Fluidostática

Fluidostática

● A estática dos fluidos trata de fluidos em repouso, ou ainda de fluidos em rotação de corpo rígido.

● Nestas situações não há tensões de cisalhamento agindo, há apenas tensões normais(pressão).

● A pressão média é calculada dividindo-se a força normal que age numa superfície plana, pela área da mesma.

Fuidostática

● No limite desta área tendendo a zero, temos a pressão num ponto.

● Assim, podemos dizer que p = p(x,y,z,t) é uma função contínua e diferenciável ( hipótese do contínuo).

● A lei de Pascal afirma que a pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção.

Fuidostática

dy

dx

dspx

py

ps

P

Fuidostática

● Para demonstrar a lei de Pascal, consideremos a figura acima.

● Estão representadas as forças que agem sobre o elemento em forma de cunha de fluido representada onde o ângulo α é arbitrário.

● As forças de contato são representadas pelas pressões p

x,p

y,e p

s agindo sobre as faces de áreas d

x, d

y, e d

s

respectivamente (considerando largura unitária na direção z, não mostrada no desenho).

Fuidostática

● Aplicando a 2a lei de Newton ao elemento temos:

da geometria vem

substituindo acima temos

direção X : pxδ y−psδ s senα=0direçãoY : p y δ x−psδ scos α−γδ x δ y /2=0

δ ssenα=δ y e δ scos α=δ x

Fuidostática

Fazendo o tamanho do elemento tender a zero, ou seja, a cunha tende a um ponto, vemos que o termo

é de segunda ordem e pode ser desprezado

( px−ps)δ y =0

( py−ps)δ x−γ

2δ xδ y =0

γ

2δ x δ y

Fuidostática

As equações ficam:

Dividindo a primeira por δy e a segunda por δx resulta em

( px−ps)δ y=0( p y−ps)δ x=0

px=ps

py=ps

Fuidostática

● Como o ângulo α é arbitrário, conclui-se que a pressão num ponto é independente da direção.

px

py

ps

px

= py = p

s

Fuidostática

● Equação do campo de pressão– Vamos agora tentar determinar como a pressão

varia com a posição num fluido em repouso.

– Vamos novamente considerar um elemento de fluido, desta vez em formato de paralelepípedo.

– As forças consideradas são novamente● Peso● Forças de contato

Fuidostática

δx

δy

δz

γδxδyδz

p-(∂p/∂z)δz/2

p+(∂p/∂z)δz/2

Fuidostática

Aproximando a pressão na face superior por série de Taylor até primeira ordem teremos

e para a face inferior

aplicando a 2a lei de Newton teremos

( p+∂ p∂ z

)δ z2

( p−∂ p∂ z

)δ z2

Fuidostática

Dividindo a expressão por e rearranjando resulta

que é a equação da pressão na condição fluidostática.

( p−∂ p∂ z

)δ z2

δ xδ y−(p+∂ p∂ z

)δ z2

δ x δ y−γ δ z δ x δ y=0

δ x δ y δ z

−∂ p∂ z

=γ

Fuidostática

● Para o caso de um fluido incompressível, temos γ = constante e a equação é facilmente integrada entre os pontos 1 e 2 no interior do fluido fornecendo

● Em problemas onde temos superfície livre, normalmente adotamos esta superfície como referência de cota vertical.

p2−p1=−γ( z2−z1)

Fluidostática

● Se o tratamento for repetido para as direções x e y obtem-se:

● Ou seja, a pressão num fluido em repouso independe de x e de y.

−∂ p∂ x

=0 e −∂ p∂ y

=0

Fuidostática

● Se adotarmos a profundidade h = -z como variável, a equação assume a forma usual:

p2−p1=γ(h2−h1) 2

1

hγ

Fuidostática

● A equação nos diz que a diferença de pressão Δp = p

2 - p

1 entre dois pontos no interior de um

fluido em repouso é proporcional a diferença de profundidades Δh.

● Se para ir do ponto 1 ao ponto 2 tivermos que descer, então Δp = γΔh, se tivermos que subir, então Δp = -γΔh

Fuidostática

● Exemplo – Um tanque de gasolina de um posto de combustíveis sofreu uma infiltração de água devido a uma rachadura. A situação é ilustrada na figura. Dado que a densidade da gasolina é d

G = 0, 68. Calcule:

1- a pressão absoluta na interface gasolina/água.

2- A pressão absoluta no fundo do tanque.

Fuidostática

p2 – p

1 = γ

G(h

2-h

1) adotando a superfície como

referência, temos p1 = p

atm e h

1= 0 então

p2 = 105 + 0,68*1000*9,8*5 = 1,3332x105

p3 – p

2 = γ

A(h

3-h

2)

p3 = 1,3332x105 + 1000*9,8*1 = 1,4312x105

Fuidostática

● Exemplo – Um fluido desconhecido e imiscível, repousa no fundo de um tanque de óleo aberto à atmosfera. Medidas indicam que a profundidade do líquido é 1,5m e a camada de óleo (γ = 8,5kN/m3) tem 5m de altura. Um medidor de pressão no fundo do tanque indica 65 kPa relativa. Qual é a densidade do líquido desconhecido?