FMCI Cap 7 [Modo de...

05/08/2014

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Slides do livro FMCI

77Resultados de Medições Resultados de Medições

IndiretasIndiretasFundamentos da Metrologia Fundamentos da Metrologia

Científica e IndustrialCientífica e Industrial

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 2/52)

MotivaçãoMotivação

Como estimar a incerteza Como estimar a incerteza do valor de uma do valor de uma grandeza que é calculada grandeza que é calculada a partir de operações a partir de operações matemáticas com os matemáticas com os resultados de outras resultados de outras grandezas medidas?grandezas medidas?

b

c

A = b . c

u(A) = ?

± u(b)

±u(

c)


7.17.1Considerações PreliminaresConsiderações Preliminares

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Medições indiretasMedições indiretas

O valor do mensurando é determinado a O valor do mensurando é determinado a partir de partir de operações matemáticasoperações matemáticas envolvendo envolvendo resultados de resultados de duas ou mais grandezas de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamenteentrada medidas separadamente..

Exemplos:Exemplos: A área de um terreno calculada através do A área de um terreno calculada através do

produtoproduto entre sua entre sua larguralargura pelo seu pelo seu comprimentocomprimento.. Determinação da corrente elétrica Determinação da corrente elétrica dividindodividindo a a

queda de queda de tensãotensão sobre um resistor pelo valor da sobre um resistor pelo valor da sua sua resistênciaresistência..


O Modelo MatemáticoO Modelo Matemático

É necessário um modelo matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando.com o valor do mensurando.

Exemplos:Exemplos: A = l . hA = l . h V = d / tV = d / t

212

212

212 )()()( zzyyxxd


Dependência estatística & Dependência estatística & correlaçãocorrelação

Duas variáveis aleatórias são consideradas Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente estatisticamente independentesindependentes ou ou não não correlacionadascorrelacionadas se as variações aleatórias da se as variações aleatórias da primeira primeira nãonão guardam nenhum tipo de guardam nenhum tipo de sincronismosincronismo com as da segunda.com as da segunda.

Exemplo:Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da a temperatura da água do mar na praia da

Joaquina e a cotação do dólar.Joaquina e a cotação do dólar.

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Dependência estatísticaDependência estatística

Duas variáveis aleatórias são consideradas Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente estatisticamente dependentesdependentes ou ou correlacionadascorrelacionadas se as variações aleatórias da se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma primeira ocorrem de forma sincronizadasincronizada com com as variações aleatórias da segunda.as variações aleatórias da segunda.

Exemplos:Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar

(na verdade quem mais muda é o Real).(na verdade quem mais muda é o Real). A temperatura da água do mar em duas praias A temperatura da água do mar em duas praias

próximas.próximas.


Correlação diretaCorrelação direta

Na correlação Na correlação diretadireta as variações estão as variações estão sincronizadas de tal forma que:sincronizadas de tal forma que: (a) o (a) o aumentoaumento aleatório do valor da primeira aleatório do valor da primeira

variável aleatória é acompanhado de um variável aleatória é acompanhado de um aumentoaumento proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

(b) a (b) a reduçãoredução aleatória do valor da primeira aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma variável aleatória é acompanhado de uma reduçãoredução proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.


Correlação inversaCorrelação inversa

Na correlação Na correlação inversainversa as variações estão as variações estão sincronizadas de tal forma que:sincronizadas de tal forma que: (a) o (a) o aumentoaumento aleatório do valor da primeira aleatório do valor da primeira

variável aleatória é acompanhado de uma variável aleatória é acompanhado de uma reduçãoredução proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

(b) a (b) a reduçãoredução aleatória do valor da primeira aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um variável aleatória é acompanhado de um aumentoaumento proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

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Analogia da Gangorra ...Analogia da Gangorra ...

AB

CA BC

A e B possuem correlação direta

A e C possuem correlação inversa

B e C possuem correlação inversa


Coeficiente de CorrelaçãoCoeficiente de Correlação

YX

YXYX

.

),cov(),(

sendo(X,Y) o coeficiente de correlação entre X e Ycov(X, Y) a covariância entre X e YX o desvio padrão da variável aleatória XY o desvio padrão da variável aleatória Y


Estimativa do Coeficiente de Estimativa do Coeficiente de CorrelaçãoCorrelação

n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yyxxYXr

1

2

1

2

1

)(.)(

))((),(

sendor(X, Y) estimativa do coeficiente de correlação para X e Yxi e yi i-ésimo par de valores das variáveis X e Y

yex valores médios das variáveis X e Yn número total de pares de pontos das variáveis X e Y

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Correlação direta e inversaCorrelação direta e inversa

Correlação direta perfeita:Correlação direta perfeita:ρρ(X, Y) = +1,00(X, Y) = +1,00

Correlação inversa perfeita:Correlação inversa perfeita:ρρ(X, Y) = (X, Y) = --1,001,00

Ausência total de correlaçãoAusência total de correlaçãoρρ(X, Y) = 0,00(X, Y) = 0,00


Correlação entre múltiplas Correlação entre múltiplas variáveis aleatóriasvariáveis aleatórias

AB

CD

A BC

D

AA BB CC DDAA +1+1 +1+1 --11 --11BB +1+1 +1+1 --11 --11CC --11 --11 +1+1 +1+1DD --11 --11 +1+1 +1+1


Nas medições indiretas há boas Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando:chances de correlação quando:

Há erros sistemáticos consideráveis e não Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas compensados nas medições de ambas grandezas;grandezas;

Uma mesma grandeza de influência age Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição;fortemente em ambos processos de medição;

Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido muito tempo após a calibração ter sido realizada.realizada.

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Nas medições indiretas há boas Nas medições indiretas há boas chances de chances de nãonão haver correlação se:haver correlação se:

Ambos os sistemas de medição foram Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo e as respectivas correções estão sendo aplicadas;aplicadas;

Distintos sistemas de medição são utilizados em Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de significativamente ambos os processos de medição.medição.


7.27.2Estimativa da Incerteza Estimativa da Incerteza

Combinada em Medições não Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC)Correlacionadas (MNC)


Adição e subtração de MNCAdição e subtração de MNC

O quadrado da incerteza combinada da O quadrado da incerteza combinada da adição ou subtração de MNC é adição ou subtração de MNC é calculado pela soma dos quadrados das calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão de cada termo:incertezas padrão de cada termo:

2n

22

21

2n21 )][u(X...)][u(X)][u(X)]X X [u(X

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Exemplo: Adição de MNCExemplo: Adição de MNC

11 22

mT = m1 + m2

m1 = (1000 ± 6) g

m2 = (2000 ± 8) g

[u(mT)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2

[u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25

u(mT) = 5 g

MNC

mT = (3000 ± 10) gu(m1) = 6/2,0 = 3 gu(m2) = 8/2,0 = 4 g

U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g


Exemplo: Subtração de MNCExemplo: Subtração de MNC

mC = m2 – m1

m1 = (1000 ± 6) g

m2 = (2000 ± 8) g

[u(mc)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2

[u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25

u(mT) = 5 g

MNC

mC = (1000 ± 10) g

11 22

mC + m1 = m2

U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g


Multiplicação de MNCMultiplicação de MNC

Na multiplicação de MNC o quadrado da Na multiplicação de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator:padrão relativas de cada fator:

2

2

2

2

1

1

2

21

21

X)u(X

X)u(X

.XX).Xu(X

)(Xu)(Xu).X(Xu 22R1

2R21

2R

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Divisão de MNCDivisão de MNC

Na divisão de MNC o quadrado da incerteza Na divisão de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão dos quadrados das incertezas padrão relativas do divisor e do dividendo:relativas do divisor e do dividendo:

2

2

2

2

1

1

2

21

21

X)u(X

X)u(X

/XX)/Xu(X

)(Xu)(Xu)/X(Xu 22R1

2R21

2R


Generalizando: Multiplicação Generalizando: Multiplicação e Divisão de MNCe Divisão de MNC

Na multiplicação e/ou divisão de qualquer Na multiplicação e/ou divisão de qualquer número de MNC o quadrado da incerteza número de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada termo por:relativas de cada termo por:

)(Xu)(Xu)(Xu)X.X(Xu n2R2

2R1

2R

1n

112R 21


Exemplo: Divisão de MNCExemplo: Divisão de MNCV

R I

Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0) sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V.

RVI u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω

u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V

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Divisão Divisão -- ExemploExemploV

R I

A0,300500150

RVI

V = (150,0 ± 2*1,5) V

R = (500,0 ± 2*0,5)

222

Ru(R)

Vu(V)

Iu(I)

222

5000,5

1501,5

0,300u(I)

000001,00001,00,300u(I)

2

u(I) = 0,0030 A

I = (300 ±6) mA


Caso Geral de MNCCaso Geral de MNC

),,,( 21 nXXXfG

22

22

2

11

2 )()()()(

n

n

XuXfXu

XfXu

Xf= Gu

iXf

= coeficiente de sensibilidade

Podem ser calculados analitica ou numericamente


Na determinação da massa específica (Na determinação da massa específica (ρρ) de ) de um material usouum material usou--se um processo indireto, se um processo indireto, medindomedindo--se em um laboratório, com uma se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:grandeza de entrada:

Exemplo: Caso Geral de MNCExemplo: Caso Geral de MNC

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Medições RealizadasMedições Realizadas

D

h

Para a massa: Para a massa: m = (1580 m = (1580 ±± 22) g22) gννm = 14m = 14

Para o diâmetro:Para o diâmetro:D = (25,423 D = (25,423 ±± 0,006) mm0,006) mmννD = ∞D = ∞

Para a altura:Para a altura:h = (77,35 h = (77,35 ±± 0,11) mm0,11) mmννh = 14h = 14


Massa EspecíficaMassa Específica

D

h),,( hDmf =

Volm =

hD4m =

2


Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas.

A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student:

u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 gu(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mmu(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm

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Cálculo da incerteza combinadaCálculo da incerteza combinada

2222 )()()()(

hu

hfDu

Dfmu

mf= u

2

22

2

3

2

22 )(4)(8)(4)(

hu

hDmDu

hDmmu

hD= u

2222)()(2)()(

hhu

DDu

mmu=u



2222

35,77050,0

423,250030,02

158010)(

=u

882

2 10.2,405310.8,4157,58,4005)()(

=uu R

2222)()(2)()(

hhu

DDu

mmu=u



mmg/ 0,040239 .77,35 )423(25. 1413

1580 4 .h D.

.m = 322

,59,

.4

38 g/mm0.000256210.2,4053.040239,0)(.)( Ruu

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Cálculo do número de graus de Cálculo do número de graus de liberdade efetivosliberdade efetivos

h

R

D

R

m

R

ef

R huDumuu

)()()()( 4444

1435,77

050,0423,25

0030,0

141580

10040239,0

0002562,04444

ef

143,14 ef 20,2t


Valor da massa específica:Valor da massa específica:

U() = 2,20 . u()

U() = 2,20 . 0,0002562 = 0,000564 g/mm3

= (0,04024 0,00056) g/mm3


7.37.3Estimativa da Incerteza Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Combinada de Medições Correlacionadas (MC)Correlacionadas (MC)

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Adição de MCAdição de MC

Com correlação direta perfeita:Com correlação direta perfeita:

)u(x)u(x) xu(x 2121 1 2

Com correlação inversa perfeita:Com correlação inversa perfeita:

)u(x)u(x) xu(x 2121 1

2


Adição de MCAdição de MC

Soma de múltiplos termos:Soma de múltiplos termos:A C

B D

Z = A + B + C + D

E = A + C

F = B + D

Z = E + F

u(E) = u(A) + u(C)

u(F) = u(B) + u(D)

u(Z) = |u(E) – u(F)|

u(Z) = |u(A) – u(B) + u(C) – u(D)|

EF


Subtração de MCSubtração de MC


)u(x)u(x) xu(x 2121

1 2


)u(x)u(x) xu(x 2121

12

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Subtração de MCSubtração de MC

Para múltiplos termos:Para múltiplos termos:A C

B D

Z = A - B - C – D = (A - C) – (B + D)

G = A - C

H = B + D

Z = G - H

u(G) = |u(A) - u(C)|

u(H) = u(B) + u(D)

u(Z) = u(G) + u(H)

u(Z) = |u(A) – u(C)| + u(B) + u(D)

GH


Multiplicação de MCMultiplicação de MC


2

2

1

1

21

21

x)u(x

x)u(x

x.x) x.u(x

1 2


)(xu)(xu) x.(xu 2R1R21R 1

2

)(xu)(xu) x.(xu 2R1R21R


Multiplicação de MCMultiplicação de MC


B D

Z = A . B . C . D

K = A . C

L = B . D

Z = K . L

uR(K) = uR(A) + uR(C)

uR(F) = uR(B) + uR(D)

uR(Z) = |uR(K) – uR(L)|

uR(Z) = |uR(A) – uR(B) + uR(C) – uR(D)|

KL

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Divisão de MCDivisão de MC


)(xu)(xu)x/(xu 2R1R21R

1 2


2

2

1

1

21

21

x)u(x

x)u(x

x/x)x/u(x

12

)(xu)(xu)x/(xu 2R1R21R


Divisão de MCDivisão de MC


B D

Z = A . B / (C . D) = (A/C) . (B/D)

M = A/C

N = B/D

Z = M . N

uR(M) = |uR(A) - uR(C)|

uR(N) = |uR(B) - uR(D)|

uR(Z) = |uR(M) – uR(N)|

uR(Z) = ||uR(A) – uR(C)| - |uR(B) - uR(D)||

MN


Caso Geral de MCCaso Geral de MCIncerteza máxima possívelIncerteza máxima possível

),...,,( 21 nXXXfG

iXf


Pode ser calculado analitica ou numericamente

)(...)()()( 22

11

nn

XuXfXu

XfXu

Xf= Gu

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Caso Geral de MCCaso Geral de MCIncerteza máxima possívelIncerteza máxima possível

BABAfG ),( u(A) = 3 e u(B) = 4

(a) Não correlacionadas:

52543)()()( 2222 BuAuGu(b) Correlação direta:

u(G) = u(A) + u(B) = 3 + 4 = 7(c) Correlação inversa:

u(G) = |u(A) - u(B)| = |3 – 4| = 1

743)(.1)(.1)()()(

BuAuBu

BfAu

AfGu

(d) Máxima possível:


7.47.4Estimativa da Incerteza Estimativa da Incerteza

Combinada Quando o Coeficiente Combinada Quando o Coeficiente de Correlação é Conhecidode Correlação é Conhecido


Caso GeralCaso Geral

),...,,( 21 nXXXfG

iXf


Pode ser calculado analitica ou numericamente

n

i

n

i

n

ijjiji

jii

i

XXrXuXuXf

XfXu

XfGu

1

1

1 1

22

2 ),().().(2)()(

jiji XeXentrecorrelaçãodeecoeficientXXr ),(

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Medições correlacionadas e não Medições correlacionadas e não correlacionadascorrelacionadas

Para múltiplos termos:Para múltiplos termos:A B

CD

G = A + B + C + D

rr AA BB CC DDAA +1+1 --11 00BB +1+1 --11 00CC --11 --11 00DD 00 00 00



),().().(2),().().(2),().().(2

),().().(2),().().(2),().().(2

)()()()()( 22

22

22

22

2

DCrDuCuDf

CfDBrDuBu

Df

BfCBrCuBu

Cf

Bf

DArDuAuDf

AfCArCuAu

Cf

AfBArBuAu

Bf

Af

DuDfCu

CfBu

BfAu

AfGu



0).().(20).().(2)1).(().(20).().(2)1).(().(21).().(2

)()()()()( 22222

DuCuDuBuCuBuDuAuCuAuBuAu

DuCuBuAuGu

)().(2)().(2)().(2)()()()()( 22222 CuBuCuAuBuAuDuCuBuAuGu

)()()()()( 222 DuCuBuAuGu

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Correlação parcialCorrelação parcial

)(2),( sinhhfG

com r(h, α) = -0,5

),().().(2)()()( 22

22

2

hruhuf

hfufhu

hfGu

)5,0).(().())cos(2))((2(2)()cos(2)()(2)( 22222 uhuhsinuhhusinGu

)().(.)cos()sin()(.)(cos)(.)(sin4)( 222222 uhuhuhhuGu

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