Forças No Espaço
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CONTEÚDO
• Componentes retangulares de uma força no espaço;
• Equilíbrio de uma partícula no espaço;
COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
Considere a força F atuando na origem O do sistema de coordenadas retangulares x, y e z.
Para definir a direção de F, traçamos o plano vertical OBAC contendo F. Esse plano passa pelo
eixo vertical y; sua orientação é definida pelo ângulo ϕ que ele forma com o plano xy.
COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
A direção de F no plano é definida pelo ângulo θy que F forma com o eixo y.
A força F pode ser decomposta em um componente vertical Fy e um componente horizontal Fh.
yy FF cos yh FsenF
COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
Fh pode ser decomposta em dois componentes retangulares Fx e Fz ao longo dos eixos x e z. Essa
operação é feita no plano xz.
coshx FF senFF hz
cosyx FsenF senFsenF yz
A força F dada foi decomposta em três componentes retangulares Fx , Fy e Fz que estão dirigidos
ao longo dos três eixos coordenados.
COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD:
222 BAOBOA
222hy FFF
222 DCODOC
222zxh FFF
222zyx FFFF
COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
xx FF cos
yy FF cos zz FF cos
Os ângulos θx, θy e θz definem a direção da
força F. Os cossenos de são conhecidos como
cossenos diretores da força F.
COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
Com os vetores unitários i, j e k, dirigidos respectivamente ao longo dos eixos x, y e z,
podemos expressar F na seguinte forma:
kFjFiFF zyx
xx FF cos yy FF coszz FF cos
COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
O ângulo que a força F forma com um eixo deve ser medido a partir do lado positivo do eixo
e será sempre entre 0 e 180°.
Um ângulo θx menor que 90° indica que F está no mesmo lado do plano yz como o eixo x
positivo; cos θx e Fx serão positivos.
Um ângulo θx maior que 90° indica que F está no outro lado do plano yz; cos θx e Fx serão
então negativos.
kFjFiFF zyx
xx FF cos yy FF coszz FF cos
kjiFF zyx
coscoscos
COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
A força F pode ser expressa como o produto escalar F pelo vetor λ:
kjiFF zyx
coscoscos
FF
kji zyx
coscoscos
λ é um vetor cuja intensidade é igual a 1 cuja
direção e sentido são os mesmos que os de F.
É chamado de vetor unitário ao longo da
linha de ação de F.
COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
Os componentes do vetor unitário λ são iguais aos cossenos que orientam a linha de ação
de F:
xx cos yy coszz cos
1222 zyx
1coscoscos 222 zyx
F
Fxx cos
F
Fyy cos
F
Fzz cos
FORÇA DEFINIDA POR SUA INTENSIDADE E POR DOIS PONTOS EM SUA LINHA DE AÇÃO
Em muitas aplicações, a direção de uma força F é definida pela coordenada de dois pontos, M(x1,
y1, z1) e N(x2, y2, z2), localizados em sua linha de ação.
Considere o vetor ligando M e N e de mesmo sentido de F. Representando seus componentes
escalares por dx, dy e dz, escrevemos:
kdzjdyidxMN
FORÇA DEFINIDA POR SUA INTENSIDADE E POR DOIS PONTOS EM SUA LINHA DE AÇÃO
O vetor unitário λ ao longo da linha de ação de F pode ser obtido dividindo-se o vetor por
intensidade MN. Sendo MN igual à distância d de M a N:
kdzjdyidxdMN
MN
1 kdzjdyidxd
FFF
d
FdF x
x d
FdF y
y d
FdF z
z
222zyx dddd
d
d xx cos
d
d yy cos
d
d zz cos
Exemplo 1: um cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em
A. A tração no cabo é 2500 N. Determine os componentes de Fx, Fy e Fz da força que atua sobre
o parafuso. Calcule os ângulos que definem a direção da força.
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO
Uma partícula estará em equilíbrio se a resultante de todas as forças que atuam sobre a mesma
for zero.
0 xF 0 yF 0 zF
Para resolver problemas relacionados ao equilíbrio de uma partícula, deve-se desenhar um
diagrama de corpo livre representando a partícula em equilíbrio e todas as forças que atuam
sobre ela. Deve-se escrever as equações de equilíbrio e resolve-las para as três incógnitas.
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO
Exemplo 2: um cilindro de 200 kg está pendurado por meio de dois cabos AB e AC, presos ao
topo de uma parede vertical. Uma força horizontal P perpendicular à parede segura o cilindro
na posição mostrada. Determine a intensidade de P e a tração em cada cabo.
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO
Exemplo 3: uma seção de um muro de concreto pré-moldado é temporariamente segura pelos
cabos mostrados. Sabendo que a tração é 3780 N no cabo AB e 5400 N no cabo AC, determine a
intensidade e a direção da resultante das forças exercidas pelos cabos AB e AC na estaca A.
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO
Exemplo 4: o conjunto de apoios mostrado na figura é aparafusado no local em B, C e D, e
sustenta uma força P para baixo em A. Sabendo que a força nos elementos AB, AC e AD são
dirigidas ao longo dos seus respectivos elementos e que a força no elemento AB é 146 N,
determine a intensidade de P.
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO
Exemplo 5: o conjunto de apoios mostrado na figura é aparafusado no local em B, C e D, e
sustenta uma força P para baixo em A. Sabendo que a força nos elementos AB, AC e AD são
dirigidas ao longo dos seus respectivos elementos e que P = 200 N, determine as forças nos
elementos.
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO
Exemplo 6: três cabos são usados para amarrar
um balão. Determine a força vertical P exercida
pelo balão em A, sabendo que a tração no cabo
AB é 270N.
Exemplo 7: três cabos são usados para amarrar
um balão. Determine a força vertical P exercida
pelo balão em A, sabendo que a tração no cabo
AC é 450N.