Fislabfis III Cdi

FSICA E LABORATRIO DE FSICA III

CURSOS DE GRADUAO EADFsica e Laboratrio de Fsica III Prof. Ms. Demtrio Tadeu Ceccatto e Prof Ms. Jos Ricardo Melges Bortolin

Ol! Meu nome Demtrio Tadeu Ceccatto. Sou Mestre em Fsica Aplicada e graduado em Matemtica (licenciatura) pela Unesp, campus Rio Claro-SP. Atualmente sou professor dos cursos de Engenharia Mecatrnica e Eltrica do Claretiano (Faculdade Rio Claro) e professor de Matemtica da rede pblica e particular de Rio Claro.

Email: [email protected]

Oi, pessoal! Sou Jos Ricardo Melges Bortolin. Sou graduado em Fsica (licenciatura e bacharelado) e mestre em Geocincias e Meio Ambiente pela Unesp, campus Rio Claro- (SP). Atualmente, dedico-me fase final do meu doutorado tambm na rea de Geocincias e Meio Ambiente, tema ligado Geofsica Aplicada.

Email: [email protected]

Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educao

FSICA E LABORATRIO DE FSICA III

Demtrio Tadeu Ceccatto

Jos Ricardo Melges Bortolin

BatataisClaretiano

2015

Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educao

Ao Educacional Claretiana, 2013 Batatais (SP)

Cursos: GraduaoFsica e Laboratrio de Fsica III

Verso: fev./2015

Reitor: Prof. Dr. Pe. Srgio Ibanor PivaVice-Reitor: Prof. Ms. Pe. Jos Paulo Gatti

Pr-Reitor Administrativo: Pe. Luiz Claudemir BotteonPr-Reitor de Extenso e Ao Comunitria: Prof. Ms. Pe. Jos Paulo Gatti

Pr-Reitor Acadmico: Prof. Ms. Lus Cludio de Almeida

Coordenador Geral de EaD: Prof. Ms. Artieres Estevo RomeiroCoordenador de Material Didtico Mediacional: J. Alves

Preparao Aline de Ftima Guedes

Camila Maria Nardi Matos Carolina de Andrade Baviera

Ctia Aparecida RibeiroDandara Louise Vieira Matavelli

Elaine Aparecida de Lima MoraesJosiane Marchiori Martins

Lidiane Maria MagaliniLuciana A. Mani Adami

Luciana dos Santos Sanana de MeloPatrcia Alves Veronez MonteraRaquel Baptista Meneses Frata

Rosemeire Cristina Astolphi BuzzelliSimone Rodrigues de Oliveira

Bibliotecria Ana Carolina Guimares CRB7: 64/11

RevisoCeclia Beatriz Alves TeixeiraEduardo Henrique MarinheiroFelipe AleixoFilipi Andrade de Deus SilveiraJuliana BiggiPaulo Roberto F. M. Sposati OrtizRafael Antonio MorottiRodrigo Ferreira DaverniSnia Galindo MeloTalita Cristina BartolomeuVanessa Vergani Machado

Projeto grfico, diagramao e capa Eduardo de Oliveira AzevedoJoice Cristina Micai Lcia Maria de Sousa FerroLuis Antnio Guimares Toloi Raphael Fantacini de OliveiraTamires Botta Murakami de SouzaWagner Segato dos Santos

Todos os direitos reservados. proibida a reproduo, a transmisso total ou parcial por qualquer forma e/ou qualquer meio (eletrnico ou mecnico, incluindo fotocpia, gravao e distribuio na web), ou o arquivamento em qualquer sistema de banco de dados sem a permisso por escrito do autor e da Ao Educacional Claretiana.

Claretiano - Centro UniversitrioRua Dom Bosco, 466 - Bairro: Castelo Batatais SP CEP 14.300-000

[email protected]: (16) 3660-1777 Fax: (16) 3660-1780 0800 941 0006

www.claretianobt.com.br

SUMRIO

COntEDO IntRODUtRIO

1 InTRoDuo ................................................................................................... 112 GLoSSRIo DE ConCEIToS ............................................................................. 123 ESQuEMA DoS ConCEIToS-CHAVE ................................................................ 134 REFERnCIAS BIBLIoGRFICAS ...................................................................... 13

unIDADE1 CInEMTICA 2D E 3D DE uM PonTo MATERIAL EM uM REFEREnCIAL CARTESIAno FIxo

1 InTRoDuo ................................................................................................... 172 ConTEDo BSICo DE REFERnCIA .............................................................. 18

2.1. CInEMTICA DE uM PonTo MATERIAL .................................................. 182.2. DESLoCAMEnTo ....................................................................................... 202.3. MoVIMEnTo RETLInEo unIFoRME MRu .......................................... 212.4. MoVIMEnTo RETILnEo unIFoRMEMEnTE VARIADo (MRuV) ........... 242.5. MoVIMEnTo CuRVILnEo ....................................................................... 332.6. MoVIMEnTo CuRVILnEo EM CooRDEnADAS CARTESIAnAS ............ 382.7. MoVIMEnTo DE PRoJTEIS ..................................................................... 44

3 ConTEDo DIGITAL InTEGRADoR ................................................................. 533.1. DERIVADA E InTEGRAL ............................................................................ 533.2. PoSIo, DESLoCAMEnTo, VELoCIDADE E

ACELERAo EM MRu E MRuV .............................................................. 533.3. PoSIo, DESLoCAMEnTo, VELoCIDADE E ACELERAo EM

MoVIMEnTo CuRVILnEo ......................................................................... 544 QuESTES AuToAVALIATIVAS ........................................................................ 545 ConSIDERAES .............................................................................................. 566 E-REFERnCIAS ................................................................................................ 567 REFERnCIAS BIBLIoGRFICAS ...................................................................... 57

unIDADE2 CInEMTICA 2D E 3D DE uM PonTo MATERIAL noS REFEREnCIAIS CARTESIAno MVEL, PoLAR E CILnDRICo


2.1. REFEREnCIAL CoM oRIGEM LoCALIZADA SoBRE A PARTCuLA .......... 622.2. MoVIMEnTo CuRVILnEo EM CooRDEnADAS PoLARES .................... 702.3. MoVIMEnTo CuRVILnEo EM CooRDEnADAS CILnDRICAS .............. 752.4. MoVIMEnTo ABSoLuTo DEPEnDEnTE DE DuAS PARTCuLAS ........... 782.5. MoVIMEnTo RELATIVo DE DuAS PARTCuLAS uSAnDo EIxoS DE

TRAnSLAo ............................................................................................... 843 ConTEDo DIGITAL InTEGRADoR ................................................................. 90

3.1. MoVIMEnTo RELATIVo ............................................................................ 90

3.2. MoVIMEnTo CuRVILnEo E MoVIMEnTo RELATIVo ........................... 913.3. MoVIMEnTo ABSoLuTo DE DuAS PARTCuLAS .................................... 91

4 QuESTES AuToAVALIATIVAS ........................................................................ 915 ConSIDERAES .............................................................................................. 936 E-REFERnCIAS ................................................................................................ 947 REFERnCIAS BIBLIoGRFICAS ...................................................................... 94

unIDADE3 CInEMTICA Do MoVIMEnTo PLAno DE uM CoRPo RGIDo


2.1. CInEMTICA Do MoVIMEnTo PLAno DE uM CoRPo RGIDo ............ 982.2. TEoREMA DE CHASLES ............................................................................. 992.3. DERIVADA DE uM VEToR Ao FIxo EM RELAo Ao TEMPo ............... 1032.4. RELAES GERAIS EnTRE AS DERIVADAS EM RELAo Ao TEMPo

DE uM VEToR PARA DIFEREnTES SISTEMAS DE REFERnCIA .............. 1092.5. TRAnSLAo ............................................................................................ 1132.6. RoTAo EM ToRno DE uM EIxo FIxo ................................................. 1142.7. AnLISE Do MoVIMEnTo ABSoLuTo .................................................... 1212.8. AnLISE Do MoVIMEnTo RELATIVo: VELoCIDADE .............................. 1242.9. AnLISE Do MoVIMEnTo RELATIVo: ACELERAo ............................. 1262.10. AnLISE Do MoVIMEnTo RELATIVo uSAnDo-SE uM

SISTEMA DE EIxoS EM RoTAo .............................................................. 1282.11. ACELERAo DE CoRIoLIS ..................................................................... 1342.12. CEnTRo InSTAnTnEo DE RoTAo no MoVIMEnTo PLAno......... 144

3 ConTEDo DIGITAL InTEGRADoR ................................................................. 1493.1. BIoMECnICA .......................................................................................... 1493.2. TCnICAS CoMPuTACIonAIS EM BIoMECnICA .................................. 1493.3. APLICAES PRTICAS Do MoVIMEnTo DE CoRPoS MECnICoS..... 1493.4. FoRA DE CoRIoLIS .................................................................................. 150

4 QuESTES AuToAVALIATIVAS ........................................................................ 1505 ConSIDERAES ............................................................................................. 1546 E-REFERnCIAS ................................................................................................ 1547 REFERnCIAS BIBLIoGRFICAS ...................................................................... 155

unIDADE4 CInEMTICA TRIDIMEnSIonAL DE uM CoRPo RGIDo


2.1. RoTAo EM ToRno DE uM PonTo FIxo ............................................. 1602.2. TEoREMA DE EuLER ................................................................................. 1602.3. RoTAES FInITAS .................................................................................... 160

2.4. RoTAES InFInITESIMAIS ...................................................................... 1622.5. VELoCIDADE E ACELERAo AnGuLAR ................................................. 1632.6. VELoCIDADE E ACELERAo ................................................................... 1652.7. A DERIVADA TEMPoRAL DE uM VEToR MEDIDo

A PARTIR DE uM SISTEMA FIxo ou DE uM SISTEMA TRAnSLADAnDo- RoTACIonAnDo ....................................................................................... 165

2.8. MoVIMEnTo GERAL DE uM CoRPo ....................................................... 1692.9. AnLISE Do MoVIMEnTo RELATIVo uSAnDo EIxoS

TRAnSLADAnDo E RoTACIonAnDo ....................................................... 1702.10. EQuAo DA QuAnTIDADE DE MoVIMEnTo AnGuLAR PARA

uM CoRPo RGIDo EM TRS DIMEnSES ............................................. 1732.11. o TEoREMA DoS EIxoS PARALELoS ...................................................... 1772.12. TEnSoR DE InRCIA ................................................................................ 1782.13. MoMEnTo DE InRCIA EM RELAo A uM EIxo ARBITRRIo ......... 1802.14. PRInCPIo DE IMPuLSo E QuAnTIDADE DE MoVIMEnTo Ao

MoVIMEnTo TRIDIMEnSIonAL DE uM CoRPo RGIDo .................... 1832.15. EnERGIA CInTICA DE uM CoRPo RGIDo EM TRS DIMEnSES ..... 1872.16. EnERGIA CInTICA DE uM CoRPo RGIDo CoM uM PonTo FIxo ... 1882.17. MoVIMEnTo DE uM CoRPo RGIDo TRIDIMEnSIonAL .................... 1912.18. EQuAES DE EuLER PARA o MoVIMEnTo ........................................ 1932.19. EQuAES Do MoVIMEnTo RoTACIonAL .......................................... 1942.20. MoVIMEnTo GIRoSCPIo .................................................................... 200

3 ConTEDo DIGITAL InTEGRADoR ................................................................. 2043.1. o MoMEnTo DE InRCIA......................................................................... 2053.2. ToRQuE, MoMEnTo AnGuLAR DE uM SISTEMA DE PARTCuLAS ..... 2053.3. o MoVIMEnTo GIRoSCPIo E o MoVIMEnTo DE

TRAnSLAo DA TERRA ........................................................................... 2054 QuESTES AuToAVALIATIVAS ........................................................................ 2065 ConSIDERAES ............................................................................................. 2086 E-REFERnCIAS ................................................................................................ 2087 REFERnCIAS BIBLIoGRFICAS ...................................................................... 208

Claretiano - Centro Universitrio

CIContedo Introdutrio

Contedo Cinemtica do ponto material em vrios referenciais em 3D. Cinemtica dos corpos rgidos: translao, rotao e movimento plano geral, centro instantneo de rotao e anlise das aceleraes no movimento plano, sistema de coordenadas em rotao (Acelerao e Fora de Coriolis). Dinmica dos corpos rgidos.

Bibliografia BsicaBEER, F. P.; JoHnSTon, E. R. Jr.; CLAuSEn, W. E. Mecnica vetorial para engenheiros. Dinmica. 7. ed. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 2006.

HIBBELER, R. C. Dinmica - mecnica para engenharia. 12. ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.

MERIAN, J. L. Dinmica. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 1997.

AtEnOPara fazer Incio Destaque - Fim Destaque, recorte a parte que est solicitando e cola fora do frame. Tecle o estligo CtRL+SHIFt+ALt+7

Fsica e Laboratrio de Fsica III1010

importante saber Esta obra est dividida, para fins didticos, em duas partes:

Contedo Bsico de Referncia (CBR): o referencial terico e prtico que de-ver ser assimilado para aquisio das competncias, habilidades e atitudes necessrias prtica profissional. Portanto, no CBR, esto condensados os prin-cipais conceitos, os princpios, os postulados, as teses, as regras, os procedi-mentos e o fundamento ontolgico (o que ?) e etiolgico (qual sua origem?) referentes a um campo de saber.

Contedo Digital Integrador (CDI): so contedos preexistentes, previamente selecionados nas Bibliotecas Virtuais universitrias conveniadas ou disponibi-lizados em sites acadmicos confiveis. So chamados Contedos Digitais In-tegradores porque so imprescindveis para o aprofundamento do Contedo Bsico de Referncia. Juntos, no apenas privilegiam a convergncia de mdias (vdeos complementares) e a leitura de navegao (hipertexto), como tam-bm garantem a abrangncia, a densidade e a profundidade dos temas estuda-dos. Portanto, so contedos de estudo obrigatrios, para efeito de avaliao.

Plano de Ensino 11


1. IntRODUO

Prezado aluno, seja bem-vindo!

Iniciaremos o estudo de Fsica e Laboratrio de Fsica III, em que voc obter as informaes necessrias para o embasamento terico da sua futura profisso e para as atividades que viro.

Alm disso, procuramos elaborar um contedo capaz de pro-porcionar fundamentos para o posicionamento crtico de um futu-ro engenheiro de produo, cujo trabalho gerenciar os recursos humanos, financeiros e materiais, visando aumentar a produtivi-dade de uma empresa com o mnimo de aumento em seus custos.

Este CRC foi dividido em quatro unidades, e, ao avanar no estudo, voc notar que o grau de complexidade do contedo ten-de a aumentar. No se assuste a princpio, pois nosso objetivo o de preparar o futuro engenheiro de produo para enfrentar, com seriedade, os problemas do dia a dia, tanto de um cho de fbrica ,como os do gerenciamento de pessoas. A seguir, iremos apresen-tar de maneira sucinta, os contedos divididos em suas respecti-vas unidades.

na unidade 1, voc ser apresentado ao estudo do movi-mento plano de uma partcula, aprender a definir o referencial a escolha do referencial de fundamental importncia para se determinar o movimento de uma partcula e, posteriormente, de um corpo rgido. Novamente os conceitos de Movimento Retilneo uniforme (Mu) e uniformemente Variado (MuV) sero retoma-dos, mas utilizaremos os recursos do clculo diferencial e integral. Fecharemos com o estudo das trajetrias ditas curvilneas, teis para a balstica.

J na unidade 2, iremos aproveitar os resultados dos cor-pos que executam trajetrias curvilneas e fixaremos o referencial nesse corpo. Essa estratgia apresenta um significado, que ser descoberto ao longo de seu estudo. Alm disso, iremos utilizar referenciais em coordenadas polares (em 2D) e em coordenadas


cilndricas (em 3D). Tal mudana de referencial de extrema im-portncia, pois ela facilita muito os clculos.

Iremos definir, na unidade 3, os conceitos de translao e rotao de um corpo rgido. Desenvolveremos as suas equaes em diferentes referenciais que nos permitiro calcular a sua veloci-dade e acelerao, no caso da translao e sua velocidade angular e acelerao angular. Veremos as derivadas temporais de vetores em diferentes referenciais. Uniremos os dois movimentos ao cor-po, estudando assim o seu movimento absoluto e determinando as suas equaes vetoriais. Por fim, estudaremos o vetor Acelera-o de Coriolis e definiremos a Fora de Coriolis.

Finalizando este CRC, na unidade 4, deveremos ter nossa ateno voltada aos mtodos que se baseiam na quantidade de movimento, momento angular e energia cintica. Iremos comear com as rotaes em torno de um ponto fixo, enunciando, a seguir o Teorema de Euler. Passaremos s rotaes finitas e infinitas, de-finindo em seguida a velocidade e a acelerao angular para es-ses movimentos, alm de determinarmos a velocidade e a acele-rao absoluta. Definiremos as equaes do movimento angular, momento de inrcia e definiremos o Teorema dos Eixos Paralelos, assim como a matriz tensora de inrcia associada ao movimen-to geral de um corpo rgido. Por fim, estudaremos o impulso e a quantidade de movimento, finalizando a unidade com os interes-santes instrumentos denominados giroscpios.

2. GLOSSRIO DE COnCEItOS

O Glossrio de Conceitos permite uma consulta rpida e pre-cisa das definies conceituais, possibilitando um bom domnio dos termos tcnico-cientficos utilizados na rea de conhecimento dos temas tratados.

1) Mecnica: o ramo da Fsica que trata do estado de re-pouso ou movimento de corpos sujeitos ao de for-


13 Contedos Introdutrios

as. Sua aplicao engenharia pode ser dividida em duas reas de estudo: a esttica e a dinmica.

2) Esttica: diz respeito ao equilbrio das foras que atuam em um corpo, que pode estar em repouso ou se moven-do com velocidade constante.

3) Dinmica: trata do movimento acelerado de um corpo.4) Cinemtica: trata dos aspectos geomtricos do movi-

mento.5) Cintica: analisa as foras que causam o movimento.6) Momento de Inrcia: mede a quantidade de massa ao

longo de um corpo.

3. ESQUEMA DOS CONCEITOS-CHAVE

O Esquema a seguir possibilita uma viso geral dos conceitos mais importantes deste estudo.

Dinmica Cinemtica do movimento plano

Translao Rotao Absoluto

Acelerao e Fora de Coriolis

Relativo

Cinemtica do movimento em 3 D

Momento de Inrcia e Produto de Inrcia

Trabalho e energia

Movimento Uniforme (MV) e Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Movimento curvilneo Referncias

Figura 1 Esquema dos Conceitos-chave de Fsica e Laboratrio de Fsica III.

4. REFERnCIAS BIBLIOGRFICASBEER, F. P.; JoHnSTon, E. R. Jr.; CLAuSEn, W. E., Mecnica vetorial para engenheiros. Dinmica. 7. ed. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 2006.


HIBBELER, R. C. Dinmica - mecnica para engenharia. 12. ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.

1Cinemtica 2D e 3D de um Ponto Material em um Referencial Cartesiano FixoObjetivos Conhecer e aplicar um sistema de referncia adequado a uma situao es-

pecfica. Fixar e relacionar os conceitos de posio, movimento, velocidade e acele-

rao. Compreender e analisar o movimento de uma partcula em trajetrias reti-

lneas. Identificar e analisar o movimento de uma partcula em trajetrias curvilne-

as, em um referencial cartesiano fixo.

Contedos Referencial, posio, movimento, velocidade e acelerao. Movimento Retilneo uniforme (MRu) e Movimento Retilneo uniformemen-

te Variado (MRuV).

Movimento Curvilneo 2D e 3D em Coordenadas Cartesianas com referencial fixo.

Orientaes para o Estudo da UnidadeAntes de iniciar o estudo desta unidade, leia as orientaes a seguir:

1) No se limite ao contedo deste Caderno de Referncia de Contedo; busque outras informaes em sites confiveis e/ou nas referncias bibliogrficas, apresentadas ao final de cada unidade. Lembre-se de que, na modalidade EaD, o engajamento pessoal um fator determinante para o seu crescimen-to intelectual.

2) imprescindvel o conhecimento dos conceitos de limite, derivada e integral para o pleno entendimento do contedo aqui apresentado. Se voc domina esses conceitos, no ter grandes dificuldades; porm, se esses conceitos no forem compreendidos plenamente, sugerimos que as referncias sobre


Clculo, listadas no final da unidade, sejam consultadas para que seu apren-dizado se d de forma plenamente satisfatria.

3) Procure adquirir um ritmo de estudo. Isso ir ajud-lo a compreender me-lhor as ideias que sero trabalhadas ao longo da unidade e evitar que o pro-cesso de aprendizagem ocorra com falhas.

4) no deixe de recorrer aos materiais complementares descritos nos Conte-dos Digitais Integradores.

17


U1 - Cinemtica 2D e 3D de um Ponto Material em um Referencial Cartesiano Fixo

1. IntRODUO

Seja bem-vindo! A partir de agora, voc iniciar o estudo do movimento de partculas do ponto de vista da Cinemtica. Por ser um assunto bastante amplo, dividimos o contedo em duas uni-dades.

no incio desta unidade, voc perceber a importncia dos sistemas de referncias para os problemas de Dinmica na Fsica. Fique atento, pois todas as situaes propostas nesta unidade ne-cessitaro de um sistema de referncia adequado para que seja possvel definir expresses que retratem matematicamente o mo-vimento das partculas envolvidas. Voc perceber algo que Albert Einstein j sabia h muito tempo que tudo relativo!

Em um segundo momento, vamos revisar alguns conceitos fsicos que parecero familiares a voc. E realmente o so! Abor-daremos, a princpio, o movimento de partculas que executam trajetrias retilneas com velocidade constante (Movimento Re-tilneo uniforme MRu) e com velocidade varivel (Movimento Retilneo uniformemente Variado MRuV). Apesar de serem te-mas amplamente abordados no Ensino Mdio e nos cursinhos pr--vestibulares, galgaremos alguns degraus a mais e utilizaremos de-rivadas, integrais e grficos para estabelecer relaes matemticas entre posio, velocidade e acelerao.

Por fim, vamos estudar o movimento de partculas que exe-cutam trajetrias curvilneas em um sistema de referncia fixo e com coordenadas cartesianas. Alguns tpicos novamente lhe se-ro familiares, tais como o "movimento de projteis". Entretanto, nossa inteno no somente revisar contedos do Ensino Mdio, mas lhe mostrar como duas novas ferramentas de clculo a de-rivada e a integral podem ser extremamente teis na resoluo de problemas.

Alm do contedo desta unidade, a leitura do Contedo Digital Integrador extremamente importante e faz parte do


processo de aprendizagem. A visualizao dos vdeos disponveis no final da unidade tambm lhe ajudar a compreender os contedos aqui trabalhados.

Terminaremos esta unidade com algumas questes autoava-liativas. de fundamental importncia que voc as resolva, para garantir a sua mxima aprendizagem. Bom estudo!

2. COntEDO BSICO DE REFERnCIA

O Contedo Bsico de Referncia apresenta, de forma sucin-ta, os temas abordados nesta unidade. Para sua compreenso in-tegral, necessrio o aprofundamento pelo estudo dos Contedos Digitais Integradores.

2.1. CINEMTICA DE UM PONTO MATERIAL

Iniciaremos, agora, o estudo da Cinemtica de um ponto ma-terial sob diferentes referenciais. Antes de entrarmos especifica-mente no assunto, precisamos conhecer algumas definies:

Cinemtica: do grego "kynes" (movimento), o ramo da Mecnica que descreve o movimento dos corpos, deter-minando sua posio, sua velocidade e sua acelerao em cada instante, sem se importar com as causas do movi-mento.

Ponto material: uma simplificao adotada nos estudos de Fsica em que todo corpo extenso (uma pessoa, um carro, um prdio) reduzido a um nico ponto geom-trico, de modo a facilitar as dedues e os clculos. Na maioria dos casos, as dimenses dos corpos no so leva-das em conta porque so desprezveis quando compara-das s distncias envolvidas no fenmeno.

Agora que sabemos o que Cinemtica e ponto material, fo-caremos nossa ateno no primeiro item deste campo de estudo: a posio.

19



Posio

A posio (ou localizao) de um corpo a cada instante so-mente possvel se utilizarmos um referencial. Em outras palavras, para que possamos determinar a localizao de um corpo, deve-mos faz-lo em relao a outro corpo, adotado como referncia.

Alm disso, necessria a utilizao de um sistema de coor-denadas a fim de definir posies com preciso. Vejamos alguns exemplos:

a) A localizao de uma casa em uma rua qualquer feita por meio de nmeros. A numerao crescente, com sentido do incio para o fim da rua e com os nmeros pares colocados direita de quem se desloca para o final da rua. Neste caso, a localizao feita com uma nica coordenada.

b) os sistemas de GPS (Global Positioning System), ampla-mente utilizados em automveis nos dias atuais, deter-minam a posio de um mvel na superfcie terrestre por meio de duas coordenadas: a latitude (direo n-S) e a longitude (direo L-o), em que a latitude cresce a partir da linha do Equador em direo aos polos e a lon-gitude crescente a partir do Meridiano de Greenwich em direo, tanto para o leste, quanto para o oeste.

c) Avies e helicpteros modernos tambm utilizam um receptor de GPS como parte do sistema de navegao. Entretanto, a localizao de aeronaves em pleno voo tambm depende de uma terceira varivel: a altitude.

De modo a simplificar o entendimento inicial deste assunto, adotaremos um referencial (ou sistema de coordenadas) unidi-mensional retilneo nosso objeto de estudo ser uma partcu-la de dimenses e de massa desprezveis. na Figura 1, o ponto O indica a origem do sistema de coordenadas adotado. Esse sistema utiliza um nico eixo de coordenadas x, em que os valores direi-ta da origem so positivos. Deste ponto em diante, adotaremos, sempre, este padro de referencial, salvo quando especificado.


Fonte: Hibbeler (2011, p. 3). Figura 1 Posio de uma partcula em um sistema de coordenadas unidimensional.

Percebemos, ento, que somente conseguimos definir a posio(s) da partcula se o fizermos em relao ao ponto de ori-gem (O) do referencial. Por possuir intensidade e direo, a po-sio considerada uma grandeza vetorial. No Sistema Interna-cional de unidades (SI), as medidas de posio so expressas em metros (m).

2.2. DEsLOCAMENTO

Para afirmarmos se um determinado corpo se encontra em repouso ou em movimento, precisamos saber se existe alguma va-riao da localizao do corpo durante um intervalo de tempo e qual o referencial adotado.

Para exemplificar, considere uma pessoa que est viajando em um carro. Para ela, a paisagem muda de posio, mas o banco em que est sentada permanece sempre abaixo de si. nesse caso, tomando o carro como referencial, a pessoa est em repouso e a paisagem est em movimento. Entretanto, algum que est pa-rado no acostamento e v o carro passando pela rodovia obser-va este e a pessoa dentro dele em movimento, mas a paisagem sua volta permanece esttica. Assim, tomando a estrada como referencial, o carro e seu ocupante encontram-se em movimento, enquanto a paisagem est em repouso.

Aqui percebemos que, assim como a posio, o movimento relativo, pois sempre depender do referencial adotado.

Considerando a Figura 2, notamos que a partcula inicial-mente localizada em s variou sua posio at s'. Essa variao de posies definida como deslocamento e representada por s.

21



Fonte: Hibbeler (2011, p. 3). Figura 2 Deslocamento de uma partcula em um sistema de coordenadas unidimensional.

Matematicamente, escrevemos:

's s s = (1.1)

O deslocamento tambm uma grandeza vetorial, pois pos-sui intensidade, direo e sentido. Considerando o referencial ado-tado, temos que:

Se s' > s, ento s > 0. Se s' < s, ento s < 0.

Neste momento, cabe fazer uma observao: no devemos confundir deslocamento com distncia percorrida. Como j vimos anteriormente, deslocamento corresponde a uma variao entre duas posies distintas. Distncia percorrida (dp) corresponde ao escalar positivo que representa a intensidade do deslocamento.

Com as leituras propostas no tpico 3. 1., voc poder ti-rar suas dvidas ou enriquecer seu conhecimento em Clculo. Antes de prosseguir para o prximo assunto, realize as leituras indicadas.

2.3. MoviMento Retlineo UnifoRMe MRU

MRU uma sigla que pode lhe soar familiar. Essas trs letras significam Movimento Retilneo Uniforme, que corresponde ao movimento de um corpo ao longo de uma reta e com velocidade constante no decorrer do tempo.


Velocidade

Velocidade uma grandeza fsica que nos indica o quanto um corpo se deslocou (s) em um determinado intervalo de tem-po (t) (Figura 3).

Fonte: adaptado de Hibbeler (2011, p. 3).Figura 3 Velocidade em um sistema de coordenadas unidimensional.

Matematicamente, podemos escrever:

''MDIA

s s svt t t

= =

(1.2)

Dizemos velocidade mdia para diferenci-la da velocidade instantnea (v). Young e Freedman (2008, p. 38) propem o seguin-te: imagine que possamos dividir o intervalo de tempo t em inter-valos cada vez menores; desse modo, o deslocamento s tambm ser cada vez menor. Portanto, a velocidade instantnea dada por:

0lim

t

s dsvt dt

= = (1.3)

Como t e dt so sempre positivos, o sentido da velocidade dado por s e por ds, de acordo com o referencial adotado. A uni-dade de medida da velocidade no I o metro por segundo (m/s).

Posio em funo da velocidade

Podemos utilizar a equao (1.3) para obter uma expresso que nos fornea a posio de um corpo em funo da velocidade que atinja. Para isso, devemos reescrev-la na forma v dt ds = e integrar ambos os lados, conforme a Equao (1.4) (YounG; FRE-EDMAn, 2008, p. 55):

23



00

t s

s

vdt ds= (1.4)

Reorganizando os termos, obtemos a famosa "equao do sorvete", apresentada aos alunos no Ensino Mdio:

0s s vt= + (1.5)

Grficos St e vt

Outra opo para representar o movimento de uma partcu-la que executa um MRu so os grficos que relacionam as variveis s, v e t.

Se temos em mos um grfico em que a posio de um cor-po varia em funo do tempo (st) (Figura 4a), podemos construir um novo grfico em que a velocidade varia em funo do tempo (vt) (Figura 4b). Como? Basta utilizar a equao (1.3) para cada instante de tempo considerado.

Fonte: Hibbeler (2011, p. 13).Figura 4 Grfico St (a) e vt (b).

observando a Figura 4, podemos concluir que a derivada da funo posio (ds/dt) nos fornece a inclinao do grfico no ins-tante de tempo considerado. Essa inclinao igual velocidade do corpo nesse instante (YounG; FREEDMAn, 2008, p. 40).


O caminho contrrio tambm possvel. Se nos dado um grfico vt (Figura 5a), podemos obter um grfico st (Figura 5b) por meio da integrao da equao (1.3) para cada intervalo de tempo considerado. Perceba que, nesse caso, a integrao da rea abaixo da curva nos fornece o valor da posio do mvel.

Fonte: Hibbeler (2011, p. 14).Figura 5 Grfico vt (a) e st (b).

2.4. MoviMento Retilneo UnifoRMeMente vaRiado (MRUv)

Ao contrrio do MRU, o Movimento Retilneo Uniformemen-te Variado descreve o movimento de um corpo com velocidade varivel no decorrer do tempo. Se um corpo apresenta MRUV, sig-nifica que est sujeito a uma acelerao.

Acelerao

Acelerao a grandeza fsica que nos indica o quanto um corpo consegue variar sua velocidade (v) em um determinado intervalo de tempo (t) (Figura 6). Em termos matemticos, pode-mos escrever:

ttvv

tvaMDIA

=

=''

(1.6)

25



Fonte: adaptado de Hibbeler (2011, p. 4).Figura 6 Acelerao em um sistema de coordenadas unidimensional.

Tal como no caso da velocidade, dizemos acelerao mdia de modo a diferenci-la da velocidade instantnea (v). Assim, se-gundo Young e Freedman (2008, p. 43), se reduzirmos um inter-valo de tempo t em intervalos cada vez menores, teremos um infinitesimal dt. Desse modo, a variao da velocidade v tambm ser cada vez menor, at tornar-se dv. Portanto, a acelerao ins-tantnea dada por:

dtdv

tva

t=

= 0

lim (1.7)

Tambm podemos substituir a equao (1.3) na equao (1.7), de modo que:

2

2

dv d ds d sadt dt dt dt

= = =

(1.8)

Sendo t e dt sempre positivos, o sentido da acelerao dado por v e por dv, de acordo com o referencial adotado. Desse modo:

Quando v' > v, ento a > 0 acelerao. Quando v > v', ento a < 0 desacelerao.

A unidade de medida da acelerao no SI o metro por se-gundo ao quadrado (m/s).

Velocidade

Partindo da equao (1.7), podemos reescrev-la na forma a dt dv = . Admitindo que a acelerao seja constante (a = ac), po-demos integrar ambos os lados:


=v

v

t

c dvdta00

(1.9)

Resolvendo as duas integrais e reorganizando os termos, ob-temos uma velha conhecida dos tempos do Ensino Mdio e do cursinho (TIPLER, 2000, p. 24):

tavv c+= 0 (1.10)

Grficos vt e at

Similarmente ao tpico Grficos st e vt, tambm podemos estabelecer relaes diretas entre grficos vt e at. Podemos cons-truir um grfico em que a acelerao dependente do tempo (at) (Figura 7b), derivando a curva de um grfico vt para cada instante de tempo considerado (Figura 7a). Lembre-se de que a acelerao ins-tantnea para qualquer instante considerado igual inclinao da reta tangente curva nesse ponto (YounG; FREEDMAn, 2008, p. 44).

Fonte: Hibbeler (2011, p. 14).Figura 7 Grfico vt (a) e at (b).

Porm, se tivermos um grfico at (Figura 8a) e integrarmos a rea sob a curva para cada intervalo de tempo considerado, po-demos utilizar o resultado de cada integrao para construir um grfico vt correspondente (Figura 8b).

27



Fonte: Hibbeler (2011, p. 14).Figura 8 Grfico at (a) e vt (b).

Posio

Tomando a equao (1.3), reescrevendo-a na forma v dt ds = e substituindo nela a equao (1.10), temos:

00

t s

s

vdt ds= (1.11)

0

00

( )t s

cs

v a t dt ds+ = (1.12)

Integrando ambos os lados e organizando os termos, obte-mos outra velha conhecida das aulas de Fsica do Ensino Mdio (TIPLER, 2000, p. 25):

2

0 0 2ca ts s v t= + + (1.13)

Equao de torricelli

A partir das equaes (1.3) e (1.7), conseguimos obter outra relao interessante. Da equao (1.3), escrevemos dt = ds/v, e, da equao (1.7), temos dt = dv/a. Igualando ambas e organizando os termos, obtemos:

a ds v dv = (1.14)


Supondo, novamente, que a acelerao seja constante ( )ca a= e integrando ambos os lados, temos:

0 0

s v

s v

ads vdv= (1.15)

Resolvendo as integrais e reorganizando os termos, conclu-mos que:

2 20 02 ( )cv v a s s= + (1.16)

A equao (1.16) a no menos conhecida Equao de Torri-celli, em que a velocidade escrita em funo da posio (TIPLER, 2000, p. 25).

Grficos vS e aSA partir de um grfico em que a velocidade determinada

em funo da posio (vs) (Figura 9a), possvel construir um novo grfico em que a acelerao varia em funo da posio (as) (Figura 9b). nesse caso, devemos usar a equao (1.14) na forma

( / )a v dv ds= . Conhecendo o valor de s e de v para cada ponto da curva e calculando a inclinao da curva (dv/ds) para cada valor de v, obtemos o grfico aS.

Fonte: Hibbeler (2011, p. 15).Figura 9 Grfico vs (a) e as (b).

29



No caso em que seja dado um grfico as, podemos cons-truir um grfico vs por meio da integrao da equao (1.14). Lembre-se de que, nesse caso, a integrao da rea sob a curva para uma determinada distncia (Figura 10a) nos fornece o valor da velocidade do mvel neste trecho percorrido.

Fonte: Hibbeler (2011, p. 15).Figura 10 Grfico as (a) e vs (b).

Exerccios resolvidos1) Uma partcula desloca-se em linha reta com velocidade

dada por ( ) v t t= , em m/s. Qual o deslocamento total da partcula entre 3 t s= e 18 t s= ?

Resoluo:

O deslocamento total da partcula pode ser calculado pela integrao em relao ao tempo da equao (1.3) na forma ds v dt= :

0

18 182

3 3

S

S

ds vdt t dt= = (I)

Assumindo s0 = 0, a equao (I) resulta em:


18

3 3

3

3(18) (3) 5.832 27 1.935

3 3 3 33s m

t= = = =

2) Uma partcula desloca-se segundo a equao s(t) = (6t 4), sendo S o deslocamento em metros e t o tempo em segun-dos. Nestas condies, qual a diferena entre sua acelerao para 2 t s= e para 10 t s= ?

Resoluo:

Inicialmente, devemos "abrir" os termos entre parnteses da equao que descreve o movimento da partcula. Assim, obte-remos:

2 2(6 4) 36 48 16s t t t= = + (I)

Se derivarmos (I) em relao ao tempo, obteremos uma ex-presso que nos fornece a velocidade da partcula em funo do tempo:

2(36 48 16)ds dv t tdt dt

= = +

4872 = tv (II)

Interessa-nos descobrir a acelerao da partcula em dois instantes de tempo especficos. Derivando (II) em relao ao tem-po, obtemos uma expresso que nos indica a acelerao da part-cula em funo do tempo:

72=a (III)

Como o resultado da derivada temporal de (II) um valor constante, conclumos que no existe diferena de acelerao para t = 2 s e para t = 10 s. Portanto, a acelerao da partcula constan-te e vale a = 8 m/s.

31



3) o carro esportivo Lamborghini Gallardo LP 550-2 5.2, se-gundo fontes especializadas, apresenta acelerao de 0 a 100 km/h em 3,90 s. Determine a distncia percorrida pelo carro nessas condies.

Resoluo:o primeiro passo da resoluo deste exerccio a transfor-

mao das unidades de medida, pois temos velocidade dada em km/h e tempo em s. Vamos padronizar nossas unidades em m e s. Sabendo que 1 km = 1.000 m e 1 h = 3.600 s, temos que:

100 (100 . 1.000) 100.000100 / 27,8 /1 (1 . 3.600) 3.600

km mkm h m sh s

= = =

a) Agora podemos calcular a acelerao mdia do carro uti-lizando a equao (1.6):

227,8 0 7,12 /3,90MDIA

va m st

= =

b) Conhecendo o valor da acelerao, podemos obter uma expresso para a variao da velocidade do carro no tempo pela integrao da equao (1.7), reescrevendo-a na forma dv a dt= :

=t

t

v

vdtadv

00

00 7,12

t

tv v t =

(I)

c) Quando t t 0= = , o carro encontra-se parado; portanto 0v 0= . Assim, aplicando os limites de integrao ade-

quados, podemos resolver a equao (I):

( )3,90

07,12 7,12 3,90 0 27,8 /v m st = =

Ora, era de se esperar que no tempo t = 3,90 s o carro apre-sentasse a velocidade v 27,8 m/s.


d) Por fim, para descobrirmos qual a distncia percorrida pelo carro em 3,90 s, devemos substituir o resultado (I) na equao (1.3) e integrar tudo em relao ao tempo:

0 0

s t

s t

ds vdt=

0

0

27,12

2

t

t

s st

=

(II)

e) Quando 0t t 0= = , o carro encontra-se parado na linha de largada. Para fins de clculo, dizemos que sua posio 0 0s s= = . Portanto, a distncia percorrida por ele em 3,90 s :

3,90

2 2

0

2(3,90) (0) 15,217,12 7,12 7,12 54,1

2 2 22s m

t = = =

4) Durante o lanamento de um satlite ao espao, o fo-guete que o carregava apresentou problemas logo aps a decolagem e caiu. Sabe-se que sua velocidade, instan-tes antes de apresentar problemas, era de 120 m/s e que os motores falharam a uma altitude de 72 m. Considere a acelerao gravitacional g = 9,81 m/s. I) Qual foi a alti-tude mxima atingida pelo foguete? II) A que velocidade estava o foguete ao se chocar contra a Terra?

Resoluo:a) Conhecemos a velocidade inicial do foguete (v0 = 120

m/s) e podemos deduzir que no momento em que o fo-guete atinge a mxima altitude, sua velocidade torna-se v = 0. Alm disso, conhecemos a altitude em que os mo-tores falharam (s0 = 72 m) e sabemos que a nica ace-lerao a que o foguete est sujeito a gravitacional. Se adotarmos um referencial positivo para cima, ento g

33



negativa. Portanto, podemos utilizar a equao (1.16) para solucionar o item a):

2 20 02 ( )cv v a s s= +

20 (120) 2( 9,81)( 72)s= +

806s mb) Ainda utilizando a equao (1.16), conseguimos deter-

minar o item b). neste caso, sabemos que, quando o fo-guete iniciou a queda, sua velocidade era v0 = 0, e que, quando se chocou contra a Terra, 0s = . Portanto:

2 20 02 ( )cv v a s s= +

)8060)(81,9(202 +=v

125,7 /v m s

A velocidade negativa, pois nosso referencial positivo para cima e o foguete deslocou-se para baixo.

Em razo da relevncia dos assuntos tratados anterior-mente, indicamos a videoaula proposta no tpico 3. 2. Antes de prosseguir para o prximo assunto, assista ao vdeo indicado.

2.5. MOVIMENTO CURVILNEO

A partir deste ponto, estudaremos o movimento de uma part-cula em uma trajetria curvilnea. Os conceitos so semelhantes aos do movimento retilneo, mas em vez de utilizarmos um referencial unidimensional, como fizemos at agora, adotaremos um referen-cial tridimensional, dadas as caractersticas desse movimento.


Posio

Suponhamos que uma partcula se desloca em uma trajet-ria curvilnea, conforme a Figura 11, em que sua posio varia com o tempo, isto , s = s(t). nessa condio, adotamos um ponto fixo (O) como a origem do referencial. Assim, a posio da partcula, em relao ao referencial ser dada pelo vetor posio r = r(t)1. Usaremos o destaque em negrito para indicar grandezas vetoriais. Opcionalmente, tambm poder ser utilizada a notao r .

Perceba que, se a trajetria for uma circunferncia, o com-primento de r ser constante e somente sua direo variar. Entre-tanto, se a trajetria for elipsoidal, por exemplo, tanto sua direo quanto sua intensidade (comprimento do vetor) iro variar no de-correr do tempo.

Fonte: Hibbeler (2011, p. 23).Figura 11 Posio de uma partcula em uma trajetria curvilnea.

Deslocamento

J sabemos, conforme visto anteriormente no item 5.2, "Deslocamento", que uma partcula executa um deslocamento quando sua posio varia no decorrer do tempo. Assim, observan-do a Figura 12, se em um intervalo de tempo t a partcula variou linearmente sua posio em s, podemos representar seu deslo-camento na trajetria curvilnea por uma subtrao vetorial r = r' r. Perceba que s r.

35



Fonte: Hibbeler (2011, p. 14). Figura 12 Deslocamento de uma partcula em uma trajetria curvilnea.

Velocidade

Vamos recorrer, mais uma vez ao conhecimento que adqui-rimos nesta unidade. No tpico "Velocidade", referente ao item 5.3., Movimento Retilneo uniforme MRu, aprendemos que ve-locidade corresponde medida da variao da posio de um m-vel no decorrer do tempo. Ora, se sabemos que o deslocamento em um movimento curvilneo expresso por r e que a variao do tempo dada por t, ento, podemos escrever que a veloci-dade mdia de uma partcula em uma trajetria curvilnea dada pela Equao (1.17):

trvMDIA

=

(1.17)

Se tomarmos a equao (1.17) e aplicarmos o limite em que t 0, obteremos a velocidade instantnea, conforme a equao (1.18):

dtrd

trv

t

=

= 0

lim (1.18)

na condio da equao (1.18), r to significativamen-te reduzido que se aproxima da tangente trajetria. Isso implica duas consequncias: a primeira que a velocidade instantnea tambm passa a ser tangente trajetria da partcula (Figura 13).


Fonte: Hibbeler (2011, p. 24). Figura 13 Velocidade de uma partcula em uma trajetria curvilnea.

A segunda consequncia que o comprimento do segmento r muito prximo ao comprimento de arco s (Figura 14). Por isso, podemos reescrever a equao (1.18) como:

0 0lim lim

t t

r s dsvt t dt

= = = (1.19)

A equao (1.19) a velocidade escalar e pode ser obtida pela derivao da funo posio s = s(t) em relao ao tempo.

Acelerao

Se, em um intervalo de tempo t, uma partcula altera sua velocidade de v para v' (Figura 14 e, portanto, v = v' v), ento podemos escrever sua acelerao mdia como:

tvaMDIA

=

(1.20)

37



Fonte: Hibbeler (2011, p. 24). Figura 14 Variao da velocidade de uma partcula em uma trajetria curvilnea.

Mas, como podemos calcular o v na Figura 14 se ambos os vetores velocidade no "fecham o tringulo"? muito simples: basta tra-los em um novo referencial em que suas extremidades iniciais encontrem o ponto de origem do novo sistema O'. Desse modo, as extremidades dos vetores encontram uma nova curva chamada hodgrafa (Figura 15).

Fonte: Hibbeler (2011, p. 24). Figura 15 Obteno do v por soma vetorial.

Tendo v em mos, podemos calcular a acelerao instan-tnea da partcula aplicando o limite em que t 0 na equao (1.20). Assim, obteremos:

0lim

= =

t

v dvat dt

(1.21)

Se substituirmos a equao (1.18) na equao (1.21), obte-remos:


2

2 = = =

dv d dr d radt dt dt dt

(1.22)

O vetor acelerao a tangente hodgrafa (Figura 16a), mas, geralmente, no tangente trajetria da partcula. Em uma trajetria curvilnea, a acelerao tende a ser centrpeta, isto , em direo ao centro da trajetria (Figura 16b).

Fonte: Hibbeler (2011, p. 25). Figura 16 Vetor acelerao tangente hodgrafa (a) e em direo ao centro da trajetria (b).

2.6. MOVIMENTO CURVILNEO EM COORDENADAs CARTEsIANAs

Posio

Estudamos at aqui somente o movimento de partculas em uma dimenso, na qual s = s(t) para o movimento retilneo e r = r(t) para o movimento curvilneo. Entretanto, nosso universo no unidimensional, mas tridimensional, isto , vivemos em um uni-verso em que a largura (x), a altura (y) e a profundidade (z) defi-nem o espao. Assim, se quisermos descrever a posio de uma partcula em trs dimenses, devemos utilizar o vetor posio (r) (Figura 17), definido por (YounG; FREEDMAn, 2008, p. 70):

kzjyixr

++= (1.23)

39



Fonte: Hibbeler (2011, p. 25).Figura 17 Posio de uma partcula em um sistema de referncia cartesiano.

A qualquer instante, a intensidade de r expressa por:

222 zyxr ++= (1.24)

Deslocamento

Quando em movimento, o vetor posio de uma partcula varia em funo do tempo, assim como no movimento curvilneo unidimensional. Por isso, podemos escrever ( )r r t= . Entretanto, r, agora, dependente das componentes x, y e z. Assim, podemos concluir que, se r dependente do tempo, suas componentes tambm o sero, isto , x = x(t), y = y(t) e z = z(t).

Se, inicialmente, uma partcula possui o vetor posio r e, aps um intervalo de tempo t, seu vetor posio passa a ser r', ento seu deslocamento pode ser expresso por:

)()'''(' kzjyixkzjyixrrr

++++== (1.25)

kzjyixr

++= (1.26)

Velocidade

Para calcularmos a velocidade de uma partcula que se move em trs dimenses, utilizaremos os mesmos conceitos emprega-dos anteriormente, porm, fazendo-o para as trs componentes.


Assim, a velocidade mdia de uma partcula pode ser ex-pressa por:

ktzj

tyi

tx

tkzjyix

trvMDIA

+

+

=

++=

= (1.27)

A velocidade instantnea pode ser calculada aplicando o li-mite t 0 equao (1.27) (YounG; FREEDMAn, 2008, p. 70). Desse modo, obtemos:

0lim

= =

t

r drvt dt

(1.28)

ktzj

tyi

txv

ttt

+

+

= 000

limlimlim (1.29)

k

dtdzj

dtdyi

dtdxv

++= (1.30)

kvjvivv zyx

++= (1.31)

kzjyixv

++= (1.32)

A notao x na equao (1.32) equivale derivada primeira de x = x(t) (lembre-se de que a derivada primeira da funo posi-o nos fornece a funo velocidade). o mesmo vlido para as componentes y e z.

A qualquer instante, podemos expressar a intensidade de v por meio da equao (1.33) e, como j vimos, v sempre tangente trajetria (Figura 18).

222zyx vvvv ++= (1.33)

41



Fonte: Hibbeler (2011, p. 26). Figura 18 Velocidade de uma partcula em um sistema de referncia cartesiano.

Acelerao

Vamos supor que a mesma partcula tomada como exemplo no item anterior, aps um perodo de tempo t, variou sua veloci-dade de v para v'. Ento, podemos expressar sua acelerao mdia a por:

kt

vjt

vi

tv

tva zyxMDIA

+

+

=

= (1.34)

Podemos obter a acelerao instantnea aplicando o limite em que t 0, como na equao (1.34).

0lim

= =

t

v dvat dt

(1.35)

kt

vjt

vi

tva z

t

y

t

x

t

+

+

= 000

limlimlim (1.36)

k

dtdvj

dtdv

idt

dva zyx

++= (1.37)

kajaiaa zyx

++= (1.38)


Tambm podemos calcular a derivada primeira da equao (1.31) ou a derivada segunda da equao (1.23) para obtermos o mesmo resultado. Tambm nesse caso, o vetor posio no tan-gente trajetria (Figura 19).

kajaiaa zyx

++= (1.39)

kvjviva zyx

++= (1.40)

kzjyixa

++= (1.41)

Fonte: Hibbeler (2011, p. 26).Figura 19 Acelerao de uma partcula em um sistema de referncia cartesiano.

A intensidade da acelerao instantnea pode ser obtida ao se extrair a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada compo-nente, isto :

222zyx aaaa ++= (1.42)

Exerccio resolvido1) Durante a decolagem de um avio, sua trajetria pode

ser descrita por y(x) = 0,0015x, com x e y dados em m. Determine a intensidade da velocidade e da acelerao do avio quando sua altitude for 150 y m= , sabendo que a velocidade de ascenso constante e igual a 15 m/s.

43



Resoluo:a) Quando y = 150 m, temos 150 = 0,0015x ou x 316,2

m. Tambm podemos deduzir que, se a velocidade de ascenso do avio vy = 15 m/s e se vy = y/t, ento t = 150/15 = 10 s.

b) Para obtermos uma expresso para a velocidade do avio, iniciemos derivando y(x) em relao ao tempo utilizando a regra da cadeia:

(0, 003 ) 0,003y xdy dx

v x x xvdx dt

= = =

c) Agora, conseguimos determinar o valor da componente vx:

xy xvv 003,0=

15 0,003(316, 2) xv=

15,81 /xv m s

d) Como temos em mos os valores de vx e de vy, podemos utilizar a equao (1.33) para calcular a intensidade da velocidade do avio:

2 2 2 2(15,81) (10) 18,7 /x yv v v m s= + = +

e) Para obtermos uma expresso para a acelerao do avio, temos que derivar vy em relao ao tempo, tam-bm utilizando a regra da cadeia:

xxxxxx

x

yy xavvvxvxdt

dvdvdv

a 003,0003,0003,0003,0 +=+==

)(003,0 2 xxy xava +=

f) Quando x = 316,2 m, vx = 15,81 m/s e ay = dy / dt = 0. Desse modo, conseguimos determinar o valor da com-ponente ax:


20, 003( )y x xa v xa= +

20 0,003((15,81) 316, 2 )xa= +

20, 7905 /xa m s=

g) Tendo em mos os valores de ax e de ay, podemos utilizar a equao (1.42) para calcular a intensidade da acelera-o do avio:

2 2 2 2 2( 0, 7905) (0) 0, 7905 /x ya a a m s= + = + =

Na videoaula proposta no tpico 3. 3., voc compreende-r as bases do movimento retilneo. Antes de prosseguir para o prximo assunto, assista ao vdeo indicado.

2.7. MOVIMENTO DE PROJTEIs

o Movimento de Projteis (tambm conhecido por Lana-mento oblquo) um caso especfico de movimento em trs di-menses. Entretanto, para facilitar os clculos, assumimos que toda trajetria ocorre somente em duas dimenses convencio-nalmente, os eixos x e y. Esse tipo de movimento est presente em nosso cotidiano, mas, muitas vezes passa despercebido. Tente lembrar-se de alguns casos tpicos de movimentos de projteis en-quanto a formulao fsico-matemtica apresentada.

Vamos assumir que um projtil lanado a partir do ponto (x0, y0) com velocidade inicial v0 (Figura 20). J aprendemos que a veloci-dade de uma partcula que se movimenta em duas ou mais dimen-ses pode ser expressa em funo de suas componentes (ver trecho sobre "velocidade" no texto anterior, Movimento Curvilneo em Co-ordenadas Cartesianas). Portanto, podemos escrever 0 0 0x yv v v= + (note que essa uma somatria vetorial e no escalar).

45



Agora, faamos o mesmo para a acelerao. Podemos escre-ver a acelerao da partcula como x ya a a= + (novamente, temos uma somatria vetorial). Entretanto, neste tipo de movimento, a acelerao no eixo x nula ( 0xa = ), pois nesta direo o projtil descreve um movimento retilneo uniforme (5.3. Movimento Reti-lneo uniforme MRu). A nica acelerao do sistema ser na di-reo vertical (eixo y) e com sentido para baixo. Essa a acelerao da gravidade (g) que assumiremos como constante e com valor de

29,81 /m s . Portanto, 9,81 / ya a g m s= = = .

Fonte: Hibbeler (2011, p. 29). Figura 20 Movimento de um projtil em um sistema de referncia cartesiano.

Podemos, segundo Young e Freedman (2008, p. 78), obter equaes que descrevem o movimento do projtil em cada com-ponente.

Para o eixo x, em que o movimento do tipo MRU, temos: A partir da equao (1.10):

xx vv 0= (1.43)

A partir da equao (1.13):

tvxx x00 += (1.44)



xx vv 0= (1.45)

Para o eixo y, em que o movimento do tipo MRUV, temos: A partir da equao (1.10):

gtvv yy = 0 (1.46)


2

2

00gttvyy y += (1.47)


)(2 02

02 yygvv yy = (1.48)

O sinal negativo de g nas equaes (1.46), (1.47) e (1.48) re-sulta da orientao do eixo y positivo para cima e o sentido, da acelerao da gravidade para baixo.

Altura mxima

Se, no momento do lanamento, soubermos qual a medida do ngulo formado entre o vetor velocidade inicial (v0) e a hori-zontal (eixo x), ento podemos escrever as componentes v0x e v0y em funo do ngulo de lanamento 0. Isso possvel se usarmos nossos conhecimentos de trigonometria e o aplicarmos a esta si-tuao especfica.

Nas aulas de Matemtica do Ensino Mdio, aprendemos que:

catetoopostosenhipotenusa

= (1.49)

cos cateto adjacentehipotenusa

= (1.50)

47



Agora, vamos observar a Figura 21 e aplicar a ela as equa-es (1.49) e (1.50). Percebemos que o cateto oposto ao ngulo 0 corresponde componente v0y, o cateto adjacente ao ngulo 0 corresponde componente v0x e a hipotenusa corresponde ao vetor velocidade inicial v0.

Figura 21 Decomposio do vetor velocidade inicial nas componentes x e y.

Portanto, a partir das equaes (1.49) e (1.50) e da Figura 22, conclumos que:

000 cosvv x = (1.51)

000 senvv y = (1.52)

As equaes (1.51) e (1.52) podem ser empregadas para calcularmos as componentes horizontal e vertical da velocidade a qualquer instante da trajetria, bastando substituir o ngulo de lanamento 0 pelo ngulo correspondente ao instante conside-rado (Figura 22).


Figura 22 Variao do vetor velocidade e de suas componentes em uma trajetria de um projtil.

Para calcularmos a altura mxima (H) que um projtil pode atingir, devemos, inicialmente, substituir a equao (1.52) nas equaes (1.46) e (1.47), obtendo, assim:

gtsenvvy = 0 (1.53)

2)(

2

00gttsenvyy += (1.54)

Quando o projtil atinge a altura mxima, a componente vertical da velocidade vy nula (veja na Figura 22). Desse modo, a equao (1.53) pode ser reescrita na forma:

gsenvt 0= (1.55)

na situao da Figura 22, em que y0 = 0, a equao (1.55) fornece-nos o tempo de subida (ts) do projtil. Alm disso, como a acelerao no eixo vertical constante e a trajetria uma pa-rbola, o trecho de subida entre y0 e ymx. simtrico ao trecho de descida entre ymx. e y0. Assim, o tempo de queda (tq) do projtil tambm pode ser expresso pela equao (1.55). De acordo com Ti-pler (2000, p. 60), se quisermos obter o tempo total da trajetria, basta multiplicarmos a equao (1.55) por 2 e obteremos:

49



gsenvtTOTAL

02= (1.56)

Por fim, se substituirmos a equao (1.55) na equao (1.54) e fizermos y = H, obteremos a expresso da altura mxima de um projtil:

gsenvyH2

220

0

+= (1.57)

Alcance

Continuando o raciocnio iniciado anteriormente, podemos obter uma expresso que nos fornea o alcance do projtil, isto , a distncia horizontal que ele consegue atingir, desde o seu lan-amento at sua queda. Como? o projtil percorrer a mxima distncia quando o tempo gasto para desenvolver sua trajetria for igual ao tempo de subida somado ao tempo de queda, ou seja, o tempo total dado pela equao (1.56).

Assim, se tomarmos a equao (1.44) e nela substituirmos a equao (1.51), obteremos:

tvxx )cos( 000 += (1.58)

neste caso, o tempo (t) o mesmo dado pela equao (1.56). Fazendo a devida substituio, trocando x por A e sabendo que 2 ( ) (cos ) 2sen sen = , obteremos:

+=

gsenvxA 0

20

02

(1.59)

A equao (1.59) fornece-nos o alcance (A) de um projtil em funo do ngulo de lanamento 0. Se fizermos algumas si-mulaes de lanamentos, como na Figura 23, utilizando o mesmo valor da velocidade inicial (v0) para diferentes ngulos (0), perce-


beremos que o alcance ser mximo para o ngulo de 45 e idn-tico para ngulos complementares (cuja soma resultam em 90) (TIPLER, 2000, p. 59).

Figura 23 Alcance de um projtil para diferentes ngulos de lanamento.

Exerccio resolvido1) Uma aeronave inimiga voando paralelamente a um ter-

reno perfeitamente plano detectada pelo sistema de defesa de um determinado pas quando esta sobrevoa uma antena de radar apontada para o znite. A altitu-de da aeronave em relao ao solo de 3.000 m e sua velocidade de 192 m/s. Em certo instante, um mssil superfcie-ar lanado a partir de um trilho situado na base da antena na tentativa de derrubar a aeronave ini-miga. Sabe-se que a velocidade do mssil v = 320 m/s. nessas condies, qual deve ser o ngulo de lanamento do mssil (em relao horizontal) para que ele atinja a aeronave? Considere g 9,81 m / s= .

Resoluo:a) O primeiro passo adequar um sistema de referncia

ao problema. Podemos tomar a antena de radar como a origem do sistema e fazer positivo o deslocamento hori-zontal para a direita e o vertical para cima.

b) Como a velocidade da aeronave constante (v0 = v0Ax = 192 m/s), sua posio (xA) ser dada em funo do tempo pela equao (1.44). no momento em que foi detectada, a aeronave encontrava-se exatamente acima da antena.

51



Se a antena est localizada na origem do sistema, ento x0A = 0. Alm disso, a aeronave voa a uma altitude cons-tante. Ento, temos:

ttvxx AxAA 19200 =+= (I)

3.000Ay = (II)

c) Sobre o mssil, conhecemos sua velocidade inicial (v0M = 320 m/s), sabemos que foi lanado do trilho localiza-do na origem do sistema (x0M = 0 e y0M = 0) e que seu movimento horizontal independente do movimento vertical. As equaes (1.58) e (1.54) podem ser usadas, respectivamente, para descrever xM e yM.

0 0 0 0( cos ) (320cos )M M Mx x v t t = + = (III)

2 2

0 0 0 0

9,81( ) (320 )

2 2M Mgt t

y y v sen t sen t = + = (IV)

d) Para que o mssil atinja a aeronave, as posies de am-bos devem ser as mesmas no mesmo instante: xA = xM e yA = yM. De (I) e (III), temos:

MA xx =

0192 (320cos )t t=

0

192 3cos

320 5 = =

0 53,13

e) Para confirmarmos, se realmente, o mssil atingiu a ae-ronave, tomemos (II) e (IV):

A My y=

29,813.000 (320 53,13 )

2t

sen t=


24 9,813.000 320.

5 2t

t=

23.000 256 4,905t t=

24,905 256 3.000 0t t + =

1 17,77t s

2 34, 42t s

Existem duas possibilidades de o mssil atingir a aeronave: t

1 est associado subida e t

2 descida dele (lembre-se de que a

trajetria do mssil uma parbola). Desse modo, o menor valor nos indicar o momento em que a aeronave atingida pelo mssil.

Sabendo em que instante ocorre a interceptao, inseri-mos o valor de t1 em (IV):

29,81(17,77)(320 53,13 )17,77

2My sen=

256 17,77 4,905(17,77)My =

4.549,1 1.548,9My =

3.000, 2My m=

O valor de yM a altitude do voo da aeronave, portanto, ocorrer a coliso.

Vdeo complementar Neste momento, fundamental que voc assista ao vdeo complementar.

Para assistir ao vdeo pela Sala de Aula Virtual, clique no cone Videoaula, localizado na barra superior. Em seguida, selecione o nvel de seu curso (Graduao), a categoria (Disciplinar) e o tipo de vdeo (Complementar). Porfim,cliquenonomedadisciplinaparaabriralistadevdeos.

Para assistir ao vdeo pelo seu CD, clique no boto "Vdeos" e selecione: Fsica e Laboratrio de Fsica III Vdeos Complementares Comple-mentar 1.

53



3. COntEDO DIGItAL IntEGRADOR

O Contedo Digital Integrador representa uma condio ne-cessria e indispensvel para voc compreender integralmente os contedos apresentados nesta unidade.

3.1. DERIVADA E INTEgRAL

Se voc tem dificuldades com Clculo, quer elucidar alguma dvida simples ou pretende enriquecer seu conhecimento, sele-cionamos trs obras de referncia que certamente lhe ajudaro.

FLEMMInG, D. M.; GonALVES, M. B. Clculo A: funes, limites, derivao, integrao. 6. ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. Captulo 4 Derivada e Captulo 6 In-troduo Integrao.

THoMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Clculo. 11. ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. Captulo 3 Derivao e Captulo 5 Integrao.

3.2. POsIO, DEsLOCAMENTO, VELOCIDADE E ACELERAO EM MRU E MRUV

Este um vdeo desenvolvido por uma equipe do Instituto de Fsica Gleb Wataghin, da UNICAMP, em que o Prof. Luiz Marco Brescansin explica as generalidades do movimento retilneo. o v-deo longo, mas vale muito a pena assistir.

UNIVESP. Cursos Unicamp: Fsica Geral 1 / aula 2. Dispo-nvel em: . Acesso em: 3 nov. 2014.


3.3. POsIO, DEsLOCAMENTO, VELOCIDADE E ACELERAO EM MOVIMENTO CURVILNEO

Outro vdeo desenvolvido por uma equipe do Instituto de Fsica Gleb Wataghin, da UNICAMP, em que o Prof. Luiz Marco Brescansin agora explica as bases do movimento curvilneo. nova-mente, frisamos que o vdeo longo, mas realmente vale muito a pena assistir.

UNIVESP. Cursos Unicamp: Fsica Geral 1 / aula 5. Disponvel em: . Acesso em: 3 nov. 2014.

4. QUEStES AUtOAVALIAtIVAS

A autoavaliao pode ser uma ferramenta importante para voc testar o seu desempenho. Se encontrar dificuldades em res-ponder as questes a seguir, voc dever revisar os contedos es-tudados para sanar as suas dvidas.

1) Em um ensaio de coliso, um carro, a 100 km/h, colide contra uma barreira de concreto. (I) Em quanto tempo o carro para? (II) Qual a acelerao duran-te a coliso? Considere a distncia de frenagem como 0,75 m.

a) t = 0,015 s e a = 6.666,7 m/s.b) t = 0,027 s e a = 1.045,3 m/s.c) t = 0,054 s e a = 520 m/s.d) t = 0,015 s e a = 520 m/s.e) t = 0,054 s e a = 6666,7 m/s.

2) Uma barca navega com velocidade constante v0 = 8 m/s durante 60 s. De-pois, desliga os motores e fica navegando, ao lu, com velocidade expressa por v = v0.(t1

2/t2), em que t1 = 60 s. Qual o deslocamento da barca de t = 0 at t ?a) 480 mb) 488 mc) 720 md) 960 me)

55



3) Um carro avana para o leste a 60 km/h, faz uma curva em 5 s e passa a avanar para o norte, mantendo a mesma velocidade de 60 km/h. Calcule a acelerao mdia do carro.a) a

MDIA = (12 km/h.s)i + (12 km/h.s)j

b) aMDIA

= +(12 km/h.s)i (12 km/h.s)jc) a

MDIA = (12 km/h.s)i (12 km/h.s)j

d) aMDIA

= +(12 km/h.s)i + (12 km/h.s)je) a

MDIA = 0

4) Em um jogo de hquei, um jogador acerta o disco com seu taco, impulsionan-do-o, de tal modo, que ele sobe e ultrapassa uma barreira de 2,80h m= . O tempo de voo do disco at ultrapassar a barreira 1 0, 650t s= e a distncia entre o ponto de impacto taco/disco e a barreira 1 12,0x m= . (a) Qual a velocidade inicial do disco? (b) Em que instante t o disco atinge a altura mxi-ma? (c) Qual a altura mxima?

a) v = 5,1 m/s, t = 1,886 s e hmx.

= 17,44 m.b) v = 18,5 m/s, t = 1,886 s e h

mx. = 17,44 m.

c) v = 7,49 m/s, t = 0,764 s e hmx.

= 2,86 m.d) v = 20,0 m/s, t = 2,038 s e h

mx. = 20,38 m.

e) v = 20,0 m/s, t = 0,764 s e hmx.

= 2,86 m.

5) Uma partcula desloca-se em um movimento retilneo e sua posio em fun-o do tempo dada por s(t) = 3t 12t + 8, em que a posio dada em m e o tempo em s. (a) Determine a expresso para a velocidade da partcula em funo do tempo. (b) Qual a velocidade da partcula para os instantes t

1

= 4 s e t2 = 17 s? (c) Determine a expresso para a acelerao da partcula

em funo do tempo.

a) ( )v t 6t 12t= , ( )v 4 168 m / s= , ( )v 17 3.366 m / s= e ( )a t 6 12t= .

b) ( )v t 6t 12= , ( )v 4 12 m / s= , ( )v 17 90 m / s= e ( )a t 6= .c) ( )v t 6t 12t 8t= + , ( )v 4 224 m / s= , ( )v 17 26.146 m / s= e

( ) 4a t 6t 12t 8t= + .d) ( )v t t = , ( )v 4 2,16 m / s= , ( )v 17 10,8 m / s= e

( )a t 3 / 2= .e) n.d.a.

Gabarito

Confira, a seguir, as respostas corretas para as questes au-toavaliativas propostas:


1) Alternativa "c".

2) Alternativa "d".

3) Alternativa "a".

4) Alternativa "e".

5) Alternativa "b".

5. COnSIDERAES

Aqui finalizamos o contedo da primeira unidade. Durante a leitura deste material, voc pde relembrar alguns conceitos bsi-cos de Fsica e aprofund-los utilizando duas poderosas ferramen-tas de Clculo: a derivada e a integral. Tambm aprendeu como escolher o sistema de referncia mais adequado para cada tipo de movimento apresentado.

Sugerimos fazer, sempre que possvel, a leitura das refern-cias bibliogrficas listadas no item 10 desta unidade, pois isto lhe ajudar a esclarecer eventuais dvidas. Lembre-se de que ter d-vidas um ponto importante no processo de aprendizagem e que, a partir delas, podemos realmente fixar nossas ideias.

6. E-REFERNCIAS

Lista de figurasFigura 23 Decomposio do vetor velocidade inicial nas componentes x e y. Disponvel em: . Acesso em: 3 nov. 2014.

Figura 24 Variao do vetor velocidade e de suas componentes em uma trajetria de um projtil. Disponvel em: . Acesso em: 3 nov. 2014.

Figura 25 Alcance de um projtil para diferentes ngulos de lanamento. Disponvel em: . Acesso em: 3 nov. 2014.

57



7. REFERnCIAS BIBLIOGRFICASHIBBELER, R. C. Dinmica: mecnica para engenharia. 12. ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.

SHAMES, I. H. Dinmica: mecnica para engenharia. 4. ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2003.

TIPLER, P. A. Fsica para cientistas e engenheiros: mecnica, oscilaes e ondas, termodinmica. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2000.

YounG, H. D.; FREEDMAn, R. A. Fsica I: mecnica. 12. ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.

2Cinemtica 2D e 3D de um Ponto Material nos Referenciais Cartesiano Mvel, Polar e Cilndrico

Objetivos Analisar o movimento de uma partcula em trajetrias curvilneas sob dife-

rentes referenciais. Introduzir os princpios da anlise de movimento dependente de duas par-

tculas e do movimento relativo de duas partculas utilizando eixos de trans-lao.

Contedos Movimento Curvilneo 2D e 3D em Coordenadas Cartesianas com referencial

localizado sobre a partcula. Movimento Curvilneo 2D e 3D em Coordenadas Polares e Cilndricas.

Movimento absoluto dependente de duas partculas. Movimento relativo de duas partculas utilizando eixos de translao.

Orientaes para o Estudo da UnidadeAntes de iniciar o estudo desta unidade, leia as orientaes a seguir:

1) imprescindvel o conhecimento dos conceitos de limite, derivada e integral para o pleno entendimento do contedo aqui apresentado. Se voc domina esses conceitos, no ter grandes dificuldades; porm, se esses conceitos no lhes so plenamente compreendidos, sugerimos que consulte as refe-rncias sobre "Clculo" listadas ao final da unidade para que seu aprendiza-do seja plenamente satisfatrio.

2) Procure adquirir um ritmo de estudo. Isso ir ajud-lo a compreender me-lhor as ideias que sero trabalhadas ao longo da unidade e evitar que o pro-cesso de aprendizagem ocorra de forma falha.

3) no deixe de recorrer aos materiais complementares descritos nos Conte-dos Digitais Integradores.

61


U2 - Cinemtica 2D e 3D de um Ponto Material nos Referenciais Cartesiano Mvel, Polar e Cilndrico

1. IntRODUO

Daremos continuidade, na unidade 2, ao estudo do movi-mento de partculas do ponto de vista da Cinemtica.

na unidade anterior, vimos a importncia dos sistemas de referncia para os problemas de Dinmica na Fsica, revisamos alguns conceitos fsicos relacionados a trajetrias retilneas (posi-o, deslocamento, velocidade e acelerao), aprendemos como utilizar derivadas e integrais para escrever equaes matemticas que relacionam s, v, a e t e introduzimos a anlise de trajetrias curvilneas utilizando um referencial cartesiano fixo.

Agora, abordaremos, inicialmente, o movimento de partcu-las que executam trajetrias curvilneas utilizando um referencial cartesiano com a origem localizada sobre a partcula. Depois, am-pliaremos nossa abordagem para a utilizao de referenciais com sistema de coordenadas polares e cilndricas. O fechamento do contedo se dar com uma breve explanao sobre movimentos absolutos e relativos de duas partculas.

Alm do contedo desta unidade, a leitura dos Contedos Digitais Integradores extremamente importante e faz parte do processo de aprendizagem. A visualizao dos vdeos disponveis no final da unidade tambm lhe ajudar a compreender os conte-dos aqui trabalhados.

Por fim, terminaremos esta unidade com algumas questes autoavaliativas. de fundamental importncia que voc as resolva para garantir a sua mxima aprendizagem. Bom estudo!


2. COntEDO BSICO DE REFERnCIA

2.1. REFERENCIAL COM ORIgEM LOCALIZADA sOBRE A PARTCULA

Movimento Curvilneo Bidimensional

Por vezes, quando a trajetria de uma partcula conhecida, torna-se mais conveniente descrever seu movimento por meio de um novo referencial composto por duas componentes normal (n) e tangencial (t) e com a origem do novo sistema localizado sobre a partcula.

no instante considerado na Figura 1, percebemos que o eixo t tangencial e que o eixo n normal trajetria. Para o eixo t, assumiremos que seja positivo na direo em que s aumenta, sendo designado pelo vetor unitrio ut. Para o eixo n, percebemos que este perpendicular ao eixo t no instante considerado e as-sumiremos que seja positivo na direo do centro de curvatura da trajetria (O'), sendo designado pelo vetor unitrio un.

Perceba que os eixos t e n definem um plano que coincide com o plano da trajetria da partcula (lembre-se: estamos estu-dando um movimento bidimensional). Este plano, em especfico, denominado Plano Osculador.

Fonte: Hibbeler (2011, p. 40).Figura 1 Posio de uma partcula em trajetria curvilnea 2D com a origem do sistema de referncia localizado sobre a partcula.

63



Velocidade

Se a partcula est em movimento, ento sabemos que ( )s s t= . No item Velocidade, referente ao Movimento Curvilneo,

na unidade 1, vimos que o vetor velocidade v sempre tangente trajetria da partcula. Tambm vimos, no mesmo item, que a velocidade escalar isto , a intensidade do vetor velocidade v pode ser obtida pela equao (1.19) da unidade 1. Portanto, podemos expressar, matematicamente, que:

tt usuvv

== (2.1)

Acelerao

A acelerao da partcula, nesta condio especfica, dada por:

tt uvuvva

+== (2.2)

ntnntt uvuvuauaa

2

+=+= (2.3)

na equao (2.3), corresponde ao raio de curvatura ori-ginado no centro de curvatura O' e que intercepta a partcula no instante considerado.

O desenvolvimento matemtico para se obter a equao (2.3) a partir da equao (2.2) um tanto complexo e ser omitido neste momento. A quem interessar, a leitura do item 12.7 da obra de Hibbeler (2011) pode esclarecer essa lacuna.

As componentes at e an so perpendiculares entre si (Figura 2), de modo que podemos calcular a intensidade da acelerao por:

22nt aaa += (2.4)


Fonte: Hibbeler (2011, p. 41).Figura 2 Acelerao de uma partcula em trajetria curvilnea com a origem do sistema de referncia localizado sobre a partcula.

Para finalizarmos este item, vamos considerar dois casos es-pecficos (Figura 3) e que merecem nossa ateno:

Se a partcula executa uma trajetria em linha reta, ento e an = 0; disso resulta que vaa t == e, neste caso, a componente tangencial da acelerao representa a taxa da variao temporal na intensidade da velocidade.

Se a partcula executa uma trajetria curvilnea com velo-cidade escalar constante, ento 0== vat ; disso resulta que /2vaa n == e, neste caso, a componente normal da acelerao representa a taxa de variao temporal na direo da velocidade. Essa ltima relao mais uma ve-lha conhecida dos tempos do Ensino Mdio e denomi-nada acelerao centrpeta (Figura 16 da unidade 1).

65



Fonte: Hibbeler (2011, p. 41).Figura 3 Situaes especficas da acelerao em uma trajetria curvilnea 2D.

Exerccios Resolvidos1) Um carro de Frmula Indy corre em uma pista perfeita-

mente circular com raio de 200 m. Sabe-se que, partindo do repouso, o carro aumenta sua velocidade escalar com uma acelerao constante de 6 m/s. Nessas condies, qual o tempo necessrio para que ele possa alcanar uma acelerao escalar de 12,4 m/s? nesse instante, qual sua velocidade escalar?

Resoluo:a) o primeiro passo da resoluo deste exerccio adequar

um sistema de referncia ao problema. Vamos colocar a origem do sistema sobre o carro, com o eixo t positivo na mesma direo do movimento (tangente circunfe-rncia) e o eixo n positivo em direo ao centro da tra-jetria.

b) As componentes da acelerao tangencial e normal re-lacionam-se, e at = 6 m/s na equao (2.4). A princ-pio, no temos o valor de a; na equao (2.3), podemos calcul-lo, e an = v / . Assim, v dada por:

ttavv t 600 +=+= (I)


c) Agora podemos calcular an:

2

22

18,0200

)6( ttvan ===

d) Conseguimos determinar o tempo necessrio para que o carro atinja a acelerao escalar de 2,4 m/s por meio da equao (2.4):

22nt aaa +=

222 )18,0()6(4,12 t+= (II)

st 76,7=

A velocidade escalar calculada substituindo (II) em (I):

6 6(7,76) 46,58 /v t m s= = =

2) Uma partcula realiza movimento circular com uma ace-lerao de 15 m/s e o ngulo da acelerao com a tan-gente de 35.

Determine: a) A acelerao normal da partcula.b) A acelerao tangencial da partcula.

Resoluo:a) Sabemos que as componentes at e an relacionam-se por

meio de uma soma vetorial. Se observarmos a Figura 2 e nos recordarmos das relaes trigonomtricas do trin-gulo retngulo, podemos dizer que:

cosaan =

ta a sen=

b) Deste modo, calculamos at e an:2cos 15 cos35 15 0,82 12,3 /na a m s= = = =

67



215 35 15 0,57 8,55 /ta asen sen m s= = = =

3) Escreva uma expresso para o raio de curvatura, em fun-o do tempo, e calcule seu valor em t = 0 e t = 1 para uma partcula em movimento, cuja posio em funo do tempo dada pela expresso:

ktjtitr

)1(2235 22 ++=

Resoluo:a) Para calcular o raio de curvatura precisamos conhecer

a velocidade e a acelerao normais, ambas em funo do tempo. Podemos obter estas expresses a partir dos vetores velocidade e acelerao. Derivando, temporal-mente, a expresso da posio, obtemos:

ktjtidtrdv

435 +== (I)

b) Derivando (I) em relao ao tempo, obtemos a acelera-o:

kjdtvda

43 == (I)

c) Calculando a intensidade de (I) e de (II), obtemos os va-lores da velocidade e da acelerao, ambos escalares:

2222 2525)4()3()5( tttv +=++= (I)

5)4()3( 22 =+=a (I)

d) num movimento curvilneo, a velocidade tangencial trajetria. Sabendo isso, e que /at dv dt= , ento:

252525

2 +==

ttvat

e) Agora, podemos calcular at:


22nt aaa +=

22

2 2525255 nat

t+

+=

152 +

=t

an

f) Finalmente, podemos calcular o raio de curvatura :

2van =

)55(1

15

)2525( 22

2

222

++=

+

+== tt

t

tav

n

Nos instantes t = 0 e t = 1, os raios de curvatura sero:

5)50.5(10 22 =++=

14,14)51.5(11 22 =++=

Movimento Curvilneo Tridimensional

Vamos, agora, ampliar nosso entendimento sobre movimen-tos curvilneos, tomando como base uma situao real o movi-mento tridimensional.

Como j visto no tpico Movimento Curvilneo Bidimensio-nal, para um instante de tempo considerado, uma partcula que se desloca ao longo de uma trajetria curvilnea pode originar um referencial em que o eixo t univocamente especificado isto , existe uma e, somente uma, possibilidade de posicion-lo no sis-tema de referncia.

69



Porm, possvel construir um nmero infinito de eixos n que sejam perpendiculares ao eixo t. Para simplificarmos nossa deduo, vamos escolher o eixo que seja positivo na direo do centro de curvatura da trajetria (O'), tal qual no caso bidimensio-nal. Denominaremos esse eixo de normal Principal Curva.

At este ponto, podemos empregar as equaes (2.1) a (2.4) para determinarmos a velocidade e a acelerao da partcula, j que estamos trabalhando apenas em duas dimenses. Alm disso, os eixos t e n definem o Plano Osculador no instante considerado.

Mas, como queremos trabalhar em trs dimenses, temos somente uma opo para definir o terceiro eixo de coordenadas. Esse eixo denominado binormal e perpendicular concomitan-temente, aos eixos t e n e designado pelo vetor unitrio ub (Figura 4). Assim, os vetores unitrios ut, un e ub podem ser relacionados entre si pelo produto vetorial t n bu u u= .

Fonte: Hibbeler (2011, p. 41).Figura 4 Posio de uma partcula em trajetria curvilnea 3D com a origem do sistema de referncia localizado sobre a partcula.

Em razo da relevncia dos assuntos tratados anterior-mente, indicamos os vdeos propostos no tpico 3. 1., que apre-sentam resolues de exerccios de fsica sobre o movimento relativo. Antes de prosseguir para o prximo assunto, assista ao vdeo indicado.


2.2. MOVIMENTO CURVILNEO EM COORDENADAs POLAREs

J sabemos que, para descrever com preciso a posio, a velocidade e a acelerao de uma partcula, independentemente do tipo de movimento que ela executa, necessitamos sempre de um referencial cujo sistema de coordenadas seja adequado para a situao que queremos descrever.

At este momento, sempre trabalhamos com coordenadas cartesianas (x, y e z). Entretanto, em determinadas situaes, a utilizao de coordenadas polares e cilndricas pode ajudar-nos a descrever melhor a trajetria de uma partcula.

Posio

num sistema de coordenadas polares (Figura 5), cada ponto de um plano determinado pela sua distncia em relao a um ponto fixo e pelo ngulo em relao a uma direo fixa. Portan-to, podemos concluir que este um sistema de coordenadas bidi-mensional.

o ponto fixo (O) pode ser comparado origem do sistema de coordenadas cartesiano e denominado Polo (da a denominao deste sistema de referncia).

A distncia (r) entre o polo e a partcula denomina-se Coorde-nada Radial, e sua direo positiva definida pelo vetor unitrio ur.

o ngulo no sentido anti-horrio () formado entre a direo fixa (na Figura 5, horizontal) e o vetor r denominado Coordena-da Angular (ou Coordenada Transversal), e sua direo positiva dada pelo vetor unitrio u

. Repare que os vetores unitrios ur e u

so perpendiculares entre si.

71



Fonte: Hibbeler (2011, p. 52).Figura 5 Posio de uma partcula em trajetria curvilnea 2D em um sistema de referncia polar.

Assim, em qualquer instante, a posio da partcula pode ser expressa pela equao (2.5):

rurr

= (2.5)

Em tempo, as componentes dos sistemas de coordenadas cartesiano e polar podem ser relacionadas por meio das equaes (2.6) a (2.8):

cosrx = (2.6)

rseny = (2.7)

=

xyarctan (2.8)

Velocidade

Por definio, a velocidade instantnea de uma partcula pode ser obtida pela derivao do vetor posio r, como podemos ver na equao (2.5), em relao ao tempo:

rr ururrv

+== (2.9)

ururuvuvv rrr

+=+= (2.10)


O desenvolvimento matemtico para se obter a equao (2.10) a partir da equao (2.9) um tanto complexo e ser omi-tido neste momento. A quem interessar, a leitura do item 12.8 da obra de Hibbeler (2011) pode esclarecer essa lacuna.

observando a Figura 6, podemos concluir que:

A componente radial vr representa a taxa da variao no comprimento da coordenada radial.

A componente transversal v representa a taxa de varia-

o do movimento ao longo da circunferncia de um cr-culo de raio r, em que o termo /d dt = = a nossa velha conhecida velocidade angular, expressa em rad/s.

Fonte: Hibbeler (2011, p. 52).Figura 6 Velocidade de uma partcula em trajetria curvilnea 2D em um sistema de referncia polar.

Como as componentes vr e v so perpendiculares entre si (Figura 6), podemos calcular a intensidade do vetor velocidade por meio da equao (2.11). Alm disso, como j visto anteriormente e observado na prpria Figura 6, o vetor velocidade sempre tan-gencial trajetria.

22 )()( rrv += (2.11)

73



Acelerao

De acordo com nossos conhecimentos prvios, sabemos que possvel obter uma expresso que nos indique a acelerao de uma partcula, a cada instante, pela derivao da funo velocida-de em relao ao tempo. Portanto, no caso em questo, podemos escrever que:

urururururva rr

++++== (2.12)

urrurruauaa rrr

)2()( 2 ++=+= (2.13)

Novamente, omitiremos o desenvolvimento matemtico para obtermos a equao (2.13) a partir da equao (2.12); porm, sugerimos, a quem tiver interesse, que faa a leitura do item 12.8 da obra de Hibbeler (2011) para a compreenso dessa passagem.

No item anterior, relembramos que a relao dtd / = conhecida como Velocidade Angular. Agora, de modo semelhante, o termo 22 / dtd = denominado Acelerao Angular, expres-sa em rad/s.

A Figura 7 ilustra a disposio dos vetores a, ar e a. Observa-mos que as componentes radial e transversal so perpendiculares entre si e, portanto, podemos calcular a intensidade do vetor a por meio da Equao (2.14):

222 )2()( rrrra ++= (2.14)


Fonte: Hibbeler (2011, p. 53).Figura 7 Acelerao de uma partcula em trajetria curvilnea 2D em um sistema de referncia polar.

A direo do vetor acelerao, ao contrrio do vetor veloci-dade, no, necessariamente, ser tangente trajetria.

Exerccio resolvido

Uma partcula move-se em uma trajetria espiral dada pelas coordenadas polares r = bt e = ct, em que b e c so constantes.

a) Encontre a velocidade e a acelerao como funo de t.b) Calcule o valor de v e de a quando t = 3. Considere b =

-3 e c =0,5.c) Qual o mdulo de v e de a nas condies do item b)?

Resoluo:a) Inicialmente, vamos calcular as derivadas primeira e se-

gunda de r e de :

btbt

dtdr 2)( 2 ==

bbt

dtdr 2)( 22

2

==

cctdtd

== )(

75



0)(2

2

== ctdtd

b) Para determinarmos o vetor velocidade da partcula, deve-mos usar a equao (2.10) e fazer as devidas substituies:

ururv r

+=

ubctubtv r )()2( 2+=

c)

Fislabfis III Cdi

Documents

Transcript of Fislabfis III Cdi