter acerca dos remédios que

receita: é preciso dominar os conhecimentos que envolvem o currículo para que seja

possível promover o ensino dos alunos, do mesmo modo que o médico deve conhecer

os remédios para que se possa receitá-los aos pacientes.

Para Shulman (1986), esses três conhecimentos representam um repertório

profissional que subjaz à compreensão que o professor necessita ter para promover

a aprendizagem dos alunos, se constituindo em um corpo de conhecimento que pode

ser sistematizado e partilhado, baseando-se no conceito de ensino como profissão,

tendo como fontes primárias:

(1) métodos de estudos em disciplinas de conteúdo, (2) materiais e definições do processo institucionalizado de educação, [...] (3) pesquisas sobre a escolaridade, as organizações sociais, a aprendizagem humana, o ensino e seu desenvolvimento, e outros fenômenos sociais e culturais que afetam o trabalho dos professores, e (4) a sabedoria da prática em si. (SHULMAN, 1987, p. 8, tradução nossa26).

26 (1) scholarship in content disciplines, (2) the material and settings of the institutionalized educational process, [...] (3) research on schooling, social organizations, human learning, teaching and development, and the other social and cultural phenomena that affect what teachers can do, and (4) the wisdom of practice itself.

100

Considerar esses diferentes conhecimentos significa entender que o exercício

da docência, relacionado ao ensino da Matemática, precisa ser pautado em algo

pedagogicamente viável para ser ensinável aos alunos.

Sob o enfoque do ensino enquanto profissão, Ponte (1998, p, 4) também

destaca alguns aspectos necessários ao exercício da docência, tais como:

(a) de ter bons conhecimentos e uma boa relação com a Matemática, (b) de conhecer em profundidade o currículo e ser capaz de recriar de acordo com a sua situação de trabalho, (c) de conhecer o aluno e a aprendizagem, (d) dominar os processos de instrução, os diversos métodos e técnicas, relacionando-os com os objectivos e conteúdos curriculares, (e) conhecer bem o seu contexto de trabalho, nomeadamente a escola e o sistema educativo e (f) conhecer-se a si mesmo como profissional.

Ao considerar esses diferentes saberes, fica evidenciado que a formação do

professor precisa ser vista de forma continua e permanente, visando oportunizar o

desenvolvimento profissional docente, contemplando desde a superação de lacunas

de aprendizagem, até a vivência de situações que permitam o aprofundamento e a

ampliação de novos saberes e conhecimentos.

Nessa perspectiva, e considerando os estudos de André (2002),

historicamente, a formação continuada de professores no Brasil era concebida e

desenvolvida sob a ótica da reciclagem, do treinamento, das oficinas, bem como das

capacitações, dentre outros. Havia uma forte tendência no ensino de

métodos/técnicas como sendo suficiente para os professores desenvolverem suas

práticas em sala de aula.

Com o passar dos anos, esse modelo de formação foi sendo questionado e,

desde o início da década de 90, o significado da formação continuada foi ganhando

nova dimensão. Sob a ótica de Nóvoa (1992), Imbernón (2005), dentre outros

estudiosos desta temática, a formação continuada deve ter como foco o

desenvolvimento profissional do professor. Ou seja, é preciso considerar que:

A formação não se constrói por acumulação (de cursos, de conhecimento ou de técnicas), mas sim, através de um trabalho de reflexibilidade crítica sobre as práticas e de (re) construção permanente de uma identidade pessoal. Por isso é tão importante investir na pessoa e dar um estatuto ao saber da experiência (NÓVOA, 1992, p. 25).

101

Nessa perspectiva, vários autores, tais como: Schon (1992); Zeichner (2008);

Imbernón (2005; 2011); Ponte (1998) e Alarcão (2001) salientam que a formação

voltada para o desenvolvimento profissional do professor precisa considerar o

contexto de sua atuação, a realidade da escola e o desenvolvimento de atitudes

reflexivas sobre a própria prática pedagógica.

Segundo Imbernón (2011, n.p.), “[...] é necessário entender que o aprendizado

se dá com base na reflexão e na resolução de questões diretamente relacionadas à

prática.”. Ao defender um modelo formativo baseado em práticas colaborativas, o

autor acrescenta que os “docentes devem se assumir como protagonistas, com a

consciência de que todos são sujeitos quando se diferenciam, trabalham juntos e

desenvolvem uma identidade profissional.” (IMBERNÓN, 2011, n.p.).

Na perspectiva de Prado (2003, p. 41), a formação contextualizada enfatiza a

atividade prática do professor, aquela que se desenvolve junto com seus alunos na

realidade da sala de aula. Essa situação é fundamental para que “[...] o processo de

formação do professor possa materializar os fundamentos teóricos da reflexão na e

sobre a ação, de modo que o professor compreenda e reconstrua a própria prática.”.

Para Schon (1992), uma abordagem de formação fundamentada na

epistemologia da prática envolve os diferentes níveis de reflexão do professor,

essencialmente aqueles níveis de reflexão que ocorrem durante e após a ação

pedagógica, as quais são denominadas de reflexão-na-ação e reflexão-sobre-ação.

Essas duas ideias sobre prática reflexiva inspiraram, a partir da década de 90, o

desenvolvimento de novas abordagens de formação de professores, visando à

superação de um modelo centrado na racionalidade técnica.

À vista disso, Schon (1992) afirma que a reflexão-na-ação diz respeito aos

processos de pensamentos que ocorrem durante a ação presente do professor. Essa

reflexão acontece no momento em que o professor não encontra respostas para as

situações inesperadas que emergem da ação presente, ou seja, quando a aplicação

de técnicas e métodos conhecidos e consagrados não produz as respostas

esperadas. É neste instante de instabilidade que o professor reflete na ação para

buscar solução, criando novas estratégias (SCHON, 1992).

102

Já a reflexão-sobre-ação, segundo o autor supracitado, ocorre após a ação do

professor. Esse tipo de reflexão requer que o professor se distancie da ação presente

para poder reconstituí-la mentalmente, a partir da descrição sobre aquilo que

aconteceu durante a sua ação desenvolvida com os estudantes.

Na visão de Prado (2003, p. 44):

É o olhar a posteriori sobre a prática e a sua explicitação que propiciam ao professor reconhecer e entender como resolveu os imprevistos ocorridos e quais aspectos devem ou não ser alterados na sua ação. Neste sentido a reflexão sobre a ação permite ao professor tomar consciência dos efeitos das estratégias utilizadas na reformulação de suas ações.

Para Zeichner (2008), a reconstituição da prática (reflexão-sobre-ação) não

deve ser vista como um processo solitário do professor, ou seja, é desejável que os

professores dialoguem e compartilhem reflexões com seus pares. A esse respeito,

Nóvoa enfatiza em entrevista27, que “[...] um bom programa de formação continuada

define-se por processos de partilha, de diálogo profissional, de reflexão coletiva sobre

práticas e realidades escolares”.

Nesse sentido, a formação precisa contemplar os aspectos do dia a dia da

prática do professor, da sua realidade escolar que é singular e, ao serem

compartilhados com outros colegas professores, pode-se criar uma nova situação

coletiva de reflexão sobre as diversas práticas, contribuindo para que o caráter

individualista da atuação docente caia por terra, definitivamente.

Isso significa dar à formação continuada um aspecto mais dinâmico da

aprendizagem do professor na concretização do seu fazer pedagógico, implicando

entender que:

Não se trata de uma formação voltada para uma atuação no futuro, mas sim de uma formação direcionada pelo presente, tendo como pano de fundo a ação imediata do educador. A formação estabelece uma congruência entre o processo vivido pelo educador formando e sua prática profissional (ALMEIDA, 2001, p.121).

27 A entrevista do Prof. Dr. Antonio Nóvoa ocorreu em outubro de 2004, no Centro de Referência em Educação “Mário Covas”, que integra a Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo “Paulo Renato Costa Souza”.

103

Uma das possibilidades para viabilizar esse processo formativo de forma

contínua é considerar a oferta de cursos na modalidade a distância, ou

semipresencial, desenvolvidos por meio de AVEA.

Dentre os vários pesquisadores que estudam a formação de professores na

perspectiva da prática reflexiva, usando os AVEA, destacamos Bellini (1999); Moran

(2002); Valente, Prado e Almeida (2003), além dos pesquisadores da área de

Educação Matemática, tais como, Bairral (2010); Lobo da Costa et al. (2010); Borba

et al. (2007); Miskulin et al. (2009); Richit e Maltempi (2009); Campos et al. (2009),

entre outros, que apontam indicativos desta nova modalidade de curso, como

facilitadores do desenvolvimento profissional do professor.

Essas pesquisas salientam que a educação a distância, sendo desenvolvida na

abordagem interativa, propicia ao professor em formação expressar suas ideias, por

meio da escrita, usando os diversos recursos de comunicação assíncrona e síncrona.

O processo de registro escrito de relatos de experiências desenvolvidas no cotidiano

escolar por parte do professor, a fim de compartilhar com seus pares, favorece a

reflexão-sobre-ação no sentido dado por Schon (1992) e, principalmente, por Zeichner

(2008), que destaca o caráter coletivo da reflexão. Isso significa que a reflexão precisa

ser vista e tratada como prática social e, portanto, é necessário que a reflexão-sobre-

ação ocorra juntamente com outros profissionais (ZEICHNER & LISTON, 1996).

Na modalidade a distância, o tempo e o espaço se organizam de forma

diferente da presencial e essa característica permite intensificar as interações e as

aproximações entre os participantes, potencializando novas formas de ensinar e de

aprender. Os professores em formação podem compartilhar com seus pares, formador

e especialistas seus questionamentos, incertezas e dúvidas, além de conquistas.

Entretanto, Moran (1998) alerta para a importância de se estabelecer, na interação

entre os participantes, uma constante atitude de busca de compreensão do outro e de

si mesmo, de querer comunicar-se, de trocar e de crescer, para que essa modalidade

de curso se constitua numa rede de aprendizagem.

Nesse sentido, a comunicação nos AVEA entre os participantes, como na

ferramenta Fórum de Discussão (comunicação assíncrona), oferece a oportunidade

de trocar ideias sobre temas que podem ser criados durante o desenvolvimento do

104

curso. Nessa ferramenta, as mensagens de cada um dos participantes, baseadas em

suas teorias e experiências pessoais, ficam registradas e visíveis para todos. Segundo

Prado (2003), como se trata de um espaço off-line, as colocações dos participantes

podem ser feitas de maneira mais elaborada, envolvendo momentos de diversas

(re)leituras (mensagens dos colegas) e de (re)escrita. Essas características não são

observadas, por exemplo, na ferramenta Bate-papo (ou Chat), pois como as

conversas são realizadas em tempo real entre os participantes do curso (comunicação

síncrona), as ideias são expressas de forma espontânea, uma vez que a

especificidade da ferramenta exige uma escrita rápida.

Enquanto espaço que busca favorecer a prática social da reflexão, Prado

(2003) afirma que se não houver uma elaboração refletida nas mensagens dos

participantes, o Fórum de Discussão fica empobrecido, restrito a um acúmulo de

contribuições individuais, assemelhando-se, metaforicamente, a uma “colcha de

retalhos”. A autora ressalta que o Fórum de Discussão deve “[...] constituir-se como

um espaço coletivo, oferecendo condições para que cada aluno [participante]

desenvolva novos esquemas de significação.” (PRADO, 2003, p. 83).

Nesse sentido, os professores em formação podem compartilhar com seus

pares, formador e especialistas os conteúdos teóricos e as atividades propostas nos

cursos, incluindo aquelas de caráter contextualizado na atuação docente, com os

estudantes. É nessa interação compartilhada e, ao mesmo tempo com mediação

pedagógica do formador, que os professores em formação podem vivenciar

momentos reflexivos, de modo a reconstruir o conhecimento prático, articulado ao

teórico.

Apesar de todo o potencial reflexivo que a educação a distância pode

proporcionar, no âmbito da formação continuada de professores, os retornos não são

imediatos na melhoria da qualidade da educação básica e nem observáveis, a curto

prazo, nos índices de aprendizagem dos estudantes. Em outras palavras, a

reconstrução da prática e a mudança de cultura requerem tempo.

105

A esse respeito, Imbernón (2011, n.p.) destaca que:

[...] é fundamental levar em conta a necessidade de esperar o tempo suficiente para que as mudanças se concretizem. [...] A transformação na cultura profissional é lenta porque há a necessidade de interiorizar os novos conhecimentos, adaptar-se a eles e viver pessoalmente a experiência de mudança. Afinal, as modificações que acontecem com alguns não necessariamente ajudam outros indivíduos. Ou seja, todas as instituições envolvidas nos processos formativos devem educar e formar sabendo que as mudanças são lentas e que é preciso trabalhar em poucas frentes por vez para fazer bem feito.

Isso implica entender que os processos formativos provocarão mudanças nas

atitudes e condutas dos professores, por meio da reflexão individual e coletiva, a longo

prazo.

106

CAPÍTULO 4 – Aspectos Metodológicos

Este capítulo trata das escolhas metodológicas que norteiam o

desenvolvimento desta investigação. Apresenta a natureza da pesquisa e as técnicas

para coleta e análise de dados.

4.1. Natureza da Pesquisa

Esta investigação se caracteriza como qualitativa, por adotar a pesquisa

documental como técnica para a coleta de dados. Segundo Caulley (1981 apud

LUDKE; ANDRÉ, 1986) a busca por informações factuais em documentos, tendo

como referência questões ou pressupostos iniciais, caracteriza a pesquisa

documental. Essa abordagem metodológica, também conhecida como análise

documental, se utiliza, fundamentalmente, de documentos que não receberam

nenhum tipo de tratamento (GIL, 2008).

Phillips (1974 apud LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 38) considera como documentos

“[...] quaisquer materiais escritos que possam ser usados como fonte de informação

sobre o comportamento humano.”. Na perspectiva de Gil (2008, p. 147), para fins de

pesquisa científica, “[...] são considerados documentos não apenas os escritos

utilizados para esclarecer determinada coisa, mas qualquer objeto que possa

contribuir para a investigação de determinado fato ou fenômeno.”.

Uma das vantagens do uso de fontes documentais, de acordo com Gil (2008),

é a possibilidade de investigar processos de mudança social e cultural. Na opinião do

autor:

Todas as sociedades estão continuamente mudando. Mudam as estruturas e as formas de relacionamento social, bem como a própria cultura da sociedade. Para captar os processos de mudança, não basta, portanto, observar as pessoas ou interrogá-las acerca de seu comportamento. Nesse sentido é que as fontes documentais tornam-se importantes para detectar mudanças na população, na estrutura social, nas atitudes e valores sociais etc. (GIL, 2008, p. 154).

Ludke e André (1986) afirmam que os documentos selecionados na pesquisa

documental têm características das mais variadas e a primeira decisão que deve ser

107

tomada pelo pesquisador diz respeito a sua caracterização, que pode ser do tipo oficial

(decretos e resoluções), do tipo técnico (relatórios e planejamentos), do tipo pessoal

(cartas e diários), do tipo instrucional (roteiros e filmes) e até do tipo escolar (provas e

cadernos de alunos). De acordo com as autoras supracitadas, após a etapa de

caracterização dos documentos selecionados, o próximo passo prevê a análise

propriamente dita, no qual recorre-se, geralmente, à metodologia de análise de

conteúdo.

Para Gil (2008), a metodologia de análise de conteúdo, ou simplesmente

análise de conteúdo, se desenvolveu a partir da necessidade de quantificar os

materiais produzidos pelos meios de comunicação em massa. Na perspectiva de

Bardin (1977), a análise de conteúdo pode ser definida como:

Um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter, por procedimentos, sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens, indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens (BARDIN, 1977, p. 42).

Para a autora, as fases que compõem a análise de conteúdo se organizam em

torno de três polos cronológicos, representadas na Figura 9.

Figura 9 – Diferentes fases da análise de conteúdo

Fonte: Adaptado de Bardin (1977).

A pré-análise representa a fase de organização dos materiais, na qual se

estrutura o plano de análise. Usualmente, esta fase é caracterizada pela definição dos

documentos que serão utilizados no plano de análise, pela formulação de

108

pressupostos e de objetivos que nortearão o plano de análise e pela elaboração de

indicadores que subsidiem a interpretação dos dados.

A fase de exploração do material se constitui em gerenciar sistematicamente

as escolhas realizadas na fase anterior (pré-análise). Organiza-se, essencialmente,

em torno das tarefas de codificação28, abarcando decisões sobre à unidade de análise,

sobre a regra de enumeração e sobre a categorização.

No tratamento dos resultados, inferência e interpretação busca-se validar e

apresentar significados aos dados analisados. Os resultados são apresentados

estatisticamente (simples ou complexa) em quadros, gráficos, diagramas e figuras a

fim de evidenciar as inferências realizadas a partir da análise. As inferências podem

estar embasadas nos objetivos previstos na investigação ou em descobertas

inesperadas.

Como as reflexões29 pessoais dos professores de Matemática representam

uma fonte documental, visto que se encontram documentadas no AVEA da EFAP,

recorreu-se, neste estudo, à análise de conteúdo como técnica de abordagem de

dados qualitativos, seguindo os pressupostos metodológicos definidos por Bardin

(1977).

4.2. Procedimentos de Coleta e de Análise dos Dados

O universo de documentos (tipo de documento utilizado na análise) que

compõe esta investigação é constituído por registros textuais, denominados aqui

como narrativas. Essas narrativas foram elaboradas pelos professores, na realização

da atividade Fórum de Discussão do curso Currículo e Prática Docente – Matemática

– 2012, durante o desenvolvimento do Tema 1 – O uso de letras em Matemática:

regularidades numéricas e fórmulas, inserido no Módulo 6 – Álgebra I: do uso de letras

às equações.

28 “A codificação é o processo pelo qual os dados brutos são transformados sistematicamente e agregados em unidades, as quais permitem uma descrição exacta das características pertinentes do conteúdo” (HOLSTI, 1969 apud BARDIN, 1977, p. 103-104). 29 Reflexões que tratam das diferentes propostas para introdução do uso de letras na Matemática, visando levar os estudantes a construírem ideias algébricas com significado.

109

Esse tipo de documento (narrativas) é caracterizado como sendo do gênero

pessoal, pois descreve as reflexões pessoais dos professores de Matemática acerca

de suas experiências profissionais. A escolha desse universo de documentos não

ocorreu de forma aleatória, “[...] há geralmente alguns propósitos, idéias, ou hipóteses

guiando a sua seleção.” (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 40). Desse modo, a escolha da

fonte documental teve como guia as questões e objetivos que norteiam esta

investigação.

Após a seleção e caracterização dos documentos, os processos de coleta e

análise dos dados se desenvolveram nas três fases propostas por Bardin (1977).

Fase 1 – Pré-Análise:

Na fase de Pré-Análise, os documentos selecionados e caracterizados foram

organizados para serem submetidos ao plano de análise (fase de Exploração do

Material). Essa fase teve início com o dimensionamento do corpus30 dos documentos

(mensurar a extensão do conjunto de narrativas que deveriam ser submetidas ao

plano de análise, tendo em vista o seu universo), passando pela definição dos

pressupostos e dos objetivos que nortearam a análise, finalizando com a definição

dos índices e dos indicadores utilizados para codificar as narrativas (tratar os dados

coletados).

Segundo Bardin (1977), para a constituição do corpus dos documentos,

diferentes escolhas, seleções e regras devem ser consideradas pelo analista de

conteúdo. Neste estudo, foi considerada a regra da homogeneidade31, visando

selecionar as narrativas que realmente exploraram o tema central desta investigação,

já que nem todos os professores se posicionaram acerca das diferentes estratégias

para introdução do uso de letas na Matemática, ao interagirem no Fórum de

Discussão. Para realização dessa tarefa, foi considerado uma leitura flutuante32 das

narrativas extraídas do AVEA da EFAP.

30 “O corpus é o conjunto dos documentos tidos em conta para serem submetidos aos procedimentos analíticos.” (BARDIN, 1977, p. 96). 31 “Regra da homogeneidade: os documentos retidos devem ser homogéneos, quer dizer, devem obedecer a critérios precisos de escolha e não apresentar demasiada singularidade fora destes critérios de escolha.” (BARDIN, 1977, p. 98). 32 Primeiro contato com os documentos por meio de uma leitura rápida a fim de organizá-los (GIL, 2008).

110

A definição dos pressupostos e objetivos de análise teve como base o quadro

teórico que serve de suporte à pesquisa (procedimentos fechados). Bardin (1977, p.

99) se refere a esse procedimento da seguinte forma:

Pôr em funcionamento um procedimento fechado, é começar-se a partir de um quadro empírico ou teórico de análise de certos estados psicológicos, psico-sociológicos ou outros, que se tentam particularizar, ou então a propósito dos quais se formularam hipóteses ou se levantaram questões. Reúnem-se textos [...] Depois observam-se esses textos através de um determinado quadro teórico [...] quadro esse pré-estabelecido e que não pode ser modificado.

Portanto, os pressupostos e os objetivos que nortearam a análise das

narrativas foram definidos a priori, a partir do referencial teórico que trata das

diferentes concepções de educação algébrica que norteiam o ensino da álgebra

escolar (USISKIN, 1995).

Os índices e indicadores utilizados no plano de análise atuaram no sentido de

explorar as unidades de significação, em função dos pressupostos e dos objetivos que

nortearam a análise dos dados coletados. Dessa forma, foram selecionados índices

que buscaram revelar a presença (ou ausência) de menções explícitas sobre as

diferentes concepções de educação algébrica definidas por Usiskin (1995).

Como trata-se de uma abordagem não quantitativa, foram adotados

indicadores não frequenciais, tendo como base a presença ou ausência dos índices

selecionados. Os indicadores não frequenciais atuaram no sentido de determinar as

operações a serem realizadas, buscando orientar as operações de recorte das

narrativas em unidades comparáveis de categorização, de forma a subsidiar a análise

do conteúdo e as operações que trataram dos modos de codificação para o registro

dos dados (BARDIN, 1977).

A fase da Pré-Análise foi finalizada com um tratamento informático, por meio

de planilhas eletrônicas, visando à organização do material a ser explorado.

Fase 2 – Exploração do Material:

Na fase de Exploração do Material, o conteúdo das narrativas foi codificado

(tratado), com o objetivo de administrar sistematicamente as decisões tomadas na

fase anterior (Pré-Análise). Esta fase considerou, principalmente, atingir uma

111

representação do conteúdo, suscetível de esclarecer as principais características das

narrativas, ou seja, características que se relacionam com as diferentes concepções

de educação algébrica que norteiam o ensino da álgebra escolar (USISKIN, 1995).

Para tanto, foi preciso definir o tipo de unidade de análise a ser codificada, bem como

as categorias de análise.

Para definição da unidade de análise, também conhecida como unidade de

significação, foram consideradas as reflexões de Ludke e André (1986), que se

referem a essa unidade, da seguinte forma:

Holsti (196933) apresenta dois tipos de unidade: unidade de registro e unidade de contexto. No primeiro caso, diz ele, o pesquisador pode selecionar segmentos específicos do conteúdo para fazer a análise, determinando, por exemplo, a frequência com que aparece no texto uma palavra, um tópico, um tema, uma expressão, uma personagem ou um determinado item. Outras vezes pode ser mais importante explorar o contexto em que uma determinada unidade ocorre, e não apenas a sua frequência (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 42).

Apesar da distinção entre os dois tipos de unidade de significação, há uma

relação entre elas que pode ser entendida nas palavras de Bardin (1977):

A unidade de contexto serve de unidade de compreensão para codificar a unidade de registo e corresponde ao segmento da mensagem, cujas dimensões (superiores às da unidade de registo) são óptimas para que se possa compreender a significação exacta da unidade de registo (BARDIN, 1977, p. 107).

A consideração dessas reflexões implicou na escolha do tema34 como unidade

de significação. Para Bardin (1977, p. 105), realizar uma análise temática, “[...]

consiste em descobrir os ‘núcleos de sentido’ que compõem a comunicação e cuja

presença, ou frequência de aparição podem significar alguma coisa para o objectivo

analítico escolhido.”.

Com base nessa perspectiva, foram selecionados segmentos de conteúdo

relevantes e significativos, do qual pudessem emergir, naturalmente, os temas que se

relacionam com a teoria que serve de guia à análise, não importando a frequência

33 HOLSTI, O.R. Content Analysis for the Social Sciences and Humanities. Reading, Mass., Addison-Wesley, 1969. 34 Para Bardin (1977, p. 105), Berelson definia o tema como: “Uma afirmação acerca de um assunto. Quer dizer, uma frase, ou uma frase composta, habitualmente um resumo ou uma frase condensada, por influência da qual pode ser afectado um vasto conjunto de formulações singulares.”.

112

com que um determinado professor fez referência à determinada concepção de

educação algébrica (unidade temática), mas a presença de uma ou mais concepções

de educação algébrica em sua verbalização, definindo quais são as suas estratégias

ou quais são as suas preferências ao ensinar álgebra (unidade de contexto).

Como resultado desse trabalho, ficou evidenciado, por exaustividade, que as

narrativas inseridas no Fórum de Discussão de cada turma apresentaram uma grande

reincidência de informações (saturação dos dados), indicando, a cada nova leitura,

que não havia uma nova contribuição para a pesquisa.

Portanto, para a análise de conteúdo das comunicações dos professores, foram

consideradas as narrativas inseridas na turma 26, sobretudo pela maior contribuição

ao tópico central do Fórum de Discussão, que abordou uma temática relacionada às

diferentes estratégias para introdução do uso de letras na Matemática, na 6ª série (7º

ano) do Ensino Fundamental. Dos trinta e cinco professores inscritos na turma 26,

vinte e um interagiram no Fórum de Discussão.

Após a definição do corpus (conjunto de narrativas submetidas ao plano de

análise), dos pressupostos e dos objetivos de análise, dos índices e dos indicadores

para a codificação dos dados, além das unidades de significação (unidades de registro

e de contexto), foram submetidas ao plano de análise as narrativas de treze

professores, em razão de atenderem à regra da homogeneidade, não apresentando

demasiada singularidade fora do critério de escolha: discutir sobre as diferentes

estratégias para introdução do uso de letras na Matemática.

Para a definição do sistema de categorias, foram considerados, especialmente,

alguns princípios e práticas orientadoras da análise qualitativa, definidas por Tesch

(1990 apud GIL, 2008). A escolha desse sistema foi definida a priori, visto que a

organização dos dados selecionados decorreu dos pressupostos, dos objetivos de

análise e do quadro teórico. Apesar dessa definição prévia, sua escolha foi provisória

até que pudessem abarcar as unidades de significação a serem obtidas a posteriori,

uma vez que o sistema de categorias pode derivar dos próprios dados (TESCH, 1990

apud GIL, 2008).

A ponderação sobre as unidades de significação e sobre as operações de

recorte das narrativas em unidades relevantes, significativas e comparáveis

113

evidenciou que o sistema de categorias poderia derivar em até 15 agrupamentos, a

partir dos próprios dados, que representam os diferentes níveis de conhecimento dos

professores em relação a quatro concepções de educação algébrica que norteiam o

ensino da álgebra escolar, conforme destacado na Figura 10.

Figura 10 – Representação dos níveis de conhecimento dos professores em relação às quatro concepções de educação algébrica que norteiam o ensino da álgebra escolar

Legenda 1. Aritmética Generalizada.

2. Equações.

3. Funcional.

4. Estrutural.

Fonte: Elaborado pelo autor.

A referenciação às diferentes concepções de educação algébrica definidas por

Usiskin (1995), realizada durante a análise das narrativas, levou em conta a nomeação

apresentada nos PCN – Matemática (BRASIL, 1998), respeitando-se a seguinte

relação:

• Concepção 1 – Aritmética Generalizada (BRASIL, 1998): A álgebra como

aritmética generalizada (USISKIN, 1995).

• Concepção 2 – Equações (BRASIL, 1998): A álgebra como um estudo de

procedimentos para resolver certos tipos de problemas (USISKIN, 1995).

• Concepção 3 – Funcional (BRASIL, 1998): A álgebra como estudo de relações

entre grandezas (USISKIN, 1995).

• Concepção 4 – Estrutural (BRASIL, 1998): A álgebra como estudo das

estruturas (USISKIN, 1995).

114

Os 15 setores delimitados na Figura 9 representam o número máximo de

agrupamentos entre as quatro concepções de educação algébrica que podem

embasar a prática docente dos professores de Matemática ao buscarem dar sentido

e significado para o uso de letras na álgebra escolar. Em outras palavras:

• Os setores 1; 2; 3 e 4 representam o conhecimento dos professores que fizeram

menção a uma única concepção de educação algébrica ao buscarem dar

sentido e significado para o uso de letras no estudo da álgebra escolar.

• Os setores 12; 13; 14; 23; 24 e 34 representam o conhecimento dos professores

que fizeram menção a duas concepções de educação algébrica ao buscarem

dar sentido e significado para o uso de letras no estudo da álgebra escolar.

• Os setores 123; 124; 134 e 234 representam o conhecimento dos professores

que fizeram menção a três concepções de educação algébrica ao buscarem

dar sentido e significado para o uso de letras no estudo da álgebra escolar.

• O setor 1234 representa o conhecimento dos professores que fizeram menção

a quatro concepções de educação algébrica ao buscarem dar sentido e

significado para o uso de letras no estudo da álgebra escolar.

Fase 3 – Tratamento dos Resultados, Inferência e Interpretação:

Na fase de tratamento dos dados, inferência e interpretação, buscou-se tornar

válidos e significativos os resultados obtidos, pondo em relevo, por meio de quadros

analíticos, as principais evidências que emergiram durante a análise.

115

CAPÍTULO 5 – Análise dos Dados e Resultados

Neste capítulo é analisado o conteúdo das narrativas coletadas do Fórum de

Discussão, com foco no sistema de categorias e sua derivação, definidos a priori.

Discute como os professores de Matemática engajam seus estudantes em atividade

algébrica na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental e quais concepções de

educação algébrica norteiam esse trabalho, tendo em vista a questão norteadora e os

objetivos de pesquisa. Finaliza apresentando os resultados obtidos, pondo em relevo,

por meio de quadros analíticos, as principais evidências que emergiram durante a

análise.

5.1. Análise de Conteúdo das Narrativas

Inicialmente, foram selecionadas as narrativas de treze professores da turma

26, extraídas do Fórum de Discussão do curso Currículo e Prática Docente –

Matemática – 2012, em razão de terem discutido, efetivamente, sobre as diferentes

estratégias para a introdução do uso de letras na Matemática, tendo como referência

a Proposta Curricular de Matemática apresentada em 2008 e o Caderno do Professor

da 6ª série (7º ano), volume 4.

Para a análise das narrativas, os nomes dos professores foram codificados,

objetivando-se preservar o anonimato. A associação aos códigos numéricos que

representam cada um dos 13 professores foi realizada de forma aleatória, com o

auxílio de planilhas eletrônicas.

Com relação à proposição35 inicial do Fórum de Discussão, “Tema 1: O uso de

letras em Matemática: regularidades numéricas e fórmulas”, inserido no “Módulo 6 –

Álgebra I: do uso de letras às equações”, os 13 professores selecionados realizaram

as seguintes considerações.

35 "Atualmente existem professores que têm preferência por iniciar o estudo da Álgebra de uma maneira formal, utilizando operações envolvendo letras. [...] Posicione-se em relação às diferentes abordagens, justificando sua posição, e argumente com os colegas que apresentaram posições diferentes da sua." (SÃO PAULO, 2012c, n.p.).

116

Professor 01:

Ao considerar a proposição inicial do Fórum, o Professor 01 fez as seguintes

considerações.

“Às vezes, quando trocamos o uso da letra na explicação das sequências algébricas por outra coisa (um objeto, um desenho etc.), o aluno começa a abstrair a ideia de forma mais consistente. O uso de jogos matemáticos procura facilitar a compreensão do aluno neste sentido e, ao mesmo tempo, entusiasmá-lo para que esta compreensão possa levá-lo à generalização que o pensamento algébrico quer transmitir.” (Trecho extraído do Professor 01; postado em 18/10/2012 às 23:06).

Nessa narrativa, o Professor 01 iniciou sua verbalização fazendo referência ao

trabalho com sequências algébricas, afirmando que os estudantes compreendem com

mais facilidade a linguagem algébrica quando se trocam as letras por objetos. A esse

respeito, Usiskin (1995) destaca que as variáveis podem ser representadas por

diferentes símbolos, e que estratégias como: 3 + __ = 7 e 3 + ? = 7 são válidas e

consideradas “coisas” da álgebra. As considerações do Professor 01 vão ao encontro

dessas ideias.

Ao ter considerado que o trabalho com jogos matemáticos pode contribuir, de

forma significativa, para o aprendizado dos estudantes, referente à realização de

generalizações, utilizando, por exemplo, a linguagem escrita e/ou a linguagem

simbólica da Matemática, a sugestão do Professor 01 vai ao encontro do que é

sugerido na Proposta Curricular de 2008. No Caderno do Professor da 6ª série (7º

ano), volume 4, por exemplo, os comentários e recomendações pedagógicas sobre a

avaliação da aprendizagem consideram o uso de jogos em equipes, a partir da

descoberta de fórmulas recursivas e não recursivas em sequências de figuras e em

sequências numéricas (SÃO PAULO, 2009a).

Em outra participação no Fórum de Discussão, o Professor 01 considerou que:

“Para que os alunos interpretem a linguagem simbólica na Álgebra, é necessário que compreendam primeiro as generalizações possíveis em cada situação para, a partir daí, interpretar e utilizar determinada linguagem ou simbologia própria da Álgebra. Isto porque que podem [alunos] explicar a estrutura de um cálculo algébrico sem utilizar nenhum tipo de linguagem própria da Álgebra, ou seja, explicar apenas descritivamente, por meio de frases ou textos que ele [aluno] possa produzir para explicar algum tipo de cálculo. Assim, fica mais fácil estabelecer as relações entre as duas coisas: simbologia algébrica e generalização algébrica.” (Trecho extraído do Professor 01; postado em 22/10/2012 às 20:57).

117

Nessa narrativa, o Professor 01 iniciou sua verbalização destacando que o

simbolismo algébrico, expresso pelo conceito multifacetado das variáveis, só poderá

ser compreendido pelos estudantes se primeiramente for realizado um trabalho com

as generalizações sem o uso de letras (“linguagem ou simbologia própria da álgebra”),

e sim com o uso da linguagem escrita. Essa intenção é confirmada no seguinte trecho:

“Isto porque que podem [alunos] explicar a estrutura de um cálculo algébrico sem utilizar nenhum tipo de linguagem própria da Álgebra, ou seja, explicar apenas descritivamente, por meio de frases ou textos que ele [aluno] possa produzir para explicar algum tipo de cálculo.” (Trecho extraído do Professor 01; postado em 22/10/2012 às 20:57).

Essa intenção também é verificada na Proposta Curricular de 2008,

especificamente no Caderno do Professor da 6ª série (7º ano), volume 4, no qual é

sugerido que seja considerado, primeiramente, um trabalho com o uso da linguagem

escrita ou de recursos aritméticos na identificação de regularidades em sequências

figuradas e numéricas (SÃO PAULO, 2009a).

Apesar de o Professor 01 não ter apresentado detalhes sobre como realizar um

trabalho com as generalizações, como por exemplo, explorando fórmulas

relacionadas a diferentes contextos e/ou identificando fórmulas recursivas na

representação de regularidades, foi destacada a importância de se valorizar a

linguagem escrita, quando se busca desenvolver nos estudantes a capacidade de

pensar algebricamente, antes de uma abordagem que privilegie o simbolismo

algébrico, seja generalizando padrões aritméticos ou realizando cálculos algébricos.

Em suma, ao realizar suas considerações, o Professor 01 apresentou uma

preocupação com a utilização do simbolismo algébrico sem o estabelecimento de um

ambiente favorável e rico em significados para o uso de letras na Matemática. Essa

intenção é confirmada no trecho final de sua verbalização, quando concluiu que a

valorização da linguagem escrita no trabalho com as generalizações pode auxiliar os

estudantes na compreensão do papel da simbologia algébrica.

“Assim, fica mais fácil estabelecer as relações entre as duas coisas: simbologia algébrica e generalização algébrica.” (Professor 01; 22/10/2012 às 20:57).

Com base nessas considerações, fica evidenciado que a proposta de

introdução ao uso de letras na Matemática, apresentada pelo Professor 01, está

118

embasada na concepção “Aritmética Generalizada”, principalmente pela referência às

atividades que envolvem a realização de generalizações por meio da linguagem

escrita.

Professor 02:


considerações.

“A álgebra para o aprendizado dos alunos é de extrema importância, uma vez que conhecendo as generalizações e os padrões quando existentes, confirmam de fato que o aluno dominou o conteúdo” (Trecho extraído do Professor 02; postado em 13/10/2012 às 15:28).

Nessa narrativa, o Professor 02 ressaltou a importância da álgebra para o

aprendizado dos estudantes ao fazer referência ao reconhecimento de padrões, com

ênfase em sua generalização. Apesar de não ter apresentado detalhes sobre suas

estratégias de ensino, como por exemplo, a representação de regularidades por meio

da linguagem simbólica da Matemática, a partir do reconhecimento de padrões em

sucessões numéricas e/ou em representações geométricas, o Professor 02 destacou

que o conhecimento sobre as generalizações de determinados padrões representa o

domínio dos conceitos que envolvem essa atividade algébrica.

Nos PCN – Matemática é destacado que os estudantes desenvolvem de forma

bastante significativa a capacidade de pensar abstratamente se for considerado um

trabalho que proporcione a experienciação de diferentes situações envolvendo noções

algébricas, de forma articulada à aritmética, denominado pré-álgebra (BRASIL, 1998).

Nesse sentido, proporcionar experiências a partir da investigação de padrões em

sucessões numéricas e em representações geométricas, buscando identificar suas

estruturas algébricas por meio da linguagem simbólica da Matemática (identificação e

generalização do padrão encontrado), favorece o domínio dos conceitos algébricos

que envolvem essa atividade (BRASIL, 1998). As ideias do Professor 02 vão ao

encontro dessa afirmação.

119

Em outra participação no Fórum de Discussão, o Professor 02 destacou que:

“Os exemplos citados foram simples, porém de fundamental importância para que o aluno consiga assimilar o que vem a ser uma sequência, e que quando segue um padrão ela poderá receber nomes específicos, e perceber que nem toda sequencia possui padronização.” (Trecho extraído do Professor 02; postado em 13/10/2012 às 15:52).

Nessa narrativa, ao fazer referência ao conteúdo do Tema 1, que discutiu uma

proposta de introdução ao uso de letras na Matemática a partir da exploração de

regularidades em sequências de figuras, o Professor 02 concordou com o que é

sugerido no Caderno do Professor da 6ª série (7º ano), volume 4, principalmente

quando destacou que os exemplos apresentados são de fundamental importância

para o aprendizado dos estudantes, em relação ao que vem a ser uma sequência (de

figuras ou numérica) e sua possível generalização (“padronização”).

A partir dessas considerações fica evidenciado que a proposta de introdução

ao uso de letras na Matemática, apresentada pelo Professor 02, está embasada na

concepção “Aritmética Generalizada”, principalmente pela referência às atividades

que exploram a descoberta de padrões e regularidades e sua posterior representação

na forma algébrica (generalização).

Professor 03:


considerações.

“Uma maneira válida para a introdução do conhecimento algébrico é, justamente a partir das sequências numéricas onde devemos começar com regularidades onde envolvam primeiramente as operações de soma e subtração, posteriormente passar para as operações mais complexas que é a multiplicação e a divisão. Assim, entendido a ideia de [...] sequências numéricas, fazendo com que eles [alunos] entendam o conceito do porquê das letras no lugar de números, o meu próximo passo é usar problemas, que envolvam sucessor, antecessor, assim, procuro facilitar a visão do aluno para o assunto.” (Trecho extraído do Professor 03; postado em 16/10/2012 17:10).

Nessa narrativa, o Professor 03 ressaltou a validade do trabalho que visa

explorar o reconhecimento de regularidades em sequências numéricas, ao buscar dar

sentido e significado ao uso de letras na Matemática. Entretanto, orientou que esse

120

trabalho deve ocorrer de forma gradativa, partindo das operações mais simples

(adição e subtração) para as mais complexas (multiplicação e divisão).

Como um dos objetivos centrais dos processos de ensino e aprendizagem da

álgebra escolar é generalizar regularidades (SÃO PAULO, 2009a), provavelmente o

Professor 03 quis comunicar que no trabalho com a representação de padrões

identificados em sequências numéricas (generalização), independentemente da

linguagem adotada (escrita, aritmética ou algébrica), é preciso valorizar, inicialmente,

a adição e a subtração, para, posteriormente, serem exploradas a multiplicação e a

divisão nas relações que se estabelecem a cada etapa de observação do padrão em

uma sequência.

Após esse trabalho, que busca justificar o uso de letras na Matemática sem a

preocupação explícita de achar o valor da variável no modelo generalizado, o

Professor 03 afirmou que o próximo passo é trabalhar com problemas envolvendo a

transposição da linguagem escrita para a linguagem algébrica (e vice-versa), já que

fez referências aos termos sucessor (𝑥𝑥 + 1) e antecessor (𝑥𝑥 − 1), comumente

utilizados em uma linha de resolução que considera uma equação como uma

pergunta, em língua materna.

Na Proposta Curricular de 2008, o trabalho com a tradução da linguagem

matemática para a linguagem materna busca desenvolver a capacidade de resolução

de uma equação por meio do pensamento lógico, “[...] sustentado pelo conhecimento

aritmético adquirido nas séries anteriores.” (SÃO PAULO, 2009a, p. 30). Além disso,

busca favorecer uma percepção mais objetiva sobre a equação e a familiarização com

a notação e a linguagem utilizada durante o seu estudo.

Após sugerir a realização de um trabalho que visa explorar a investigação de

regularidades e a “tradução” da linguagem algébrica para a linguagem materna (e

vice-versa), o Professor 03 fez referências a uma outra linha de resolução de

equações, que considera o uso de diferentes símbolos para representar um valor

desconhecido.

121

“[...] uma das formas mais simples é começar o trabalho com equações fáceis, envolvendo adição e subtração, depois passar para outras operações, onde os alunos encontraram muito mais dificuldade. Se parar para fazer eles [alunos] refletirem, eles [alunos] começaram a ver álgebra na segunda série, onde eles [alunos] teriam que encontrar um valor desconhecido representado por um quadradinho nas operações. Apenas mudou de quadradinho para letra. Um procedimento que acho de extrema importância é analisar o resultado encontrado, é preciso que o aluno seja crítico, quanto resolver uma equação, ver se o resultado é possível e quando não for, voltar a equação e procurar descobrir onde está errando.” (Trecho extraído do Professor 03; postado em 16/10/2012 17:19).

Nessa narrativa, o Professor 03 reiterou que, para realizar um trabalho com

equações, é preciso privilegiar, inicialmente, as operações da adição e da subtração

(e, portanto, mais fáceis), para, posteriormente, explorar as operações da

multiplicação e da divisão (e, portanto, mais difíceis), afirmando que os estudantes

têm mais dificuldades em operar nesse último domínio. Além disso, fez uma reflexão

acerca do trabalho que é realizado com os estudantes a partir da 2ª série (3º ano) do

Ensino Fundamental, afirmando que as formas de representação dos valores

desconhecidos mudaram (de quadradinhos para letras), mas o significado simbólico

não (representar quantidades desconhecidas).

Na perspectiva de Usiskin (1995), as variáveis comportam muitos símbolos,

implicando em diferentes formas de representação que se equivalem em um mesmo

contexto de aplicação (como na geometria, na lógica, na análise, na álgebra linear,

por exemplo). Considerando que em séries anteriores os estudantes resolviam

problemas envolvendo a descoberta de quantidades desconhecidas (representadas

por quadradinhos, por exemplo) usando apenas o raciocínio aritmético, e que na 6ª

série (7º ano) o primeiro contato com a resolução de equações envolvendo letras

considera uma abordagem que privilegia o raciocínio lógico, verifica-se que a

afirmativa do Professor 03 é válida, não apenas pelo “quadradinho” ser equivalente à

letra, mas, principalmente, pela compatibilidade dos contextos, fundamentados no

conhecimento aritmético dos estudantes. Do contrário, essa afirmativa não se

justificaria, principalmente no contexto de uma abordagem que privilegia a

mecanização de procedimentos.

Quanto à verificação do resultado encontrado durante a resolução de uma

equação, as ideias do Professor 03 vão ao encontro das orientações contidas no

Caderno do Professor da 6ª série (7º ano), volume 4. O referido material orienta que

122

os professores devem insistir na verificação das respostas, já que os estudantes

deixam de verificar, com muita frequência, os resultados obtidos, “[...] confiando na

justa aplicação dos procedimentos de resolução.” (SÃO PAULO, 2009a, p. 37).

Em uma terceira participação no Fórum de Discussão, o Professor 03 afirmou

que:

“[...] a Álgebra nos cadernos do Currículo está inserida na 6ª série/ 7ºano, no 4º volume, iniciando com o foco em reconhecimento de regularidades de padrões em figuras e em sequências numéricas, com o objetivo de generalizar a linguagem algébrica a partir da investigação de regularidades de padrões das sequências numéricas ou de figuras. [...] Quando for introduzir equações do 1º grau, o uso da balança de dois pratos é uma forma interessante.” (Trecho extraído do Professor 03; postado em 21/10/2012 10:09).

Nessa narrativa, é possível perceber o que já foi identificado anteriormente, em

relação aos diferentes aspectos da álgebra escolar, apresentados pelo Professor 03.

Verifica-se que sua metodologia de ensino está embasada nas concepções de

educação algébrica: “Aritmética Generalizada” e “Equações”, já que fez referências

ao trabalho com padrões e regularidades em sequências figuradas e numéricas e à

resolução de equações por meio do raciocínio aritmético e por equivalência. Além

disso, ficou evidenciado que o Professor 03 buscou inter-relacionar essas duas

concepções (Aritmética Generalizada e Equações), em razão de ter sugerido que o

estudo da álgebra, na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental, deve ser iniciado com

a investigação de regularidades em sequências numéricas, visando justificar o uso de

letras na Matemática, para, em momento posterior, explorar as técnicas de resolução

de equações, tendo como base o raciocínio lógico aritmético dos estudantes e o

conceito de equivalência com o uso da balança de dois pratos.

Professor 04:


considerações.

“As sequências numéricas e as regularidades mencionadas no tema 1, são fundamentais para os alunos perceberem a importância das letras (álgebra), pois os erros comuns que ocorrem na resolução de uma equação do 1º grau, como no problema 2 (Por que os alunos têm dificuldades no estudo da Álgebra), poderiam ser resolvidos se o aluno pensasse no equilíbrio da balança e cálculo mental x = 7, mas é importante também eles [alunos] terem o conhecimento da maneira formal.” (Trecho extraído do Professor 04; postado em 15/10/2012 16:21).

123

Nessa narrativa, o Professor 04 fez referências ao trabalho com regularidades

numéricas e afirmou que a exploração dessa metodologia de ensino pode auxiliar a

evitar possíveis erros, por parte dos estudantes, durante a resolução de equações do

1º grau, já que a investigação de regularidades em sequências de figuras ou de

números tem o propósito de identificar e representar uma determinada estrutura

estabelecida.

Como exemplo de erros que podem ser evitados na resolução de diferentes

equações, quando se busca justificar o uso de letras na Matemática, o Professor 04

citou o Problema 2, um dos três explorados no conteúdo do Tema 1, Módulo 6,

conforme apresentado na Figura 11.

Figura 11 – Exemplos de erros cometidos pelos estudantes na resolução de equações, apresentados no Tema 1 do 6º Módulo

Fonte: São Paulo (2012c).

No Problema 2, citado pelo Professor 04 e representado na Figura 11, é

apresentado um típico erro cometido pelos estudantes durante os procedimentos de

resolução de equações. Esse tipo de situação está relacionado à falta de

compreensão das transformações diretas que podem ser realizadas em uma equação,

sem alterar a relação de igualdade entre os dois lados. Provavelmente, esse tipo de

erro é cometido por conta da cristalização de procedimentos automáticos que, por sua

vez, “[...] podem afastar o aluno do real sentido das operações nas equações,

fundados na ideia de equivalência.” (SÃO PAULO, 2009a, p. 30).

Para evitar esse tipo de erro, a Proposta Curricular de Matemática de 2008

sugere o uso da analogia entre balanças de dois pratos e equações, baseada na

124

semelhança entre o equilíbrio na balança com a igualdade na equação, constituindo

“[...] excelente estratégia para introduzir as técnicas algébricas com significado.” (SÃO

PAULO, 2009a, p. 30). Para o Professor 04, se os estudantes relacionassem o

equilíbrio na balança com a resolução de equações, os erros ilustrados no Problema

2 (Figura 11) não ocorreriam. Contudo, na Proposta Curricular de 2008 é discutido os

cuidados que devem ser tomados em relação à simples transposição dessa analogia

para o mundo das equações, não devendo ocorrer de forma automática.

Além da referência ao uso da analogia da balança de pratos para evitar

possíveis erros na resolução de equações, o Professor 04 sugeriu que os estudantes

poderiam utilizar o cálculo mental. Entretanto, considerou ser importante a

aprendizagem formal das equações (linguagem simbólica da Matemática).



embasada nas concepções ”Aritmética Generalizada” e “Equações”, principalmente

pela referência às atividades que envolvem a investigação de regularidades em

sequências numéricas e o uso da analogia entre balanças e equações.

Professor 05:


considerações.

“[...] sempre inicio o conteúdo passando o vídeo Arte e Matemática, pois aborda a situação de igualdade e equilíbrio através da balança [...]” (Trecho extraído do Professor 05; postado em 15/10/2012 16:19).

Nessa narrativa, o Professor 05 indicou sua estratégia de ensino para abordar

a introdução ao uso de letras na Matemática. Com foco na resolução de equações, o

Professor 05 afirmou que inicia o conteúdo álgebra fazendo analogia entre balanças

e equações, visto que fez referências ao vídeo “Simetrias”, da série “Arte e

Matemática”, produzido pela TV Escola, que associa a ideia de simetria ao equilíbrio

de uma balança de dois pratos, durante o estudo das equações.

Na Proposta Curricular de Matemática de 2008, são sugeridos (nas orientações

gerais sobre os Cadernos do Professor) alguns materiais disponíveis, como vídeos,

125

textos e softwares, que podem ser utilizados em sintonia com as Situações de

Aprendizagem, visando ao enriquecimento das aulas dos professores. A sugestão do

Professor 05 vai ao encontro dessas orientações.

Mesmo não tendo se aprofundado em suas estratégias de ensino, fica

evidenciado que a proposta de introdução ao uso de letras na Matemática,

apresentada pelo Professor 05, está embasada na concepção “Equações”, sobretudo

pela referência ao uso da imagem da balança de pratos como analogia de uma

equação.

Professor 06:


considerações.

“De acordo com os comentários dos colegas, a iniciação à álgebra se torna um tanto assustador aos alunos, pois é uma fase de transição entre o concreto e o abstrato, mesmo introduzindo o assunto com sequências de figuras e sequências numéricas, observando padrões e regularidades. [...] Acho interessante o professor apresentar vários exemplos do cotidiano, mostrar a importância da incógnita e que esta pode assumir qualquer valor de acordo com a situação dada. Mas, é preciso salientar que para iniciar estudos sobre álgebra, o aluno precisa dominar principalmente operações inversas e com números inteiros. Caso contrário, dificilmente entenderá redução de termos semelhantes e posteriormente resolução de equações, mesmo que seja pelo método da balança.” (Trecho extraído do Professor 06; postado em 20/10/2012 20:09).

Nessa narrativa, o Professor 06 iniciou sua verbalização indicando que a

iniciação à álgebra, na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental, gera um certo

desconforto nos estudantes, mesmo adotando uma estratégia de ensino que privilegie

o estudo dos padrões e regularidades em sequências figuradas ou numéricas. Como

justificativa, ressaltou que esse “desconforto” é gerado pelo simples fato de os

estudantes estarem em um momento de transição entre a aritmética (tida como

“concreta”) e a álgebra (reconhecida como “abstrata”).

Na perspectiva de Lins e Gimenez (1997), tradicionalmente, a álgebra escolar

é entendida como abstrata (e mais difícil) e a aritmética é entendida como concreta (e

mais fácil). Para os autores, essa visão é inadequada, sobretudo por existir uma inter-

relação entre a aprendizagem de uma (álgebra) e da outra (aritmética), que representa

126

duas faces de uma mesma atividade: lidar com quantidades (referenciais

quantitativos).

Apesar de ter feito referência ao trabalho com padrões e regularidades, ao

buscar introduzir o uso de letras na Matemática, o Professor 06 centrou sua discussão

no estudo das equações, apresentando uma preocupação com as técnicas de

resolução, conforme destacado no trecho a seguir.

“Acho interessante o professor apresentar vários exemplos do cotidiano, mostrar a importância da incógnita e que esta pode assumir qualquer valor de acordo com a situação dada. Mas, é preciso salientar que para iniciar estudos sobre álgebra, o aluno precisa dominar principalmente operações inversas e com números inteiros. Caso contrário, dificilmente entenderá redução de termos semelhantes e posteriormente resolução de equações, mesmo que seja pelo método da balança.” (Trecho extraído do Professor 06; postado 20/10/2012 20:09).

Em sua concepção de ensino, o domínio das operações inversas é um pré-

requisito para que os estudantes entendam as técnicas de resolução de equações, ou

terão dificuldades em relação a certos procedimentos, como somar ou subtrair um

mesmo termo em ambos os lados de uma equação, mesmo adotando o uso da

imagem da balança de pratos.

Na terceira Situação de Aprendizagem do Caderno do Professor da 6ª série (7º

ano), volume 4, é sugerido um trabalho semelhante no contexto da resolução de

equações do 1º grau com uma incógnita. Ao considerar que uma equação

corresponde a uma pergunta em forma de letras, números e o sinal da igualdade, o

referido material destaca que a descoberta do valor de uma letra em linguagem

matemática é equivalente a uma pergunta em linguagem materna. Nesse sentido,

orienta que sejam exploradas, por meio da linguagem escrita e valorizando o

raciocínio aritmético, as operações inversas na resolução de determinados tipos de

equações e, após a exploração dessa primeira linha de resolução, é discutido o uso

da analogia entre o equilíbrio na balança e a igualdade na equação.

Outra evidência de que o Professor 06 centrou sua discussão dando ênfase às

técnicas de resolução de equações, pode ser observada na Narrativa 2.

“[...] acredito que é importante o professor ensinar a resolução de equações de forma contextualizada através do método da balança, embora haja resistência por parte dos professores.” (Trecho extraído do Professor 06; postado em 20/10/2012 20:24).

127

Nessa narrativa, o Professor 06 destacou uma possível resistência por parte

dos professores na exploração de situações que valorizem o trabalho com o concreto

(método da balança) associado ao contexto (contextualização do conteúdo). Ao

indicar a importância desse trabalho para o estudo das técnicas de resolução de

equações, provavelmente, o Professor 06 fez referência aos professores que

privilegiam o cálculo estritamente algébrico.



embasada nas concepções “Aritmética Generalizada” e “Equações”, principalmente

pela referência às atividades que envolvem a investigação de padrões e regularidades

e o uso da balanças de pratos para resolução de equações.

Professor 07:


considerações.

“A álgebra é muito importante para os alunos, com ela é possível solucionar problemas do dia a dia como por exemplo, compras no supermercado, com a ajuda das letras relacionadas com alguns itens, é possível saber quanto custa cada item. Também podemos resolver problemas com uso de uma balança em equilíbrio.” (Trecho extraído do Professor 07; postado em 21/10/2012 12:35).

Nessa narrativa, o Professor 07 ressaltou a importância dos conceitos

algébricos para a resolução de situações cotidianas. Como exemplo, citou a

realização de compras no supermercado e indicou o uso de uma balança em equilíbrio

como técnica para a resolução de problemas, como os relacionados à descoberta do

valor de cada item em uma compra.

Um fator interessante relacionado ao Professor 07 é que há evidências de uma

possível reflexão sobre as estratégias de ensino mais apropriadas para justificar o uso

de letras na Matemática. Inicialmente, sua proposta de introdução ao uso de letras na

Matemática teve como base a resolução de equações, por meio da exploração de

situações-problema cotidianas, como no caso da realização de compras no

supermercado. Como a temática do módulo explorou o estudo de padrões e

regularidades em sequências figuradas, e considerando que a discussão no Fórum

girou em torno dessa estratégia de ensino, o Professor 07 fez referência, em momento

128

posterior, à importância de se adotar uma estratégia de ensino que valorize o estudo

das regularidades, visto que pode proporcionar uma aprendizagem mais significativa

a respeito do uso de letras na Matemática. Essa intenção pode ser observada na

narrativa a seguir.

“Acredito que as atividades com regularidades podem fazer com que os conceitos de álgebra sejam assimilados mais facilmente pelos alunos. São atividades assim que constroem o conhecimento com mais facilidade, e trazem uma melhor percepção do conteúdo e sua utilização no cotidiano do indivíduo.” (Trecho extraído do Professor 07; postado em 22/10/2012 14:09).

Nessa narrativa, é possível observar o que foi descrito anteriormente. Ao

considerar que os conceitos algébricos são compreendidos com mais facilidade pelos

estudantes quando se explora o trabalho com regularidades, o Professor 07 chega à

conclusão de que, por meio dessa estratégia de ensino, é possível potencializar o

desenvolvimento dos estudantes, conforme sugerido na Proposta Curricular de 2008.

Ao referir-se à percepção do conteúdo em relação à utilização no cotidiano,

provavelmente, o Professor 07 quis destacar que, quando se adota uma metodologia

de ensino que valoriza a construção de significados para o uso de letras na

Matemática, é possível explorar, com mais facilidade, diferentes ideias algébricas

relacionadas ao cotidiano dos estudantes, como o cálculo do Imposto de Renda ou o

consumo de energia elétrica em uma residência, por exemplo.



embasada nas concepções “Aritmética Generalizada” e “Equações”, principalmente

pela referência às atividades que envolvem a investigação de regularidades e o uso

da balanças de pratos.

Professor 08:


considerações.

129

“A forma apresentada no tema 1, em minha opinião, leva o aluno a entender melhor a construção de uma equação, dessa forma, o aluno compreende o significado dela e não trabalha apenas mecanicamente equações prontas e sem sentido. Mostrar como se chega a uma equação, como ela é construída, pode dar mais trabalho, mas o resultado é sempre uma aprendizagem mais concreta e duradoura.” (Trecho extraído do Professor 08; postado em 17/10/2012 às 23:57).

Nessa narrativa, o Professor 08 iniciou sua verbalização fazendo referência ao

conteúdo do curso tratado no Tema 1 (Módulo 6), que objetivou abordar algumas

estratégias de ensino para a introdução do uso de letras na Matemática, por meio da

investigação de padrões em representações geométricas. Em sua opinião, a

metodologia sugerida no referido tema potencializa a aprendizagem dos estudantes,

sobretudo por valorizar, em um primeiro momento, o uso da linguagem escrita na

identificação de padrões em sequências de figuras (método recursivo), objetivando

aprimorar a percepção indutiva de regularidades para dar início ao trabalho com o uso

de letras na representação de padrões identificados (método não recursivo).

Em outra participação no Fórum de Discussão, o Professor 08 relatou que:

“Na minha vivência e concepção, para que tenha compreensão e significado para os alunos, a introdução do uso de letras não deverá ser abordada de forma precoce, ou seja, antes da 6ª série (7º ano), porque os alunos ainda se encontram no estágio das operações concretas, exceto o uso de letras deverão ser usadas somente para representar grandezas, tais como “m” para o metro, “g” para o grama e “l” para o litro. Considero de fundamental importância apresentar a passagem da aritmética à álgebra como continuidade e não como ruptura. [...] Dependendo do contexto matemático as letras podem se comportar como incógnitas (valores fixos) ou variáveis (que podem assumir diversos valores). No 7º ano (6ª série), procuro propor atividades em que os próprios alunos identifiquem regularidades partindo das operações já conhecidas, portanto a generalização é algo essencial para o entendimento dos conceitos algébricos.” (Trecho extraído do Professor 08; postado em 21/10/2012 às 8:59).

Ao considerar sua vivência em sala de aula e sua concepção sobre o ensino

da álgebra escolar, o Professor 08 concordou com o que é sugerido, por exemplo, na

Proposta Curricular de 2008, a respeito do momento mais apropriado para a

introdução do uso de letras na Matemática, ou seja, a partir da 6ª série (7º ano) do

Ensino Fundamental (como também ocorre na Proposta Curricular de 1986). Em sua

concepção de ensino, antes dessa etapa escolar (6ª série/7º ano) as letras devem

representar, apenas, algumas grandezas, como o metro (m), o grama (g) e o litro (l),

pois, segundo o Professor 08, os estudantes se encontram no estágio operatório-

130

concreto (piagetiano), ou seja, dependem do mundo concreto para chegar à

abstração.

Considerando que o pensamento formal é algébrico e que o pensamento de

todo sujeito que atingiu o estágio operatório-formal (piagetiano) consiste, de alguma

forma, em atividade algébrica, conforme destacado por Lins e Gimenez (1997),

percebe-se que o Professor 08 apresentou uma preocupação com o trabalho algébrico

a ser desenvolvido com as crianças (ou pré-adolescentes) que se encontram em

transição entre os estágios operatório-concreto e operatório-formal, na 6ª série (7º

ano) do Ensino Fundamental. Em outras palavras, uma preocupação com a transição

entre o “pensar aritmeticamente” para o “pensar algebricamente”.

Nesse sentido, há indícios de que a “continuidade” a que se referiu o Professor

08, em relação à passagem da aritmética para a álgebra, estaria relacionada ao ensino

da pré-álgebra e, em contrapartida, a “ruptura” corresponderia a uma apresentação

precoce do simbolismo algébrico (linguagem simbólica da Matemática). Essa

preocupação reforça o que foi descrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais, a

respeito do ensino da Matemática no Brasil que, ao final da década de 90, era marcado

“[...] pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva preocupação com o treino

de habilidades e mecanização de processos sem compreensão.” (BRASIL, 1998, p.

19).

Antes de finalizar suas considerações, o Professor 08 demonstrou que tem

conhecimento sobre as distintas formas de utilização das letras na álgebra escolar,

seja como incógnita ou como variável. Além disso, destacou suas preferências ao

ensinar álgebra na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental, ao procurar propor

situações que envolvem a descoberta de regularidades, tendo como referência

algumas operações aritméticas conhecidas pelos estudantes. Concluiu que o

desenvolvimento da linguagem algébrica, enquanto expressão da generalidade, é

fundamental para a compreensão dos conceitos algébricos.



concepção “Aritmética Generalizada”, sobretudo pela referência às atividades que

exploram a generalização de padrões e regularidades.

131

Professor 09:


considerações.

“No livro ‘ÁLGEBRA: DAS VARIÁVEIS ÀS EQUAÇÕES E FUNÇÕES’ de Eliane Reame de Souza e Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, CAEM – IME/USP cita que o ensino da álgebra na escola deve ser considerado quatro funções (ideias) distintas: 1- A Álgebra como generalizadora da aritmética: As variáveis (letras) aparecem para generalizar padrões numéricos que foram construídos indutivamente na aritmética. O que se espera do aluno é que ele observe um padrão e o generalize. 2- A Álgebra como estudo de processos para resolução de problemas: Nesta função as variáveis (letras) são incógnitas, isto é, valores numéricos desconhecidos que são descobertos através da resolução de uma equação ou de um sistema de equações. O que se espera do aluno é que ele descreva simbolicamente através de uma equação a situação que envolve a incógnita de um problema e resolvê-la. 3- A Álgebra como expressão da variação de grandezas: Aqui as variáveis (letras) “variam” (função). O que se espera do aluno é que ele relacione quantidades e faça gráficos. 4- A Álgebra como estudo de estruturas matemáticas: A característica dessa função da álgebra é a manipulação de variáveis como símbolos arbitrários. A variável (letra) é tratada como marcas sobre o papel que podem ser manipuladas através das regras das operações da aritmética ou de alguma estrutura algébrica mais complexa. O que se espera do aluno é que ele manipule expressões e justifique o que fez, aprendendo assim as regras da álgebra. Ao olharmos os cadernos do professor e do aluno podemos notar que estas funções (ideias) são tratadas no volume 4 da 6ª série (7º ano), volumes 2 e 3 da 7ª série (8º ano), volume 2 da 8ª série (9º ano) e consolidando ao longo do Ensino Médio.” (Trecho extraído do Professor 09; postado em 14/10/2012 23:06).

Nessa narrativa, o Professor 09 fez referências às quatro concepções de

educação algébrica que norteiam o ensino da álgebra escolar, ao citar o livro:

“Álgebra: das variáveis às equações e funções”, de Eliane Reame de Souza e Maria

Ignez Diniz, publicado pelo Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática

“João Affonso Pascarelli”, do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de

São Paulo.

Ao explicitar o que é esperado dos estudantes em cada concepção de

educação algébrica, o Professor 09 buscou inter-relacionar essas diferentes funções

da álgebra escolar com a Proposta Curricular de 2008, apresentando quais Cadernos

do Professor consolidam essas ideias ao longo do Ensino Fundamental.

Considerando que para favorecer o desenvolvimento do pensamento algébrico

dos estudantes é preciso engajá-los em atividade algébrica que inter-relacione as

132

diferentes concepções da álgebra escolar (BRASIL, 1998), fica evidenciado que o

Professor 09 tem profundo conhecimento de como realizar esse trabalho.

Em uma outra narrativa, o Professor 09 fez uma análise dos problemas

explorados no Tema 1 do 6º Módulo.

“Nos problemas 2 e 3, citados no exemplo [do 6º Módulo], o que está em jogo é a ideia da Álgebra como estudo de estruturas matemáticas, é a manipulação de variáveis (letras) como símbolos arbitrários. A letra é tratada como marcas sobre o papel que podem ser manipuladas através das regras das operações da aritmética ou de alguma estrutura algébrica mais complexa [...]” (Trecho extraído do Professor 09; postado em 17/10/2012 21:29).

Nessa narrativa, o Professor 09 indicou qual concepção de educação algébrica

embasa os Problemas 2 e 3, ilustrados, dessa vez, na Figura 12.

Figura 12 – Exemplos de erros cometidos pelos estudantes na resolução de equações, apresentados no Tema 1 do 6º Módulo

Fonte: São Paulo (2012c).

Em sua concepção, os Problemas 2 e 3 têm sua base na álgebra estrutural,

provavelmente pelos problemas propostos retratarem uma típica situação em que os

estudantes são convidados a manipular as variáveis sem nenhum referencial

quantitativo. Em relação ao Problema 1, temos uma situação dessemelhante, visto

que os referenciais das variáveis 𝑃𝑃 e 𝐵𝐵 são quantitativos, indicados pelos números de

patins e de bicicletas, respectivamente.

A observação dessas questões sob a ótica de Usiskin (1995) revela um tênue

argumento de que para resolver as equações propostas nos Problemas 2 e 3 bastaria,

inicialmente, pensar na generalização da aritmética, pois há uma equação a ser

133

resolvida e a variável está atuando como uma incógnita, diferentemente do que ocorre

na Figura 13, que retrata uma das situações sugeridas na Proposta Curricular de 1986,

cujo objetivo era o de apresentar algumas noções de cálculo algébrico aos estudantes.

Figura 13 – Exemplo de soma algébrica de polinômios sugerida na Proposta Curricular de Matemática de 1986, na 6ª série do Ensino Fundamental

Fonte: São Paulo (1997, p. 124).

Nesse caso, não existe um modelo aritmético a ser generalizado, não se trata

de uma relação ou função e as variáveis não atuam como incógnitas, pois não há

nenhuma equação a ser resolvida. Espera-se, apenas, que os estudantes manipulem

algebricamente os polinômios sugeridos, até chegar ao resultado esperado:

8𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 1

Trata-se de um típico exemplo que reconhece a álgebra escolar como o estudo

das estruturas, baseado nas propriedades atribuídas aos polinômios (como

associatividade, comutatividade e distributividade).

Como o Professor 09 analisou os Problemas 2 e 3 sob a ótica das autoras

Eliane Reame de Souza e Maria Ignez Diniz, que descreveram a “álgebra estrutural”

como sendo a manipulação de variáveis de forma puramente arbitrária, sem nenhuma

relação com um problema, função ou padrão a ser generalizado, no qual as variáveis

podem ser manipuladas utilizando-se as regras das operações aritméticas ou as

regras de uma estrutura algébrica mais complexa, é possível compreender o porquê

134

de sua classificação, visto que os problemas em questão não se relacionam com

nenhuma situação mencionada pelas autoras.

Com base nessas considerações, fica evidenciado que, ao discutir uma

proposta de introdução ao uso de letras na Matemática, o Professor 09 fez referências

às concepções “Aritmética Generalizada”, “Equações”, “Funcional“ e “Estrutural”.

Além disso, apresentou uma inter-relação entre essas quatro concepções de

educação algébrica com a Proposta Curricular de 2008, destacando como essas

diferentes funções da álgebra escolar se consolidam ao longo Ensino Fundamental.

Professor 10:


considerações.

“[...] quando vou iniciar o estudo de equações do 1º grau com os alunos de 6ª série/7° ano, parto do princípio das balanças e um pouco da história da matemática, para que eles percebam através dos princípios aditivo e multiplicativo, o que vem a ser de fato uma equação, ou melhor, o que é uma igualdade, para depois compreender melhor o que é uma desigualdade e é engraçado que no momento em que eles [alunos] assimilam já não querem mais aplicar os princípios visualmente e sim mentalmente, mas sempre lembro que quando eles [alunos] falam ‘passa para o outro lado, somando ou multiplicando’ estão realizando os princípios.” (Trecho extraído do Professor 10; postado em 14/10/2012 12:20).

Nessa narrativa, o Professor 10 indicou que faz uso da imagem da balança de

pratos no estudo das equações do 1º grau, na 6ª série (7º ano) do Ensino

Fundamental.

Como destacado anteriormente, na Proposta Curricular de Matemática de

2008, o uso da imagem do equilíbrio de uma balança de pratos é uma das linhas

adotadas no trabalho com a resolução de equações. Essa proposta se baseia na ideia

de equivalência e busca justificar, por analogia, “[...] as transformações que podem

ser feitas em uma equação, sem alterar a relação de igualdade entre os dois lados.”

(SÃO PAULO, 2009a, p. 30).

Basicamente, ao utilizar os princípios aditivo e multiplicativo como estratégia de

ensino, o Professor 10 buscou justificar as transformações diretas, realizadas

frequentemente na resolução de equações ou de inequações.

135

Em sua referência às falas dos estudantes, provavelmente durante a execução

de atividades que consideram a manutenção do equilíbrio em uma balança de dois

pratos, o Professor 10 enfatizou que sempre alerta para o fato de que a adoção de

expressões como “passa para o outro lado somando ou multiplicando”, está associada

à aplicação dos princípios aditivo e multiplicativo.

Nas orientações contidas no Caderno do Professor da 6ª série, volume 4, é

destacado que é preciso evitar a adoção de expressões (“passa para o outro lado com

o sinal trocado”) associadas a procedimentos automáticos, sobretudo pelo risco de

cristalização de procedimentos práticos que, por sua vez, “[...] podem afastar o aluno

do real sentido das operações nas equações, fundados na ideia de equivalência.”

(SÃO PAULO, 2009a, p. 30). Apesar da facilidade que esses procedimentos práticos

podem trazer para o processo de resolução de equações, quando se considera como

contexto o primeiro contato dos estudantes com a álgebra das equações, “O ideal é

que sejam trabalhadas, neste momento, todas as etapas de transformação por

equivalência, mesmo que tal processo seja mais demorado.” (SÃO PAULO, 2009a, p.

30).

A partir dessas considerações, fica evidenciado que a proposta de introdução


concepção “Equações”, sobretudo pela referência ao uso da imagem do equilíbrio de

uma balança, a fim de facilitar a compreensão dos estudantes com relação aos

procedimentos que consideram a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão de

um mesmo termo em ambos os lados de uma equação.

Professor 11:


considerações.

“Acho importante explorar a ideia da balança, realmente fica fácil do aluno visualizar.” (Trecho extraído do Professor 11; postado em 22/10/2012 20:32).

Nessa narrativa, o Professor 11 abordou a temática do Fórum com foco na

resolução de equações, sobretudo pela referência ao uso da imagem da balança de

pratos, “[...] frequentemente usada pelos professores e pelos livros didáticos para

explicar os procedimentos de resolução de equações.” (SÃO PAULO, 2009a, p. 29).

136

Ao ter indicado que a exploração da ideia da balança facilita a visualização dos

estudantes, provavelmente, o Professor 11 fez referência à manutenção do equilíbrio

ao colocar ou retirar pesos iguais em ambos os pratos da balança, método utilizado,

de forma análoga, para justificar, por exemplo, a adição ou a subtração de termos em

ambos os lados de uma equação. Segundo as orientações contidas no Caderno do

Professor da 6ª série (7º ano), volume 4, o uso dessa analogia é bem compreendido

pela maioria dos estudantes.

Apesar de não ter apresentado mais detalhes sobre sua estratégia de ensino,

fica evidenciado que a proposta de introdução ao uso de letras na Matemática,

apresentada pelo Professor 11, está embasada na concepção “Equações”, sobretudo

pela referência ao uso da imagem da balança de pratos como analogia de uma

equação.

Professor 12:


considerações.

“A aplicação de sequências tantas numéricas como geométricas realça mais o significado e prazer pela álgebra. Sempre o significado é maior quando apresentamos os aspectos aritméticos, geométricos e algébricos sobre o tema tratado quando possível.” (Trecho extraído do Professor 12; postado em 20/10/2012 às 10:44).

Nessa narrativa, o Professor 12 apenas ressaltou que a aprendizagem

algébrica é mais significativa e prazerosa, quando se trabalha com a exploração de

sequências numéricas e geométricas. Apesar de não ter detalhado suas estratégias

de ensino e de não ter feito menção explícita às atividades de reconhecimento de

padrões, há evidências de que o Professor 12 fez menção, em sua verbalização, ao

trabalho com regularidades em sequências de figuras e em sequências numéricas.

Nesse sentido, ao ter enfatizado que o significado algébrico é “maior” quando

se trabalha com o reconhecimento de padrões em sucessões numéricas e em

representações geométricas (“aspectos aritméticos, geométricos e algébricos”), fica

evidenciado, em sua verbalização, que a introdução ao uso de letras na Matemática

é mais significativa pela exploração de atividades que visam a descoberta de padrões

137

e regularidades, do que pela exploração de operações que envolvem letras, por

exemplo.

As considerações do Professor 12 vão ao encontro das ideias apresentadas

nos PCN – Matemática, especificamente no que se refere às vantagens que um ensino

baseado na observação de regularidades tem para o aprendizado dos estudantes, em

comparação com um ensino baseado na manipulação de expressões algébricas de

forma puramente mecânica (BRASIL, 1998).



concepção “Aritmética Generalizada”, sobretudo pela referência às atividades que

exploram a descoberta de padrões e regularidades em sequências de figuras e em

sequências numéricas.

Professor 13:


considerações.

“Normalmente faço a introdução da álgebra descrevendo aos alunos sobre algo desconhecido e as várias formas de nomeá-los e que podemos até dar valores a este desconhecido. Utilizo também funções, quando temos um valor que depende e ou altera em relação a outro. Exemplo: A quantidade de pão (x) em relação ao preço (fixo), que resulta em um outro valor (y). Neste momento de iniciação à álgebra, procuro não usar termos matemáticos, pois primeiro gosto de dar exemplos associados a realidade dos alunos, para somente depois utilizar uma linguagem matemática. Num segundo momento começo as equações com imagens/ desenhos nos lugares das letras. Para só depois troca-las e para ficar mais próxima a eles [alunos] não faço o uso continuo das letras x e y, peço a eles [alunos] que escolham a primeira letra de seu nome ou a letra que eles [alunos] querem colocar.” (Trecho extraído do Professor 13; postado em 20/10/2012 7:57).

Nessa narrativa, o Professor 13 afirmou que inicia o estudo da álgebra escolar

com exemplos sobre as diferentes formas de representação de valores

desconhecidos, sem priorizar a linguagem matemática algébrica. Para isto,

considerou o contexto do pensamento funcional, ao citar exemplos cotidianos, como

no caso do valor total a ser pago em uma eventual compra de pães, em função da

quantidade a ser adquirida.

138

Mesmo tendo adotado um caminho inverso ao que é sugerido no Caderno da

6ª série (7º), volume 4, fica evidenciado que o Professor 13 não priorizou o estudo do

cálculo algébrico. Esse professor demonstrou uma preocupação inicial sobre como

justificar a representação simbólica de um valor desconhecido ao buscar dar sentido

e significado para o uso de letras na Matemática, já que priorizou o estudo das

equações por meio do raciocínio aritmético, principalmente por ter adotado a

representação de valores desconhecidos com figuras/desenhos (como quadrados e

círculos, por exemplo).

Após esse trabalho, que objetiva explorar a resolução de equações por meio

de operações inversas e não por equivalência, o Professor 13 buscou abordar o

contexto das equações valorizando o uso de letras. Contudo, não há indícios de como

seriam justificadas as transformações que podem ser feitas em uma equação, sem

alterar a relação de igualdade entre os dois lados.



embasada nas concepções “Equações” e “Funcional”, principalmente pela referência

às atividades que envolvem a resolução de equações, por meio do raciocínio lógico

aritmético, baseado nas operações inversas, e o contexto do pensamento funcional.

5.2. Principais Resultados da Análise de Conteúdo

A análise das narrativas relacionadas às considerações dos treze professores

que efetivamente discutiram sobre as diferentes estratégias para a introdução do uso

de letas na Matemática, mostrou que esses profissionais têm conhecimentos variados

acerca das diferentes concepções da álgebra escolar.

Esses diferentes conhecimentos apresentados estão diretamente relacionados

à derivação do sistema de categorias, definidas a priori.

Das quinze subcategorias derivadas das quatro concepções de educação

algébrica definidas por Usiskin (1995), cinco emergiram durante a análise.

Os diferentes níveis de conhecimento identificados estão representados na

Figura 14.

139

Figura 14 – Representação dos níveis de conhecimento dos professores, em relação às quatro concepções de educação algébrica que norteiam o ensino da álgebra escolar,

manifestadas durante a análise de conteúdo

Legenda 1. Aritmética Generalizada.

2. Equações.

3. Funcional.

4. Estrutural.


Como observado na Figura 14, os conhecimentos que emergiram durante a

análise das narrativas dos professores estão representados pelos setores coloridos

em azul. Esses setores podem ser interpretados da seguinte forma:

• Setor 1: representa o conhecimento dos professores que fizeram menção à

concepção de educação algébrica “Aritmética Generalizada”, ao buscar dar


• Setor 2: representa o conhecimento dos professores que fizeram menção à

concepção de educação algébrica “Equações”, ao buscar dar sentido e

significado para o uso de letras no estudo da álgebra escolar.

• Setor 12: representa o conhecimento dos professores que fizeram menção às

concepções de educação algébrica “Aritmética Generalizada” e “Equações”, ao

buscar dar sentido e significado para o uso de letras no estudo da álgebra

escolar.

• Setor 23: representa o conhecimento dos professores que fizeram menção às

concepções de educação algébrica “Equações” e “Funcional”, ao buscar dar


140

• Setor 1234: representa o conhecimento dos professores que fizeram menção

às concepções de educação algébrica “Aritmética Generalizada”, “Equações”,

“Funcional” e “Estrutural”, ao buscar dar sentido e significado para o uso de

letras no estudo da álgebra escolar.

Esses resultados encontrados serão analisados tendo como referência os

objetivos e a questão de pesquisa.

Considerações sobre o Setor 1 – Concepção Aritmética Generalizada:

Em relação aos professores que fizeram menção à concepção “Aritmética

Generalizada” (Setor 1), como no caso dos Professores 01, 02, 08 e 12, ficou

evidenciado que em suas estratégias de ensino, para a introdução do uso de letras na

Matemática, é considerado o reconhecimento de padrões e regularidades em

sequências de figuras e/ou de números.

Para Lins e Gimenez (1997, p. 111), as estratégias de ensino que priorizam a

investigação de padrões e regularidades numéricas apresentam uma preocupação

com o desenvolvimento da linguagem algébrica enquanto meio de expressão, “[...] e

não apenas como objeto a que se aplicam técnicas diversas.”.

Segundo os PCN – Matemática, para uma aprendizagem algébrica substancial

e rica em significados, é preciso realizar um trabalho, desde os anos iniciais, que

privilegie atividades variadas de forma articulada com a aritmética, denominado pré-

álgebra (BRASIL, 1998). Entretanto, embora seja importante que o trabalho com a

pré-álgebra ocorra desde os anos iniciais, articulando noções aritméticas e algébricas

em uma mesma atividade, é preciso retomá-lo nos anos finais, “[...] para que as

noções e conceitos algébricos possam ser ampliados e consolidados.” (BRASIL, 1998,

p. 117). Nesse domínio de ensino (pré-álgebra), as atividades que buscam explorar o

pensamento pré-algébrico, como na observação de sequências figuradas e

numéricas, essenciais para identificar regularidades de forma indutiva, se valem de

fórmulas recursivas, representadas por meio da linguagem escrita ou por recursos

aritméticos, conforme sugerido na Proposta Curricular de Matemática apresentada em

2008.

141

Apesar de os quatro professores citados terem declarado que abordam o uso

de letras na Matemática por meio dos padrões e regularidades numéricas, apenas o

Professor 08 apresentou uma preocupação com o desenvolvimento do pensamento

pré-algébrico dos estudantes, como pode ser observado no texto a seguir.

“Na minha vivência e concepção, para que tenha compreensão e significado para os alunos, a introdução do uso de letras não deverá ser abordada de forma precoce, ou seja, antes da 6ª série (7º ano), porque os alunos ainda se encontram no estágio das operações concretas, exceto o uso de letras deverão ser usadas somente para representar grandezas, tais como “m” para o metro, “g” para o grama e “l” para o litro. Considero de fundamental importância apresentar a passagem da aritmética à álgebra como continuidade e não como ruptura. [...] (Trecho extraído do Professor 08; postado em 21/10/2012 às 8:59).

Esse professor demonstrou ter plena consciência de que é preciso valorizar a

linguagem escrita e o uso de recursos aritméticos, quando se busca dar sentido e

significado para o uso de letras na Matemática, por meio da identificação indutiva de

padrões em sequências.

Independentemente dessa concepção de educação algébrica se preocupar

com a linguagem algébrica enquanto meio de expressão e não somente como objeto

que se restringe ao cálculo com letras (LINS; GIMENEZ, 1997), do ponto de vista de

Usiskin (1995, p. 14), essa abordagem metodológica restringe-se, exclusivamente, à

generalização de relações conhecidas entre quantidades, passando a sensação de

não haver incógnitas, já que “Sob essa concepção, o problema terminou, pois já

encontramos o modelo geral.”.

Nessa perspectiva, os significados produzidos no interior de uma atividade que

tem como referência apenas essa abordagem metodológica não seriam válidos em

outros contextos. Por exemplo: numa atividade que tem como base a concepção

“Equações”, o problema estaria apenas começando, pois ainda que fosse solicitado a

identificação de um modelo geral em determinada situação-problema, a equação

precisaria ser resolvida de alguma maneira. Exemplos como esse demonstram o

porquê de ser necessário o desenvolvimento de um trabalho que inter-relacione as

diferentes concepções de educação algébrica, quando se busca favorecer o

desenvolvimento do pensamento algébrico dos estudantes.

142

Embora os Professores 01, 02, 08 e 12 não tenham feito menção a outras

concepções de educação algébrica, não se pode afirmar que esses profissionais não

inter-relacionam as diferentes concepções da álgebra escolar, a fim de favorecer uma

aprendizagem algébrica significativa por parte dos estudantes, visto que suas

narrativas se restringiram, apenas, às estratégias que visam a introdução do uso de

letras na Matemática, não considerando os desdobramentos que poderiam ocorrer,

naturalmente, após a realização desse trabalho, como no caso do estudo das

equações.

Portanto, é possível afirmar que a prática docente desses professores, no que

se refere à introdução do uso de letras na Matemática, não segue uma cultura

profissional que prioriza o treino de habilidades e a mecanização de processos sem

compreensão, sobretudo por terem valorizado o desenvolvimento do pensamento pré-

algébrico dos estudantes, ao proporem situações que envolvem a investigação de

padrões e regularidades em sequências figuradas e/ou numéricas.

Considerações sobre o Setor 2 – Concepção Equações:

Em relação aos professores que fizeram menção à concepção “Equações”

(Setor 2), como no caso dos Professores 05, 10 e 11, ficou evidenciado que em suas

estratégias de ensino, para a introdução do uso de letras na Matemática, é

considerado o contexto da resolução de equações, a partir da ideia de equivalência,

com o uso da analogia da balança de pratos.

Embora essa estratégia de ensino seja sugerida na Proposta Curricular de

2008, visando introduzir as técnicas algébricas com significado, ela é priorizada em

momento posterior, após o estudo dos padrões e regularidades numéricas (buscando

realizar generalizações utilizando a linguagem escrita, a linguagem aritmética e a

linguagem matemática algébrica) e das relações entre grandezas (objetivando

familiarizar os estudantes com o uso de letras na Matemática). Além disso, são

discutidos os limites e as vantagens de fazer uso da balança de pratos para

representar equações, visto que sua exploração não abrange o contexto das “[...]

equações com raízes negativas ou situações que envolvem a extração de raiz

quadrada de ambos os lados, porque essas operações não possuem correspondência

no âmbito da medida de pesos.” (SÃO PAULO, 2009a, p. 30).

143

A razão dessa concepção de educação algébrica não ter sido priorizada como

ponto de partida na Proposta Curricular de 2008, ao buscar introduzir o uso de letras

na Matemática, pode ser entendida nas reflexões de Lins e Gimenez (1997). Para os

autores, quando se busca dar sentido e significado para o uso de letras na

Matemática, tendo como ponto de partida uma concepção de educação algébrica que

prioriza o estudo de técnicas de resolução de equações, como no caso da balança de

pratos, buscando justificar, por analogia, algumas transformações diretas que podem

ser realizadas em ambos os lados de uma equação, baseando-se na ideia de

equivalência, alguns problemas podem ocorrer, pois nem todos os significados que

são produzidos no interior de uma atividade que privilegia o trabalho com o concreto

são válidos no trabalho que privilegia o formal. Em outras palavras, nem sempre o que

se dá no concreto é uma forma implícita do que se dá no formal (LINS; GIMENEZ,

1997).

A análise do contexto da discussão demonstrou que os Professores 05, 10 e

11 fizeram menção ao estudo das equações como estratégia de ensino que busca

introduzir o uso de letras na Matemática, logo após a mensagem de abertura do

Fórum, realizada pelo Professor Tutor.

Na ocasião, o Professor Tutor realizou a seguinte intervenção:

“Um dos recursos que a Álgebra permite é o uso de letras para representar o padrão de uma determinada sequência numérica. Desse modo, a generalização com o uso de expressões algébricas pode ser útil, por exemplo, para determinar termos específicos da sequência sem recorrer a processos aritméticos. Sabemos que o estudo da Álgebra está presente nos conteúdos do Ensino Fundamental e Médio e que deve ser tratado ao longo de todos os anos em abordagem “espiralada”. Diante disso, dê a sua opinião e argumente com os colegas em relação as diferentes abordagens apresentadas no Tema 1 para o ensino e aprendizagem da Álgebra.” (Trecho extraído do Professor Tutor; postado em 12/10/2012 21:07).

Tendo em vista que o foco do Fórum de Discussão incidiu sobre o conteúdo

discutido no Tema 1 do Módulo 6, o Professor Tutor iniciou a discussão convidando

os professores a se posicionarem sobre o uso de letras para representar padrões e

regularidades numéricas, conforme sugerido na Proposta Curricular de 2008. Frente

a essa intervenção, os Professores 05, 10 e 11 abordaram a questão da introdução

ao uso de letras na Matemática fazendo menção ao trabalho com a resolução de

144

equações, por meio da balança de pratos, desconsiderando o trabalho com

regularidades numéricas, conforme destacado nos trechos a seguir.

Professor 5:

“[...] sempre inicio o conteúdo passando o vídeo Arte e Matemática, pois aborda a situação de igualdade e equilíbrio através da balança [...]” (Trecho extraído do Professor 05; postado em 15/10/2012 16:19).

Professor 10:

“[...] quando vou iniciar o estudo de equações do 1º grau com os alunos de 6ª série/7° ano, parto do princípio das balanças e um pouco da história da matemática, para que eles percebam através dos princípios aditivo e multiplicativo, o que vem a ser de fato uma equação, ou melhor, o que é uma igualdade [...]” (Trecho extraído do Professor 10; postado em 14/10/2012 12:20).

Professor 11:

“Acho importante explorar a ideia da balança, realmente fica fácil do aluno visualizar.” (Trecho extraído do Professor 11; postado em 22/10/2012 20:32).

Embora as narrativas desses professores indiquem uma preocupação com a

introdução de técnicas algébricas com significado, visto que exploraram o uso da

balança de pratos como analogia de uma equação, para Lins e Gimenez (1997) esse

tipo de atividade passa a ideia de que pensar algebricamente é pensar em cálculo

literal, especialmente quando as resoluções de equações são exploradas do ponto de

vista dos algoritmos.

Segundo os PCN – Matemática, o estudo do cálculo literal e dos procedimentos

de resolução de equações é necessário, mas não suficiente para favorecer uma

aprendizagem algébrica significativa, em razão de ser necessário articular as

diferentes concepções da álgebra escolar, tendo como ponto de partida experiências

variadas envolvendo a pré-álgebra.

Portanto, há indícios de que a prática docente desses professores segue uma

cultura profissional pautada na aprendizagem de técnicas algébricas significativas,

tomadas como modelo para a resolução de equações e apoiadas na manipulação de

objetos, buscando explorar os aspectos intuitivos do fazer algébrico.

145

Considerações sobre o Setor 12 – Concepções Aritmética Generalizada e

Equações:

Em relação aos professores que fizeram menção às concepções “Aritmética

Generalizada” e “Equações” (Setor 12), como no caso dos Professores 03, 04, 06 e

07, ficou evidenciado que em suas estratégias de ensino, para a introdução do uso de

letras na Matemática, são considerados o estudo dos padrões e regularidades

numéricas e o contexto da resolução de equações com o uso da analogia da balança

de pratos.

Como destacado no Capítulo 1, na Proposta Curricular de 2008, a busca por

dar sentido e significado ao uso de letras na Matemática considera três concepções

de educação algébrica, na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental.

A primeira delas (Aritmética Generalizada) busca envolver os estudantes em

atividade algébrica que valoriza o desenvolvimento do pensamento pré-algébrico, por

meio da exploração de padrões em sequências figuradas e numéricas. Nesse

contexto de ensino, busca-se apenas atribuir sentido e significado para o uso de letras

na Matemática, valorizando-se a linguagem escrita, os recursos aritméticos e a

linguagem matemática algébrica, sem a preocupação explícita de “resolver”

equações.

Após esse trabalho, uma segunda concepção de educação algébrica é

priorizada (Funcional), buscando engajar os estudantes em atividade algébrica que

explora a relação entre duas ou mais grandezas (pensamento funcional), a fim de

ampliar o significado atribuído ao uso de letras em Matemática, relacionando fórmulas

e equações e representando relações matemáticas simples por meio de letras,

baseando-se no raciocínio aritmético básico.

Por fim, uma última concepção de educação algébrica (Equações) busca

introduzir alguns procedimentos para resolver equações de 1º grau por meio de

operações inversas, valorizando o conhecimento aritmético dos estudantes e por

equivalência, com o uso da analogia da balança de pratos. Esse trabalho é finalizado

com situações-problema, envolvendo noções de proporcionalidade, visando discutir

os significados que envolvem o cálculo com regra de três, no contexto do estudo das

equações.

146

A análise das narrativas dos Professores 03, 04, 06 e 07 não revelou nenhum

indício sobre a concepção de educação algébrica “Funcional”. Contudo, no caso dos

Professores 03 e 04, ficou evidenciado que suas estratégias de ensino, relacionadas

às concepções “Aritmética Generalizada” e “Equações”, seguem a mesma tendência

apresentada na Proposta Curricular de 2008, conforme destacado nos trechos a

seguir.

Professor 03:

“Uma maneira válida para a introdução do conhecimento algébrico é, justamente a partir das sequências numéricas onde devemos começar com regularidades onde envolvam primeiramente as operações de soma e subtração, posteriormente passar para as operações mais complexas que é a multiplicação e a divisão.” (Trecho extraído do Professor 03; postado em 16/10/2012 17:10). “Quando for introduzir equações do 1º grau, o uso da balança de dois pratos é uma forma interessante.” (Trecho extraído do Professor 03; postado em 21/10/2012 10:09).

Professor 04:

“As sequências numéricas e as regularidades mencionadas no tema 1, são fundamentais para os alunos perceberem a importância das letras (álgebra) [...] os erros comuns que ocorrem na resolução de uma equação do 1º grau [...] poderiam ser resolvidos se o aluno pensasse no equilíbrio da balança e cálculo mental x = 7 [...]” (Trecho extraído do Professor 04; postado em 15/10/2012 16:21).

Essas interações indicam que, apesar de não terem feito nenhuma referência

à concepção de educação algébrica “Funcional”, conforme sugerido na Proposta

Curricular de 2008, os Professores 03 e 04 apresentaram uma cultura profissional que

não prioriza o treino de habilidades e a mecanização de processos sem compreensão,

sobretudo por terem valorizado o desenvolvimento do pensamento pré-algébrico dos

estudantes, com o estudo dos padrões e regularidades em sequências numéricas, e

a resolução de equações por equivalência, com o uso da balança de pratos, inter-

relacionando mais de uma concepção de educação algébrica no ensino da álgebra

escolar.

Em relação ao Professor 06, ficou evidenciado que, embora tenha feito

referências às concepções “Aritmética Generalizada” e “Equações”, conforme

sugerido na Proposta Curricular de 2008, há indícios de que para esse professor a

147

atividade algébrica se resume à resolução de equações, sobretudo por ter enfatizado

que de nada adiantaria iniciar estudos em álgebra, seja pela observação de padrões

e regularidades em sequências figuradas e numéricas ou pelo método da balança de

pratos, se os estudantes não dominarem operações inversas, a fim de entender a

redução de termos semelhantes e a resolução de equações. Essas considerações

podem ser observadas nos trechos a seguir.

“De acordo com os comentários dos colegas, a iniciação à álgebra se torna um tanto assustador aos alunos, pois é uma fase de transição entre o concreto e o abstrato, mesmo introduzindo o assunto com sequências de figuras e sequências numéricas, observando padrões e regularidades. [...] é preciso salientar que para iniciar estudos sobre álgebra, o aluno precisa dominar principalmente operações inversas e com números inteiros. Caso contrário, dificilmente entenderá redução de termos semelhantes e posteriormente resolução de equações, mesmo que seja pelo método da balança.” (Trecho extraído do Professor 06; postado em 20/10/2012 20:09). “[...] acredito que é importante o professor ensinar a resolução de equações de forma contextualizada através do método da balança, embora haja resistência por parte dos professores.” (Trecho extraído do Professor 06; postado em 20/10/2012 20:24).

Conforme destacado no Capítulo 3, a atividade algébrica não se resume,

apenas, ao cálculo com letras ou à resolução de equações, mas, principalmente, à

expressão da generalidade e do pensamento funcional. Nesse sentido, a análise das

narrativas do Professor 06 revelou que há indícios de que sua cultura profissional está

enraizada em uma visão da atividade algébrica focada na aprendizagem de técnicas

(aprendizado de algoritmos) tomadas como modelo para a resolução de equações.

No entanto, apesar de ter centrando a maior parte de sua verbalização no contexto da

concepção “Equações” e não no contexto da concepção “Aritmética Generalizada”,

não se pode afirmar que o Professor 06 não inter-relaciona essas duas funções da

álgebra escolar, visto que não apresentou mais informações sobre o trabalho com

padrões e regularidades.

No caso do Professor 07, ficou evidenciado que em sua participação inicial no

Fórum de Discussão, foi priorizada a concepção “Equações”, com foco na resolução

de problemas com o uso da balança de pratos. Ao refletir sobre a proposta de

introdução ao uso de letras na Matemática, conforme sugerido no Tema 1 do Módulo

6 e a partir da intervenção do Professor Tutor, esse Professor (07) concluiu que a

melhor estratégia de ensino para introduzir o uso de letras na Matemática seria a partir

148

da concepção “Aritmética Generalizada”, explorando padrões e regularidades

numéricas. Essas considerações podem ser observadas nos trechos a seguir.

“A álgebra é muito importante para os alunos, com ela é possível solucionar problemas do dia a dia como por exemplo, compras no supermercado, com a ajuda das letras relacionadas com alguns itens, é possível saber quanto custa cada item. Também podemos resolver problemas com uso de uma balança em equilíbrio.” (Trecho extraído do Professor 07; postado em 21/10/2012 12:35). “Acredito que as atividades com regularidades podem fazer com que os conceitos de álgebra sejam assimilados mais facilmente pelos alunos. São atividades assim que constroem o conhecimento com mais facilidade, e trazem uma melhor percepção do conteúdo e sua utilização no cotidiano do indivíduo.” (Trecho extraído do Professor 07; postado em 22/10/2012 14:09).

Essas interações indicam que, apesar não ter feito nenhuma referência à

concepção de educação algébrica “Funcional”, conforme sugerido na Proposta

Curricular de 2008, o Professores 07 apresentou uma cultura profissional que não

prioriza o treino de habilidades e a mecanização de processos sem compreensão,

sobretudo por ter valorizado o desenvolvimento do pensamento pré-algébrico dos

estudantes, com o estudo dos padrões e regularidades, e a resolução de equações

por equivalência, com o uso da balança de pratos, inter-relacionando mais de uma

concepção de educação algébrica no ensino da álgebra escolar.

Considerações sobre o Setor 23 – Concepções Equações e Funcional:

Com relação ao Professor 13, que fez menção às concepções “Equações” e

“Funcional” (Setor 23), ficou evidenciado que sua estratégia de ensino, para a

introdução do uso de letras na Matemática, busca engajar os estudantes em atividade

algébrica que foca no desenvolvimento do pensamento funcional e na resolução de

equações.

O fato de o Professor 13 não ter feito referências ao estudo dos padrões em

sequências figuradas e numéricas a partir da concepção “Aritmética Generalizada”,

conforme sugerido na Proposta Curricular de 2008, pode ser entendido nas

considerações de Usiskin (1995). Segundo o autor, alguns educadores em

Matemática sugerem que a iniciação em educação algébrica deva ocorrer por meio

da concepção “Funcional”, por se tratar de um modelo fundamentalmente algébrico.

Apesar dessa consideração, Usiskin (1995) afirma que a notação funcional (𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥))

149

pode confundir os estudantes, já que nesse tipo de representação o parâmetro

(número do qual dependem outros números) é a própria função 𝑓𝑓 e não o argumento

𝑥𝑥 (valores do domínio de uma função).

Essa situação não ocorre na estratégia apresentada pelo Professor 13, visto

que não fez menção ao uso da notação funcional (𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) para denotar uma função,

mesmo tendo feito referência ao termo “funções”. Em sua estratégia de ensino ficou

claro que há, apenas, a intenção de envolver os estudantes em atividades que exigem

a organização de dados claramente definidos e o estabelecimento de relações entre

esses dados, conforme destacado no trecho a seguir.

“Normalmente faço a introdução da álgebra descrevendo aos alunos sobre algo desconhecido e as várias formas de nomeá-los e que podemos até dar valores a este desconhecido. Utilizo também funções, quando temos um valor que depende e ou altera em relação a outro. Exemplo: A quantidade de pão (x) em relação ao preço (fixo), que resulta em um outro valor (y). Neste momento de iniciação à álgebra, procuro não usar termos matemáticos, pois primeiro gosto de dar exemplos associados a realidade dos alunos, para somente depois utilizar uma linguagem matemática.” (Trecho extraído do Professor 13; postado em 20/10/2012 7:57).

Embora não tenha priorizado a concepção “Aritmética Generalizada”, fica

constatado que na proposta de ensino do Professor 13 há um modelo a ser

generalizado no estudo das relações entre a quantidade de pães e o valor a ser pago.

Mas, como destacado no Capítulo 3, apesar dessa capacidade de generalização, no

contexto das funções não tratamos de modelos que se pareçam com a aritmética

(USISKIN, 1995).

Se no exemplo apresentado pelo Professor 13 fosse perguntado:

• O que ocorre com o valor final a ser pago se a quantidade de pães se tornar

cada vez maior?

Veríamos que esse problema é análogo ao exemplo apresentado por Usiskin

(1995), quando buscou justificar a singularidade da concepção “Funcional”, frente à

concepção “Aritmética Generalizada”, no que se refere à utilização da variável:

• O que ocorre com o valor de 1/𝑥𝑥 quando 𝑥𝑥 se torna cada vez maior? (USISKIN,

1995, p. 15).

150

O que se pode concluir a partir dessa análise é que, mesmo não tendo

priorizado o estudo dos padrões e regularidades numéricas, a estratégia adotada pelo

Professor 13 é valorizada na Proposta Curricular de 2008, visto que ambas objetivam

explorar o uso de letras para representar números ou grandezas, além do valor

numérico de uma fórmula ou expressão algébrica.

Após esse trabalho, o Professor 13 fez referência à concepção “Equações”,

conforme destacado no trecho a seguir.

“Num segundo momento começo as equações com imagens/ desenhos nos lugares das letras. Para só depois troca-las e para ficar mais próxima a eles [alunos] não faço o uso continuo das letras x e y, peço a eles [alunos] que escolham a primeira letra de seu nome ou a letra que eles [alunos] querem colocar.” (Trecho extraído do Professor 13; postado em 20/10/2012 7:57).

Se tomarmos como referência um trecho da narrativa do Professor 03,

podemos inferir que nessa estratégia de ensino os estudantes são convidados a

resolver algumas equações aritmeticamente e, à medida que as equações vão se

tornando cada vez mais complexas, são convidados a resolver algebricamente, com

o uso de letras, como se os procedimentos fossem análogos.

Essa analogia pode ser observada no trecho a seguir.

“Se parar para fazer eles [alunos] refletirem, eles [alunos] começaram a ver álgebra na segunda série, onde eles [alunos] teriam que encontrar um valor desconhecido representado por um quadradinho nas operações. Apenas mudou de quadradinho para letra.” (Trecho extraído do Professor 03; postado em 16/10/2012 17:19).

Se a estratégia adotada pelo Professor 13 for a mesma sugerida pelo Professor

03, há um grande problema, pois na perspectiva de Usiskin (1995) esses

procedimentos não são análogos, mas distintos. Segundo o autor, o grande problema

está na passagem da aritmética para a álgebra, pois há uma ruptura, visto que as

resoluções algébricas requerem sempre operações inversas em comparação com as

resoluções aritméticas. Ou seja, para resolvermos algebricamente “[...] devemos

raciocinar exatamente da maneira contrária à que empregaríamos para resolver o

problema aritmeticamente.” (USISKIN, 1995, p. 15).

Ainda que não tenha feito menção ao estudo dos padrões e regularidades

numéricas e à resolução de equações explorando a ideia de equivalência, com o uso

151

da analogia da balança de pratos, não se pode afirmar que o Professor 13 apresentou

uma cultura profissional que prioriza o treino de habilidades e a mecanização de

processos sem compreensão, sobretudo por ter priorizado, durante o estudo da

álgebra escolar, o contexto do pensamento funcional e a resolução de equações por

meio de operações inversas, inter-relacionando mais de uma concepção de educação

algébrica no ensino da álgebra escolar.

Considerações sobre o Setor 1234 – Concepções Aritmética Generalizada,

Equações, Funcional e Estrutural:

Quanto ao Professor 09, que fez menção às concepções “Aritmética

Generalizada”, “Equações”, “Funcional” e “Estrutural” (Setor 1234), ficou evidenciado

que esse profissional compreende os diferentes significados atribuídos às letras na

Matemática e às operações que são realizadas com elas, uma vez que explicitou o

que é esperado dos estudantes em cada concepção de ensino, conforme destacado

no trecho a seguir.

“1- A Álgebra como generalizadora da aritmética: [...] O que se espera do aluno é que ele observe um padrão e o generalize. 2- A Álgebra como estudo de processos para resolução de problemas: [...] O que se espera do aluno é que ele descreva simbolicamente através de uma equação a situação que envolve a incógnita de um problema e resolvê-la. 3- A Álgebra como expressão da variação de grandezas: [...] O que se espera do aluno é que ele relacione quantidades e faça gráficos. 4- A Álgebra como estudo de estruturas matemáticas: [...] O que se espera do aluno é que ele manipule expressões e justifique o que fez, aprendendo assim as regras da álgebra.” (Trecho extraído do Professor 09; postado em 14/10/2012 23:06).

Além dessa compreensão, ficou constatado que o Professor 09 tem profundo

conhecimento sobre o papel das diferentes concepções da álgebra escolar e do

momento certo de introduzi-las, visto que as inter-relacionou com a Proposta

Curricular de 2008, apresentando quais Cadernos do Professor consolidam essas

ideias ao longo Ensino Fundamental, conforme observado no trecho a seguir.

“Ao olharmos os cadernos do professor e do aluno podemos notar que estas funções (ideias) são tratadas no volume 4 da 6ª série (7º ano), volumes 2 e 3 da 7ª série (8º ano), volume 2 da 8ª série (9º ano) e consolidando ao longo do Ensino Médio.” (Trecho extraído do Professor 09; postado em 14/10/2012 23:06).

Essas interações indicam que o Professor 09 segue uma cultura profissional

que não prioriza o treino de habilidades e a mecanização de processos sem

152

compreensão e que tem profundo conhecimento sobre como inter-relacionar as

diferentes concepções da álgebra escolar.

5.3. Síntese dos Resultados Encontrados

O Quadro 19 sintetiza as evidências encontradas, relacionadas à forma como

os treze professores selecionados engajam os estudantes em atividade algébrica,

além de quais concepções de educação algébrica norteiam esse trabalho.

Quadro 19 – Resumo dos resultados encontrados na pesquisa Professor Estratégia de Ensino Concepção da Álgebra

01 • Investigar padrões e regularidades • Aritmética Generalizada


03

• Investigar padrões e regularidades • Transpor a linguagem escrita para algébrica e

vice-versa • Resolver equações de 1º grau por equivalência

• Aritmética Generalizada • Equações

04 • Investigar padrões e regularidades • Resolver equações do 1º grau por cálculo mental

e por equivalência


05 • Resolver equações de 1º grau por equivalência • Equações

06

• Fez referência à investigação de padrões e regularidades

• Resolver equações de 1º grau por meio de operações inversas e por equivalência


07 • Investigar padrões e regularidades • Resolver equações de 1º grau por equivalência



09

• Fez referências às quatro concepções de educação algébrica e as Inter-relacionou com a Proposta Curricular de 2008, apresentando quais Cadernos do Professor consolidam essas ideias ao longo Ensino Fundamental

• Aritmética Generalizada • Equações • Funcional • Estrutural




13

• Explorar o desenvolvimento do pensamento funcional, por meio de situações cotidianas

• Resolver equações de 1º grau por operações inversas



153

Em síntese, verificou-se que preponderou a concepção de educação algébrica

“Aritmética Generalizada”, baseada no estudo de padrões e regularidades em

sequência de figuras e/ou de números, sendo que não houve nenhuma referência à

concepção “Estrutural”, conforme demonstrado na Figura 15.

Figura 15 – Concepções de educação algébrica que embasam as estratégias dos treze professores selecionados, para introduzir o uso de letras na Matemática, a partir da 6ª série

(7º ano) do Ensino Fundamental


Os resultados revelaram que os professores selecionados adotaram

estratégias de ensino que priorizam o desenvolvimento do pensamento pré-algébrico

dos estudantes, visto que valorizaram a linguagem escrita, a linguagem matemática

algébrica e o uso de recursos aritméticos nas diferentes estratégias de ensino para a

introdução do uso de letras na Matemática. Além disso, há evidências de que, em

alguns casos, os professores buscaram inter-relacionar mais de uma concepção da

álgebra escolar. Entretanto, para alguns Professores (05, 06, 10 e 11), o foco incidiu

sobre a resolução de equações, buscando o desenvolvimento de técnicas algébricas

com significado.

AritméticaGeneralizada

EquaçõesFuncional

Estrutural

154

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta pesquisa teve como objetivo central compreender a cultura profissional de

um determinado grupo de professores de Matemática, relacionada ao ensino da

álgebra escolar, a partir da 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental, tendo em vista

o movimento de reorientação curricular, ocorrido no Estado de São Paulo, a partir de

2008.

Como os currículos da educação básica buscam orientar o trabalho

desenvolvido cotidianamente pelos professores, esta investigação priorizou a análise

do continuum relacionado à educação algébrica nas Propostas Curriculares do Estado

de São Paulo, a partir de 1986, com foco nos conteúdos, nas estratégias e nas

concepções que norteiam o ensino da álgebra nos anos finais do Ensino Fundamental.

A constatação de que o estudo da álgebra foi priorizado para ser iniciado na 6ª

série (7º ano) do Ensino Fundamental, desde a Proposta de 1986, restringiu a coleta

de dados a essa etapa escolar. Desse modo, foram colhidas algumas evidências

sobre como os professores de Matemática costumam engajar os estudantes em

atividade algébrica, a fim de identificar quais concepções de educação algébrica

norteiam esse trabalho, de forma a compreender sua cultura profissional.

Para esse fim, foi realizada uma pesquisa documental, de natureza qualitativa,

cujo universo de documentos foi constituído por registros textuais, extraídos do Fórum

de Discussão (Tema 1, Módulo 6) do curso Currículo e Prática Docente – Matemática

– 2012, que fez parte de um programa de formação continuada oferecido pela

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo e executado pela Escola de

Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo “Paulo Renato

Costa Souza”, em Ambiente Virtual de Ensino e Aprendizagem. Esses registros

textuais, denominados na pesquisa como narrativas, foram caracterizados como

documentos do tipo pessoal, pois tratam das reflexões pessoais dos professores de

Matemática acerca das diferentes estratégias de ensino para introduzir o uso de letras

na Matemática, a partir da 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental.

Como resultado da análise do continuum relacionado à educação algébrica nas

Propostas Curriculares de Matemática do Estado de São Paulo, ficou evidenciado que

155

em 1986 foi priorizada a organização e distribuição dos conteúdos em três blocos

temáticos: Números, Geometria e Medidas. O conteúdo álgebra foi proposto para ser

explorado no tema Números, vinculado aos temas: “propriedades das operações” e

“regras de simplificação no cálculo com potências”.

Nessa época (1986), houve um grande avanço no que se refere ao ensino da

álgebra, rompendo com a Matemática Moderna, visto que o papel das estruturas

algébricas, bem como da linguagem relacionada à teoria dos conjuntos, foi

minimizado, em comparação com os Guias Curriculares anteriores. Além disso, foi

proposto, pela primeira vez, que o estudo da álgebra deveria ter como ponto de

partida, na 6ª série (7º) do Ensino Fundamental, noções de cálculo literal e não o

trabalho com as equações, como proposto anteriormente.

Com a reforma curricular de 2008, que reestruturou a educação básica nos

níveis Fundamental (Ciclo II/Anos Finais) e Médio, ficou evidenciado que prevaleceu

a organização dos conteúdos em três blocos temáticos: Números, Geometria e

Relações, sendo que as principais ideias associadas à álgebra foram priorizadas para

serem exploradas nos temas Números e Relações, apesar da existência de uma

constante aproximação entre álgebra e geometria, explicitada no documento básico

da Proposta.

Como ponto de partida para o estudo da álgebra na Proposta Curricular de

2008 foram priorizados o estudo dos padrões e regularidades numéricas, das relações

entre grandezas e das equações de 1º grau, com foco no desenvolvimento do

pensamento pré-algébrico dos estudantes.

Além desses resultados iniciais, ficou constatado que todas as concepções da

álgebra escolar foram sugeridas para serem exploradas nas duas Propostas, de forma

inter-relacionada, ao longo do Ensino Fundamental (Ciclo II/Anos Finais), com

exceção da concepção “Estrutural”, que é consolidada ao longo do Ensino Médio, na

Proposta Curricular de 2008. Nessa perspectiva, observou-se que ao longo do

continuum relacionado à educação algébrica nas Propostas Curriculares do Estado

de São Paulo, a partir de 1986, o que houve foi uma evolução nas atividades

sugeridas, visto que os avanços no campo da Educação Matemática, bem como a

herança pedagógica da SEE-SP, consubstanciaram tais mudanças.

156

Tendo em vista que os currículos da educação básica buscam orientar o

trabalho que os professores desenvolvem cotidianamente e que as diferentes

finalidades da álgebra escolar, evidenciadas ao longo do continuum de Propostas

Curriculares do Estado de São Paulo, determinam (ou relacionam-se com) as

diferentes concepções que os professores têm sobre a educação algébrica dos

estudantes, esta investigação se propôs a responder a seguinte questão norteadora:

• Quais concepções de educação algébrica são priorizadas pelos professores,

quando se busca introduzir o uso de letras na Matemática, a partir da 6ª série

(7º ano) do Ensino Fundamental? O foco incide sobre o desenvolvimento do

pensamento pré-algébrico dos estudantes, valorizando-se a inter-relação entre

as diferentes concepções da álgebra escolar, ou sobre o estudo do cálculo

algébrico e das equações?

O estudo revelou que, dentre as concepções de educação algébrica que se

destacaram nas narrativas dos treze professores, tendo como base as estratégias de

ensino para a introdução do uso de letras na Matemática, preponderou a “Aritmética

Generalizada”.

Os resultados demonstraram que nenhum professor priorizou o estudo da

álgebra “Estrutural”, baseado no cálculo literal abstrato e que o estudo da álgebra

enquanto “Aritmética Generalizada” teve como base a investigação de padrões em

sequências figuradas e/ou numéricas, apresentando uma visão da atividade algébrica

apoiada nos aspectos intuitivos do pensamento algébrico, a partir da percepção

indutiva de regularidades, como no caso dos Professores 01, 02, 03, 04, 07, 08, 09,

12.

Em relação aos Professores 05, 06, 10 e 11, que apresentaram uma concepção

de ensino baseada no estudo das equações, há evidências de que esses profissionais

não priorizam as manipulações algébricas de forma meramente mecânica, visto que

privilegiaram o uso da analogia da balança de pratos, baseando-se na ideia de

equivalência. No caso do Professor 06, este destacou que prioriza, também, a

resolução de equações por meio de operações inversas, em um trabalho articulado

com a aritmética. Embora metodologias como essas valorizarem o raciocínio

aritmético dos estudantes e o estabelecimento da ideia de equivalência, como no caso

157

da balança de dois pratos, é preciso destacar que buscam, sobretudo a introdução de

técnicas algébricas com significado, descrevendo uma visão da atividade algébrica

apoiada na manipulação de objetos e na exploração dos aspectos intuitivos do fazer

algébrico.

Os resultados de pesquisa também apontaram que somente o Professor 13

apresentou uma concepção de ensino baseada no estudo das funções, apresentando

uma visão da atividade algébrica apoiada na exploração do pensamento funcional.

Além disso, apontaram para a existência de inter-relação entre duas ou mais

concepções de educação algébrica, como no caso dos Professores 03, 04, 07, 09 e

13, visto que declararam priorizar, em um segundo momento, a resolução de

equações por meio de operações inversas e/ou por equivalência, como estratégia de

ensino que busca consolidar ideias algébricas com significado. Mesmo no caso dos

Professores 01, 02, 08 e 12, que centraram sua discussão no estudo dos padrões e

regularidades em sucessões numéricas e/ou em representações geométricas, é

possível afirmar que existe essa tendência, em razão de os desdobramentos desse

trabalho implicar, diretamente, no estudo das equações.

As evidências discutidas até aqui demonstraram que os professores não

seguiram a trajetória sugerida na Proposta Curricular de 2008. A única exceção é o

Professor 09, que inter-relacionou às quatro concepções de educação algébrica com

todas as Situações de Aprendizagem sugeridas nos Cadernos do Professor, ao longo

do Ensino Fundamental.

Provavelmente, esse fato está relacionado à representação pessoal que o

professor tem acerca de como se deve conduzir o processo de introdução do uso de

letras na Matemática, visto que tem autonomia para flexibilizar as estratégias de

ensino, se julgar necessário, considerando a maturidade dos estudantes. Essa

perspectiva pessoal pode estar apoiada na reflexão crítica que o professor tem acerca

do que ensina, iluminada por suas próprias concepções sobre o ensino da álgebra,

baseadas em sua experiência profissional.

Apesar da legitimidade que essa perspectiva pessoal pode ter, as diferentes

formas de ensinar um conteúdo são importantes para o exercício da docência, já que

os estudantes, com suas características heterogêneas, abordam o conteúdo estudado

158

de inúmeras perspectivas, ancoradas em diferentes áreas do conhecimento. Isso

indica que o professor deve estar aberto a diferentes abordagens, numa perspectiva

que considere a reconstrução de sua prática, para que seja capaz de lidar com as

diferentes estratégias e questionamentos apresentados pelos estudantes, o que

envolve, na perspectiva de Shulman (1987), o conhecimento do conteúdo específico,

o conhecimento pedagógico do conteúdo e o conhecimento do currículo.

Do ponto de vista desses conhecimentos, não bastaria uma compreensão

pessoal de como se deve conduzir a introdução do uso de letras na Matemática, a

partir da 6ª série do Ensino Fundamental. Seria preciso conhecer os diferentes fatos

relacionados às diferentes conceitualizações da atividade algébrica que, por sua vez,

implicaria na compreensão dos conceitos que envolvem as diferentes concepções da

álgebra escolar. Além disso, seria preciso conhecer os processos relacionados a

esses diferentes conceitos, as formas como os estudantes aprendem/processam

ideias algébricas com significado, considerando a variedade de representações da

álgebra escolar e os procedimentos que envolvem a inter-relação entre essas

diferentes concepções, além do domínio das estruturas curriculares que norteiam o

ensino da álgebra escolar, em seus diferentes níveis.

Em síntese, seria preciso transformar o conteúdo álgebra, considerando as

finalidades da educação algébrica, expressas no Currículo Oficial do Estado de São

Paulo.

Portanto, voltando à questão norteadora que orienta esta investigação, o que

se pode concluir é que há indícios de que os professores priorizam o desenvolvimento

do pensamento pré-algébrico dos estudantes. Mesmo no caso dos professores que

privilegiaram o fazer algébrico, por meio da concepção “Equações”, há indicativos de

um trabalho articulado à pré-álgebra, visto que esses profissionais declararam

priorizar as estratégias de ensino sugeridas na Proposta Curricular de 2008. Essas

estratégias de ensino, por sua vez, buscam valorizar o real sentido das operações,

tendo como base a linguagem escrita, a ideia de equivalência, o pensamento

aritmético dos estudantes e não a aplicação prática de procedimentos cristalizados.

Essa tendência foi evidenciada nas narrativas do Professor 06.

159

Embora os resultados apontem para uma cultura profissional que valoriza, em

diferentes aspectos, o estudo da pré-álgebra, a análise de conteúdo evidenciou que

para alguns professores o ponto de partida para a introdução do uso de letras na

Matemática, na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental, tem como base o estudo

das equações e suas diferentes técnicas de resolução. Além disso, evidenciou que os

professores selecionados não têm consciência de que a atividade algébrica possui

múltiplas faces que se inter-relacionam segundo a importância relativa dada aos

diversos usos das letras na Matemática, com exceção dos Professores 08 e 09 que

explicitaram, em sua verbalização, as diferentes definições, conotações e/ou símbolos

comportados pelas variáveis.

Consequentemente, há indícios de que os professores selecionados estão

vivenciando, em sua prática profissional, um momento de transição entre o fazer e o

pensar álgebra, o que é plenamente justificável, visto que é preciso esperar o tempo

suficiente para que as mudanças se concretizem, já que as transformações na cultura

profissional docente são lentas e necessitam de interiorização, adaptação e vivência

pessoal (IMBERNÓN, 2011).

Uma importante evidência de que alguns professores estão vivendo um

momento de transição, foi constatada no confronto dos resultados desta investigação

com os resultados de pesquisa apresentados por Barbosa, em 2009. Ou seja, os

resultados desta investigação não corroboram com os resultados de pesquisa

evidenciados por Barbosa (2009), sobre os professores não reconhecerem a estrutura

interna de uma equação do ponto de vista da equivalência, mas enfatizando, apenas,

a utilização de manipulações algébricas, indicando que conhecem apenas o

significado Processual-Tecnicista, em relação aos Multisignificados apresentados por

Ribeiro (2007). Nos resultados desta pesquisa, ficou evidenciado que os professores

também reconhecem a estrutura interna de uma equação do ponto de vista do

significado Intuitivo-Pragmático, ligado à ideia de igualdade entre duas quantidades

equivalentes.

Quando se busca uma tomada de decisão a respeito do ensino da álgebra na

educação básica, como em programas de formação continuada, deve-se levar em

consideração essas questões. Entretanto, deve-se explorar os diferentes aspectos da

160

álgebra escolar e sua inter-relação com o currículo, em todo o seu potencial, como fez

o Professor 09.

Nesse ponto em especial, ficou constatado que no Fórum de Discussão as

questões mais importantes, envolvendo as finalidades da álgebra na Proposta

Curricular de 2008, foram pouco exploradas pelo Professor Tutor e pela grande

maioria dos participantes.

Após a intervenção do Professore 09, que explorou todos os conceitos que

envolvem a educação algébrica dos estudantes ao longo Ensino Fundamental (no

atual Currículo), houve apenas um comentário de parabenização pela contribuição.

Apesar da potencialidade do Fórum de Discussão, como espaço que pode

subsidiar o processo de reflexão coletiva dos professores, segundo os princípios da

prática reflexiva de Zeichner (2008), ficou evidenciado que a ênfase das interações

entre professores e tutores recaiu, em parte da discussão, sobre a reflexão individual

dos participantes, baseada nos problemas que enfrentam em sala de aula, como se

fossem exclusivamente seus, sem os relacionar aos problemas de outros professores

ou à estrutura educacional escolar.

Nesse sentido, a falta de atenção ao contexto social do ensino e sua

importância para o desenvolvimento docente gerou um desvio durante as interações

realizadas no Fórum de Discussão. Ou seja, ao invés de o foco da discussão incidir,

na maior parte da discussão, sobre a análise crítica do trabalho docente, acerca das

diferentes concepções que norteiam o ensino da álgebra escolar, deu-se muita

atenção à preocupação individual e às frustações dos professores. Sob essa ótica,

pode-se concluir que os conhecimentos profissionais que envolvem o ensino da

álgebra escolar não foram desenvolvidos em seu potencial máximo.

Isso indica que, ao deixar de priorizar alguns princípios do ensino reflexivo

coletivo, deixou-se de priorizar o compartilhamento de diferentes saberes que os

professores mais experientes possuem sobre os aspectos mais sutis e complexos do

ensino da álgebra escolar (como no caso do Professor 09), com os professores menos

experientes.

161

Como a pesquisa identificou que o grupo de professores selecionados está

vivenciando um momento de transição da prática, passando a incorporar,

progressivamente, os diferentes conhecimentos que envolvem o ensino da álgebra

escolar, expressos na Proposta Curricular de 2008, fica constatado o papel

fundamental que a formação continuada desempenha nesse cenário, pois há um

“novo” Currículo e uma “nova” cultura relacionada ao ensino da álgebra escolar,

consubstanciada no continuum de Propostas do Estado de São Paulo e no avanço de

pesquisas em Educação Matemática. Nessa perspectiva, a formação continuada deve

proporcionar aos professores vivências nessa “nova” realidade, baseadas na

dimensão social da reflexão (ZEICHNER, 2008), na resolução de questões

diretamente relacionadas à prática (IMBERNÓN, 2011), e nos conhecimentos

constituintes da prática docente (SHULMAN, 1987).

Em conclusão, do ponto de vista da aprendizagem algébrica significativa, cabe

destacar que, após a realização desta investigação, ficou entendido que o processo

de produção de significados para a álgebra está intimamente ligado ao processo de

inter-relação entre as diferentes concepções de educação algébrica. Isso implica

entender que os significados produzidos no interior de uma atividade algébrica não

são válidos em outros contextos, baseados em outras concepções.

Consequentemente, o processo de inter-relação entre as diferentes concepções de

educação algébrica requer consciência de que, muitas vezes, novos significados

devem ser produzidos, a fim de conduzir os estudantes no processo de produção de

significados para a álgebra. Do contrário, ocorrerão rupturas que prejudicarão o

aprendizado.

Tendo como premissa o fato de que é preciso inter-relacionar as diferentes

concepções da álgebra escolar, quando se busca uma aprendizagem algébrica

significativa, entendemos que inter-relação representa condução consciente entre os

diferentes significados que podem (e devem) ser produzidos no interior da atividade

algébrica, de forma que seja possível criar uma rede de significados intimamente

interligados, em oposição à justaposição de significados que, por sua vez, não reflete

o real sentido de “aprendizagem algébrica significativa”, nem mesmo “inter-relação

entre as diferentes funções da álgebra escolar”.

162

Do ponto de vista da formação continuada de professores, conforme os

resultados apresentados, quando se busca apresentar uma proposta de introdução

do ensino formal da álgebra, visando levar os estudantes a construírem ideias

algébricas com significado, a mediação pedagógica do tutor é fator preponderante,

principalmente na educação a distância. A reflexão sobre a ação, que ocorre durante

as interações que são estabelecidas no Fórum de Discussão, pode auxiliar os

professores a reconstruírem sua prática, de forma a provocar mudanças na cultura

profissional, tendo como base o “pensar álgebra”, pois o “fazer álgebra”, um

importante complemento, é secundário nesse processo. Para isso, é preciso preparar

o professor tutor, visto que, muitas vezes, esse importante mediador da aprendizagem

não tem uma formação voltada para a compreensão da álgebra escolar, em todas as

suas dimensões.

Nesse sentido, na organização de cursos de formação que visam explorar

esses diferentes aspectos, tendo como base a reflexão individual e coletiva dos

professores, a mediação pedagógica do tutor poderia focar em algumas questões

centrais, como por exemplo:

• Por que a resolução de equações de 1º grau, por meio de operações inversas

e por equivalência, é explorada, no Currículo Oficial, após as atividades que

buscam desenvolver o pensamento generalizável e o pensamento funcional?

• O que os professores entendem por aprendizagem algébrica significativa? Qual

a importância relativa que dão para o uso das variáveis? Qual compreensão

têm acerca das diferentes definições, conotações e símbolos que comportam

as variáveis?

• Por que inter-relacionar as diferentes concepções da álgebra escolar, quando

se busca desenvolver noções algébricas com significado? Como elas se inter-

relacionam? Qual o significado que atribuem para inter-relação?

Entendemos que essas questões, assim como outras que gostaríamos de

abordar, são essenciais e muito importantes quando se busca introduzir o uso de

letras na Matemática, em um momento de transição entre a aritmética e a álgebra,

pois podem auxiliar os professores a refletirem sobre sua prática, a fim de

compreendê-la e reconstruí-la, considerando a dimensão social da reflexão, inerente

ao contexto da educação a distância.

163

Para finalizar, acreditamos que, a partir dos resultados apresentados, no âmbito

da formação continuada de professores, possam ser propostos novos projetos que

privilegiem a apropriação dos saberes que envolvem o ensino da álgebra escolar, em

suas diferentes funções e representações, em busca de uma aprendizagem algébrica

significativa por parte dos estudantes e de uma cultura profissional voltada para esse

desenvolvimento. Para isso, sugerimos alguns questionamentos que surgiram durante

a realização desta investigação:

• É possível formar o grande contingente de professores de Matemática da rede

pública Estadual de São Paulo, tendo como base a educação a distância, de

modo que consigam interiorizar os diferentes conhecimentos que envolvem a

educação algébrica no Currículo Oficial e adaptar-se a eles, para que possam

vivenciar, pessoalmente, a experiência de mudança?

• Como formar um professor que atua na rede pública estadual de São Paulo

para atuar como tutor, em Ambiente Virtual de Ensino e Aprendizagem, de

modo que possa articular os diferentes saberes que envolvem o ensino da

álgebra escolar?

164

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SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores (EFAP). Curso de Formação do Concurso Público para Provimento de Cargo Efetivo de Professor de Educação Básica II – PEB II. Etapa 1 – Núcleo Básico. São Paulo: EFAP, 2010c.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores (EFAP). Curso de Formação do Concurso Público para Provimento de Cargo Efetivo de Professor de Educação Básica II – PEB II. Etapa 2 – Núcleo Específico. São Paulo: EFAP, 2010d.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores (EFAP). Regulamento do Curso de Formação do Concurso Público para Provimento de Cargo Efetivo de Professor de Educação Básica II – PEB II. São Paulo: EFAP, 2010b.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores “Paulo Renato Costa Souza” (EFAP). Curso Currículo e Prática Docente – Matemática – 2012. Núcleo Básico. São Paulo: EFAP, 2012a.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores “Paulo Renato Costa Souza” (EFAP). Curso Currículo e Prática Docente – Matemática – 2012. Núcleo Específico. Módulo 6. Álgebra I: do uso de letras às equações. São Paulo: EFAP, 2012c.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores “Paulo Renato Costa Souza” (EFAP). Curso Currículo e Prática Docente – Matemática – 2012. Núcleo Específico. São Paulo: EFAP, 2012b.

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173

APÊNDICES

APÊNDICE A – Origem do Programa Currículo e Prática Docente

Esta seção tem como propósito apresentar o contexto mais amplo do Programa

Currículo e Prática Docente – 2012, que envolve algumas políticas educacionais

estabelecidas pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE-SP),

durante a gestão do governador José Serra (2007-2010), e a criação da Escola de

Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo (EFAP)36,

além do Curso de Formação Específica do Concurso Público para Professores da

Educação Básica II.

A1 – As Políticas Educacionais no Estado de São Paulo entre 2007 e 2010

Diante do cenário que evidenciou que, no Estado de São Paulo, o acesso ao

Ensino Fundamental já havia sido universalizado e que o Ensino Médio caminhava

para a universalização total, passando a incluir “[...] segmentos sociais antes

marginalizados no processo de escolarização [...]” (SÃO PAULO, 2012e, p. 18), a

qualidade da educação oferecida para a população paulista passou a ser questionada

pela sociedade.

Em seu discurso, o governador José Serra admitiu que a questão da

quantidade na educação pública paulista havia sido superada, pois cerca de 99% das

crianças de 7 a 14 anos de idade estavam na escola e a taxa líquida de atendimento

aos jovens de 15 a 17 anos se aproximava dos 90%, resultados considerados

satisfatórios se comparados aos padrões de países desenvolvidos, entretanto, a

questão da qualidade do ensino oferecido evidenciou um baixo rendimento do

sistema, passando a ser o principal problema da educação pública no Estado de São

Paulo (SÃO PAULO, 2007).

36 Atualmente denominada como Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo “Paulo Renato Costa Souza”, em homenagem ao ex-secretário da educação falecido em 25 de junho de 2011. A atual denominação foi publicada no Decreto nº 57.088 de 30 de junho de 2011.

174

Em suas palavras, José Serra afirmou que:

O nosso grande problema hoje chama-se qualidade. Ainda o padrão de qualidade vigente não dá para representar nenhum elemento de orgulho para todos nós aqui de São Paulo e evidentemente nem para os demais Estados brasileiros37.

Essa constatação tem sua base nos resultados dos censos escolares e das

avaliações de aprendizagem dos estudantes. Diante desse diagnóstico, que

considerou, principalmente, os resultados insatisfatórios nas avaliações do SAEB

2005, cuja média da rede estadual de ensino em Língua Portuguesa e em Matemática,

nos níveis Fundamental e Médio, atingiu um desempenho considerado insuficiente

(SÃO PAULO, 2007a), ficou evidenciado que o próximo passo a ser dado pelo governo

era o de garantir não apenas o acesso à escola básica, mas um ensino público de

qualidade aos diferentes segmentos da sociedade.

Para poder avançar nessa área, o Governo do Estado de São Paulo

apresentou, em 20 de agosto de 2007, um amplo plano educacional visando atingir

dez metas38 até o ano de 2010, sendo elas:

1. Todos alunos de 8 anos plenamente alfabetizados;

2. Redução de 50 % das taxas de reprovação da 8ª série;

3. Redução de 50% das taxas de reprovação do Ensino Médio;

4. Implantação de programas de recuperação de aprendizagem nas séries finais

de todos ciclos (2ª, 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino

Médio);

5. Aumento de 10% nos índices de desempenho dos ensinos fundamental e

médio nas avaliações nacionais e estaduais;

6. Atendimento de 100% da demanda de jovens e adultos de Ensino Médio com

oferta diversificada de currículo profissionalizante;

7. Implantação do Ensino Fundamental de 9 anos, em colaboração com os

municípios, com prioridade à municipalização das séries iniciais (1ª a 4ª séries);

8. Utilização da estrutura de tecnologia da informação e Rede do Saber para

programas de formação continuada de professores integrado em todas as

5.300 escolas com foco nos resultados das avaliações; estrutura de apoio à

37 SÃO PAULO, op. cit., n.p. 38 Extraído de São Paulo (2007b).

175

formação e ao trabalho de coordenadores pedagógicos e supervisores para

reforçar o monitoramento das escolas e apoiar o trabalho do professor em sala

de aula, em todas as DEs; programa de capacitação dos dirigentes de ensino

e diretores de escolas com foco na eficiência da gestão administrativa e

pedagógica do sistema;

9. Descentralização e/ou municipalização do programa de alimentação escolar

nos 30 municípios ainda centralizados;

10. Programa de obras e infraestrutura física das escolas: garantia de condições

de acessibilidade em 50% das escolas, para atender a demanda dos alunos

com deficiência; construção de 74 novas unidades, reforma e ampliação de 77

escolas (417 salas de aula); extinção das salas com padrão Nakamura);

recuperação e cobertura de quadras de esportes; implantação de circuito

interno de TV para melhorar a segurança em escolas da Grande São Paulo;

100% das escolas com laboratórios de informática e de ciência; 100% das salas

dos professores com computadores, impressoras e ambiente de multimídia;

atualização e informatização do acervo de todas as bibliotecas das 5.300

escolas.

A definição dessas diretrizes implicou na elaboração de uma agenda

educacional para o quadriênio 2007-2010 com foco na melhoria das aprendizagens

dos estudantes, sendo esse o principal aspecto da qualidade almejado. Apesar de as

dez metas apresentarem pontos heterogêneos, José Serra foi enfático ao dizer que,

em sua complementaridade, os dez pontos constituem um plano de ação integrado e

coerente (SÃO PAULO, 2007).

Para viabilizar o alcance das metas até o ano de 2010, em busca da qualidade

almejada, o governo propôs dez ações39 educacionais, sendo elas:

1. Implantação do Programa Ler e Escrever;

2. Reorganização da Progressão Continuada;

3. Elaboração e divulgação das propostas curriculares da educação básica de

São Paulo, com a indicação das expectativas de aprendizagem para todos os

alunos em cada disciplina, série e ciclo do Ensino Fundamental e Médio;

39 Extraído de São Paulo (2007a).

176

4. Recuperação da aprendizagem: ciclos iniciais, 8ª série e Ensino Médio;

5. Diversificação curricular do Ensino Médio;

6. Educação de Jovens e Adultos (Ensino Fundamental e Médio);

7. Ensino Fundamental de 9 anos e articulação com os municípios;

8. Sistemas de Avaliação;

9. Gestão por resultados e política de incentivos;

10. Plano de obras e investimentos.

Essas medidas educacionais estavam alinhas ao Plano de Desenvolvimento

da Educação40, do governo federal, que visa alcançar o nível médio de

desenvolvimento da educação básica dos países membros da Organização para a

Cooperação e o Desenvolvimento Econômico41. Ao aderir ao movimento da sociedade

civil Todos pela Educação42, em maio de 2008, afirmando que o Estado de São Paulo

estava comprometido com algumas das metas defendidas pelo movimento (SÃO

PAULO, 2008a), ficou evidenciado o comprometimento do governo paulista com o

avanço da educação básico no Brasil.

Após comprometer-se com esses objetivos, o governo paulista apresentou, em

maio de 2009, o Programa + Qualidade na Escola43 (PQE) como mais uma medida

em busca da melhoria da qualidade da educação básica, passando a integrar outras

ações desencadeadas a partir das dez metas, como a implementação de uma Gestão

por Resultados e Política de Incentivos (bonificação e avaliação do desempenho

40 No Plano de Desenvolvimento da Educação, a meta nacional do IDEB para o Ensino Fundamental é 6 e deve ser atingida até 2021, ano que simboliza o bicentenário da independência do Brasil. Essa média (6) representa a nota média de desenvolvimento da educação básico dos países que integram a Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico (OCDE). 41 “A partir dos indicadores nacionais, [...] o Inep fornece informações para o sistema UOE – Unesco/ OCDE/ Eurostat, que integram os indicadores internacionais produzidos pelos países da OCDE e são publicados anualmente no Education At a Glance. [...] Por meio da comparação internacional, pode-se avaliar o sistema educacional de determinado país em relação aos outros países e, desta maneira, verificar as deficiências e também a eficácia, muitas vezes não percebidas dentro dos próprios países” – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Disponível em: <http://portal.inep.gov.br/estatisticas-gastoseducacao-indicadores_financ_internacionais-ocde>. Acesso em: 05 dez. 2016. 42 Lançado em setembro de 2006, o Todos Pela Educação é um movimento da sociedade civil que conta com a participação de educadores, lideranças sociais, fundações empresariais e gestores públicos. Sua missão é contribuir para que o Brasil alcance até 2022 uma educação básica de qualidade, conforme meta estabelecida no Plano de Desenvolvimento da Educação. 43 O Programa + Qualidade na Escola foi apresentado em 5 de maio de 2009 pelo governador José Serra e pelo secretário da educação Paulo Renato Costa Souza com algumas medidas para tentar melhorar a educação pública paulista (SÃO PAULO, 2009e). Suas leis foram sancionadas em 16 de julho de 2009 (SÃO PAULO, 2009f).

http://portal.inep.gov.br/estatisticas-gastoseducacao-indicadores_financ_internacionais-ocde

177

escolar) e a implementação do Programa Ler e Escrever e do Currículo Oficial do

Estado de São Paulo para os anos finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio

(SÃO PAULO, 2009g).

Em julho de 2009, foram sancionadas as leis do Programa + Qualidade na

Escola (PQE), dividindo-o em duas fases, sendo que a primeira contou com a criação

da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo;

com a mudança na forma de ingresso dos professores na rede pública estadual,

tornando obrigatório o curso de formação; com duas jornadas de trabalho semanais,

sendo elas de 12 e 40 horas; com a abertura de 80 mil novas vagas para cargos

efetivos no Quadro do Magistério; e com a regulamentação da situação dos

professores temporários, instituindo o exame obrigatório como requisito para a

escolha de aulas (SÃO PAULO, 2009h). Em sua segunda fase, o PQE implantou o

Programa de Valorização pelo Mérito44.

Dessa forma, as ações educacionais desencadeadas pelo governo estadual,

em busca da qualidade do ensino público paulista, organizaram-se em programas

denominados estruturantes, configurando a estrutura das prioridades educacionais da

SEE-SP (SÃO PAULO, 2010). Os programas estruturantes foram organizados em

dois eixos45, tendo a avaliação como terceiro eixo, mas transversal aos dois primeiros,

conforme destacado na Figura 16.

Figura 16 – Eixos e Programas Estruturantes da SEE-SP

Padrões Curriculares Gestão da Carreira do Magistério

• Programa “Ler e Escrever” para o Ensino, Ciclo I.

• Programa “São Paulo Faz Escola” para o Ensino Fundamental, Ciclo II e para o Ensino Médio

• Criação da Escola de Formação e Aperfeiçoamento de Professores e processos inovadores de seleção e ingresso no quadro do magistério.

• Incentivo através de bônus por resultados. • Valorização pelo mérito.


44 O Programa de Valorização pelo Mérito estabeleceu o exame de progressão salarial (evolução na carreira) para professores e gestores (efetivos e estáveis), por meio de provas. 45 SÃO PAULO, op. cit., n.p.

AVALIAÇÃO

178

Com esses programas estruturantes, o Governo do Estado de São Paulo

afirmou estar enfocando em elementos “cruciais” para o sucesso dos estudantes,

sendo eles: quem ensina, o quê ensina, quando ensina e como ensina46, passando a

responsabilizar, também, os professores pela qualidade do ensino público paulista.

Essa questão ficou muito clara no lançamento do PQE, que estabeleceu,

especificamente, em sua primeira fase, o curso de formação obrigatório aos

candidatos postulantes aos cargos efetivos do Quadro do Magistério, bem como o

exame obrigatório aos professores temporários que quisessem escolher aulas.

Após examinar os resultados da prova47 para professores temporários, que

definiu a classificação para a atribuição de aulas do ano letivo de 2009 (SÃO PAULO,

2008b), o secretário da educação Paulo Renato concluiu que “[...] ‘Os resultados eram

tristes’, [...] ‘as notas eram baixíssimas.’” (SÃO PAULO, 2013, p. 72).

Em suas palavras, o secretário afirmou:

E o que nós identificamos e diagnosticamos é que o problema central estava na formação do professor. E essa foi a grande dificuldade ao longo desses anos: como mexer na formação do professor, o que não depende da Secretaria. Curso de treinamento se multiplicaram etc., (mas só) agora encontramos um caminho (SÃO PAULO, 2009i, n.p.).

Em momento posterior, acrescentou:

Estamos enfrentando com muito vigor um problema fundamental da educação, que é melhorar a preparação do professor para a atuação na sala de aula. [...] É um esforço significativo do Estado para valorizar o professor e melhorar a qualidade da educação pública (SÃO PAULO, 2009e, n.p.).

Ao dizer “encontramos um caminho”, Paulo Renato referia à criação da Escola

de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo (EFAP),

afirmando ser a solução para resolver o problema “central” da falta de qualidade da

educação pública que, segundo ele, tratava-se da falta de preparo dos professores.

José Serra seguiu a mesma linha, ao dizer:

46 SÃO PAULO, op. cit., n.p. 47 Aplicada pela primeira vez entre os dias 12 e 21 de dezembro de 2008, a prova destinada aos professores temporários serviu para definir a classificação do processo de atribuição de aulas no começo do ano letivo de 2009, junto com o tempo de serviço e os títulos. Anterior a essa implantação, a classificação para o processo de atribuição de aulas levava em conta, apenas, os critérios tempo de serviço e títulos (SÃO PAULO, 2008b).

179

Nós estamos aqui focados no dia de hoje na melhora da qualidade dos professores. Na melhora da qualidade da sala de aula que, eu continuo insistindo, é o problema número um do ensino no Estado de São Paulo. As outras questões que cercam a Educação: merenda, transporte, uniforme, material escolar, prédios bons, também. Se dependesse disto, o rendimento das escolas seria muito mais alto. O problema reside dentro da sala de aula. É aí que está a questão fundamental (SÃO PAULO, 2009f, n.p.).

Ao verticalizarem o problema da educação pública do Estado de São Paulo

para a “qualidade dos professores”, afirmando ser o principal problema da educação

pública paulista, a EFAP surge com a missão de “[...] oferecer formação continuada e

em serviço aos servidores da educação a fim de atualizar, aperfeiçoar e proporcionar

formação compatível com a política educacional da SEE.” (SÃO PAULO, 2010b, p. 3).

A2 – A Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo (EFAP)

Instituída pelo Decreto nº 54.297, de 5 de maio de 2009, a Escola de Formação

e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo (EFAP) foi apresentada

como uma das ações que integraram o Programa + Qualidade na Escola (PQE).

A decisão de criar uma escola dedicada à formação de professores na estrutura

da SEE-SP partiu do diagnóstico que evidenciou o baixo desempenho dos professores

temporários nas provas de classificação para o processo de atribuição de aulas,

ocorridas em 2008, acrescido de duas constatações de pesquisas realizadas no

mundo inteiro, relacionadas aos índices de proficiências dos estudantes (SÃO

PAULO, 2010):

De todos os fatores controláveis pela escola e pelo sistema de educação, aquele que mais impacto tem no desempenho dos alunos é o professor; Isso torna mais do que nunca importante a máxima de que ‘quem mais precisa aprender é quem ensina’, isto é, quanto melhor preparado for o professor, melhor será a qualidade do ensino; Os alunos aprendem mais e melhor quando o professor é preparado para colocar em ação, na sala de aula, um determinado currículo, para o qual ele recebeu orientações necessárias e específicas48.

Os resultados insatisfatórios nas provas que tiveram como base a Proposta

Curricular do Estado de São Paulo para os anos finais do Ensino Fundamental e

48 SÃO PAULO, op. cit., n.p.

180

Ensino Médio, associado a essas constatações, implicaram em diretrizes de ação que

regulamentaram a carreira do professor no Estado de São Paulo.

No eixo Gestão da Carreira do Magistério, organizado dentro dos marcos legais

do Estatuto do Magistério (Lei Complementar 444/85) e do Estatuto do Funcionalismo

Público do Estado (Lei 10.261/68), a SEE-SP alterou a forma de ingresso no Quadro

do Magistério (Lei Estadual 1.094/2009), e estipulou que os concursos públicos

deveriam ser realizados em três etapas, sendo a primeira constituída por prova

objetiva (eliminatória e classificatória), a segunda por avaliação de títulos

(classificatória) e a terceira por curso específico de formação (eliminatória) a ser

oferecido pela EFAP (SÃO PAULO, 2010).

Para atender a essa demanda de formação, com foco no aperfeiçoamento e no

desenvolvimento profissional dos professores, visando melhorar a qualidade do

ensino público paulista, três dimensões, segundo Almeida e Costa (2011), foram

fundamentais, todas diretamente relacionadas com as prioridades e as urgências da

educação no Brasil, sendo elas: dimensões política, pedagógica e tecnológica.

Dimensão Política:

Com o lançamento do PQE, a SEE-SP organizou o eixo de sua política

educacional de gestão da carreira do magistério respeitando o que está disposto na

Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, bem como nas Diretrizes Nacionais

para a Carreira do Magistério, definidas pelo Conselho Nacional de Educação.

Em 16 de julho de 2009, o governador José Serra sancionou dois projetos de

lei complementar do PQE, visando contribuir para a melhoria da qualidade do ensino

oferecido aos alunos da rede pública estadual (SÃO PAULO, 2009f). Os projetos de

lei permitiram a abertura de 80 mil novos cargos para professor da educação básica

e estabeleceram novas formas de ingresso no Quadro do Magistério, definindo

algumas prioridades do Estado no âmbito da formação continuada dos professores.

Para Almeida e Costa (2011) todo programa voltado para a formação de

professores tem, em sua essência, a dimensão política, pois só o Estado e o País

podem dar uma resposta às questões relativas a esse tema.

181

Dimensão Pedagógica:

Para Almeida e Costa (2011, p. 8) a dimensão pedagógica está intrinsecamente

relacionada com a questão da formação dos professores, pois “[...] há que se ter no

início das respostas do fazer pedagógico um conceito de conhecimento, de como ele

se dá e de como se opera um currículo para implementá-lo.”.

Dimensão Tecnológica:

Para Almeida e Costa (2011) a dimensão tecnológica considera não apenas as

potencialidades oferecidas pelas tecnologias digitais da informação e comunicação

(TDIC), como oferta de conteúdo e diferentes formas de comunicação, mas,

essencialmente, o acesso ao grande contingente de profissionais que atuam nos

sistemas públicos de ensino, o que a consolida como parte integrante da metodologia

de formação.

A3 – O Curso de Formação Específica do Concurso Público para Provimento de Cargo Efetivo de Professor da Educação Básica II

Destinado aos candidatos interessados em ingressar no Quadro do Magistério

da rede pública paulista, o Curso de Formação Específica representa a terceira fase

do Concurso Público para Provimento de Cargos de Professore da Educação Básica

II. Sua primeira edição foi realizada no ano de 2010 (entre setembro e dezembro) e

contou com a participação de 10 mil professores. Precedendo essa etapa, houve a

realização da Prova Objetiva (março de 2010), no qual participaram 140 mil

candidatos, e a Avaliação de Títulos (junho de 2010), destinada aos 35 mil candidatos

aprovados na Prova Objetiva.

Nessa edição, o curso foi desenvolvido no formato híbrido (semipresencial),

com atividades realizadas na modalidade a distância, por meio de AVEA e por

encontros presenciais, somando 360 horas de carga horária. Os principais objetivos

dessa ação foram o de apresentar o Currículo do Estado de São Paulo, a estrutura da

SEE-SP e a realidade das escolas estaduais aos professores ingressantes.

No que se refere às atividades desenvolvidas na modalidade a distância, sua

estrutura foi composta por dois núcleos:

182

1. Núcleo Básico: formação comum a todos os professores.

2. Núcleo Específico: formação específica aos professores distribuídos nas 13

disciplinas49 que compõem o Currículo do Estado de São Paulo, e aos

professores de Educação Especial.

No total, o curso foi composto por 18 módulos de 20 horas cada, sendo que o

Núcleo Básico e o Núcleo Específico foram compostos por 8 e 10 módulos,

respectivamente. Os módulos tiveram 7 dias de duração, sendo iniciados às quartas-

feiras, às 5h, e encerrados às terças-feiras, às 23h59min. Além disso, os 18 módulos

foram organizados em 4 períodos:

• Período 1: Módulos de 1 a 4.




A organização dos módulos em períodos visou atender ao disposto no inciso 2,

artigo 7º, da Lei Complementar nº 1.094/2009, que buscou garantir aos candidatos a

ingresso no Quadro do Magistério uma bolsa50 de estudo mensal, correspondente a

75% do valor da remuneração inicial.

Quanto as atividades desenvolvidas no Curso Específico de Formação,

especificamente no AVEA da EFAP, houve uma distribuição entre Questões

Objetivas, Questões Discursivas, Fórum de Discussão, além de Redações e Projetos,

todas corrigidas por professores tutores, com exceção das Questões Objetivas,

corrigidas pela própria plataforma virtual.

Para conclusão do curso era necessário cumprir, no mínimo, 75% do total de

atividades propostas em cada período, com conceito satisfatório, e participar de pelo

menos 2 dos 3 encontros presenciais previstos. A participação no curso de formação

foi aferida por período e, em caso de reprovação, o pagamento da bolsa era suspenso.

49 Arte, Biologia, Ciências, Educação Física, Filosofia, Física, Geografia, História, Inglês, Língua Portuguesa e Literatura, Matemática, Química, Sociologia. 50 Atualmente, a Lei Complementar nº 1.207, de 05 de julho de 2013, em seu artigo 2º, instituiu o Curso Específico de Formação como parte integrante do período de estágio probatório, extinguindo o pagamento da bolsa.

183

Nas atividades desenvolvidas no AVEA da EFAP a frequência foi aferida

mediante as atividades realizadas. No caso dos encontros presenciais, a participação

foi aferida a partir da frequência, mediante assinatura em lista de presença.

Ao final dos 4 períodos, com a finalização dos 18 módulos, houve a realização

de uma prova presencial. Foram considerados aptos a prestarem a prova os

professores que cumpriram, em cada período, as condições de participação e

frequência exigidas.

Com relação ao conteúdo do curso, o Núcleo Básico, em seus 8 módulos,

abordou alguns aspectos pedagógicos da atuação do professor e as condições de seu

trabalho na SEE-SP, conforme descrito no Quadro 20.

Quadro 20 – Módulos e temas que compuseram o Núcleo Básico

Módulo Conteúdo 1 As Políticas Educacionais da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo

2 Profissão professor: dimensão ética e profissional

3 A carreira docente: procedimentos da ação pedagógica

4 Identidade e Diversidade Cultural

5 Aprendizagem e a relação com o conhecimento

6 Cultura Escolar e Cultura Familiar

7 Educação Inclusiva

8 Currículo e Avaliação

Fonte: Adaptado de São Paulo (2010c).

Já o Núcleo Específico, em seus 10 módulos, visou desenvolver alguns

referenciais conceituais, de conhecimentos teórico-metodológicos e de conteúdos

históricos, de forma a complementar a formação acadêmica dos professores a fim de

subsidiar o exercício da docência na disciplina ministrada.

No que se refere à disciplina de Matemática, foram explorados os seguintes

conteúdos, conforme dados do Quadro 21.

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Quadro 21 – Módulos e temas que compuseram o Núcleo Específico de Matemática

Módulo Conteúdo 9 O Currículo do Estado para Matemática

10 Números para ordenar e contar

11 Números para representar e medir

12 Geometria I: do estático ao dinâmico

13 Geometria II - Analítica e métrica

14 Álgebra I: do uso de letras às equações

15 Álgebra II: um olhar funcional

16 Trigonometria: do triângulo aos ciclos

17 Probabilidade, contagem e estatística

18 Metodologia e prática de ensino


Dada a eficácia dessa ação de formação, a EFAP adequou o conteúdo e a

metodologia e instituiu, no ano de 2011, o Programa Currículo e Prática Docente

(CPD), destinado a todos os professores (PEB I e PEB II) em exercício na rede

estadual de ensino, sendo efetivos, estáveis ou temporários (SÃO PAULO, 2012).

A4 – O Programa Currículo e Prática Docente

No Estado de São Paulo, no ano de 2010, a Secretaria da Educação ofereceu

o Curso de Formação Específica como etapa obrigatória do Concurso Público para

Provimento de Cargos de Professore da Educação Básica II. Essa ação de formação,

executada pela EFAP, teve o propósito de atualizar, aperfeiçoar e propiciar formação

continuada compatível com as políticas educacionais da Secretaria (SÃO PAULO,

2012).

Em decorrência da eficácia do Curso de Formação Específica, do qual

participaram cerca de 10 mil professores que pretendiam se efetivar na rede estadual

de ensino, em 14 disciplinas51, a EFAP adequou a metodologia e o conteúdo e

ofereceu, a partir de 2011, o Programa Currículo e Prática Docente a todos os

51 Arte, Biologia, Ciências, Educação Especial, Educação Física, Filosofia, Física, Geografia, História, LEM/ Inglês, Língua Portuguesa, Matemática, Química e Sociologia.

185

professores efetivos e temporários (SÃO PAULO, 2012). Para isso, o curso foi

ofertado exclusivamente na modalidade a distância, por meio do AVEA da EFAP.

Sua primeira edição realizada no ano de 2011, com a oferta de 8 cursos52,

privilegiou o atendimento de 5.760 professores que atuavam nas escolas

denominadas emergentes, determinadas pelos resultados obtidos no SARESP 2010

(SÃO PAULO, 2012). Em sua segunda edição, realizada em 2012, foram ofertadas

7.403 vagas, distribuídas em 13 cursos53.

Em suma, o Programa Currículo e Prática Docente – 2012, buscou abordar

conteúdos e estratégias de ensino, em concordância com o Currículo implementado

no ano de 2008, a fim de contribuir para a melhoria da qualidade da educação na

Rede Pública Estadual de São Paulo (SÃO PAULO, 2012).

52 Biologia, Ciências, Física, Geografia, História, Língua Portuguesa, Matemática e Química 53 Arte, Biologia, Ciências, Educação Física, Filosofia, Física, Geografia, História, LEM – Inglês, Língua Portuguesa, Matemática, Química e Sociologia.

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ANEXOS

ANEXO 1 – Íntegra das Narrativas Extraídas do Fórum de Discussão

Professor 01:

Quadro 22 – Narrativas extraídas do Fórum de Discussão, relacionadas à participação do Professor 01

Data Narrativa

18/10/2012 às 23:06

A ideia é então começar devagar com a explanação do conceito algébrico. Às vezes, quando trocamos o uso da letra na explicação das sequências algébricas por outra coisa (um objeto, um desenho, etc.), o aluno começa a abstrair a ideia de forma mais consistente. O uso de jogos matemáticos procura facilitar a compreensão do aluno neste sentido e, ao mesmo tempo, entusiasmá-lo para que esta compreensão possa levá-lo à generalização que o pensamento algébrico quer transmitir.

22/10/2012 às 20:57

Para que os alunos interpretem a linguagem simbólica na Álgebra, é necessário que compreendam primeiro as generalizações possíveis em cada situação para, a partir daí, interpretar e utilizar determinada linguagem ou simbologia própria da Álgebra. Isto porque que podem explicar a estrutura de um cálculo algébrico sem utilizar nenhum tipo de linguagem própria da Álgebra, ou seja, explicar apenas descritivamente, por meio de frases ou textos que ele possa produzir para explicar algum tipo de cálculo. Assim, fica mais fácil estabelecer as relações entre as duas coisas: simbologia algébrica e generalização algébrica.

Fonte: Extraído do AVEA da EFAP.

Professor 02:


Data Narrativa

13/10/2012 às 15:28

A importância da álgebra para o aprendizado dos alunos é de extrema importância, uma vez que conhecendo as generalizações e os padrões quando existentes, confirmam de fato que o aluno dominou o conteúdo, geralmente os alunos me dizem que gostavam de matemática, quando só tinham números, agora que aparecem letras eles relatam que não conseguem entender mais nada, mas sabemos que de fato eles não querem pensar muito ou não pensar nada, desejam e esperam que tudo seja mastigado, porém nós educadores precisamos estar sempre atentos àqueles alunos que desejam e almejam aprender, que na maioria das vezes não tem a atenção devida. Feliz dia dos professores a todos e que tenhamos mais um ótimo módulo. Abraços.

Continua

187

Continuação

Data Narrativa

13/10/2012 às 15:52

O que se pode ensinar de Álgebra antes do 7º ano? Os exemplos citados foram simples, porém de fundamental importância para que o aluno consiga assimilar o que vem a ser uma sequência, e que quando segue um padrão ela poderá receber nomes específicos, e perceber que nem toda sequencia possui padronização.


Professor 03:


Data Narrativa

16/10/2012 às 17:10

Atualmente o ensino de álgebra na escola onde leciono não vem sendo uma tarefa fácil pelo fato da grande defasagem de conhecimentos básicos apresentados pelos alunos. Buscar novas estratégias para o ensino tem sido um grande desafio, sair dos exemplos numéricos e partir para os exemplos abstratos (formas algébricas) é uma batalha que está longe de acabar... Uma maneira válida para a introdução do conhecimento algébrico é, justamente a partir das sequências numéricas onde devemos começar com regularidades onde envolvam primeiramente as operações de soma e subtração posteriormente passar para as operações mais complexas que é a multiplicação e a divisão. Assim, entendido a ideia de cálculo algébrico com sequências numéricas, fazendo com que eles entendam o conceito do porquê das letras no lugar de números, o meu próximo passo é usar problemas, que envolvam sucessor, antecessor, assim, procuro facilitar a visão do aluno para o assunto.

16/10/2012 às 17:19

Trabalhar com álgebra não é uma tarefa fácil, pois os alunos confundem muito a troca de sinais, se não tiver nenhuma variável, eles conseguem agora se colocar alguma letra, eles não andam nem para frente nem para traz. Os pontos citados são bem válidos e umas das formas mais simples é começar o trabalho com equações fáceis, envolvendo adição e subtração, depois passar para outras operações, onde os alunos encontraram muito mais dificuldade. Se parar para fazer eles refletirem eles começaram a ver álgebra na segunda série, onde eles teriam que encontrar um valor desconhecido representado por um quadradinho nas operações. Apenas mudou de quadradinho para letra. Um procedimento que acho de extrema importância é analisar o resultado encontrando, é preciso que o aluno seja crítico, quanto resolver uma equação, ver se o resultado é possível e quando não for voltar a equação e procurar descobrir onde está errando.

Continua

188

Continuação Data Narrativa

21/10/2012 às 10:09

Concordo com os colegas, a Álgebra nos cadernos do Currículo está inserida na 6ª série/ 7ºano, no 4º volume, iniciando com o foco em reconhecimento de regularidades de padrões em figuras e em sequências numéricas, com o objetivo de generalizar a linguagem algébrica a partir da investigação de regularidades de padrões das sequências numéricas ou de figuras. Como leciono com séries iniciais, penso que a forma apresentada nos cadernos do currículo é uma maneira interessante, poderia ser agregado vídeos para ajudar na assimilação dos conteúdos. Quando for introduzir equações do 1º grau, o uso da balança de dois pratos é uma forma interessante. Esse é um assunto bastante abstrato para os alunos, fazendo com que o grau de dificuldade aumente muito, logo, o uso de novas estratégias são necessárias.


Professor 04:

Quadro 25 – Narrativa extraída do Fórum de Discussão, relacionada à participação do Professor 04

Data Narrativa

15/10/2012 às 16:21

As sequências numéricas, as regularidades mencionadas no tema 1, são fundamentais para os alunos perceberem a importância das letras (álgebra), pois os erros comuns que ocorrem na resolução de uma equação do 1º grau, como no problema 2 (Por que os alunos têm dificuldades no estudo da Álgebra), poderia ser resolvido se o aluno pensasse no equilíbrio da balança e no cálculo mental x = 7, mas é importante também eles terem o conhecimento da maneira formal.


Professor 05:


Data Narrativa

15/10/2012 às 16:19

Concordo também que os alunos devem vivenciar diversas situações de aprendizagem, principalmente cotidianas, para depois ser colocado em contato com os métodos algébricos. Entretanto sempre inicio o conteúdo passando o vídeo Arte e Matemática, pois aborda a situação de igualdade e equilíbrio através da balança, além disso é um vídeo muito interessante.


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Professor 06:


Data Narrativa

20/10/2012 às 20:09

De acordo com os comentários dos colegas, a iniciação à álgebra se torna um tanto assustador aos alunos, pois é uma fase de transição entre o concreto e o abstrato, mesmo introduzindo o assunto com sequências de figuras e de números, observando padrões e regularidades. Tenho observado por vários anos consecutivos que, desde o 6º ano, os alunos questionam a mim quando aprenderão "contas com letras" e no 7º ano, no início do assunto álgebra, o primeiro questionamento é: "Qual o valor da letra? Qual o valor de x?"; revelando uma grande tensão. Acho interessante o professor apresentar vários exemplos do cotidiano, mostrar a importância da incógnita e que esta pode assumir qualquer valor de acordo com a situação dada. Mas, é preciso salientar para iniciar estudos sobre álgebra, o aluno precisa dominar principalmente operações inversas e com números inteiros. Caso contrário, dificilmente entenderá redução de termos semelhantes e posteriormente resolução de equações, mesmo que seja pelo método da balança.

20/10/2012 às 20:24

Concordo [Professor X], até o 7º ano os alunos abominam principalmente operações com frações, mesmo que o professor passe o ano todo trabalhando esse assunto e diversificando suas estratégias de ensino. A partir, do 8º ano, a dificuldade passar a ser a resolução de equações do 1º grau. Por isso, acredito que é importante o professor ensinar a resolução de equações de forma contextualizada através do método da balança, embora haja resistência por parte dos professores.


Professor 07:


Data Narrativa

21/10/2012 às 12:35

A álgebra é muito importante para os alunos, com ela é possível solucionar problemas do dia a dia como por exemplo, compras no supermercado, com a ajuda das letras relacionadas com alguns itens, é possível saber quanto custa cada item. Também podemos resolver problemas com uso de uma balança em equilíbrio. Como vemos, é possível trabalhar com álgebra e seus conceitos por todo o ensino fundamental.

22/10/2012 às 14:09

Acredito que as atividades com regularidades podem fazer com que os conceitos de álgebra sejam assimilados mais facilmente pelos alunos. São atividades assim que constroem o conhecimento com mais facilidade, e trazem uma melhor percepção do conteúdo e sua utilização no cotidiano do indivíduo.


190

Professor 08:


Data Narrativa

17/10/2012 às 23:57

A forma apresentada no tema 1, em minha opinião, leva o aluno a entender melhor a construção de uma equação, dessa forma, o aluno compreende o significado dela e não trabalha apenas mecanicamente equações prontas e sem sentido. Mostrar como se chega a uma equação, como ela é construída, pode dar mais trabalho, mas o resultado é sempre uma aprendizagem mais concreta e duradoura.

21/10/2012 às 8:59

Na minha vivência e concepção, para que tenha compreensão e significado para os alunos, a introdução do uso de letras não deverá ser abordada de forma precoce, ou seja, antes da 6ª. série (7º. ano), porque os alunos ainda se encontram no estágio das operações concretas, exceto o uso de letras deverão ser usadas somente para representar grandezas, tais como “m” para o metro, “g” para o grama e “l” para o litro. Considero de fundamental importância apresentar a passagem da aritmética à álgebra como continuidade e não como ruptura. Os alunos até o 6º. ano, estão acostumados a entender que o que está do lado esquerdo da igualdade são as parcelas da “conta” e o que vem do lado direito, depois do sinal de igual é o resultado, geralmente expresso por um único número. As expressões do tipo “8a” e “3a” e “ab” indicações multiplicações entre o primeiro e o segundo elemento, como 8 x a; 3 x a e a x b. Dependendo do contexto matemático as letras podem se comportar como incógnitas (valores fixos) ou variáveis (que podem assumir diversos valores). No 7º. ano (6ª. série), procuro propor atividades em que os próprios alunos identifiquem regularidades partindo das operações já conhecidas, portanto a generalização é algo essencial para o entendimento dos conceitos algébricos. Na Avaliação da Aprendizagem em Processo, realizada pela Secretaria da Educação, neste ano letivo, para os alunos da 1ª. série do Ensino Médio, me lembro que uma das questões abordava uma sequência de figuras e solicitava a fórmula para determinar o total de quadrinhos da figura com sua posição “n” na sequência. Por meio dessas estratégias, os alunos compreendem que a elaboração de fórmulas, é de forma convencional de generalizar um raciocínio. Aprendendo a montar algoritmos e equações e sabendo o significado das letras que representam incógnitas e variáveis.


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Professor 09:


Data Narrativa

14/10/2012 às 23:06

No livro “ÁLGEBRA: DAS VARIÁVEIS ÀS EQUAÇÕES E FUNÇÕES” de Eliane Reame de Souza e Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, CAEM – IME/USP cita que o ensino da álgebra na escola deve ser considerado quatro funções (ideias) distintas: 1- A Álgebra como generalizadora da aritmética: As variáveis (letras) aparecem para generalizar padrões numéricos que foram construídos indutivamente na aritmética. O que se espera do aluno é que ele observe um padrão e o generalize. 2- A Álgebra como estudo de processos para resolução de problemas: Nesta função as variáveis (letras) são incógnitas, isto é, valores numéricos desconhecidos que são descobertos através da resolução de uma equação ou de um sistema de equações. O que se espera do aluno é que ele descreva simbolicamente através de uma equação a situação que envolve a incógnita de um problema e resolvê-la. 3- A Álgebra como expressão da variação de grandezas: Aqui as variáveis (letras) “variam” (função). O que se espera do aluno é que ele relacione quantidades e faça gráficos. 4- A Álgebra como estudo de estruturas matemáticas: A característica dessa função da álgebra é a manipulação de variáveis como símbolos arbitrários. A variável (letra) é tratada como marcas sobre papel que podem ser manipuladas através das regras das operações da aritmética ou de alguma estrutura algébrica mais complexa. O que se espera do aluno é que ele manipule expressões e justifique o que fez, aprendendo assim as regras da álgebra. Ao olharmos os cadernos do professor e do aluno podemos notar que estas funções (ideias) são tratadas no volume 4 da 6ª série (7º ano), volumes 2 e 3 da 7ª série (8º ano), volume 2 da 8ª série (9º ano) e consolidando ao longo do Ensino Médio.

17/10/2012 às 21:29

É [Professor X], a intervenção do professor faz toda diferença na aprendizagem dos alunos, sanar as dúvidas, as confusões como as citadas nos exemplos do Tema 1. Nos problemas 2 e o 3, citados no exemplo, o que estão em jogo é a ideia da Álgebra como estudo de estruturas matemáticas, é a manipulação de variáveis (letras) como símbolos arbitrários. A letra é tratada como marcas sobre papel que podem ser manipuladas através das regras das operações da aritmética ou de alguma estrutura algébrica mais complexa, nestes exemplos como você citou são os princípios aditivos e multiplicativos.


192

Professor 10:


Data Narrativa

14/10/2012 às 12:20

Concordo com você [Professor X], quando vou iniciar o estudo de equações do 1º grau com os alunos de 6ª série/7° ano, parto do princípio das balanças e um pouco da história da matemática, para que ele perceba através dos princípios aditivo e multiplicativo, o que vem a ser de fato uma equação, ou melhor, o que é uma igualdade, para depois compreender melhor o que é uma desigualdade e é engraçado que no momento em que eles assimilam já não querem mais aplicar os princípios visualmente e sim mentalmente, mas sempre lembro que quando eles falam "passa para o outro lado, somando ou multiplicando" estão realizando os princípios.


Professor 11:


Data Narrativa 22/10/2012

às 20:32 Acho importante explorar a ideia da balança, realmente fica fácil do aluno visualizar.


Professor 12:


Data Narrativa

20/10/2012 às 10:44

Olá! Conforme enunciados dos colegas concordo plenamente dessas tendências ou adequações para introduções do estudo da álgebra para nossos alunados iniciantes (contanto com seus conhecimentos prévios). A aplicação de sequências tantas numéricas como geométricas realça mais o significado e prazer pela álgebra. Sempre o significado é maior quanto apresentamos os aspectos aritméticos, geométricos e algébricos sobre o tema tratado quando possível. E quando se alia a uma contextualização parece tornar um processo de aprendizagem mais eficiente e de qualidade. Acredito que não falta vontade profissional, mas mais vontade política e econômica em avanços educacionais que implicaram alavancas para outros setores (deixe isso para lá... senão...).


193

Professor 13:


Data Narrativa

20/10/2012 às 7:57

Normalmente faço a introdução da álgebra descrevendo aos alunos sobre algo desconhecido e as várias formas de nomeá-las e que podemos até dar valores a este desconhecido. Utilizo também funções, quando temos um valor que depende e ou altera em relação a outro. Exemplo: A quantidade de pão (x) em relação ao preço (fixo), que resulta em um outro valor (y). Neste momento de iniciação à álgebra, procuro não usar termos matemáticos, pois primeiro gosto de dar exemplos associados a realidade dos alunos, para somente depois utilizar uma linguagem matemática. Num segundo momento começo as equações com imagens/ desenhos nos lugares das letras. Para só depois troca-las e para ficar mais próxima a eles não faço o uso continuo das letras x e y, peço a eles que escolham a primeira letra de seu nome ou a letra que eles querem colocar.


Formação Continuada Docente e Cultura Profissional: a educação … · 2018. 11. 28. · Caderno...

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